ในทางฟิสิกส์การแปลงโคแวเรียนต์ทั่วไปคือสมมาตรของทฤษฎีแรงโน้มถ่วงบนแมนิโฟลด์โลก พวกมันคือการแปลงเกจที่มีฟังก์ชันพารามิเตอร์เป็นสนามเวกเตอร์บน แมนิโฟลด์ นั้น จากมุมมองทางฟิสิกส์ การแปลงโคแวเรียนต์ทั่วไปถือเป็นการ แปลง กรอบอ้างอิง เฉพาะ ( โฮโลโนมิก ) ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปในทางคณิตศาสตร์การแปลงโคแวเรียนต์ทั่วไปถูกนิยามว่าเป็นออโตมอร์ฟิซึม เฉพาะของ กลุ่มเส้นใย ธรรมชาติ ที่ เรียกว่า${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ให้เป็นแมนิโฟลด์ที่มีไฟเบอร์และมีพิกัดไฟเบอร์เฉพาะที่ทุกออโตมอร์ฟิซึมของจะถูกฉายไปยังดิฟเฟโอเมอร์ฟิซึมของฐานของมันอย่างไรก็ตาม ข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ดิฟเฟโอเมอร์ฟิซึมของไม่จำเป็นต้องก่อให้เกิดออโตมอร์ฟิซึมของ ${\displaystyle \pi :Y\to X}$${\displaystyle (x^{\lambda },y^{i})\,}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งตัวสร้างอนันต์ ของ กลุ่ม Lieหนึ่งพารามิเตอร์ของออโตมอร์ฟิซึมของคือสนามเวกเตอร์ ที่ฉายได้${\displaystyle Y}$

${\displaystyle u=u^{\lambda }(x^{\mu })\partial _{\lambda }+u^{i}(x^{\mu },y^{j})\partial _{i}}$

บน. ฟิลด์เวกเตอร์นี้ถูกฉายไปยังฟิลด์เวกเตอร์บน ซึ่งการไหลของมันคือกลุ่มดิฟเฟอเรนเชียลมอร์ฟิซึมแบบพารามิเตอร์เดียวของ. ในทางกลับกัน ให้เป็นฟิลด์เวกเตอร์บน. มีปัญหาในการสร้างการยกของมันไปยังฟิลด์เวกเตอร์ที่ฉายได้บน ซึ่งฉายไปยัง. การยกดังกล่าวมีอยู่เสมอ แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นแบบแคนอนิก เมื่อกำหนดการเชื่อมต่อบนทุกฟิลด์เวกเตอร์บนจะก่อให้เกิดฟิลด์เวกเตอร์แนวนอน ${\displaystyle Y}$${\displaystyle \tau =u^{\lambda }\partial _{\lambda }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau =\tau ^{\lambda }\บางส่วน _{\lambda }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Gamma \tau =\tau ^{\lambda }(\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }^{i}\partial _{i})}$

การยก ในแนวนอนนี้ทำให้เกิดโมโนมอร์ฟิซึมของโมดูลเวกเตอร์ฟิลด์บน ไปยังโมดูลเวกเตอร์ฟิลด์บนแต่โมโนมอร์ฟิซึมนี้ไม่ใช่มอร์ฟิซึมของพีชคณิตลี เว้นแต่ว่าจะแบนราบ ${\displaystyle Y}$${\displaystyle \tau \to \Gamma \tau }$${\displaystyle C^{\infty }(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C^{\infty }(Y)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \Gamma }$

อย่างไรก็ตาม มีกลุ่มของบันเดิลธรรมชาติที่กล่าวถึงข้างต้นอยู่ซึ่งยอมรับการยกฟังก์ชันของฟิลด์เวกเตอร์ใดๆบนโดยที่เป็นโมโนมอร์ฟิซึมของพีชคณิตลี ${\displaystyle T\to X}$${\displaystyle {\widetilde {\tau }}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau \to {\widetilde {\tau }}}$

${\displaystyle [{\widetilde {\tau }},{\widetilde {\tau }}']={\widetilde {[\tau ,\tau ']}}.}$

การยกฟังก์ชันนี้เป็นการแปลงโคแวเรียนต์ทั่วไปแบบอนันต์ของ ${\displaystyle {\widetilde {\tau }}}$${\displaystyle T}$

ในบริบททั่วไป เราจะพิจารณาโมโนมอร์ฟิซึมของกลุ่มดิฟฟีโอมอร์ฟิซึมของไปยังกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของบันเดิลของบันเดิลธรรมชาติออโตมอร์ฟิซึมเหล่านี้เรียกว่าการแปลงโคแวเรียนต์ทั่วไปของตัวอย่างเช่น ไม่มีออโตมอร์ฟิซึมแนวตั้งของที่เป็นการแปลงโคแวเรียนต์ทั่วไป ${\displaystyle f\to {\widetilde {f}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T\to X}$${\displaystyle {\widetilde {f}}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

บันเดิลธรรมชาติแสดงให้เห็นได้จากบันเดิลเทนเซอร์ตัวอย่างเช่นบันเดิลสัมผัส ของเป็นบันเดิลธรรมชาติ การแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลทุกรูปแบบของจะก่อให้เกิดการแปลงแบบอัตโนมัติสัมผัสของซึ่งเป็นการแปลงแบบโคแวเรียนต์ทั่วไปของเมื่อเทียบกับพิกัดโฮโลโนมิกบนการแปลงนี้มีลักษณะดังนี้ ${\displaystyle TX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\widetilde {f}}=Tf}$${\displaystyle TX}$${\displaystyle TX}$${\displaystyle (x^{\lambda },{\dot {x}}^{\lambda })}$${\displaystyle TX}$

${\displaystyle {\dot {x}}'^{\mu }={\frac {\บางส่วน x'^{\mu }}{\บางส่วน x^{\nu }}}{\dot {x}}^{\nu }.}$

บันเดิลเฟรม ของเฟรมสัมผัสเชิงเส้นในก็ถือเป็นบันเดิลธรรมชาติเช่นกัน การแปลงโคแวเรียนต์ทั่วไปประกอบเป็นกลุ่มย่อยของออโตมอร์ฟิซึมโฮโลโนมิกของบันเดิลทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับบันเดิลเฟรมเป็นบันเดิลธรรมชาติ อย่างไรก็ตาม มีบันเดิลธรรมชาติบางประเภทที่ไม่เกี่ยวข้องกับ ${\displaystyle FX}$${\displaystyle TX}$${\displaystyle FX}$${\displaystyle FX}$

• ความแปรปรวนร่วมทั่วไป
• ทฤษฎีแรงโน้มถ่วงเกจ
• ท่อร่วมไฟเบอร์