ในทฤษฎีแรงโน้มถ่วง แมนิโฟ ลด์โลกที่มี เมตริกแบบ ลอเรนซ์เทียมรีมันน์และโครงสร้างปริภูมิเวลาที่เกี่ยวข้องเรียกว่าปริภูมิเวลาทฤษฎีแรงโน้มถ่วงถูกกำหนดขึ้นในรูปของทฤษฎีสนามแบบคลาสสิกบนบันเดิลธรรมชาติเหนือแมนิโฟลด์โลก

แมนิโฟลด์โลก (World manifold) คือ แมนิโฟลด์ เรียบ จริงที่มีมิติ 4 มิติ และสามารถกำหนดทิศทางได้ โดยถือว่าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีแบบเฮาส์ดอร์ฟ (Hausdorff)และนับได้ลำดับที่สองดังนั้นจึงเป็นปริภูมิที่กระชับเฉพาะที่ (locally compact space)ซึ่งเป็นการรวมกันของเซตย่อยกระชับจำนวนนับได้ เป็นปริภูมิที่แยกได้ (separable space ) เป็นปริภูมิที่กระชับบางส่วน (paracompact)และเป็นปริภูมิปกติโดยสมบูรณ์ (completely regular space ) เนื่องจากมีความกระชับบางส่วน แมนิโฟลด์โลกจึงยอมรับการแบ่งส่วนของเอกภาพโดยฟังก์ชันเรียบ ความกระชับบางส่วนเป็นลักษณะสำคัญของแมนิโฟลด์โลก เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอเพื่อให้แมนิโฟลด์โลกยอมรับเมตริกแบบรีมันน์ (Riemannian metric ) และเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของเมตริกแบบซูโดรีมันน์ (pseudo-Riemannian metric) แมนิโฟลด์โลกถือว่าเชื่อมต่อกัน (connected) และด้วยเหตุนี้จึงเชื่อมต่อกันตามส่วนโค้ง (arcwise connected )

มัดสัมผัส${\displaystyle TX}$ของโลกหลายมิติ${\displaystyle X}$และชุดเฟรมหลัก ที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle FX}$ของเฟรมสัมผัสเชิงเส้นใน${\displaystyle TX}$มีโครงสร้างกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป${\displaystyle GL^{+}(4,\mathbb {R} )}$โลกอันหลากหลาย${\displaystyle X}$กล่าวได้ว่าสามารถทำให้ขนานได้หากมัดสัมผัส${\displaystyle TX}$และด้วยเหตุนี้ เฟรมบันเดิล${\displaystyle FX}$เป็นเรื่องเล็กน้อย กล่าวคือ มีส่วนทั่วโลก ( ฟิลด์เฟรม ) อยู่${\displaystyle FX}$สิ่งสำคัญคือเส้นสัมผัสและมัดที่เกี่ยวข้องบนแมนิโฟลด์โลกต้องยอมรับแผนที่มัดที่มีแผนภูมิการทำให้เป็นเรื่องเล็กน้อยจำนวนจำกัด

บันเดิลแทนเจนต์และบันเดิลเฟรมบนแมนิโฟลด์โลกเป็นบันเดิลธรรมชาติที่มีลักษณะเฉพาะด้วยการแปลงโคแวเรียนต์ทั่วไปการแปลงเหล่านี้คือสมมาตรเกจของทฤษฎีแรงโน้มถ่วงบนแมนิโฟลด์โลก

โดยอาศัยทฤษฎีบทที่รู้จักกันดีเกี่ยวกับการลดกลุ่มโครงสร้างกลุ่มโครงสร้าง${\displaystyle GL^{+}(4,\mathbb {R} )}$ของชุดเฟรม${\displaystyle FX}$เหนือความหลากหลายทั่วโลก${\displaystyle X}$สามารถลดรูปให้เหลือกลุ่มย่อยขนาดกะทัดรัดสูงสุดได้เสมอ${\displaystyle SO(4)}$ส่วนทั่วโลกที่สอดคล้องกันของกลุ่มผลหาร${\displaystyle FX/SO(4)}$เป็นเมตริกแบบรีมันน์${\displaystyle g^{R}}$บน${\displaystyle X}$ดังนั้น แมนิโฟลด์โลกจึงยอมรับเมตริกแบบรีมันน์เสมอ ซึ่งทำให้${\displaystyle X}$ปริภูมิเชิงทอพอโลยีเมตริก

ตามหลักการสมมูลทางเรขาคณิต แมนิโฟลด์โลกจะมีโครงสร้างแบบลอเรนซ์ กล่าวคือ เป็นกลุ่มโครงสร้างของเฟรมบันเดิล${\displaystyle FX}$ต้องลดให้เหลือกลุ่มลอเรนซ์${\displaystyle SO(1,3)}$ส่วนทั่วโลกที่สอดคล้องกันของกลุ่มผลหาร${\displaystyle FX/SO(1,3)}$เป็นเมตริกแบบซูโดรีมันน์${\displaystyle g}$ลายเซ็น${\displaystyle (+,---)}$บน${\displaystyle X}$ใน ทฤษฎีสั มพัทธภาพทั่วไปถือว่าเป็นสนามโน้มถ่วงและในทฤษฎีแรงโน้มถ่วงแบบเกจ ถือว่าเป็น สนามฮิกส์แบบคลาสสิก

โครงสร้างแบบลอเรนซ์ไม่จำเป็นต้องมีอยู่จริง ดังนั้น จึงถือว่าแมนิโฟลด์โลกต้องเป็นไปตามเงื่อนไขทางโทโพโลยีบางประการ ซึ่งอาจเป็นปริภูมิโทโพโลยีที่ไม่กระชับ หรือปริภูมิกระชับที่มีลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ เป็นศูนย์ โดยปกติแล้ว ยังจำเป็นต้องมีโครงสร้างสปินเนอร์ ในแมนิโฟลด์โลก ด้วย เพื่ออธิบายสนามเฟอร์มิออนของดิแรกในทฤษฎีแรงโน้มถ่วง นอกจากนี้ยังมีอุปสรรคทางโทโพโลยีเพิ่มเติมต่อการมีอยู่ของโครงสร้างนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แมนิโฟลด์โลกที่ไม่กระชับจะต้องสามารถขนานได้

หากกลุ่มโครงสร้างของชุดเฟรม${\displaystyle FX}$หากสามารถลดรูปไปเป็นกลุ่มลอเรนซ์ได้ กลุ่มลอเรนซ์นั้นก็จะสามารถลดรูปไปเป็นกลุ่มย่อยกระชับสูงสุดได้เสมอ${\displaystyle SO(3)}$ดังนั้นจึงมีแผนภาพการสลับตำแหน่ง

${\displaystyle GL(4,\mathbb {R} )\to SO(4)}$

${\displaystyle \downarrow \qquad \qquad \qquad \quad \downarrow }$

${\displaystyle SO(1,3)\to SO(3)}$

ของการลดกลุ่มโครงสร้างของมัดเฟรม${\displaystyle FX}$ในทฤษฎีแรงโน้มถ่วง แผนภาพการลดรูปนี้ส่งผลให้เกิดสิ่งต่อไปนี้

(i) ในทฤษฎีแรงโน้มถ่วงบนแมนิโฟลด์โลก${\displaystyle X}$เราสามารถเลือกแผนที่ของชุดเฟรมได้เสมอ${\displaystyle FX}$(ลักษณะเฉพาะของฟิลด์เฟรมท้องถิ่น)${\displaystyle \{h^{\แลมบ์ดา }\}}$) กับ${\displaystyle SO(3)}$ฟังก์ชันการเปลี่ยนสถานะแบบ -valued ฟังก์ชันการเปลี่ยนสถานะเหล่านี้จะรักษาส่วนประกอบที่คล้ายเวลาไว้${\displaystyle h_{0}=h_{0}^{\mu }\partial _{\mu }}$ของฟิลด์เฟรมท้องถิ่น ซึ่งจึงถูกกำหนดในระดับสากล มันคือฟิลด์เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ที่ใดเลยบน${\displaystyle X}$ดังนั้น สนามโคเวกเตอร์แบบไทม์ไลค์คู่${\displaystyle h^{0}=h_{\lambda }^{0}dx^{\lambda }}$นอกจากนี้ยังมีการกำหนดไว้ในระดับโลก และส่งผลให้เกิดการกระจาย ตัวเชิงพื้นที่${\displaystyle {\mathfrak {F}}\subset TX}$บน${\displaystyle X}$โดยที่${\displaystyle h^{0}\rfloor {\mathfrak {F}}=0}$จากนั้นมัดสัมผัส${\displaystyle TX}$ของโลกหลายมิติ${\displaystyle X}$ยอมรับการแยกส่วนของกาลอวกาศ ${\displaystyle TX={\mathfrak {F}}\oplus T^{0}X}$, ที่ไหน${\displaystyle T^{0}X}$คือกลุ่มเส้นใยหนึ่งมิติที่ทอดผ่านโดยสนามเวกเตอร์แบบเวลา${\displaystyle h_{0}}$การสลายตัวนี้เรียกว่า${\displaystyle g}$โครงสร้างกาลอวกาศที่เข้ากันได้ทำให้โลกเป็นมิติของกาลอวกาศ

(ii) จากแผนภาพการลดกลุ่มโครงสร้างที่กล่าวถึงข้างต้น ให้กำหนด${\displaystyle g}$และ${\displaystyle g^{R}}$โดยที่เมตริกแบบซูโดรีมันน์และรีมันน์จะสอดคล้องกันบน${\displaystyle X}$พวกเขาก่อตัวเป็นกลุ่มสามตัว${\displaystyle (g,g^{R},h^{0})}$การปฏิบัติตามความสัมพันธ์

${\displaystyle g=2h^{0}\otimes h^{0}-g^{R}}$.

ในทางกลับกัน ให้โลกมีหลายมิติ${\displaystyle X}$ยอมรับรูปแบบเดียวที่หายไปอย่างไร้ร่องรอย${\displaystyle \sigma }$(หรือเทียบเท่ากับสนามเวกเตอร์ที่ไม่หายไปที่ใดเลย) จากนั้นเมตริกแบบรีมันน์ใดๆ ก็ตาม${\displaystyle g^{R}}$บน${\displaystyle X}$ส่งผลให้ได้เมตริกแบบซูโดรีมันน์

${\displaystyle g={\frac {2}{g^{R}(\sigma ,\sigma )}}\sigma \otimes \sigma -g^{R}}$.

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าโลกมีหลายมิติ${\displaystyle X}$ยอมรับเมตริกแบบซูโดรีมันน์ก็ต่อเมื่อมีฟิลด์เวกเตอร์ (หรือโคเวกเตอร์) ที่ไม่มีค่าเป็นศูนย์ที่ใดเลยบน${\displaystyle X}$.

โปรดทราบว่า ก${\displaystyle g}$เมตริกแบบรีมันน์ที่เข้ากันได้${\displaystyle g^{R}}$ ในสาม ${\displaystyle (g,g^{R},h^{0})}$กำหนด${\displaystyle g}$ฟังก์ชันระยะทางที่เข้ากันได้บนแมนิโฟลด์โลก${\displaystyle X}$ฟังก์ชันดังกล่าวจะนำมาซึ่ง${\displaystyle X}$ในปริภูมิเมตริกที่มีโทโพโลยีแบบยุคลิดเฉพาะที่เทียบเท่ากับโทโพโลยีแบบแมนิโฟลด์บน${\displaystyle X}$กำหนดให้สนามโน้มถ่วง${\displaystyle g}$,${\displaystyle g}$-เมตริกแบบรีมันน์ที่เข้ากันได้และฟังก์ชันระยะทางที่สอดคล้องกันจะแตกต่างกันสำหรับรูปแบบการกระจายเชิงพื้นที่ที่แตกต่างกัน${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ และ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$ดังนั้น ผู้สังเกตการณ์ทางกายภาพที่เกี่ยวข้องกับการกระจายตัวเชิงพื้นที่ที่แตกต่างกันเหล่านี้ จึงรับรู้ถึงโลกที่หลากหลายมิติ${\displaystyle X}$ในฐานะปริภูมิรีมันน์ที่แตกต่างกัน การเปลี่ยนแปลงขนาดของวัตถุเคลื่อนที่ตามทฤษฎีสัมพัทธภาพซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีนั้นเป็นตัวอย่างหนึ่งของปรากฏการณ์นี้

อย่างไรก็ตาม มีความพยายามที่จะหาโทโพโลยีของโลกโดยตรงจากโครงสร้างของปริภูมิเวลา ( โทโพโลยีเส้นทางโทโพโลยีอเล็กซานดรอฟ ) หากปริภูมิเวลาเป็นไปตามเงื่อนไขความเป็นเหตุเป็นผลที่เข้มงวดโทโพโลยีดังกล่าวจะสอดคล้องกับโทโพโลยีของแมนิโฟลด์ที่คุ้นเคยของแมนิโฟลด์โลก แต่ในกรณีทั่วไป โทโพโลยีเหล่านี้ค่อนข้างแปลกประหลาด

โครงสร้างปริภูมิเวลาเรียกว่าสามารถหาปริพันธ์ได้ หากการกระจายเชิงพื้นที่${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ เป็นแบบผกผัน ในกรณีนี้ แมนิโฟลด์เชิงปริพันธ์ของมันประกอบขึ้นเป็น โฟลิเอ ชัน เชิงพื้นที่ ของแมนิโฟลด์โลก ซึ่งใบของโฟลิเอชันเหล่านั้นคือปริภูมิย่อยสามมิติเชิงพื้นที่ โฟลิเอชันเชิงพื้นที่เรียกว่าเป็นเหตุเป็นผล หากไม่มีเส้นโค้งใดที่ตัดผ่านใบของโฟลิเอชันนั้นตัดกับใบแต่ละใบมากกว่าหนึ่งครั้ง เงื่อนไขนี้เทียบเท่ากับความเป็นเหตุเป็นผลที่เสถียรของสตีเฟน ฮอว์คิงโฟลิเอชันของกาลอวกาศเป็นเหตุเป็นผลก็ต่อเมื่อมันเป็นโฟลิเอชันของพื้นผิวระดับของฟังก์ชันจริงเรียบๆ บางฟังก์ชันบน${\displaystyle X}$ซึ่งผลต่างไม่หายไปที่ใดเลย การแบ่งชั้นเช่นนี้เป็นแมนิโฟลด์แบบเส้นใย${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$อย่างไรก็ตาม นี่ไม่ใช่กรณีของแมนิโฟลด์โลกขนาดกะทัดรัดซึ่งไม่สามารถเป็นแมนิโฟลด์แบบไฟเบอร์ได้${\displaystyle \mathbb {R} }$.

ความสัมพันธ์เชิงสาเหตุที่เสถียรไม่ได้ให้โครงสร้างเชิงสาเหตุที่ง่ายที่สุด หากเป็นแมนิโฟลด์แบบไฟเบอร์${\displaystyle X\to \mathbb {R} }$ถ้าเป็นกลุ่มเส้นใย มันก็จะเป็นเรื่องเล็กน้อย กล่าวคือ เป็นแมนิโฟลด์โลก${\displaystyle X}$เป็นแมนิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิกทั่วโลก${\displaystyle X=\mathbb {R} \times M}$เนื่องจากแมนิโฟลด์สามมิติที่มีทิศทางใดๆ ก็สามารถประมวลผลแบบขนานได้ ดังนั้นแมนิโฟลด์โลกแบบไฮเปอร์โบลิกทั่วโลกจึงสามารถประมวลผลแบบขนานได้เช่นกัน

• กาลอวกาศ
• คณิตศาสตร์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป
• ทฤษฎีแรงโน้มถ่วงเกจ

• Sardanashvily, G. (2011). "ทฤษฎีแรงโน้มถ่วงเกจแบบคลาสสิก". วารสารนานาชาติว่าด้วยวิธีการทางเรขาคณิตในฟิสิกส์สมัยใหม่ 8 ( 8): 1869– 1895. arXiv : 1110.1176 . Bibcode : 2011IJGMM..08.1869S . doi : 10.1142/S0219887811005993 . S2CID 119711561 .