ในทางคณิตศาสตร์ออโตมอร์ฟิซึมคือ ไอโซมอร์ฟิซึมจากวัตถุทางคณิตศาสตร์ไปยังตัวมันเอง ในแง่หนึ่ง มันคือสมมาตรของวัตถุ และเป็นวิธีการแมปวัตถุไปยังตัวมันเองโดยรักษาสภาพโครงสร้างทั้งหมดไว้เซตของออโตมอร์ฟิซึมทั้งหมดของวัตถุหนึ่งๆ รวมกันเป็นกลุ่มเรียกว่ากลุ่มออโตมอร์ฟิซึมโดยคร่าวๆ แล้ว มันคือกลุ่มสมมาตรของวัตถุนั้น

ในโครงสร้างพีชคณิตเช่นกลุ่มวงแหวนหรือปริภูมิเวกเตอร์ ออโตมอร์ฟิซึมก็คือโฮโมมอร์ฟิซึมแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจากวัตถุหนึ่งไปยังตัวมันเอง (นิยามของโฮโมมอร์ฟิซึมขึ้นอยู่กับประเภทของโครงสร้างพีชคณิต ดูตัวอย่างเช่นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม โฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนและตัวดำเนินการเชิงเส้น )

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับวัตถุในหมวดหมู่ใดหมวดหมู่ หนึ่ง ออโตมอร์ฟิซึมคือมอร์ฟิซึมของวัตถุนั้นไปยังตัวมันเอง ซึ่งมีมอร์ฟิซึมผกผัน กล่าวคือ มอร์ฟิซึม${\displaystyle f:X\to X}$จะเป็นออโตมอร์ฟิซึมก็ต่อเมื่อมีมอร์ฟิซึม${\displaystyle g:X\to X}$โดยที่${\displaystyle g\circ f=f\circ g=\operatorname {id} _{X},}$ที่ไหน${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$คือมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์ ของXสำหรับโครงสร้างพีชคณิต นิยามทั้งสองนั้นเทียบเท่ากัน ในกรณีนี้ มอร์ฟิซึมเอกลักษณ์ก็คือฟังก์ชันเอกลักษณ์และมักเรียกว่า ออโตมอร์ฟิ ซึมแบบไม่สำคัญ

ออโตมอร์ฟิซึมของวัตถุXก่อตัวเป็นกลุ่มภายใต้การประกอบของมอร์ฟิซึมซึ่งเรียกว่ากลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของXซึ่งได้มาโดยตรงจากนิยามของหมวดหมู่

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของวัตถุXในหมวดหมู่Cมักจะใช้สัญลักษณ์Aut ( X )หรือเพียงแค่ Aut( X ) หากหมวดหมู่มีความชัดเจนจากบริบท

• ในทฤษฎีเซตการเรียงสับเปลี่ยนใดๆของสมาชิกในเซตXเรียกว่า ออโตมอร์ฟิซึม กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของXเรียกอีกอย่างว่า กลุ่มสมมาตรบนX
• ในวิชาเลขคณิตเบื้องต้นเซตของจำนวนเต็ม ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} }$เมื่อพิจารณาว่าเป็นกลุ่มภายใต้การบวก จะมีออโตมอร์ฟิซึมที่ไม่ใช่แบบธรรมดาเพียงหนึ่งเดียว คือ การปฏิเสธ อย่างไรก็ตาม เมื่อพิจารณาว่าเป็นวงแหวน จะมีเพียงออโตมอร์ฟิซึมแบบธรรมดาเท่านั้น โดยทั่วไป การปฏิเสธเป็นออโตมอร์ฟิซึมของกลุ่มอาเบเลียน ใดๆ แต่ไม่ใช่ของวงแหวนหรือฟิลด์
• ออโตมอร์ฟิซึมของกลุ่มคือไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มจากกลุ่มหนึ่งไปยังตัวมันเอง โดยทั่วไปแล้ว มันคือการเรียงสับเปลี่ยนของสมาชิกในกลุ่มโดยที่โครงสร้างยังคงไม่เปลี่ยนแปลง สำหรับทุกกลุ่มGจะมีโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มตามธรรมชาติG → Aut( G ) ซึ่งภาพ ของมัน คือกลุ่ม Inn( G ) ของออโตมอร์ฟิซึมภายในและเคอร์เนล ของมัน คือศูนย์กลางของGดังนั้น ถ้าGมี ศูนย์กลาง ที่ไม่สำคัญมันสามารถฝังลงในกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของตัวเองได้^{[ 1 ]}
• ในพีชคณิตเชิงเส้นเอนโดมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์Vคือตัวดำเนินการเชิงเส้นV → Vออโตมอร์ฟิซึมคือตัวดำเนินการเชิงเส้นที่ผกผันได้บนVเมื่อปริภูมิเวกเตอร์มีมิติจำกัด กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของVจะเหมือนกับกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป GL( V ) (โครงสร้างพีชคณิตของเอนโดมอร์ฟิซึมทั้งหมดของVนั้นเป็นพีชคณิตบนฟิลด์ฐานเดียวกันกับVซึ่งองค์ประกอบที่ผกผันได้ ของมัน ประกอบด้วย GL( V ) อย่างแม่นยำ)
• ออโตมอร์ฟิซึมของฟิลด์ คือโฮโมมอร์ฟิซึมของริงแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง จากฟิลด์ หนึ่ง ไปยังตัวมันเอง
  • สนาม${\displaystyle \mathbb {Q} }$ในบรรดาจำนวนตรรกยะทั้งหมดไม่มีออโตมอร์ฟิซึมอื่นใดนอกจากเอกลักษณ์ เนื่องจากออโตมอร์ฟิซึมจะต้องกำหนดค่าเอกลักษณ์การบวก0และเอกลักษณ์การคูณ1 ไว้ นอกจากนี้ ผลรวมของจำนวน1 จำนวนจำกัด จะต้องถูกกำหนดไว้ เช่นเดียวกับตัวผกผันการบวกของผลรวมเหล่านี้ (กล่าวคือ ออโตมอร์ฟิซึมจะกำหนดค่าจำนวนเต็ม ทั้งหมด ) และสุดท้าย เนื่องจากจำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นผลหารของจำนวนเต็มสองจำนวน ดังนั้นจำนวนตรรกยะทั้งหมดจะต้องถูกกำหนดโดยออโตมอร์ฟิซึมใดๆ ก็ตาม
  • สนาม${\displaystyle \mathbb {R} }$จำนวนจริงไม่มีออโตมอร์ฟิซึมอื่นใดนอกจากเอกลักษณ์ ที่จริงแล้ว จำนวนตรรกยะจะต้องถูกกำหนดโดยออโตมอร์ฟิซึมทุกตัว ดังที่กล่าวมาข้างต้น ออโตมอร์ฟิซึมจะต้องรักษาความไม่เท่าเทียมกันไว้ด้วย${\displaystyle x<y}$เทียบเท่ากับ${\displaystyle \exists z\mid yx=z^{2},}$และคุณสมบัติข้อหลังนี้ได้รับการรักษาไว้ในทุกออโตมอร์ฟิซึม สุดท้ายแล้ว จำนวนจริงทุกจำนวนจะต้องมีค่าคงที่ เนื่องจากเป็นขอบเขตบนน้อยที่สุดของลำดับจำนวนตรรกยะ
  • สนาม${\displaystyle \mathbb {C} }$จำนวนเชิงซ้อน มีออโตมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันและไม่ใช่ออโตมอร์ฟิ ซึมทั่วไป ซึ่งตรึงจำนวนจริงไว้ นั่นคือการสังยุคเชิงซ้อนซึ่งแมป${\displaystyle i}$ถึง${\displaystyle -i.}$สัจพจน์ของการเลือกบ่งชี้ถึงการมีอยู่ของ ออโตมอร์ฟิซึม จำนวนนับไม่ถ้วนที่ไม่ตรึงจำนวนจริง^{[ 2 ] [ 3 ]}
  • การศึกษาเกี่ยวกับออโตมอร์ฟิซึมของส่วนขยายฟิลด์พีชคณิตเป็นจุดเริ่มต้นและเป้าหมายหลักของทฤษฎีกาลัวส์
• กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของควอเทอร์เนียน ( ⁠${\displaystyle \mathbb {H} }$)ในฐานะวงแหวนคือออโตมอร์ฟิซึมภายใน ตามทฤษฎีบท Skolem–Noether : แผนที่ในรูปแบบ a ↦ bab ^{−1 [ 4 ]}กลุ่มนี้มีลักษณะสมมาตรกับ SO(3) ซึ่ง เป็นกลุ่มของการหมุนในปริภูมิ 3 มิติ
• กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของอ็อกโทเนียน ( ⁠${\displaystyle \mathbb {O} }$)คือกลุ่ม Lie พิเศษG
• ในทฤษฎีกราฟ ออ โตมอร์ฟิซึมของกราฟคือการเรียงสับเปลี่ยนของโหนดที่รักษาขอบและจุดที่ไม่ใช่ขอบไว้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าโหนดสองโหนดเชื่อมต่อกันด้วยขอบ ภาพของโหนดทั้งสองภายใต้การเรียงสับเปลี่ยนก็จะเชื่อมต่อกันด้วยขอบเช่นกัน
• ในทางเรขาคณิตออโตมอร์ฟิซึมอาจเรียกว่าการเคลื่อนที่ของปริภูมิ นอกจากนี้ยังมีการใช้ศัพท์เฉพาะทางอีกด้วย:
  • ในเรขาคณิตเมตริกออโตมอร์ฟิซึมคือไอโซเมตรี ในตัวเอง กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมเรียกอีกอย่างว่ากลุ่มไอโซเมตรี
  • ในหมวดหมู่ของพื้นผิวรีมันน์ออโตมอร์ฟิซึมคือ แผนที่ ไบโฮโลมอร์ฟิก (หรือเรียกว่าแผนที่คอนฟอร์มอล ) จากพื้นผิวหนึ่งไปยังตัวมันเอง ตัวอย่างเช่น ออโตมอร์ฟิซึมของทรงกลมรีมันน์คือการแปลงโมเบียส
  • ออโตมอร์ฟิซึมของแมนิโฟลด์ เชิงอนุพันธ์ Mคือดิฟฟีโอมอร์ฟิซึมจากMไปยังตัวมันเอง กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมบางครั้งใช้สัญลักษณ์ Diff( M ) แทน
  • ในทางโทโพโลยีมอร์ฟิซึมระหว่างปริภูมิโทโพโลยีเรียกว่าแผนที่ต่อเนื่องและออโตมอร์ฟิซึมของปริภูมิโทโพโลยีคือโฮมีโอม อร์ฟิซึม ของปริภูมิไปยังตัวมันเอง หรือโฮมีโอมอร์ฟิซึมตัวเอง (ดูกลุ่มโฮมีโอมอร์ฟิซึม ) ในตัวอย่างนี้ การที่มอร์ฟิซึมเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงนั้น ไม่เพียงพอที่จะเป็นไอโซมอร์ฟิซึม

หนึ่งในออโตมอร์ฟิซึมกลุ่มแรกๆ (ออโตมอร์ฟิซึมของกลุ่ม ไม่ใช่เพียงแค่กลุ่มของออโตมอร์ฟิซึมของจุด) ได้รับการเสนอโดยนักคณิตศาสตร์ชาวไอริชWilliam Rowan Hamiltonในปี พ.ศ. 2399 ในแคลคูลัสไอโคเซียน ของเขา ซึ่งเขาค้นพบออโตมอร์ฟิซึมอันดับสอง^{[ 5 ]}เขียนว่า:

ดังนั้น${\displaystyle \mu }$เป็นรากที่ห้าใหม่ของความเป็นเอกภาพ ซึ่งเชื่อมโยงกับรากที่ห้าเดิม${\displaystyle \lambda }$โดยอาศัยความสัมพันธ์แบบต่างตอบแทนอย่างสมบูรณ์แบบ

ในบางหมวดหมู่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งกลุ่มวงแหวนและพีชคณิตลีเราสามารถแยกออโตมอร์ฟิซึมออกเป็นสองประเภท เรียกว่า ออโตมอร์ฟิซึม "ภายใน" และ "ภายนอก" ได้

ในกรณีของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายในคือการผันแปรโดยสมาชิกของกลุ่มนั้นเอง สำหรับแต่ละสมาชิกaของกลุ่มGการผันแปรโดยaคือการดำเนินการφ   : G → Gซึ่งกำหนดโดยφ ( g ) = aga ⁻¹ (หรือa ⁻¹ ga ; การใช้งานแตกต่างกันไป) เราสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าการผันแปรโดยaเป็นออโตมอร์ฟิซึมของกลุ่ม ออโตมอร์ฟิซึมภายในก่อตัวเป็นกลุ่มย่อยปกติของ Aut( G ) ซึ่งเขียนแทนด้วย Inn( G ); นี่เรียกว่าทฤษฎีบทของกูร์ซาต์

ออโตมอร์ฟิซึมอื่นๆ เรียกว่าออโตมอร์ฟิซึมภายนอกกลุ่มผลหารAut( G ) / Inn( G )มักจะใช้สัญลักษณ์ Out( G ) แทน โดยที่สมาชิกที่ไม่ใช่สมาชิกสามัญคือโคเซตที่ประกอบด้วยออโตมอร์ฟิซึมภายนอก

นิยามเดียวกันนี้ใช้ได้กับริงหรือพีชคณิตเอกลักษณ์ ใดๆ ที่aเป็น สมาชิกที่ผกผัน ได้ สำหรับพีชคณิตลีนิยามจะแตกต่างออกไปเล็กน้อย

• แอนติออโตมอร์ฟิซึม
• ออโตมอร์ฟิซึม (ในปริศนาซูโดกุ)
• กลุ่มย่อยที่มีลักษณะเฉพาะ
• วงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึม
• ออโตมอร์ฟิซึมของฟรอเบนิอุส
• สัณฐานวิทยา
• ออโตมอร์ฟิซึมลำดับ (ในทฤษฎีลำดับ )
• ออโตมอร์ฟิซึมที่รักษาความสัมพันธ์
• การแปลงฟูริเยร์เศษส่วน

• ออโตมอร์ฟิซึมในสารานุกรมคณิตศาสตร์
• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "อัตโนมอร์ฟิซึม" . แมทเวิลด์ .