ในพีชคณิตเชิงเส้น การ แยกส่วนค่าเอกลักษณ์ทั่วไป ( GSVD ) เป็นชื่อของเทคนิคสองแบบที่แตกต่างกันโดยอิงจากการแยกส่วนค่าเอกลักษณ์ (SVD)ความแตกต่างระหว่างสองเวอร์ชันนี้เกิดจากเวอร์ชันหนึ่งแยกส่วนเมทริกซ์สองเมทริกซ์ (คล้ายกับการแยกส่วนค่า เอกลักษณ์ ลำดับสูงหรือแบบเทนเซอร์ ) และอีกเวอร์ชันหนึ่งใช้ชุดข้อจำกัดที่กำหนดไว้บนเวกเตอร์เอกลักษณ์ด้านซ้ายและด้านขวาของการแยกส่วนค่าเอกลักษณ์เมทริกซ์เดียว

การแยกส่วนค่าเอกลักษณ์ทั่วไป ( GSVD ) เป็นการแยกส่วนเมทริกซ์บนคู่เมทริกซ์ซึ่งเป็นการขยาย^การแยกส่วนค่าเอกลักษณ์ โดย Van Loan ^{[ 1 ]}เป็นผู้นำเสนอในปี 1976 และต่อมาได้รับการพัฒนาโดย Paige และSaunders [ ^{2 ]}ซึ่งเป็นเวอร์ชันที่อธิบายไว้ในที่นี้ แตกต่างจาก SVD ตรงที่ GSVD จะแยกส่วนเมทริกซ์คู่ที่มีจำนวนคอลัมน์เท่ากันพร้อมกัน SVD และ GSVD รวมถึงการขยายทั่วไปอื่นๆ ของ SVD ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}ถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางในการศึกษาการปรับสภาพและการทำให้เป็นระเบียบของระบบเชิงเส้นโดยสัมพันธ์กับกึ่งนอร์ม กำลังสอง ต่อไปนี้ให้ หรือ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$

การแยกส่วนค่าเอกลักษณ์ทั่วไปของเมทริกซ์และคือโดยที่ ${\displaystyle A_{1}\in \mathbb {F} ^{m_{1}\times n}}$${\displaystyle A_{2}\in \mathbb {F} ^{m_{2}\times n}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=U_{1}\Sigma _{1}[W^{*}D,0_{D}]Q^{*},\\A_{2}&=U_{2}\Sigma _{2}[W^{*}D,0_{D}]Q^{*},\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle U_{1}\in \mathbb {F} ^{m_{1}\times m_{1}}}$เป็นเอกภาพ​
• ${\displaystyle U_{2}\in \mathbb {F} ^{m_{2}\times m_{2}}}$เป็นเอกภาพ
• ${\displaystyle Q\in \mathbb {F} ^{n\times n}}$เป็นเอกภาพ
• ${\displaystyle W\in \mathbb {F} ^{k\times k}}$เป็นเอกภาพ
• ${\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{k\times k}}$เป็นเมทริกซ์แนวทแยงจริงที่มีค่าแนวทแยงเป็นบวก และประกอบด้วยค่าเอกลักษณ์ที่ไม่เป็นศูนย์เรียงลำดับจากมากไปน้อย${\displaystyle C={\begin{bmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle 0_{D}=0\in \mathbb {R} ^{k\times (nk)}}$,
• ${\displaystyle \Sigma _{1}=\lceil I_{A},S_{1},0_{A}\rfloor \in \mathbb {R} ^{m_{1}\times k}}$เป็น เมทริกซ์บล็อกแนวทแยงมุมที่ไม่เป็นลบจริงโดยที่, , และ,${\displaystyle S_{1}=\lceil \alpha _{r+1},\dots ,\alpha _{r+s}\rfloor }$${\displaystyle 1>\alpha _{r+1}\geq \cdots \geq \alpha _{r+s}>0}$${\displaystyle I_{A}=I_{r}}$${\displaystyle 0_{A}=0\in \mathbb {R} ^{(m_{1}-rs)\times (krs)}}$
• ${\displaystyle \Sigma _{2}=\lceil 0_{B},S_{2},I_{B}\rfloor \in \mathbb {R} ^{m_{2}\times k}}$เป็นเมทริกซ์บล็อกแนวทแยงมุมที่ไม่เป็นลบจริง โดยที่, , และ,${\displaystyle S_{2}=\lceil \beta _{r+1},\dots ,\beta _{r+s}\rfloor }$${\displaystyle 0<\beta _{r+1}\leq \cdots \leq \beta _{r+s}<1}$${\displaystyle I_{B}=I_{krs}}$${\displaystyle 0_{B}=0\in \mathbb {R} ^{(m_{2}-k+r)\times r}}$
• ${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}\Sigma _{1}=\lceil \alpha _{1}^{2},\dots ,\alpha _{k}^{2}\rfloor }$,
• ${\displaystyle \Sigma _{2}^{*}\Sigma _{2}=\lceil \beta _{1}^{2},\dots ,\beta _{k}^{2}\rfloor }$,
• ${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}\Sigma _{1}+\Sigma _{2}^{*}\Sigma _{2}=I_{k}}$,
• ${\displaystyle k={\textrm {rank}}(C)}$.

เราใช้สัญลักษณ์, , , และแทน ในขณะที่เป็นเมทริกซ์แนวทแยงแต่ ไม่จำเป็นต้องเป็นเมทริกซ์แนวทแยงเสมอไป เนื่องจากมีเมทริกซ์ศูนย์ รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าอยู่ข้างหน้า แต่ จะเป็น "เมทริกซ์แนวทแยงด้านล่างขวา" แทน${\displaystyle \alpha _{1}=\cdots =\alpha _{r}=1}$${\displaystyle \alpha _{r+s+1}=\cdots =\alpha _{k}=0}$${\displaystyle \beta _{1}=\cdots =\beta _{r}=0}$${\displaystyle \beta _{r+s+1}=\cdots =\beta _{k}=1}$${\displaystyle \Sigma _{1}}$${\displaystyle \Sigma _{2}}$${\displaystyle \Sigma _{2}}$

GSVD มีหลายรูปแบบ รูปแบบต่างๆ เหล่านี้เกี่ยวข้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าเราสามารถคูณจากด้านซ้ายด้วย ได้เสมอ โดยที่เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ใดๆ เราใช้สัญลักษณ์ แทน ${\displaystyle Q^{*}}$${\displaystyle EE^{*}=I}$${\displaystyle E\in \mathbb {F} ^{n\times n}}$

• ${\displaystyle X=([W^{*}D,0_{D}]Q^{*})^{*}}$
• ${\displaystyle X^{*}=[0,R]{\hat {Q}}^{*}}$โดยที่ เป็น เมท ริก ซ์สามเหลี่ยมบนและผกผันได้ และเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ เมทริกซ์ดังกล่าวมีอยู่ได้ด้วยการแยกส่วนแบบ RQ${\displaystyle R\in \mathbb {F} ^{k\times k}}$${\displaystyle {\hat {Q}}\in \mathbb {F} ^{n\times n}}$
• ${\displaystyle Y=W^{*}D}$ดังนั้นจึงสามารถผกผันได้${\displaystyle Y}$

ต่อไปนี้คือตัวอย่างรูปแบบต่างๆ ของ GSVD:

• MATLAB (gsvd):$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=U_{1}\Sigma _{1}X^{*},\\A_{2}&=U_{2}\Sigma _{2}X^{*}.\end{aligned}}}$$
• LAPACK (ggsvd3):$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=U_{1}\Sigma _{1}[0,R]{\hat {Q}}^{*},\\A_{2}&=U_{2}\Sigma _{2}[0,R]{\hat {Q}}^{*}.\end{aligned}}}$$
• แบบย่อ:$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=U_{1}\Sigma _{1}[Y,0_{D}]Q^{*},\\A_{2}&=U_{2}\Sigma _{2}[Y,0_{D}]Q^{*}.\end{aligned}}}$$

วลี " ค่าเอกพจน์ทั่วไป"สามารถใช้ในการอ้างอิงถึงสิ่งต่างๆ ที่แตกต่างกันเล็กน้อยในบทความนี้ ค่าเอกพจน์ทั่วไปของและคือคู่ที่เป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้ ${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\delta \to 0}\det(b^{2}A_{1}^{*}A_{1}-a^{2}A_{2}^{*}A_{2}+\delta I_{n})/\det(\delta I_{n-k})&=0,\\a^{2}+b^{2}&=1,\\a,b&\geq 0.\end{aligned}}}$$แหล่งข้อมูลอื่นเรียกคู่ค่าเอกพจน์ทั่วไป ดังกล่าวว่า และใช้ค่าเอกพจน์ทั่วไป เพื่ออ้าง ถึงอัตราส่วน^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}${\displaystyle (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle a/b}$

ไม่ว่าจะเป็นไปตามหลักเกณฑ์การตั้งชื่อใดก็ตาม เรามี

• ${\displaystyle A_{i}A_{j}^{*}=U_{i}\Sigma _{i}YY^{*}\Sigma _{j}^{*}U_{j}^{*}}$
• ${\displaystyle A_{i}^{*}A_{j}=Q{\begin{bmatrix}Y^{*}\Sigma _{i}^{*}\Sigma _{j}Y&0\\0&0\end{bmatrix}}Q^{*}=Q_{1}Y^{*}\Sigma _{i}^{*}\Sigma _{j}YQ_{1}^{*}}$

จากคุณสมบัติเหล่านี้ เราสามารถแสดงได้ว่าค่าเอกลักษณ์ทั่วไปคือคู่ อย่างแน่นอนดังนั้น เราจึงได้${\displaystyle (\alpha _{i},\beta _{i})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&\det(b^{2}A_{1}^{*}A_{1}-a^{2}A_{2}^{*}A_{2}+\delta I_{n})\\=&\det(b^{2}A_{1}^{*}A_{1}-a^{2}A_{2}^{*}A_{2}+\delta QQ^{*})\\=&\det \left(Q{\begin{bmatrix}Y^{*}(b^{2}\Sigma _{1}^{*}\Sigma _{1}-a^{2}\Sigma _{2}^{*}\Sigma _{2})Y+\delta I_{k}&0\\0&\delta I_{n-k}\end{bmatrix}}Q^{*}\right)\\=&\det(\delta I_{n-k})\det(Y^{*}(b^{2}\Sigma _{1}^{*}\Sigma _{1}-a^{2}\Sigma _{2}^{*}\Sigma _{2})Y+\delta I_{k}).\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\begin{aligned}{}&\lim _{\delta \to 0}\det(b^{2}A_{1}^{*}A_{1}-a^{2}A_{2}^{*}A_{2}+\delta I_{n})/\det(\delta I_{n-k})\\=&\lim _{\delta \to 0}\det(Y^{*}(b^{2}\Sigma _{1}^{*}\Sigma _{1}-a^{2}\Sigma _{2}^{*}\Sigma _{2})Y+\delta I_{k})\\=&\det(Y^{*}(b^{2}\Sigma _{1}^{*}\Sigma _{1}-a^{2}\Sigma _{2}^{*}\Sigma _{2})Y)\\=&|\det(Y)|^{2}\prod _{i=1}^{k}(b^{2}\alpha _{i}^{2}-a^{2}\beta _{i}^{2}).\end{aligned}}}$

นิพจน์นี้มีค่าเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อและสำหรับบางค่า ${\displaystyle a=\alpha _{i}}$${\displaystyle b=\beta _{i}}$${\displaystyle i}$

ใน^{[ 2 ]}อ้างว่าค่าเอกลักษณ์ทั่วไปคือค่าที่แก้ได้อย่างไรก็ตาม ข้ออ้างนี้เป็นจริงเฉพาะเมื่อเท่านั้นเนื่องจากมิฉะนั้นดีเทอร์มิแนนต์จะเป็นศูนย์สำหรับทุกคู่ซึ่งสามารถเห็นได้จากการแทนค่าข้างต้น ${\displaystyle \det(b^{2}A_{1}^{*}A_{1}-a^{2}A_{2}^{*}A_{2})=0}$${\displaystyle k=n}$${\displaystyle (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \delta =0}$

กำหนดให้สำหรับเมทริกซ์ผกผัน ใดๆ สำหรับเมทริกซ์ศูนย์ใดๆและสำหรับเมทริกซ์บล็อกแนวทแยงใดๆ จากนั้นกำหนดสามารถแสดงได้ว่าตามที่กำหนดไว้ที่นี่ คือตัวผกผันทั่วไปของโดยเฉพาะอย่างยิ่งตัวผกผันของเนื่องจากโดยทั่วไปแล้วไม่เป็นไปตามเงื่อนไขดังนั้นจึงไม่ใช่ตัวผกผันแบบมัวร์-เพนโรสมิฉะนั้นเราจะสามารถหาได้สำหรับเมทริกซ์ใดๆ ที่เลือก ซึ่งใช้ได้เฉพาะกับเมทริกซ์บางประเภทเท่านั้น ${\displaystyle E^{+}=E^{-1}}$${\displaystyle E\in \mathbb {F} ^{n\times n}}$${\displaystyle 0^{+}=0^{*}}$${\displaystyle 0\in \mathbb {F} ^{m\times n}}$${\displaystyle \left\lceil E_{1},E_{2}\right\rfloor ^{+}=\left\lceil E_{1}^{+},E_{2}^{+}\right\rfloor }$$${\displaystyle A_{i}^{+}=Q{\begin{bmatrix}Y^{-1}\\0\end{bmatrix}}\Sigma _{i}^{+}U_{i}^{*}}$$${\displaystyle A_{i}^{+}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle \{1,2,3\}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle (A_{i}^{+}A_{i})^{*}=A_{i}^{+}A_{i}}$${\displaystyle (AB)^{+}=B^{+}A^{+}}$

สมมติว่าโดยที่และอินเวอร์สทั่วไปนี้มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}Q_{1}&Q_{2}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle Q_{1}\in \mathbb {F} ^{n\times k}}$${\displaystyle Q_{2}\in \mathbb {F} ^{n\times (n-k)}}$

• ${\displaystyle \Sigma _{1}^{+}=\lceil I_{A},S_{1}^{-1},0_{A}^{T}\rfloor }$
• ${\displaystyle \Sigma _{2}^{+}=\lceil 0_{B}^{T},S_{2}^{-1},I_{B}\rfloor }$
• ${\displaystyle \Sigma _{1}\Sigma _{1}^{+}=\lceil I,I,0\rfloor }$
• ${\displaystyle \Sigma _{2}\Sigma _{2}^{+}=\lceil 0,I,I\rfloor }$
• ${\displaystyle \Sigma _{1}\Sigma _{2}^{+}=\lceil 0,S_{1}S_{2}^{-1},0\rfloor }$
• ${\displaystyle \Sigma _{1}^{+}\Sigma _{2}=\lceil 0,S_{1}^{-1}S_{2},0\rfloor }$
• ${\displaystyle A_{i}A_{j}^{+}=U_{i}\Sigma _{i}\Sigma _{j}^{+}U_{j}^{*}}$
• ${\displaystyle A_{i}^{+}A_{j}=Q{\begin{bmatrix}Y^{-1}\Sigma _{i}^{+}\Sigma _{j}Y&0\\0&0\end{bmatrix}}Q^{*}=Q_{1}Y^{-1}\Sigma _{i}^{+}\Sigma _{j}YQ_{1}^{*}}$

อัตราส่วนเอกพจน์ทั่วไป (หรือเรียกสั้นๆ ว่า "ค่าเอกพจน์ทั่วไป" ขึ้นอยู่กับธรรมเนียมการตั้งชื่อ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} ) ของและคือโดยคุณสมบัติข้างต้นสังเกตว่าเป็นเมทริกซ์ทแยงมุม และเมื่อไม่นับศูนย์นำหน้า จะมีอัตราส่วนเอกพจน์เรียงลำดับจากมากไปน้อย ถ้าสามารถผกผันได้ จะไม่มีศูนย์นำหน้า และอัตราส่วนเอกพจน์ทั่วไปคือค่าเอกพจน์ และและคือเมทริกซ์ของเวกเตอร์เอกพจน์ของเมทริกซ์อันที่จริง การคำนวณ SVD ของเป็นหนึ่งในแรงจูงใจสำหรับ GSVD เนื่องจาก "การสร้างและการหา SVD อาจนำไปสู่ข้อผิดพลาดเชิงตัวเลขที่ไม่จำเป็นและมากเมื่อมีเงื่อนไขไม่ดีสำหรับการแก้สมการ" ^{[ 2 ]}ดังนั้นจึงมีการใช้ชื่อ "quotient SVD" ในบางครั้ง แม้ว่านี่จะไม่ใช่เหตุผลเดียวสำหรับการใช้ GSVD ก็ตาม ถ้าเมทริกซ์ไม่สามารถผกผันได้ เมทริกซ์นั้นก็ยังคงเป็นผลการแยกค่าเอกลักษณ์ (SVD) ของเมทริกซ์นั้นอยู่ดี ถ้าเราผ่อนปรนข้อกำหนดที่ว่าค่าเอกลักษณ์ต้องเรียงลำดับจากมากไปน้อย หรืออีกทางหนึ่ง สามารถหาผลการแยกค่าเอกลักษณ์ที่เรียงลำดับจากมากไปน้อยได้โดยการย้ายค่าศูนย์นำหน้าไปไว้ด้านหลัง: โดยที่และเป็นเมทริกซ์การเรียงสับเปลี่ยน ที่เหมาะสม เนื่องจากอันดับเท่ากับจำนวนค่าเอกลักษณ์ที่ไม่เป็นศูนย์ดังนั้น ${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle \sigma _{i}=\alpha _{i}\beta _{i}^{+}}$${\displaystyle A_{1}A_{2}^{+}=U_{1}\Sigma _{1}\Sigma _{2}^{+}U_{2}^{*}}$${\displaystyle \Sigma _{1}\Sigma _{2}^{+}=\lceil 0,S_{1}S_{2}^{-1},0\rfloor }$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle \Sigma _{1}\Sigma _{2}^{+}}$${\displaystyle U_{1}}$${\displaystyle U_{2}}$${\displaystyle A_{1}A_{2}^{+}=A_{1}A_{2}^{-1}}$${\displaystyle A_{1}A_{2}^{-1}}$${\displaystyle AB^{-1}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle U_{1}\Sigma _{1}\Sigma _{2}^{+}U_{2}^{*}}$${\displaystyle A_{1}A_{2}^{+}}$${\displaystyle U_{1}\Sigma _{1}\Sigma _{2}^{+}U_{2}^{*}=(U_{1}P_{1})P_{1}^{*}\Sigma _{1}\Sigma _{2}^{+}P_{2}(P_{2}^{*}U_{2}^{*})}$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle \mathrm {rank} (A_{1}A_{2}^{+})=s}$

อนุญาต

• ${\displaystyle C=P\lceil D,0\rfloor Q^{*}}$ให้เป็นผลรวมค่าเอกลักษณ์ (SVD) ของโดยที่เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ และและเป็นไปตามที่ได้อธิบายไว้${\displaystyle C={\begin{bmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle P\in \mathbb {F} ^{(m_{1}+m_{2})\times (m_{1}\times m_{2})}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle D}$
• ${\displaystyle P=[P_{1},P_{2}]}$ที่ไหนและ,${\displaystyle P_{1}\in \mathbb {F} ^{(m_{1}+m_{2})\times k}}$${\displaystyle P_{2}\in \mathbb {F} ^{(m_{1}+m_{2})\times (n-k)}}$
• ${\displaystyle P_{1}={\begin{bmatrix}P_{11}\\P_{21}\end{bmatrix}}}$ที่ไหนและ,${\displaystyle P_{11}\in \mathbb {F} ^{m_{1}\times k}}$${\displaystyle P_{21}\in \mathbb {F} ^{m_{2}\times k}}$
• ${\displaystyle P_{11}=U_{1}\Sigma _{1}W^{*}}$โดยใช้การแยกค่าเอกลักษณ์ (SVD) ของโดยที่และเป็นไปตามที่อธิบายไว้${\displaystyle P_{11}}$${\displaystyle U_{1}}$${\displaystyle \Sigma _{1}}$${\displaystyle W}$
• ${\displaystyle P_{21}W=U_{2}\Sigma _{2}}$โดยการแยกส่วนคล้ายกับการแยกส่วนแบบ QRโดยที่และเป็นไปตามที่อธิบายไว้${\displaystyle U_{2}}$${\displaystyle \Sigma _{2}}$

จากนั้นเรายังมีดังนั้นเนื่องจากมีคอลัมน์ตั้งฉากกันดังนั้นเราจึงยังมี สำหรับแต่ละ ที่ดังนั้นดังนั้นและ$${\displaystyle {\begin{aligned}C&=P\lceil D,0\rfloor Q^{*}\\{}&=[P_{1}D,0]Q^{*}\\{}&={\begin{bmatrix}U_{1}\Sigma _{1}W^{*}D&0\\U_{2}\Sigma _{2}W^{*}D&0\end{bmatrix}}Q^{*}\\{}&={\begin{bmatrix}U_{1}\Sigma _{1}[W^{*}D,0]Q^{*}\\U_{2}\Sigma _{2}[W^{*}D,0]Q^{*}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}U_{1}^{*}&0\\0&U_{2}^{*}\end{bmatrix}}P_{1}W={\begin{bmatrix}\Sigma _{1}\\\Sigma _{2}\end{bmatrix}}.}$$$${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}\Sigma _{1}+\Sigma _{2}^{*}\Sigma _{2}={\begin{bmatrix}\Sigma _{1}\\\Sigma _{2}\end{bmatrix}}^{*}{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}\\\Sigma _{2}\end{bmatrix}}=W^{*}P_{1}^{*}{\begin{bmatrix}U_{1}&0\\0&U_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}^{*}&0\\0&U_{2}^{*}\end{bmatrix}}P_{1}W=I.}$$${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle ||P_{1}||_{2}\leq 1}$$${\displaystyle ||\Sigma _{1}||_{2}=||U_{1}^{*}P_{1}W||_{2}=||P_{1}||_{2}\leq 1.}$$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle ||x||_{2}=1}$$${\displaystyle ||P_{21}x||_{2}^{2}\leq ||P_{11}x||_{2}^{2}+||P_{21}x||_{2}^{2}=||P_{1}x||_{2}^{2}\leq 1.}$$${\displaystyle ||P_{21}||_{2}\leq 1}$$${\displaystyle ||\Sigma _{2}||_{2}=||U_{2}^{*}P_{21}W||_{2}=||P_{21}||_{2}\leq 1.}$$

GSVD ซึ่งกำหนดเป็นการแยกส่วนสเปกตรัมเชิงเปรียบเทียบ^{[ 9 ]}ได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในการประมวลผลสัญญาณและวิทยาศาสตร์ข้อมูล ได้สำเร็จ เช่น ในการประมวลผลสัญญาณจีโนม^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

แอปพลิเคชันเหล่านี้เป็นแรงบันดาลใจให้เกิดการแยกส่วนสเปกตรัมเชิงเปรียบเทียบเพิ่มเติมอีกหลายอย่าง เช่น GSVD ลำดับสูง (HO GSVD) ^{[ 13 ]}และ GSVD แบบเทนเซอร์^{[ 14 ] [ 15 ]}

นอกจากนี้ยังพบการประยุกต์ใช้ในการประมาณการแยกส่วนสเปกตรัมของตัวดำเนินการเชิงเส้นเมื่อฟังก์ชันลักษณะเฉพาะถูกกำหนดพารามิเตอร์ด้วยแบบจำลองเชิงเส้นกล่าวคือพื้นที่ฮิลเบิร์ตเคอร์เนลที่สร้างซ้ำ^{[ 16 ]}

เวอร์ชันถ่วงน้ำหนักของการแยกค่าเอกลักษณ์ทั่วไป ( GSVD ) คือการแยกเมทริกซ์แบบ มีข้อจำกัด โดยมีการกำหนดข้อจำกัดบนเวกเตอร์เอกลักษณ์ด้านซ้ายและด้านขวาของการแยกค่าเอกลักษณ์ [ ^{17 ] [ 18 ] [ 19 ] รูป}แบบของGSVD นี้ เป็นการขยายของSVDนั่นเอง เมื่อกำหนดSVDของเมทริกซ์จริงหรือเชิงซ้อนขนาดm×n M แล้ว

${\displaystyle M=U\Sigma V^{*}\,}$

ที่ไหน

${\displaystyle U^{*}W_{u}U=V^{*}W_{v}V=I.}$

โดยที่Iคือเมทริกซ์เอกลักษณ์และและเป็นเมทริกซ์ตั้งฉากกันภายใต้เงื่อนไข ( และ) นอกจากนี้และเป็นเมทริกซ์บวกกำหนด (มักเป็นเมทริกซ์แนวทแยงของน้ำหนัก) รูปแบบของGSVD นี้ เป็นหัวใจสำคัญของเทคนิคบางอย่าง เช่นการวิเคราะห์องค์ประกอบหลักแบบ ทั่วไป และการ วิเคราะห์ความสัมพันธ์${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W_{u}}$${\displaystyle W_{v}}$${\displaystyle W_{u}}$${\displaystyle W_{v}}$

รูปแบบถ่วงน้ำหนักของGSVDเรียกว่าเช่นนั้นเพราะเมื่อเลือกน้ำหนักอย่างถูกต้องแล้ว จะ ทำให้เทคนิคหลายอย่าง เป็นแบบทั่วไป (เช่นการปรับขนาดหลายมิติและการวิเคราะห์การจำแนกเชิงเส้น ) ^{[ 20 ]}