ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์จุดศูนย์กลางมวล หรือ ที่เรียกว่าจุดศูนย์กลางทางเรขาคณิตหรือจุดศูนย์กลางของ รูป ของรูประนาบหรือรูปสามมิติคือตำแหน่งเฉลี่ย ของจุดทั้งหมดในรูป คำจำกัดความเดียวกันนี้ขยายไปถึงวัตถุใดๆ ใน^{ปริภูมิ}ยูคลิดมิติ^{[ 1} ]${\displaystyle n}$

ในทางเรขาคณิตมักจะถือว่าความหนาแน่นของมวล สม่ำเสมอ ซึ่งในกรณีนี้จุดศูนย์กลางมวลหรือจุดศูนย์กลางของมวลจะตรงกับจุดศูนย์กลางมวล (centroid) โดยทั่วไปแล้ว สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นจุดที่ส่วนที่ตัดออกของรูปทรง (ที่มีมวลกระจายอย่างสม่ำเสมอ) สามารถวางได้อย่างสมดุลบนปลายเข็มหมุด^{[ 2 ]}

ในทางฟิสิกส์ หากพิจารณา ความแปรผันของ แรงโน้มถ่วงจุดศูนย์กลางมวลสามารถกำหนดได้ว่าเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของจุดทั้งหมด โดย ถ่วงน้ำหนักตาม น้ำหนักจำเพาะ ของแต่ละจุด

ในทางภูมิศาสตร์จุดศูนย์กลางมวลของเส้นฉายรัศมีของพื้นผิวโลกไปยังระดับน้ำทะเล คือศูนย์กลางทางภูมิศาสตร์ของภูมิภาค นั้น

คำว่า "centroid" ถูกบัญญัติขึ้นในปี พ.ศ. 2357 ^{[ 3 ]}ใช้เป็นคำแทนคำเก่าอย่าง "center of gravity" และ " center of mass " เมื่อต้องการเน้นเฉพาะแง่มุมทางเรขาคณิตของจุดนั้น คำนี้เป็นคำเฉพาะในภาษาอังกฤษ ตัวอย่างเช่น ภาษาฝรั่งเศสใช้ " centre de gravité " ในหลายโอกาส และภาษาอื่นๆ ก็ใช้คำที่มีความหมายคล้ายกัน

จุดศูนย์ถ่วง ดังที่ชื่อบ่งบอก เป็นแนวคิดที่เกิดขึ้นในกลศาสตร์ ซึ่งน่าจะเกี่ยวข้องกับกิจกรรมการก่อสร้าง ไม่แน่ชัดว่าแนวคิดนี้ปรากฏขึ้นครั้งแรกเมื่อใด เนื่องจากแนวคิดนี้น่าจะเกิดขึ้นกับหลายคนโดยมีความแตกต่างกันเล็กน้อย อย่างไรก็ตาม จุดศูนย์ถ่วงของรูปทรงต่างๆ ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางในสมัยโบราณบอสซุตยกย่องอาร์คิมิดีส (287–212 ปีก่อนคริสตกาล) ว่าเป็นคนแรกที่ค้นพบจุดศูนย์กลางมวลของรูปทรงระนาบ แม้ว่าเขาจะไม่เคยให้คำจำกัดความก็ตาม^{[ 4 ]}ตำราเกี่ยวกับจุดศูนย์กลางมวลของทรงตันที่อาร์คิมิดีสเขียนไว้ได้สูญหายไปแล้ว^{[ 5 ]}

เป็นไปได้ยากที่อาร์คิมิดีสจะเรียนรู้ทฤษฎีบทที่ว่าเส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยมมาบรรจบกันที่จุดหนึ่ง—จุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยม—โดยตรงจากยูคลิดเนื่องจากข้อเสนอนี้ไม่ได้อยู่ในหนังสือElementsการกล่าวถึงข้อเสนอนี้อย่างชัดเจนครั้งแรกนั้นมาจากเฮรอนแห่งอเล็กซานเดรีย (อาจจะเป็นศตวรรษที่ 1) และปรากฏอยู่ในหนังสือ Mechanics ของเขา อาจกล่าวเพิ่มเติมได้ว่า ข้อเสนอนี้ไม่ได้เป็นที่นิยมในตำราเรขาคณิตระนาบจนกระทั่งศตวรรษที่ 19

จุดศูนย์กลางทางเรขาคณิตของ วัตถุ นูนจะอยู่ภายในวัตถุนั้นเสมอ ส่วนวัตถุที่ไม่นูน อาจมีจุดศูนย์กลางอยู่ภายนอกรูปทรงนั้น ตัวอย่างเช่น จุดศูนย์กลางของแหวนหรือชามจะอยู่ภายในช่องว่างตรงกลางของวัตถุ

ถ้ากำหนดจุดศูนย์กลางมวลได้แล้ว จุดนั้นจะเป็นจุดคงที่ของการแปลงไอโซเมตริกทั้งหมดในกลุ่มสมมาตร ของมัน โดย เฉพาะ อย่างยิ่ง จุดศูนย์กลางมวลทางเรขาคณิต ของวัตถุจะอยู่ที่จุดตัดของระนาบสมมาตร ทั้งหมด ของ วัตถุนั้น จุดศูนย์กลางมวลของรูปทรงต่างๆ มากมาย ( เช่นรูปหลายเหลี่ยมปกติ ทรง หลายเหลี่ยมปกติทรงกระบอก สี่เหลี่ยมผืนผ้าสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนวงกลมทรงกลมวงรีทรงรีซ้อน ทรงรีซ้อนฯลฯ) สามารถหาได้จากหลักการนี้เพียงอย่างเดียว

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จุดศูนย์กลางมวลของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือจุดที่เส้นทแยงมุม ทั้งสองตัดกัน แต่ข้อนี้ไม่เป็นจริงสำหรับรูป สี่เหลี่ยม อื่นๆ

ด้วยเหตุผลเดียวกัน จุดศูนย์กลางมวลของวัตถุที่มีสมมาตรการเลื่อนจึงไม่สามารถกำหนดได้ (หรืออยู่นอกพื้นที่ที่ล้อมรอบ) เพราะการเลื่อนไม่มีจุดคงที่

จุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมคือจุดตัดของเส้นมัธยฐาน ทั้งสาม ของสามเหลี่ยม (โดยแต่ละเส้นมัธยฐานเชื่อมจุดยอดกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม) ^{[ 6 ]}

สำหรับคุณสมบัติอื่นๆ ของจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม โปรดดูด้านล่าง

จุดศูนย์กลางมวลของแผ่นระนาบ ที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอ ดังแสดงในรูป (ก) ด้านล่าง สามารถหาได้จากการทดลองโดยใช้ลูกดิ่งและหมุด เพื่อหาจุดศูนย์กลางมวลที่อยู่ร่วมกันของวัตถุบางที่มีความหนาแน่นสม่ำเสมอและมีรูปร่างเดียวกัน โดยยึดวัตถุไว้ด้วยหมุดที่เสียบไว้ที่จุดหนึ่งซึ่งอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางมวลที่คาดการณ์ไว้ เพื่อให้วัตถุสามารถหมุนรอบหมุดได้อย่างอิสระ จากนั้นจึงปล่อยลูกดิ่งลงมาจากหมุด (รูป ข) ลากเส้นตามตำแหน่งของลูกดิ่งบนพื้นผิว และทำซ้ำขั้นตอนเดิมโดยเสียบหมุดไว้ที่จุดอื่น (หรือหลายจุด) ที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุ จุดตัดเพียงจุดเดียวของเส้นเหล่านี้จะเป็นจุดศูนย์กลางมวล (รูป ค) หากวัตถุมีความหนาแน่นสม่ำเสมอ เส้นทั้งหมดที่ลากด้วยวิธีนี้จะผ่านจุดศูนย์กลางมวล และเส้นทั้งหมดจะตัดกันที่จุดเดียวกัน

(ก)	(ข)	(ค)

วิธีนี้สามารถขยายผล (ในทางทฤษฎี) ไปใช้กับรูปทรงเว้าที่จุดศูนย์กลางอาจอยู่นอกรูปทรง และในทางปฏิบัติกับทรงตัน (อีกครั้ง โดยมีความหนาแน่นสม่ำเสมอ) ที่จุดศูนย์กลางอาจอยู่ภายในตัววัตถุ ตำแหน่ง (เสมือน) ของเส้นดิ่งจะต้องถูกบันทึกด้วยวิธีอื่นนอกเหนือจากการลากเส้นไปตามรูปทรง

สำหรับรูปทรงนูนสองมิติ จุดศูนย์กลางมวลสามารถหาได้โดยการวางรูปทรงนั้นบนรูปทรงที่เล็กกว่า เช่น บนยอดของทรงกระบอกแคบๆ จุดศูนย์กลางมวลจะอยู่ภายในช่วงสัมผัสระหว่างรูปทรงทั้งสอง (และอยู่ตรงจุดที่รูปทรงนั้นจะสมดุลบนหมุดพอดี) ในทางทฤษฎีแล้ว สามารถใช้ทรงกระบอกที่แคบลงเรื่อยๆ เพื่อหาจุดศูนย์กลางมวลได้อย่างแม่นยำตามต้องการ ในทางปฏิบัติ กระแสลมทำให้ทำเช่นนั้นไม่ได้ อย่างไรก็ตาม โดยการทำเครื่องหมายช่วงที่ทับซ้อนกันจากจุดสมดุลหลายจุด ก็สามารถบรรลุความแม่นยำในระดับหนึ่งได้

จุดศูนย์กลางของเซตจุด จำกัด ในคือ^{[ 1 ]} จุดนี้ทำให้ผลรวมของระยะทางยูคลิดกำลังสองระหว่างตัวมันเองกับแต่ละจุดในเซตมีค่าน้อยที่สุด ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\cdots +\mathbf {x} _{k}}{k}}.}$$

จุดศูนย์กลางมวลของรูปทรงเรขาคณิตบนระนาบสามารถคำนวณได้โดยการแบ่งรูปทรงเรขาคณิตนั้นออกเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่เรียบง่ายกว่าจำนวนจำกัด จากนั้นคำนวณจุดศูนย์กลางมวลและพื้นที่ของแต่ละส่วน แล้วจึงคำนวณ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n},}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$

$${\displaystyle C_{x}={\frac {\sum _{i}{C_{i}}_{x}A_{i}}{\sum _{i}A_{i}}},\quad C_{y}={\frac {\sum _{i}{C_{i}}_{y}A_{i}}{\sum _{i}A_{i}}}.}$$

ช่องว่างในรูปทรงที่ทับซ้อนกันระหว่างส่วนต่างๆ หรือส่วนที่ยื่นออกไปนอกรูปทรง สามารถจัดการได้โดยใช้พื้นที่เชิงลบกล่าวคือ ควรใช้มาตรการที่มีเครื่องหมายบวกและลบในลักษณะที่ผลรวมของเครื่องหมายสำหรับทุกส่วนที่ล้อมรอบจุดที่กำหนดจะเป็นถ้าเป็นส่วนหนึ่งของและเป็น มิฉะนั้น ${\displaystyle X,}$${\displaystyle A_{i}.}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle 0}$

ตัวอย่างเช่น รูปด้านล่าง (a) สามารถแบ่งออกเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสามเหลี่ยมได้อย่างง่ายดาย ซึ่งทั้งสองมีพื้นที่เป็นบวก และรูวงกลมที่มีพื้นที่เป็นลบ (b)

(ก) วัตถุ 2 มิติ

(ข) วัตถุที่อธิบายโดยใช้องค์ประกอบที่เรียบง่ายกว่า

(ค) จุดศูนย์กลางมวลขององค์ประกอบต่างๆ ของวัตถุ

จุดศูนย์กลางของแต่ละส่วนสามารถพบได้ในรายการจุดศูนย์กลางของรูปทรงเรขาคณิตอย่างง่าย (c) จากนั้นจุดศูนย์กลางของรูปจะเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของจุดทั้งสาม จุดศูนย์กลางในแนวนอนนับจากขอบด้านซ้ายของรูป จะหาได้จากจุดศูนย์กลางในแนวตั้งในลักษณะเดียวกัน $${\displaystyle x={\frac {5\times 10^{2}+13.33\times {\frac {1}{2}}10^{2}-3\times \pi (2.5)^{2}}{10^{2}+{\frac {1}{2}}10^{2}-\pi (2.5)^{2}}}\approx 8.5{\text{ units}}.}$$

สูตรเดียวกันนี้ใช้ได้กับวัตถุสามมิติใดๆ ก็ได้ ยกเว้นว่าแต่ละวัตถุควรเป็นปริมาตรของวัตถุนั้น แทนที่จะเป็นพื้นที่ นอกจากนี้ยังใช้ได้กับเซตย่อยใดๆ ของเซตนั้นสำหรับทุกมิติโดยที่พื้นที่ถูกแทนที่ด้วยค่าการวัดแบบหลายมิติของส่วนต่างๆ ${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle X_{i},}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d},}$${\displaystyle d,}$${\displaystyle d}$

จุดศูนย์กลางของเซตย่อยสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรเวกเตอร์ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle C={\frac {\int xg(x)\ dx}{\int g(x)\ dx}}={\frac {\int _{X}x\ dx}{\int _{X}dx}}}$$

โดยที่อินทิกรัลจะคำนวณจากปริภูมิทั้งหมดและเป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของเซตย่อยของถ้าและมิเช่นนั้น^{[ 7 ]} โปรดทราบว่าตัวส่วนคือการวัดของเซตสูตรนี้ไม่สามารถนำไปใช้ได้หากเซตมีการวัดเป็นศูนย์ หรือหากอินทิกรัลใดอินทิกรัลหนึ่งล่ม ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\!:\ g(x)=1}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle g(x)=0}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$

อีกทางเลือกหนึ่ง สูตรพิกัดสำหรับจุดศูนย์กลางมวลถูกกำหนดดังนี้

$${\displaystyle C_{k}={\frac {\int zS_{k}(z)\ dz}{\int g(x)\ dx}},}$$

โดยที่คือพิกัดที่ ของและคือขนาดของจุดตัดระหว่างกับระนาบไฮเปอร์เพลนที่กำหนดโดยสมการ อีกครั้ง ตัวส่วนก็คือขนาดของจุดตัดนั้นเอง${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle S_{k}(z)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{k}=z.}$${\displaystyle X.}$

สำหรับรูปทรงระนาบโดยเฉพาะ พิกัดแบบแบรีเซนทริกคือ

$${\displaystyle C_{\mathrm {x} }={\frac {\int xS_{\mathrm {y} }(x)\ dx}{A}},\quad C_{\mathrm {y} }={\frac {\int yS_{\mathrm {x} }(y)\ dy}{A}},}$$

โดยที่คือพื้นที่ของรูปคือความยาวของจุดตัดระหว่างกับเส้นแนวตั้งที่จุดแกน xและคือความยาวของจุดตัดระหว่างกับเส้นแนวนอนที่จุดแกน y${\displaystyle A}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle S_{\คณิตศาสตร์ {y} }(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle S_{\คณิตศาสตร์ {x} }(y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y.}$

จุดศูนย์กลางของบริเวณที่ล้อมรอบด้วยกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องและบนช่วงเวลาจะกำหนดโดย^{[ 7 ] [ 8 ]}${\displaystyle ({\bar {x}},\;{\bar {y}})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f(x)\geq g(x)}$${\displaystyle [a,b],}$${\displaystyle a\leq x\leq b}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}&={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}x{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}\,dx,\\[5mu]{\bar {y}}&={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}f(x)+g(x){\bigr )}{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}\,dx,\end{aligned}}}$$

พื้นที่ของภูมิภาค (กำหนดโดย) คือ^{[ 9 ] [ 10 ]}${\displaystyle A}$${\textstyle \int _{a}^{b}{\bigl (}f(x)-g(x){\bigr )}dx}$

อินทิกราฟ (ซึ่งเป็นญาติกับแพลนมิเตอร์ ) สามารถใช้เพื่อหาจุดศูนย์กลางของวัตถุที่มีรูปร่างไม่สม่ำเสมอโดยมีขอบเขตเรียบ (หรือเรียบเป็นช่วงๆ) หลักการทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของกรีน^{[ 11 ]}

นี่เป็นวิธีการหาจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุรูปตัว L

1. แบ่งรูปทรงออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูป ดังแสดงในรูปที่ 2 หาจุดศูนย์กลางมวลของสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งสองโดยการลากเส้นทแยงมุม ลากเส้นตรงเชื่อมจุดศูนย์กลางมวลทั้งสอง จุดศูนย์กลางมวลของรูปทรงจะต้องอยู่บนเส้นตรงนี้${\displaystyle AB.}$
2. แบ่งรูปทรงออกเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าอีกสองรูป ดังแสดงในรูปที่ 3 หาจุดศูนย์กลางมวลของสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งสองโดยการลากเส้นทแยงมุม ลากเส้นเชื่อมจุดศูนย์กลางมวลทั้งสอง จุดศูนย์กลางมวลของรูปตัว L จะต้องอยู่บนเส้นนี้${\displaystyle CD.}$
3. เนื่องจากจุดศูนย์กลางมวลของรูปทรงจะต้องอยู่ตามแนวเส้นตรง และ จะต้องอยู่ตรงจุดตัดของเส้นตรงทั้งสองนี้ด้วย โดย จุดนั้นอาจอยู่ภายในหรือภายนอกวัตถุรูปตัว L ก็ได้${\displaystyle AB}$${\displaystyle CD,}$${\displaystyle O.}$${\displaystyle O}$

จุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยมคือจุดตัดของเส้นมัธยฐาน (เส้นที่เชื่อมจุดยอด แต่ละจุด กับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม) ^{[ 6 ]}จุดศูนย์กลางมวลแบ่งเส้นมัธยฐานแต่ละเส้นตามอัตราส่วน ซึ่งก็คือตำแหน่ง ของจุดศูนย์กลางมวล นั้น เท่ากับระยะทางจากแต่ละด้านไปยังจุดยอดตรงข้าม (ดูรูปทางด้านขวา) ^{[ 12 ] [ 13 ]}พิกัดคาร์ทีเซียน ของ จุดศูนย์กลางมวล คือค่าเฉลี่ยของพิกัดของจุดยอดทั้งสาม นั่นคือ ถ้าจุดยอดทั้งสามคือและจุดศูนย์กลางมวล ( ในที่นี้ใช้สัญลักษณ์ แต่โดยทั่วไปในเรขาคณิตของสามเหลี่ยม จะใช้สัญลักษณ์ ) คือ ${\displaystyle 2:1,}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$${\displaystyle L=(x_{L},y_{L}),}$${\displaystyle M=(x_{M},y_{M}),}$${\displaystyle N=(x_{N},y_{N}),}$${\displaystyle C}$${\displaystyle G}$

$${\displaystyle C={\tfrac {1}{3}}(L+M+N)={\bigl (}{\tfrac {1}{3}}(x_{L}+x_{M}+x_{N}),{\tfrac {1}{3}}(y_{L}+y_{M}+y_{N}){\bigr )}.}$$

ดังนั้น จุดศูนย์กลางมวลจึงอยู่ที่ในระบบพิกัดแบรีเซนทริก ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}}$

ในพิกัดสามมิติจุดศูนย์กลางสามารถแสดงได้ในรูปแบบที่เทียบเท่ากันเหล่านี้ในแง่ของความยาวด้านและมุมจุดยอด: ^{[ 14 ]}${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle L,M,N}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}C&={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ca:ab=\csc L:\csc M:\csc N\\[6pt]&=\cos L+\cos M\cdot \cos N:\cos M+\cos N\cdot \cos L:\cos N+\cos L\cdot \cos M.\end{aligned}}}$$

จุดศูนย์กลางมวล (centroid) ยังเป็นจุดศูนย์กลางมวลทางกายภาพด้วย หากสามเหลี่ยมนั้นทำจากวัสดุแผ่นเดียวกัน หรือหากมวลทั้งหมดกระจุกตัวอยู่ที่จุดยอดทั้งสามและกระจายอย่างเท่าๆ กัน ในทางกลับกัน หากมวลกระจายอยู่ตามเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมด้วยความหนาแน่นเชิงเส้น สม่ำเสมอ จุดศูนย์กลางมวลจะอยู่ที่จุดศูนย์กลางสปีกเกอร์ ( จุดศูนย์กลางภายในของสามเหลี่ยมมัธยฐาน ) ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะไม่ตรงกับจุดศูนย์กลางมวลทางเรขาคณิตของสามเหลี่ยมทั้งหมด

พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือคูณด้วยความยาวของด้านใดด้านหนึ่ง คูณด้วยระยะตั้งฉากจากด้านไปยังจุดศูนย์กลาง^{[ 15 ]}${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$

จุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมจะอยู่บนเส้นออยเลอร์ระหว่างจุดตั้งฉาก และจุดวงกลมล้อมรอบโดยอยู่ใกล้กับจุดวงกลมล้อมรอบเป็นสองเท่าของระยะห่างจากจุดตั้งฉาก: ^{[ 16 ] [ 17 ]}${\displaystyle H}$${\displaystyle O,}$

$${\displaystyle {\overline {CH}}=2{\overline {CO}}.}$$

นอกจากนี้ สำหรับจุดศูนย์กลางภายใน และจุดศูนย์กลางเก้าจุดเรายังมี ${\displaystyle I}$${\displaystyle N,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {CH}}&=4{\overline {CN}},\\[5pt]{\overline {CO}}&=2{\overline {CN}},\\[5pt]{\overline {IC}}&<{\overline {HC}},\\[5pt]{\overline {IH}}&<{\overline {HC}},\\[5pt]{\overline {IC}}&<{\overline {IO}}.\end{aligned}}}$$

ถ้าเป็นจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมแล้ว ${\displaystyle G}$${\displaystyle ABC,}$

$${\displaystyle ({\text{Area of }}\triangle ABG)=({\text{Area of }}\triangle ACG)=({\text{Area of }}\triangle BCG)={\tfrac {1}{3}}({\text{Area of }}\triangle ABC).}$$

จุดสมมาตรคู่ตรงข้ามของจุดศูนย์กลางมวลของสามเหลี่ยม คือจุด กึ่งกลางสมมาตร ของสามเหลี่ยมนั้น

เส้นมัธยฐานทั้งสามเส้นที่ผ่านจุดศูนย์กลางจะแบ่งพื้นที่ของสามเหลี่ยมออกเป็นครึ่งหนึ่ง แต่จะไม่เป็นเช่นนั้นสำหรับเส้นอื่นๆ ที่ผ่านจุดศูนย์กลาง การเบี่ยงเบนมากที่สุดจากการแบ่งพื้นที่เท่ากันจะเกิดขึ้นเมื่อเส้นที่ผ่านจุดศูนย์กลางขนานกับด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยม ทำให้เกิดสามเหลี่ยมขนาดเล็กและรูปสี่เหลี่ยมคางหมูในกรณีนี้ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูจะมีขนาดเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมเดิม^{[ 18 ]}${\displaystyle {\tfrac {5}{9}}}$

ให้เป็นจุดใดๆ ในระนาบของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดและจุดศูนย์กลางจากนั้นผลรวมของระยะทางกำลังสองของจากจุดยอดทั้งสามจะมากกว่าผลรวมของระยะทางกำลังสองของจุดศูนย์กลางจากจุดยอดเป็นสามเท่าของระยะทางกำลังสองระหว่างและ: ^{[ 19 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$

$${\displaystyle PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}=GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}+3PG^{2}.}$$

ผลรวมของกำลังสองของด้านของสามเหลี่ยมเท่ากับสามเท่าของผลรวมของกำลังสองของระยะทางจากจุดศูนย์กลางไปยังจุดยอด: ^{[ 19 ]}

$${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).}$$

จุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมคือจุดที่ทำให้ผลคูณของระยะทางที่กำหนดของจุดจากเส้นข้างของสามเหลี่ยมมีค่าสูงสุด^{[ 20 ]}

ให้เป็นรูปสามเหลี่ยม ให้เป็นจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยม และให้เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนต่างๆตามลำดับ สำหรับจุดใดๆในระนาบของ^{[ 21 ]}${\displaystyle ABC}$${\displaystyle G}$${\displaystyle D,E,F}$${\displaystyle BC,CA,AB,}$${\displaystyle P}$${\displaystyle ABC,}$

$${\displaystyle PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.}$$

จุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยม ปิดที่ไม่ตัดกันเอง ซึ่งกำหนดโดยจุดยอดคือจุด^{[ 22 ]}ที่ ${\displaystyle n}$${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\;}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\;\ldots ,\;}$${\displaystyle (x_{n-1},y_{n-1}),}$${\displaystyle (C_{x},C_{y}),}$

$${\displaystyle C_{\mathrm {x} }={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}),}$$

และ

$${\displaystyle C_{\mathrm {y} }={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}),}$$

และพื้นที่ที่มีเครื่องหมายของรูปหลายเหลี่ยมอยู่ ที่ไหน ^{[ 22 ]}ตามที่อธิบายโดยสูตรเชือกผูกรองเท้า : ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}).}$$

ในสูตรเหล่านี้ ถือว่าจุดยอดจะถูกกำหนดหมายเลขตามลำดับการปรากฏตามเส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยม นอกจากนี้ ยังถือว่าจุดยอดนั้นเป็นจุดเดียวกันกับในกรณีสุดท้าย ซึ่ง หมายความว่า จะต้องวนกลับไปที่ (หากจุดต่างๆ ถูกกำหนดหมายเลขตามเข็มนาฬิกา พื้นที่ที่คำนวณได้ตามข้างต้นจะเป็นค่าลบ อย่างไรก็ตาม พิกัดจุดศูนย์กลางจะยังคงถูกต้องแม้ในกรณีนี้) ${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$${\displaystyle (x_{0},y_{0}),}$${\displaystyle i+1}$${\displaystyle i=0.}$${\displaystyle A,}$

จุดศูนย์กลางมวลของรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ใช่รูปสามเหลี่ยมจะไม่เหมือนกับจุดศูนย์กลางมวลของจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมนั้น หากพิจารณาเฉพาะเซตของจุดยอด (เช่นเดียวกับจุดศูนย์กลางมวลของเซตของจุดจำนวนจำกัด )

จุดศูนย์กลางมวลของกรวยหรือพีระมิดจะอยู่บนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดกับจุดศูนย์กลางมวลของฐาน สำหรับกรวยหรือพีระมิดตัน จุดศูนย์กลางมวลคือระยะทางจากฐานถึงจุดยอด สำหรับกรวยหรือพีระมิดที่เป็นเพียงเปลือก (กลวง) ที่ไม่มีฐาน จุดศูนย์กลางมวลคือระยะทางจากระนาบฐานถึงจุดยอด ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$

ทรงสี่หน้าเป็นวัตถุในปริภูมิสามมิติที่มีรูปสามเหลี่ยมสี่รูปเป็นหน้าเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดของทรงสี่หน้ากับจุดศูนย์กลางมวลของหน้าตรงข้ามเรียกว่าเส้นมัธยฐานและเส้นตรงที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของขอบตรงข้ามสองขอบเรียกว่าเส้นไบมัธยฐานดังนั้นจึงมีเส้นมัธยฐานสี่เส้นและเส้นไบมัธยฐานสามเส้น เส้นตรงทั้งเจ็ดเส้นนี้มาบรรจบกันที่จุดศูนย์กลางมวลของทรงสี่หน้า^{[ 23 ]}เส้นมัธยฐานถูกแบ่งโดยจุดศูนย์กลางมวลในอัตราส่วนจุดศูนย์กลางมวลของทรงสี่หน้าคือจุดกึ่งกลางระหว่างจุด Mongeและจุดศูนย์กลางวงกลมล้อมรอบ (จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ล้อมรอบ) จุดทั้งสามนี้กำหนดเส้นออยเลอร์ของทรงสี่หน้าซึ่งคล้ายคลึงกับเส้นออยเลอร์ของรูปสามเหลี่ยม ${\displaystyle 3:1.}$

ผลลัพธ์เหล่านี้สามารถขยายไปใช้กับซิมเพล็กซ์มิติ ใดๆ ได้ ในลักษณะต่อไปนี้ ถ้าเซตของจุดยอดของซิมเพล็กซ์คือโดยพิจารณาจุดยอดเหล่านั้นเป็นเวกเตอร์จุดศูนย์กลางมวลคือ ${\displaystyle n}$${\displaystyle {v_{0},\ldots ,v_{n}},}$

$${\displaystyle C={\frac {1}{n+1}}\sum _{i=0}^{n}v_{i}.}$$

จุดศูนย์กลางทางเรขาคณิตจะตรงกับจุดศูนย์กลางมวลก็ต่อเมื่อมวลกระจายตัวอย่างสม่ำเสมอทั่วทั้งซิมเพล็กซ์ หรือกระจุกตัวอยู่ที่จุดยอดในลักษณะมวลเท่าๆ กัน ${\displaystyle n+1}$

จุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมตัน (เช่น ครึ่งหนึ่งของทรงกลมตัน) จะแบ่งส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางของทรงกลมกับขั้วของครึ่งทรงกลมนั้นออกเป็นอัตราส่วน(กล่าวคือ อยู่กึ่งกลางระหว่างจุดศูนย์กลางกับขั้ว) ส่วนจุดศูนย์กลางมวลของครึ่งทรงกลมกลวง (เช่น ครึ่งหนึ่งของทรงกลมกลวง) จะแบ่งส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดศูนย์กลางของทรงกลมกับขั้วของครึ่งทรงกลมนั้นออกเป็นครึ่งหนึ่ง ${\displaystyle 3:5}$${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}$

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "จุดศูนย์กลางทางเรขาคณิต" . MathWorld .
• สารานุกรมของศูนย์กลางสามเหลี่ยมโดย Clark Kimberling จุดศูนย์กลางถูกจัดทำดัชนีเป็น X(2)
• คุณสมบัติเฉพาะของจุดศูนย์กลางที่จุดตัดปม
• ภาพเคลื่อนไหวแบบโต้ตอบแสดงจุดศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมและการสร้างจุดศูนย์กลางโดยใช้เข็มทิศและไม้บรรทัด
• การหาค่ามัธยฐานและจุดศูนย์กลางมวลของรูปสามเหลี่ยมด้วยวิธีการทดลองในDynamic Geometry Sketchesซึ่งเป็นโปรแกรมวาดภาพเรขาคณิตแบบไดนามิกเชิงโต้ตอบ โดยใช้โปรแกรมจำลองแรงโน้มถ่วง Cinderella
• ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมและจุดศูนย์กลางมวล