ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตเชิงเส้นและการวิเคราะห์เชิงตัวเลข กระบวนการ แกรม-ชมิดท์หรืออัลกอริทึมแกรม-ชมิดท์ เป็นวิธีการค้นหาเซตของเวกเตอร์สองตัวขึ้นไปที่ตั้งฉากกัน

ตามคำจำกัดความทางเทคนิค กระบวนการแกรม-ชมิดท์ (Gram–Schmidt process) คือวิธีการสร้างฐานเชิงตั้ง ฉากปกติ (orthonormal basis ) จากเซตของเวกเตอร์ในปริภูมิผลคูณภายใน (inner product space)ซึ่งโดยทั่วไปแล้ว จะเป็นปริภูมิ ยุคลิด (Euclidean space ) ที่มีผลคูณภายในมาตรฐาน กระบวนการแกรม-ชมิดท์จะรับ เซตของเวกเตอร์ที่มีจำนวนจำกัดและเป็นอิสระเชิงเส้นสำหรับk ≤ nและสร้างเซตเชิงตั้งฉาก (orthogonal set)ที่ครอบคลุมปริภูมิย่อยมิติเดียวกันกับเซตของเวกเตอร์นั้น ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle S=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\}}$${\displaystyle S'=\{\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}\}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle S}$

วิธีการนี้ตั้งชื่อตามJørgen Pedersen GramและErhard Schmidtแต่Pierre-Simon Laplaceคุ้นเคยกับวิธีการนี้มาก่อน Gram และ Schmidt ^{[ 1 ]}ในทฤษฎีการแยกกลุ่ม Lieวิธี การนี้ได้รับการขยายความโดยการแยกกลุ่ม Iwasawa

การนำกระบวนการ Gram–Schmidt ไปใช้กับเวกเตอร์คอลัมน์ของเมทริกซ์ที่มีอันดับ คอลัมน์เต็ม จะได้การแยกส่วน QR (โดยแยกออกเป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉากและเมทริกซ์สามเหลี่ยม )

การฉายเวกเตอร์ของเวกเตอร์บนเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ถูกกำหนดดังนี้^{[หมายเหตุ 1 ]} โดยที่หมายถึงผลคูณดอทของเวกเตอร์และซึ่งหมายความว่าคือการฉายเชิงตั้งฉากของบนเส้นตรงที่เกิดจากถ้าคือเวกเตอร์ศูนย์ แล้วจะถูกกำหนดให้เป็นเวกเตอร์ศูนย์ ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$$${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {u} }(\mathbf {v} )={\frac {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }{\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle }}\,\mathbf {u} ,}$$${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {u} }(\mathbf {v} )}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {u} }(\mathbf {v} )}$

เมื่อกำหนดเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์และเป็นอิสระเชิงเส้นกระบวนการแกรม-ชมิดท์จะกำหนดเวกเตอร์ดังต่อไปนี้: ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&=\mathbf {v} _{1},&\!\mathbf {e} _{1}&={\frac {\mathbf {u} _{1}}{\|\mathbf {u} _{1}\|}}\\\mathbf {u} _{2}&=\mathbf {v} _{2}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{2}),&\!\mathbf {e} _{2}&={\frac {\mathbf {u} _{2}}{\|\mathbf {u} _{2}\|}}\\\คณิตศาสตร์ {u} _{3}&=\คณิตศาสตร์ {v} _{3}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{3})-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{2}}(\mathbf {v} _{3}),&\!\mathbf {e} _{3}&={\frac {\mathbf {u} _{3}}{\|\mathbf {u} _{3}\|}}\\\mathbf {u} _{4}&=\mathbf {v} _{4}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{4})-\operatorname {proj} _{\คณิตศาสตร์ {u} _{2}}(\mathbf {v} _{4})-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{3}}(\mathbf {v} _{4}),&\!\mathbf {e} _{4}&={\mathbf {u} _{4} \over \|\mathbf {u} _{4}\|}\\&{}\ \ \vdots &&{}\ \ \vdots \\\mathbf {u} _{k}&=\mathbf {v} _{k}-\sum _{j=1}^{k-1}\ชื่อผู้ดำเนินการ {proj} _{\mathbf {u} _{j}}(\mathbf {v} _{k}),&\!\mathbf {e} _{k}&={\frac {\mathbf {u} _{k}}{\|\mathbf {u} _{k}\|}}.\end{aligned}}}$$

ลำดับดังกล่าวเป็นระบบเวกเตอร์ตั้งฉากที่ต้องการ และเวกเตอร์ที่ถูกทำให้เป็นมาตรฐานจะก่อให้เกิดเซตเวกเตอร์ตั้งฉากปกติการคำนวณลำดับนี้เรียกว่า การทำให้เป็น เวกเตอร์ตั้งฉากแบบแกรม-ชมิดท์และการคำนวณลำดับนี้เรียกว่า การทำให้เป็น เวกเตอร์ตั้งฉากปกติแบบแกรม-ชมิดท์ ${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{k}}$

เพื่อตรวจสอบว่าสูตรเหล่านี้ให้ลำดับเชิงตั้งฉากหรือไม่ ขั้นแรกให้คำนวณโดยแทนสูตรข้างต้นลงใน: เราจะได้ศูนย์ จากนั้นใช้ค่านี้ในการคำนวณอีกครั้งโดยแทนสูตรลงใน: เราจะได้ศูนย์ สำหรับค่า ใดๆการพิสูจน์ทำได้โดยการอุปมานทางคณิตศาสตร์ ${\displaystyle \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\rangle }$${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$${\displaystyle \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{3}\rangle }$${\displaystyle \mathbf {u} _{3}}$${\displaystyle k}$

ในทางเรขาคณิต วิธีนี้ดำเนินการดังนี้: ในการคำนวณจะทำการฉายภาพตั้งฉากไปยังปริภูมิย่อยที่สร้างขึ้นโดยซึ่งก็คือปริภูมิย่อยเดียวกันกับที่สร้างขึ้นโดย จาก นั้น เวกเตอร์จะถูกกำหนดให้เป็นความแตกต่างระหว่างและการฉายภาพนี้ ซึ่งรับประกันได้ว่าจะตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งหมดในปริภูมิย่อยนั้น ${\displaystyle \mathbf {u} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{i-1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$${\displaystyle U}$

กระบวนการ Gram–Schmidt ยังใช้ได้กับลำดับอนันต์ที่นับ ได้ซึ่งเป็นอิสระเชิงเส้น { v } ด้วย ผลลัพธ์ที่ได้คือลำดับเชิงตั้งฉาก (หรือเชิงตั้งฉากปกติ) { u } ซึ่งสำหรับจำนวนธรรมชาติn นั้นช่วงพีชคณิตของจะเหมือนกับช่วง พีชคณิต ของ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}}$

หากนำกระบวนการ Gram–Schmidt ไปใช้กับลำดับที่มีความสัมพันธ์เชิงเส้น มันจะส่งออก เวกเตอร์ 0ในขั้นตอนที่ th โดยสมมติว่าเป็นผลรวมเชิงเส้นของหากต้องการสร้างฐานเชิงตั้งฉากปกติ อัลกอริทึมควรตรวจสอบหาเวกเตอร์ศูนย์ในผลลัพธ์และทิ้งไป เนื่องจากไม่มีพหุคูณของเวกเตอร์ศูนย์ใดที่มีความยาวเท่ากับ 1 จำนวนเวกเตอร์ที่ส่งออกโดยอัลกอริทึมจะมีขนาดเท่ากับมิติของปริภูมิที่ครอบคลุมโดยอินพุตดั้งเดิม ${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{i-1}}$

รูปแบบหนึ่งของกระบวนการ Gram–Schmidt ที่ใช้การเรียกซ้ำแบบอนันต์เชิงทรานส์ไฟไนต์กับลำดับเวกเตอร์อนันต์ (ซึ่งอาจนับไม่ได้) จะได้เซตของเวกเตอร์ตั้งฉากปกติที่มีคุณสมบัติว่า สำหรับทุกค่าการเติมเต็มของสแปนของจะเหมือนกับ การเติมเต็มของ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อนำไปใช้กับฐาน (พีชคณิต) ของปริภูมิฮิลเบิร์ต (หรือโดยทั่วไปแล้ว ฐานของปริภูมิย่อยหนาแน่นใดๆ) จะได้ฐานตั้งฉากปกติ (เชิงฟังก์ชัน-วิเคราะห์) โปรดทราบว่าในกรณีทั่วไป ความไม่เท่ากันอย่างเคร่งครัดมักจะเป็นจริงแม้ว่าเซตเริ่มต้นจะเป็นอิสระเชิงเส้น และสแปนของไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิย่อยของสแปนของ(แต่เป็นปริภูมิย่อยของการเติมเต็มของมัน) ${\displaystyle (v_{\alpha })_{\alpha <\lambda }}$${\displaystyle (u_{\alpha })_{\alpha <\kappa }}$${\displaystyle \kappa \leq \lambda }$${\displaystyle \alpha \leq \lambda }$${\displaystyle \{u_{\beta }:\beta <\min(\alpha ,\kappa )\}}$${\displaystyle \{v_{\beta }:\beta <\alpha \}}$${\displaystyle \kappa <\lambda }$${\displaystyle (u_{\alpha })_{\alpha <\kappa }}$${\displaystyle (v_{\alpha })_{\alpha <\lambda }}$

พิจารณาชุดเวกเตอร์ต่อไปนี้ใน(โดยใช้ผลคูณภายใน แบบดั้งเดิม ) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$$${\displaystyle S=\left\{\mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}}\right\}.}$$

ต่อไป ให้ทำการแปลงแกรม-ชมิดต์ เพื่อให้ได้ชุดเวกเตอร์ตั้งฉากกัน: $${\displaystyle \mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle \mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{2})={\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}}-\operatorname {proj} _{\left[{\begin{smallmatrix}3\\1\end{smallmatrix}}\right]}{\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}}-{\frac {8}{10}}{\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-2/5\\6/5\end{bmatrix}}.}$$

เราตรวจสอบว่าเวกเตอร์และตั้งฉากกันจริงหรือไม่ โดยสังเกตว่าถ้าผลคูณดอทของเวกเตอร์สองตัวเท่ากับ 0 แสดงว่าเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน ${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{2}}$$${\displaystyle \langle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}\rangle =\left\langle {\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}-2/5\\6/5\end{bmatrix}}\right\rangle =-{\frac {6}{5}}+{\frac {6}{5}}=0,}$$

สำหรับเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ เราสามารถทำให้เวกเตอร์เป็นเวกเตอร์หน่วยได้โดยการหารด้วยขนาดของเวกเตอร์ดังที่แสดงไว้ข้างต้น: $${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {1}{\sqrt {10}}}{\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle \mathbf {e} _{2}={\frac {1}{\sqrt {40 \over 25}}}{\begin{bmatrix}-2/5\\6/5\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {10}}}{\begin{bmatrix}-1\\3\end{bmatrix}}.}$$

ให้ เป็นผลลัพธ์ของการใช้กระบวนการแกรม-ชมิดท์กับกลุ่มเวกเตอร์ซึ่ง จะได้แผนที่${\displaystyle \operatorname {GS} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k})}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}}$${\displaystyle \operatorname {GS} \colon (\mathbb {R} ^{n})^{k}\to (\mathbb {R} ^{n})^{k}}$

มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• มันต่อเนื่อง
• เป็นการ รักษา ทิศทางในแง่ที่ว่า...${\displaystyle \operatorname {or} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k})=\operatorname {or} (\operatorname {GS} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k}))}$
• มันสลับการทำงานกับแผนที่ตั้งฉาก:

ให้เป็นเมทริกซ์ตั้งฉาก (โดยสัมพันธ์กับผลคูณภายในที่กำหนดให้) แล้วเราจะได้ว่า ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \operatorname {GS} (g(\mathbf {v} _{1}),\dots ,g(\mathbf {v} _{k}))=\left(g(\operatorname {GS} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k})_{1}),\dots ,g(\operatorname {GS} (\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{k})_{k})\right)}$$

นอกจากนี้ เวอร์ชันแบบพาราเมตริกของกระบวนการแกรม-ชมิดท์ยังให้ผลลัพธ์เป็นการหดตัวแบบดัดงอ (อย่างรุนแรง) ของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปไป ยังกลุ่มเชิงตั้งฉาก${\displaystyle \mathrm {GL} (\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle O(\mathbb {R} ^{n})}$

เมื่อนำกระบวนการนี้ไปใช้ในคอมพิวเตอร์ เวกเตอร์มักจะไม่ตั้งฉากกันอย่างสมบูรณ์เนื่องจากข้อผิดพลาดในการปัดเศษ สำหรับกระบวนการแกรม-ชมิดท์ที่อธิบายไว้ข้างต้น (บางครั้งเรียกว่า "แกรม-ชมิดท์แบบคลาสสิก") การสูญเสียความเป็นตั้งฉากนี้ร้ายแรงเป็นพิเศษ ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่ากระบวนการแกรม-ชมิดท์ (แบบคลาสสิก) นั้นไม่เสถียรทางตัวเลข ${\displaystyle \mathbf {u} _{k}}$

กระบวนการแกรม-ชมิดท์สามารถทำให้เสถียรได้ด้วยการปรับเปลี่ยนเล็กน้อย ซึ่งบางครั้งเรียกว่าแกรม-ชมิดท์แบบดัดแปลงหรือ MGS วิธีการนี้ให้ผลลัพธ์เดียวกันกับสูตรดั้งเดิมในการคำนวณเลขคณิตที่แม่นยำ และทำให้เกิดข้อผิดพลาดน้อยลงในการคำนวณเลขคณิตที่มีความแม่นยำจำกัด

แทนที่จะคำนวณเวกเตอร์u ตามที่ คำนวณไว้ $${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {v} _{k}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{k})-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{2}}(\mathbf {v} _{k})-\cdots -\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{k-1}}(\mathbf {v} _{k}),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} _{k}^{(1)}&=\mathbf {v} _{k}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{1}}(\mathbf {v} _{k}),\\\mathbf {u} _{k}^{(2)}&=\mathbf {u} _{k}^{(1)}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{2}}\left(\mathbf {u} _{k}^{(1)}\right),\\&\;\;\vdots \\\mathbf {u} _{k}^{(k-2)}&=\mathbf {u} _{k}^{(k-3)}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{k-2}}\left(\mathbf {u} _{k}^{(k-3)}\right),\\\mathbf {u} _{k}^{(k-1)}&=\mathbf {u} _{k}^{(k-2)}-\operatorname {proj} _{\mathbf {u} _{k-1}}\left(\mathbf {u} _{k}^{(k-2)}\right),\\\mathbf {e} _{k}&={\frac {\mathbf {u} _{k}^{(k-1)}}{\left\|\mathbf {u} _{k}^{(k-1)}\right\|}}\end{aligned}}}$$

วิธีการนี้ถูกนำมาใช้ในแอนิเมชันก่อนหน้านี้ โดยใช้เวกเตอร์ตัวกลางเมื่อทำการตั้งฉากกับเวกเตอร์สีน้ำเงิน ${\displaystyle \mathbf {v} '_{3}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{3}}$

ต่อไปนี้เป็นคำอธิบายเพิ่มเติมของอัลกอริธึมที่ปรับปรุงแล้วในขั้นตอนแรก เราจะสร้างเวกเตอร์โดยการลบส่วนประกอบตามทิศทางของในสูตรหลังจากขั้นตอนนี้ เราจะมีเวกเตอร์ตั้งฉากที่เราต้องการสองตัวแล้วคือแต่เรายังทำให้ตั้งฉากกับ อีกด้วยต่อไป เราจะทำให้เวกเตอร์ที่เหลือตั้งฉากกับซึ่งหมายความว่าเราคำนวณโดยการลบตอนนี้เราได้จัดเก็บเวกเตอร์ที่เวกเตอร์สามตัวแรกตั้งฉากกับ แล้วและเวกเตอร์ที่เหลือตั้งฉากกับ แล้วดังที่ควรจะชัดเจนแล้ว ขั้นตอนต่อไปคือการทำให้ ตั้งฉากกับดำเนินการในลักษณะนี้ต่อไป เราจะพบชุดเวกเตอร์ตั้งฉากทั้งหมดหากต้องการเวกเตอร์ตั้งฉากปกติ เราจะทำการทำให้เป็นเวกเตอร์หน่วยไปเรื่อยๆ เพื่อให้ตัวส่วนในสูตรการลบกลายเป็นหนึ่ง ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}^{(1)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(1)}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{k}^{(1)}:=\mathbf {v} _{k}-{\frac {\langle \mathbf {v} _{k},\mathbf {v} _{1}\rangle }{\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\rangle }}\mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1}=\mathbf {v} _{1},\mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}^{(1)}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{3}^{(1)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(1)}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{2}=\mathbf {v} _{2}^{(1)}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{3}^{(2)},\mathbf {v} _{4}^{(2)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(2)}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{k}^{(2)}:=\mathbf {v} _{k}^{(1)}-{\frac {\langle \mathbf {v} _{k}^{(1)},\mathbf {u} _{2}\rangle }{\langle \mathbf {u} _{2},\mathbf {u} _{2}\rangle }}\mathbf {u} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}^{(1)},\mathbf {v} _{3}^{(2)},\mathbf {v} _{4}^{(2)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(2)}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\mathbf {u} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{4}^{(2)},\dots ,\mathbf {v} _{n}^{(2)}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{3}=\mathbf {v} _{3}^{(2)}}$${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}}$

อัลกอริทึม MATLABต่อไปนี้เป็นการนำวิธีการสร้างเวกเตอร์ตั้งฉากปกติแบบคลาสสิกของ Gram–Schmidt มาใช้ โดยเวกเตอร์v , ..., v (คอลัมน์ของเมทริกซ์Vโดยที่V(:,j)คือเวกเตอร์ที่ th) จะถูกแทนที่ด้วยเวกเตอร์ตั้งฉากปกติ (คอลัมน์ของ) ซึ่งครอบคลุมปริภูมิย่อยเดียวกัน ${\displaystyle j}$U

ฟังก์ชัน U = gramschmidt ( V )[ n , k ] = ขนาด( V );U = ศูนย์( n , k );U (:, 1 ) = V (:, 1 ) / ปกติ( V (:, 1 ));สำหรับi = 2 : kU (:, i ) = V (:, i );สำหรับj = 1 : i - 1U (:, i ) = U (:, i ) - ( U (:, j ) '* U (:, i )) * U (:, j );จบU (:, i ) = U (:, i ) / norm ( U (:, i ));จบจบ

ต้นทุนของอัลกอริทึมนี้คือการดำเนินการจุดลอยตัวแบบอสิ มโทติก O( nk ² )โดยที่nคือมิติของเวกเตอร์^{[ 2 ]}

ถ้าแถว{ v , ..., v }ถูกเขียนเป็นเมทริกซ์การใช้การกำจัดแบบเกาส์เซียนกับเมทริกซ์เสริมจะสร้างเวกเตอร์ตั้งฉากแทนอย่างไรก็ตาม เมทริกซ์จะต้องถูกแปลงเป็นรูปแบบขั้นบันไดแถวโดยใช้เพียงการดำเนินการแถวของการบวกผลคูณสเกลาร์ของแถวหนึ่งกับอีกแถวหนึ่ง^{[ 3 ]}ตัวอย่างเช่น เมื่อพิจารณาดังข้างต้น เราจะได้ ${\displaystyle A}$${\displaystyle \left[AA^{\mathsf {T}}|A\right]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AA^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{bmatrix}3&1\end{bmatrix}},\mathbf {v} _{2}={\begin{bmatrix}2&2\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle \left[AA^{\mathsf {T}}|A\right]=\left[{\begin{array}{rr|rr}10&8&3&1\\8&8&2&2\end{array}}\right]}$$

และการลดรูปนี้ให้เป็นรูปแบบขั้นบันไดแถวจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ $${\displaystyle \left[{\begin{array}{rr|rr}1&.8&.3&.1\\0&1&-.25&.75\end{array}}\right]}$$

เวกเตอร์ที่ถูกทำให้เป็นหน่วยก็จะเป็น ดังตัวอย่างข้างต้น $${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {1}{\sqrt {.3^{2}+.1^{2}}}}{\begin{bmatrix}.3&.1\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {10}}}{\begin{bmatrix}3&1\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle \mathbf {e} _{2}={\frac {1}{\sqrt {.25^{2}+.75^{2}}}}{\begin{bmatrix}-.25&.75\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {10}}}{\begin{bmatrix}-1&3\end{bmatrix}},}$$

ผลลัพธ์ของกระบวนการแกรม-ชมิดท์สามารถแสดงได้ในรูปสูตรที่ไม่ใช้การเวียนเกิด โดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์

$${\displaystyle \mathbf {e} _{j}={\frac {1}{\sqrt {D_{j-1}D_{j}}}}{\begin{vmatrix}\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{1}\rangle \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{2}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{j-1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{j-1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{j-1}\rangle \\\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{j}\end{vmatrix}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {u} _{j}={\frac {1}{D_{j-1}}}{\begin{vmatrix}\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{1}\rangle \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{2}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{j-1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{j-1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{j-1}\rangle \\\mathbf {v} _{1}&\mathbf {v} _{2}&\cdots &\mathbf {v} _{j}\end{vmatrix}}}$$

โดยที่และ สำหรับคือตัวกำหนดแกรม${\displaystyle D_{0}=1}$${\displaystyle j\geq 1}$${\displaystyle D_{j}}$

$${\displaystyle D_{j}={\begin{vmatrix}\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{1}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{1}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{1}\rangle \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{2}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{2}\rangle \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{j}\rangle &\langle \mathbf {v} _{2},\mathbf {v} _{j}\rangle &\cdots &\langle \mathbf {v} _{j},\mathbf {v} _{j}\rangle \end{vmatrix}}.}$$

โปรดทราบว่านิพจน์สำหรับเป็นดีเทอร์มิแนนต์ "เชิงรูปแบบ" กล่าวคือ เมทริกซ์ประกอบด้วยทั้งสเกลาร์และเวกเตอร์ ความหมายของนิพจน์นี้ถูกกำหนดให้เป็นผลลัพธ์ของการขยายโคแฟกเตอร์ตามแนวแถวของเวกเตอร์ ${\displaystyle \mathbf {u} _{k}}$

สูตรหาค่าดีเทอร์มิแนนต์ของวิธีแกรม-ชมิดต์นั้นใช้เวลาในการคำนวณช้ากว่า (แบบเลขชี้กำลัง) เมื่อเทียบกับอัลกอริธึมแบบเรียกซ้ำที่อธิบายไว้ข้างต้น โดยส่วนใหญ่แล้วจึงมีประโยชน์ในเชิงทฤษฎีเท่านั้น

เมื่อแสดงโดยใช้สัญลักษณ์ที่ใช้ในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตผลลัพธ์ที่ไม่ปกติของกระบวนการ Gram–Schmidt สามารถแสดงได้ดังนี้ ซึ่งเทียบเท่ากับนิพจน์ที่ใช้ตัวดำเนินการที่กำหนดไว้ข้างต้น ผลลัพธ์สามารถแสดงได้เทียบเท่าดังนี้^{[ 4 ]} ซึ่งมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับนิพจน์ที่ใช้ดีเทอร์มิแนนต์ข้างต้น $${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {v} _{k}-\sum _{j=1}^{k-1}(\mathbf {v} _{k}\cdot \mathbf {u} _{j})\mathbf {u} _{j}^{-1}\ ,}$$${\displaystyle \operatorname {proj} }$$${\displaystyle \mathbf {u} _{k}=\mathbf {v} _{k}\wedge \mathbf {v} _{k-1}\wedge \cdot \cdot \cdot \wedge \mathbf {v} _{1}(\mathbf {v} _{k-1}\wedge \cdot \cdot \cdot \wedge \mathbf {v} _{1})^{-1},}$$

อัลกอริทึมการสร้างเวกเตอร์ ตั้งฉากอื่นๆใช้การแปลง Householderหรือการหมุน Givensอัลกอริทึมที่ใช้การแปลง Householder มีเสถียรภาพมากกว่ากระบวนการ Gram–Schmidt ที่มีเสถียรภาพ ในทางกลับกัน กระบวนการ Gram–Schmidt จะสร้างเวกเตอร์ตั้งฉากที่ i หลังจากรอบการทำซ้ำที่ i ในขณะที่การสร้างเวกเตอร์ตั้งฉากโดยใช้การสะท้อน Householderจะสร้างเวกเตอร์ทั้งหมดในตอนท้ายเท่านั้น ทำให้มีเพียงกระบวนการ Gram–Schmidt เท่านั้นที่สามารถนำไปใช้กับวิธีการวนซ้ำเช่นการวนซ้ำของ Arnoldiได้ ${\displaystyle j}$${\displaystyle j}$

อีกทางเลือกหนึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากการใช้การแยกส่วนแบบ Choleskyเพื่อหาเมทริกซ์ผกผันของสมการปกติในวิธีการกำลังสองน้อยที่สุดเชิงเส้น ให้เป็น เมทริกซ์ที่ มีอันดับคอลัมน์เต็มซึ่งคอลัมน์จำเป็นต้องตั้งฉากกัน เมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนและเป็นบวกแน่นอนดังนั้นจึงสามารถเขียนได้โดยใช้การแยกส่วนแบบ Choleskyเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างที่มีค่าแนวทแยงเป็นบวกอย่างเคร่งครัดนั้น สามารถหาเมทริกซ์ผกผัน ได้จากนั้นคอลัมน์ของเมทริกซ์จะเป็นออร์โทนอร์มอลและครอบคลุมปริภูมิย่อยเดียวกันกับคอลัมน์ของเมทริกซ์ดั้งเดิมการใช้ผลคูณอย่างชัดเจน ทำให้ขั้นตอนวิธีไม่เสถียร โดยเฉพาะอย่างยิ่งหาก ค่าสภาพของผลคูณมีขนาดใหญ่ อย่างไรก็ตาม ขั้นตอนวิธีนี้ถูกนำไปใช้ในทางปฏิบัติและนำไปใช้ในซอฟต์แวร์บางแพ็กเกจเนื่องจากมีประสิทธิภาพสูงและเรียบง่าย ${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}V}$${\displaystyle V^{*}V=LL^{*},}$${\displaystyle L}$${\displaystyle U=V\left(L^{-1}\right)^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V^{*}V}$

ในกลศาสตร์ควอนตัมมีแผนการตั้งฉากหลายแบบที่มีลักษณะที่เหมาะสมกับการใช้งานบางอย่างมากกว่า Gram–Schmidt ดั้งเดิม อย่างไรก็ตาม มันยังคงเป็นอัลกอริทึมที่เป็นที่นิยมและมีประสิทธิภาพแม้กระทั่งสำหรับการคำนวณโครงสร้างอิเล็กตรอนที่ใหญ่ที่สุด^{[ 5 ]}

การตั้งฉากแบบ Gram-Schmidt สามารถทำได้ในเวลาพหุนามที่แข็งแกร่งการวิเคราะห์เวลาการทำงานคล้ายกับการกำจัดแบบเกาส์เซียน [ ^{6 ] : 40}

• พีชคณิตเชิงเส้น
• การเรียกซ้ำ
• ความตั้งฉาก (คณิตศาสตร์)

• Bau III, David; Trefethen, Lloyd N. (1997), พีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลข , ฟิลาเดลเฟีย: สมาคมคณิตศาสตร์อุตสาหกรรมและประยุกต์, ISBN 978-0-89871-361-9.
• Golub, Gene H. ; Van Loan, Charles F. (1996), การคำนวณเมทริกซ์ (ฉบับที่ 3), Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9.
• เกรุบ, เวอร์เนอร์ (1975), พีชคณิตเชิงเส้น (ฉบับที่ 4), สปริงเกอร์.
• Soliverez, CE; Gagliano, E. (1985), "Orthonormalization on the plane: a geometric approach" (PDF) , Mex. J. Phys. , 31 (4): 743– 758, เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2014-03-07 , เรียกดูเมื่อ2013-06-22.

• "การตั้งฉาก" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• บทเรียนคณิตศาสตร์จากวิทยาลัยฮาร์วีย์ มัดด์ เกี่ยวกับอัลกอริทึมแกรม-ชมิดต์
• การใช้คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์บางคำที่เก่าแก่ที่สุดเท่าที่ทราบ: Gบทความ "Gram-Schmidt orthogonalization" มีข้อมูลและแหล่งอ้างอิงเกี่ยวกับที่มาของวิธีการนี้
• การสาธิต: กระบวนการแกรม-ชมิดท์ในระนาบและกระบวนการแกรม-ชมิดท์ในอวกาศ
• แอปเพล็ตการสร้างความตั้งฉากแบบแกรม-ชมิดท์
• รูทีน NAG Gram–Schmidt สำหรับการสร้างเวกเตอร์ตั้งฉาก n ตัวที่มีอันดับ m
• หลักฐาน: Raymond Puzio, Keenan Kidwell. "หลักฐานของอัลกอริทึมการตั้งฉากแบบ Gram-Schmidt" (เวอร์ชัน 8). PlanetMath.org.