ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตเชิงเส้นฐานเชิงตั้งฉากปกติสำหรับปริภูมิผลคูณภายใน${\displaystyle V}$มิติที่จำกัดเป็นพื้นฐานสำหรับ${\displaystyle V}$เวกเตอร์เหล่านี้เป็น เวกเตอร์ ตั้งฉากกันกล่าวคือ เวกเตอร์ทั้งหมดเป็นเวกเตอร์หน่วยและตั้งฉากกัน^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}ตัวอย่างเช่นฐานมาตรฐานสำหรับปริภูมิยุคลิด${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$เป็นฐานออร์โทนอร์มอล โดยที่ผลคูณภายในที่เกี่ยวข้องคือผลคูณดอทของเวกเตอร์ภาพของฐานมาตรฐานภายใต้การหมุนหรือการสะท้อน (หรือการแปลงเชิงตั้งฉาก ใดๆ ) ก็เป็นฐานออร์โทนอร์มอลเช่นกัน และฐานออร์โทนอร์มอลทุกฐานสำหรับ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$เกิดขึ้นในลักษณะนี้ ฐานออร์โทนอร์มอลสามารถได้มาจากฐานออร์โทนอร์มอลผ่าน กระบวนการ ทำให้ เป็นมาตรฐานการเลือกจุดกำเนิดและฐานเชิงตั้งฉากปกติจะก่อให้เกิดกรอบพิกัดที่เรียกว่า กรอบเชิง ตั้งฉากปกติ

สำหรับพื้นที่ผลคูณภายในทั่วไป${\displaystyle V,}$ฐานออร์โทนอร์มอลสามารถใช้เพื่อกำหนดพิกัดออร์โทนอร์มอล แบบนอร์มัลไล ซ์บน${\displaystyle V.}$ภายใต้พิกัดเหล่านี้ ผลคูณภายในจะกลายเป็นผลคูณจุดของเวกเตอร์ ดังนั้น การมีฐานเชิงตั้งฉากช่วยลดการศึกษา ปริภูมิผลคูณภายใน มิติจำกัดให้เหลือเพียงการศึกษา${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ภายใต้ผลคูณดอท ปริภูมิผลคูณภายในมิติจำกัดทุกปริภูมิจะมีฐานเชิงตั้งฉากปกติ ซึ่งสามารถหาได้จากฐานใดๆ โดยใช้กระบวนการแกรม-ชมิดท์

ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันแนวคิดของฐานตั้งฉากปกติสามารถขยายไปสู่ปริภูมิผลคูณภายใน แบบใด ก็ได้ (มิติอนันต์) ^{[ 4 ]}เมื่อกำหนดปริภูมิพรี-ฮิลเบิร์ต${\displaystyle H,}$ฐานตั้งฉากปกติสำหรับ${\displaystyle H}$เป็นเซตของเวกเตอร์ตั้งฉากปกติที่มีคุณสมบัติว่าเวกเตอร์ทุกตัวในเซตนี้${\displaystyle H}$สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นอนันต์ของเวกเตอร์ในฐาน ในกรณีนี้ ฐานเชิงตั้งฉากปกติบางครั้งเรียกว่าฐานฮิลเบิร์ตสำหรับ${\displaystyle H.}$โปรดทราบว่าฐานออร์โทนอร์มอลในความหมายนี้โดยทั่วไปไม่ใช่ฐานฮาเมลเนื่องจากต้องใช้การรวมเชิงเส้นอนันต์^{[ 5 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งช่วงเชิงเส้นของฐานจะต้องหนาแน่นใน${\displaystyle H,}$แม้ว่าจะไม่ใช่พื้นที่ทั้งหมดก็ตาม

ถ้าเราพิจารณาถึงปริภูมิฮิลเบิร์ต เซตของเวกเตอร์ที่ไม่ตั้งฉากกันซึ่งมีช่วงเชิงเส้นเดียวกันกับฐานตั้งฉากกัน อาจไม่ใช่ฐานเลยก็ได้ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันใดๆ ที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้บนช่วง${\displaystyle [-1,1]}$สามารถแสดงได้ ( เกือบทุกที่ ) ในรูปผลรวมอนันต์ของพหุนามเลอจองเดอร์ (ฐานเชิงตั้งฉากปกติ) แต่ไม่จำเป็นต้องอยู่ในรูปผลรวมอนันต์ของเอกนามเสมอ ไป${\displaystyle x^{n}.}$

การวางนัยทั่วไปอีกแบบหนึ่งคือปริภูมิผลคูณภายในเทียม ซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด${\displaystyle M}$มาพร้อมกับ รูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรที่ไม่เสื่อมสภาพที่เรียกว่าเทนเซอร์เมตริกในฐานดังกล่าว เมตริกจะมีรูปแบบดังนี้${\displaystyle {\text{diag}}(+1,\cdots ,+1,-1,\cdots ,-1)}$กับ${\displaystyle p}$ในแง่บวกและ${\displaystyle q}$ในแง่ลบ

• สำหรับ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$เซตของเวกเตอร์${\displaystyle \left\{\mathbf {e_{1}} ={\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}}\ ,\ \mathbf {e_{2}} ={\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}}\ ,\ \mathbf {e_{3}} ={\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}}\right\},}$เรียกว่าฐานมาตรฐานและเป็นฐานตั้งฉากปกติของ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$โดยคำนึงถึงผลคูณดอทมาตรฐาน โปรดทราบว่าทั้งฐานมาตรฐานและผลคูณดอทมาตรฐานต่างก็อาศัยการมอง${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$เช่นเดียวกับผลคูณคาร์ทีเซียน${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$

  พิสูจน์:การคำนวณอย่างง่ายแสดงให้เห็นว่าผลคูณภายในของเวกเตอร์เหล่านี้เท่ากับศูนย์${\displaystyle \left\langle \mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{3}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\rangle =0}$และขนาดของแต่ละค่าเท่ากับหนึ่ง${\displaystyle \left\|\mathbf {e_{1}} \right\|=\left\|\mathbf {e_{2}} \right\|=\left\|\mathbf {e_{3}} \right\|=1.}$หมายความว่า${\displaystyle \left\{\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\}}$เป็นเซตออร์โทนอร์มอล เวกเตอร์ทั้งหมด${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )\in \mathbb {R} ^{3}}$สามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของเวกเตอร์ฐานที่ปรับขนาดแล้ว$${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=\mathbf {xe_{1}} +\mathbf {ye_{2}} +\mathbf {ze_{3}} ,}$$ดังนั้น${\displaystyle \left\{\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\}}$ช่วง${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$และด้วยเหตุนี้จึงต้องเป็นฐาน นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ว่าฐานมาตรฐานที่หมุนรอบแกนที่ผ่านจุดกำเนิดหรือสะท้อนในระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดก็เป็นฐานตั้งฉากปกติของ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

• สำหรับ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ฐานมาตรฐานและผลคูณภายในได้รับการกำหนดในทำนองเดียวกัน ฐานออร์โทนอร์มอลอื่นๆ ใดๆ ก็ตามมีความสัมพันธ์กับฐานมาตรฐานโดยการแปลงเชิงตั้งฉากในกลุ่ม O(n)
• สำหรับปริภูมิแบบยูคลิดเทียม${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q},}$ฐานเชิงตั้งฉาก${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$ด้วยเมตริก${\displaystyle \eta }$แต่กลับทำให้พึงพอใจ${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=0}$ถ้า${\displaystyle \mu \neq \nu }$,${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\mu })=+1}$ถ้า${\displaystyle 1\leq \mu \leq p}$, และ${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\mu })=-1}$ถ้า${\displaystyle p+1\leq \mu \leq p+q}$ฐานตั้งฉากปกติสองฐานใดๆ จะมีความสัมพันธ์กันโดยการแปลงแบบตั้งฉากเสมือน ในกรณีนี้${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$นี่คือการแปลงลอเรนซ์
• ชุด${\displaystyle \left\{f_{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$กับ${\displaystyle f_{n}(x)=\exp(2\pi inx),}$ที่ไหน${\displaystyle \exp }$หมายถึงฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งเป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติของปริภูมิฟังก์ชันที่มีปริพันธ์เลเบสจำกัด${\displaystyle L^{2}([0,1]),}$โดยคำนึงถึงค่า 2-นอร์มนี่เป็นพื้นฐานสำคัญในการศึกษาอนุกรมฟูริเยร์
• ชุด${\displaystyle \left\{e_{b}:b\in B\right\}}$กับ${\displaystyle e_{b}(c)=1}$ถ้า${\displaystyle b=c}$และ${\displaystyle e_{b}(c)=0}$มิฉะนั้นจะก่อให้เกิดฐานตั้งฉากปกติของ${\displaystyle \ell ^{2}(B).}$
• ฟังก์ชั่นเฉพาะของปัญหาลักษณะเฉพาะของ Sturm – Liouville
• เวกเตอร์คอลัมน์ของเมทริกซ์เชิงตั้งฉากจะประกอบกันเป็นเซตเชิงตั้งฉากปกติ

ถ้า${\displaystyle B}$เป็นฐานเชิงตั้งฉากของ${\displaystyle H,}$จากนั้นทุกองค์ประกอบ${\displaystyle x\in H}$อาจเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle x=\sum _{b\in B}{\frac {\langle x,b\rangle }{\lVert b\rVert ^{2}}}b.}$$

เมื่อไร${\displaystyle B}$เป็นเวกเตอร์ตั้งฉากปกติ ซึ่งทำให้ง่ายขึ้นเป็น $${\displaystyle x=\sum _{b\in B}\langle x,b\rangle b}$$ และกำลังสองของบรรทัดฐานของ${\displaystyle x}$สามารถมอบให้ได้โดย $${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{b\in B}|\langle x,b\rangle |^{2}.}$$

ถึงแม้ว่า${\displaystyle B}$เนื่องจากเป็นจำนวนนับไม่ได้ จึงมีเพียงจำนวนนับได้ของพจน์ในผลรวมนี้เท่านั้นที่จะไม่เป็นศูนย์ และด้วยเหตุนี้นิพจน์จึงมีความหมายที่ชัดเจน ผลรวมนี้เรียกอีกอย่างว่าการขยายอนุกรมฟูริเยร์ของ${\displaystyle x,}$และสูตรนี้โดยทั่วไปรู้จักกันในชื่อเอกลักษณ์ของปาร์เซวัล (Parseval's identity )

ถ้า${\displaystyle B}$ เป็นฐานตั้งฉากปกติของ${\displaystyle H,}$แล้ว${\displaystyle H}$มีโครงสร้างเหมือนกับ${\displaystyle \ell ^{2}(B)}$ในความหมายต่อไปนี้: มีแผนที่เชิงเส้นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ทั่วถึงอยู่${\displaystyle \Phi :H\to \ell ^{2}(B)}$โดยที่ $${\displaystyle \langle \Phi (x),\Phi (y)\rangle =\langle x,y\rangle \ \ \forall \ x,y\in H.}$$

ชุดหนึ่ง${\displaystyle S}$ของเวกเตอร์ตั้งฉากซึ่งกันและกันในปริภูมิฮิลเบิร์ต${\displaystyle H}$เรียกว่าระบบออร์โทนอร์มอล ฐานออร์โทนอร์มอลคือระบบออร์โทนอร์มอลที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมคือช่วงเชิงเส้นของ${\displaystyle S}$มีความหนาแน่นใน${\displaystyle H}$[ ^{6 ] หรืออีกทาง หนึ่ง}ชุด${\displaystyle S}$อาจถือได้ว่าสมบูรณ์หรือไม่สมบูรณ์ในส่วนที่เกี่ยวกับ${\displaystyle H}$นั่นคือ เราสามารถเลือกปริภูมิย่อยเชิงเส้นปิดที่เล็กที่สุดได้${\displaystyle V\subseteq H}$ประกอบด้วย${\displaystyle S.}$แล้ว${\displaystyle S}$จะเป็นฐานตั้งฉากปกติของ${\displaystyle V;}$ซึ่งอาจมีขนาดเล็กกว่าได้แน่นอน${\displaystyle H}$ตัวมันเองเป็น เซตออร์โทนอร์มอล ที่ไม่สมบูรณ์หรือเป็น${\displaystyle H,}$เมื่อเป็นเซตออร์โทนอร์มอลที่สมบูรณ์

โดยใช้ทฤษฎีบทของ Zornและกระบวนการ Gram–Schmidt (หรือพูดง่ายๆ ก็คือ การเรียงลำดับที่ดีและการเรียกซ้ำแบบอนันต์) เราสามารถแสดงได้ว่าทุกปริภูมิฮิลเบิร์ตยอมรับฐานตั้งฉากปกติ^{[ 7 ]}ยิ่งไปกว่านั้น ฐานตั้งฉากปกติสองฐานใดๆ ของปริภูมิเดียวกันจะมีขนาด เท่ากัน (สามารถพิสูจน์ได้ในลักษณะที่คล้ายกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทมิติปกติสำหรับปริภูมิเวกเตอร์โดยมีกรณีแยกต่างหากขึ้นอยู่กับว่าฐานที่มีขนาดใหญ่กว่านั้นสามารถนับได้หรือไม่) ปริภูมิฮิลเบิร์ตสามารถแยกได้ก็ต่อเมื่อมันยอมรับ ฐานตั้งฉากปกติ ที่นับได้ (สามารถพิสูจน์ข้อความสุดท้ายนี้ได้โดยไม่ต้องใช้สัจพจน์ของการเลือกอย่างไรก็ตาม จะต้องใช้สัจพจน์ของการเลือกที่นับได้ )

เพื่อให้เห็นภาพชัดเจน เราจะกล่าวถึงฐานเชิงตั้งฉากปกติสำหรับจำนวนจริง${\displaystyle n}$ปริภูมิเวกเตอร์มิติ${\displaystyle V}$ด้วยรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรบวกแน่นอน${\displaystyle \phi =\langle \cdot ,\cdot \rangle }$.

วิธีหนึ่งในการมองฐานออร์โทนอร์มอลโดยสัมพันธ์กับ${\displaystyle \phi }$คือชุดของเวกเตอร์${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{i}\}}$ซึ่งทำให้เราสามารถเขียนได้${\displaystyle v=v^{i}e_{i}\ \ \forall \ v\in V}$, และ${\displaystyle v^{i}\in \mathbb {R} }$หรือ${\displaystyle (v^{i})\in \mathbb {R} ^{n}}$โดยพิจารณาจากพื้นฐานนี้ ส่วนประกอบของ${\displaystyle \phi }$ง่ายเป็นพิเศษ:${\displaystyle \phi (e_{i},e_{j})=\delta _{ij}}$(ที่ไหน${\displaystyle \delta _{ij}}$คือเดลต้าโครเนกเกอร์ )

ตอนนี้เราสามารถมองเห็นพื้นฐานนั้นในรูปแบบแผนที่ได้แล้ว${\displaystyle \psi _{\mathcal {B}}:V\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของปริภูมิผลคูณภายใน: เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น เราสามารถเขียนได้ว่า

${\displaystyle \psi _{\mathcal {B}}:(V,\phi )\rightarrow (\mathbb {R} ^{n},\delta _{ij}).}$

เราสามารถเขียนได้อย่างชัดเจน${\displaystyle (\psi _{\mathcal {B}}(v))^{i}=e^{i}(v)=\phi (e_{i},v)}$ที่ไหน${\displaystyle e^{i}}$คือองค์ประกอบฐานคู่ของ${\displaystyle e_{i}}$.

ส่วนกลับคือแผนที่ส่วนประกอบ

${\displaystyle C_{\mathcal {B}}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V,(v^{i})\mapsto \sum _{i=1}^{n}v^{i}e_{i}.}$

คำจำกัดความเหล่านี้แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่ามีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง

${\displaystyle \{{\text{Space of orthogonal bases }}{\mathcal {B}}\}\leftrightarrow \{{\text{Space of isomorphisms }}V\leftrightarrow \mathbb {R} ^{n}\}.}$

พื้นที่ของไอโซมอร์ฟิซึมยอมรับการกระทำของกลุ่มเชิงตั้งฉากที่จุดใดจุดหนึ่ง${\displaystyle V}$ด้านข้างหรือด้านใดด้านหนึ่ง${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ด้านข้าง เพื่อความชัดเจน เรากำหนดให้ไอโซมอร์ฟิซึมชี้ไปในทิศทางนั้น${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow V}$และพิจารณาพื้นที่ของแผนที่ดังกล่าว${\displaystyle {\text{Iso}}(\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V)}$.

พื้นที่นี้อนุญาตให้กลุ่มไอโซเมตรีทำการกระทำทางซ้ายได้${\displaystyle V}$นั่นคือ${\displaystyle R\in {\text{GL}}(V)}$โดยที่${\displaystyle \phi (\cdot ,\cdot )=\phi (R\cdot ,R\cdot )}$โดยมีการกระทำที่กำหนดโดยองค์ประกอบ:${\displaystyle R*C=R\circ C.}$

พื้นที่นี้ยังยอมรับการกระทำที่ถูกต้องโดยกลุ่มของไอโซเมตรีของ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$นั่นคือ${\displaystyle R_{ij}\in {\text{O}}(n)\subset {\text{Mat}}_{n\times n}(\mathbb {R} )}$โดยการกระทำนั้นเกิดขึ้นจากองค์ประกอบอีกครั้ง:${\displaystyle C*R_{ij}=C\circ R_{ij}}$.

เซตของฐานออร์โทนอร์มอลสำหรับ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$โดยที่ผลคูณภายในมาตรฐานเป็นปริภูมิเอกพันธุ์หลักหรือ G-torsor สำหรับกลุ่มออร์โธโกนอล${\displaystyle G={\text{O}}(n),}$และเรียกว่าท่อร่วมสติเฟล (Stiefel manifold)${\displaystyle V_{n}(\mathbb {R} ^{n})}$ของออร์โธนอร์มอล${\displaystyle n}$- เฟรม^{[ 8 ]}

กล่าวอีกนัยหนึ่ง พื้นที่ของฐานตั้งฉากปกติ (orthonormal bases) คล้ายกับกลุ่มตั้งฉาก (orthogonal group) แต่ไม่มีการเลือกจุดฐาน: เมื่อกำหนดพื้นที่ของฐานตั้งฉากปกติแล้ว จะไม่มีการเลือกฐานตั้งฉากปกติที่เป็นธรรมชาติ แต่เมื่อกำหนดฐานตั้งฉากปกติแล้ว จะมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างฐานและกลุ่มตั้งฉากปกติ กล่าวโดยเฉพาะเจาะจง ฟังก์ชันเชิงเส้นจะถูกกำหนดโดยตำแหน่งที่ส่งฐานที่กำหนดไป: เช่นเดียวกับฟังก์ชันผกผันที่สามารถนำฐานใดๆ ไปยังฐานอื่นได้ ฟังก์ชันตั้งฉากก็สามารถนำ ฐาน ตั้งฉาก ใดๆ ไปยัง ฐานตั้งฉากอื่นได้เช่นกัน

ท่อร่วมสติเฟลอื่นๆ${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$สำหรับ${\displaystyle k<n}$มีฐานออร์โธนอร์มอลที่ไม่สมบูรณ์ (ออร์โธนอร์มอล${\displaystyle k}$-เฟรม) ยังคงเป็นปริภูมิเอกพันธุ์สำหรับกลุ่มออร์โธโกนอล แต่ไม่ใช่ ปริภูมิเอกพันธุ์ หลัก : ใดๆ${\displaystyle k}$-สามารถนำเฟรมไปใช้กับที่อื่นได้${\displaystyle k}$- กำหนดกรอบโดยแผนที่เชิงตั้งฉาก แต่แผนที่นี้ไม่ได้ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง

• เซตของฐานออร์โทนอร์มอลสำหรับ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$เป็น G-torsor สำหรับ${\displaystyle G={\text{O}}(p,q)}$.
• เซตของฐานออร์โทนอร์มอลสำหรับ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$เป็น G-torsor สำหรับ${\displaystyle G={\text{U}}(n)}$.
• เซตของฐานออร์โทนอร์มอลสำหรับ${\displaystyle \mathbb {C} ^{p,q}}$เป็น G-torsor สำหรับ${\displaystyle G={\text{U}}(p,q)}$.
• เซตของฐานออร์โทนอร์มอลมือขวาสำหรับ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$เป็น G-torsor สำหรับ${\displaystyle G={\text{SO}}(n)}$

• ฐานเชิงตั้งฉาก– ฐานที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ที่ตั้งฉากซึ่งกันและกัน 
• ฐาน (พีชคณิตเชิงเส้น) – เซตของเวกเตอร์ที่ใช้กำหนดพิกัด 
• กรอบออร์โทนอร์มอล– พื้นที่ยูคลิดที่ไม่มีระยะทางและมุม 
• พื้นฐาน Schauder – เครื่องมือคำนวณ 
• ชุดทั้งหมด

• โพสต์ Stack Exchangeนี้กล่าวถึงเหตุผลว่าทำไมเซตของฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac จึงไม่ใช่ฐานของ L ² ([0,1])