ในทางคณิตศาสตร์นอร์ม(norm)คือฟังก์ชันจากปริภูมิเวกเตอร์ จำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน ไปยังจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ ซึ่งมีพฤติกรรมบางอย่างคล้ายกับระยะทางจากจุดกำเนิด กล่าวคือสลับ ที่ได้ กับการปรับขนาด เป็นไปตามอสมการสามเหลี่ยม รูปแบบหนึ่ง และมีค่าเป็นศูนย์เฉพาะที่จุดกำเนิดเท่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งระยะทางแบบยุคลิดในปริภูมิแบบยุคลิดถูกกำหนดโดยนอร์มบนปริภูมิเวกเตอร์แบบยุคลิด ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งเรียกว่านอร์มแบบยุคลิดนอร์ม2หรือบางครั้งเรียกว่าขนาดหรือความยาวของเวกเตอร์ นอร์มนี้สามารถกำหนดได้ว่าเป็นรากที่สองของผลคูณภายในของเวกเตอร์กับตัวมันเอง

เซมินอร์มมีคุณสมบัติสองประการแรกของนอร์ม แต่อาจเป็นศูนย์สำหรับเวกเตอร์อื่นที่ไม่ใช่จุดกำเนิด^{[ 1 ]}ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีนอร์มที่กำหนดเรียกว่าปริภูมิเวกเตอร์นอร์มในทำนองเดียวกัน ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีเซมินอร์มเรียกว่าปริภูมิเวกเตอร์เซมินอร์ม

คำว่าpseudonormถูกใช้ในความหมายที่เกี่ยวข้องหลายประการ อาจเป็นคำพ้องความหมายของ "seminorm" ^{[ 1 ]}นอกจากนี้ยังอาจหมายถึงนอร์มที่สามารถรับค่าอนันต์ได้^{[ 2 ]}หรือฟังก์ชันบางอย่างที่กำหนดพารามิเตอร์โดยเซตทิศทาง^{[ 3 ]}

เมื่อกำหนดปริมาณเวกเตอร์ เหนือฟิลด์ย่อยของจำนวนเชิงซ้อน ค่าบรรทัดฐานบนคือฟังก์ชันค่าจริงที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ โดยที่หมายถึงค่าสัมบูรณ์ ปกติ ของสเกลาร์: ^{[ 4 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle |s|}$${\displaystyle s}$

1. อสมการย่อยบวก / อสมการสามเหลี่ยม : สำหรับทุก${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$${\displaystyle x,y\in X.}$
2. ความเป็นเนื้อเดียวกันอย่างสมบูรณ์ : สำหรับทุกค่าและทุกค่าสเกลาร์${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle s.}$
3. ความแน่นอนเชิงบวก / ความเป็นบวก^{[ 5 ]} /การแยกจุด :สำหรับทุกถ้าแล้ว${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle p(x)=0,}$${\displaystyle x=0.}$
   • เนื่องจากคุณสมบัติ (2.) บ่งชี้ว่าผู้เขียนบางคนแทนที่คุณสมบัติ (3.) ด้วยเงื่อนไขที่เทียบเท่ากัน: สำหรับทุกๆก็ต่อเมื่อ${\displaystyle p(0)=0,}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle p(x)=0}$${\displaystyle x=0.}$

เซมินอร์มบนคือฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติ (1.) และ (2.) ^{[ 6 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง นอร์มทุกตัวก็เป็นเซมินอร์มด้วย (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นฟังก์ชันย่อยเชิงเส้น ด้วย ) อย่างไรก็ตาม มีเซมินอร์มที่ไม่ใช่นอร์ม คุณสมบัติ (1.) และ (2.) บ่งชี้ว่าถ้าเป็นนอร์ม (หรือโดยทั่วไปแล้ว เซมินอร์ม) แล้วและ ก็มีคุณสมบัติต่อไปนี้ด้วย: ${\displaystyle X}$${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle p(0)=0}$${\displaystyle p}$

4. ความไม่เป็นลบ : ^{[ 5 ]} สำหรับทุกคน${\displaystyle p(x)\geq 0}$${\displaystyle x\in X.}$

ผู้เขียนบางคนรวมเอาการไม่เป็นลบไว้ในคำจำกัดความของ "บรรทัดฐาน" แม้ว่าจะไม่จำเป็นก็ตาม แม้ว่าบทความนี้จะนิยาม " บวก " ให้เป็นคำพ้องความหมายของ "บวกแน่นอน" แต่ผู้เขียนบางคนกลับนิยาม " บวก " ให้เป็นคำพ้องความหมายของ "ไม่เป็นลบ" ^{[ 7 ]}คำจำกัดความเหล่านี้ไม่เท่ากัน

หากมีการกำหนดค่ามาตรฐาน (norm) บนปริภูมิเวกเตอร์ค่ามาตรฐานของเวกเตอร์นั้นมักจะแสดงโดยการล้อมเวกเตอร์ด้วยเส้นแนวตั้งคู่: ดังที่ สเตฟาน บานาคเสนอไว้ในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเขาในปี 1920 สัญลักษณ์ดังกล่าวบางครั้งก็ใช้ในกรณีที่ค่ามาตรฐานเป็นเพียงค่ากึ่งมาตรฐาน (seminorm) สำหรับความยาวของเวกเตอร์ในปริภูมิยุคลิด (ซึ่งเป็นตัวอย่างหนึ่งของค่ามาตรฐาน ดังที่อธิบายไว้ด้านล่าง ) สัญลักษณ์ที่มีเส้นแนวตั้งเดี่ยวก็แพร่หลายเช่นกัน ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X,}$${\displaystyle z\in X}$${\displaystyle \|z\|=p(z)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle |x|}$

ปริภูมิเวกเตอร์ทุกปริภูมิ (จริงหรือเชิงซ้อน) ยอมรับบรรทัดฐาน: ถ้าเป็นฐาน Hamelสำหรับปริภูมิเวกเตอร์แผนที่ค่าจริงที่ส่ง(โดยที่สเกลาร์ทั้งหมด ยกเว้นจำนวนจำกัดเป็น) ไปยังเป็นบรรทัดฐานบน^{[ 8 ]} นอกจากนี้ยังมีบรรทัดฐานจำนวนมากที่แสดงคุณสมบัติเพิ่มเติมที่ทำให้มีประโยชน์สำหรับปัญหาเฉพาะ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x=\sum _{i\in I}s_{i}x_{i}\in X}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \sum _{i\in I}\left|s_{i}\right|}$${\displaystyle X.}$

ค่าสัมบูรณ์ เป็น นอร์ม บนปริภูมิเวกเตอร์ที่เกิดจาก จำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อน จำนวนเชิงซ้อนก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์หนึ่งมิติเหนือตัวมันเอง และปริภูมิเวกเตอร์สองมิติเหนือจำนวนจริง ค่าสัมบูรณ์เป็นนอร์มสำหรับโครงสร้างทั้งสองนี้ ${\displaystyle |x|}$

นอร์มใดๆบนปริภูมิเวกเตอร์หนึ่งมิติจะเทียบเท่า (โดยไม่คำนึงถึงการปรับขนาด) กับนอร์มค่าสัมบูรณ์ ซึ่งหมายความว่ามีไอโซมอร์ฟิซึม ที่รักษานอร์ม ของปริภูมิเวกเตอร์โดยที่เป็นหรือและการรักษานอร์มหมายความว่า ไอโซมอร์ฟิซึมนี้ได้มาจากการส่งไปยังเวกเตอร์ที่มีนอร์มซึ่งมีอยู่จริง เนื่องจากเวกเตอร์ดังกล่าวได้มาจากการคูณเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ด้วยส่วนกลับของนอร์มของมัน ${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:\mathbb {F} \to X,}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle |x|=p(f(x)).}$${\displaystyle 1\in \mathbb {F} }$${\displaystyle 1,}$

ในปริภูมิยุคลิดมิติแนวคิดเชิงสัญชาตญาณของความยาวของเวกเตอร์ถูกจับโดยสูตร^{[ 9 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{2}:={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$$

นี่คือบรรทัดฐานยุคลิดซึ่งให้ระยะทางปกติจากจุดกำเนิดไปยังจุดXซึ่งเป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัสการดำเนินการนี้อาจเรียกว่า "SRSS" ซึ่งเป็นคำย่อของรากที่สองของผลรวมของกำลังสอง^{[ 10 ]}

บรรทัดฐานยุคลิดเป็นบรรทัดฐานที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุดบน^{[ 9 ]}แต่ยังมีบรรทัดฐานอื่นๆ บนปริภูมิเวกเตอร์นี้ดังที่จะแสดงต่อไป อย่างไรก็ตาม บรรทัดฐานเหล่านี้ทั้งหมดเทียบเท่ากันในแง่ที่ว่าพวกมันทั้งหมดกำหนดโทโพโลยีเดียวกันบนปริภูมิมิติจำกัด ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$

ผลคูณภายในของเวกเตอร์สองตัวในปริภูมิเวกเตอร์แบบยุคลิดคือผลคูณดอทของเวกเตอร์พิกัด ของเวกเตอร์ทั้งสอง บนฐานเชิงตั้งฉากปกติดังนั้น ค่ามาตรฐานแบบยุคลิดจึงสามารถเขียนใน รูปแบบ ที่ไม่ขึ้นกับพิกัดได้ดังนี้ $${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

นอร์มยุคลิดยังเรียกว่านอร์มกำลังสองนอร์ม [ ^{11 ]}นอร์ม2หรือนอร์มกำลังสองดูพื้นที่มันกำหนดฟังก์ชันระยะทางที่เรียกว่าความ^ยาวยุคลิดระยะทางหรือระยะทาง ${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \ell ^{2}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \ell ^{2}}$

เซตของเวกเตอร์ที่มีค่าบรรทัดฐานแบบยุคลิดเป็นค่าคงที่บวกที่กำหนดให้ จะก่อให้เกิดทรงกลม -sphere${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle n}$

นอร์มแบบยุคลิดของจำนวนเชิงซ้อนคือค่าสัมบูรณ์ (หรือเรียกว่าโมดูลัส ) ของจำนวนเชิงซ้อนนั้น หาก ระนาบ เชิงซ้อนถูกระบุว่าเป็นระนาบแบบยุคลิด การระบุจำนวนเชิงซ้อนว่าเป็นเวกเตอร์ในระนาบแบบยุคลิดนี้ ทำให้ปริมาณ(ตามที่ออยเลอร์เสนอเป็นครั้งแรก) เป็นนอร์มแบบยุคลิดที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อนนั้น สำหรับนอร์มสามารถเขียนได้อีกแบบว่า โดยที่คือสังยุคเชิงซ้อนของ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$${\displaystyle x+iy}$${\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle {\sqrt {{\bar {z}}z}}}$${\displaystyle {\bar {z}}}$${\displaystyle z\,.}$

มีพีชคณิตฮูร์วิตซ์แบบยุคลิด อยู่สี่แบบ บนจำนวนจริงได้แก่ จำนวนจริงจำนวนเชิงซ้อนควอเทอร์เนียนและอ็อกโทเนียนโดยมิติของปริภูมิเหล่านี้บนจำนวนจริงคือตามลำดับ บรรทัดฐานเชิงแคนอนิกบนและคือฟังก์ชัน ค่าสัมบูรณ์ ของพวกมัน ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {H} ,}$${\displaystyle \mathbb {O} ,}$${\displaystyle 1,2,4,{\text{ and }}8,}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

นอร์มแคนอนิกบนควอเทอร์เนียนถูกกำหนดโดย สำหรับทุกควอเทอร์เนียนในซึ่งเหมือนกับนอร์มยุคลิดบนที่ถือว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์ ในทำนอง เดียวกัน นอร์มแคนอนิกบนอ็อกโทเนียนก็คือนอร์มยุคลิดบน${\displaystyle \mathbb {H} }$$${\displaystyle \lVert q\rVert ={\sqrt {\,qq^{*}~}}={\sqrt {\,q^{*}q~}}={\sqrt {\,a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}~}}}$$${\displaystyle q=a+b\,\mathbf {i} +c\,\mathbf {j} +d\,\mathbf {k} }$${\displaystyle \mathbb {H} .}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}.}$

ในปริภูมิเชิงซ้อนมิติ n ค่าบรรทัดฐานที่พบได้บ่อยที่สุดคือ ${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$$${\displaystyle \|{\boldsymbol {z}}\|:={\sqrt {\left|z_{1}\right|^{2}+\cdots +\left|z_{n}\right|^{2}}}={\sqrt {z_{1}{\bar {z}}_{1}+\cdots +z_{n}{\bar {z}}_{n}}}.}$$

ในกรณีนี้ ค่ามาตรฐานสามารถแสดงได้เป็นรากที่สองของผลคูณภายในของเวกเตอร์กับตัวมันเอง โดยที่แทนด้วยเวกเตอร์คอลัมน์และแทนการสลับตำแหน่งแบบสังยุค ของเวกเตอร์คอลัมน์ นั้น $${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{H}~{\boldsymbol {x}}}},}$$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\;x_{2}\;\dots \;x_{n}\end{bmatrix}}^{\rm {T}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{H}}$

สูตรนี้ใช้ได้กับปริภูมิผลคูณภายใน ใดๆ รวมถึงปริภูมิยุคลิดและปริภูมิเชิงซ้อน สำหรับปริภูมิเชิงซ้อน ผลคูณภายในจะเทียบเท่ากับผลคูณดอทเชิงซ้อนดังนั้นในกรณีนี้ สูตรจึงสามารถเขียนได้โดยใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้: $${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

$${\displaystyle \|{\boldsymbol {x}}\|_{1}:=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|.}$$ ชื่อนี้เกี่ยวข้องกับระยะทางที่รถแท็กซี่ต้องขับในผังถนน รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (เช่นเดียวกับ เขต แมนฮัตตันใน นิวยอร์ก ) เพื่อไปยังจุดหมายปลายทาง${\displaystyle x.}$

เซตของเวกเตอร์ที่มีนอร์ม 1 เป็นค่าคงที่ที่กำหนดให้ จะก่อให้เกิดพื้นผิวของโพลีโทปไขว้ซึ่งมีมิติเท่ากับมิติของปริภูมิเวกเตอร์ลบ 1 นอร์มแท็กซี่แคบเรียกอีกอย่างว่านอร์มระยะทางที่ได้จากนอร์มนี้เรียกว่าระยะทางแมนฮัตตันหรือระยะทาง ${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \ell ^{1}}$

ค่า 1-นอร์ม คือผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของคอลัมน์ต่างๆ

ในทางตรงกันข้าม นี่ไม่ใช่บรรทัดฐาน เพราะอาจส่งผลเสียได้ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}}$$

ให้เป็นจำนวนจริงนอร์ม - (เรียกอีกอย่างว่านอร์ม -) ของเวกเตอร์คือ^{[ 9 ]} สำหรับเราจะได้นอร์มแท็กซี่สำหรับเราจะได้นอร์มยุคลิดและเมื่อเข้าใกล้นอร์ม- จะเข้าใกล้นอร์มอนันต์หรือนอร์มสูงสุด : นอร์ม- เกี่ยวข้องกับค่าเฉลี่ยทั่วไปหรือค่าเฉลี่ยกำลัง ${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{p}:={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|^{p}{\biggr )}^{1/p}.}$$${\displaystyle p=1,}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle p}$$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max _{i}\left|x_{i}\right|.}$$${\displaystyle p}$

เนื่องจากนอร์ม- เกิดขึ้นจากผลคูณภายใน แบบแคนอนิก ซึ่งหมายความว่าสำหรับเวกเตอร์ทั้งหมดผลคูณภายในนี้สามารถแสดงในรูปของนอร์มได้โดยใช้เอกลักษณ์โพลาไรเซชันบนผลคูณภายในนี้คือ${\displaystyle p=2,}$${\displaystyle \|\,\cdot \,\|_{2}}$${\displaystyle \langle \,\cdot ,\,\cdot \rangle ,}$${\textstyle \|\mathbf {x} \|_{2}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}$${\displaystyle \mathbf {x} .}$${\displaystyle \ell ^{2},}$ผลคูณภายในแบบยุคลิดกำหนดโดย ในขณะที่สำหรับปริภูมิที่เกี่ยวข้องกับปริภูมิการวัดซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้ผลคูณภายในนี้คือ $${\displaystyle \langle \left(x_{n}\right)_{n},\left(y_{n}\right)_{n}\rangle _{\ell ^{2}}~=~\sum _{n}{\overline {x_{n}}}y_{n}}$$${\displaystyle L^{2}(X,\mu )}$${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu ),}$$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{X}{\overline {f(x)}}g(x)\,\mathrm {d} x.}$$

คำจำกัดความนี้ยังคงน่าสนใจอยู่บ้างแต่ฟังก์ชันที่ได้นั้นไม่ได้กำหนดบรรทัดฐาน^{[ 12 ]}เพราะมันละเมิดอสมการสามเหลี่ยมสิ่งที่เป็นจริงสำหรับกรณีนี้แม้แต่ในอนาล็อกที่วัดได้ ก็คือคลาสที่สอดคล้องกันเป็นปริภูมิเวกเตอร์ และยังเป็นความจริงที่ว่าฟังก์ชัน (โดยไม่มีรากที่ th) กำหนดระยะทางที่ทำให้ เป็น ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โลยี เมตริกที่สมบูรณ์ ปริภูมิเหล่านี้มีความน่าสนใจอย่างมากในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันทฤษฎีความน่าจะเป็นและการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกอย่างไรก็ตาม นอกเหนือจากกรณีที่ไม่สำคัญ ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีนี้ไม่นูนเฉพาะที่ และไม่มีรูปแบบเชิงเส้นที่ไม่เป็นศูนย์ต่อเนื่อง ดังนั้นปริภูมิคู่เชิงทอพอโลยีจึงมีเพียงฟังก์ชันศูนย์เท่านั้น ${\displaystyle 0<p<1,}$${\displaystyle 0<p<1,}$${\displaystyle L^{p}}$$${\displaystyle \int _{X}|f(x)-g(x)|^{p}~\mathrm {d} \mu }$$${\displaystyle p}$${\displaystyle L^{p}(X)}$

อนุพันธ์ย่อยของนอร์ม - มีค่าดังนี้ ${\displaystyle p}$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{p}={\frac {x_{k}\left|x_{k}\right|^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}.}$$

ดังนั้น อนุพันธ์เทียบกับ คือ โดยที่แทนผลคูณแบบฮาดามาร์ดและใช้สำหรับค่าสัมบูรณ์ของแต่ละองค์ประกอบของเวกเตอร์ ${\displaystyle x,}$$${\displaystyle {\frac {\partial \|\mathbf {x} \|_{p}}{\partial \mathbf {x} }}=\left({\frac {\mathbf {x} \circ |\mathbf {x} |^{p-2}}{\|\mathbf {x} \|_{p}^{p-1}}}\right)^{\top }.}$$${\displaystyle \circ }$${\displaystyle |\cdot |}$

สำหรับกรณีพิเศษนี้จะกลายเป็น หรือ ${\displaystyle p=2,}$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\|\mathbf {x} \|_{2}={\frac {x_{k}}{\|\mathbf {x} \|_{2}}},}$$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {x} }}\|\mathbf {x} \|_{2}=\left({\frac {\mathbf {x} }{\|\mathbf {x} \|_{2}}}\right)^{\top }.}$$

ถ้าเป็นเวกเตอร์บางตัวที่ทำให้แล้ว: ${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).}$$

เซตของเวกเตอร์ที่มีค่านอร์มอนันต์เป็นค่าคงที่ที่กำหนดจะก่อตัวเป็นพื้นผิวของไฮเปอร์คิวบ์ที่มีความยาวด้าน${\displaystyle c,}$${\displaystyle 2c.}$

บรรทัดฐานพลังงาน^{[ 13 ]}ของเวกเตอร์ถูกกำหนดในแง่ของ เมท ริกซ์สมมาตรบวกแน่นอนดังนี้ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle {\|{\boldsymbol {x}}\|}_{A}:={\sqrt {{\boldsymbol {x}}^{T}\cdot A\cdot {\boldsymbol {x}}}}.}$$

เป็นที่ชัดเจนว่า ถ้าเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์นอร์มนี้จะสอดคล้องกับนอร์มแบบยุคลิดถ้าเป็นเมทริกซ์ทแยงมุม นอร์มนี้ยังเรียกว่านอร์มแบบถ่วงน้ำหนักนอร์มพลังงานเกิดจากผลคูณภายใน ที่ กำหนด โดยสำหรับ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle _{A}:={\boldsymbol {x}}^{T}\cdot A\cdot {\boldsymbol {y}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\in \mathbb {R} ^{n}}$

โดยทั่วไป ค่าของนอร์มจะขึ้นอยู่กับสเปกตรัมของ: สำหรับเวกเตอร์ที่มีนอร์มแบบยุคลิดเท่ากับหนึ่ง ค่าของ จะถูกจำกัดจากด้านล่างและด้านบนโดยค่า ไอเกนสัมบูรณ์ที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของตามลำดับ โดยที่ขอบเขตเหล่านี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อตรงกับเวกเตอร์ไอเกน (ที่ถูกทำให้เป็นมาตรฐาน) ที่สอดคล้องกัน จากรากที่สองของเมทริกซ์สมมาตรนอร์มพลังงานของเวกเตอร์สามารถเขียนได้ในรูปของนอร์มแบบยุคลิดมาตรฐานดังนี้ ${\displaystyle A}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\|{\boldsymbol {x}}\|}_{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle A^{1/2}}$

$${\displaystyle {\|{\boldsymbol {x}}\|}_{A}={\|A^{1/2}{\boldsymbol {x}}\|}_{2}.}$$

ในความน่าจะเป็นและการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน นอร์มศูนย์เหนี่ยวนำให้เกิดโทโพโลยีเมตริกที่สมบูรณ์สำหรับพื้นที่ของฟังก์ชันที่วัดได้และสำหรับพื้นที่ Fของลำดับที่มีนอร์ม F ^{[ 14 ]} ในที่นี้เราหมายถึงนอร์ม Fซึ่งเป็นฟังก์ชันค่าจริงบนพื้นที่ F ที่มีระยะทางเช่นนั้นนอร์มFที่อธิบายไว้ข้างต้นไม่ใช่นอร์มในความหมายปกติเนื่องจากขาดคุณสมบัติความเป็นเอกรูปที่จำเป็น ${\textstyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}{2^{-n}x_{n}/(1+x_{n})}.}$${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$${\displaystyle d,}$${\displaystyle \lVert x\rVert =d(x,0).}$

ในเรขาคณิตเมตริกเมตริกแบบไม่ต่อเนื่องจะมีค่าเป็นหนึ่งสำหรับจุดที่แตกต่างกัน และเป็นศูนย์สำหรับจุดอื่น ๆ เมื่อนำไปใช้กับองค์ประกอบของปริมาณเวกเตอร์แบบพิกัด เมตริกแบบไม่ต่อเนื่องจะกำหนดระยะทางแฮม มิง ซึ่งมีความสำคัญในการเข้ารหัสและทฤษฎีสารสนเทศในขอบเขตของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน ระยะทางของเมตริกแบบไม่ต่อเนื่องจากศูนย์จะไม่เป็นเอกพันธุ์ในจุดที่ไม่เป็นศูนย์ อันที่จริง ระยะทางจากศูนย์ยังคงเป็นหนึ่งเมื่ออาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นศูนย์เข้าใกล้ศูนย์ อย่างไรก็ตาม ระยะทางแบบไม่ต่อเนื่องของจำนวนจากศูนย์นั้นเป็นไปตามคุณสมบัติอื่น ๆ ของนอร์ม ได้แก่ อสมการสามเหลี่ยมและความเป็นบวกแน่นอน เมื่อนำไปใช้กับเวกเตอร์แบบส่วนประกอบ เมตริกแบบไม่ต่อเนื่องจากศูนย์จะทำงานเหมือน "นอร์ม" ที่ไม่เป็นเอกพันธุ์ ซึ่งนับจำนวนส่วนประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ในอาร์กิวเมนต์เวกเตอร์ อีกครั้ง "นอร์ม" ที่ไม่เป็นเอกพันธุ์นี้ไม่ต่อเนื่อง

ในด้านการประมวลผลสัญญาณและสถิติเดวิดโดโนโฮอ้างถึง" นอร์ม" ศูนย์ด้วยเครื่องหมายอัญประกาศ ตามสัญลักษณ์ของโดโนโฮ "นอร์ม" ศูนย์ของคือจำนวนพิกัดที่ไม่เป็นศูนย์ของหรือระยะทางแฮมมิงของเวกเตอร์จากศูนย์ เมื่อ "นอร์ม" นี้ถูกจำกัดอยู่ในเซตที่มีขอบเขต มันคือลิมิตของนอร์ม - เมื่อเข้าใกล้ 0 แน่นอนว่า "นอร์ม" ศูนย์ไม่ใช่ " นอร์ม " ที่แท้จริง เพราะมันไม่เป็นเอกพันธุ์บวกอันที่จริง มันไม่ใช่แม้แต่ F-นอร์มในความหมายที่อธิบายไว้ข้างต้น เนื่องจากมันไม่ต่อเนื่อง ทั้งร่วมกันและแยกกัน เมื่อเทียบกับอาร์กิวเมนต์สเกลาร์ในการคูณสเกลาร์กับเวกเตอร์ และเมื่อเทียบกับอาร์กิวเมนต์เวกเตอร์ การใช้คำศัพท์ ที่ผิดพลาดวิศวกรบางคนละเว้นเครื่องหมายอัญประกาศของโดโนโฮและเรียกฟังก์ชันจำนวนพิกัดที่ไม่เป็นศูนย์ว่านอร์มอย่างไม่เหมาะสมโดยเลียนแบบสัญลักษณ์สำหรับปริภูมิเลเบสของฟังก์ชันที่วัดได้ ${\displaystyle x}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle L^{0}}$

การสรุปบรรทัดฐานข้างต้นไปยังส่วนประกอบจำนวนอนันต์นำไปสู่ปริภูมิที่มีบรรทัดฐาน ${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle p\geq 1\,,}$

$${\displaystyle \|x\|_{p}={\bigg (}\sum _{i\in \mathbb {N} }\left|x_{i}\right|^{p}{\bigg )}^{1/p}{\text{ and }}\ \|f\|_{p,X}={\bigg (}\int _{X}|f(x)|^{p}~\mathrm {d} x{\bigg )}^{1/p}}$$

สำหรับลำดับและฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนบนตามลำดับ ซึ่งสามารถขยายความทั่วไปได้อีก (ดูการวัดแบบฮาร์ ) บรรทัดฐานเหล่านี้ยังใช้ได้ในขีดจำกัดเมื่อ ซึ่งให้บรรทัดฐานสูงสุดและเรียกว่าและ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p\rightarrow +\infty }$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle L^{\infty }\,.}$

ผลิตภัณฑ์ภายในใดๆ ก็ตามจะกระตุ้นให้เกิดสภาวะปกติโดยธรรมชาติ${\textstyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.}$

ตัวอย่างอื่นๆ ของปริภูมิเวกเตอร์เชิงบรรทัดฐานที่มีมิติอนันต์ สามารถพบได้ในบทความเกี่ยวกับ ปริภูมิบานาค

โดยทั่วไปแล้ว บรรทัดฐานเหล่านี้ไม่ได้ให้โทโพโลยีที่เหมือนกัน ตัวอย่างเช่นปริภูมิที่มีมิติอนันต์จะให้โทโพโลยีที่ละเอียดกว่าปริภูมิที่มีมิติอนันต์เมื่อ${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle \ell ^{q}}$${\displaystyle p<q\,.}$

สามารถสร้าง บรรทัดฐานอื่นๆได้โดยการรวมสิ่งต่างๆ ข้างต้นเข้าด้วยกัน ตัวอย่างเช่น เป็นบรรทัดฐานเกี่ยวกับ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \|x\|:=2\left|x_{1}\right|+{\sqrt {3\left|x_{2}\right|^{2}+\max(\left|x_{3}\right|,2\left|x_{4}\right|)^{2}}}}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

สำหรับนอร์มใดๆ และการแปลงเชิงเส้นแบบ หนึ่งต่อหนึ่งใดๆ เราสามารถกำหนดนอร์มใหม่ที่เท่ากับ ใน 2 มิติ ด้วยการหมุน 45° และการปรับขนาดที่เหมาะสม จะทำให้นอร์มแท็กซี่กลายเป็นนอร์มสูงสุด การแปลงแต่ละครั้งที่ใช้กับนอร์มแท็กซี่ โดยไม่นับการกลับด้านและการสลับแกน จะให้ลูกบอลหน่วยที่แตกต่างกัน: รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีรูปร่าง ขนาด และทิศทางเฉพาะ ${\displaystyle A}$${\displaystyle x,}$$${\displaystyle \|Ax\|.}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

ในแบบ 3 มิติ หลักการนี้คล้ายคลึงกัน แต่แตกต่างกันสำหรับค่ามาตรฐาน 1 ( ทรงแปดเหลี่ยม ) และค่ามาตรฐานสูงสุด ( ปริซึมที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน)

มีตัวอย่างของบรรทัดฐานที่ไม่ได้กำหนดโดยสูตร "แบบทีละรายการ" ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันมินคอฟสกีของทรงนูนสมมาตรศูนย์กลางใน(โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ศูนย์) กำหนดบรรทัดฐานบน(ดู§ การจำแนกประเภทของเซมินอร์ม: เซตดูดซับนูนสัมบูรณ์ด้านล่าง) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

สูตรทั้งหมดข้างต้นยังให้ค่ามาตรฐานโดยไม่ต้องแก้ไขใดๆ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

นอกจากนี้ยังมีบรรทัดฐานสำหรับปริภูมิของเมทริกซ์ (ที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน) ซึ่งเรียกว่าบรรทัดฐานของเมทริกซ์

ให้เป็นส่วนขยายจำกัดของฟิลด์ที่มีดีกรีแยกไม่ได้และให้มีการปิดเชิงพีชคณิต ถ้าการฝัง ที่แตกต่างกัน ของคือแล้วบรรทัดฐานเชิงทฤษฎีกาโลอิสขององค์ประกอบคือค่า เนื่องจากฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์ที่มีดีกรีบรรทัดฐานเชิงทฤษฎีกาโลอิสจึงไม่ใช่บรรทัดฐานในความหมายของบทความนี้ อย่างไรก็ตามรากที่ ของบรรทัดฐาน (สมมติว่าแนวคิดนั้นมีความหมาย) เป็นบรรทัดฐาน^{[ 15 ]}${\displaystyle E}$${\displaystyle k}$${\displaystyle p^{\mu },}$${\displaystyle k}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \left\{\sigma _{j}\right\}_{j},}$${\displaystyle \alpha \in E}$${\textstyle \left(\prod _{j}{\sigma _{k}(\alpha )}\right)^{p^{\mu }}.}$${\displaystyle [E:k]}$${\displaystyle [E:k]}$

แนวคิดเรื่องนอร์มในพีชคณิตเชิงองค์ประกอบนั้นไม่มีคุณสมบัติเหมือนนอร์มทั่วไป เนื่องจาก อนุญาตให้มี เวกเตอร์ศูนย์ได้พีชคณิตเชิงองค์ประกอบประกอบด้วยพีชคณิตเหนือฟิลด์อินโวลูชันและรูปแบบกำลังสองที่เรียกว่า "นอร์ม" ${\displaystyle N(z)}$${\displaystyle (A,{}^{*},N)}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle {}^{*},}$${\displaystyle N(z)=zz^{*}}$

ลักษณะเด่นของพีชคณิตองค์ประกอบคือ คุณสมบัติ โฮโมมอร์ฟิซึมของ: สำหรับผลคูณของสององค์ประกอบและของพีชคณิตองค์ประกอบ ค่าบรรทัดฐานของมันจะสอดคล้องกับในกรณีของพีชคณิตการหารและค่าบรรทัดฐานของพีชคณิตองค์ประกอบคือค่ากำลังสองของค่าบรรทัดฐานที่กล่าวถึงข้างต้น ในกรณีเหล่านั้น ค่าบรรทัดฐานจะเป็นรูปแบบกำลังสองที่แน่นอนในพีชคณิตแยกส่วนค่าบรรทัดฐานจะเป็นรูปแบบกำลังสองแบบไอโซโทรปิก ${\displaystyle N}$${\displaystyle wz}$${\displaystyle w}$${\displaystyle z}$${\displaystyle N(wz)=N(w)N(z).}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {H} ,}$${\displaystyle \mathbb {O} }$

สำหรับบรรทัดฐานใดๆบนปริภูมิเวกเตอร์อสมการสามเหลี่ยมผกผันจะเป็นจริง: ถ้าเป็นการแมปเชิงเส้นต่อเนื่องระหว่างปริภูมิบรรทัดฐาน บรรทัดฐานของและบรรทัดฐานของทรานสโพสของจะเท่ากัน^{[ 16 ]}${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X,}$$${\displaystyle p(x\pm y)\geq |p(x)-p(y)|{\text{ for all }}x,y\in X.}$$${\displaystyle u:X\to Y}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$

สำหรับ บรรทัดฐานเรามีอสมการของ Hölder ^{[ 17 ]} กรณีพิเศษของสิ่งนี้คืออสมการ Cauchy–Schwarz : ^{[ 17 ]}${\displaystyle L^{p}}$$${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|_{p}\|y\|_{q}\qquad {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.}$$$${\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|_{2}\|y\|_{2}.}$$

ทุกนอร์มเป็นเซมินอร์มและดังนั้นจึงมีคุณสมบัติทั้งหมดของนอร์มในทางกลับกัน ทุกเซมินอร์มเป็นฟังก์ชันย่อยเชิงเส้นและดังนั้นจึงมีคุณสมบัติทั้งหมดของฟังก์ชันย่อย เชิงเส้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทุกนอร์มเป็นฟังก์ชันนูน

แนวคิดของวงกลมหน่วย (เซตของเวกเตอร์ทั้งหมดที่มีนอร์มเท่ากับ 1) นั้นแตกต่างกันไปตามนอร์มต่างๆ: สำหรับนอร์ม 1 วงกลมหน่วยจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่วางตัวเป็นรูปเพชร สำหรับนอร์ม 2 (นอร์มยุคลิด) มันคือวงกลม หน่วยที่เรารู้จักกันดี ในขณะที่สำหรับนอร์มอนันต์ มันคือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่วางตัวตามแกน สำหรับนอร์มใดๆ มันคือซูเปอร์เอลลิปส์ที่มีแกนเท่ากันทุกประการ (ดูภาพประกอบ) เนื่องจากนิยามของนอร์ม วงกลมหน่วยจะต้องเป็นวงกลมนูนและสมมาตรแบบจุดศูนย์กลาง (ดังนั้น ตัวอย่างเช่น ลูกบอลหน่วยอาจเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า แต่ไม่สามารถเป็นรูปสามเหลี่ยมได้ และสำหรับนอร์ม ) ${\displaystyle p}$${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle p}$

ในแง่ของปริภูมิเวกเตอร์ เซมินอร์มกำหนดโทโพโลยีบนปริภูมิ และนี่คือ โทโพโลยี เฮาส์ดอร์ฟอย่างแม่นยำเมื่อเซมินอร์มสามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์ที่แตกต่างกันได้ ซึ่งเทียบเท่ากับการที่เซมินอร์มเป็นนอร์ม โทโพโลยีที่กำหนดขึ้น (โดยนอร์มหรือเซมินอร์ม) สามารถเข้าใจได้ทั้งในแง่ของลำดับหรือเซตเปิดลำดับของเวกเตอร์จะลู่เข้าในนอร์มไปยังถ้าเป็นเทียบเท่ากับโทโพโลยีประกอบด้วยเซตทั้งหมดที่สามารถแสดงเป็นผลรวมของลูกบอล เปิด ถ้าเป็นปริภูมิที่มีนอร์มแล้ว^{[ 18 ]}${\displaystyle \{v_{n}\}}$${\displaystyle v,}$${\displaystyle \left\|v_{n}-v\right\|\to 0}$${\displaystyle n\to \infty .}$${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$${\displaystyle \|x-y\|=\|x-z\|+\|z-y\|{\text{ for all }}x,y\in X{\text{ and }}z\in [x,y].}$

เรียกว่าค่ามาตรฐานสองค่าคือ และบนปริมาณเวกเตอร์${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$${\displaystyle X}$เทียบเท่ากันหากเหนี่ยวนำให้เกิดโทโพโลยีเดียวกัน ^{[ 19 ]}ซึ่งเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อมีจำนวนจริงบวกและอยู่เช่นนั้นสำหรับทุก ตัวอย่างเช่น ถ้าบนแล้ว ^{[ 20 ]}${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x\in X}$$${\displaystyle C\|x\|_{\alpha }\leq \|x\|_{\beta }\leq D\|x\|_{\alpha }.}$$${\displaystyle p>r\geq 1}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$$${\displaystyle \|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{(1/r-1/p)}\|x\|_{p}.}$$

โดยเฉพาะ อย่าง ยิ่ง หากปริภูมิเวกเตอร์เป็นปริภูมิเวกเตอร์จริงหรือเชิงซ้อนที่มีมิติจำกัด ค่ามาตรฐานทั้งหมดจะเท่ากัน ในทางกลับกัน ในกรณีของปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติอนันต์ ค่ามาตรฐานทั้งหมดจะไม่เท่ากัน $${\displaystyle \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}}$$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{\infty }}$$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{1}\leq n\|x\|_{\infty },}$$$${\displaystyle \|x\|_{\infty }\leq \|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}\leq n\|x\|_{\infty }.}$$

บรรทัดฐานที่เทียบเท่ากันนั้นกำหนดแนวคิดเรื่องความต่อเนื่องและการบรรจบกันแบบเดียวกัน และในหลายๆ กรณีไม่จำเป็นต้องแยกแยะความแตกต่าง กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น โครงสร้างเอกรูปที่กำหนดโดยบรรทัดฐานที่เทียบเท่ากันบนปริภูมิเวกเตอร์นั้นเป็นไอโซมอร์ฟิกเอกรูป ความเทียบเท่าในรูปแบบนี้ไม่ควรเข้าใจผิดว่าบรรทัดฐานสามารถใช้แทนกันได้เสมอ ตัวอย่างเช่น ในบริบทของการปรับแบบจำลอง บรรทัดฐานที่แตกต่างกันอาจนำไปสู่ผลลัพธ์การปรับที่แตกต่างกันและประสิทธิภาพของอัลกอริทึมที่แตกต่างกัน

เซมินอร์มทั้งหมดบนปริภูมิเวกเตอร์สามารถจำแนกได้ตามเซตย่อยดูดซับนูนสัมบูรณ์ของแต่ละเซตย่อยดังกล่าวจะสอดคล้องกับเซมินอร์มที่เรียกว่าเกจของ ซึ่งกำหนดโดย โดย ที่คือ ค่า ต่ำสุดซึ่งมีคุณสมบัติ ว่า ในทางกลับกัน: ${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle p_{A}}$${\displaystyle A,}$$${\displaystyle p_{A}(x):=\inf\{r\in \mathbb {R} :r>0,x\in rA\}}$$${\displaystyle \inf _{}}$$${\displaystyle \left\{x\in X:p_{A}(x)<1\right\}~\subseteq ~A~\subseteq ~\left\{x\in X:p_{A}(x)\leq 1\right\}.}$$

ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่ใดๆจะมีฐานเฉพาะที่ซึ่งประกอบด้วยเซตแบบนูนสัมบูรณ์ วิธีทั่วไปในการสร้างฐานดังกล่าวคือการใช้ตระกูลของเซมิ-นอร์มที่แยกจุดต่างๆ ออกจากกัน : การรวบรวมจุดตัดจำกัดทั้งหมดของเซตจะเปลี่ยนปริภูมิให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่ซึ่งทำให้ทุก p มีความต่อเนื่อง ${\displaystyle (p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \{p<1/n\}}$

วิธีการดังกล่าวใช้ในการออกแบบ โทโพโล ยี แบบอ่อนและแบบอ่อน*

กรณีปกติ:

สมมติว่าตอนนี้มีจุดเดียวเนื่องจากเป็นตัวแยกเป็นนอร์ม และ เป็น ลูกบอลหน่วยเปิดของมันดังนั้นเป็น ย่านใกล้ เคียงที่ มีขอบเขตและนูนสัมบูรณ์ ของ 0 และเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง${\displaystyle (p)}$${\displaystyle p:}$${\displaystyle (p)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle A=\{p<1\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle p=p_{A}}$

ในทางกลับกันนั้นเป็นผลมาจากงานของAndrey Kolmogorov : ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีใดๆ ที่นูนเฉพาะที่และมีขอบเขตเฉพาะที่นั้นสามารถหาค่ามาตรฐานได้ กล่าวคือ:

ถ้าเป็นย่านใกล้เคียงที่มีขอบเขตและนูนอย่างสมบูรณ์ของ 0 เกจ(ดังนั้น จึงเป็นนอร์ม)${\displaystyle X}$${\displaystyle g_{X}}$${\displaystyle X=\{g_{X}<1\}}$

• บรรทัดฐานแบบไม่สมมาตร  – การขยายแนวคิดเรื่องบรรทัดฐาน
• เซมินอร์ม F  – ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีซึ่งทอพอโลยีสามารถกำหนดได้ด้วยเมตริกPages displaying short descriptions of redirect targets
• บรรทัดฐานของโกเวอร์ส  – กลุ่มของบรรทัดฐานในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงแบบบวก
• บรรทัดฐานของคาเดค  – ปริภูมิบานาคแบบแยกส่วนได้ที่มีมิติอนันต์ทั้งหมดเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกันPages displaying short descriptions of redirect targets
• การวิเคราะห์สเปกตรัมแบบกำลังสองน้อยที่สุด  – วิธีการคำนวณความเป็นคาบ
• ระยะทางมาฮาลาโนบิส  – การวัดระยะทางเชิงสถิติ
• ขนาด (คณิตศาสตร์)  – คุณสมบัติที่ใช้ในการเปรียบเทียบและจัดลำดับ
• นอร์มเมทริกซ์  – นอร์มบนปริภูมิเวกเตอร์ของเมทริกซ์
• ระยะทางมินคอฟสกี  – ฟังก์ชันระยะทางเวกเตอร์
• Minkowski functional  – ฟังก์ชันที่สร้างขึ้นจากชุดอุปกรณ์
• ค่ามาตรฐานของตัวดำเนินการ  – การวัด "ขนาด" ของตัวดำเนินการเชิงเส้น
• พารานอร์ม  – ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีซึ่งทอพอโลยีสามารถกำหนดได้ด้วยเมตริกPages displaying short descriptions of redirect targets
• ความสัมพันธ์ระหว่างบรรทัดฐานและมาตรวัด  – พื้นที่ทางคณิตศาสตร์กับแนวคิดเรื่องระยะทางPages displaying short descriptions of redirect targets
• เซมินอร์ม  – ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์
• ฟังก์ชันย่อยเชิงเส้น  – ประเภทของฟังก์ชันในพีชคณิตเชิงเส้น

• บูร์บากิ, นิโคลัส (1987) [1981]. ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี: บทที่ 1–5 องค์ประกอบทางคณิตศาสตร์ . แปลโดย Eggleston, HG; มาดาน เบอร์ลิน นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-แวร์แลกไอเอสบีเอ็น 3-540-13627-4. OCLC  17499190 .
• Khaleelulla, SM (1982). ตัวอย่างค้านในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . บันทึกการบรรยายทางคณิตศาสตร์ . เล่มที่ 936. เบอร์ลิน, ไฮเดลเบิร์ก, นิวยอร์ก: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370 .
• Kubrusly, Carlos S. (2011). องค์ประกอบของทฤษฎีตัวดำเนินการ (ฉบับที่สอง). บอสตัน: Birkhäuser . ISBN 978-0-8176-4998-2. OCLC  710154895 .
• นาริซี, ลอว์เรนซ์; เบคเกนสไตน์, เอ็ดเวิร์ด (2011). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). โบคา ราตัน, ฟลอริดา: สำนักพิมพ์ CRC. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• เทรฟส์, ฟรองซัวส์ (2549) [2510] สเปซเวกเตอร์ทอพอโลยี การแจกแจง และเคอร์เนล Mineola, NY: สิ่งพิมพ์โดเวอร์ไอเอสบีเอ็น 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
• วิลานสกี, อัลเบิร์ต (2013). วิธีการสมัยใหม่ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . ไมเนโอลา, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์ อิงค์. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .