ในทางคณิตศาสตร์พีชคณิตC*-กราฟคือพีชคณิต C*-สากลที่สร้างขึ้นจากกราฟแบบมีทิศทางพีชคณิต C*-กราฟเป็นการขยายโดยตรงของพีชคณิต Cuntzและพีชคณิต Cuntz-Krieger แต่พบว่ากลุ่มของพีชคณิต C*-กราฟยังรวมถึงกลุ่มพีชคณิตC*- อื่นๆ ที่ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางอีกหลายกลุ่มด้วย ดังนั้น พีชคณิต C*-กราฟจึงเป็นกรอบการทำงานร่วมกันสำหรับการศึกษาพีชคณิต C*-หลายกลุ่มที่เป็นที่รู้จักกันดี ซึ่งก่อนหน้านี้เคยศึกษาแยกกัน ข้อดีอย่างหนึ่งคือ เป็นบริบทที่ช่วยให้สามารถกำหนดทฤษฎีบทที่ใช้ได้พร้อมกันกับทุกกลุ่มย่อย และมีผลลัพธ์เฉพาะสำหรับแต่ละกลุ่มย่อยเป็นกรณีพิเศษ

แม้ว่ากราฟ C*-algebra จะมีตัวอย่างมากมาย แต่ก็เป็นคลาสของ C*-algebra ที่ศึกษาได้ง่ายอย่างน่าประหลาดใจและจัดการได้ง่ายกว่า C*-algebra ทั่วไปมาก กราฟไม่เพียงแต่กำหนด C*-algebra ที่เกี่ยวข้องโดยการระบุความสัมพันธ์สำหรับตัวสร้างเท่านั้น แต่ยังเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์สำหรับการอธิบายและแสดงภาพคุณสมบัติของ C*-algebra คุณสมบัติเชิงภาพนี้ทำให้กราฟ C*-algebra ถูกเรียกว่า " operator algebrasที่เรามองเห็นได้" ^{[ 1 ] [ 2 ]} ข้อดีอีกประการหนึ่งของกราฟ C*-algebra คือโครงสร้างส่วนใหญ่และค่าคงที่หลายอย่างสามารถคำนวณได้ง่าย การใช้ข้อมูลจากกราฟทำให้สามารถระบุได้ว่า C*-algebra ที่เกี่ยวข้องมีคุณสมบัติเฉพาะหรือไม่ อธิบายแลตทิซของไอเดียล และคำนวณค่าคงที่ K-theoretic ได้

คำศัพท์ที่ใช้เรียกกราฟโดยนักพีชคณิต C* นั้นแตกต่างจากที่นักทฤษฎีกราฟ ใช้เล็กน้อย โดยทั่วไปแล้ว คำว่ากราฟหมายถึงกราฟแบบมีทิศทาง ซึ่งประกอบด้วยเซตของจุดยอดที่นับได้เซตของขอบที่นับได้และแผนที่ที่ระบุช่วงและแหล่งที่มาของแต่ละขอบตามลำดับ จุดยอดเรียกว่าจุดรับ (sink)เมื่อ; กล่าวคือ ไม่มีขอบในที่มีแหล่งที่มาเป็น จุดยอดเรียกว่าจุดส่งอนันต์ (infinite emitter)เมื่อเป็นอนันต์ กล่าวคือ มีขอบใน ที่เป็นอนันต์จำนวนเท่าของจำนวนขอบในที่มีแหล่งที่มาเป็น จุดยอดเรียกว่าจุดยอดเอกฐาน (singular vertex)ถ้ามันเป็นทั้งจุดรับหรือจุดส่งอนันต์ และจุดยอดเรียกว่าจุดยอดปกติ (regular vertex)ถ้ามันไม่ใช่จุดยอดเอกฐาน โปรดทราบว่าจุดยอดจะเป็นจุดยอดปกติก็ต่อเมื่อจำนวนขอบในที่มีแหล่งที่มาเป็นจำนวนจำกัดและไม่ใช่ศูนย์ กราฟเรียกว่ากราฟจำกัดแถว (row-finite graph) ถ้าไม่มีจุดส่งอนันต์ กล่าวคือ ถ้าทุกจุดยอดเป็นทั้งจุดยอดปกติหรือจุดรับ ${\displaystyle E=(E^{0},E^{1},r,s)}$${\displaystyle E^{0}}$${\displaystyle E^{1}}$${\displaystyle r,s:E^{1}\rightarrow E^{0}}$${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle s^{-1}(v)=\emptyset }$${\displaystyle E}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle s^{-1}(v)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle E}$${\displaystyle v}$

เส้นทางคือลำดับของขอบที่จำกัดโดยที่สำหรับทุก เส้นทางอนันต์คือลำดับของขอบที่นับได้อนันต์โดยที่สำหรับทุกวงจรคือเส้นทางที่มีและทางออกของวงจรคือขอบโดยที่และสำหรับบางวงจรเรียกว่าวงจรเชิงเดี่ยวถ้าสำหรับทุก ${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots e_{n}}$${\displaystyle r(e_{i})=s(e_{i+1})}$${\displaystyle 1\leq i\leq n-1}$${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots }$${\displaystyle r(e_{i})=s(e_{i+1})}$${\displaystyle i\geq 1}$${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots e_{n}}$${\displaystyle r(e_{n})=s(e_{1})}$${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots e_{n}}$${\displaystyle f\in E^{1}}$${\displaystyle s(f)=s(e_{i})}$${\displaystyle f\neq e_{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$${\displaystyle e_{1}e_{2}\ldots e_{n}}$${\displaystyle s(e_{i})\neq s(e_{1})}$${\displaystyle 2\leq i\leq n}$

ต่อไปนี้เป็นเงื่อนไขกราฟที่สำคัญสองประการที่เกิดขึ้นในการศึกษาพีชคณิต C* ของกราฟ

เงื่อนไข (L): ทุกวงจรในกราฟมีทางออก

เงื่อนไข (K):ไม่มีจุดยอดใดในกราฟที่อยู่บนวัฏจักรเชิงเดี่ยวเพียงวัฏจักรเดียว กล่าวคือ กราฟจะตรงตามเงื่อนไข (K) ก็ต่อเมื่อจุดยอดแต่ละจุดในกราฟไม่อยู่บนวัฏจักรใดเลย หรืออยู่บนวัฏจักรเชิงเดี่ยวสองวัฏจักรขึ้นไป

กลุ่มCuntz-Krieger${\displaystyle E}$คือกลุ่มของพีชคณิต C* ที่มีคุณสมบัติว่า สมาชิกของกลุ่มนี้เป็นไอโซเมตรีบางส่วนที่มีช่วงตั้งฉากซึ่งกันและกัน สมาชิกของกลุ่มนี้เป็นการฉายภาพตั้งฉากซึ่งกันและกัน และเป็นไปตามความสัมพันธ์สามประการต่อไปนี้ (เรียกว่าความสัมพันธ์ Cuntz-Krieger ): ${\displaystyle \left\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$${\displaystyle \left\{s_{e}:e\in E^{1}\right\}}$${\displaystyle \left\{p_{v}:v\in E^{0}\right\}}$

1. (CK1) สำหรับทุกคน${\displaystyle s_{e}^{*}s_{e}=p_{r(e)}}$${\displaystyle e\in E^{1}}$
2. (CK2) เมื่อใดก็ตามที่เป็นจุดยอดปกติ และ${\displaystyle p_{v}=\sum _{s(e)=v}s_{e}s_{e}^{*}}$${\displaystyle v}$
3. (CK3) สำหรับทุกคน${\displaystyle s_{e}s_{e}^{*}\leq p_{s(e)}}$${\displaystyle e\in E^{1}}$

กราฟ C*-algebra ที่สอดคล้องกับ ซึ่งแสดงด้วยถูกกำหนดให้เป็น C*-algebra ที่สร้างขึ้นโดย Cuntz-Krieger -family ที่เป็นสากลในแง่ที่ว่าเมื่อใดก็ตามที่เป็น Cuntz-Krieger -family ใน C*-algebra จะมี-homomorphism อยู่ โดยที่สำหรับทุกและสำหรับทุกการมีอยู่ของสำหรับกราฟใดๆได้รับการพิสูจน์โดย Kumjian, Pask และ Raeburn ^{[ 3 ]} ความเป็นเอกลักษณ์ของ(จนถึง-isomorphism ) เป็นผลโดยตรงจากคุณสมบัติ สากล${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \left\{t_{e},q_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle *}$${\displaystyle \phi :C^{*}(E)\to A}$${\displaystyle \phi (s_{e})=t_{e}}$${\displaystyle e\in E^{1}}$${\displaystyle \phi (p_{v})=q_{v}}$${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle *}$

สิ่งสำคัญคือต้องตระหนักว่ามีข้อตกลงที่แข่งขันกันเกี่ยวกับ "ทิศทางของขอบ" ในความสัมพันธ์ Cuntz-Krieger ตลอดบทความนี้ และในลักษณะที่ความสัมพันธ์ถูกกล่าวถึงข้างต้น เราใช้ข้อตกลงที่กำหนดขึ้นครั้งแรกในเอกสารสำคัญเกี่ยวกับพีชคณิต C* ของกราฟ^{[ 3 ] [ 4 ]} ข้อตกลงทางเลือก ซึ่งใช้ในหนังสือ CBMS ของ Raeburn เกี่ยวกับพีชคณิตกราฟ^{[ 5 ]}สลับบทบาทของแผนที่ช่วงและแผนที่แหล่งที่มาในความสัมพันธ์ Cuntz-Krieger ผลของการเปลี่ยนแปลงนี้คือพีชคณิต C* ของกราฟสำหรับข้อตกลงหนึ่งจะเท่ากับพีชคณิต C* ของกราฟที่มีขอบกลับด้านเมื่อใช้ข้อตกลงอื่น ${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$

ในความสัมพันธ์ Cuntz-Krieger นั้น (CK2) ถูกกำหนดไว้เฉพาะบนจุดยอดปกติเท่านั้น ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าเป็นจุดยอดปกติแล้ว (CK2) บ่งชี้ว่า (CK3) เป็นจริงที่นอกจากนี้ ถ้าเป็นจุดรับ (sink) แล้ว (CK3) จะเป็นจริงโดยปริยายที่ดังนั้น ถ้าเป็นกราฟที่มีแถวจำกัด ความสัมพันธ์ (CK3) จึงไม่จำเป็น และชุดของไอโซเมตรีบางส่วนที่มีช่วงตั้งฉากซึ่งกันและกันและการฉายภาพตั้งฉากซึ่งกันและกันจะเป็นตระกูล Cuntz-Krieger ก็ต่อเมื่อความสัมพันธ์ใน (CK1) เป็นจริงที่ขอบทั้งหมดในและความสัมพันธ์ใน (CK2) เป็นจริงที่จุดยอดทั้งหมดในที่ไม่ใช่จุดรับ ข้อเท็จจริงที่ว่าความสัมพันธ์ Cuntz-Krieger มีรูปแบบที่ง่ายกว่าสำหรับกราฟที่มีแถวจำกัดนั้นมีผลทางเทคนิคต่อผลลัพธ์หลายอย่างในหัวข้อนี้ ไม่เพียงแต่ผลลัพธ์จะพิสูจน์ได้ง่ายกว่าในกรณีที่มีจำนวนแถวจำกัดเท่านั้น แต่ข้อความของทฤษฎีบทก็ยังง่ายขึ้นเมื่ออธิบาย C*-algebra ของกราฟที่มีจำนวนแถวจำกัด ในอดีต งานวิจัยในช่วงแรกๆ เกี่ยวกับ C*-algebra ของกราฟส่วนใหญ่ทำเฉพาะในกรณีที่มีจำนวนแถวจำกัดเท่านั้น แม้แต่ในงานวิจัยสมัยใหม่ที่อนุญาตให้มีตัวปล่อยอนันต์และพิจารณา C*-algebra ของกราฟทั่วไป ก็ยังนิยมกล่าวถึงกรณีจำนวนแถวจำกัดของทฤษฎีบทแยกต่างหากหรือเป็นบทสรุปเนื่องจากผลลัพธ์มักจะเข้าใจง่ายและชัดเจนกว่าในสถานการณ์นี้ ${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \left\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

มีการคำนวณ C*-algebra ของกราฟสำหรับกราฟจำนวนมาก ในทางกลับกัน สำหรับ C*-algebra บางประเภท ได้มีการแสดงให้เห็นถึงวิธีการสร้างกราฟที่มี C*-algebra ที่สมมาตรหรือเทียบเท่าแบบ Moritaกับ C*-algebra ที่กำหนดให้ในประเภทนั้น ${\displaystyle *}$

ตารางต่อไปนี้แสดงกราฟทิศทางจำนวนหนึ่งและพีชคณิต C* ของกราฟเหล่านั้น เราใช้ข้อตกลงว่าลูกศรสองหัวที่ลากจากจุดยอดหนึ่งไปยังอีกจุดยอดหนึ่งและมีป้ายกำกับแสดงว่ามีจำนวนขอบที่นับได้เป็นอนันต์จากจุดยอดแรกไปยังจุดยอดที่สอง ${\displaystyle \infty }$

กราฟทิศทาง${\displaystyle E}$	กราฟ C*-พีชคณิต${\displaystyle C^{*}(E)}$
${\displaystyle \bullet }$	${\displaystyle \mathbb {C} }$จำนวนเชิงซ้อน​
	${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$ฟังก์ชันต่อเนื่องเชิงซ้อนบนวงกลม${\displaystyle \mathbb {T} }$
${\displaystyle v_{1}\longrightarrow v_{2}\longrightarrow \cdots \longrightarrow v_{n-1}\longrightarrow v_{n}}$	${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$เมทริกซ์ที่มีรายการอยู่ใน${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {C} }$
${\displaystyle \bullet \longrightarrow \bullet \longrightarrow \bullet \longrightarrow \cdots }$	${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {K}}}$ตัวดำเนินการกระชับ บน ปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบแยกส่วนมิติอนันต์
	${\displaystyle M_{n}(C(\mathbb {T} ))}$เมทริกซ์ที่มีรายการอยู่ใน${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$
	${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}__{n}}$พีชคณิตคันทซ์ที่สร้างขึ้นโดยไอโซเมตรี ${\displaystyle n}$
	${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}__{\infty }}$พีชคณิตคันทซ์ที่สร้างขึ้นโดยไอโซเมตรีจำนวนอนันต์ที่นับได้
	${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {K}}^{1}}$การทำให้พีชคณิตของตัวดำเนินการกระชับเป็นหน่วย${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {K}}}$
	${\displaystyle {\mathcal {T}}}$พีชคณิตโทปลิตซ์

ได้มีการแสดงให้เห็นแล้วว่าคลาสของกราฟ C*-algebra นั้นประกอบด้วยคลาสต่างๆ ของ C*-algebra C*-algebra ในแต่ละคลาสต่อไปนี้สามารถสร้างขึ้นได้ในรูปของกราฟ C*-algebra โดยพิจารณาจากไอโซมอร์ฟิซึม : ${\displaystyle *}$

• พีชคณิตคันทซ์
• พีชคณิตคันทซ์-ครีเกอร์
• พีชคณิต C* มิติจำกัด
• พีชคณิต AF ที่เสถียร

พีชคณิต C* ในแต่ละคลาสต่อไปนี้ สามารถสร้างขึ้นได้ในรูปของพีชคณิต C* แบบกราฟ โดยมีความสมมูลแบบโมริตะ:

• พีชคณิต AF ^{[ 6 ]}
• พีชคณิต Kirchberg ที่มีกลุ่ม K

ลักษณะเด่นอย่างหนึ่งของกราฟ C*-algebra คือ กราฟไม่เพียงแต่บรรยายความสัมพันธ์สำหรับตัวสร้างของ เท่านั้นแต่ยังสามารถแสดงให้เห็นว่าคุณสมบัติทางทฤษฎีกราฟต่างๆ ของ นั้นเทียบเท่ากับคุณสมบัติทางC*-algebra ของ ได้อีกด้วย อันที่จริง การศึกษาเกี่ยวกับกราฟ C*-algebra ส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับการพัฒนาคำศัพท์สำหรับการจับคู่ระหว่างคุณสมบัติเหล่านี้ และการสร้างทฤษฎีบทในรูปแบบ "กราฟมีคุณสมบัติทางทฤษฎีกราฟบางอย่างก็ต่อเมื่อ C*-algebra มี คุณสมบัติทาง C*-algebra ที่สอดคล้องกัน " ตารางต่อไปนี้แสดงรายการสั้นๆ ของความเทียบเท่าที่เป็นที่รู้จักกันดีบางส่วน ${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$

ทรัพย์สินของ${\displaystyle E}$	ทรัพย์สินของ${\displaystyle C^{*}(E)}$
${\displaystyle E}$เป็นกราฟจำกัดและไม่มีวัฏจักร	${\displaystyle C^{*}(E)}$มีมิติจำกัด
เซตของจุดยอดมีจำนวนจำกัด${\displaystyle E^{0}}$	${\displaystyle C^{*}(E)}$มีเอกลักษณ์ (กล่าวคือมีเอกลักษณ์การคูณอยู่ภายใน) ${\displaystyle C^{*}(E)}$
${\displaystyle E}$ไม่มีวัฏจักร	${\displaystyle C^{*}(E)}$เป็นพีชคณิต AF
${\displaystyle E}$มีคุณสมบัติสามประการดังต่อไปนี้: เงื่อนไข (L) สำหรับแต่ละจุดยอดและแต่ละเส้นทางอนันต์จะมีเส้นทางทิศทางจากจุดยอดหนึ่งไปยังอีกจุดยอดหนึ่งบนและ${\displaystyle v}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle v}$${\displaystyle \alpha }$ สำหรับแต่ละจุดยอดและแต่ละจุดยอดเอกฐานจะมีเส้นทางทิศทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$	${\displaystyle C^{*}(E)}$มันง่ายมาก
${\displaystyle E}$มีคุณสมบัติสามประการดังต่อไปนี้: เงื่อนไข (L) สำหรับแต่ละจุดยอดในนั้นจะมีเส้นทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดยอดหนึ่ง ซึ่งจะนำไปสู่วัฏจักร${\displaystyle v}$${\displaystyle E}$${\displaystyle v}$	ทุกสับพีชคณิตสืบทอดของประกอบด้วยการฉายภาพอนันต์ (เมื่อเป็นแบบเรียบง่าย สิ่งนี้จะเทียบเท่ากับการเป็นอนันต์โดยสมบูรณ์) ${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle C^{*}(E)}$

คุณสมบัติสากลก่อให้เกิดการกระทำตามธรรมชาติของกลุ่มวงกลม บนดังนี้: ถ้าเป็นตระกูล Cuntz-Krieger สากลแล้ว สำหรับจำนวนเชิงซ้อนแบบ unimodular ใดๆชุดข้อมูลจะเป็นตระกูล Cuntz-Krieger และคุณสมบัติสากลของบ่งชี้ว่ามี-homomorphism อยู่ โดยที่สำหรับทุกและสำหรับทุกสำหรับแต่ละ-homomorphism เป็นตัวผกผันสำหรับและดังนั้น จึงเป็นautomorphismสิ่งนี้ทำให้เกิดการกระทำที่ต่อเนื่องอย่างเข้มแข็งโดยการกำหนดการกระทำเกจบางครั้งเรียกว่าการกระทำเกจแบบแคนอนิกบนสิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าการกระทำเกจแบบแคนอนิกขึ้นอยู่กับการเลือกตระกูล Cuntz-Krieger ที่สร้าง การกระทำเกจแบบแคนอนิกเป็นเครื่องมือพื้นฐานในการศึกษามันปรากฏในข้อความของทฤษฎีบท และยังถูกใช้เบื้องหลังเป็นอุปกรณ์ทางเทคนิคในการพิสูจน์ ${\displaystyle \mathbb {T} :=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle \left\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$${\displaystyle \left\{zs_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle *}$${\displaystyle \gamma _{z}:C^{*}(E)\to C^{*}(E)}$${\displaystyle \gamma _{z}(s_{e})=zs_{e}}$${\displaystyle e\in E^{1}}$${\displaystyle \gamma _{z}(p_{v})=p_{v}}$${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$${\displaystyle *}$${\displaystyle \gamma _{\overline {z}}}$${\displaystyle \gamma _{z}}$${\displaystyle \gamma _{z}}$${\displaystyle \gamma :\mathbb {T} \to \operatorname {Aut} C^{*}(E)}$${\displaystyle \gamma (z):=\gamma _{z}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \left\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$${\displaystyle C^{*}(E)}$

มีทฤษฎีบทเอกลักษณ์สองทฤษฎีที่รู้จักกันดีสำหรับพีชคณิต C*-กราฟ ได้แก่ ทฤษฎีบทเอกลักษณ์ที่ไม่ขึ้นกับเกจ และทฤษฎีบทเอกลักษณ์ของคันทซ์-ครีเกอร์ ทฤษฎีบทเอกลักษณ์เหล่านี้เป็นผลลัพธ์พื้นฐานในการศึกษาพีชคณิต C*-กราฟ และเป็นรากฐานของทฤษฎี แต่ละทฤษฎีบทให้เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับโฮโมมอร์ฟิซึมจากไปยังพีชคณิต C* ที่จะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อ หนึ่ง ดังนั้น ทฤษฎีบทเอกลักษณ์จึงสามารถใช้เพื่อพิจารณาว่าพีชคณิต C* ที่สร้างโดยตระกูลคันทซ์-ครีเกอร์นั้นสมมูลกับ เมื่อใด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นพีชคณิต C* ที่สร้างโดยตระกูลคันทซ์-ครีเกอร์คุณสมบัติสากลของจะสร้างโฮโมมอร์ฟิซึมแบบ ทั่วถึง และทฤษฎีบทเอกลักษณ์แต่ละทฤษฎีจะให้เงื่อนไขที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และด้วยเหตุนี้ จึงเป็นสมมูลกัน ข้อความอย่างเป็นทางการของทฤษฎีบทเอกลักษณ์มีดังต่อไปนี้: ${\displaystyle *}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle *}$${\displaystyle \phi :C^{*}(E)\to A}$${\displaystyle \phi }$

ทฤษฎีบทเอกลักษณ์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเกจ: ให้เป็นกราฟ และให้เป็นพีชคณิต C*-กราฟที่เกี่ยวข้อง ถ้าเป็นพีชคณิต C*- และเป็นโฮโมมอร์ฟิซึม ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้: ${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi :C^{*}(E)\to A}$${\displaystyle *}$

1. มีแอคชั่นเกจอยู่ตัวหนึ่งซึ่งสำหรับทุก ๆโดยที่หมายถึงแอคชั่นเกจแบบแคนอนิกบนและ${\displaystyle \beta :\mathbb {T} \to \operatorname {Aut} A}$${\displaystyle \phi \circ \beta _{z}=\gamma _{z}\circ \phi }$${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle C^{*}(E)}$
2. ${\displaystyle \phi (p_{v})\neq 0}$สำหรับทุกคน${\displaystyle v\in E^{0}}$

ดังนั้น จึงเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ${\displaystyle \phi }$

ทฤษฎีบทเอกลักษณ์ของคันทซ์-ครีเกอร์: ให้เป็นกราฟที่สอดคล้องกับเงื่อนไข (L) และให้เป็นพีชคณิต C*-กราฟที่เกี่ยวข้อง ถ้าเป็นพีชคณิต C*- และเป็นโฮโมมอร์ฟิซึม -ที่มีสำหรับทุกแล้วเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi :C^{*}(E)\to A}$${\displaystyle *}$${\displaystyle \phi (p_{v})\neq 0}$${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle \phi }$

ทฤษฎีบทเอกลักษณ์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเกจบ่งชี้ว่า ถ้าเป็นตระกูล Cuntz-Krieger ที่มีโปรเจกชันไม่เป็นศูนย์ และมีการกระทำเกจที่มี และสำหรับทุก, , และแล้วจะสร้างพีชคณิต C* ที่สม isomorphic กับทฤษฎีบทเอกลักษณ์ของ Cuntz-Krieger แสดงให้เห็นว่าเมื่อกราฟเป็นไปตามเงื่อนไข (L) การมีอยู่ของการกระทำเกจนั้นไม่จำเป็น ถ้ากราฟเป็นไปตามเงื่อนไข (L) แล้วตระกูล Cuntz-Krieger ใดๆ ที่มีโปรเจกชันไม่เป็นศูนย์จะสร้างพีชคณิต C* ที่สม isomorphic กับ ${\displaystyle \left\{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\right\}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta _{z}(p_{v})=p_{v}}$${\displaystyle \beta _{z}(s_{e})=zs_{e}}$${\displaystyle v\in E^{0}}$${\displaystyle e\in E^{1}}$${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$${\displaystyle \{s_{e},p_{v}:e\in E^{1},v\in E^{0}\}}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$

โครงสร้างในอุดมคติของสามารถกำหนดได้จากเซตย่อยของจุดยอดเรียกว่าเซตสืบทอดถ้าสำหรับทุก แล้วเซตสืบทอดเรียกว่าเซตอิ่มตัวถ้าเมื่อใดก็ตามที่เป็นจุดยอดปกติที่มีแล้วเซตสืบทอดอิ่มตัวของ เรียงลำดับบางส่วนโดยการรวม และก่อตัวเป็นแลตทิซโดยที่ meet และ join ถูกกำหนดให้เป็นเซตสืบทอดอิ่มตัวที่เล็กที่สุดที่ประกอบด้วย ${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H\subseteq E^{0}}$${\displaystyle e\in E^{1}}$${\displaystyle s(e)\in H}$${\displaystyle r(e)\in H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \{r(e):e\in E^{0},s(e)=v\}\subseteq H}$${\displaystyle v\in H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle H_{1}\wedge H_{2}:=H_{1}\cap H_{2}}$${\displaystyle H_{1}\vee H_{2}}$${\displaystyle H_{1}\cup H_{2}}$

ถ้าเป็นเซตย่อยสืบทอดที่อิ่มตัวจะถูกกำหนดให้เป็นไอเดียลสองด้านปิดในที่สร้างขึ้นโดยไอเดียลสองด้านปิดของเรียกว่าไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเกจถ้าสำหรับทุกและไอเดียลที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเกจจะเรียงลำดับบางส่วนโดยการรวมและก่อตัวเป็นแลตทิซที่มี meet และ joint ซึ่งกำหนดให้เป็นไอเดียลที่สร้างขึ้นโดยสำหรับเซตย่อยสืบทอดที่อิ่มตัวใดๆไอเดียลนั้นจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเกจ ${\displaystyle H}$${\displaystyle I_{H}}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle \{p_{v}:v\in H\}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle \gamma _{z}(a)\in C^{*}(E)}$${\displaystyle a\in I}$${\displaystyle z\in \mathbb {T} }$${\displaystyle I_{1}\wedge I_{2}:=I_{1}\cap I_{2}}$${\displaystyle I_{1}\vee I_{2}}$${\displaystyle I_{1}\cup I_{2}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle I_{H}}$

ทฤษฎีบทต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าไอเดียลที่ไม่ขึ้นกับเกจนั้นสอดคล้องกับเซตย่อยสืบทอดที่อิ่มตัว

ทฤษฎีบท: ให้เป็นกราฟที่มีจำนวนแถวจำกัด แล้วข้อความต่อไปนี้จะเป็นจริง: ${\displaystyle E}$

1. ฟังก์ชันนี้เป็นการแปลงแบบไอโซมอร์ฟิซึมของแลตทิซจากแลตทิซของเซตย่อยสืบทอดอิ่มตัวของไปยังแลตทิซของไอเดียลที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเกจของโดยมีฟังก์ชันผกผันกำหนดโดย${\displaystyle H\mapsto I_{H}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle I\mapsto \left\{v\in E^{0}:p_{v}\in I\right\}}$
2. สำหรับเซตย่อยทางพันธุกรรมอิ่มตัวใดๆผลหารจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกับโดยที่คือกราฟย่อยของ ที่มีเซตจุดยอดและเซตขอบ${\displaystyle H}$${\displaystyle C^{*}(E)/I_{H}}$${\displaystyle *}$${\displaystyle C^{*}(E\setminus H)}$${\displaystyle E\setminus H}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (E\setminus H)^{0}:=E^{0}\setminus H}$${\displaystyle (E\setminus H)^{1}:=E^{1}\setminus r^{-1}(H)}$
3. สำหรับเซตย่อยที่สืบทอดได้แบบอิ่มตัวใดๆไอเดียลจะเทียบเท่ากับโมริตะโดยที่คือกราฟย่อยของ ที่มีเซตจุดยอดและเซตขอบ${\displaystyle H}$${\displaystyle I_{H}}$${\displaystyle C^{*}(E_{H})}$${\displaystyle E_{H}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E_{H}^{0}:=H}$${\displaystyle E_{H}^{1}:=s^{-1}(H)}$
4. ถ้าตรงตามเงื่อนไข (K) แล้วไอเดียลทุกอันของจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงเกจ และไอเดียลของจะมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับเซตย่อยสืบทอดที่อิ่มตัวของ${\displaystyle E}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$

การลดความเอกลักษณ์ ของDrinen-Tomfordeซึ่งมักเรียกง่ายๆ ว่าการลดความเอกลักษณ์เป็นเทคนิคที่ใช้ในการขยายผลลัพธ์สำหรับ C*-algebra ของกราฟที่มีแถวจำกัดไปยัง C*-algebra ของกราฟที่นับได้ ถ้าเป็นกราฟ การลดความเอกลักษณ์ของคือกราฟที่มีแถวจำกัดซึ่งเทียบเท่ากับ Morita [ ^{7 ] Drinen} และ Tomforde อธิบายวิธีการสร้างการลดความเอกลักษณ์จากกราฟที่นับได้ใดๆ: ถ้าเป็นกราฟที่นับได้ สำหรับแต่ละจุดยอดที่ปล่อยขอบจำนวนอนันต์ ก่อนอื่นให้เลือกรายการของขอบขาออกเป็นจากนั้นแนบหางในรูปแบบ ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle C^{*}(F)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle s^{-1}(v_{0})=\{e_{0},e_{1},e_{2},\ldots \}}$

จากนั้นจึงลบขอบออกจากกราฟและกระจายขอบแต่ละขอบไปตามส่วนหางโดยการวาดขอบใหม่จากไปยังสำหรับแต่ละขอบ ${\displaystyle E}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle e_{0},e_{1},e_{2},\ldots }$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle r(e_{i})}$${\displaystyle i=0,1,2,\ldots }$

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของการสร้างแบบนี้ สำหรับตัวอย่างแรก โปรดสังเกตว่าถ้าคือกราฟ ${\displaystyle E}$

จากนั้นการลดความซ้ำซ้อนจะได้รับจากกราฟ ${\displaystyle F}$

สำหรับตัวอย่างที่สอง สมมติว่าเป็นกราฟที่มีจุดยอดหนึ่งจุดและเส้นเชื่อมจำนวนอนันต์ที่นับได้ (แต่ละเส้นเชื่อมเริ่มต้นและสิ้นสุดที่จุดยอดนี้) ดังนั้น การลดความซ้ำซ้อนของ กราฟ (desingularization ) จะได้จากกราฟนี้ ${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\infty }}$${\displaystyle F}$

การกำจัดจุดเอกลักษณ์ได้กลายเป็นเครื่องมือมาตรฐานในทฤษฎีของกราฟ C*-algebra ^{[ 8 ]} และสามารถทำให้การพิสูจน์ผลลัพธ์ง่ายขึ้นโดยอนุญาตให้พิสูจน์ผลลัพธ์ในกรณีแถวจำกัด (ซึ่งโดยทั่วไปง่ายกว่ามาก) ก่อน จากนั้นจึงขยายผลลัพธ์ไปยังกราฟที่นับได้โดยการกำจัดจุดเอกลักษณ์ ซึ่งมักจะใช้ความพยายามเพิ่มเติมเพียงเล็กน้อย

เทคนิคการกำจัดจุดเอกลักษณ์อาจใช้ไม่ได้กับกราฟที่มีจุดยอดที่ปล่อย ขอบออกมาเป็นจำนวนนับ ไม่ได้อย่างไรก็ตาม ในการศึกษาพีชคณิต C*- นั้น มักจะจำกัดความสนใจไว้ที่พีชคณิต C* ที่แยกได้เนื่องจากพีชคณิต C* ของกราฟจะแยกได้ก็ต่อเมื่อกราฟนั้นนับได้ ดังนั้นทฤษฎีส่วนใหญ่ของพีชคณิต C* ของกราฟจึงมุ่งเน้นไปที่กราฟที่นับได้ ${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E}$

กลุ่ม K ของพีชคณิต C* ของกราฟสามารถคำนวณได้ทั้งหมดโดยใช้ข้อมูลจากกราฟเท่านั้น ถ้าเป็นกราฟที่มีแถวจำกัด เมท ริกซ์ จุดยอดของคือเมทริกซ์ที่มีสมาชิกกำหนดให้เป็นจำนวนขอบในจากไปยังเนื่องจากเป็นกราฟที่มีแถวจำกัด จึงมีสมาชิกอยู่ในและแต่ละแถวของมีสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น (อันที่จริง นี่คือที่มาของคำว่า "มีแถวจำกัด") ดังนั้น แต่ละคอลัมน์ของเมทริกซ์สลับตำแหน่งจึงมีสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์เพียงจำนวนจำกัด และเราจะได้แผนที่ที่กำหนดโดยการคูณทางซ้าย ในทำนองเดียวกัน ถ้าแทนเมทริกซ์เอกลักษณ์แล้วจะให้แผนที่ที่กำหนดโดยการคูณทางซ้าย ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E^{0}\!\times \!E^{0}}$${\displaystyle A_{E}}$${\displaystyle A_{E}(v,w)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A_{E}}$${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{0\}}$${\displaystyle A_{E}}$${\displaystyle A_{E}^{t}}$${\textstyle A_{E}^{t}:\bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} \to \bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} }$${\displaystyle I}$${\displaystyle E^{0}\!\times \!E^{0}}$${\textstyle I-A_{E}^{t}:\bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} \to \bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} }$

ทฤษฎีบท:ให้G เป็นกราฟที่มีแถวจำกัดและไม่มีจุดดูด และให้Δ แทนเมทริกซ์จุดยอดของG แล้ว Δ จะให้แผนที่ที่กำหนดได้ดีโดยการคูณทางซ้าย ยิ่งไปกว่านั้น นอกจากนี้ ถ้าΔ มีเอกลักษณ์ (หรือเทียบเท่ากับ Δ เป็นเมทริกซ์จำกัด) แล้ว ไอโซมอร์ฟิซึม Δ จะเปลี่ยนคลาสของเอกลักษณ์ใน Δ ไปเป็นคลาสของเวกเตอร์ในΔ ${\displaystyle E}$${\displaystyle A_{E}}$${\displaystyle E}$$${\displaystyle I-A_{E}^{t}:\bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} \to \bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} }$$$${\displaystyle K_{0}(C^{*}(E))\cong \operatorname {coker} (I-A_{E}^{t})\quad {\text{ and }}\quad K_{1}(C^{*}(E))\cong \ker(I-A_{E}^{t}).}$$${\displaystyle C^{*}(E)}$${\displaystyle E^{0}}$${\displaystyle K_{0}(C^{*}(E))\cong \operatorname {coker} (I-A_{E}^{t})}$${\displaystyle K_{0}(C^{*}(E))}$${\displaystyle (1,1,\ldots ,1)}$${\displaystyle \operatorname {coker} (I-A_{E}^{t})}$

เนื่องจากเป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มย่อยของกลุ่มอิสระเราจึงสรุปได้ว่าเป็นกลุ่มอิสระ สามารถแสดงได้ว่าในกรณีทั่วไป (เช่น เมื่ออนุญาตให้มีซิงค์หรืออีมิเตอร์อนันต์) ยังคงเป็นกลุ่มอิสระ สิ่งนี้ทำให้สามารถสร้างตัวอย่างของ C*-algebra ที่ไม่ใช่ graph C*-algebra ได้: C*-algebra ใดๆ ที่มี K -group ที่ไม่ใช่กลุ่มอิสระ จะไม่เทียบเท่าแบบโมริตะ (และดังนั้นจึงไม่เป็นไอโซมอร์ฟิก) กับ graph C*-algebra ${\displaystyle K_{1}(C^{*}(E))}$${\textstyle \bigoplus _{E^{0}}\mathbb {Z} }$${\displaystyle K_{1}(C^{*}(E))}$${\displaystyle E}$${\displaystyle K_{1}(C^{*}(E))}$

• พีชคณิต C*-กราฟ k
• พีชคณิตเส้นทางของลีวิตต์