ในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์จำนวนกราสส์มันน์ซึ่งตั้งชื่อตามเฮอร์มันน์ กราสส์มันน์ (เรียกอีกอย่างว่าจำนวนแอนติคอมมิวติงหรือจำนวนซูเปอร์นัมเบอร์ ) เป็นองค์ประกอบของพีชคณิตภายนอกของปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อน^{[ 1 ]}กรณีพิเศษของพีชคณิต 1 มิติเรียกว่าจำนวนคู่ จำนวนกราสส์มันน์ถูกนำมาใช้ในฟิสิกส์ในช่วงแรกเพื่อแสดงการแทนแบบอินทิกรัลเส้นทางสำหรับฟิลด์เฟอร์ มิออนิก แม้ว่าปัจจุบันจะถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในฐานะพื้นฐานสำหรับซู เปอร์สเปซ ซึ่งใช้ในการสร้าง ซูเปอร์สมมาตร

จำนวนกราสส์มันน์ถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบหรือวัตถุที่สลับตำแหน่งกันไม่ได้ แนวคิดของวัตถุที่สลับตำแหน่งกันไม่ได้เกิดขึ้นในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ โดยทั่วไปจะพบเห็นได้ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ซึ่งรูปแบบเชิงอนุพันธ์นั้นสลับตำแหน่งกันไม่ได้ รูปแบบเชิงอนุพันธ์มักถูกนิยามในแง่ของการกระทำบนปริภูมิสัมผัสของแมนิโฟลด์ อย่างไรก็ตาม เราสามารถพิจารณาสถานการณ์ที่เรา "ลืม" หรือ "เพิกเฉย" ต่อการมีอยู่ของแมนิโฟลด์พื้นฐานใดๆ และ "ลืม" หรือ "เพิกเฉย" ต่อโครงสร้างบางอย่าง และแทนที่จะเป็นเช่นนั้น เพียงแค่พิจารณาสถานการณ์ที่เรามีวัตถุที่สลับตำแหน่งกันไม่ได้และก่อตัวเป็นปริภูมิเวกเตอร์ โดยไม่มีคุณสมบัติที่กำหนดไว้ล่วงหน้าหรือสมมติไว้ล่วงหน้า วัตถุดังกล่าวซึ่งก่อตัวเป็นพีชคณิต ภายใต้การสลับตำแหน่งกันไม่ ได้ เรียกว่าพีชคณิตกราสส์มันน์หรือพีชคณิตภายนอก

ด้วยแรงบันดาลใจจากเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ และความเข้าใจว่าจำนวนกราสส์มันน์เป็นเพียงองค์ประกอบหนึ่งของพีชคณิตนั้น การเรียกมันว่า "จำนวน" จึงสมเหตุสมผล เพราะมันมีพฤติกรรมไม่ต่างจากจำนวน "ธรรมดา" กล่าวคือ สามารถบวก คูณ และแม้แต่หารได้เมื่อมีส่วนสเกลาร์ที่ไม่เป็นศูนย์ กล่าวคือ มันมีพฤติกรรมเกือบเหมือนฟิลด์นอกจากนี้ยังสามารถทำได้มากกว่านั้น เช่น พิจารณาพหุนามของจำนวนกราสส์มันน์ ซึ่งนำไปสู่แนวคิดของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก เราสามารถหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าว และพิจารณาอนุพันธ์ผกผันได้เช่นกัน แต่ละแนวคิดเหล่านี้สามารถกำหนดได้อย่างละเอียด และสอดคล้องกับแนวคิดที่เทียบเท่ากันจากคณิตศาสตร์ทั่วไปได้อย่างดี ความคล้ายคลึงกันไม่ได้หยุดอยู่แค่นั้น: เรามีสาขาคณิตศาสตร์ขั้นสูง ทั้งหมด ซึ่งอนาล็อกของปริภูมิยุคลิดคือปริภูมิขั้นสูงอนาล็อกของแมนิโฟลด์คือแมนิโฟลด์ขั้นสูงอนาล็อกของพีชคณิตลีคือพีชคณิตลีขั้นสูงและอื่นๆ จำนวนกราสส์มันน์เป็นโครงสร้างพื้นฐานที่ทำให้สิ่งเหล่านี้เป็นไปได้ทั้งหมด

แน่นอนว่า เราสามารถดำเนินโครงการที่คล้ายกันนี้ในสาขาอื่น ๆ หรือแม้แต่วงแหวนได้และในความเป็นจริงแล้ว ในวงการคณิตศาสตร์ก็มีการทำกันอย่างกว้างขวางและเป็นที่นิยม อย่างไรก็ตาม คณิตศาสตร์ขั้นสูงมีความสำคัญเป็นพิเศษในวงการฟิสิกส์ เพราะพฤติกรรมการสลับที่กันสามารถระบุได้อย่างชัดเจนกับพฤติกรรมทางกลศาสตร์ควอนตัมของเฟอร์มิออน: การสลับที่กันนั้นคือหลักการกีดกันของเปาลีดังนั้น การศึกษาเกี่ยวกับจำนวนกราสส์มันน์ และคณิตศาสตร์ขั้นสูงโดยทั่วไป จึงได้รับแรงผลักดันอย่างมากจากประโยชน์ใช้สอยของมันในวงการฟิสิกส์

โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีสนามควอนตัมหรือที่แคบกว่านั้นคือการควอนตัมแบบที่สองเราจะทำงานกับตัวดำเนินการแบบขั้นบันไดที่สร้างสถานะควอนตัมหลายอนุภาค ตัวดำเนินการแบบขั้นบันไดสำหรับเฟอร์มิออนจะสร้างควอนตัมสนามที่จำเป็นต้องมีฟังก์ชันคลื่น แบบสมมาตรผกผัน เนื่องจากหลักการกีดกันของเปาลีบังคับไว้ ในสถานการณ์นี้ จำนวนกราสส์มันน์จะสอดคล้องโดยตรงกับฟังก์ชันคลื่นที่มีเฟอร์มิออนจำนวนหนึ่ง (โดยทั่วไปแล้วไม่สามารถระบุได้)

เมื่อจำนวนเฟอร์มิออนคงที่และจำกัด ความสัมพันธ์ที่ชัดเจนระหว่างความสัมพันธ์แบบแอนติคอมมิวเทชันและสปินเนอร์จะแสดงออกมาโดยใช้กลุ่มสปินกลุ่มนี้สามารถนิยามได้ว่าเป็นเซตย่อยของเวกเตอร์ที่มีความยาวหนึ่งหน่วยในพีชคณิตคลิฟฟอร์ดและแยกตัวประกอบตามธรรมชาติเป็นสปินเนอร์เวล์ แบบแอนติคอม มิวเทชัน ทั้งแอนติคอมมิวเทชันและการแสดงออกในรูปสปินเนอร์เกิดขึ้นอย่างเป็นธรรมชาติสำหรับกลุ่มสปิน โดยพื้นฐานแล้ว จำนวนกราสส์มันน์สามารถคิดได้ว่าเป็นการละทิ้งความสัมพันธ์ที่เกิดจากสปิน และคงไว้เฉพาะความสัมพันธ์เนื่องจากแอนติคอมมิวเทชันเท่านั้น

จำนวนกราสส์มันน์ (Grassmann numbers) คือองค์ประกอบหรือจุดแต่ละจุดของพีชคณิตภายนอกที่สร้างขึ้นโดยชุดของตัวแปรกราสส์มันน์ (Grassmann variables ) หรือทิศทางกราสส์มันน์ (Grassmann direction ) หรือประจุยิ่งยวด (supercharges ) จำนวน n ตัว โดยที่nอาจเป็นอนันต์ การใช้คำว่า "ตัวแปรกราสส์มันน์" นั้นมีมาแต่โบราณ พวกมันไม่ใช่ตัวแปร โดยแท้จริง แต่ควรเข้าใจว่าเป็นองค์ประกอบพื้นฐานของพีชคณิตเอกลักษณ์ (unital algebra ) ศัพท์นี้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าการใช้งานหลักอย่างหนึ่งคือการกำหนดปริพันธ์ และตัวแปรของการอินทิเกรตมีค่าเป็นกราสส์มันน์ ดังนั้นโดยการใช้ภาษาที่ไม่ถูกต้อง จึงเรียกว่าตัวแปรกราสส์มันน์ ในทำนองเดียวกัน แนวคิดของทิศทางมาจากแนวคิดของ ปริภูมิยิ่งยวด ( superspace ) ซึ่งปริภูมิยุคลิดธรรมดาถูกขยายด้วย "ทิศทาง" ที่มีค่าเป็นกราสส์มันน์เพิ่มเติม ส่วนคำว่าประจุมาจากแนวคิดของประจุในฟิสิกส์ซึ่งสอดคล้องกับตัวสร้างสมมาตรทางฟิสิกส์ (ผ่านทฤษฎีบทของโนเธอร์ ) สมมาตรที่รับรู้ได้คือการคูณด้วยตัวแปรกราสส์มันน์ตัวเดียวจะสลับระดับระหว่างเฟอร์มิออนและโบซอน จะมีการอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติมในส่วนถัดไป ${\displaystyle \{\theta _{i}\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

ตัวแปรกราสส์มันน์เป็นเวกเตอร์ฐานของปริภูมิเวกเตอร์ (มิติn ) พวกมันก่อตัวเป็นพีชคณิตเหนือฟิลด์ซึ่งโดยปกติแล้วฟิลด์นั้นมักจะเป็นจำนวนเชิงซ้อนแม้ว่าเราอาจพิจารณาฟิลด์อื่นๆ เช่น จำนวนจริงได้ พีชคณิตนี้เป็นพีชคณิตเอกลักษณ์และตัวสร้างนั้นมีคุณสมบัติสลับที่กันได้:

${\displaystyle \theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}}$

เนื่องจาก x และ x เป็นสมาชิกของปริมาณเวกเตอร์เหนือจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นโดยนิยามแล้ว x และ x จึงสลับที่ได้กับจำนวนเชิงซ้อน กล่าวคือ สำหรับx ที่ เป็นจำนวนเชิงซ้อน จะได้ว่า x = x + ... ${\displaystyle \theta _{i}}$

${\displaystyle \theta _{i}x=x\theta _{i}.}$

กำลังสองของตัวสร้างหายไป:

${\displaystyle (\theta _{i})^{2}=0,}$เนื่องจาก${\displaystyle \theta _{i}\theta _{i}=-\theta _{i}\theta _{i}.}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวแปรกราสส์มันน์คือรากที่สองของ ศูนย์ที่ไม่เป็นศูนย์

ในทางทฤษฎี ให้Vเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนn มิติที่มีฐานเป็น พีชคณิตกราสส์มันน์ที่มีตัวแปรกราสส์มันน์เป็นถูกกำหนดให้เป็นพีชคณิตภายนอกของVกล่าวคือ ${\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle \Lambda (V)=\mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}V=\bigoplus _{k=0}^{n}\Lambda ^{k}V,}$

โดยที่คือผลคูณภายนอกและคือผลรวมโดยตรงองค์ประกอบแต่ละตัวของพีชคณิตนี้เรียกว่าจำนวนกราสส์มันน์โดยทั่วไปแล้วจะละเว้นสัญลักษณ์ลิ่ม เมื่อเขียนจำนวนกราสส์มันน์หลังจากที่ได้กำหนดนิยามแล้ว จำนวน กราสส์มันน์ทั่วไปสามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle \Lambda ^{k}V\equiv \underbrace {\left(V\wedge V\wedge \cdots \wedge V\right)} _{k}}$${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \wedge }$

${\displaystyle z=c_{0}+\sum _{k=1}^{n}\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}}=c_{0}+\sum _{k=1}^{n}\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}=1}^{n}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}$

โดยที่ เป็น เทนเซอร์เชิงซ้อนที่ไม่สมมาตรโดยสมบูรณ์ที่มีอันดับkอีกครั้งและ(ภายใต้เงื่อนไข) และผลคูณจำกัดที่ใหญ่กว่านั้น สามารถมองได้ว่ามีบทบาทเป็นเวกเตอร์ฐานของปริภูมิย่อยของ ${\displaystyle c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle \theta _{i}\wedge \theta _{j}=\theta _{i}\theta _{j}}$${\displaystyle i<j}$${\displaystyle \Lambda }$

พีชคณิตกราสส์มันน์ที่สร้างขึ้นโดยตัวแปรกราสส์มันน์อิสระเชิงเส้นn ^ตัว มีมิติ 2nซึ่งเป็นผลมาจากทฤษฎีบททวินามที่ใช้กับผลรวมข้างต้น และข้อเท็จจริงที่ว่า ผลคูณ ( n + 1)เท่าของตัวแปรต้องเป็นศูนย์ ตามความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบผกผันข้างต้น มิติของ n กำหนดโดยnเลือกkซึ่ง เป็น สัมประสิทธิ์ทวินามกรณีพิเศษที่n = 1เรียกว่าจำนวนคู่ (dual number ) และถูกนำเสนอโดยวิลเลียม คลิฟฟอร์ดในปี 1873 ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$

ในกรณีที่Vมีมิติอนันต์ อนุกรมข้างต้นจะไม่สิ้นสุด และเราจะกำหนด

${\displaystyle \Lambda _{\infty }(V)=\mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots .}$

องค์ประกอบทั่วไปในขณะนี้คือ

${\displaystyle z=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}}\equiv z_{B}+z_{S}=z_{B}+\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}$

ซึ่งบางครั้งถูกเรียกว่าเป็นกายและจิตวิญญาณของจำนวน มหาศาล${\displaystyle z_{B}}$${\displaystyle z_{S}}$${\displaystyle z}$

ในกรณีมิติจำกัด (โดยใช้ศัพท์เดียวกัน) วิญญาณจะเป็นนิลโพเทนต์กล่าวคือ

${\displaystyle z_{S}^{n+1}=0,}$

แต่กรณีมิติอนันต์อาจไม่จำเป็นต้องเป็นเช่นนั้นเสมอไป^{[ 2 ]}

ถ้าVเป็นมิติจำกัดแล้ว

${\displaystyle \theta _{i}z=0,\quad 1\leq i\leq n\Rightarrow z=c\theta _{1}\theta _{2}\cdots \theta _{n},\quad c\in \mathbb {C} ,}$

และถ้าVเป็นมิติอนันต์^{[ 3 ]}

${\displaystyle \theta _{a}z=0\quad \forall a\Rightarrow z=0.}$

ในเอกสารทางวิชาการมักปรากฏซูเปอร์นัมเบอร์สองประเภทที่แตกต่างกัน ได้แก่ ซูเปอร์นัมเบอร์ที่มีตัวสร้างจำนวนจำกัด โดยทั่วไปn = 1, 2, 3 หรือ 4 และซูเปอร์นัมเบอร์ที่มีตัวสร้างจำนวนอนันต์ที่นับได้ สถานการณ์ทั้งสองนี้ไม่ได้ไม่เกี่ยวข้องกันอย่างที่อาจดูเหมือนในตอนแรก ประการแรก ในนิยามของซูเปอร์แมนิโฟลด์รูปแบบหนึ่งใช้ตัวสร้างจำนวนอนันต์ที่นับได้ แต่จากนั้นใช้โทโพโลยีที่ลดมิติลงเหลือจำนวนจำกัดเล็กน้อย^{[ 4 ​​] [ 5 ]}

ในอีกกรณีหนึ่ง อาจเริ่มต้นด้วยตัวสร้างจำนวนจำกัด แต่ในระหว่างกระบวนการควอนตัมขั้นที่สองความต้องการตัวสร้างจำนวนอนันต์ก็เกิดขึ้น: ตัวสร้างหนึ่งตัวสำหรับโมเมนตัมที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่เฟอร์มิออนอาจมี

โดยปกติแล้วจำนวนเชิงซ้อนมักถูกเลือกใช้เป็นขอบเขตสำหรับการกำหนดนิยามของจำนวนกราสส์มันน์ แทนที่จะเป็นจำนวนจริง เนื่องจากวิธีนี้ช่วยหลีกเลี่ยงพฤติกรรมแปลกๆ บางอย่างเมื่อมีการนำการผันหรือการผกผันเข้ามาใช้ เป็นเรื่องปกติที่จะมีการนำตัวดำเนินการ * มาใช้กับจำนวนกราสส์มันน์ในลักษณะดังนี้:

${\displaystyle \theta =\theta ^{*}}$

เมื่อใดที่เป็นตัวสร้าง และเป็นเช่นนั้น ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle (\theta _{i}\theta _{j}\cdots \theta _{k})^{*}=\theta _{k}\cdots \theta _{j}\theta _{i}}$

เราอาจพิจารณาจำนวนกราสส์มันน์ zซึ่งและเรียกจำนวนเหล่านี้ว่า(ซูเปอร์) เรียลในขณะที่จำนวนที่สอดคล้องกับ เรียกว่า(ซูเปอร์) จินตภาพคำจำกัดความเหล่านี้ใช้ได้ดีแม้ว่าจำนวนกราสส์มันน์จะใช้จำนวนจริงเป็นฐานก็ตาม อย่างไรก็ตาม ในกรณีเช่นนั้น สัมประสิทธิ์จำนวนมากจะต้องหายไปหากจำนวนตัวสร้างน้อยกว่า 4 ดังนั้น ตามธรรมเนียมแล้ว จำนวนกราสส์มันน์มักถูกกำหนดบนจำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle z=z^{*}}$${\displaystyle z^{*}=-z}$

อาจใช้รูปแบบอื่นได้เช่นกัน รูปแบบข้างต้นบางครั้งเรียกว่ารูปแบบเดอวิตต์ (DeWitt convention) ซึ่งโรเจอร์สใช้สำหรับการผกผัน (involution) ในรูปแบบนี้ จำนวนซูเปอร์นัมเบอร์จริงจะมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงเสมอ ในขณะที่ในรูปแบบเดอวิตต์ จำนวนซูเปอร์นัมเบอร์จริงอาจมีทั้งสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงและจำนวนจินตนาการ อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วการใช้รูปแบบเดอวิตต์จะง่ายที่สุด ${\displaystyle \theta ^{*}=i\theta }$

ผลคูณของตัวแปร Grassmann จำนวนคี่จะสลับที่กันได้ (anti-commutate) ผลคูณดังกล่าวจึงมักเรียกว่าจำนวน aผลคูณของตัวแปร Grassmann จำนวนคู่จะสลับที่กันได้ (commute) (กับจำนวน Grassmann ทุกจำนวน) ผลคูณดังกล่าวจึงมักเรียกว่าจำนวน cบางครั้งมีการใช้ศัพท์ที่ไม่ถูกต้อง โดยเรียกว่าจำนวน c ที่สลับที่กันได้ (anticommuting c-number ) การแยกส่วนนี้ออกเป็นปริภูมิย่อยคู่และคี่ทำให้เกิดการจัดลำดับบนพีชคณิต ดังนั้น พีชคณิต Grassmann จึงเป็นตัวอย่างต้นแบบของพีชคณิตแบบสลับที่ได้มากกว่า (supercommutative algebras ) โปรดสังเกตว่า จำนวน c เป็นพีชคณิตย่อยของแต่จำนวน a ไม่ใช่ (พวกมันเป็นปริภูมิย่อย ไม่ใช่พีชคณิตย่อย) ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle \Lambda }$

นิยามของจำนวนกราสส์มันน์ช่วยให้สามารถ ทำการ วิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ได้ ในลักษณะเดียวกับการวิเคราะห์จำนวนเชิงซ้อน กล่าวคือ เราสามารถกำหนดฟังก์ชันซูเปอร์โฮโลมอร์ฟิกกำหนดอนุพันธ์ รวมถึงกำหนดปริพันธ์ได้ แนวคิดพื้นฐานบางประการได้รับการพัฒนาอย่างละเอียดมากขึ้นในบทความเกี่ยวกับจำนวน คู่

โดยทั่วไปแล้ว การกำหนดอนาล็อกแบบซูเปอร์สมมาตรของเอนทิตีทางคณิตศาสตร์ทั่วไปมักจะง่ายกว่าหากใช้จำนวนกราสแมนน์ที่มีตัวสร้างจำนวนอนันต์: คำจำกัดความส่วนใหญ่จะตรงไปตรงมา และสามารถนำมาจากคำจำกัดความของโบซอนิกที่สอดคล้องกันได้ ตัวอย่างเช่น จำนวนกราสแมนน์ตัวเดียวสามารถคิดได้ว่าสร้างปริภูมิหนึ่งมิติ ปริภูมิเวกเตอร์ ซูเปอร์สเปซมิติmจะปรากฏเป็นผลคูณคาร์ทีเซียนmเท่าของปริภูมิหนึ่งมิติเหล่านี้สามารถแสดงได้ว่าสิ่งนี้เทียบเท่ากับพีชคณิตที่มี ตัวสร้าง mตัว แต่ต้องใช้การทำงาน^{[ 6 ]}${\displaystyle \Lambda .}$

ปริภูมิสปินเนอร์ถูกนิยามว่าเป็นพีชคณิตกราสส์มันน์หรือพีชคณิตภายนอก ของปริภูมิสปินเนอร์เวล์ (และแอนติสปินเนอร์) โดยที่ฟังก์ชันคลื่นของ เฟอร์มิออน nตัวอยู่ในปริภูมิ ดัง กล่าว ${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle {\overline {W}}}$${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }^{n}W}$

อินทิกรัลเหนือจำนวนกราสส์มันน์เรียกว่าอินทิกรัลเบเรซิน (บางครั้งเรียกว่าอินทิกรัลกราสส์มันน์) เพื่อให้ได้อินทิกรัลเส้นทางสำหรับสนามเฟอร์มิ นิยามของการอินทิเกรตแบบกราสส์มันน์จำเป็นต้องมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• ความเป็นเส้นตรง$${\displaystyle \int \,[af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int \,f(\theta )\,d\theta +b\int \,g(\theta )\,d\theta }$$
• สูตรการอินทิเกรตบางส่วน$${\displaystyle \int \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\right]\,d\theta =0.}$$

นอกจากนี้ การกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันใดๆจะสิ้นสุดลงหลังจากสองพจน์ เนื่องจากและทฤษฎีสนามควอนตัมยังต้องการความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การเลื่อนของตัวแปรการอินทิเกรตอีก ด้วย${\displaystyle f(\theta )=A+B\theta }$${\displaystyle \theta ^{2}=0}$${\displaystyle \theta \to \theta +\eta }$

${\displaystyle \int d\theta f(\theta )=\int d\theta (A+B\theta )\equiv \int d\theta ((A+B\eta )+B\theta ).}$

ฟังก์ชันเชิงเส้นเพียงฟังก์ชันเดียวที่ตรงตามเงื่อนไขนี้คือค่าคงที่ (โดยทั่วไปคือ 1) คูณBดังนั้น Berezin จึงกำหนด^{[ 7 ]}

${\displaystyle \int d\theta (A+B\theta )\equiv B.}$

ซึ่งส่งผลให้ได้กฎต่อไปนี้สำหรับการอินทิเกรตปริมาณของกราสส์มันน์:

• ${\displaystyle \int \,1\,d\theta =0}$
• ${\displaystyle \int \,\theta \,d\theta =1.}$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า การดำเนินการอินทิเกรตและการหาอนุพันธ์ของจำนวนกราสส์มันน์นั้นเหมือนกัน

ในการกำหนดสูตรอินทิกรัลเส้นทางของทฤษฎีสนามควอนตัมจำเป็นต้องใช้ อินทิกรั ล เกาส์เซียน ต่อไปนี้ ของปริมาณกราสส์มันน์สำหรับสนามเฟอร์มิออนแบบแอนติคอมมิวติง โดยที่ Aเป็น เมทริกซ์ N  ×  N :

${\displaystyle \int \exp \left[-\theta ^{\rm {T}}A\eta \right]\,d\theta \,d\eta =\det A}$.

ความกำกวมเกิดขึ้นเมื่อทำการอินทิเกรตเหนือจำนวนกราสส์มันน์หลายตัว ธรรมเนียมที่ทำการอินทิเกรตภายในสุดก่อนจะให้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle \int d\theta \int d\eta \;\eta \theta =+1.}$

ผู้เขียนบางคนยังกำหนดคอนจูเกตที่ซับซ้อนคล้ายกับคอนจูเกตเฮอร์มิเชียนของตัวดำเนินการอีกด้วย^{[ 8 ]}

${\displaystyle (\theta \eta )^{*}\equiv \eta ^{*}\theta ^{*}=-\theta ^{*}\eta ^{*}.}$

ด้วยข้อตกลงเพิ่มเติม

${\displaystyle \theta ={\frac {\theta _{1}+i\theta _{2}}{\sqrt {2}}},\quad \theta ^{*}={\frac {\theta _{1}-i\theta _{2}}{\sqrt {2}}},}$

เราสามารถถือว่าθและθ*เป็นจำนวนกราสส์มันน์อิสระ และปรับใช้

${\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,(\theta \theta ^{*})=1.}$

ดังนั้นปริพันธ์เกาส์เซียนจึงมีค่าเท่ากับ

${\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,e^{-\theta ^{*}b\theta }=\int d\theta ^{*}d\theta \,(1-\theta ^{*}b\theta )=\int d\theta ^{*}d\theta \,(1+\theta \theta ^{*}b)=b}$

และปัจจัยพิเศษของθθ*จะทำให้เกิดปัจจัย(1/b) ขึ้นอย่างมีประสิทธิภาพ เช่นเดียวกับฟังก์ชันเกาส์เซียนทั่วไป

${\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,\theta \theta ^{*}\,e^{-\theta ^{*}b\theta }=1.}$

หลังจากพิสูจน์ความเป็นเอกภาพแล้ว เราสามารถประเมินอินทิกรัลเกาส์เซียนทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนBที่มีค่าไอเกนb _i , ^{[ 8 ] [ 9 ]}

${\displaystyle \left(\prod _{i}\int d\theta _{i}^{*}\,d\theta _{i}\right)e^{-\theta _{i}^{*}B_{ij}\theta _{j}}=\left(\prod _{i}\int d\theta _{i}^{*}\,d\theta _{i}\right)e^{-\theta _{i}^{*}b_{i}\theta _{i}}=\prod _{i}b_{i}=\det B.}$

จำนวนกราสส์มันน์สามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์ตัวอย่างเช่น พิจารณาพีชคณิตกราสส์มันน์ที่สร้างขึ้นจากจำนวนกราสส์มันน์สองจำนวน คือและจำนวนกราสส์มันน์เหล่านี้สามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์ขนาด 4×4: ${\displaystyle \theta _{1}}$${\displaystyle \theta _{2}}$

${\displaystyle \theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}.}$

โดยทั่วไปแล้ว พีชคณิตกราสส์มันน์บน ตัวสร้าง nตัว สามารถแทนได้ด้วย เมทริกซ์จัตุรัสขนาด ²ⁿ × 2n ^ในเชิงกายภาพ เมทริกซ์เหล่านี้สามารถคิดได้ว่าเป็นตัวดำเนินการยกกำลังที่กระทำบนปริภูมิฮิลเบิร์ตของเฟอร์มิออนที่เหมือนกันnตัวในฐานจำนวนการครอบครอง เนื่องจากจำนวนการครอบครองสำหรับแต่ละเฟอร์มิออนคือ 0 หรือ 1 จึงมีสถานะฐานที่เป็นไปได้ 2n ^{สถานะ}ในทางคณิตศาสตร์ เมทริกซ์เหล่านี้สามารถตีความได้ว่าเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่สอดคล้องกับการคูณภายนอกด้านซ้ายบนพีชคณิตกราสส์มันน์เอง

มีการสรุปทั่วไปบางประการเกี่ยวกับจำนวนของกราสส์มันน์ ซึ่งต้องใช้กฎเกณฑ์ในรูปของ ตัวแปร Nตัว ดังนี้:

${\displaystyle \theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{N}}+\theta _{i_{N}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots +\cdots =0}$

โดยที่ดัชนีจะถูกรวมเข้าด้วยกันสำหรับทุกการเรียงสับเปลี่ยน ส่งผลให้:

${\displaystyle (\theta _{i})^{N}=0\,}$

สำหรับN บางค่าที่มากกว่า  2 สิ่งเหล่านี้มีประโยชน์สำหรับการคำนวณไฮเปอร์ดีเทอร์มิแนนต์ของ เทนเซอร์ Nโดยที่N  > 2 และยังใช้สำหรับการคำนวณดิสคริมิแนนต์ของพหุนามสำหรับกำลังที่มากกว่า 2 นอกจากนี้ยังมีกรณีลิมิตเมื่อNเข้าสู่อินฟินิตี้ ซึ่งในกรณีนี้เราสามารถกำหนดฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์บนตัวเลขได้ ตัวอย่างเช่น ในกรณีที่N  = 3 ตัวเลขกราสส์มันน์ตัวเดียวสามารถแทนได้ด้วยเมทริกซ์:

${\displaystyle \theta ={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}\qquad }$

ดังนั้นสำหรับจำนวนกราสส์แมนสองจำนวน เมทริกซ์จะมีขนาด 10×10 ${\displaystyle \theta ^{3}=0}$

ตัวอย่างเช่น กฎสำหรับN  = 3 ที่มีตัวแปร Grassmann สองตัว บ่งชี้ว่า:

${\displaystyle \theta _{1}(\theta _{2})^{2}+\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}+(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=0}$

เพื่อให้สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า

${\displaystyle \theta _{1}(\theta _{2})^{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=(\theta _{2})^{2}\theta _{1}}$

และดังนั้น

${\displaystyle (\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}=(\theta _{2})^{2}(\theta _{1})^{2}=\theta _{1}(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=\theta _{2}(\theta _{1})^{2}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1},}$

ซึ่งให้คำจำกัดความของไฮเปอร์ดีเทอร์มิแนนต์ของเทนเซอร์ 2×2×2 ดังนี้

${\displaystyle (A^{abc}\theta _{a}\eta _{b}\psi _{c})^{4}=\det(A)(\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}(\eta _{1})^{2}(\eta _{2})^{2}(\psi _{1})^{2}(\psi _{2})^{2}.}$

• กราสส์มันเนียน
• เฮอร์มันน์ กราสส์มันน์ (นักภาษาศาสตร์และนักคณิตศาสตร์)
• ซูเปอร์สเปซ
• พีชคณิตภายนอก