อัตลักษณ์ของกรีน

Q: ตัวตนที่สามของกรีน

เอกลักษณ์ที่สามของกรีนได้มาจากเอกลักษณ์ที่สองโดยการเลือก φ = G โดยที่ ฟังก์ชัน G ของกรีน ถือเป็น ผลเฉลยพื้นฐาน ของ ตัวดำเนินการลาปลา ส ∆ ซึ่งหมายความว่า: Δ G ( x , η ) = δ ( x − η ) .

ในทางคณิตศาสตร์เอกลักษณ์ของกรีนเป็นชุดของเอกลักษณ์สามอย่างในแคลคูลัสเวกเตอร์ซึ่งเชื่อมโยงส่วนภายในกับขอบเขตของบริเวณที่ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์กระทำ เอกลักษณ์เหล่านี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์จอร์จ กรีนผู้ค้นพบทฤษฎีบทของกรีน

ตัวตนแรกของกรีน

เอกลักษณ์นี้ได้มาจากทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ที่ใช้กับฟิลด์เวกเตอร์ $F = ψ \nabla φ$ โดยใช้การขยายของกฎผลคูณที่ว่า $\nabla \cdot (ψ X) = \nabla ψ \cdot X + ψ \nabla\cdot X$ : ให้ $φ$ และ $ψ$ เป็นฟังก์ชันสเกลาร์ที่กำหนดบนบริเวณ $U \subset R d$ บางบริเวณ และสมมติว่า $φ เป็น$ ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองครั้ง อย่างต่อเนื่อง และ $ψ$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้หนึ่งครั้งอย่างต่อเนื่อง โดยใช้กฎผลคูณข้างต้น แต่ให้ $X = \nabla φ$ ทำการอินทิเกรต∇⋅ $(ψ \nabla φ)$ บน $U$ จากนั้น^{[ 1 ]} โดยที่ $∆ \equiv \nabla$ $2$ คือตัวดำเนินการลาปลาส ∂ $U$ $คือ$ ขอบเขตของบริเวณ $U$ n คือเวกเตอร์หน่วยปกติที่ชี้ออกไปด้านนอกขององค์ประกอบพื้นผิว $dS$ และ $d$ $S$ $=$ $n$ $dS$ คือองค์ประกอบพื้นผิวที่มี $ทิศทาง$ $\int _{U}\left(\psi \,\Delta \varphi +\nabla \psi \cdot \nabla \varphi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} \right)\,dS=\oint _{\partial U}\psi \,\nabla \varphi \cdot d\mathbf {S}$

ทฤษฎีบทนี้เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์และโดยพื้นฐานแล้วคือการเทียบเท่าในมิติที่สูงกว่าของ การอินทิเก รตโดยส่วนโดยใช้ $ψ$ และเกรเดียนต์ของ $φ$ แทน $u$ และ $v$

โปรดทราบว่าเอกลักษณ์แรกของกรีนข้างต้นเป็นกรณีพิเศษของเอกลักษณ์ทั่วไปที่ได้มาจากทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์โดยการแทนที่ $F = ψ Γ$ $\int _{U}\left(\psi \,\nabla \cdot \mathbf {\Gamma } +\mathbf {\Gamma } \cdot \nabla \psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\psi \left(\mathbf {\Gamma } \cdot \mathbf {n} \right)\,dS=\oint _{\partial U}\psi \mathbf {\Gamma } \cdot d\mathbf {S} ~.$

ตัวตนที่สองของกรีน

ถ้า $φ$ และ $ψ$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์อันดับสองได้อย่างต่อเนื่องบน $U \subset R 3$ และ $ε$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์อันดับหนึ่งได้อย่างต่อเนื่อง เราสามารถเลือก $F = ψε \nabla φ - φε \nabla ψ$ เพื่อให้ ได้ $\int _{U}\left[\psi \,\nabla \cdot \left(\varepsilon \,\nabla \varphi \right)-\varphi \,\nabla \cdot \left(\varepsilon \,\nabla \psi \right)\right]\,dV=\oint _{\partial U}\varepsilon \left(\psi {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }-\varphi {\partial \psi \over \partial \mathbf {n} }\right)\,dS.$

สำหรับกรณีพิเศษที่ $ε = 1$ ตลอดทั้ง $U \subset R 3$ แล้ว $\int _{U}\left(\psi \,\nabla ^{2}\varphi -\varphi \,\nabla ^{2}\psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\left(\psi {\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }-\varphi {\partial \psi \over \partial \mathbf {n} }\right)\,dS.$

ในสมการข้างต้น $\partial φ /\partial n$ คืออนุพันธ์เชิงทิศทางของ $φ$ ในทิศทางของเวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิว n ที่ชี้ออกด้านนอกของ $องค์ประกอบ$ พื้นผิว $dS$ ${\partial \varphi \over \partial \mathbf {n} }=\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }\varphi .$

การรวมนิยามนี้อย่างชัดเจนในเอกลักษณ์ที่สองของกรีนโดยที่ $ε = 1$ จะส่งผลให้

$\int _{U}\left(\psi \,\Delta \varphi -\varphi \,\Delta \psi \right)\,dV=\oint _{\partial U}\left(\psi \nabla \varphi -\varphi \nabla \psi \right)\cdot d\mathbf {S} .$

ลาปลาเซียนอยู่ที่ไหน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าลาปลาเซียนเป็น $ตัว$ ดำเนิน การสมมาตรใน ผลคูณภายใน $L²$ สำหรับฟังก์ชันที่หายไปบนขอบเขต ดังนั้นด้านขวามือของเอกลักษณ์ข้างต้นจึงเป็นศูนย์ $\Delta =\nabla ^{2}$

ตัวตนที่สามของกรีน

เอกลักษณ์ที่สามของกรีนได้มาจากเอกลักษณ์ที่สองโดยการเลือก $φ = G$ โดยที่ฟังก์ชัน $G$ ของกรีน ถือเป็นผลเฉลยพื้นฐานของตัวดำเนินการลาปลาส ∆ ซึ่งหมายความว่า: $\Delta G(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\eta }})=\delta (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\eta }})~.$

ตัวอย่างเช่น ใน $R 3$ คำตอบจะมีรูปแบบดังนี้ $G(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\eta }})={\frac {-1}{4\pi \|\mathbf {x} -{\boldsymbol {\eta }}\|}}~.$

เอกลักษณ์ที่สามของกรีนกล่าวว่า ถ้า $ψ$ เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้อย่างต่อเนื่องบน $U$ แล้ว

$\int _{U}\left[\delta (\mathbf {y} -{\boldsymbol {\eta }})\psi ({\boldsymbol {\eta }})-G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})\,\Delta \psi (\mathbf {y} )\right]\,dV_{\mathbf {y} }=\oint _{\partial U}\left[\psi (\mathbf {y} ){\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }}) \over \partial \mathbf {n} }-G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }}){\partial \psi (\mathbf {y} ) \over \partial \mathbf {n} }\right]\,dS_{\mathbf {y} }.$

โปรดทราบว่าปริพันธ์เหนือค่าจะได้ผลลัพธ์เป็น 0 เมื่อและให้ค่าเป็น 0 ในกรณีอื่น ๆ $\delta (\mathbf {y} -{\boldsymbol {\eta }})\psi ({\boldsymbol {\eta }})$ $\psi$ ${\boldsymbol {\eta }}\in U$

หาก $ψ$ เป็นฟังก์ชันฮาร์มอ นิกเอง กล่าว คือ เป็นคำตอบของสมการลาปลาสในก็จะ ได้สมการที่ ง่ายขึ้น และเอกลักษณ์ก็จะลดรูปเหลือเพียง $U$ $\Delta \psi =0$

$\oint _{\partial U}\left[\psi (\mathbf {y} ){\frac {\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})}{\partial \mathbf {n} }}-G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }}){\frac {\partial \psi (\mathbf {y} )}{\partial \mathbf {n} }}\right]\,dS_{\mathbf {y} }={\begin{cases}\psi ({\boldsymbol {\eta }})\qquad &{\boldsymbol {\eta }}\in U\\0&{\boldsymbol {\eta }}\notin U\end{cases}}.$

พจน์ที่สองในปริพันธ์ข้างต้นสามารถตัดทิ้งได้หาก เลือกให้ $G$ เป็นฟังก์ชันของกรีนซึ่งมีค่าเป็นศูนย์ที่ขอบเขตของ $U$ ( เงื่อนไขขอบเขตของ Dirichlet ) $\oint _{\partial U}\psi (\mathbf {y} ){\frac {\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})}{\partial \mathbf {n} }}\,dS_{\mathbf {y} }={\begin{cases}\psi ({\boldsymbol {\eta }})\qquad &{\boldsymbol {\eta }}\in U\\0&{\boldsymbol {\eta }}\notin U\end{cases}}.$

รูปแบบนี้ใช้ในการสร้างวิธีแก้ปัญหาเงื่อนไขขอบเขต Dirichlet วิธีแก้ ปัญหา เงื่อนไขขอบเขต Neumannอาจถูกทำให้ง่ายขึ้นได้เช่นกัน แม้ว่าทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ที่ใช้กับสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดฟังก์ชัน Green จะแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชัน Green ไม่สามารถอินทิเกรตเป็นศูนย์บนขอบเขตได้ และด้วยเหตุนี้จึงไม่สามารถเป็นศูนย์บนขอบเขตได้ ดูฟังก์ชัน Green สำหรับ Laplacianหรือ^{[ 2 ]}สำหรับข้อโต้แย้งโดยละเอียดพร้อมทางเลือกอื่น

สำหรับเงื่อนไขขอบเขต Neumann สามารถเลือกฟังก์ชัน Green ที่เหมาะสมเพื่อลดความซับซ้อนของอินทิกรัลได้^{[ 3 ]}หมายเหตุแรก

$\int _{U}\Delta G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})dV_{\mathbf {y} }=1=\oint _{\partial U}{\frac {\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})}{\partial \mathbf {n} }}dS_{\mathbf {y} }~\qquad \qquad {\boldsymbol {\eta }}\in U.$

และดังนั้นจึงไม่สามารถหายไปบนพื้นผิวได้ ตัวเลือกที่สะดวกคือโดยที่คือพื้นที่ของพื้นผิวอินทิกรัลสามารถลดรูปได้เป็น ${\frac {\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})}{\partial \mathbf {n} }}$ $S$ ${\frac {\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})}{\partial \mathbf {n} }}={\frac {1}{\mathcal {A}}}$ ${\mathcal {A}}$ $S$

$\psi ({\boldsymbol {\eta }})=\langle \psi \rangle _{S}-\oint _{\partial U}G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }}){\frac {\partial \psi (\mathbf {y} )}{\partial \mathbf {n} }}\,dS_{\mathbf {y} }.$

ค่าเฉลี่ยของบนพื้นผิวอยู่ที่ใด $\langle \psi \rangle _{S}={\frac {1}{\mathcal {A}}}\oint _{\partial U}\psi (\mathbf {y} )dS_{\mathbf {y} }$ $\psi$ $S$

นอกจากนี้ หากเป็นคำตอบของสมการลาปลาส ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์บ่งชี้ว่า ต้องสอดคล้องกับเงื่อนไข ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับปัญหาขอบเขตของนอยมันน์ที่จะมีคำตอบ $\psi$ $\oint _{\partial U}{\frac {\partial \psi (\mathbf {y} )}{\partial \mathbf {n} }}dS_{\mathbf {y} }=\int _{U}\Delta \psi (\mathbf {y} )dV_{\mathbf {y} }=0$

นอกจากนี้ ยังสามารถตรวจสอบได้ว่าเอกลักษณ์ข้างต้นยังใช้ได้เมื่อ $ψ$ เป็นคำตอบของสมการเฮล์มโฮลทซ์หรือสมการคลื่นและ $G$ เป็นฟังก์ชันกรีนที่เหมาะสม ในบริบทเช่นนี้ เอกลักษณ์นี้คือการแสดงออกทางคณิตศาสตร์ของหลักการของฮุยเกนส์และนำไปสู่สูตรการเลี้ยวเบนของเคิร์ชฮอฟฟ์และการประมาณค่าอื่นๆ

บนแมนิโฟลด์

เอกลักษณ์ของกรีนใช้ได้กับแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ ในบริบทนี้ สองข้อแรกคือ โดยที่ $u$ และ $v$ เป็นฟังก์ชันค่าจริงเรียบบน $M$ , $dV$ คือฟอร์มปริมาตรที่เข้ากันได้กับเมตริก, คือฟอร์มปริมาตรที่เหนี่ยวนำบนขอบของ $M$ , $N$ คือสนามเวกเตอร์หน่วยที่ชี้ออกด้านนอกตั้งฉากกับขอบ และ $Δ$ $u$ $= div(grad$ $u$ $)$ คือตัวดำเนินการลาปลาเซียน ${\begin{aligned}\int _{M}u\,\Delta v\,dV+\int _{M}\langle \nabla u,\nabla v\rangle \,dV&=\int _{\partial M}uNv\,d{\widetilde {V}}\\\int _{M}\left(u\,\Delta v-v\,\Delta u\right)\,dV&=\int _{\partial M}(uNv-vNu)\,d{\widetilde {V}}\end{aligned}}$ $d{\widetilde {V}}$

เอกลักษณ์เวกเตอร์ของกรีน

เอกลักษณ์เวกเตอร์แรก

โดยใช้เอกลักษณ์เวกเตอร์ลาปลาเซียน^และเอกลักษณ์ไดเวอร์เจนซ์ [ ^{4 ]}ขยาย $\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q}$

$\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} =\nabla \cdot (\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} )-(\nabla \times \mathbf {P} )\cdot (\nabla \times \mathbf {Q} )+\mathbf {P} \cdot [\nabla (\nabla \cdot \mathbf {Q} )]$

พจน์สุดท้ายสามารถทำให้ง่ายขึ้นได้โดยการขยายส่วนประกอบ ${\begin{aligned}\mathbf {P} \cdot [\nabla (\nabla \cdot \mathbf {Q} )]&=P^{i}[\nabla _{i}(\nabla _{j}Q^{j})]\\&=\nabla _{i}[P^{i}(\nabla _{j}Q^{j})]-(\nabla _{i}P^{i})(\nabla _{j}Q^{j})\\&=\nabla \cdot [\mathbf {P} (\nabla \cdot \mathbf {Q} )]-(\nabla \cdot \mathbf {P} )(\nabla \cdot \mathbf {Q} )\end{aligned}}$

สามารถเขียนอัตลักษณ์ใหม่ได้ดังนี้ $\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} =\nabla \cdot (\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} )-(\nabla \times \mathbf {P} )\cdot (\nabla \times \mathbf {Q} )+\nabla \cdot [\mathbf {P} (\nabla \cdot \mathbf {Q} )]-(\nabla \cdot \mathbf {P} )(\nabla \cdot \mathbf {Q} )$

ในรูปอินทิกรัล นี่คือ $\oint _{\partial U}\mathbf {n} \cdot \left[\mathbf {P} \times \nabla \times \mathbf {Q} +\mathbf {P} (\nabla \cdot \mathbf {Q} )\right]dS=\int _{U}\left[\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} +(\nabla \times \mathbf {P} )\cdot (\nabla \times \mathbf {Q} )+(\nabla \cdot \mathbf {P} )(\nabla \cdot \mathbf {Q} )\right]dV$

เอกลักษณ์เวกเตอร์ที่สอง

เอกลักษณ์ที่สองของกรีนสร้างความสัมพันธ์ระหว่างอนุพันธ์อันดับสองและ (ความแตกต่างของ) อนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันสเกลาร์สองฟังก์ชัน ในรูปแบบเชิงอนุพันธ์ โดยที่ $p$ และ $q$ เป็นฟิลด์สเกลาร์สองฟิลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้อย่างต่อเนื่อง เอกลักษณ์นี้มีความสำคัญอย่างยิ่งในฟิสิกส์ เนื่องจากสามารถสร้างสมการความต่อเนื่องสำหรับฟิลด์สเกลาร์ เช่น มวลหรือพลังงานได้^[⁵^] $p_{m}\,\Delta q_{m}-q_{m}\,\Delta p_{m}=\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\,\nabla p_{m}\right),$

ในทฤษฎีการเลี้ยวเบนของเวกเตอร์ มีการนำเสนอเอกลักษณ์ที่สองของกรีนสองเวอร์ชัน

รูปแบบหนึ่งอ้างถึงความแตกต่างของผลคูณไขว้^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}และระบุความสัมพันธ์ในแง่ของ curl-curl ของฟิลด์ $\mathbf {P} \cdot \left(\nabla \times \nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \cdot \left(\nabla \times \nabla \times \mathbf {P} \right)=\nabla \cdot \left(\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)-\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)\right).$

สมการนี้สามารถเขียนในรูปของตัวดำเนินการลาปลาเซียนได้

$\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} +\mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]-\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right]=\nabla \cdot \left(\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right).$

อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขเหล่านั้น ไม่สามารถเขียนออกมาในรูปของการเบี่ยงเบนได้โดยตรง $\mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]-\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right],$

แนวทางอื่นนำเสนอไบเวกเตอร์ ซึ่งสูตรนี้ต้องการฟังก์ชันกรีนแบบไดอะดิก^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}การพิสูจน์ที่นำเสนอในที่นี้หลีกเลี่ยงปัญหาเหล่านี้^{[ 11 ]}

พิจารณาว่าฟิลด์สเกลาร์ในเอกลักษณ์ที่สองของกรีนคือส่วนประกอบคาร์ทีเซียนของฟิลด์เวกเตอร์ กล่าวคือ $\mathbf {P} =\sum _{m}p_{m}{\hat {\mathbf {e} }}_{m},\qquad \mathbf {Q} =\sum _{m}q_{m}{\hat {\mathbf {e} }}_{m}.$

เมื่อรวมสมการของแต่ละส่วนประกอบเข้าด้วยกัน เราจะได้ $\sum _{m}\left[p_{m}\Delta q_{m}-q_{m}\Delta p_{m}\right]=\sum _{m}\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right).$

ตามนิยามของผลคูณดอท ด้านซ้ายมือสามารถเขียนในรูปแบบเวกเตอร์ได้ดังนี้ $\sum _{m}\left[p_{m}\,\Delta q_{m}-q_{m}\,\Delta p_{m}\right]=\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} .$

ฝั่งขวาของสมการนั้นค่อนข้างยากที่จะแสดงในรูปของตัวดำเนินการเวกเตอร์ เนื่องจากคุณสมบัติการกระจายตัวของตัวดำเนินการไดเวอร์เจนซ์เหนือการบวก ผลรวมของไดเวอร์เจนซ์จึงเท่ากับไดเวอร์เจนซ์ของผลรวม กล่าวคือ $\sum _{m}\nabla \cdot \left(p_{m}\nabla q_{m}-q_{m}\nabla p_{m}\right)=\nabla \cdot \left(\sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}-\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}\right).$

โปรดจำเอกลักษณ์เวกเตอร์สำหรับเกรเดียนต์ของผลคูณดอทซึ่ง เมื่อเขียนออกมาในรูปส่วนประกอบของเวกเตอร์ จะได้ดังนี้ $\nabla \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)+\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right),$

$\nabla \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\nabla \sum _{m}p_{m}q_{m}=\sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}+\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}.$

ผลลัพธ์นี้คล้ายคลึงกับสิ่งที่เราต้องการแสดงในแง่ของเวกเตอร์ 'ยกเว้น' เครื่องหมายลบ เนื่องจากตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ในแต่ละเทอมกระทำกับเวกเตอร์หนึ่ง (เช่น's) หรืออีกเวกเตอร์หนึ่ง ( 's) ดังนั้นการมีส่วนร่วมในแต่ละเทอมจะต้องเป็น $p_{m}$ $q_{m}$ $\sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right),$ $\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}=\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right).$

ผลลัพธ์เหล่านี้สามารถพิสูจน์ได้ว่าถูกต้องอย่างเข้มงวดโดยการประเมินส่วนประกอบของเวกเตอร์ดังนั้น ด้านขวาของสมการจึงสามารถเขียนในรูปแบบเวกเตอร์ได้ดังนี้

$\sum _{m}p_{m}\nabla q_{m}-\sum _{m}q_{m}\nabla p_{m}=\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right).$

เมื่อนำผลลัพธ์ทั้งสองนี้มารวมกัน จะได้ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกับทฤษฎีบทของกรีนสำหรับฟิลด์สเกลาร์ ทฤษฎีบทสำหรับฟิลด์เวกเตอร์: $\color {OliveGreen}\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} =\left[\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right].$

เคิร์ลของผลคูณเวกเตอร์สามารถเขียนได้ดังนี้ $\nabla \times \left(\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \right)=\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} -\left(\mathbf {P} \cdot \nabla \right)\mathbf {Q} +\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right);$

เอกลักษณ์เวกเตอร์ของกรีนสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้ $\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)-\nabla \times \left(\mathbf {P} \times \mathbf {Q} \right)+\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right].$

เนื่องจากค่าไดเวอร์เจนซ์ของเคิร์ลเป็นศูนย์ พจน์ที่สามจึงหายไป ทำให้ได้เอกลักษณ์เวกเตอร์ที่สองของกรีน : $\color {OliveGreen}\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} =\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)+\mathbf {P} \times \left(\nabla \times \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \times \left(\nabla \times \mathbf {P} \right)\right].$

ด้วยขั้นตอนที่คล้ายกัน ลาปลาเซียนของผลคูณดอทสามารถแสดงได้ในรูปของลาปลาเซียนของตัวประกอบ $\Delta \left(\mathbf {P} \cdot \mathbf {Q} \right)=\mathbf {P} \cdot \Delta \mathbf {Q} -\mathbf {Q} \cdot \Delta \mathbf {P} +2\nabla \cdot \left[\left(\mathbf {Q} \cdot \nabla \right)\mathbf {P} +\mathbf {Q} \times \nabla \times \mathbf {P} \right].$

ผลที่ตามมาคือ ตอนนี้เราสามารถเขียนเงื่อนไขที่ยุ่งยากเหล่านั้นในรูปของความแตกต่างได้โดยการเปรียบเทียบกับสมการกรีนแบบเวกเตอร์ $\mathbf {P} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)\right]-\mathbf {Q} \cdot \left[\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right]=\nabla \cdot \left[\mathbf {P} \left(\nabla \cdot \mathbf {Q} \right)-\mathbf {Q} \left(\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\right].$

ผลลัพธ์นี้สามารถตรวจสอบได้โดยการขยายค่าไดเวอร์เจนซ์ของปริมาณสเกลาร์คูณกับปริมาณเวกเตอร์ทางด้านขวามือ

เอกลักษณ์เวกเตอร์ที่สาม

เอกลักษณ์เวกเตอร์ที่สามสามารถหาได้โดยใช้ฟังก์ชันกรีนสเกลาร์ของพื้นที่ว่าง^{[ 4 ]}นำคำจำกัดความของฟังก์ชันกรีนสเกลาร์ มาคูณด้วยและลบออก $\Delta G(\mathbf {x} ,{\boldsymbol {\eta }})=\delta (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\eta }})$ $\mathbf {P}$ $G\nabla _{i}\nabla ^{i}\mathbf {P}$

$\nabla _{i}(\mathbf {P} \nabla ^{i}G-G\nabla ^{i}\mathbf {P} )=\mathbf {P} \delta (\mathbf {x} -{\boldsymbol {\eta }})-G\Delta \mathbf {P}$

ทำการอินทิเกรตเหนือปริมาตรและใช้ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ $U$ $\oint _{\partial U}{\bigg (}\mathbf {P} (\mathbf {y} ){\frac {\partial G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})}{\partial \mathbf {n} }}-G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }}){\frac {\partial \mathbf {P} (\mathbf {y} )}{\partial \mathbf {n} }}{\bigg )}dS_{y}+\int _{U}G(\mathbf {y} ,{\boldsymbol {\eta }})\Delta \mathbf {P} (\mathbf {y} )dV_{y}=\left\{{\begin{matrix}\mathbf {P} ({\boldsymbol {\eta }})&{\text{for }}~{\boldsymbol {\eta }}\in U\\0&{\text{for }}~{\boldsymbol {\eta }}\not \in U\\\end{matrix}}\right.$

ดูเพิ่มเติม

ลิงก์ภายนอก

"สูตรสีเขียว" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
เอกลักษณ์ของกรีนที่ Wolfram MathWorld

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

และ

[

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]