รหัสแฮมมิง(7,4)
ตั้งชื่อตาม	ริชาร์ด ดับเบิลยู. แฮมมิง
การจำแนกประเภท
พิมพ์	รหัสบล็อกเชิงเส้น
ความยาวบล็อก	7
ความยาวของข้อความ	4
ประเมิน	4/7 ~ 0.571
ระยะทาง	3
ขนาดตัวอักษร	2
สัญกรณ์	[7,4,3] -รหัส
คุณสมบัติ
รหัสที่สมบูรณ์แบบ
วี ที อี

ในทฤษฎีการเข้ารหัส Hamming (7,4)เป็นรหัสแก้ไขข้อผิดพลาดเชิงเส้นที่เข้ารหัสข้อมูล สี่ บิต เป็นเจ็ดบิตโดยการเพิ่ม บิตพาริตี สามบิต เป็นสมาชิกของตระกูล รหัส Hamming ที่ใหญ่กว่า แต่คำว่ารหัส Hammingมักหมายถึงรหัสเฉพาะนี้ที่Richard W. Hammingนำเสนอในปี 1950 ในขณะนั้น Hamming ทำงานที่Bell Telephone Laboratories และรู้สึกไม่พอใจกับเครื่องอ่าน บัตรเจาะรูที่มีข้อผิดพลาดได้ง่ายซึ่งเป็นเหตุผลที่เขาเริ่มทำงานเกี่ยวกับรหัสแก้ไขข้อผิดพลาด^{[ 1 ]}

รหัสแฮมมิงจะเพิ่มบิตตรวจสอบเพิ่มเติมสามบิตให้กับทุกๆ สี่บิตข้อมูลของข้อความอัลกอริทึม ของแฮมมิง (7,4) สามารถแก้ไขข้อผิดพลาดบิตเดียวใดๆ หรือตรวจจับข้อผิดพลาดบิตเดียวและสองบิตทั้งหมดได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งระยะทางแฮมมิง ขั้นต่ำ ระหว่างคำรหัสที่ถูกต้องสองคำใดๆ คือ 3 และคำที่ได้รับสามารถถอดรหัสได้อย่างถูกต้องหากมีระยะห่างไม่เกินหนึ่งจากคำรหัสที่ผู้ส่งส่งมา ซึ่งหมายความว่าสำหรับ สถานการณ์ สื่อการส่งที่ ไม่มี ข้อผิดพลาดแบบระเบิดรหัสของแฮมมิง (7,4) จะมีประสิทธิภาพ (เนื่องจากสื่อจะต้องมีสัญญาณรบกวนอย่างมากจึงจะทำให้สองในเจ็ดบิตถูกพลิก)

ในข้อมูลควอนตัม Hamming (7,4) ถูกใช้เป็นฐานสำหรับรหัส Steane ซึ่งเป็น รหัส CSSประเภทหนึ่งที่ใช้สำหรับการแก้ไขข้อผิดพลาดควอนตัม

เป้าหมายของรหัสแฮมมิงคือการสร้างชุดบิตพาริตีที่ซ้อนทับกัน เพื่อให้สามารถตรวจจับและแก้ไขข้อผิดพลาดเพียงบิตเดียวในบิตข้อมูลหรือบิตพาริตีได้ แม้ว่าจะสามารถสร้างการซ้อนทับได้หลายชุด แต่โดยทั่วไปแล้ววิธีการนี้ได้ถูกนำเสนอไว้ในรหัสแฮมมิงแล้ว

นิดหน่อย #	1	2	3	4	5	6	7
บิตที่ส่ง	${\displaystyle p_{1}}$	${\displaystyle p_{2}}$	${\displaystyle d_{1}}$	${\displaystyle p_{3}}$	${\displaystyle d_{2}}$	${\displaystyle d_{3}}$	${\displaystyle d_{4}}$
${\displaystyle p_{1}}$	ใช่	เลขที่	ใช่	เลขที่	ใช่	เลขที่	ใช่
${\displaystyle p_{2}}$	เลขที่	ใช่	ใช่	เลขที่	เลขที่	ใช่	ใช่
${\displaystyle p_{3}}$	เลขที่	เลขที่	เลขที่	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่

ตารางนี้อธิบายว่าบิตพาริตีใดครอบคลุมบิตที่ส่งในคำที่เข้ารหัส ตัวอย่างเช่นp2ให้พาริตีคู่สำหรับบิตที่ 2, 3, 6 และ 7 นอกจากนี้ยังแสดงรายละเอียดว่าบิตที่ส่งใดถูกครอบคลุมโดยบิตพาริตีใดโดยการอ่านคอลัมน์ ตัวอย่างเช่นโดย p1 และแต่ไม่ใช่นี้จะมีความคล้ายคลึงอย่างมากกับเมทริกซ์ตรวจสอบพาริตี ( H )ในส่วนถัดไป

นอกจากนี้ หากลบคอลัมน์ความเท่าเทียมกันในตารางข้างต้นออก

	${\displaystyle d_{1}}$	${\displaystyle d_{2}}$	${\displaystyle d_{3}}$	${\displaystyle d_{4}}$
${\displaystyle p_{1}}$	ใช่	ใช่	เลขที่	ใช่
${\displaystyle p_{2}}$	ใช่	เลขที่	ใช่	ใช่
${\displaystyle p_{3}}$	เลขที่	ใช่	ใช่	ใช่

จากนั้น จะเห็นความคล้ายคลึงกับแถวที่ 1, 2 และ 4 ของเมทริกซ์ตัวสร้างรหัส ( G ) ด้านล่างอย่างชัดเจน

ดังนั้น ด้วยการเลือกความครอบคลุมของบิตพาริตีอย่างถูกต้อง ข้อผิดพลาดทั้งหมดที่มีระยะห่างแฮมมิงเท่ากับ 1 จะถูกตรวจจับและแก้ไขได้ ซึ่งเป็นจุดประสงค์ของการใช้รหัสแฮมมิง

รหัสแฮมมิงสามารถคำนวณได้ในรูปพีชคณิตเชิงเส้น โดยใช้ เมทริกซ์เนื่องจากรหัสแฮมมิงเป็นรหัสเชิงเส้นสำหรับวัตถุประสงค์ของรหัสแฮมมิงสามารถกำหนดเมทริกซ์แฮมมิงได้สองเมทริกซ์ ได้แก่ เมทริกซ์ตัวสร้างรหัสGและเมทริกซ์ตรวจสอบความเท่าเทียมกัน H :

${\displaystyle \mathbf {G^{T}}$ :={\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&1&1\\1&0&0&0\\0&1&1&1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}},\qquad \mathbf {H}  :={\begin{pmatrix}1&0&1&0&1&0&1\\0&1&1&0&0&1&1\\0&0&0&1&1&1&1\\\end{pmatrix}}.}

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น แถวที่ 1, 2 และ 4 ของGน่าจะคุ้นเคยกันดี เนื่องจากเป็นการจับคู่บิตข้อมูลกับบิตพาริตี:

• หน้าครอบคลุมd , d , d
• หน้าครอบคลุมd , d , d
• หน้าครอบคลุมd , d , d

แถวที่เหลือ (3, 5, 6, 7) จะแมปข้อมูลไปยังตำแหน่งในรูปแบบที่เข้ารหัส และมีเพียง 1 ในแถวนั้น ดังนั้นจึงเป็นสำเนาที่เหมือนกันทุกประการ อันที่จริง แถวทั้งสี่นี้เป็นอิสระเชิงเส้นและประกอบกันเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ (โดยตั้งใจ ไม่ใช่ความบังเอิญ)

นอกจากนี้ ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น คุณควรคุ้นเคยกับแถวทั้งสามของเมทริกซ์ Hแถวเหล่านี้ใช้ในการคำนวณเวกเตอร์ซินโดรมที่ฝั่งผู้รับ และหากเวกเตอร์ซินโดรมเป็นเวกเตอร์ว่าง (ศูนย์ทั้งหมด) แสดงว่าคำที่ได้รับนั้นไม่มีข้อผิดพลาด หากไม่ใช่ศูนย์ ค่าที่ได้จะระบุว่าบิตใดถูกพลิก

บิตข้อมูลทั้งสี่บิต—ที่ประกอบกันเป็นเวกเตอร์p —จะถูกคูณด้วยG ก่อน (เช่น) และนำกลับมาหารด้วย 2 เพื่อให้ได้ค่าที่เข้ารหัสซึ่งจะถูกส่ง บิตข้อมูลดั้งเดิม 4 บิตจะถูกแปลงเป็น 7 บิต (จึงเป็นที่มาของชื่อ "Hamming(7,4)") โดยเพิ่มบิตพาริตีอีก 3 บิตเพื่อให้แน่ใจว่าพาริตีเป็นเลขคู่โดยใช้การครอบคลุมบิตข้อมูลข้างต้น ตารางแรกด้านบนแสดงการแมประหว่างบิตข้อมูลและบิตพาริตีแต่ละบิตไปยังตำแหน่งบิตสุดท้าย (1 ถึง 7) แต่สามารถแสดงในแผนภาพเวนน์ได้เช่นกันแผนภาพแรกในบทความนี้แสดงวงกลมสามวง (หนึ่งวงสำหรับแต่ละบิตพาริตี) และล้อมรอบบิตข้อมูลที่แต่ละบิตพาริตีครอบคลุม แผนภาพที่สอง (แสดงทางด้านขวา) เหมือนกัน แต่แทนที่จะแสดงเป็นตัวเลข จะมีการทำเครื่องหมายตำแหน่งบิตไว้${\displaystyle G^{T}p}$

สำหรับส่วนที่เหลือของหัวข้อนี้ บิตทั้ง 4 บิตต่อไปนี้ (แสดงเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ ) จะถูกใช้เป็นตัวอย่างประกอบ:

${\displaystyle \mathbf {p} ={\begin{pmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\\d_{4}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}}}$

สมมติว่าเราต้องการส่งข้อมูลนี้ ( 1011) ผ่านช่องทางการสื่อสารที่มีสัญญาณรบกวน โดยเฉพาะอย่างยิ่งช่องสัญญาณสมมาตรแบบไบนารีซึ่งหมายความว่าความเสียหายจากข้อผิดพลาดไม่ได้เอื้อประโยชน์ต่อศูนย์หรือหนึ่ง (มีความสมมาตรในการทำให้เกิดข้อผิดพลาด) นอกจากนี้ เวกเตอร์ต้นทางทั้งหมดถือว่ามีความน่าจะเป็นเท่ากัน เราใช้ผลคูณของGและpโดยที่ค่าต่างๆ หารด้วย 2 เพื่อกำหนดคำรหัสที่ส่งx :

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {G^{T}} \mathbf {p} ={\begin{pmatrix}1&1&0&1\\1&0&1&1\\1&0&0&0\\0&1&1&1\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\3\\1\\2\\0\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\\0\\1\\1\end{pmatrix}}}$

หมายความว่า0110011จะถูกส่งผ่านแทนที่จะส่ง1011ผ่าน

การคูณเมทริกซ์เกิดขึ้นแบบมอด 2หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ แต่ละแถวของผลลัพธ์คือบิตที่มีค่าน้อยที่สุดของจำนวนบิตที่ถูกตั้งค่าซึ่งได้มาจากการนำแถวและคอลัมน์มาทำการAND แบบบิตต่อบิต

ในแผนภาพด้านข้าง บิตทั้งเจ็ดของคำที่เข้ารหัสจะถูกแทรกเข้าไปในตำแหน่งที่เกี่ยวข้อง จากการตรวจสอบจะเห็นได้ชัดว่าค่าความเท่าเทียมกันของวงกลมสีแดง สีเขียว และสีน้ำเงินเป็นเลขคู่:

• วงกลมสีแดงมีเลข 1 สองตัว
• วงกลมสีเขียวมีเลข 1 สองตัว
• วงกลมสีน้ำเงินมีเลข 1 อยู่สี่ตัว

สิ่งที่จะแสดงให้เห็นในไม่ช้าก็คือ หากในระหว่างการส่งข้อมูล บิตใดบิตหนึ่งถูกพลิกกลับ ค่าพาริตีของวงกลมสองวงหรือทั้งสามวงจะผิดพลาด และสามารถระบุบิตที่ผิดพลาดได้ (แม้จะเป็นบิตพาริตีเพียงบิตเดียว) โดยการทราบว่าค่าพาริตีของวงกลมทั้งสามวงนั้นควรเป็นเลขคู่

หากไม่มีข้อผิดพลาดเกิดขึ้นระหว่างการส่งข้อมูล รหัสคำที่ได้รับrจะเหมือนกับรหัสคำที่ส่งx ทุกประการ :

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {x} }$

ตัวรับสัญญาณจะคูณHและrเพื่อให้ได้เวกเตอร์ซินโดรมzซึ่งบ่งชี้ว่าเกิดข้อผิดพลาดหรือไม่ และถ้าเกิด ข้อผิดพลาดนั้นเกิดขึ้นกับบิตรหัสคำใด การดำเนินการคูณนี้ (อีกครั้ง หารด้วยโมดูล 2):

${\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {H} \mathbf {r} ={\begin{pmatrix}1&0&1&0&1&0&1\\0&1&1&0&0&1&1\\0&0&0&1&1&1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\\0\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\4\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}}$

เนื่องจากซินโดรมzเป็นเวกเตอร์ศูนย์ผู้รับจึงสามารถสรุปได้ว่าไม่มีข้อผิดพลาดเกิดขึ้น ข้อสรุปนี้อิงจากการสังเกตว่า เมื่อเวกเตอร์ข้อมูลถูกคูณด้วยG จะเกิด การเปลี่ยนฐานไปเป็นปริภูมิย่อยของเวกเตอร์ซึ่งเป็นเคอร์เนลของHตราบใดที่ไม่มีอะไรเกิดขึ้นระหว่างการส่งrจะยังคงอยู่ในเคอร์เนลของHและการคูณจะให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ศูนย์

สมมติว่าเราสามารถเขียนได้ว่า

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {x} +\mathbf {e} _{i}}$

มอดูโล 2 โดยที่e คือเวกเตอร์หน่วยนั่นคือ เวกเตอร์ศูนย์ที่มีเลข 1 อยู่ในนั้นนับจาก 1${\displaystyle i_{th}}$${\displaystyle i^{th}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}}$

ดังนั้น นิพจน์ข้างต้นจึงแสดงถึงข้อผิดพลาดบิตเดียวในตำแหน่ง นั้น${\displaystyle i^{th}}$

ทีนี้ ถ้าเราคูณเวกเตอร์นี้ด้วยH :

${\displaystyle \mathbf {Hr} =\mathbf {H} \left(\mathbf {x} +\mathbf {e} _{i}\right)=\mathbf {Hx} +\mathbf {He} _{i}}$

เนื่องจากxคือข้อมูลที่ส่งมา จึงไม่มีข้อผิดพลาด และด้วยเหตุนี้ ผลคูณของHและxจึงเป็นศูนย์ ดังนั้น

${\displaystyle \mathbf {Hx} +\mathbf {He} _{i}=\mathbf {0} +\mathbf {He} _{i}=\mathbf {He} _{i}}$

ทีนี้ ผลคูณของHกับ เวกเตอร์ ฐานมาตรฐานจะเลือกคอลัมน์ของH นั้นออกมา ซึ่งเรารู้ว่าข้อผิดพลาดเกิดขึ้นในตำแหน่งที่คอลัมน์ของ H นี้ ปรากฏอยู่${\displaystyle i^{th}}$

ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเราได้ใส่ข้อผิดพลาดบิตเข้าไปในบิตที่ 5

${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {x} +\mathbf {e} _{5}={\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\\0\\1\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\\1\\1\\1\end{pmatrix}}}$

แผนภาพทางด้านขวาแสดงข้อผิดพลาดของบิต (แสดงด้วยข้อความสีน้ำเงิน) และพาริตีที่ไม่ถูกต้องที่เกิดขึ้น (แสดงด้วยข้อความสีแดง) ในวงกลมสีแดงและสีเขียว สามารถตรวจจับข้อผิดพลาดของบิตได้โดยการคำนวณพาริตีของวงกลมสีแดง สีเขียว และสีน้ำเงิน หากตรวจพบพาริตีที่ไม่ถูกต้อง บิตข้อมูลที่ทับซ้อนเฉพาะวงกลมพาริตีที่ไม่ถูกต้องเท่านั้นจะเป็นบิตที่มีข้อผิดพลาด ในตัวอย่างข้างต้น วงกลมสีแดงและสีเขียวมีพาริตีที่ไม่ถูกต้อง ดังนั้นบิตที่ตรงกับส่วนที่วงกลมสีแดงและสีเขียวตัดกันแต่ไม่ตัดกับวงกลมสีน้ำเงินจะแสดงถึงบิตที่มีข้อผิดพลาด

ตอนนี้,

${\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {Hr} ={\begin{pmatrix}1&0&1&0&1&0&1\\0&1&1&0&0&1&1\\0&0&0&1&1&1&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\\1\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\4\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}}$

ซึ่งตรงกับคอลัมน์ที่ห้าของHยิ่งไปกว่านั้น อัลกอริทึมทั่วไปที่ใช้ ( ดูHamming code#General algorithm ) ถูกสร้างขึ้นโดยเจตนาเพื่อให้ซินโดรม 101 ตรงกับค่าไบนารี 5 ซึ่งบ่งชี้ว่าบิตที่ห้าเสียหาย ดังนั้นจึงตรวจพบข้อผิดพลาดในบิตที่ 5 และสามารถแก้ไขได้ (เพียงแค่พลิกหรือกลับค่า):

${\displaystyle \mathbf {r} _{\text{corrected}}={\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\\{\overline {1}}\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\\0\\1\\1\end{pmatrix}}}$

ค่าที่ได้รับซึ่งได้รับการแก้ไขแล้วนี้ ตรงกับค่าที่ส่งมาxจากด้านบนแล้ว

เมื่อตรวจสอบแล้วว่าเวกเตอร์ที่ได้รับนั้นปราศจากข้อผิดพลาด หรือแก้ไขข้อผิดพลาดแล้ว (โดยสมมติว่ามีข้อผิดพลาดได้เพียงศูนย์หรือหนึ่งบิตเท่านั้น) ข้อมูลที่ได้รับจะต้องถูกถอดรหัสกลับไปเป็นข้อมูลสี่บิตดั้งเดิม

ขั้นแรก กำหนดเมทริกซ์Rดังนี้:

${\displaystyle \mathbf {R} ={\begin{pmatrix}0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

ดังนั้นค่าที่ได้รับp จะเท่ากับRrโดยใช้ตัวอย่างที่ยกมาข้างต้น

${\displaystyle \mathbf {p_{r}} ={\begin{pmatrix}0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\\0\\1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}}}$

ไม่ใช่เรื่องยากที่จะแสดงให้เห็นว่าสามารถแก้ไขข้อผิดพลาดแบบบิตเดียวได้โดยใช้แผนการนี้ หรืออีกทางหนึ่ง สามารถใช้รหัสแฮมมิงในการตรวจจับข้อผิดพลาดแบบบิตเดียวและสองบิตได้ โดยเพียงแค่สังเกตว่าผลคูณของHไม่เป็นศูนย์เมื่อใดก็ตามที่เกิดข้อผิดพลาด ในแผนภาพด้านข้าง บิตที่ 4 และ 5 ถูกสลับกัน ทำให้เกิดวงกลมเพียงวงเดียว (สีเขียว) ที่มีค่าพาริตีไม่ถูกต้อง แต่ไม่สามารถแก้ไขข้อผิดพลาดได้

อย่างไรก็ตาม รหัสแฮมมิง (7,4) และรหัสแฮมมิงที่คล้ายกันไม่สามารถแยกแยะระหว่างข้อผิดพลาดบิตเดียวและข้อผิดพลาดสองบิตได้ กล่าวคือ ข้อผิดพลาดสองบิตจะปรากฏเหมือนกับข้อผิดพลาดบิตเดียว หากทำการแก้ไขข้อผิดพลาดกับข้อผิดพลาดสองบิต ผลลัพธ์จะไม่ถูกต้อง

ในทำนองเดียวกัน รหัสแฮมมิงไม่สามารถตรวจจับหรือกู้คืนจากข้อผิดพลาดสามบิตใดๆ ได้ ลองพิจารณาแผนภาพ: หากบิตในวงกลมสีเขียว (ระบายสีแดง) เป็น 1 การตรวจสอบความเท่าเทียมกันจะส่งคืนเวกเตอร์ว่าง ซึ่งบ่งชี้ว่าไม่มีข้อผิดพลาดในคำรหัส

เนื่องจากแหล่งข้อมูลมีเพียง 4 บิต ดังนั้นจึงมีคำที่ส่งได้เพียง 16 คำเท่านั้น ซึ่งรวมถึงค่าแปดบิตหากมีการใช้บิตพาริตีเพิ่มเติม ( ดูรหัส Hamming(7,4) ที่มีบิตพาริตีเพิ่มเติม ) (บิตข้อมูลแสดงด้วยสีน้ำเงิน บิตพาริตีแสดงด้วยสีแดง และบิตพาริตีเพิ่มเติมแสดงด้วยสีเขียว)

ข้อมูล${\displaystyle ({\color {blue}d_{1}},{\color {blue}d_{2}},{\color {blue}d_{3}},{\color {blue}d_{4}})}$	แฮมมิง(7,4)		Hamming(7,4) พร้อมบิตพาริตี้พิเศษ (Hamming(8,4))
	ส่งต่อ${\displaystyle ({\color {red}p_{1}},{\color {red}p_{2}},{\color {blue}d_{1}},{\color {red}p_{3}},{\color {blue}d_{2}},{\color {blue}d_{3}},{\color {blue}d_{4}})}$	แผนภาพ	ส่งต่อ${\displaystyle ({\color {red}p_{1}},{\color {red}p_{2}},{\color {blue}d_{1}},{\color {red}p_{3}},{\color {blue}d_{2}},{\color {blue}d_{3}},{\color {blue}d_{4}},{\color {green}p_{4}})}$	แผนภาพ
0000	00 0 0 000		00 0 0 000 0
1000	11 1 0 000		11 1 0 000 1
0100	10 0 1 100		10 0 1 100 1
1100	01 1 1 100		01 1 1 100 0
0010	01 0 1 010		01 0 1 010 1
1010	10 1 1 010		10 1 1 010 0
0110	11 0 0 110		11 0 0 110 0
1110	00 1 0 110		00 1 0 110 1
0001	11 0 1 001		11 0 1 001 0
1001	00 1 1 001		00 1 1 001 1
0101	01 0 0 101		01 0 0 101 1
1101	10 1 0 101		10 1 0 101 0
0011	10 0 0 011		10 0 0 011 1
1011	01 1 0 011		01 1 0 011 0
0111	00 0 1 111		00 0 1 111 0
1111	11 1 1 111		11 1 1 111 1

รหัส Hamming(7,4) มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับแลตทิซE และในความเป็นจริง สามารถใช้สร้างแลตทิซ E ^∗ (การสร้าง E ที่คล้ายกัน จะใช้รหัสคู่ [7,3,4] ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การนำเซตของเวกเตอร์ทั้งหมดxในZ ⁷ที่xสอดคล้อง (โมดูล 2) กับคำรหัสของ Hamming(7,4) และปรับขนาดใหม่ด้วย 1/ √ 2จะได้แลตทิซ E ^∗

${\displaystyle E_{7}^{*}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left\{x\in \mathbb {Z} ^{7}:x{\bmod {2}}\in [7,4,3]_{2}\right\}.}$

นี่เป็นกรณีเฉพาะของความสัมพันธ์ทั่วไประหว่างแลตทิซและรหัส ตัวอย่างเช่น รหัสแฮมมิงแบบขยาย (8,4) ซึ่งเกิดขึ้นจากการเพิ่มบิตพาริตี ก็มีความสัมพันธ์กับแลตทิซ E 8 ^{[ 2 ]}

• ปัญหาการเขียนโปรแกรมเกี่ยวกับรหัสแฮมมิง (7,4)