พีชคณิตของเฮคเค
ในทางคณิตศาสตร์พีชคณิตเฮคเค (Hecke algebra)คือพีชคณิตที่สร้างขึ้นโดยตัวดำเนินการเฮคเค (Hecke operators ) ซึ่งตั้งชื่อตามเอริช เฮคเค (Erich Hecke )
คุณสมบัติ
พีชคณิตเป็นวงแหวนสลับที่[ 1 ] [ 2 ]
ใน ทฤษฎี ฟอร์มมอดูลาร์วงรีแบบคลาสสิก ตัวดำเนินการ Hecke T โดยที่nเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ในระดับที่กระทำบนปริภูมิของฟอร์มคัสป์ที่มีน้ำหนักที่กำหนดจะเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเอง เมื่อ เทียบกับผลคูณภายในของ Petersson [ 3 ] ดังนั้นทฤษฎีบทสเปกตรัมบ่งชี้ว่ามีฐานของฟอร์มมอดูลาร์ที่เป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะสำหรับตัวดำเนินการ Hecke เหล่านี้ แต่ละฟอร์มพื้นฐานเหล่านี้มีผลคูณออยเลอร์ กล่าวคือ การแปลง Mellinของมันคืออนุกรม Dirichletที่มีผลคูณออยเลอร์โดยที่ตัวประกอบเฉพาะที่สำหรับแต่ละจำนวนเฉพาะpคือส่วนกลับของพหุนาม Heckeซึ่งเป็นพหุนามกำลังสองในp − s [ 4 ] [ 5 ] ในกรณีที่ Mordell กล่าวถึง ปริภูมิของฟอร์มคัสป์ที่มีน้ำหนัก 12 เมื่อเทียบกับกลุ่มมอดูลาร์เต็มจะมีมิติเดียว ส่งผลให้ฟอร์ม Ramanujan มีผลคูณออยเลอร์และพิสูจน์การคูณของτ ( n ) [ 6 ]
การสรุปโดยทั่วไป
พีชคณิต Hecke แบบคลาสสิกได้รับการขยายไปสู่การตั้งค่าอื่นๆ เช่นพีชคณิต Hecke ของกลุ่มที่กระชับเฉพาะที่และพีชคณิต Hecke ทรงกลมที่เกิดขึ้นเมื่อรูปแบบโมดูลาร์และรูปแบบอัตโนมัติอื่นๆ ถูกมองโดยใช้กลุ่มอะเดลิก [ 7 ] สิ่งเหล่านี้มีบทบาทสำคัญใน การติดต่อ ของLanglands [ 8 ]
พีชคณิตHecke อนุพันธ์เป็นการขยายพีชคณิต Hecke ไปสู่ฟังก์ชันอนุพันธ์เพิ่มเติม[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] Peter Schneiderเป็นผู้แนะนำในปี 2015 ซึ่งร่วมกับRachel Ollivierใช้พีชคณิตเหล่านี้ในการศึกษาการสอดคล้องกันของ Langlands แบบ p -adic [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] พีชคณิต นี้เป็นหัวข้อของการคาดการณ์หลายประการเกี่ยวกับโคฮอโมโลยีของกลุ่มเลขคณิตโดยAkshay Venkateshและผู้ร่วมงานของเขา[ 8 ] [ 10 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]
ดูเพิ่มเติม
หมายเหตุ
- ↑ Serre 1973 , บทที่ VII, § 5. บทสรุปที่ 2.
- ↑ Bump 1997 , ทฤษฎีบท 1.4.2, หน้า 45.
- ↑ Bump 1997 , ทฤษฎีบท 1.4.3, หน้า 46.
- ↑ Serre 1973 , บทที่ VII, § 5. บทสรุปที่ 3.
- ↑ Bump 1997 , §1.4, หน้า 47–49.
- ↑ Bump 1997 , §1.4, หน้า 49.
- ↑ Bump 1997 , §2.2, หน้า 162.
- 1 2 3 4 Feng, Tony; Harris, Michael (2024). "โครงสร้างที่ได้มาในการติดต่อของ Langlands" arXiv : 2409.03035 [ math.NT ]
- 1 2 Schneider, Peter (2015). "การแสดงแบบเรียบและโมดูล Hecke ในลักษณะเฉพาะ p" Pacific Journal of Mathematics . 279 (1): 447– 464. doi : 10.2140/pjm.2015.279.447 . ISSN 0030-8730 .
- 1 2 3 Venkatesh, Akshay (2019). "พีชคณิต Hecke อนุพันธ์และโคฮอโมโลยีของกลุ่มเลขคณิต" Forum of Mathematics, Pi . 7 e7. arXiv : 1608.07234 . doi : 10.1017/fmp.2019.6 . ISSN 2050-5086 .
- ↑ Rachel, Ollivier; Schneider, Peter (2019). "The modular pro- p Iwahori-Hecke Ext-algebra" (PDF) . ใน Aizenbud, Avraham; Gourevitch, Dmitry; Kazhdan, David ; Lapid, Erez M. (eds.). Representations of Reductive Groups . Proceedings of Symposia in Pure Mathematics . Vol. 101. American Mathematical Society . arXiv : 1807.10232 . doi : 10.1090/pspum/101 . ISBN 978-1-4704-4284-2.
- ↑ Galatius, Søren ; Venkatesh, Akshay (2018). "Derived Galois deformation rings" . Advances in Mathematics . 327 : 470– 623. arXiv : 1608.07236 . doi : 10.1016/j.aim.2017.08.016 . ISSN 0001-8708 .
- ↑ Prasanna, Kartik; Venkatesh, Akshay (2021). "Automorphic cohomology, motivic cohomology, and the adjoint L -function" . Astérisque . 428 . ISBN 978-2-85629-943-2.
- ↑ Darmon, Henri ; Harris, Michael ; Rotger, Victor; Venkatesh, Akshay (2022). "The Derived Hecke Algebra for Dihedral Weight One Forms". Michigan Mathematical Journal . 72 : 145– 207. arXiv : 2207.01304 . doi : 10.1307/mmj/20217221 . ISSN 0026-2285 .