ในสาขาชีวเคมีและเภสัชวิทยา สมการ ฮิลล์หมายถึงสมการสองสมการที่เกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิด ซึ่งสะท้อนถึงการจับกันของลิแกนด์กับโมเลกุลขนาด ใหญ่ โดยขึ้นอยู่กับความเข้มข้นของลิแกนด์ลิแกนด์คือ "สารที่สร้างสารประกอบเชิงซ้อนกับโมเลกุลชีวภาพเพื่อทำหน้าที่ทางชีวภาพ" และโมเลกุลขนาดใหญ่คือโมเลกุลที่มีขนาดใหญ่มาก เช่น โปรตีน ซึ่งมีโครงสร้างที่ซับซ้อนของส่วนประกอบต่างๆ การจับกันระหว่างโปรตีนและลิแกนด์มักจะเปลี่ยนแปลงโครงสร้างของโปรตีนเป้าหมาย ซึ่งส่งผลให้หน้าที่ของโปรตีนนั้นในเซลล์เปลี่ยนแปลงไปด้วย

ความแตกต่างระหว่างสมการ Hill ทั้งสองคือ สมการเหล่านั้นวัดการครอบครองหรือการตอบสนองสมการ Hillสะท้อนถึงการครอบครองของโมเลกุลขนาดใหญ่: สัดส่วนที่อิ่มตัวหรือถูกจับโดยลิแกนด์ [ ^{1 ] [ 2 ] [ nb 1 ]}สมการนี้เทียบเท่ากับไอโซเทอร์มของ Langmuir อย่างเป็นทางการ[ 3 ^{]ในทาง}กลับกันสมการ Hillที่แท้จริงสะท้อนถึงการตอบสนองของเซลล์หรือเนื้อเยื่อต่อลิแกนด์: ผลลัพธ์ทางสรีรวิทยาของระบบ เช่นการหดตัวของกล้ามเนื้อ

สมการของ Hill ได้รับการคิดค้นขึ้นครั้งแรกโดยArchibald Hillในปี พ.ศ. 2453 เพื่ออธิบาย เส้นโค้งการจับ O2 _{รูป ทรง} ซิกมอยด์ของฮีโมโกลบิน^{[ 4 ]}

การจับกันของลิแกนด์กับโมเลกุลขนาดใหญ่มักจะเพิ่มขึ้นหากมีลิแกนด์อื่น ๆ อยู่บนโมเลกุลขนาดใหญ่เดียวกันอยู่แล้ว (เรียกว่าการจับกันแบบร่วมมือ ) สมการของ Hill มีประโยชน์ในการกำหนดระดับความร่วมมือของการจับกันของลิแกนด์กับเอนไซม์หรือตัวรับค่าสัมประสิทธิ์ของ Hillเป็นวิธีหนึ่งในการหาปริมาณระดับปฏิสัมพันธ์ระหว่างตำแหน่งการจับลิแกนด์^{[ 5 ]}

สมการของ Hill (สำหรับการตอบสนอง) มีความสำคัญในการสร้างกราฟความสัมพันธ์ระหว่างขนาดยาและการตอบสนอง

สมการของ Hill มักแสดงในรูปแบบต่อไปนี้: ^{[ 2 ] [ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &={[{\ce {L}}]^{n} \over K_{d}+[{\ce {L}}]^{n}}\\&={[{\ce {L}}]^{n} \over (K_{A})^{n}+[{\ce {L}}]^{n}}\\&={1 \over 1+\left({K_{A} \over [{\ce {L}}]}\right)^{n}}\end{aligned}}}$,

ที่ไหน

• ${\displaystyle \theta }$คือสัดส่วนของ ความเข้มข้น ของโปรตีนตัวรับที่ถูกจับโดยลิแกนด์
• ${\displaystyle {\ce {[L]}}}$คือ ความเข้มข้นรวมของลิแกนด์
• ${\displaystyle K_{d}}$ค่าคงที่การแตกตัวที่ปรากฏนั้นได้มาจากกฎการกระทำมวล
• ${\displaystyle K_{A}}$คือความเข้มข้นของลิแกนด์ที่ทำให้เกิดการครอบครองครึ่งหนึ่ง
• ${\displaystyle n}$คือค่าสัมประสิทธิ์ของฮิลล์

กรณีพิเศษที่สมการ โมโนด์คือ${\displaystyle n=1}$

ในเภสัชวิทยามักเขียนเป็น โดยที่คือลิแกนด์ เทียบเท่ากับ L และคือตัวรับสามารถแสดงได้ในรูปของปริมาณรวมของตัวรับและความเข้มข้นของตัวรับที่จับกับลิแกนด์: เท่ากับอัตราส่วนของอัตราการแยกตัวของสารเชิงซ้อนลิแกนด์-ตัวรับต่ออัตราการจับกัน ( ) ^{[ 8 ]} Kd คือค่าคงที่สมดุลสำหรับการแยกตัวถูกกำหนดเพื่อให้ ซึ่ง เรียกอีกอย่างว่าค่าคงที่ การแยกตัวระดับจุลภาคและ คือความเข้มข้นของลิแกนด์ที่ครอบครองครึ่งหนึ่งของตำแหน่งการจับ ในวรรณกรรมล่าสุด บางครั้งค่าคงที่นี้เรียกว่า ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle p_{{\ce {AR}}}}$${\displaystyle {\ce {A}}}$${\displaystyle {\ce {R}}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta ={\frac {\ce {[LR]}}{\ce {[R_{\rm {รวม}}]}}}}$${\displaystyle K_{d}}$${\textstyle K_{\rm {d}}={k_{\rm {d}} \over k_{\rm {a}}}}$${\textstyle K_{A}}$${\textstyle (K_{A})^{n}=K_{\rm {d}}={k_{\rm {d}} \over k_{\rm {a}}}}$${\textstyle K_{D}}$

สม การ Gaddumเป็นการขยายความทั่วไปของสมการ Hill โดยรวมถึงการปรากฏตัวของสารต้านฤทธิ์แบบแข่งขันที่ผันกลับได้^{[ 1 ]}สมการ Gaddum ได้มาในลักษณะเดียวกับสมการ Hill แต่มีสมดุล 2 แบบ คือ ทั้งลิแกนด์กับตัวรับและสารต้านฤทธิ์กับตัวรับ ดังนั้น สมการ Gaddum จึงมีค่าคงที่ 2 ค่า คือ ค่าคงที่สมดุลของลิแกนด์และค่าคงที่สมดุลของสารต้านฤทธิ์

กราฟฮิลล์ (Hill plot) คือการจัดเรียงสมการฮิลล์ใหม่ให้อยู่ในรูปเส้นตรง

เมื่อนำส่วนกลับของทั้งสองข้างของสมการฮิลล์มาจัดเรียงใหม่ แล้วกลับเศษส่วนอีกครั้ง จะได้: การนำลอการิทึมของทั้งสองข้างของสมการจะนำไปสู่รูปแบบอื่นของสมการฮิลล์-แลงมัวร์: ${\displaystyle {\theta \over 1-\theta }={[{\ce {L}}]^{n} \over K_{d}}={[{\ce {L}}]^{n} \over (K_{A})^{n}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\log \left({\theta \over 1-\theta }\right)&=n\log {[{\ce {L}}]}-\log {K_{d}}\\&=n\log {[{\ce {L}}]}-n\log {K_{A}}\end{aligned}}}$.

รูปแบบสุดท้ายของสมการ Hill นี้มีข้อดีเพราะการพล็อตเทียบกับจะให้ผลลัพธ์เป็นกราฟเส้นตรงซึ่งเรียกว่ากราฟ Hill ^{[ 7 ] [ 8 ]}เนื่องจากความชันของกราฟ Hill เท่ากับสัมประสิทธิ์ Hill สำหรับปฏิกิริยาทางชีวเคมี ความชันจึงแสดงด้วย ความชันที่มากกว่าหนึ่งบ่งชี้ถึงการจับกันแบบร่วมมือเชิงบวกระหว่างตัวรับและลิแกนด์ ในขณะที่ความชันที่น้อยกว่าหนึ่งบ่งชี้ถึงการจับกันแบบร่วมมือเชิงลบ ${\textstyle \log \left({\theta \over 1-\theta }\right)}$${\displaystyle \log {[{\ce {L}}]}}$${\displaystyle n_{H}}$

การแปลงสมการให้อยู่ในรูปแบบเชิงเส้นเช่นนี้มีประโยชน์มากก่อนการใช้คอมพิวเตอร์อย่างแพร่หลาย เนื่องจากช่วยให้นักวิจัยสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้โดยการปรับเส้นให้เข้ากับข้อมูล อย่างไรก็ตาม การแปลงเหล่านี้ส่งผลต่อการแพร่กระจายของข้อผิดพลาด และอาจส่งผลให้มีน้ำหนักมากเกินไปกับข้อผิดพลาดในจุดข้อมูลที่อยู่ใกล้ 0 หรือ 1 ^{[ nb 2 ]}ซึ่งส่งผลกระทบต่อพารามิเตอร์ของเส้นถดถอยเชิงเส้นที่ปรับให้เข้ากับข้อมูล นอกจากนี้ การใช้คอมพิวเตอร์ยังช่วยให้สามารถวิเคราะห์การถดถอยแบบไม่เชิงเส้นได้ อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น

ควรแยกความแตกต่างระหว่างการหาปริมาณยาที่จับกับตัวรับและยาที่ก่อให้เกิดการตอบสนอง ความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างค่าทั้งสองอาจไม่แน่นอนเสมอไป ในทางตรงกันข้ามกับคำจำกัดความของสมการ Hill ก่อนหน้านี้ในบทความนี้IUPHARกำหนดสมการ Hill ในแง่ของการตอบสนองของเนื้อเยื่อดังนี้^{[ 1 ]} โดยที่คือความเข้มข้นของยาคือสัมประสิทธิ์ Hill และคือความเข้มข้นของยาที่ทำให้เกิดการตอบสนองสูงสุด 50% ค่าคงที่การแยกตัว (ในส่วนก่อนหน้า) เกี่ยวข้องกับการจับของลิแกนด์ ในขณะที่สะท้อนถึงการตอบสนองของเนื้อเยื่อ ${\displaystyle (E)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {E}{E_{\mathrm {max} }}}&={\frac {[A]^{n}}{{\text{EC}}_{50}^{n}+[A]^{n}}}\\&={\frac {1}{1+\left({\frac {{\text{EC}}_{50}}{[A]}}\right)^{n}}}\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\ce {[A]}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\text{EC}}_{50}}$${\displaystyle {\text{EC}}_{50}}$

สมการในรูปแบบนี้สามารถสะท้อนการตอบสนองของเนื้อเยื่อ/เซลล์/ประชากรต่อยา และสามารถใช้สร้างกราฟความสัมพันธ์ระหว่างขนาดยากับผลตอบสนองได้ความสัมพันธ์ระหว่างและ EC50 อาจค่อนข้างซับซ้อน เนื่องจากผลตอบสนองทางชีวภาพจะเป็นผลรวมของปัจจัยมากมาย ยาจะมีผลทางชีวภาพที่แตกต่างกันหากมีตัวรับอยู่มากขึ้น โดยไม่คำนึงถึงความสัมพันธ์ของยา ${\displaystyle K_{d}}$

แบบจำลอง Del-Castillo Katz ใช้เพื่อเชื่อมโยงสมการ Hill กับการกระตุ้นตัวรับ โดยการรวมสมดุลที่สองของตัวรับที่จับกับลิแกนด์เข้ากับ รูปแบบ ที่ถูกกระตุ้นของตัวรับที่จับกับลิแกนด์

การวิเคราะห์ทางสถิติของการตอบสนองตามฟังก์ชันของสิ่งเร้าอาจทำได้โดยวิธีการถดถอย เช่นแบบจำลองโพรบิตหรือแบบจำลองโลจิตหรือวิธีการอื่นๆ เช่นวิธีสเปียร์แมน-เคอร์เบอร์ [ ^{9 ] โดย}ทั่วไปแล้วแบบจำลองเชิงประจักษ์ที่อิงตามการถดถอยแบบไม่เชิงเส้นมักเป็นที่นิยมมากกว่าการใช้การแปลงข้อมูลบางอย่างที่ทำให้ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณและการตอบสนองเป็นเชิงเส้น^{[ 10 ]}

ค่าสัมประสิทธิ์ของฮิลล์เป็นตัววัดความไวสูงมาก (กล่าวคือ เส้นกราฟการตอบสนองมีความชันมากน้อยเพียงใด)

สัมประสิทธิ์ฮิลล์หรืออาจใช้อธิบายการทำงานร่วมกัน (หรืออาจเป็นคุณสมบัติทางชีวเคมีอื่นๆ ขึ้นอยู่กับบริบทที่ใช้สมการฮิลล์) เมื่อเหมาะสม ค่าของสัมประสิทธิ์ฮิลล์จะอธิบายการทำงานร่วมกันของการจับตัวของลิแกนด์ในลักษณะดังต่อไปนี้: ${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{H}}$

• ${\displaystyle n>1}$. การจับแบบร่วมมือเชิงบวก : เมื่อโมเลกุลลิแกนด์หนึ่งจับกับเอนไซม์แล้ว ความสัมพันธ์ของโมเลกุลลิแกนด์นั้นกับโมเลกุลลิแกนด์อื่น ๆ จะเพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่น ค่าสัมประสิทธิ์ฮิลล์ของการจับออกซิเจนกับฮีโมโกลบิน (ตัวอย่างของการร่วมมือเชิงบวก) อยู่ในช่วง 1.7–3.2 ^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle n<1}$การจับตัวแบบร่วมมือเชิงลบ : เมื่อโมเลกุลของลิแกนด์หนึ่งตัวจับกับเอนไซม์แล้ว ความสามารถในการจับกับโมเลกุลของลิแกนด์ตัวอื่นจะลดลง
• ${\displaystyle n=1}$การจับแบบไม่ร่วมมือ (เป็นอิสระโดยสมบูรณ์) : ความสัมพันธ์ของเอนไซม์กับโมเลกุลลิแกนด์ไม่ขึ้นอยู่กับว่ามีโมเลกุลลิแกนด์อื่นจับอยู่แล้วหรือไม่ เมื่อ n=1 เราจะได้แบบจำลองที่สามารถจำลองได้ด้วยจลนศาสตร์ของ Michaelis–Menten [ ^{11 ]}ซึ่ง ค่าคงที่ ^ของ Michaelis – Menten${\textstyle K_{D}=K_{A}=K_{M}}$

สัมประสิทธิ์ของ Hill สามารถคำนวณโดยประมาณตามดัชนีความร่วมมือของ Taketa และ Pogell ^{[ 12 ]} ดังต่อไปนี้: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle n={\frac {\log _{10}(81)}{\log _{10}({\ce {EC90}}/{\ce {EC10}})}}}$.

โดยที่และคือค่าอินพุตที่จำเป็นในการสร้างการตอบสนองสูงสุด 10% และ 90% ตามลำดับ ${\displaystyle {\ce {EC90}}}$${\displaystyle {\ce {EC10}}}$

รูปแบบที่พบได้บ่อยที่สุดของสมการ Hill คือรูปแบบที่ไม่สามารถย้อนกลับได้ อย่างไรก็ตาม เมื่อสร้างแบบจำลองการคำนวณ มักจะต้องใช้รูปแบบที่สามารถย้อนกลับได้เพื่อจำลองการยับยั้งผลิตภัณฑ์ ด้วยเหตุนี้ Hofmeyr และ Cornish-Bowden จึงคิดค้นสมการ Hill ที่สามารถย้อนกลับได้^{[ 14 ]}

ค่าสัมประสิทธิ์ของ Hill ยังมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่นโดยสามารถแสดงให้เห็นว่าค่าสัมประสิทธิ์ของ Hill เท่ากับ:

${\displaystyle n=\varepsilon _{s}^{v}{\frac {1}{1-\theta }}}$

โดยที่คือค่าความอิ่มตัวเชิงเศษส่วนและคือค่าสัมประสิทธิ์ความยืดหยุ่น ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle ES/E_{t}}$${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}}$

ได้มาจากการหาค่าความชันของสมการฮิลล์:

${\displaystyle n={\frac {d\log {\frac {\theta }{1-\theta }}}{d\log s}}}$

และขยายความชันโดยใช้กฎการหาร ผลลัพธ์แสดงให้เห็นว่าความยืดหยุ่นไม่สามารถเกินได้เนื่องจากสมการข้างต้นสามารถจัดเรียงใหม่ได้เป็น: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v}=n(1-\theta )}$

สมการของฮิลล์ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในเภสัชวิทยาเพื่อหาปริมาณพารามิเตอร์การทำงานของยา และยังใช้ในสาขาอื่นๆ ของชีวเคมีอีกด้วย

สมการของ Hill สามารถใช้เพื่ออธิบายความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณยาและการตอบสนอง เช่นความน่าจะเป็นในการเปิดช่องไอออน (P-open) เทียบกับความเข้มข้นของลิแกนด์ ^{[ 15 ]}

สมการของ Hill สามารถนำมาใช้ในการสร้างแบบจำลองอัตรา การผลิต ผลิตภัณฑ์ยีนเมื่อยีนแม่ถูกควบคุมโดยปัจจัยการถอดรหัส (เช่นตัวกระตุ้นและ/หรือตัวยับยั้ง ) ^{[ 11 ]}การทำเช่นนี้เหมาะสมเมื่อยีนถูกควบคุมโดยตำแหน่งการจับหลายตำแหน่งสำหรับปัจจัยการถอดรหัส ซึ่งในกรณีนี้ปัจจัยการถอดรหัสอาจจับกับ DNA ในลักษณะที่ร่วมมือกัน^{[ 16 ]}

หากการผลิตโปรตีนจากยีนXถูกควบคุมให้เพิ่มขึ้น ( เปิดใช้งาน ) โดยปัจจัยการถอดรหัสYอัตราการผลิตโปรตีนXสามารถจำลองได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปของความเข้มข้นของโปรตีน Y ที่ถูกเปิดใช้งาน:

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}[{\rm {X_{produced}}}]=k\ \cdot {{[{\rm {Y_{active}}}]^{\mathit {n}}} \over {(K_{A})^{n}\ +\ {[{\rm {Y_{active}}}]^{\mathit {n}}}}}}$,

โดยที่k คืออัตราการถอดรหัสสูงสุดของยีนX

ในทำนองเดียวกัน หากการผลิตโปรตีนจากยีนYถูกควบคุมให้ลดลง ( ยับยั้ง ) โดยปัจจัยการถอดรหัสZอัตราการผลิตโปรตีนYสามารถจำลองได้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ในแง่ของความเข้มข้นของโปรตีน Z ที่ถูกกระตุ้น:

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}[{\rm {Y_{produced}}}]=k\ \cdot {{(K_{A})^{\mathit {n}}} \over {(K_{A})^{n}\ +\ {[{\rm {Z_{active}}}]^{\mathit {n}}}}}}$,

โดยที่k คืออัตราการถอดรหัสสูงสุดของยีนY

เนื่องจากสมมติฐานที่ว่าโมเลกุลลิแกนด์จะจับกับตัวรับพร้อมกัน สมการของ Hill จึงถูกวิพากษ์วิจารณ์ว่าเป็นแบบจำลองที่ไม่สมจริงทางกายภาพ^{[ 5 ]}ยิ่งไปกว่านั้น สัมประสิทธิ์ของ Hill ไม่ควรถูกพิจารณาว่าเป็นค่าประมาณที่เชื่อถือได้ของจำนวนไซต์การจับลิแกนด์แบบร่วมมือกันบนตัวรับ^{[ 5 ] [ 17 ]}ยกเว้นเมื่อการจับของลิแกนด์ตัวแรกและตัวต่อๆ ไปส่งผลให้เกิดความร่วมมือเชิงบวกอย่างมาก^{[ 5 ]}

ต่างจากแบบจำลองที่ซับซ้อนกว่า สมการ Hill ที่ค่อนข้างเรียบง่ายให้ข้อมูลเชิงลึกเพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับกลไกทางสรีรวิทยาพื้นฐานของการโต้ตอบระหว่างโปรตีนและลิแกนด์ อย่างไรก็ตาม ความเรียบง่ายนี้เองที่ทำให้สมการ Hill เป็นแบบจำลองเชิงประจักษ์ที่มีประโยชน์ เนื่องจากการใช้งานไม่จำเป็นต้อง มีความรู้ เบื้องต้นเกี่ยวกับคุณสมบัติของโปรตีนหรือลิแกนด์ที่กำลังศึกษามากนัก^{[ 2 ]}ถึงกระนั้น ก็มีการเสนอแบบจำลองการจับแบบร่วมมือกันที่ซับซ้อนกว่า^{[ 7 ]}สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมและตัวอย่างของแบบจำลองดังกล่าว โปรดดูการจับแบบร่วมมือกัน

การวัดความไวทั่วโลก เช่น สัมประสิทธิ์ของ Hill ไม่ได้แสดงลักษณะพฤติกรรมเฉพาะที่ของเส้นโค้งรูปตัว S แต่คุณลักษณะเหล่านี้สามารถจับได้ดีด้วยการวัดสัมประสิทธิ์การตอบสนอง^{[ 18 ]}

มีความเชื่อมโยงระหว่างค่าสัมประสิทธิ์ของ Hill และค่าสัมประสิทธิ์การตอบสนอง ดังต่อไปนี้ Altszyler et al. (2017) ได้แสดงให้เห็นว่ามาตรวัดความไวสูงพิเศษเหล่านี้สามารถเชื่อมโยงกันได้^{[ 13 ]}

• สัมประสิทธิ์การผูกพัน
• แผนการของบียอร์รัม
• การผูกมัดแบบร่วมมือ
• เส้นโค้งกอมเพิร์ตซ์
• แบบจำลองการดูดซับของ Langmuir
• ฟังก์ชันโลจิสติกส์
• จลนพลศาสตร์ของไมเคลิส-เมนเทน
• สมการโมโนด

• พจนานุกรมการแพทย์ภาพประกอบของดอร์แลนด์
• Coval, ML (ธันวาคม 1970). "การวิเคราะห์สัมประสิทธิ์ปฏิสัมพันธ์ของ Hill และความไม่ถูกต้องของสมการ Kwon และ Brown" . J. Biol. Chem. 245 (23): 6335– 6. doi : 10.1016/S0021-9258(18)62614-6 . PMID  5484812 .
• d'A Heck, Henry (1971). "ทฤษฎีทางสถิติของการจับแบบร่วมมือกันกับโปรตีน สมการของ Hill และศักยภาพการจับ" J. Am. Chem. Soc . 93 (1): 23– 29. Bibcode : 1971JAChS..93...23H . doi : 10.1021/ja00730a004 . PMID  5538860 .
• Atkins, Gordon L. (1973). "โปรแกรมคอมพิวเตอร์ดิจิทัลอย่างง่ายสำหรับการประมาณค่าพารามิเตอร์ของสมการ Hill" . Eur. J. Biochem . 33 (1): 175– 180. doi : 10.1111/j.1432-1033.1973.tb02667.x . PMID  4691349 .
• Endrenyi, Laszlo; Kwong, FHF; Fajszi, Csaba (1975). "การประเมินความชันของ Hill และสัมประสิทธิ์ของ Hill เมื่อไม่ทราบค่าความอิ่มตัวของการจับตัวหรือความเร็ว" . Eur. J. Biochem . 51 (2): 317– 328. doi : 10.1111/j.1432-1033.1975.tb03931.x . PMID  1149734 .
• โวเอท, โดนัลด์; โวเอต, จูดิธ จี. (2004) ชีวเคมี .
• Weiss, JN (1997). "สมการของ Hill revisited: การใช้งานและการใช้ผิดวิธี" . FASEB Journal . 11 (11): 835– 841. Bibcode : 1997FASEJ..11..835W . doi : 10.1096/fasebj.11.11.9285481 . PMID  9285481 . S2CID  827335 .
• Kurganov, BI; Lobanov, AV (2001). "เกณฑ์สำหรับความถูกต้องของสมการ Hill สำหรับการอธิบายเส้นโค้งการสอบเทียบไบโอเซนเซอร์" Anal. Chim. Acta . 427 (1): 11– 19. Bibcode : 2001AcAC..427...11K . doi : 10.1016/S0003-2670(00)01167-3 .
• กูแตล, ซิลเวน; โมริน, มิเชล; รูจิเยร์, ฟลอร็องต์; บาร์เบาต์, ซาเวียร์; บูร์กิญง, โลร็องต์; ดูเชอร์, มิเชล; แมร์, ปาสคาล (2008) "สมการฮิลล์: การทบทวนความสามารถในการสร้างแบบจำลองทางเภสัชวิทยา" เภสัชวิทยาขั้นพื้นฐานและคลินิก . 22 (6): 633– 648. ดอย : 10.1111/j.1472-8206.2008.00633.x . PMID  19049668 . S2CID  4979109 .
• Gesztelyi R; Zsuga J; Kemeny-Beke A; Varga B; Juhasz B; Tosaki A (2012). "สมการของ Hill และต้นกำเนิดของเภสัชวิทยาเชิงปริมาณ". Archive for History of Exact Sciences . 66 (4): 427– 38. Bibcode : 2012AHES...66..427G . doi : 10.1007/s00407-012-0098-5 . S2CID  122929930 .
• Colquhoun D (2006). "การวิเคราะห์เชิงปริมาณของปฏิกิริยาระหว่างยาและตัวรับ: ประวัติย่อ" Trends Pharmacol Sci . 27 (3): 149– 57. doi : 10.1016/j.tips.2006.01.008 . PMID  16483674 .
• Rang HP (2006). "แนวคิดเกี่ยวกับตัวรับ: แนวคิดสำคัญของเภสัชวิทยา" Br J Pharmacol . 147 (Suppl 1): S9–16. doi : 10.1038/sj.bjp.0706457 . PMC  1760743. PMID  16402126 .

• เครื่องคำนวณสมการฮิลล์เก็บถาวรเมื่อ 2021-01-17 ที่Wayback Machine