ปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์ (หรือปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์แบบจำนวนเต็ม ) เป็นปรากฏการณ์ฮอลล์ในรูปแบบ ควอนตัม ซึ่งพบได้ในระบบอิเล็กตรอนสองมิติ ภายใต้สภาวะ อุณหภูมิต่ำและสนามแม่เหล็ก แรงสูง โดยที่ความต้านทาน ฮอลล์ R _xyจะแสดงค่าเป็นขั้นๆ ตามค่าควอนตัม

${\displaystyle R_{xy}={\frac {V_{\text{Hall}}}{I_{\text{channel}}}}={\frac {h}{e^{2}\nu }},}$

โดยที่V _Hallคือแรงดันฮอลล์ , I _channelคือกระแส ช่องสัญญาณ , eคือประจุพื้นฐานและhคือค่าคงที่ของพลังค์ตัวหารνสามารถเป็นได้ทั้งจำนวนเต็ม ( ν = 1, 2, 3,... ) หรือเศษส่วน ( ν = ⁠1/3, ⁠​2/5, ⁠​3/7, ⁠​2/3, ⁠​3/5, ⁠​1/5, ⁠​2/9, ⁠​3/13, ⁠​5/2, ⁠​12/5ค่าต่างๆ เหล่านี้ νโดยประมาณแต่ไม่เท่ากับค่าแฟกเตอร์การเติมเต็มของระดับแลนเดาปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์จะถูกเรียกว่าปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์แบบจำนวนเต็มหรือแบบเศษส่วน ขึ้นอยู่กับว่า νเป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วน ตามลำดับ

ลักษณะเด่นของปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์แบบจำนวนเต็มคือการคงอยู่ของการควอนตัม (เช่น ที่ราบสูงฮอลล์) เมื่อความหนาแน่นของอิเล็กตรอนเปลี่ยนแปลง เนื่องจากความหนาแน่นของอิเล็กตรอนยังคงที่เมื่อระดับเฟอร์มิอยู่ในช่องว่างสเปกตรัมที่ชัดเจน สถานการณ์นี้จึงสอดคล้องกับสถานการณ์ที่ระดับเฟอร์มิเป็นพลังงานที่มีความหนาแน่นของสถานะจำกัด แม้ว่าสถานะเหล่านี้จะถูกจำกัด (ดูการจำกัดแบบแอนเดอร์สัน ) ^{[ 1 ]}

ปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์แบบเศษส่วนเป็นสถานะที่ซับซ้อนกว่า ซึ่งการดำรงอยู่ขึ้นอยู่กับปฏิสัมพันธ์ระหว่างอิเล็กตรอนกับอิเล็กตรอนเป็นหลัก ในปี พ.ศ. 2531 มีการเสนอว่ามีปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์ที่ไม่มีระดับแลนเดา [ ^{2 ] ปรากฏการณ์}ควอนตัมฮอลล์นี้เรียกว่าปรากฏการณ์ควอนตัมอะโนมาลัสฮอลล์ (QAH) นอกจากนี้ยังมีแนวคิดใหม่เกี่ยวกับ ปรากฏการณ์ควอนตัมสปินฮอลล์ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่คล้ายคลึงกับปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์ โดยกระแสสปินจะไหลแทนกระแสประจุ^{[ 3 ]}

การหาปริมาณของค่าการนำไฟฟ้าฮอลล์ ( ) มีคุณสมบัติที่สำคัญคือมีความแม่นยำอย่างยิ่ง^{[ 4 ]}พบว่าการวัดค่าการนำไฟฟ้าฮอลล์จริงเป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วนทวีคูณของ⁠${\displaystyle G_{xy}=1/R_{xy}}$อี²/ชม.ดีกว่าหนึ่งส่วนในพันล้าน ^{[ 5 ]}ซึ่งทำให้สามารถกำหนดมาตรฐาน เชิงปฏิบัติใหม่ สำหรับความต้านทานไฟฟ้าได้ โดยอิงจากควอนตัมความต้านทานที่กำหนดโดยค่าคงที่ของฟอน คลิทซิงR _Kซึ่งตั้งชื่อตามเคลาส์ ฟอน คลิทซิงผู้ค้นพบการควอนตัมที่แม่นยำ ปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์ยังให้การกำหนดค่าคงที่โครงสร้างละเอียด ที่แม่นยำอย่างยิ่ง และเป็นอิสระ ซึ่งเป็นปริมาณที่มีความสำคัญพื้นฐานในควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์

ในปี พ.ศ. 2533 มูลค่าตามธรรมเนียม คงที่ R _K-90 =25 812 .807 Ωถูกกำหนดไว้สำหรับการใช้งานในการสอบเทียบความต้านทานทั่วโลก ^{[ 6 ]}ต่อมาการแก้ไข SI ในปี 2019ได้กำหนดค่าที่แน่นอนของ hและ eส่งผลให้ R _K = ⁠ ที่แน่นอนชม./อี²=​25 812 .807 45 ... Ω . ^{[ 7 ]}

การควอนตัมของความต้านทานฮอลล์ในผลกระทบควอนตัมฮอลล์แบบจำนวนเต็มและเศษส่วนถือว่าแม่นยำ[ ^{8 ] ผล} กระทบควอนตัมฮอลล์แบบจำนวนเต็มถือเป็นปัญหาวิจัยที่แก้ไขแล้ว^{[ 9 ] [ 10 ]}และเข้าใจในขอบเขตของสูตร TKNNและLagrangian ของ Chern–Simons

ปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์แบบเศษส่วนเกิดขึ้นเนื่องจากสถานะอิเล็กตรอนที่มีความสัมพันธ์กันอย่างมาก สิ่งเหล่านี้ได้รับการเข้าใจเป็นอย่างดีในแง่ของเฟอร์มิออนแบบผสมซึ่งเป็นสารประกอบประจุ-ฟลักซ์ที่ประสบกับสนามแม่เหล็กที่ลดลงอย่างมากเมื่อเทียบกับอิเล็กตรอน^{[ 11 ]}แบบจำลองเฟอร์มิออนแบบผสมไม่เพียงแต่ทำนายสิ่งที่ไม่ธรรมดาได้มากมาย แต่ยังให้ทฤษฎีเชิงปริมาณอีกด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ควอนตัมฮอลล์แบบจำนวนเต็มของเฟอร์มิออนแบบผสมสร้างลำดับของเศษส่วน n/(2mn 1) โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็ม เศษส่วนตัวส่วนคี่ที่สังเกตได้นั้นสอดคล้องกับการทำนายนี้

MOSFET ( ทรานซิสเตอร์สนามแม่เหล็กโลหะออกไซด์เซมิ คอนดักเตอร์ ) ซึ่งคิดค้นโดยโมฮาเหม็ด อะตัลลาและดาวอน คาห์งที่เบลล์แล็บในปี พ.ศ. 2492 ^{[ 12 ]}ทำให้นักฟิสิกส์สามารถศึกษา พฤติกรรมของอิเล็กตรอนใน ก๊าซสองมิติที่เกือบจะสมบูรณ์แบบได้^{[ 13 ]}

ใน MOSFET อิเล็กตรอนนำไฟฟ้าจะเคลื่อนที่ในชั้นผิวบาง ๆ และแรงดัน " เกต " จะควบคุมจำนวนตัวนำประจุในชั้นนี้ ซึ่งช่วยให้นักวิจัยสามารถสำรวจผลกระทบควอนตัม ได้ โดยการใช้งาน MOSFET ที่มีความบริสุทธิ์สูงที่อุณหภูมิฮีเลียมเหลว^{[ 13 ]}

การควอนตัมจำนวนเต็มของค่าการนำไฟฟ้าฮอลล์ได้รับการทำนายครั้งแรกโดย นักวิจัย จากมหาวิทยาลัยโตเกียว Tsuneya Ando, ​​Yukio Matsumoto และ Yasutada Uemura ในปี 1975 โดยอาศัยการคำนวณโดยประมาณซึ่งพวกเขาเองก็ไม่เชื่อว่าถูกต้อง^{[ 14 ]}ในปี 1978 นักวิจัย จากมหาวิทยาลัย Gakushuin Jun-ichi Wakabayashi และ Shinji Kawaji ได้สังเกตเห็นผลกระทบดังกล่าวในการทดลองที่ดำเนินการกับชั้นผกผันของ MOSFET ^{[ 15 ]}

ในปี 1980 Klaus von Klitzingซึ่งทำงานอยู่ที่ห้องปฏิบัติการสนามแม่เหล็กสูงในเมืองเกรโนเบิล โดยใช้ตัวอย่าง MOSFET ที่ใช้ซิลิคอน ซึ่งพัฒนาโดย Michael Pepperและ Gerhard Dorda ได้ค้นพบสิ่งที่ไม่คาดคิดว่าความต้านทานฮอลล์นั้นถูกควอนตัมอย่างแม่นยำ^{[ 16 ] [ 13 ]}จากการค้นพบนี้ von Klitzing ได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ใน ปี 1985 ต่อมา Robert Laughlinได้เสนอความเชื่อมโยงระหว่างการควอนตัมที่แม่นยำและความไม่แปรผันของเกจโดยเชื่อมโยงค่าการนำไฟฟ้าแบบควอนตัมกับการขนส่งประจุแบบควอนตัมในปั๊มประจุ Thouless ^{[ 10 ] [ 17 ]}ปัจจุบันการทดลองควอนตัมฮอลล์แบบจำนวนเต็มส่วนใหญ่ดำเนินการบนโครงสร้างเฮเทอโรของแกลเลียมอาร์เซไนด์ แม้ว่าวัสดุเซมิคอนดักเตอร์อื่นๆ อีกมากมายก็สามารถนำมาใช้ได้เช่นกัน ในปี พ.ศ. 2550 มีการรายงานปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์จำนวนเต็มในกราฟีนที่อุณหภูมิสูงถึงอุณหภูมิห้อง^{[ 18 ]}และในแมกนีเซียมซิงค์ออกไซด์ ZnO–Mg _x Zn _{1− x} O ^{[ 19 ]}

ในสองมิติ เมื่ออิเล็กตรอนแบบคลาสสิกอยู่ภายใต้สนามแม่เหล็ก พวกมันจะเคลื่อนที่ตามวงโคจรไซโคลตรอนเป็นวงกลม แต่เมื่อพิจารณาระบบในเชิงควอนตัม วงโคจรเหล่านี้จะถูกทำให้เป็นควอนตัม ในการหาค่าของระดับพลังงาน จำเป็นต้องแก้สมการชโรดิงเจอร์

เนื่องจากระบบอยู่ภายใต้สนามแม่เหล็ก จึงต้องนำสนามแม่เหล็กมาใช้เป็นศักย์เวกเตอร์แม่เหล็กไฟฟ้าในสมการชโรดิงเจอร์ระบบที่พิจารณาคือแก๊สอิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่ได้อย่างอิสระในทิศทาง x และ y แต่ถูกจำกัดอย่างแน่นหนาในทิศทาง z จากนั้นสนามแม่เหล็กจะถูกประยุกต์ใช้ในทิศทาง z และตามเกจแลนเดา ศักย์เวกเตอร์แม่เหล็กไฟฟ้าคือและศักย์สเกลาร์คือดังนั้นสมการชโรดิงเจอร์สำหรับอนุภาคที่มีประจุ และมวลยังผลในระบบนี้คือ: ${\displaystyle \mathbf {A} =(0,Bx,0)}$${\displaystyle \phi =0}$${\displaystyle q}$${\displaystyle m^{*}}$

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{2m^{*}}}\left[\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right]^{2}+V(z)\right\}\psi (x,y,z)=\varepsilon \psi (x,y,z)}$

โดยที่ คือโมเมนตัมเชิงแคนอนิก ซึ่งถูกแทนที่ด้วยตัวดำเนินการและคือพลังงานรวม ${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle -i\hbar \nabla }$${\displaystyle \varepsilon }$

ในการแก้สมการนี้ เราสามารถแยกสมการออกเป็นสองสมการได้ เนื่องจากสนามแม่เหล็กมีผลต่อการเคลื่อนที่ตามแกน x และ y เท่านั้น พลังงานรวมจึงเป็นผลรวมของสองส่วน สมการที่สอดคล้องกันในแกน z คือ: ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{z}+\varepsilon _{xy}}$

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}}}{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}+V(z)\right]u(z)=\varepsilon _{z}u(z)}$

เพื่อความง่ายเราจะถือว่าคำตอบเป็นบ่อศักย์อนันต์ ดังนั้นคำตอบสำหรับทิศทาง z คือพลังงานและ ฟังก์ชันคลื่นจะเป็นแบบไซน์ สำหรับ ทิศทาง และคำตอบของสมการชโรดิงเจอร์สามารถเลือกให้เป็นผลคูณของคลื่นระนาบในทิศทาง กับฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าของเช่นเนื่องจากศักย์เวกเตอร์ไม่ขึ้นอยู่กับและตัวดำเนินการโมเมนตัม จึงสลับที่ได้กับแฮมิลโทเนียน เมื่อแทนสมมติฐานนี้ลงในสมการชโรดิงเจอร์ จะได้สมการ ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิก หนึ่งมิติที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่${\displaystyle V(z)}$${\textstyle \varepsilon _{z}={\frac {n_{z}^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m^{*}L^{2}}}}$${\displaystyle n_{z}=1,2,3...}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \psi _{xy}=u(x)e^{ik_{y}y}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$${\textstyle x_{k_{y}}={\frac {\hbar k_{y}}{eB}}}$

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}}}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\frac {1}{2}}m^{*}\omega _{\rm {c}}^{2}(x-l_{B}^{2}k_{y})^{2}\right]u(x)=\varepsilon _{xy}u(x)}$

โดยที่คือความถี่ไซโคลตรอน และคือความยาวแม่เหล็ก พลังงานมีดังนี้: ${\textstyle \omega _{\rm {c}}={\frac {eB}{m^{*}}}}$${\textstyle l_{B}^{2}={\frac {\hbar }{eB}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{xy}\equiv \varepsilon _{n_{x}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n_{x}+{\frac {1}{2}}\right)}$, ${\displaystyle n_{x}=1,2,3...}$

และฟังก์ชันคลื่นสำหรับการเคลื่อนที่ในระนาบนั้นได้มาจากผลคูณของคลื่นระนาบในและพหุนามเฮอร์ไมต์ที่ลดทอนด้วยฟังก์ชันเกาส์เซียนในซึ่งเป็นฟังก์ชันคลื่นของตัวสั่นฮาร์มอนิก ${\displaystyle xy}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

จากนิพจน์สำหรับระดับแลนเดา จะเห็นได้ว่าพลังงานขึ้นอยู่กับ เท่านั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับสถานะที่มี เหมือนกันแต่ต่างกันเรียกว่า ดีเจเนอเรต ${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle k_{y}}$${\displaystyle n_{x}}$${\displaystyle k_{y}}$

ที่สนามเป็นศูนย์ ความหนาแน่นของสถานะต่อหน่วยพื้นที่สำหรับก๊าซอิเล็กตรอนสองมิติ โดยคำนึงถึงการเสื่อมสภาพเนื่องจากสปิน จะไม่ขึ้นอยู่กับพลังงาน

${\displaystyle n_{\rm {2D}}={\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$.

เมื่อเปิดสนามแม่เหล็ก ความหนาแน่นของสถานะจะยุบตัวจากค่าคงที่ไปเป็นหวีของดิแรก (Dirac comb)ซึ่งเป็นชุดของฟังก์ชันดิแรก สอดคล้องกับระดับแลนเดาที่แยกออกจากกันอย่างไรก็ตาม ที่อุณหภูมิจำกัด ระดับแลนเดาจะมีค่าความกว้าง เท่ากับ เวลาที่อยู่ระหว่างเหตุการณ์การกระเจิง โดยทั่วไปแล้วจะถือว่ารูปร่างที่แน่นอนของระดับแลนเดาเป็น แบบ เกาส์เซียนหรือลอเรนซ์ ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \Delta \varepsilon _{xy}=\hbar \omega _{\rm {c}}}$${\textstyle \Gamma ={\frac {\hbar }{\tau _{i}}}}$${\displaystyle \tau _{i}}$

ลักษณะเด่นอีกประการหนึ่งคือ ฟังก์ชันคลื่นก่อตัวเป็นแถบขนานในทิศทาง x โดยมีระยะห่างเท่ากันตามแนวแกน x ตามแนวเส้นตรงของx เนื่องจากไม่มีอะไรพิเศษเกี่ยวกับทิศทางใดๆ ในระนาบ x หากเลือกศักย์เวกเตอร์แตกต่างออกไป ก็ควรจะพบสมมาตรแบบวงกลม ${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle xy}$

เมื่อกำหนดตัวอย่างมิติและใช้เงื่อนไขขอบเขตแบบคาบในทิศทาง- โดยที่ เป็นจำนวนเต็ม จะได้ว่าศักยภาพพาราโบลาแต่ละอันถูกวางไว้ที่ค่า ${\displaystyle L_{x}\times L_{y}}$${\displaystyle y}$${\textstyle k={\frac {2\pi }{L_{y}}}j}$${\displaystyle j}$${\displaystyle x_{k}=l_{B}^{2}k}$

จำนวนสถานะสำหรับแต่ละระดับแลนเดาสามารถคำนวณได้จากอัตราส่วนระหว่างฟลักซ์แม่เหล็กทั้งหมดที่ผ่านตัวอย่างและฟลักซ์แม่เหล็กที่สอดคล้องกับสถานะนั้น ๆ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle N_{B}={\frac {\phi }{\phi _{0}}}={\frac {BA}{BL_{y}\Delta x_{k}}}={\frac {A}{2\pi l_{B}^{2}}}{\begin{array}{lcr}&l_{B}&\\&=&\\&&\end{array}}{\frac {AeB}{2\pi \hbar }}{\begin{array}{lcr}&\omega _{\rm {c}}&\\&=&\\&&\end{array}}{\frac {m^{*}\omega _{\rm {c}}A}{2\pi \hbar }}}$

ดังนั้นความหนาแน่นของสถานะต่อหน่วยพื้นที่จึงเป็น

${\displaystyle n_{B}={\frac {m^{*}\omega _{\rm {c}}}{2\pi \hbar }}}$.

โปรดสังเกตความสัมพันธ์ระหว่างความหนาแน่นของสถานะกับสนามแม่เหล็ก ยิ่งสนามแม่เหล็กมีขนาดใหญ่เท่าใด จำนวนสถานะในแต่ละระดับแลนเดาก็ยิ่งมากขึ้นเท่านั้น ผลที่ตามมาคือ ระบบจะถูกกักขังมากขึ้น เนื่องจากมีระดับพลังงานที่ถูกครอบครองน้อยลง

เขียนนิพจน์สุดท้ายใหม่ เนื่องจากเห็นได้ชัดว่าแต่ละระดับแลนเดาประกอบด้วยสถานะจำนวนเท่ากับใน2DEGใน. ${\textstyle n_{B}={\frac {\hbar \omega _{\rm {c}}}{2}}{\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$${\displaystyle \Delta \varepsilon =\hbar \omega _{\rm {c}}}$

เนื่องจากอิเล็กตรอนเป็นเฟอร์มิออนสำหรับแต่ละสถานะที่มีอยู่ในระดับแลนเดา จะสอดคล้องกับอิเล็กตรอนสองตัว โดยอิเล็กตรอนหนึ่งตัวมีค่าสปิน หนึ่งค่า อย่างไรก็ตาม หากมีการใช้สนามแม่เหล็กขนาดใหญ่ พลังงานจะแยกออกเป็นสองระดับเนื่องจากโมเมนต์แม่เหล็กที่เกี่ยวข้องกับการเรียงตัวของสปินกับสนามแม่เหล็ก ความแตกต่างของพลังงานเป็นปัจจัย ที่ขึ้นอยู่กับวัสดุ ( สำหรับอิเล็กตรอนอิสระ) และแมกเนตอนของบอร์เครื่องหมาย จะถูกกำหนดเมื่อสปินขนานกับสนามและ เมื่อสปินตรงข้ามกับสนาม ข้อเท็จจริงที่เรียกว่าการแยกสปินนี้หมายความว่าความหนาแน่นของสถานะสำหรับแต่ละระดับลดลงครึ่งหนึ่ง โปรดทราบว่า เป็นสัดส่วนกับสนามแม่เหล็ก ดังนั้นยิ่งสนามแม่เหล็กมีขนาดใหญ่ การแยกสปินก็จะยิ่งมีความสำคัญมากขึ้น ${\textstyle s=\pm {\frac {1}{2}}}$${\textstyle \Delta E=\pm {\frac {1}{2}}g\mu _{\rm {B}}B}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g=2}$${\displaystyle \mu _{\rm {B}}}$${\displaystyle +}$${\displaystyle -}$${\displaystyle \Delta E}$

เพื่อให้ได้จำนวนระดับแลนเดาที่ถูกครอบครอง เราจึงกำหนดสิ่งที่เรียกว่าปัจจัยการเติมเต็ม (filling factor) โดยคิดเป็นอัตราส่วนระหว่างความหนาแน่นของสถานะใน 2DEG และความหนาแน่นของสถานะในระดับแลนเดา ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \nu ={\frac {n_{\rm {2D}}}{n_{B}}}={\frac {hn_{\rm {2D}}}{eB}}}$

โดยทั่วไปแล้ว ค่าแฟกเตอร์การเติมเต็มจะไม่ใช่จำนวนเต็ม มันจะเป็นจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อมีจำนวนระดับแลนเดาที่เติมเต็มพอดีเท่านั้น แต่จะกลายเป็นจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มเมื่อระดับบนสุดไม่ได้ถูกเติมเต็มอย่างสมบูรณ์ ในการทดลองจริง เราจะเปลี่ยนแปลงสนามแม่เหล็กโดยคงความหนาแน่นของอิเล็กตรอนไว้ (และไม่ใช่พลังงานเฟอร์มิ!) หรือเปลี่ยนแปลงความหนาแน่นของอิเล็กตรอนโดยคงสนามแม่เหล็กไว้ ทั้งสองกรณีสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องของค่าแฟกเตอร์การเติมเต็มและเราไม่สามารถคาดหวังว่ามันจะเป็นจำนวนเต็มได้ เนื่องจากเมื่อเพิ่มสนามแม่เหล็ก ระดับแลนเดาจะเลื่อนขึ้นไปตามพลังงาน และจำนวนสถานะในแต่ละระดับจะเพิ่มขึ้น ดังนั้นอิเล็กตรอนที่ครอบครองระดับบนสุดจึงน้อยลงเรื่อย ๆ จนกระทั่งมันว่างเปล่า หากสนามแม่เหล็กเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ในที่สุดอิเล็กตรอนทั้งหมดจะอยู่ในระดับแลนเดาต่ำสุด ( ) และนี่เรียกว่าขีดจำกัดควอนตัมแม่เหล็ก ${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle n_{B}\propto B}$${\displaystyle \nu <1}$

เป็นไปได้ที่จะเชื่อมโยงปัจจัยการเติมกับความต้านทาน และด้วยเหตุนี้ จึงเชื่อมโยงกับค่าการนำไฟฟ้าของระบบ เมื่อ เป็นจำนวนเต็มพลังงานเฟอร์มิจะอยู่ระหว่างระดับแลนเดาซึ่งไม่มีสถานะใด ๆ ที่พร้อมใช้งานสำหรับตัวนำ ดังนั้นค่าการนำไฟฟ้าจึงเป็นศูนย์ (ถือว่าสนามแม่เหล็กมีขนาดใหญ่พอที่จะไม่มีการทับซ้อนกันระหว่างระดับแลนเดา มิฉะนั้นจะมีอิเล็กตรอนน้อย และค่าการนำไฟฟ้าจะอยู่ที่ประมาณ) ด้วยเหตุนี้ ความต้านทานจึงเป็นศูนย์เช่นกัน (ที่สนามแม่เหล็กสูงมาก พิสูจน์ได้ว่าค่าการนำไฟฟ้าและความต้านทานตามแนวยาวเป็นสัดส่วนกัน) ^{[ 20 ]}${\displaystyle \nu }$${\displaystyle 0}$

จากค่าการนำไฟฟ้าที่พบ ${\displaystyle \sigma =\rho ^{-1}}$

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\det \rho }}{\begin{pmatrix}\rho _{yy}&-\rho _{xy}\\-\rho _{yx}&\rho _{xx}\end{pmatrix}}\;.}$

ถ้าความต้านทานตามแนวยาวเป็นศูนย์และความต้านทานตามแนวขวางมีค่าจำกัดดังนั้นทั้งค่าการนำไฟฟ้าและความต้านทานตามแนวยาวจึงกลายเป็นศูนย์ ${\displaystyle \det \rho \neq 0}$

ในทางกลับกัน เมื่อ เป็นจำนวนครึ่งเต็ม พลังงานเฟอร์มิจะอยู่ที่จุดสูงสุดของการกระจายความหนาแน่นของระดับแลนเดาบางระดับ ซึ่งหมายความว่าค่าความต้านทานจะมีค่าสูงสุดเนื่องจากการกระเจิงที่เพิ่มขึ้น ${\displaystyle \nu }$

การกระจายตัวของค่าต่ำสุดและสูงสุดนี้สอดคล้องกับ "การสั่นแบบควอนตัม" ที่เรียกว่าการสั่นแบบชูบนิคอฟ-เดอ ฮาสซึ่งจะมีความสำคัญมากขึ้นเมื่อสนามแม่เหล็กเพิ่มขึ้น เห็นได้ชัดว่าความสูงของยอดจะมากขึ้นเมื่อสนามแม่เหล็กเพิ่มขึ้น เนื่องจากความหนาแน่นของสถานะเพิ่มขึ้นตามสนาม ดังนั้นจึงมีตัวนำมากขึ้นที่ส่งผลต่อความต้านทาน เป็นที่น่าสังเกตว่าหากสนามแม่เหล็กมีขนาดเล็กมาก ความต้านทานตามแนวยาวจะเป็นค่าคงที่ ซึ่งหมายความว่าได้ผลลัพธ์แบบคลาสสิกแล้ว

จากความสัมพันธ์แบบคลาสสิกของความต้านทานตามแนวขวางและการแทนค่า จะได้ค่าควอนตัมของความต้านทานตามแนวขวางและสภาพนำไฟฟ้า: ${\textstyle \rho _{xy}={\frac {B}{en_{\rm {2D}}}}}$${\textstyle n_{\rm {2D}}=\nu {\frac {eB}{h}}}$

${\displaystyle \rho _{xy}={\frac {h}{\nu e^{2}}}\Rightarrow \sigma =\nu {\frac {e^{2}}{h}}}$

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า ความต้านทานตามแนวขวางเป็นพหุคูณของค่าผกผันของค่าควอนตัมการนำไฟฟ้าหากค่าแฟกเตอร์การเติมเป็นจำนวนเต็ม อย่างไรก็ตาม ในการทดลอง พบว่ามีค่าคงที่ตลอดช่วงค่าแฟกเตอร์การเติมซึ่งบ่งชี้ว่ามีสถานะอิเล็กตรอนอยู่ระหว่างระดับแลนเดา สถานะเหล่านี้อยู่เฉพาะที่ เช่น ในสิ่งเจือปนของวัสดุ ซึ่งพวกมันถูกดักจับอยู่ในวงโคจร จึงไม่สามารถมีส่วนช่วยในการนำไฟฟ้าได้ นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมความต้านทานจึงคงที่ระหว่างระดับแลนเดา และหากสนามแม่เหล็กลดลง ก็จะได้ผลลัพธ์แบบคลาสสิกที่ความต้านทานแปรผันตรงกับสนามแม่เหล็ก ${\displaystyle e^{2}/h}$${\displaystyle \nu }$

ปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์ นอกจากจะสังเกตได้ในระบบอิเล็กตรอนสองมิติแล้วยังสามารถสังเกตได้ในโฟตอนโฟตอนไม่มีประจุไฟฟ้า ในตัว แต่ด้วยการจัดการตัวเรโซเนเตอร์แสง แบบแยกส่วน และเฟสการเชื่อมต่อหรือเฟสเฉพาะที่สามารถสร้างสนามแม่เหล็ก เทียมได้ ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}กระบวนการนี้สามารถแสดงได้ผ่านอุปมาอุปไมยของโฟตอนที่สะท้อนไปมาระหว่างกระจกหลายบาน โดยการยิงแสงผ่านกระจกหลายบาน โฟตอนจะถูกกำหนดเส้นทางและได้รับเฟสเพิ่มเติมตามสัดส่วนของโมเมนตัม เชิงมุมซึ่งสร้างเอฟเฟกต์ราวกับว่าพวกมันอยู่ในสนามแม่เหล็ก

จำนวนเต็มที่ปรากฏในปรากฏการณ์ฮอลล์เป็นตัวอย่างของจำนวนควอนตัมเชิงทอพอโลยีในทางคณิตศาสตร์รู้จักกันในชื่อจำนวนเชิร์น แรก และมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับเฟสของเบอร์รีแบบจำลองที่น่าสนใจมากในบริบทนี้คือแบบจำลอง Azbel–Harper–Hofstadter ซึ่งแผนภาพเฟสควอนตัมคือผีเสื้อ Hofstadterดังแสดงในรูป แกนตั้งแสดงถึงความแรงของสนามแม่เหล็กและแกนนอนแสดงถึงศักย์ทางเคมีซึ่งกำหนดความหนาแน่นของอิเล็กตรอน สีต่างๆ แสดงถึงค่าการนำไฟฟ้าฮอลล์ที่เป็นจำนวนเต็ม สีโทนร้อนแสดงถึงจำนวนเต็มบวก และสีโทนเย็นแสดงถึงจำนวนเต็มลบ อย่างไรก็ตาม โปรดสังเกตว่าความหนาแน่นของสถานะในบริเวณที่มีค่าการนำไฟฟ้าฮอลล์แบบควอนตัมเหล่านี้เป็นศูนย์ ดังนั้นจึงไม่สามารถสร้างที่ราบสูงที่สังเกตได้ในการทดลอง แผนภาพเฟสเป็นแบบแฟรกทัลและมีโครงสร้างในทุกระดับ ในรูปมีความคล้ายคลึงกันในตัวเองอย่าง ชัดเจน ในกรณีที่มีความไม่เป็นระเบียบ ซึ่งเป็นสาเหตุของช่วงราบที่เห็นได้ในการทดลอง แผนภาพนี้จะแตกต่างออกไปมาก และโครงสร้างแบบแฟร็กทัลส่วนใหญ่จะหายไป นอกจากนี้ การทดลองควบคุมปัจจัยการเติมเต็ม ไม่ใช่พลังงานเฟอร์มิ หากพล็อตแผนภาพนี้เป็นฟังก์ชันของปัจจัยการเติมเต็ม คุณสมบัติทั้งหมดจะหายไปอย่างสมบูรณ์ ดังนั้นจึงแทบไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับฟิสิกส์ฮอลล์ที่แท้จริงเลย

ในส่วนของกลไกทางกายภาพ สิ่งเจือปนและ/หรือสถานะเฉพาะ (เช่น กระแสขอบ) มีความสำคัญต่อทั้งปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์แบบ 'จำนวนเต็ม' และ 'เศษส่วน' นอกจากนี้ ปฏิสัมพันธ์คูลอมบ์ยังมีความสำคัญอย่างยิ่งในปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์แบบเศษส่วนความคล้ายคลึงกันอย่างมากที่สังเกตได้ระหว่างปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์แบบจำนวนเต็มและแบบเศษส่วนนั้น อธิบายได้จากแนวโน้มของอิเล็กตรอนที่จะสร้างสถานะผูกพันกับควอนตัมฟลักซ์แม่เหล็กจำนวนคู่ ซึ่งเรียกว่าเฟอร์มิออนเชิงประกอบ

ค่าคงที่ของฟอน คลิทซิงสามารถหาได้แล้วในระดับอะตอมเดี่ยวภายในแบบจำลองของบอร์โดยพิจารณาจากปรากฏการณ์ฮอลล์ของอิเล็กตรอนเดี่ยว ในขณะที่ระหว่างการเคลื่อนที่แบบไซโคลตรอนบนวงโคจรวงกลม แรงเหวี่ยงหนีศูนย์กลางจะสมดุลกับแรงลอเรนซ์ซึ่งเป็นสาเหตุของแรงดันไฟฟ้าเหนี่ยวนำตามแนวขวางและปรากฏการณ์ฮอลล์ เราอาจมองความแตกต่างของศักย์คูลอมบ์ในอะตอมของบอร์เป็นแรงดันไฟฟ้าฮอลล์ของอะตอมเดี่ยวที่เหนี่ยวนำ และการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนเป็นคาบในวงกลมเป็นกระแสฮอลล์ การกำหนดกระแสฮอลล์ของอะตอมเดี่ยวเป็นอัตราที่ประจุอิเล็กตรอนเดี่ยวหมุนรอบแบบเคปเลอร์ด้วยความถี่เชิงมุม${\displaystyle e}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle I={\frac {\omega e}{2\pi }},}$

และแรงดันฮอลล์ที่เหนี่ยวนำเป็นผลต่างระหว่างศักย์คูลอมบ์ของนิวเคลียสไฮโดรเจนที่จุดวงโคจรของอิเล็กตรอนและที่ระยะอนันต์:

${\displaystyle U=V_{\text{C}}(\infty )-V_{\text{C}}(r)=0-V_{\text{C}}(r)={\frac {e}{4\pi \epsilon _{0}r}}}$

จะได้ค่าควอนตัมของความต้านทานฮอลล์ของวงโคจรโบร์ที่กำหนดไว้เป็นขั้นๆ ตามค่าคงที่ของฟอน คลิทซิง ดังนี้

${\displaystyle R_{\text{Bohr}}(n)={\frac {U}{I}}=n{\frac {h}{e^{2}}}}$

ซึ่งสำหรับอะตอมของโบร์ นั้น เป็นเชิงเส้น แต่ไม่ใช่ผกผันกับจำนวนเต็มn

ตัวอย่างเชิงสัมพัทธภาพของปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์จำนวนเต็มและปรากฏการณ์ควอนตัมสปินฮอลล์เกิดขึ้นในบริบทของทฤษฎีเกจแลตติส^{[ 26 ] [ 27 ]}

• DR Yennie (1987). "ปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์แบบอินทิกรัลสำหรับผู้ที่ไม่ใช่ผู้เชี่ยวชาญ" Rev. Mod. Phys . 59 (3): 781– 824. Bibcode : 1987RvMP...59..781Y . doi : 10.1103/RevModPhys.59.781 .
• D. Hsieh; D. Qian; L. Wray; Y. Xia; YS Hor; RJ Cava; MZ Hasan (2008). "ฉนวน Dirac ทางทอพอโลยีในเฟสควอนตัมสปินฮอลล์" Nature . 452 (7190): 970– 974. arXiv : 0902.1356 . Bibcode : 2008Natur.452..970H . doi : 10.1038/nature06843 . PMID  18432240 . S2CID  4402113 .
• 25 ปีแห่งปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์ , เค. ฟอน คลิทซิง, สัมมนาปวงกาเร (ปารีส-2004). เอกสารแนบ . ไฟล์ PDF .
• ข่าวประชาสัมพันธ์จากห้องปฏิบัติการแม่เหล็ก: ปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์ที่สังเกตได้ที่อุณหภูมิห้อง
• Avron, Joseph E.; Osadchy, Daniel; Seiler, Ruedi (2003). "มุมมองเชิงทอพอโลยีของปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์" . Physics Today . 56 (8): 38. Bibcode : 2003PhT....56h..38A . doi : 10.1063/1.1611351 .
• Zyun F. Ezawa: ปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์ - แนวทางทฤษฎีสนามและหัวข้อที่เกี่ยวข้อง สำนักพิมพ์ World Scientific ประเทศสิงคโปร์ 2008 ISBN 978-981-270-032-2
• Sankar D. Sarma, Aron Pinczuk : มุมมองในเอฟเฟกต์ควอนตัมฮอลล์ Wiley-VCH, ไวน์ไฮม์ 2004, ISBN 978-0-471-11216-7
• A. Baumgartner; T. Ihn; K. Ensslin; K. Maranowski; A. Gossard (2007). "การเปลี่ยนผ่านของปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์ในการทดลองสแกนเกต" Phys. Rev. B . 76 (8) 085316. Bibcode : 2007PhRvB..76h5316B . doi : 10.1103/PhysRevB.76.085316 .
• EI Rashbaและ VB Timofeev, ปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์, Sov. Phys. – Semiconductors v. 20, หน้า 617–647 (1986)