ในกลศาสตร์ควอนตัมพลังงานของวงโคจรไซโคลตรอน ของอนุภาคที่มีประจุใน สนามแม่เหล็กสม่ำเสมอจะถูกควอนตัมเป็นค่าที่ไม่ต่อเนื่อง จึงเรียกว่าระดับแลนเดาระดับเหล่านี้มีการเสื่อมสภาพโดยจำนวนอิเล็กตรอนต่อระดับจะแปรผันตรงกับความแรงของสนามแม่เหล็กที่ใช้ ทฤษฎีนี้ตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์ชาวโซเวียตเลฟ แลนเดาผู้พัฒนาทฤษฎีนี้ในปี 1930 ^{[ 1 ]}

การควอนไทเซชันแบบแลนเดาทำให้เกิดคุณสมบัติทางแม่เหล็กของโลหะ ซึ่งเรียกว่าไดอะแมกเนติซึมแบบแลนเดาภายใต้สนามแม่เหล็กแรงสูง การควอนไทเซชันแบบแลนเดาจะนำไปสู่การแกว่งตัวของสมบัติทางอิเล็กทรอนิกส์ของวัสดุตามฟังก์ชันของสนามแม่เหล็กที่ใช้ ซึ่งเรียกว่า ปรากฏการณ์เดอ ฮาส-แวน อัลเฟนและชูบนิคอฟ-เดอ ฮาส

การควอนตั ม แบบแลนเดาเป็นส่วนประกอบสำคัญในการอธิบายปรากฏการณ์ควอนตัมฮอลล์แบบจำนวนเต็ม

พิจารณาระบบของอนุภาคที่ไม่ปฏิสัมพันธ์กันซึ่งมีประจุqและสปินSที่ถูกจำกัดอยู่ในพื้นที่A = L _x L _yใน ระนาบ xyใช้สนามแม่เหล็กสม่ำเสมอตาม แนวแกน zในหน่วยSI แฮมิลโทเนียนของระบบนี้ (ในที่นี้ ผลกระทบของสปินถูกละเลย) คือ โดยที่คือตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงแคนอนิกและคือตัวดำเนินการสำหรับศักย์เวกเตอร์แม่เหล็กไฟฟ้า (ในปริภูมิตำแหน่ง ) ${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left({\hat {\mathbf {p} }}-q{\hat {\mathbf {A} }}\right)^{2}.}$$${\textstyle {\hat {\mathbf {p} }}}$${\textstyle {\hat {\mathbf {A} }}}$${\textstyle \mathbf {A} }$${\textstyle {\hat {\mathbf {A} }}=\mathbf {A} }$

ศักย์เวกเตอร์มีความสัมพันธ์กับสนามแม่เหล็กโดย${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} .}$

ในการเลือกศักย์เวกเตอร์สำหรับสนามแม่เหล็กที่กำหนดนั้น มีความอิสระในการเลือกเกจอยู่บ้าง แฮมิลโทเนียนนั้นไม่แปรเปลี่ยนภายใต้เกจซึ่งหมายความว่าการเพิ่มเกรเดียนต์ของสนามสเกลาร์ให้กับAจะเปลี่ยนเฟสโดยรวมของฟังก์ชันคลื่นไปในปริมาณที่สอดคล้องกับสนามสเกลาร์นั้น แต่คุณสมบัติทางกายภาพจะไม่ได้รับอิทธิพลจากการเลือกเกจที่เฉพาะเจาะจง

จากวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้สำหรับA การแก้ไขเกจที่Lev Landau นำเสนอ มักใช้สำหรับอนุภาคที่มีประจุในสนามแม่เหล็กคงที่^{[ 2 ]}

แล้ววิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้^{[ 3 ]}ในมาตรวัดแลนเดา (ไม่ควรสับสนกับมาตรวัดแลนเดา ) ${\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0\\0\\B\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0\\B\cdot x\\0\end{pmatrix}}}$${\displaystyle R_{\xi }}$

ในเกจนี้ แฮมิลโทเนียนคือ ตัวดำเนินการสลับที่ได้กับแฮมิลโทเนียนนี้ เนื่องจากตัวดำเนินการนั้นไม่มีอยู่สำหรับการเลือกเกจนี้ ดังนั้น ตัวดำเนินการจึงสามารถแทนที่ด้วยค่าไอเกนของมันได้เนื่องจากไม่ปรากฏในแฮมิลโทเนียน และมีเพียงโมเมนตัมในทิศทาง z เท่านั้นที่ปรากฏในพลังงานจลน์การเคลื่อนที่ไปตามทิศทาง z นี้จึงเป็นการเคลื่อนที่อิสระ $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2m}}\left({\hat {p}}_{y}-qB{\hat {x}}\right)^{2}+{\frac {{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m}}.}$$${\displaystyle {\หมวก {p}__{y}}$${\displaystyle {\hat {y}}}$${\displaystyle {\หมวก {p}__{y}}$${\displaystyle \hbar k_{y}}$${\displaystyle {\hat {z}}}$

นอกจากนี้ ยังสามารถเขียนแฮมิลโทเนียนให้ง่ายขึ้นได้โดยสังเกตว่าความถี่ไซโคลตรอนคือซึ่งจะได้ นี่คือแฮมิลโทเนียนสำหรับควอนตัมฮาร์มอนิกออสซิเลเตอร์ อย่างแท้จริง ยกเว้นว่าจุดต่ำสุดของศักยภาพถูกเลื่อนไปในพื้นที่พิกัดด้วยระยะ ${\displaystyle \omega _{c}=qB/m}$$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{\rm {c}}^{2}\left({\hat {x}}-{\frac {\hbar k_{y}}{m\omega _{\rm {c}}}}\right)^{2}+{\frac {{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m}}.}$$${\displaystyle x_{0}=\hbar k_{y}/m\omega _{c}}$

^{ในการหาพลังงาน โปรดทราบว่าการแปลศักยภาพ ของ}ตัวสั่นฮาร์มอนิกจะไม่ส่งผลต่อพลังงาน พลังงานของระบบนี้จึงเหมือนกับพลังงานของตัวสั่นฮาร์มอนิกควอนตัม มาตรฐาน [ ^{4 ]} พลังงานไม่ขึ้นอยู่กับเลขควอนตัมดังนั้นจะมีจำนวนความเสื่อมที่จำกัด (หากอนุภาคถูกวางไว้ในพื้นที่ที่ไม่จำกัด ความเสื่อมนี้จะสอดคล้องกับลำดับต่อเนื่องของ) ค่าของจะต่อเนื่องหากอนุภาคไม่ถูกจำกัดในทิศทาง z และเป็นแบบไม่ต่อเนื่องหากอนุภาคถูกจำกัดในทิศทาง z ด้วย แต่ละชุดของฟังก์ชันคลื่นที่มีค่าของ เท่ากันเรียกว่าระดับแลนเดา $${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}},\quad n\geq 0.}$$${\displaystyle k_{y}}$${\displaystyle p_{y}}$${\displaystyle p_{z}}$${\displaystyle n}$

สำหรับฟังก์ชันคลื่น โปรดจำไว้ว่ามันสลับที่ได้กับแฮมิลโทเนียน จากนั้นฟังก์ชันคลื่นจะแยกออกเป็นผลคูณของสถานะโมเมนตัมในทิศทาง และสถานะฮาร์มอนิกออสซิเลเตอร์ที่เลื่อนไปเป็นปริมาณในทิศทาง โดยที่และคือ สถานะที่ nสำหรับควอนตัมฮาร์มอนิกออสซิเลเตอร์ โดยสรุป สถานะของอิเล็กตรอนมีลักษณะเฉพาะด้วยเลข ควอนตัม , , และ${\displaystyle {\หมวก {p}__{y}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle |\phi _{n}\rangle }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \Psi (x,y,z)=e^{i(k_{y}y+k_{z}z)}\phi _{n}(x-x_{0})}$$${\displaystyle k_{z}=p_{z}/\hbar }$${\displaystyle \phi _{n}(x-x_{0})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k_{y}}$${\displaystyle k_{z}}$

การพิสูจน์นั้นถือว่าxและyเป็นพิกัดที่ไม่สมมาตร อย่างไรก็ตาม ด้วยความสมมาตรของระบบ จึงไม่มีปริมาณทางกายภาพ ใด ที่สามารถแยกแยะพิกัดเหล่านี้ได้ ผลลัพธ์เดียวกันนี้อาจได้มาจากการสลับตำแหน่งของx และ y อย่าง เหมาะสม

ทางเลือกที่เหมาะสมกว่าสำหรับขนาดรางรถไฟ คือ รางแบบสมมาตร ซึ่งหมายถึงทางเลือกดังกล่าว $${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}={\frac {1}{2}}\mathbf {B} \times {\hat {\mathbf {r} }}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-By\\Bx\\0\end{pmatrix}}.}$$

ในแง่ของความยาวและพลังงานที่ไม่มีมิติ แฮมิลโทเนียนสามารถแสดงได้ดังนี้ $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[\left(-i{\frac {\partial }{\partial x}}+{\frac {y}{2}}\right)^{2}+\left(-i{\frac {\partial }{\partial y}}-{\frac {x}{2}}\right)^{2}\right]}$$

สามารถคืนค่าหน่วยที่ถูกต้องได้โดยการใส่ตัวประกอบของ และ${\displaystyle q,\hbar ,\mathbf {B} }$${\displaystyle m}$

พิจารณาตัวดำเนินการ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {a}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {a}}^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {b}}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)+i\left({\frac {y}{2}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\\{\hat {b}}^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\left({\frac {x}{2}}-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)-i\left({\frac {y}{2}}-{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\right]\end{aligned}}}$$

ตัวดำเนินการเหล่านี้ปฏิบัติตามความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งบางประการ $${\displaystyle [{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }]=[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }]=1.}$$

ในแง่ของตัวดำเนินการข้างต้น แฮมิลโทเนียนสามารถเขียนได้ดังนี้ โดยที่เราได้นำหน่วยกลับเข้ามาใช้อีกครั้ง $${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right),}$$

ดัชนีระดับแลนเดาคือค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการ ${\displaystyle n}$${\displaystyle {\hat {N}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}}$

การประยุกต์ใช้เพิ่มขึ้นหนึ่งหน่วยในขณะที่คงค่าเดิมไว้ในขณะที่การประยุกต์ใช้เพิ่มขึ้นและลดลงหนึ่งหน่วยพร้อมกัน การเปรียบเทียบกับควอนตัมฮาร์มอนิกออสซิเลเตอร์ให้คำตอบ ที่ และ ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$${\displaystyle m_{z}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m_{z}}$$${\displaystyle {\hat {H}}|n,m_{z}\rangle =E_{n}|n,m_{z}\rangle ,}$$$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)}$$$${\displaystyle |n,m_{z}\rangle ={\frac {({\hat {b}}^{\dagger })^{m_{z}+n}}{\sqrt {(m_{z}+n)!}}}{\frac {({\hat {a}}^{\dagger })^{n}}{\sqrt {n!}}}|0,0\rangle .}$$

สามารถตรวจสอบได้ว่าสถานะข้างต้นสอดคล้องกับการเลือกฟังก์ชันคลื่นที่เป็นสัดส่วนกับ โดย ที่$${\displaystyle \psi _{n,m_{z}}(x,y)=\left({\frac {\partial }{\partial w}}-{\frac {\bar {w}}{4}}\right)^{n}w^{n+m_{z}}e^{-|w|^{2}/4}}$$${\displaystyle w=x-iy}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ระดับแลนเดาต่ำสุดประกอบด้วยฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงสุ่มที่คูณกับฟังก์ชันเกาส์เซียน ${\displaystyle n=0}$${\displaystyle \psi (x,y)=f(w)e^{-|w|^{2}/4}}$

ผลกระทบของระดับแลนเดาจะสังเกตได้ก็ต่อเมื่อพลังงานความร้อนเฉลี่ยkTน้อยกว่าระยะห่างระหว่างระดับพลังงานซึ่งหมายถึงอุณหภูมิต่ำและสนามแม่เหล็กแรงสูง ${\displaystyle kT\ll \hbar \omega _{c}}$

แต่ละระดับแลนเดาจะเสื่อมสภาพเนื่องจากเลขควอนตัมตัวที่สองซึ่งสามารถมีค่าได้ โดยที่เป็นจำนวนเต็ม ค่าที่อนุญาตของ นั้นถูกจำกัดเพิ่มเติมด้วยเงื่อนไขที่ว่าจุดศูนย์กลางแรงของออสซิลเลเตอร์จะต้องอยู่ภายในระบบซึ่งทำให้ได้ช่วงค่าต่อไปนี้สำหรับ ${\displaystyle k_{y}}$$${\displaystyle k_{y}={\frac {2\pi N}{L_{y}}},}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle 0\leq x_{0}<L_{x}}$${\displaystyle N}$$${\displaystyle 0\leq N<{\frac {m\omega _{\rm {c}}L_{x}L_{y}}{2\pi \hbar }}.}$$

สำหรับอนุภาคที่มีประจุ ค่าขอบเขตบนของสามารถเขียนได้ง่ายๆ ในรูปอัตราส่วนของฟลักซ์โดย ที่ คือ ควอนตัมฟลักซ์แม่เหล็กพื้นฐานและคือฟลักซ์ที่ผ่านระบบ (ที่มีพื้นที่) ${\displaystyle q=Ze}$${\displaystyle N}$$${\displaystyle {\frac {ZBL_{x}L_{y}}{(h/e)}}=Z{\frac {\Phi }{\Phi _{0}}},}$$${\displaystyle \Phi _{0}=h/e}$${\displaystyle \Phi =BA}$${\displaystyle A=L_{x}L_{y}}$

ดังนั้น สำหรับอนุภาคที่มีสปินจำนวนอนุภาคสูงสุดต่อระดับแลนเดาคือ ซึ่งสำหรับอิเล็กตรอน (โดยที่และ) จะได้ซึ่งเป็นสถานะที่ใช้ได้สองสถานะสำหรับแต่ละควอนตัมฟลักซ์ที่แทรกซึมเข้าไปในระบบ ${\displaystyle S}$${\displaystyle D}$$${\displaystyle D=Z(2S+1){\frac {\Phi }{\Phi _{0}}},}$$${\displaystyle Z=1}$${\displaystyle S=1/2}$${\displaystyle D=2\Phi /\Phi _{0}}$

ข้างต้นให้แนวคิดคร่าวๆ เกี่ยวกับผลกระทบของเรขาคณิตที่มีขนาดจำกัดเท่านั้น ในทางทฤษฎี การใช้โซลูชันมาตรฐานของตัวสั่นฮาร์มอนิกนั้นใช้ได้เฉพาะกับระบบที่ไม่มีขอบเขตในทิศทาง - (แถบอนันต์) เท่านั้น หากขนาดมีจำกัด เงื่อนไขขอบเขตในทิศทางนั้นจะทำให้เกิดเงื่อนไขการควอนตัมที่ไม่เป็นมาตรฐานบนสนามแม่เหล็ก ซึ่งเกี่ยวข้องกับ (ในทางทฤษฎี) โซลูชันทั้งสองของสมการเฮอร์ไมต์ การเติมระดับเหล่านี้ด้วยอิเล็กตรอนจำนวนมากยังคงเป็น^{[ 5 ]}พื้นที่การวิจัยที่ยังคงดำเนินอยู่ ${\displaystyle x}$${\displaystyle L_{x}}$

โดยทั่วไป ระดับแลนเดา (Landau levels) พบได้ในระบบอิเล็กตรอน เมื่อสนามแม่เหล็กเพิ่มขึ้น อิเล็กตรอนจำนวนมากขึ้นก็จะสามารถเข้าไปอยู่ในระดับแลนเดาที่กำหนดได้ การครอบครองระดับแลนเดาสูงสุดมีตั้งแต่เต็มไปจนถึงว่างเปล่า ทำให้เกิดการแกว่งในคุณสมบัติทางอิเล็กตรอนต่างๆ (ดูปรากฏการณ์เดอ ฮาส-แวน อัลเฟนและปรากฏการณ์ชูบนิคอฟ-เดอ ฮาส )

หาก รวม การแยกซีแมน (Zeeman splitting)เข้าไปด้วย ระดับแลนเดาแต่ละระดับจะแยกออกเป็นคู่ๆ คู่หนึ่งสำหรับอิเล็กตรอนสปินขึ้น และอีกคู่หนึ่งสำหรับอิเล็กตรอนสปินลง จากนั้นการครอบครองระดับแลนเดาแต่ละสปินจะเป็นเพียงอัตราส่วนของฟลักซ์การแยกซีแมนมีผลกระทบอย่างมากต่อระดับแลนเดาเนื่องจากมาตราส่วนพลังงานของพวกมันเท่ากันอย่างไรก็ตาม พลังงานเฟอร์มิและ พลังงาน สถานะพื้นฐานจะยังคงใกล้เคียงกันในระบบที่มีระดับที่เต็มหลายระดับ เนื่องจากคู่ของระดับพลังงานที่แยกออกจะหักล้างกันเมื่อรวมกัน ${\displaystyle D=\Phi /\Phi _{0}}$${\displaystyle 2\mu _{B}B=\hbar \omega _{c}}$

ยิ่งไปกว่านั้น การคำนวณข้างต้นในเกจแลนเดาได้สมมติว่าอิเล็กตรอนถูกจำกัดอยู่ในทิศทาง - ซึ่งเป็นสถานการณ์การทดลองที่เกี่ยวข้อง เช่น พบได้ในก๊าซอิเล็กตรอนสองมิติ อย่างไรก็ตาม สมมติฐานนี้ไม่จำเป็นสำหรับผลลัพธ์ หากอิเล็กตรอนสามารถเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระในทิศทาง - ฟังก์ชันคลื่นจะได้รับพจน์ตัวคูณเพิ่มเติมพลังงานที่สอดคล้องกับการเคลื่อนที่อย่างอิสระนี้จะถูกเพิ่มเข้าไปในที่กล่าวถึง พจน์นี้จะเติมเต็มช่องว่างพลังงานของระดับแลนเดาที่แตกต่างกัน ทำให้ผลของการควอนตัมลดลง อย่างไรก็ตาม การเคลื่อนที่ใน ระนาบ - ซึ่งตั้งฉากกับสนามแม่เหล็ก ยังคงเป็นการควอนตัมอยู่ ${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \exp(ik_{z}z)}$${\displaystyle (\hbar k_{z})^{2}/(2m)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

แต่ละระดับแลนเดาจะมีออร์บิทัลที่เสื่อมสภาพซึ่งระบุด้วยเลขควอนตัมในเกจสมมาตร ความเสื่อมสภาพต่อหน่วยพื้นที่นั้นเท่ากันในแต่ละระดับแลนเดา ${\displaystyle m_{z}}$

องค์ประกอบzของโมเมนตัมเชิงมุมคือ $${\displaystyle {\hat {L}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}=-\hbar ({\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}-{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}})}$$

โดยใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติดังกล่าวเราเลือกฟังก์ชันเฉพาะที่ทำให้เมทริกซ์และ เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม ค่าเฉพาะของจะแทนด้วยโดยเห็นได้ชัดว่าในระดับแลนเดาที่ อย่างไรก็ตาม ค่านี้อาจมีขนาดใหญ่มากตามอำเภอใจ ซึ่งจำเป็นต่อการได้มาซึ่งความเสื่อมแบบอนันต์ (หรือความเสื่อมแบบจำกัดต่อหน่วยพื้นที่) ที่ระบบแสดงออกมา ${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {L}}_{z}]=0}$${\displaystyle {\hat {H}}}$${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$${\displaystyle {\hat {L}}_{z}}$${\displaystyle -m_{z}\hbar }$${\displaystyle m_{z}\geq -n}$${\displaystyle n}$

อิเล็กตรอนที่ปฏิบัติตามสมการ Diracภายใต้สนามแม่เหล็กคงที่ สามารถหาคำตอบเชิงวิเคราะห์ได้^{[ 6 ] [ 7 ]}พลังงานจะได้รับโดย $${\displaystyle E_{\rm {rel}}=\pm {\sqrt {(mc^{2})^{2}+(c\hbar k_{z})^{2}+2\nu \hbar \omega _{\rm {c}}mc^{2}}}}$$

โดยที่cคือความเร็วแสงเครื่องหมายขึ้นอยู่กับส่วนประกอบของอนุภาคและปฏิอนุภาค และνเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ เนื่องจากสปิน ระดับพลังงานทั้งหมดจึงเสื่อมสภาพ ยกเว้นสถานะพื้นฐานที่ν = 0

กรณี 2 มิติที่ไม่มีมวลสามารถจำลองได้ในวัสดุชั้นเดียวเช่นกราฟีนใกล้กรวย Diracซึ่งพลังงานเฉพาะตัวจะได้รับจาก^{[ 8 ]} โดยที่ความเร็วแสงจะต้องถูกแทนที่ด้วยความเร็ว Fermi v _Fของวัสดุ และเครื่องหมายลบสอดคล้องกับอิเล็กตรอนโฮล $${\displaystyle E_{\rm {graphene}}=\pm {\sqrt {2\nu \hbar eBv_{\rm {F}}^{2}}}}$$

ก๊าซเฟอร์มิ (กลุ่มของเฟอร์มิออน ที่ไม่โต้ตอบกัน ) เป็นส่วนหนึ่งของพื้นฐานในการทำความเข้าใจคุณสมบัติทางเทอร์โมไดนามิกของโลหะ ในปี พ.ศ. 2473 แลนเดาได้ประมาณค่าความไวต่อสนามแม่เหล็กของก๊าซเฟอร์มิ ซึ่งเรียกว่าความไวต่อสนามแม่เหล็กของแลนเดาซึ่งมีค่าคงที่สำหรับสนามแม่เหล็กขนาดเล็ก แลนเดายังสังเกตเห็นว่าความไวต่อสนามแม่เหล็กจะแกว่งด้วยความถี่สูงสำหรับสนามแม่เหล็กขนาดใหญ่^{[ 9 ]}ปรากฏการณ์ทางกายภาพนี้เรียกว่าปรากฏการณ์เดอ ฮาส-แวน อัลเฟน

สเปกตรัม พลังงาน การยึดเหนี่ยวแน่นของอนุภาคประจุในโครงตาข่ายอนันต์สองมิติเป็นที่ทราบกันว่ามีความคล้ายคลึงกันในตัวเองและเป็นแบบแฟรกทัล ดังที่แสดงให้เห็นในผีเสื้อของฮอฟสตัดเตอร์สำหรับอัตราส่วนจำนวนเต็มของควอนตัมฟลักซ์แม่เหล็กและฟลักซ์แม่เหล็กผ่านเซลล์โครงตาข่าย จะได้ระดับแลนเดากลับคืนมาสำหรับจำนวนเต็มขนาดใหญ่^{[ 10 ]}

สเปกตรัมพลังงานของสารกึ่งตัวนำในสนามแม่เหล็กแรงสูงก่อให้เกิดระดับแลนเดาซึ่งสามารถกำหนดได้ด้วยดัชนีจำนวนเต็ม นอกจากนี้ความต้านทานฮอลล์ยังแสดงระดับที่ไม่ต่อเนื่องซึ่งกำหนดด้วยจำนวนเต็มνความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณทั้งสองนี้สามารถแสดงได้หลายวิธี แต่ที่เห็นได้ง่ายที่สุดคือจากแบบจำลองดรูด : การนำไฟฟ้าฮอลล์ขึ้นอยู่กับความหนาแน่นของอิเล็กตรอนnดังนี้

${\displaystyle \rho _{xy}={\frac {B}{ne}}.}$

เนื่องจากระดับความต้านทานคงที่กำหนดโดย

${\displaystyle \rho _{xy}={\frac {2\pi \hbar }{e^{2}}}{\frac {1}{\nu }},}$

ความหนาแน่นที่ต้องการคือ

${\displaystyle n={\frac {B}{\Phi _{0}}}\nu ,}$

ซึ่งเป็นความหนาแน่นที่จำเป็นต่อการเติมเต็มระดับแลนเดาพอดีช่องว่างระหว่างระดับแลนเดาที่แตกต่างกัน พร้อมกับความเสื่อมสูงของแต่ละระดับ ทำให้ค่าความต้านทานถูกควอนตัม

• ฟังก์ชันคลื่นลอห์ลิน

• เลฟ ลันเดา (1930) "Diamagnetismus der Metalle" (PDF) (ในภาษาเยอรมัน){{cite web}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)

• Landau, LD; และ Lifschitz, EM; (1977). กลศาสตร์ควอนตัม: ทฤษฎีที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพ หลักสูตรฟิสิกส์เชิงทฤษฎีเล่ม 3 (ฉบับที่ 3 ลอนดอน: สำนักพิมพ์ Pergamon) ISBN 0750635398.