ในทางคณิตศาสตร์อสมการไอโซเพอริเมตริกเป็นอสมการทางเรขาคณิต ที่เกี่ยวข้องกับกำลังสองของเส้นรอบวงของเส้นโค้งปิดในระนาบและพื้นที่ของบริเวณระนาบที่เส้นโค้งนั้นล้อมรอบ รวมถึงการขยายความในรูปแบบต่างๆ คำว่า ไอโซเพอริเมตริกมีความหมายตรงตัวว่า "มีเส้นรอบวง เท่ากัน " โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อสมการไอโซเพอริเมตริกกล่าวว่า สำหรับความยาวLของเส้นโค้ง ปิดในระนาบ และพื้นที่Aของบริเวณที่เส้นโค้งนั้นล้อมรอบ ว่า

${\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}$

และความเท่าเทียมกันนั้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อเส้นโค้งนั้นเป็นวงกลม เท่านั้น

ปัญหาไอโซเพอริเมตริกคือการหาภาพระนาบที่มีพื้นที่มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ซึ่ง มี ขอบเขตยาวตามที่กำหนด^{[ 1 ]}ปัญหาของดีโดซึ่งมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดนั้นถามถึงบริเวณที่มีพื้นที่สูงสุดซึ่งล้อมรอบด้วยเส้นตรงและส่วนโค้งซึ่งจุดปลายอยู่บนเส้นตรงนั้น ปัญหานี้ตั้งชื่อตามดีโดผู้ก่อตั้งในตำนานและราชินีองค์แรกของคาร์เธจคำตอบของปัญหาไอโซเพอริเมตริกคือวงกลมและเป็นที่รู้จักกันมาตั้งแต่สมัยกรีกโบราณแล้ว อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดครั้งแรกของข้อเท็จจริงนี้เกิดขึ้นในศตวรรษที่ 19 เท่านั้น นับตั้งแต่นั้นมาก็มีการค้นพบการพิสูจน์อื่นๆ อีกมากมาย

ปัญหาไอโซเพอริเมตริกได้รับการขยายออกไปในหลายแง่มุม ตัวอย่างเช่น ไปสู่เส้นโค้งบนพื้นผิวและไปยังบริเวณในปริภูมิที่มีมิติสูงกว่า บางทีการแสดงออกทางกายภาพที่คุ้นเคยที่สุดของอสมการไอโซเพอริเมตริก 3 มิติก็คือรูปร่างของหยดน้ำ กล่าวคือ หยดน้ำมักจะมีรูปร่างกลมสมมาตร เนื่องจากปริมาณน้ำในหยดน้ำคงที่ แรงตึงผิวจึงบังคับให้หยดน้ำมีรูปร่างที่ลดพื้นที่ผิวของหยดน้ำให้น้อยที่สุด นั่นคือทรงกลม

ปัญหาไอโซเพอริเมตริกแบบคลาสสิ ก มีมาตั้งแต่สมัยโบราณ^{[ 2 ]}ปัญหานี้สามารถระบุได้ดังนี้: ในบรรดาเส้น โค้งปิดทั้งหมด ในระนาบที่มีเส้นรอบวงคงที่ เส้นโค้งใด (ถ้ามี) ที่ทำให้พื้นที่ของบริเวณที่ล้อมรอบมีค่าสูงสุด? คำถามนี้สามารถแสดงให้เห็นว่าเทียบเท่ากับปัญหาต่อไปนี้: ในบรรดาเส้นโค้งปิดทั้งหมดในระนาบที่ล้อมรอบพื้นที่คงที่ เส้นโค้งใด (ถ้ามี) ที่ทำให้เส้นรอบวงมีค่าต่ำสุด?

ปัญหานี้มีความเกี่ยวข้องในเชิงแนวคิดกับหลักการกระทำน้อยที่สุดในฟิสิกส์กล่าวคือ สามารถกล่าวใหม่ได้ว่า หลักการกระทำใดที่ครอบคลุมพื้นที่มากที่สุด โดยใช้ความพยายามน้อยที่สุด? นักปรัชญาและนักวิทยาศาสตร์ในศตวรรษที่ 15 พระคาร์ดินัลนิโคลัสแห่งคูซาพิจารณาว่า การ หมุนซึ่งเป็นกระบวนการที่ ทำให้เกิด วงกลมเป็นการสะท้อนโดยตรงที่สุดในขอบเขตของการรับรู้ทางประสาทสัมผัส ของกระบวนการที่จักรวาลถูกสร้างขึ้น นักดาราศาสตร์และนักโหราศาสตร์ชาวเยอรมันโยฮันเนส เคปเลอร์ได้อ้างถึงหลักการไอโซเพอริเมตริกในการอธิบายรูปร่างของระบบสุริยะในหนังสือ Mysterium Cosmographicum ( ความลึกลับศักดิ์สิทธิ์แห่งจักรวาล , 1596)

แม้ว่าวงกลมดูเหมือนจะเป็นคำตอบที่ชัดเจนสำหรับปัญหา แต่การพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้ค่อนข้างยาก ความก้าวหน้าครั้งแรกในการแก้ปัญหาเกิดขึ้นโดยนักเรขาคณิตชาวสวิสJakob Steinerในปี 1838 โดยใช้วิธีทางเรขาคณิตซึ่งต่อมาเรียกว่าSteiner symmetrisation ^{[ 3 ]} Steiner แสดงให้เห็นว่าหากมีคำตอบอยู่จริง คำตอบนั้นจะต้องเป็นวงกลม การพิสูจน์ของ Steiner ได้รับการทำให้เสร็จสมบูรณ์ในภายหลังโดยนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ อีกหลายคน

สไตเนอร์เริ่มต้นด้วยการสร้างทางเรขาคณิตบางอย่างที่เข้าใจได้ง่าย ตัวอย่างเช่น สามารถแสดงได้ว่าเส้นโค้งปิดใดๆ ที่ล้อมรอบบริเวณที่ไม่นูน อย่างสมบูรณ์ สามารถปรับเปลี่ยนให้ล้อมรอบพื้นที่ได้มากขึ้น โดยการ "พลิก" บริเวณที่เว้าเพื่อให้กลายเป็นนูน นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ว่าเส้นโค้งปิดใดๆ ที่ไม่สมมาตรอย่างสมบูรณ์ สามารถ "เอียง" เพื่อให้ล้อมรอบพื้นที่ได้มากขึ้น รูปทรงเดียวที่นูนและสมมาตรอย่างสมบูรณ์คือวงกลม แม้ว่าสิ่งนี้เองจะไม่ใช่การพิสูจน์ที่เข้มงวดของทฤษฎีบทไอโซเพอริเมตริก (ดูลิงก์ภายนอก)

โดยทั่วไปแล้ว คำตอบของปัญหาไอโซเพอริเมตริกจะแสดงออกมาในรูปของอสมการที่เชื่อมโยงความยาวLของเส้นโค้งปิดกับพื้นที่Aของบริเวณระนาบที่เส้นโค้งนั้นล้อมรอบอสมการไอโซเพอริเมตริกกล่าวว่า

${\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}$

และความเท่าเทียมกันจะ เป็น^{จริง ก็ต่อเมื่อเส้นโค้ง นั้น}เป็นวงกลมพื้นที่ของวงกลมรัศมีRคือπR²และเส้นรอบวงของวงกลมคือ 2πR² ดังนั้นทั้งสองข้างของอสมการจึงเท่ากับ4πR² ^ในกรณีนี้

มีการค้นพบบทพิสูจน์อสมการไอโซเปริเมตริกหลายสิบบท ในปี ค.ศ. 1902 ฮูร์วิตซ์ได้ตีพิมพ์บทพิสูจน์สั้นๆ โดยใช้ชุดอนุกรมฟูริเยร์ซึ่งใช้ได้กับเส้นโค้ง ที่สามารถหาความยาวได้โดยพลวัต (ไม่จำเป็นต้องเป็นเส้นโค้งเรียบ) อี. ชมิดท์ ได้ให้บทพิสูจน์โดยตรงที่สง่างามโดยอาศัยการเปรียบเทียบเส้นโค้งปิดเรียบแบบง่ายกับวงกลมที่เหมาะสมในปี ค.ศ. 1938 โดยใช้เพียง สูตร ความยาวส่วนโค้งสูตรสำหรับพื้นที่ของบริเวณระนาบจากทฤษฎีบทของกรีนและอสมการโคชี-ชวาร์ซ

สำหรับเส้นโค้งปิดที่กำหนดให้ ค่าอัตราส่วนไอโซเพอริเมตริกคือ อัตราส่วนระหว่างพื้นที่ของเส้นโค้งนั้นกับพื้นที่ของวงกลมที่มีเส้นรอบวงเท่ากัน ซึ่งเท่ากับ...

${\displaystyle Q={\frac {4\pi A}{L^{2}}}}$

และอสมการไอโซเพอริเมตริกกล่าวว่าQ ≤ 1 หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งอัตราส่วนไอโซเพอริเมตริกL ² / Aมีค่าอย่างน้อย 4 πสำหรับทุกเส้นโค้ง

ผลหารไอโซเพอริเมตริกของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าnด้าน คือ

${\displaystyle Q_{n}={\frac {\pi }{n\tan(\pi /n)}}.}$

อนุญาต${\displaystyle C}$เป็นเส้นโค้งปิดนูนเรียบปกติ จากนั้นอสมการไอโซเปริเมตริกที่ปรับปรุง แล้ว จะระบุดังต่อไปนี้

${\displaystyle L^{2}\geqslant 4\pi A+8\pi \left|{\widetilde {A}}_{0.5}\right|,}$

ที่ไหน${\displaystyle L,A,{\widetilde {A}}_{0.5}}$ระบุความยาวของ${\displaystyle C}$พื้นที่ของภูมิภาคที่ล้อมรอบด้วย${\displaystyle C}$และพื้นที่ที่มีทิศทางของสารกัดกร่อนวิกเนอร์ของ${\displaystyle C}$ตามลำดับ และความเท่าเทียมกันจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ${\displaystyle C}$เป็นเส้นโค้งที่มีความกว้างคงที่^{[ 4 ]}

ให้Cเป็นเส้นโค้งปิดแบบง่ายบนทรงกลมรัศมี 1 ให้Lเป็นความยาวของCและAเป็นพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยCอสมการไอโซเพอริเมตริกทรงกลมระบุว่า

${\displaystyle L^{2}\geq A(4\pi -A),}$

และความเท่าเทียมกันนั้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อเส้นโค้งนั้นเป็นวงกลมเท่านั้น ในความเป็นจริง มีสองวิธีในการวัดพื้นที่ทรงกลมที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งปิดแบบง่าย แต่ความไม่เท่าเทียมกันนั้นสมมาตรเมื่อเทียบกับการหาเส้นโค้งส่วนเติมเต็ม

ความไม่เท่าเทียมกันนี้ถูกค้นพบโดยPaul Lévy (1919) ซึ่งได้ขยายไปสู่มิติที่สูงขึ้นและพื้นผิวทั่วไปด้วย^{[ 5 ]}

ในกรณีทั่วไปของรัศมีR ใดๆ เป็น ที่ทราบกันดีอยู่ แล้ว ^{[ 6 ]}ว่า

${\displaystyle L^{2}\geq 4\pi A-{\frac {A^{2}}{R^{2}}}.}$

อสมการไอโซเปริเมตริกกล่าวว่าทรงกลมมีพื้นที่ผิวน้อยที่สุดต่อปริมาตรที่กำหนดให้ โดยกำหนดให้เป็นเซตเปิดที่มีขอบเขต${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$กับ${\displaystyle C^{1}}$ขอบเขตที่มีพื้นที่ผิว${\displaystyle \operatorname {per} (S)}$และปริมาตร${\displaystyle \operatorname {vol} (S)}$อสมการไอโซเปริเมตริกกล่าวว่า

${\displaystyle \operatorname {per} (S)\geq n\operatorname {vol} (S)^{(n-1)/n}\,\operatorname {vol} (B_{1})^{1/n},}$

ที่ไหน${\displaystyle B_{1}\subset \mathbb {R} ^{n}}$เป็นลูกบอลหน่วยความเท่าเทียมกันจะเป็นจริงเมื่อ${\displaystyle S}$เป็นลูกบอลใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ภายใต้ข้อจำกัดเพิ่มเติมของเซต (เช่นความนูนความสม่ำเสมอขอบเขตเรียบ ) ความเท่าเทียมกันนี้จะเป็นจริงเฉพาะกับทรงกลมเท่านั้น แต่ในกรณีทั่วไป สถานการณ์จะซับซ้อนกว่านั้น ผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องของSchmidt (1949 , ส่วนที่ 20.7) (สำหรับการพิสูจน์ที่ง่ายกว่า โปรดดูBaebler (1957) ) ได้รับการอธิบายให้ชัดเจนในHadwiger (1957 , ส่วนที่ 5.2.5)ดังนี้ เซตสุดขั้วประกอบด้วยทรงกลมและ "โคโรนา" ที่ไม่ก่อให้เกิดปริมาตรหรือพื้นที่ผิว นั่นคือ ความเท่าเทียมกันนี้เป็นจริงสำหรับเซตกระชับ${\displaystyle S}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle S}$ประกอบด้วยลูกบอลปิด${\displaystyle B}$โดยที่${\displaystyle \operatorname {vol} (B)=\operatorname {vol} (S)}$และ${\displaystyle \operatorname {per} (B)=\operatorname {per} (S).}$ตัวอย่างเช่น "โคโรนา" อาจมีลักษณะเป็นเส้นโค้ง

การพิสูจน์อสมการเป็นผลโดยตรงจากอสมการ Brunn–Minkowskiระหว่างเซต${\displaystyle S}$และลูกบอลที่มีรัศมี${\displaystyle \epsilon }$, เช่น${\displaystyle B_{\epsilon }=\epsilon B_{1}}$. อย่างแท้จริง,${\displaystyle \operatorname {vol} (A+B_{\epsilon })\geq (\operatorname {vol} (A)^{1/n}+\operatorname {vol} (B_{\epsilon })^{1/n})^{n}\geq \operatorname {vol} (A)+n\operatorname {vol} (A)^{(n-1)/n}\epsilon \operatorname {vol} (B_{1})^{1/n}.}$อสมการไอโซเปริเมตริกได้มาจากการลบ${\textstyle \operatorname {vol} (A)}$หารด้วย${\displaystyle \epsilon }$และการหาลิมิตเป็น${\displaystyle \epsilon \to 0.}$( Osserman (1978) ; Federer (1969 , §3.2.43) )

โดยทั่วไป( Federer 1969 , §3.2.43)อสมการไอโซเปริเมตริกกล่าวว่าสำหรับเซตใดๆ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$ซึ่งการปิด นั้น มีมาตรวัดเลเบส จำกัด

${\displaystyle n\,\omega _{n}^{1/n}L^{n}({\bar {S}})^{(n-1)/n}\leq M_{*}^{n-1}(\partial S)}$

ที่ไหน${\displaystyle M_{*}^{n-1}}$คือเนื้อหา Minkowski มิติ ( n -1) , L ⁿคือ การวัด Lebesgue มิติ nและω คือปริมาตรของลูกบอลหน่วยใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ถ้าขอบเขตของSสามารถแก้ไขได้เนื้อหาของ Minkowski ก็คือการวัด Hausdorff มิติ ( n - 1 )

อสมการ ไอโซเพอริเมตริก nมิติ เทียบเท่ากับอสมการโซโบเลฟ (สำหรับโดเมนที่เรียบเพียงพอ) บน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ด้วยค่าคงที่ที่เหมาะสมที่สุด:

${\displaystyle \left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{n/(n-1)}\right)^{(n-1)/n}\leq n^{-1}\omega _{n}^{-1/n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u|}$

สำหรับทุกคน${\displaystyle u\in W^{1,1}(\mathbb {R} ^{n})}$.

แมนิโฟลด์ฮาดามาร์ดเป็นแมนิโฟลด์สมบูรณ์ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย และมีความโค้งไม่เป็นบวก ดังนั้นจึงเป็นการขยายแนวคิดของปริภูมิยุคลิด${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ซึ่งเป็นแมนิโฟลด์ฮาดามาร์ดที่มีความโค้งเป็นศูนย์ ในช่วงทศวรรษ 1970 และต้นทศวรรษ 1980 เธียร์รี อูบิน , มิชา โกรโมฟ , ยูริ บูราโกและวิกเตอร์ ซัลกัลเลอร์ได้ตั้งข้อสันนิษฐานว่าอสมการไอโซเปริเมตริกแบบยุคลิดนั้น

${\displaystyle \operatorname {per} (S)\geq n\operatorname {vol} (S)^{(n-1)/n}\operatorname {vol} (B_{1})^{1/n}}$

ใช้ได้กับเซตที่มีขอบเขต${\displaystyle S}$ในแมนิโฟลด์ของฮาดามาร์ด ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในชื่อสมมติฐานคาร์ตัน-ฮาดามาร์ดในมิติ 2 สมมติฐานนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในปี 1926 โดยอังเดร เวลซึ่งเป็นลูกศิษย์ของฮาดามาร์ดในขณะนั้น ในมิติ 3 และ 4 สมมติฐานนี้ได้รับการพิสูจน์โดยบรูซ ไคลเนอร์ในปี 1992 และคริส โครกในปี 1984 ตามลำดับ

งานวิจัยส่วนใหญ่เกี่ยวกับปัญหาไอโซเปริเมตริกนั้นทำในบริบทของบริเวณเรียบในปริภูมิยุคลิดหรือโดยทั่วไปแล้วในแมนิโฟลด์แบบรีมันน์อย่างไรก็ตาม ปัญหาไอโซเปริเมตริกสามารถกำหนดได้ในรูปแบบทั่วไปที่กว้างกว่ามาก โดยใช้แนวคิดของเนื้อหามินคอฟสกีให้${\displaystyle (X,\mu ,d)}$ให้Xเป็นปริภูมิเมตริกที่มีเมตริกdและμเป็นการวัดแบบบอเรลบน X การวัดขอบเขตหรือเนื้อหาแบบมินคอฟสกีของเซตย่อยที่วัดได้AบนXถูกกำหนดให้เป็นlim inf

${\displaystyle \mu ^{+}(A)=\liminf _{\varepsilon \to 0+}{\frac {\mu (A_{\varepsilon })-\mu (A)}{\varepsilon }},}$

ที่ไหน

${\displaystyle A_{\varepsilon }=\{x\in X|d(x,A)\leq \varepsilon \}}$

คือส่วนขยาย ε ของA

ปัญหาไอโซเพอริเมตริกในXถามว่าเล็กแค่ไหนถึงจะพอดี${\displaystyle \mu ^{+}(A)}$สำหรับμ ( A ) ที่กำหนด หากXคือระนาบยุคลิดที่มีระยะทางปกติและการวัดแบบเลเบสคำถามนี้จะขยายปัญหาไอโซเพอริเมตริกแบบคลาสสิกไปยังบริเวณระนาบที่มีขอบเขตไม่จำเป็นต้องเรียบ แม้ว่าคำตอบจะออกมาเหมือนกันก็ตาม

ฟังก์ชัน

${\displaystyle I(a)=\inf\{\mu ^{+}(A)|\mu (A)=a\}}$

เรียกว่าโปรไฟล์ไอโซเพอริเมตริกของปริภูมิการวัดเมตริก${\displaystyle (X,\mu ,d)}$โปรไฟล์ไอโซเพอริเมตริกได้รับการศึกษาสำหรับกราฟเคย์ลีย์ของกลุ่มแบบไม่ต่อเนื่องและสำหรับกลุ่มพิเศษของแมนิโฟลด์รีมันน์ (โดยปกติจะพิจารณาเฉพาะบริเวณAที่มีขอบเขตปกติเท่านั้น)

ในทฤษฎีกราฟอสมการไอโซเพอริเมตริกเป็นหัวใจสำคัญของการศึกษากราฟเอ็กซ์แพนเดอร์ซึ่งเป็นกราฟเบาบางที่มีคุณสมบัติการเชื่อมต่อที่แข็งแกร่ง การสร้างเอ็กซ์แพนเดอร์ได้ก่อให้เกิดการวิจัยในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ โดยมีการประยุกต์ใช้หลายอย่างในทฤษฎีความซับซ้อนการออกแบบเครือข่ายคอมพิวเตอร์ ที่แข็งแกร่ง และทฤษฎี รหัสแก้ไขข้อ ผิดพลาด^{[ 7 ]}

อสมการไอโซเพอริเมตริกสำหรับกราฟนั้นเชื่อมโยงขนาดของเซตย่อยของจุดยอดกับขนาดของขอบเขต ซึ่งโดยปกติจะวัดจากจำนวนขอบที่ออกจากเซตย่อย (การขยายขอบ) หรือจากจำนวนจุดยอดที่อยู่ติดกัน (การขยายจุดยอด) สำหรับกราฟ${\displaystyle G}$และจำนวนหนึ่ง${\displaystyle k}$ต่อไปนี้เป็นพารามิเตอร์ไอโซเพอริเมตริกมาตรฐานสองตัวสำหรับกราฟ^{[ 8 ]}

• พารามิเตอร์ไอโซเพอริเมตริกของขอบ:$${\displaystyle \Phi _{E}(G,k)=\min _{S\subseteq V}\left\{|E(S,{\overline {S}})|:|S|=k\right\}}$$
• พารามิเตอร์ไอโซเปริเมตริกของจุดยอด:$${\displaystyle \Phi _{V}(G,k)=\min _{S\subseteq V}\left\{|\Gamma (S)\setminus S|:|S|=k\right\}}$$

ที่นี่${\displaystyle E(S,{\overline {S}})}$หมายถึงเซตของขอบที่ออกจาก${\displaystyle S}$และ${\displaystyle \Gamma (S)}$หมายถึงเซตของจุดยอดที่มีจุดยอดข้างเคียงอยู่ในเซตนั้น${\displaystyle S}$ปัญหาไอโซเปริเมตริกประกอบด้วยการทำความเข้าใจว่าพารามิเตอร์ต่างๆ เป็นอย่างไร${\displaystyle \Phi _{E}}$และ${\displaystyle \Phi _{V}}$มีพฤติกรรมที่เหมาะสมกับตระกูลกราฟตามธรรมชาติ

อสมการไอโซเพอริเมตริกสำหรับสามเหลี่ยมในแง่ของเส้นรอบรูปpและพื้นที่Tระบุว่า^{[ 13 ]}

${\displaystyle p^{2}\geq 12{\sqrt {3}}\cdot T,}$

โดยมีความเท่าเทียมกันสำหรับสามเหลี่ยมด้านเท่าสิ่งนี้บ่งบอกโดยผ่านความไม่เท่าเทียมกันของ AM–GMโดยความไม่เท่าเทียมกันที่แข็งแกร่งกว่าซึ่งเรียกอีกอย่างว่าความไม่เท่าเทียมกันของไอโซเพอริเมตริกสำหรับสามเหลี่ยม: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle T\leq {\frac {\sqrt {3}}{4}}(abc)^{2/3}.}$

• ทฤษฎีบทบลาชเค-เลเบส
• ปัญหาแชปลิกิน : ปัญหาไอโซเปอริเมตริกคือกรณีความเร็วลมเป็นศูนย์ของปัญหาแชปลิกิน
• การไหลที่ลดระยะโค้ง
• กราฟขยาย
• อสมการไอโซเพอริเมตริกแบบเกาส์เซียน
• มิติไอโซเพอริเมตริก
• จุดไอโซเพอริเมตริก
• รายการอสมการสามเหลี่ยม
• ปริมาณผสม
• ทฤษฎีบทตัวแยกแบบระนาบ

• ประวัติความเป็นมาของปัญหาไอโซเพอริเมตริกณจุดบรรจบ
• ไตรเบิร์ก: บทพิสูจน์หลายประการของอสมการไอโซเปริเมตริก
• ทฤษฎีบทไอโซเพอริเมตริกที่cut-the-knot