วงจรLCหรือที่เรียกว่าวงจรเรโซแนนซ์วงจรแท็งก์หรือวงจรปรับความถี่เป็นวงจรไฟฟ้าที่ประกอบด้วยตัวเหนี่ยวนำ (แทนด้วยตัวอักษร L) และตัวเก็บประจุ (แทนด้วยตัวอักษร C) ที่ต่อเข้าด้วยกัน วงจรนี้สามารถทำหน้าที่เป็นตัวเรโซเนเตอร์ไฟฟ้า ซึ่งเป็นอุปกรณ์ที่คล้ายกับส้อมเสียง โดยจะเก็บพลังงานที่สั่นด้วย ความถี่เรโซแนนซ์ของ วงจร

วงจร LC ใช้สำหรับสร้างสัญญาณที่ความถี่เฉพาะ หรือแยกสัญญาณที่ความถี่เฉพาะออกจากสัญญาณที่ซับซ้อนกว่า ซึ่งฟังก์ชันนี้เรียกว่าตัวกรองแบบผ่านย่านความถี่ (bandpass filter ) วงจร LC เป็นส่วนประกอบสำคัญในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์หลายชนิด โดยเฉพาะอุปกรณ์วิทยุ ใช้ในวงจรต่างๆ เช่นออสซิลเลเตอร์ ตัวกรองตัวปรับจูนและตัวผสม ความถี่

วงจร LC เป็นแบบจำลองในอุดมคติ เนื่องจากสมมติว่าไม่มีการสูญเสียพลังงานเนื่องจากความต้านทานการใช้งานจริงของวงจร LC จะต้องมีการสูญเสียที่เกิดจากความต้านทานเล็กน้อยแต่ไม่เป็นศูนย์ภายในส่วนประกอบและสายไฟเสมอ จุดประสงค์ของวงจร LC โดยทั่วไปคือการสั่นโดยมีการหน่วง น้อยที่สุด ดังนั้นความต้านทานจึงถูกทำให้ต่ำที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ แม้ว่าวงจรใช้งานจริงจะไม่มีการสูญเสีย แต่การศึกษาแบบจำลองในอุดมคติของวงจรนี้ก็เป็นประโยชน์ในการทำความเข้าใจและสร้างสัญชาตญาณทางกายภาพ สำหรับแบบจำลองวงจรที่รวมความต้านทาน โปรดดู ที่ วงจร RLC

วงจร LC สององค์ประกอบที่อธิบายไว้ข้างต้นเป็นเครือข่ายตัวเหนี่ยวนำ-ตัวเก็บประจุ (หรือเครือข่าย LC ) ที่ง่ายที่สุด นอกจากนี้ยังเรียกว่าวงจร LC อันดับสอง^{[ 1 ] [ 2 ]} เพื่อแยกความแตกต่างจากเครือข่าย LC ที่ซับซ้อนกว่า (อันดับสูงกว่า) ที่มีตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุมากกว่า เครือข่าย LC ดังกล่าวที่มีรีแอกแทนซ์มากกว่าสองตัวอาจมี ความถี่เรโซแนนซ์มากกว่าหนึ่งความถี่

ลำดับของวงจรคือลำดับของฟังก์ชันตรรกยะที่อธิบายวงจรในตัวแปรความถี่เชิงซ้อนsโดยทั่วไป ลำดับจะเท่ากับจำนวนองค์ประกอบ L และ C ในวงจร และในทุกกรณีจะต้องไม่เกินจำนวนนี้

วงจร LC ที่สั่นด้วยความถี่เรโซแนนซ์ ตามธรรมชาติ สามารถเก็บพลังงานไฟฟ้าได้ ดูภาพเคลื่อนไหวประกอบ ตัวเก็บประจุจะเก็บพลังงานในสนามไฟฟ้า ( E ) ระหว่างแผ่นตัวนำ โดยขึ้นอยู่กับแรงดันไฟฟ้าที่ตกคร่อม และตัวเหนี่ยวนำจะเก็บพลังงานในสนามแม่เหล็ก ( B ) โดยขึ้นอยู่กับกระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่าน

ถ้าต่อตัวเหนี่ยวนำเข้ากับตัวเก็บประจุที่มีประจุอยู่ แรงดันไฟฟ้าคร่อมตัวเก็บประจุจะผลักดันกระแสไฟฟ้าให้ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำ ทำให้เกิดสนามแม่เหล็กขึ้นรอบตัวเหนี่ยวนำ แรงดันไฟฟ้าคร่อมตัวเก็บประจุจะลดลงจนเป็นศูนย์เมื่อประจุถูกใช้ไปโดยกระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่าน ณ จุดนี้ พลังงานที่เก็บไว้ในสนามแม่เหล็กของขดลวดจะเหนี่ยวนำให้เกิดแรงดันไฟฟ้าขึ้นในขดลวด เนื่องจากตัวเหนี่ยวนำจะต้านทานการเปลี่ยนแปลงของกระแสไฟฟ้า แรงดันไฟฟ้าที่เหนี่ยวนำนี้จะทำให้กระแสไฟฟ้าเริ่มไหลเพื่อชาร์จตัวเก็บประจุอีกครั้ง โดยมีแรงดันไฟฟ้าที่มีขั้วตรงข้ามกับประจุเดิม ตามกฎของฟาราเดย์แรง เคลื่อน ไฟฟ้าที่ผลักดันกระแสไฟฟ้าเกิดจากการลดลงของสนามแม่เหล็ก ดังนั้นพลังงานที่จำเป็นในการชาร์จตัวเก็บประจุจึงถูกดึงออกมาจากสนามแม่เหล็ก เมื่อสนามแม่เหล็กสลายไปจนหมด กระแสไฟฟ้าจะหยุดไหลและประจุจะถูกเก็บไว้ในตัวเก็บประจุอีกครั้ง โดยมีขั้วตรงข้ามกับเดิม จากนั้นวงจรจะเริ่มต้นใหม่อีกครั้ง โดยกระแสไฟฟ้าจะไหลในทิศทางตรงกันข้ามผ่านตัวเหนี่ยวนำ

ประจุจะไหลไปมาระหว่างแผ่นของตัวเก็บประจุ ผ่านตัวเหนี่ยวนำ พลังงานจะแกว่งไปมาระหว่างตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำจนกระทั่ง (หากไม่ได้รับการเติมเต็มจากวงจรภายนอก) ความต้านทาน ภายใน ทำให้การแกว่งหยุดลง การทำงานของวงจรปรับจูน ซึ่งในทางคณิตศาสตร์เรียกว่าตัวกำเนิดการสั่นแบบฮาร์มอนิกคล้ายกับลูกตุ้มที่แกว่งไปมา หรือน้ำที่กระฉอกไปมาในถัง ด้วยเหตุนี้วงจรนี้จึงเรียกว่าวงจรถัง^{[ 3 ]}ความถี่ธรรมชาติ (นั่นคือ ความถี่ที่มันจะแกว่งเมื่อแยกออกจากระบบอื่นใด ดังที่อธิบายไว้ข้างต้น) ถูกกำหนดโดยค่าความจุและความเหนี่ยวนำ ในการใช้งานส่วนใหญ่ วงจรปรับจูนเป็นส่วนหนึ่งของวงจรขนาดใหญ่ที่ใช้กระแสสลับกับมัน ทำให้เกิดการแกว่งอย่างต่อเนื่อง หากความถี่ของกระแสไฟฟ้าที่ป้อนเข้าไปเท่ากับความถี่เรโซแนนซ์ตามธรรมชาติของวงจร ( ความถี่ธรรมชาติแสดง ไว้ด้านล่าง) จะเกิด เรโซแนนซ์ขึ้นและกระแสไฟฟ้าเพียงเล็กน้อยก็สามารถกระตุ้นให้เกิดแรงดันและกระแสไฟฟ้าที่สั่นไหวอย่างรุนแรงได้ ในวงจรปรับความถี่ทั่วไปในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ การสั่นไหวจะเกิดขึ้นอย่างรวดเร็วมาก ตั้งแต่หลายพันถึงหลายพันล้านครั้งต่อวินาที ${\displaystyle f_{0}\,}$

ปรากฏการณ์เรโซแนนซ์เกิดขึ้นเมื่อวงจร LC ได้รับสัญญาณจากแหล่งภายนอกด้วยความถี่เชิงมุมω₀ซึ่งค่าความต้านทาน เชิงเหนี่ยวนำและความต้านทานเชิงคาปาซิ _{เตอร์}มีขนาดเท่ากัน ความถี่ที่ค่าความเท่ากันนี้เกิดขึ้นกับวงจรนั้นเรียกว่าความถี่เรโซแนนซ์ความถี่เรโซแนนซ์ของวงจร LC คือ

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}},}$

โดยที่Lคือค่าความเหนี่ยวนำในหน่วยเฮนรีและCคือค่าความจุในหน่วยฟารัด_{ความถี่}เชิงมุม ω₀ มีหน่วยเป็นเรเดียนต่อวินาที

ความถี่เทียบเท่าในหน่วยเฮิรตซ์คือ

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}.}$

ปรากฏการณ์เรโซแนนซ์ของวงจร LC มีการประยุกต์ใช้งานที่สำคัญมากมายในด้านการประมวลผลสัญญาณและระบบสื่อสาร

• การใช้งานวงจรแท็งก์ที่พบได้บ่อยที่สุดคือการปรับจูนเครื่องส่งและเครื่องรับวิทยุ ตัวอย่างเช่น เมื่อปรับจูนวิทยุไปยังสถานีใดสถานีหนึ่ง วงจร LC จะถูกตั้งค่าให้เกิดการสั่นพ้องสำหรับความถี่พาหะ เฉพาะ นั้น
• วงจรเรโซแนน ซ์แบบอนุกรมให้การขยายแรงดันไฟฟ้า
• วงจร เรโซแนนซ์ แบบขนานช่วยเพิ่มกระแสไฟฟ้า
• วงจรเรโซแนนซ์แบบขนานสามารถใช้เป็นอิมพีแดนซ์โหลดในวงจรเอาต์พุตของเครื่องขยายสัญญาณ RF ได้ เนื่องจากมีอิมพีแดนซ์สูงอัตราขยายของเครื่องขยายสัญญาณจึงสูงสุดที่ความถี่เรโซแนนซ์
• ทั้งวงจรเรโซแนนซ์แบบขนานและแบบอนุกรมถูกนำมาใช้ในการให้ความร้อนแบบเหนี่ยวนำ

วงจร LC ทำหน้าที่เป็นตัวเรโซเนเตอร์ อิเล็กทรอนิกส์ ซึ่งเป็นส่วนประกอบสำคัญในหลายๆ การใช้งาน:

• เครื่องขยายเสียง
• บัตรแบบไร้สัมผัส
• ระบบเฝ้าระวังสินค้าอิเล็กทรอนิกส์ (แท็กความปลอดภัย)
• ตัวกรอง
• ตัวแยกประเภทฟอสเตอร์-ซีลีย์
• แท็บเล็ตสำหรับงานกราฟิก
• เครื่องผสม
• ออสซิลเลเตอร์
• จูนเนอร์

ตามกฎแรงดันของ KirchhoffแรงดันV _Cคร่อมตัวเก็บประจุบวกกับแรงดันV _Lคร่อมตัวเหนี่ยวนำจะต้องเท่ากับศูนย์:

${\displaystyle V_{C}+V_{L}=0.}$

ในทำนองเดียวกัน ตามกฎกระแสไฟฟ้าของเคิร์ชฮอฟฟ์กระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านตัวเก็บประจุจะเท่ากับกระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำ:

${\displaystyle I_{C}=I_{L}.}$

จากความสัมพันธ์เชิงโครงสร้างขององค์ประกอบวงจร เรายังทราบอีกว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{L}(t)&=L{\frac {\mathrm {d} I_{L}}{\mathrm {d} t}},\\I_{C}(t)&=C{\frac {\mathrm {d} V_{C}}{\mathrm {d} t}}.\end{aligned}}}$

เมื่อจัดเรียงใหม่และแทนค่า จะได้สม การเชิงอนุพันธ์อันดับสอง

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+{\frac {1}{LC}}I(t)=0.}$

พารามิเตอร์ω ₀ซึ่งเป็นความถี่เชิงมุมเรโซ แนนซ์ ถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}.}$

การใช้วิธีนี้จะช่วยลดความซับซ้อนของสมการเชิงอนุพันธ์ได้:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+\omega _{0}^{2}I(t)=0.}$

การแปลงลาปลาสที่เกี่ยวข้องคือ

${\displaystyle s^{2}+\โอเมก้า _{0}^{2}=0,}$

ดังนั้น

${\displaystyle s=\pm j\omega _{0},}$

โดยที่j คือหน่วยจินตภาพ

ดังนั้น คำตอบที่สมบูรณ์ของสมการเชิงอนุพันธ์คือ

${\displaystyle I(t)=Ae^{+j\omega _{0}t}+Be^{-j\omega _{0}t}}$

และสามารถหาค่าAและB ได้ โดยพิจารณาเงื่อนไขเริ่มต้น เนื่องจากฟังก์ชัน เอกซ์ โปเนน เชียลเป็น จำนวนเชิงซ้อนคำตอบจึงแสดงถึงกระแสสลับไซน์เนื่องจากกระแสไฟฟ้าIเป็นปริมาณทางกายภาพจึงต้องมีค่าเป็นจำนวนจริง ดังนั้นจึงสามารถแสดงได้ว่าค่าคงที่AและBต้องเป็นจำนวนเชิงซ้อนสังยุคกัน :

${\displaystyle A=B^{*}.}$

เอาล่ะ ปล่อยให้

${\displaystyle A={\frac {I_{0}}{2}}e^{+j\phi }.}$

ดังนั้น,

${\displaystyle B={\frac {I_{0}}{2}}e^{-j\phi }.}$

ต่อไป เราสามารถใช้สูตรของออยเลอร์เพื่อหาคลื่นไซน์ จริง ที่มีแอมพลิจูดI ₀และความถี่เชิงมุมω ₀ = ⁠1/√ แอลซีและมุม เฟส ​${\displaystyle \phi }$

ดังนั้น คำตอบที่ได้จึงเป็นดังนี้

${\displaystyle I(t)=I_{0}\cos \left(\omega _{0}t+\phi \right),}$

${\displaystyle V_{L}(t)=L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=-\omega _{0}LI_{0}\sin \left(\omega _{0}t+\phi \right).}$

เงื่อนไขเริ่มต้นที่จะทำให้ได้ผลลัพธ์นี้คือ

${\displaystyle I(0)=I_{0}\cos \phi ,}$

${\displaystyle V_{L}(0)=L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}{\Bigg |__{t=0}=-\omega _{0}LI_{0}\sin \phi .}$

ในวงจร LC แบบอนุกรม ตัวเหนี่ยวนำ (L) และตัวเก็บประจุ (C) จะต่อกันแบบอนุกรม ดังแสดงในภาพ แรงดันรวมVที่ขั้วเปิดคือผลรวมของแรงดันที่ตัวเหนี่ยวนำและแรงดันที่ตัวเก็บประจุ กระแสIที่ไหลเข้าขั้วบวกของวงจรเท่ากับกระแสที่ไหลผ่านทั้งตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำ

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{L}+V_{C},\\I&=I_{L}=I_{C}.\end{aligned}}}$

ค่าความต้านทานเชิงเหนี่ยวนำ จะเพิ่มขึ้นเมื่อความถี่เพิ่มขึ้น ในขณะที่ค่าความต้านทานเชิงคาปาซิทีฟจะลดลงเมื่อความถี่เพิ่มขึ้น (ในที่นี้กำหนดให้เป็นจำนวนบวก) ที่ความถี่หนึ่ง ค่าความต้านทานทั้งสองนี้จะเท่ากัน และแรงดันตกคร่อมทั้งสองจะมีค่าเท่ากันแต่มีเครื่องหมายตรงข้าม ความถี่นั้นเรียกว่าความถี่เรโซแนนซ์_f₀ สำหรับวงจรที่กำหนด ${\displaystyle \ X_{\mathsf {L}}=\omega L\ }$${\displaystyle \ X_{\mathsf {C}}={\frac {1}{\ \omega C\ }}\ }$

ดังนั้น ณ สภาวะเรโซแนนซ์

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{\mathsf {L}}&=X_{\mathsf {C}}\ ,\\\omega L&={\frac {1}{\ \omega C\ }}~.\end{aligned}}}$

เมื่อแก้หาค่าωเราจะได้

${\displaystyle \omega =\omega _{0}={\frac {1}{\ {\sqrt {LC\;}}\ }}\ ,}$

ซึ่งนิยามว่าคือความถี่เชิงมุมเรโซแนนซ์ของวงจร การแปลงความถี่เชิงมุม (ในหน่วยเรเดียนต่อวินาที) เป็นความถี่ (ในหน่วยเฮิรตซ์ ) จะได้

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{\ 2\pi \ }}={\frac {1}{\ 2\pi {\sqrt {LC\;}}\ }}\ ,}$

และ

${\displaystyle X_{{\mathsf {L}}0}=X_{{\mathsf {C}}0}={\sqrt {{\frac {\ L\ }{C}}\;}}}$

ที่. ${\displaystyle \omega _{0}}$

ในการต่อแบบอนุกรม ค่าX _CและX _Lจะหักล้างกัน ในส่วนประกอบจริง ไม่ใช่ส่วนประกอบในอุดมคติ กระแสไฟฟ้าจะถูกต้านทานโดยส่วนใหญ่จากความต้านทานของขดลวด ดังนั้น กระแสไฟฟ้าที่จ่ายให้กับวงจรเรโซแนนซ์แบบอนุกรมจะมีค่าสูงสุดที่จุดเรโซแนนซ์

• เมื่อf → f ₀กระแสจะมีค่าสูงสุด ความต้านทานของวงจรจะมีค่าต่ำสุด ในสถานะนี้ วงจรจะเรียกว่าวงจรตัวรับ^{[ 4 ]}
• สำหรับ   f < f ₀ , X _L ≪ X _C  ; ดังนั้น วงจรจึงเป็นแบบคาปาซิทีฟ
• สำหรับ   f > f ₀ , X _L ≫ X _C  ; ดังนั้น วงจรจึงเป็นแบบเหนี่ยวนำ

ในการต่อแบบอนุกรม ปรากฏการณ์เรโซแนนซ์จะเกิดขึ้นเมื่อค่าอิมพีแดนซ์ทางไฟฟ้าเชิงซ้อนของวงจรเข้าใกล้ศูนย์

ขั้นแรกให้พิจารณาอิมพีแดนซ์ของวงจร LC แบบอนุกรม อิมพีแดนซ์รวมจะเท่ากับผลรวมของอิมพีแดนซ์ตัวเหนี่ยวนำและอิมพีแดนซ์ตัวเก็บประจุ:

${\displaystyle Z=Z_{\mathsf {L}}+Z_{\mathsf {C}}~.}$

เขียนค่าอิมพีแดนซ์แบบเหนี่ยวนำเป็น Z _L = jωLและค่าอิมพีแดนซ์แบบคาปาซิทีฟเป็น Z _C = ⁠1/j ω Cและการแทนค่าจะได้

${\displaystyle Z(\omega )=j\omega L+{\frac {1}{\ j\omega C\ }}~.}$

เขียนนิพจน์นี้โดยใช้ตัวส่วนร่วมจะได้

${\displaystyle Z(\omega )=j\left({\frac {\ \omega ^{2}LC-1\ }{\omega C}}\right)~.}$

สุดท้ายนี้ การกำหนดความถี่เชิงมุมธรรมชาติคือ

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\ {\sqrt {LC\;}}\ }}\ ,}$

ค่าความต้านทานกลายเป็น

${\displaystyle Z(\omega )=j\ L\ \left({\frac {\ \omega ^{2}-\omega _{0}^{2}\ }{\omega }}\right)=j\ \omega _{0}L\ \left({\frac {\omega }{\ \omega _{0}\ }}-{\frac {\ \omega _{0}\ }{\omega }}\right)=j\ {\frac {1}{\ \omega _{0}C\ }}\left({\frac {\omega }{\ \omega _{0}\ }}-{\frac {\ \omega _{0}\ }{\omega }}\right)\ ,}$

โดยที่แสดงถึงค่ารีแอกแทนซ์ของตัวเหนี่ยวนำที่สภาวะเรโซแนนซ์ ${\displaystyle \,\omega _{0}L\ \,}$

ตัวเศษบ่งชี้ว่าในกรณีที่ω → ± ω ₀ค่าความต้านทานรวม Z จะเป็นศูนย์ และในกรณีอื่น ๆ จะมีค่าไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น วงจร LC แบบอนุกรม เมื่อต่ออนุกรมกับโหลด จะทำหน้าที่เป็นตัวกรองแบบผ่านย่านความถี่โดยมีค่าความต้านทานเป็นศูนย์ที่ความถี่เรโซแนนซ์ของวงจร LC

เมื่อต่อตัวเหนี่ยวนำ (L) และตัวเก็บประจุ (C) แบบขนานดังแสดงในภาพ แรงดันไฟฟ้าVที่ขั้วเปิดจะมีค่าเท่ากับทั้งแรงดันไฟฟ้าที่ตัวเหนี่ยวนำและแรงดันไฟฟ้าที่ตัวเก็บประจุ กระแสไฟฟ้ารวมIที่ไหลเข้าขั้วบวกของวงจรจะมีค่าเท่ากับผลรวมของกระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนำและกระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านตัวเก็บประจุ

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{\mathsf {L}}=V_{\mathsf {C}}\ ,\\I&=I_{\mathsf {L}}+I_{\mathsf {C}}~.\end{aligned}}}$

เมื่อXLเท่ากับXC _{กระแส ในสองสาขาจะมีค่าเท่ากันและทิศทางตรงข้ามกัน กระแส ทั้ง}สองจะหักล้างกัน ทำให้กระแสในสายหลักมีค่าน้อยที่สุด (ในทางทฤษฎี สำหรับแรงดันV ที่มีค่าจำกัด กระแสจะเป็นศูนย์) เนื่องจากกระแสรวมในสายหลักมีค่าน้อยที่สุด ในสภาวะนี้ อิมพีแดนซ์รวมจึงมีค่าสูงสุด นอกจากนี้ยังมีกระแสไหลเวียนขนาดใหญ่ในวงจรที่เกิดจากตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำ สำหรับแรงดันV ที่มีค่าจำกัด กระแสไหลเวียนนี้จะมีค่าจำกัด โดยมีค่าตามความสัมพันธ์ระหว่างแรงดันและกระแสของตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำ อย่างไรก็ตาม สำหรับกระแสรวมI ที่มีค่าจำกัด ในสายหลัก ในทางทฤษฎี กระแสไหลเวียนจะมีค่าเป็นอนันต์ แต่ในความเป็นจริง กระแสไหลเวียนในกรณีนี้ถูกจำกัดด้วยความต้านทานในวงจร โดยเฉพาะอย่างยิ่งความต้านทานในขดลวดของตัวเหนี่ยวนำ

ความถี่เรโซแนนซ์กำหนดโดย

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{\ 2\pi \ }}={\frac {1}{\ 2\pi {\sqrt {LC\;}}\ }}~.}$

กระแสในแต่ละสาขาจะไม่น้อยที่สุดเมื่ออยู่ในสภาวะเรโซแนนซ์ แต่กระแสแต่ละสาขาจะคำนวณแยกกันได้โดยการหารแรงดันแหล่งจ่าย ( V ) ด้วยค่าความต้านทานเชิงเหนี่ยวนำ ( Z ) ดังนั้น I = ⁠ วี /ซ ตามกฎของ โอห์ม

• ที่ f ₀ กระแสสายมีค่าน้อยที่สุด อิมพีแดนซ์รวมมีค่าสูงสุด ในสถานะนี้ วงจรจะเรียกว่าวงจรตัวปฏิเสธ^{[ 5 ]}
• ที่ความถี่ต่ำกว่า f ₀ วงจรจะเป็นแบบเหนี่ยวนำ
• เหนือ f ₀ วงจรจะเป็นแบบคาปาซิทีฟ

สามารถนำการวิเคราะห์แบบเดียวกันนี้ไปใช้กับวงจร LC แบบขนานได้ จากนั้นค่าอิมพีแดนซ์รวมจะกำหนดโดย

${\displaystyle Z={\frac {\ Z_{\mathsf {L}}Z_{\mathsf {C}}\ }{Z_{\mathsf {L}}+Z_{\mathsf {C}}}}\ ,}$

และหลังจากแทนที่Z _L = j ω LและZ _C = ⁠1/j ω Cและการทำให้ง่ายขึ้น ทำให้ได้

${\displaystyle Z(\omega )=-j\cdot {\frac {\omega L}{\ \omega ^{2}LC-1\ }}~.}$

โดยใช้

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\ {\sqrt {LC\;}}\ }}\ ,}$

มันยิ่งง่ายขึ้นไปอีก

${\displaystyle Z(\omega )=-j\ \left({\frac {1}{\ C\ }}\right)\left({\frac {\omega }{\ \omega ^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\right)=+j\ {\frac {1}{\ \omega _{0}C\left({\tfrac {\omega _{0}}{\omega }}-{\tfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right)\ }}=+j\ {\frac {\omega _{0}L}{\ \left({\tfrac {\omega _{0}}{\omega }}-{\tfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right)\ }}~.}$

โปรดทราบว่า

${\displaystyle \lim _{\omega \to \omega _{0}}Z(\omega )=\infty \ ,}$

แต่สำหรับค่าω อื่นๆ ทั้งหมด ค่าอิ มพีแดนซ์จะมีค่าจำกัด

ดังนั้น วงจร LC แบบขนานที่ต่ออนุกรมกับโหลดจะทำหน้าที่เป็นตัวกรองแบบแบนด์สต็อปที่มีอิมพีแดนซ์อนันต์ที่ความถี่เรโซแนนซ์ของวงจร LC ในขณะที่วงจร LC แบบขนานที่ต่อขนานกับโหลดจะทำหน้าที่เป็นตัวกรองแบบแบนด์พาส

วงจร LC สามารถแก้ไขได้โดยใช้การแปลงลาปลาส

เราเริ่มต้นด้วยการกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างกระแสไฟฟ้าและแรงดันไฟฟ้าคร่อมตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำในแบบปกติ:

${\displaystyle v_{\mathrm {C} }(t)=v(t)\ ,~}$${\displaystyle i(t)=C\ {\frac {\mathrm {d} \ v_{\mathrm {C} }}{\mathrm {d} t}}\ ,~}$และ${\displaystyle ~v_{\mathrm {L} }(t)=L\ {\frac {\mathrm {d} \ i}{\mathrm {d} t}}\;.}$

จากนั้นโดยการประยุกต์ใช้กฎของเคิร์ชฮอฟฟ์ เราจะสามารถหาได้สมการเชิงอนุพันธ์ที่ควบคุมระบบนั้น

${\displaystyle v_{in}(t)=v_{\mathrm {L} }(t)+v_{\mathrm {C} }(t)=L\ {\frac {\mathrm {d} \ i}{\mathrm {d} t}}+v=L\ C\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}\ v}{\mathrm {d} t^{2}}}+v\;.}$

โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้นและ${\displaystyle \ v(0)=v_{0}\ }$${\displaystyle \ i(0)=i_{0}=C\cdot v'(0)=C\cdot v'_{0}\;.}$

โดยกำหนดคำจำกัดความดังต่อไปนี้

${\displaystyle \omega _{0}\equiv {\frac {1}{\ {\sqrt {L\ C\ }}}}~}$และ${\displaystyle ~f(t)\equiv \omega _{0}^{2}\ v_{\mathrm {in} }(t)}$

ให้

${\displaystyle f(t)={\frac {\ \mathrm {d} ^{2}\ v\ }{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega _{0}^{2}\ v\;.}$

ต่อไปเราจะใช้การแปลงลาปลาส

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} \left[\ f(t)\ \right]=\operatorname {\mathcal {L}} \left[\ {\frac {\ \mathrm {d} ^{2}\ v\ }{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega _{0}^{2}\ v\ \right]\,,}$

${\displaystyle F(s)=s^{2}\ V(s)-s\ v_{0}-v'_{0}+\omega _{0}^{2}\ V(s)\;.}$

การแปลงลาปลาสได้เปลี่ยนสมการเชิงอนุพันธ์ของเราให้เป็นสมการพีชคณิต การแก้หาค่าVใน โดเมน s ( โดเมนความถี่ ) นั้นง่ายกว่ามาก

${\displaystyle V(s)={\frac {\ s\ v_{0}+v'_{0}+F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}}$

${\displaystyle V(s)={\frac {\ s\ v_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {v'_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\,,}$

ซึ่งสามารถแปลงกลับไปยังโดเมนเวลาได้โดยใช้การแปลงลาปลาสผกผัน:

${\displaystyle v(t)=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ V(s)\ \right]}$

${\displaystyle v(t)=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\ s\ v_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {v'_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}$

สำหรับพจน์ที่สอง จำเป็นต้องใช้เศษส่วนที่เทียบเท่ากับ: ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {s}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right]+v'_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\ \right]+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}$

สำหรับพจน์ที่สอง จำเป็นต้องใช้เศษส่วนที่เทียบเท่ากับ: ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {s}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right]+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}}}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\ \right]+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\ \omega _{0}\ }}\ \sin(\omega _{0}\ t)+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ \right]}$

พจน์สุดท้ายขึ้นอยู่กับรูปแบบที่แน่นอนของแรงดันไฟฟ้าขาเข้า สองกรณีทั่วไปคือฟังก์ชันขั้นบันไดของ Heavisideและคลื่นไซน์สำหรับฟังก์ชันขั้นบันไดของ Heaviside เราจะได้

${\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)=M\ u(t)\,,}$

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}{\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ \right]~=~\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ M\ {\frac {1}{\ s\ (s^{2}+\omega _{0}^{2})\ }}\ \right]~=~M\ {\Bigl (}1-\cos(\omega _{0}\ t){\Bigr )}\,,}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\ \cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)+M\ {\Bigl (}1-\cos(\omega _{0}\ t){\Bigr )}\;.}$

ในกรณีที่ใช้ฟังก์ชันไซน์เป็นอินพุต เราจะได้:

${\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)=U\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\Rightarrow V_{\mathrm {in} }(s)={\frac {\ U\ \omega _{\mathrm {f} }\ }{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\,}$

โดยที่คือแอมพลิจูดและความถี่ของฟังก์ชันที่ใช้ ${\displaystyle U}$${\displaystyle \omega _{f}}$

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ {\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ {\frac {U\ \omega _{\mathrm {f} }}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}$

โดยใช้วิธีเศษส่วนย่อย:

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ {\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {A+Bs}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ +{\frac {C+Ds}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}$

การทำให้ง่ายขึ้นทั้งสองด้าน

${\displaystyle 1=(A+Bs)(\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ )+(C+Ds)(\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ )}$

${\displaystyle 1=(A\ s^{2}+\ A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ B\ s^{3}+\ B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ )+(C\ s^{2}+\ C\ \omega _{0}^{2}\ +\ D\ s^{3}+\ D\ s\omega _{0}^{2}\ )}$

${\displaystyle 1=s^{3}(B\ +\ D\ )+s^{2}(A\ +\ C)+s(B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}+\ D\ \omega _{0}^{2})+(A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ C\ \omega _{0}^{2})}$

เราแก้สมการเพื่อหาค่า A, B และ C:

${\displaystyle A+C=0\Rightarrow C=-A}$

${\displaystyle A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ C\ \omega _{0}^{2}=1\Rightarrow A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\ A\ \omega _{0}^{2}=1}$

${\displaystyle \Rightarrow A\ ={\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}$

${\displaystyle \Rightarrow C\ =-{\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}$

${\displaystyle B+C=0}$

${\displaystyle B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}+\ D\ \omega _{0}^{2}=0\Rightarrow B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\ B\ \omega _{0}^{2}=0\Rightarrow B\ (\omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2})=0}$

${\displaystyle \Rightarrow B=0,\ D=0}$

แทนค่า A, B และ C ลงในสมการ:

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}+{\frac {-{\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}$

โดยการแยกค่าคงที่และใช้เศษส่วนที่เท่ากันเพื่อปรับแก้กรณีที่ตัวเศษขาดหายไป:

${\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\left({\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}-{\frac {\omega _{f}}{\omega _{f}(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right)\right]\,}$

ทำการแปลงลาปลาสแบบผกผันกับแต่ละพจน์:

${\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left(\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {1}{\omega _{0}}}{\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\right]-\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {1}{\omega _{\mathrm {f} }\ }}{\frac {\omega _{\mathrm {f} }\ }{(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right]\right)\,}$

${\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\right]-{\frac {1}{\omega _{\mathrm {f} }\ }}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {\omega _{\mathrm {f} }\ }{(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right]\right)\,}$

${\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)={\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }\ }{\omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}}}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)-{\frac {1}{\ \omega _{\mathrm {f} }\ }}\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\right)\;,}$

โดยใช้เงื่อนไขเริ่มต้นในการแก้ปัญหาแบบลาปลาส:

${\displaystyle v(t)=v_{0}\cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}\ }}\ \sin(\omega _{0}\ t)+{\frac {\omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }}{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)-{\frac {1}{\ \omega _{\mathrm {f} }\ }}\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\right)\;.}$

หลักฐานแรกที่แสดงว่าตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำสามารถสร้างการสั่นของไฟฟ้าได้ถูกค้นพบในปี ค.ศ. 1826 โดยนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสเฟลิกซ์ ซาวารี [ ^{6 ] [ 7 ] เขา}พบว่าเมื่อ ปล่อย ประจุจากขวดไลเดนผ่านลวดที่พันรอบเข็มเหล็ก บางครั้งเข็มจะถูกทำให้เป็นแม่เหล็กในทิศทางหนึ่ง และบางครั้งก็ในทิศทางตรงกันข้าม เขาสรุปได้อย่างถูกต้องว่าสิ่งนี้เกิดจากกระแสการปล่อยประจุแบบสั่นที่ลดทอนในลวด ซึ่งทำให้การเป็นแม่เหล็กของเข็มกลับทิศทางไปมาจนกระทั่งมีขนาดเล็กเกินไปที่จะมีผล ทำให้เข็มถูกทำให้เป็นแม่เหล็กในทิศทางสุ่ม นักฟิสิกส์ชาวอเมริกันโจเซฟ เฮนรีได้ทำการทดลองของซาวารีซ้ำในปี ค.ศ. 1842 และได้ข้อสรุปเดียวกัน เห็นได้ชัดว่าเป็นการทดลองที่เป็นอิสระต่อกัน^{[ 8 ] [ 9 ]}

ในปี 1853 นักวิทยาศาสตร์ชาวไอริชวิลเลียม ทอมสัน (ลอร์ด เคลวิน) ได้แสดงให้เห็นทางคณิตศาสตร์ว่าการปล่อยประจุของขวดเลย์เดนผ่านตัวเหนี่ยวนำควรเป็นการสั่น และได้หาความถี่เรโซแนนซ์ของมัน ^{[ 6 ] [ 8 ] [ 9 ]}โอลิเวอร์ ลอดจ์นักวิจัยวิทยุชาวอังกฤษได้สร้างวงจรปรับความถี่โดยการปล่อยประจุของขวดเลย์เดนจำนวนมากผ่านลวดเส้นยาว ซึ่งมีความถี่เรโซแนนซ์อยู่ในช่วงความถี่เสียง และทำให้เกิดเสียงดนตรีจากประกายไฟเมื่อมีการปล่อยประจุ^{[ 8 ]}ในปี 1857 นักฟิสิกส์ชาวเยอรมันเบเรนด์ วิลเฮล์ม เฟดเดอร์เซนได้ถ่ายภาพประกายไฟที่เกิดจากวงจรขวดเลย์เดนแบบเรโซแนนซ์ในกระจกหมุน ซึ่งเป็นหลักฐานที่มองเห็นได้ของการสั่น^{[ 6 ] [ 8 ] [ 9 ]}ในปี 1868 นักฟิสิกส์ชาวสก็อต เจมส์ คลาร์ก แม็กซ์เวลล์ได้คำนวณผลของการใช้กระแสสลับกับวงจรที่มีตัวเหนี่ยวนำและตัวเก็บประจุ โดยแสดงให้เห็นว่าการตอบสนองสูงสุดอยู่ที่ความถี่เรโซแนนซ์^{[ 6 ]}ตัวอย่างแรกของ เส้นโค้ง เรโซแนนซ์ ทางไฟฟ้า ได้รับการตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2430 โดยนักฟิสิกส์ชาวเยอรมันไฮน์ริช เฮิรตซ์ในบทความบุกเบิกเกี่ยวกับการค้นพบคลื่นวิทยุ โดยแสดงความยาวของประกายไฟที่ได้จากตัวตรวจจับเรโซเนเตอร์ LC แบบช่องว่างประกายไฟของเขาเป็นฟังก์ชันของความถี่^{[ 6 ]}

หนึ่งในการสาธิตแรกๆ ของการเกิดเรโซแนนซ์ระหว่างวงจรปรับจูนคือการทดลอง "ขวดซินโทนิก" ของ Lodge ในช่วงประมาณปี 1889 ^{[ 6 ] [ 8 ]}เขาได้วางวงจรเรโซแนนซ์สองวงจรไว้ข้างๆ กัน โดยแต่ละวงจรประกอบด้วยขวด Leyden ที่เชื่อมต่อกับขดลวดแบบปรับได้หนึ่งรอบพร้อมช่องว่างประกายไฟ เมื่อใช้แรงดันไฟฟ้าสูงจากขดลวดเหนี่ยวนำกับวงจรปรับจูนหนึ่งวง ทำให้เกิดประกายไฟและกระแสไฟฟ้าสั่น ประกายไฟจะถูกกระตุ้นในวงจรปรับจูนอีกวงหนึ่งก็ต่อเมื่อวงจรถูกปรับให้เกิดเรโซแนนซ์ Lodge และนักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษบางคนชอบใช้คำว่า " ซินโทนี " สำหรับปรากฏการณ์นี้ แต่ในที่สุดคำว่า " เรโซแนนซ์ " ก็เป็นที่นิยม^{[ 6 ]}การใช้งานจริงครั้งแรกของวงจร LC เกิดขึ้นในทศวรรษ 1890 ในเครื่องส่งสัญญาณวิทยุแบบช่องว่างประกายไฟเพื่อให้เครื่องรับและเครื่องส่งสามารถปรับจูนไปที่ความถี่เดียวกันได้ สิทธิบัตรฉบับแรกสำหรับระบบวิทยุที่อนุญาตให้ปรับจูนได้ถูกยื่นโดย Lodge ในปี 1897 แม้ว่าระบบที่ใช้งานได้จริงระบบแรกจะถูกคิดค้นขึ้นในปี 1900 โดยGuglielmo Marconiผู้ บุกเบิกวิทยุชาวอิตาลี ^{[ 6 ]}

• วงจร RL
• วงจร RC
• วงจร RLC

เว็บไซต์ Wikibook Circuit Ideaมีหน้าหนึ่งที่กล่าวถึงหัวข้อ: เราจะสร้างการสั่นแบบไซน์ได้อย่างไร?

• ลูกตุ้มไฟฟ้าโดย โทนี่ คูฟาลด์ท เป็นเรื่องราวคลาสสิกเกี่ยวกับการทำงานของแทงค์ LC
• วิธีการที่วงจร LC แบบขนานเก็บพลังงานนั้นเป็นอีกหนึ่งแหล่งข้อมูลที่ยอดเยี่ยมเกี่ยวกับวงจร LC