การประมาณของลาปลาซหรือการประมาณกำลังสอง ( QUAP ) ^{[ 1 ]}ให้การแสดงออกเชิงวิเคราะห์สำหรับการกระจายความน่าจะเป็นภายหลังโดยการปรับให้เข้ากับการกระจายแบบเกาส์เซียนที่มีค่าเฉลี่ยเท่ากับ คำตอบ MAPและความแม่นยำเท่ากับข้อมูลฟิชเชอร์ที่สังเกตได้ [ ^{2 ] [ 3 ] การ}ประมาณนี้ได้รับการพิสูจน์โดยทฤษฎีบทเบิร์นสไตน์-ฟอน มิเซสซึ่งระบุว่าภายใต้เงื่อนไขความสม่ำเสมอ ข้อผิดพลาดของการประมาณมีแนวโน้มเข้าใกล้ 0 เมื่อจำนวนจุดข้อมูลมีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์^{[ 4 ] [ 5 ]}

ตัวอย่างเช่น พิจารณาแบบจำลองการถดถอยหรือการจำแนกประเภทที่มีชุดข้อมูลประกอบด้วยอินพุตและเอาต์พุตที่มีเวกเตอร์พารามิเตอร์ (ที่ไม่ทราบค่า) ที่มีความยาว n ฟังก์ชัน ความน่าจะเป็นจะถูกแทนด้วยและความน่าจะเป็นก่อนหน้า ของพารามิเตอร์จะถูกแทน ด้วย สมมติว่าเราต้องการประมาณความหนาแน่นร่วมของเอาต์พุตและพารามิเตอร์สูตรของเบย์มีดังนี้: ${\displaystyle \{x_{n},y_{n}\}_{n=1,\ldots ,N}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle D}$${\displaystyle p({\bf {y}}|{\bf {x}},\theta )}$${\displaystyle p(\theta )}$${\displaystyle p({\bf {y}},\theta |{\bf {x}})}$

${\displaystyle p({\bf {y}},\theta |{\bf {x}})\;=\;p({\bf {y}}|{\bf {x}},\theta )p(\theta |{\bf {x}})\;=\;p({\bf {y}}|{\bf {x}})p(\theta |{\bf {y}},{\bf {x}})\;\simeq \;{\tilde {q}}(\theta )\;=\;Zq(\theta ).}$

ค่าร่วม (joint) เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข (likelihood) และความน่าจะเป็นก่อนหน้า (prior) และตามกฎของเบย์ส (Bayes' rule ) เท่ากับผลคูณของ ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข (marginal likelihood ) และ ความน่าจะ เป็นภายหลัง (posterior ) เมื่อมองในฐานะฟังก์ชันของค่าร่วม จะเป็นความหนาแน่นที่ไม่ได้รับการปรับให้เป็นมาตรฐาน (un-normalized density) ${\displaystyle p({\bf {y}}|{\bf {x}})}$${\displaystyle p(\theta |{\bf {y}},{\bf {x}})}$${\displaystyle \theta }$

ในการประมาณของลาปลาซ เราประมาณค่าร่วมกันโดยใช้ฟังก์ชันเกาส์เซียนที่ไม่ปรับค่ามาตรฐานโดยที่เราใช้เพื่อแสดงถึงความหนาแน่นโดยประมาณสำหรับความหนาแน่นที่ไม่ปรับค่ามาตรฐาน และค่าคงที่การปรับค่ามาตรฐานของ(ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับ) เนื่องจากความน่าจะเป็นแบบมาร์จินัลไม่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์และความน่าจะเป็นแบบโพสทีเรี ยร์ ปรับค่ามาตรฐานตามเราจึงสามารถระบุได้ทันทีว่ามันคือและของการประมาณของเรา ตามลำดับ ${\displaystyle {\tilde {q}}(\theta )=Zq(\theta )}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\tilde {q}}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\tilde {q}}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle p({\bf {y}}|{\bf {x}})}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle p(\theta |{\bf {y}},{\bf {x}})}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle Z}$${\displaystyle q(\theta )}$

การประมาณค่าของลาปลาซคือ

${\displaystyle p({\bf {y}},\theta |{\bf {x}})\;\simeq \;p({\bf {y}},{\hat {\theta }}|{\bf {x}})\exp {\big (}-{\tfrac {1}{2}}(\theta -{\hat {\theta }})^{\top }S^{-1}(\theta -{\hat {\theta }}){\big )}\;=\;{\tilde {q}}(\theta ),}$

โดยที่เราได้กำหนดไว้แล้ว

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\theta }}&\;=\;\operatorname {argmax} _{\theta }\log p({\bf {y}},\theta |{\bf {x}}),\\S^{-1}&\;=\;-\left.\nabla _{\theta }\nabla _{\theta }\log p({\bf {y}},\theta |{\bf {x}})\right|_{\theta ={\hat {\theta }}},\end{aligned}}}$

โดยที่คือตำแหน่งของโหมดของความหนาแน่นเป้าหมายร่วม หรือที่เรียกว่าจุด ค่า สูงสุดภายหลัง (maximum a posterioriหรือ MAP point) และคือ เมทริกซ์ บวกกำหนด (positive definite matrix) ของอนุพันธ์อันดับสองของค่าลบของลอการิทึมของความหนาแน่นเป้าหมายร่วมที่โหมดนั้นดังนั้น การประมาณแบบเกาส์เซียนจะตรงกับค่า และความโค้งของลอการิทึมของความหนาแน่นเป้าหมายที่ไม่ได้รับการปรับค่ามาตรฐานที่โหมดนั้น โดยปกติแล้วค่าของจะหาได้โดยใช้วิธีการที่อิงตามเกรเดียนต์ ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$${\displaystyle S^{-1}}$${\displaystyle D\times D}$${\displaystyle \theta ={\hat {\theta }}}$${\displaystyle {\hat {\theta }}}$

โดยสรุปแล้ว เรามี

${\displaystyle {\begin{aligned}q(\theta )&\;=\;{\cal {N}}(\theta |\mu ={\hat {\theta }},\Sigma =S),\\\log Z&\;=\;\log p({\bf {y}},{\hat {\theta }}|{\bf {x}})+{\tfrac {1}{2}}\log |S|+{\tfrac {D}{2}}\log(2\pi ),\end{aligned}}}$

สำหรับค่าประมาณของความน่าจะเป็นภายหลังและค่าประมาณของลอการิทึมของความน่าจะเป็นส่วนขอบตามลำดับ ${\displaystyle \theta }$

จุดอ่อนหลักของการประมาณค่าของลาปลาซคือมีความสมมาตรรอบโหมดและเป็นแบบเฉพาะที่: การประมาณค่าทั้งหมดได้มาจากคุณสมบัติที่จุดเดียวของความหนาแน่นเป้าหมาย วิธีการของลาปลาซถูกใช้กันอย่างแพร่หลายและได้รับการบุกเบิกในบริบทของเครือข่ายประสาทโดย David MacKay ^{[ 6 ]}และสำหรับกระบวนการเกาส์เซียนโดย Williams และ Barber ^{[ 7 ]}

การประมาณค่าลาปลาสแบบซ้อนกันแบบบูรณาการ (INLAเป็นวิธีการอนุมานแบบเบย์เซียนโดยอาศัยการประมาณของลาปลาซ ^{[ 8 ]}มันถูกออกแบบมาสำหรับแบบจำลองประเภทหนึ่งที่เรียกว่าแบบจำลองเกาส์เซียนแฝง (LGM) ซึ่งสามารถเป็นทางเลือกที่รวดเร็วและแม่นยำสำหรับมาร์คอฟเชน มอนเตคาร์โลเพื่อคำนวณการแจกแจงมาร์จินัลแบบโพสทีเรียร์ ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}เนื่องจากความเร็วที่ค่อนข้างสูงแม้กับชุดข้อมูลขนาดใหญ่สำหรับปัญหาและแบบจำลองบางอย่าง INLA จึงเป็นวิธีการอนุมานที่ได้รับความนิยมในสถิติประยุกต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสถิติเชิงพื้นที่นิเวศวิทยาแผ่นดินไหววิทยาและระบาดวิทยา[ ^{12 ] [ 13 ] [ 14 ] นอกจาก}นี้ยังสามารถรวม INLA กับวิธีการไฟไนต์เอเลเมนต์เพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบเพื่อศึกษา เช่น กระบวนการจุดเชิงพื้นที่และแบบจำลองการกระจายพันธุ์ ^{[ 15 ] [ 16 ]}วิธีการ INLA ถูกนำไปใช้ในแพ็คเกจR ^{[ 17 ]}

ให้แทนตัวแปรตอบสนอง (นั่นคือ ข้อมูลสังเกต) ซึ่งอยู่ในตระกูลการแจกแจง แบบเอกซ์โพเนนเชียล โดยค่าเฉลี่ย(ของ) เชื่อมโยงกับตัวทำนายเชิงเส้นผ่านฟังก์ชันเชื่อมโยง ที่เหมาะสม ตัวทำนายเชิงเส้นสามารถอยู่ในรูปแบบของแบบจำลองบวก (แบบเบย์เซียน) ผลกระทบแฝงทั้งหมด (ตัวทำนายเชิงเส้น ค่าคงที่ สัมประสิทธิ์ของตัวแปรอธิบายที่เป็นไปได้ และอื่นๆ) จะถูกแทนด้วยเวกเตอร์พารามิเตอร์ของแบบจำลองจะถูกแทนด้วยตามสถิติแบบเบย์เซียนและเป็นตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงแบบก่อนหน้า ${\displaystyle {\boldsymbol {y}}=(y_{1},\dots ,y_{n})}$${\displaystyle \mu _{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle \eta _{i}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$

ถือว่า การสังเกตการณ์เป็นอิสระต่อกันแบบมีเงื่อนไขเมื่อกำหนดและ: โดยที่คือเซตของดัชนีสำหรับองค์ประกอบที่สังเกตได้ของ(บางองค์ประกอบอาจไม่ได้รับการสังเกต และสำหรับองค์ประกอบเหล่านี้ INLA จะคำนวณการแจกแจงการทำนายภายหลัง) โปรดทราบว่าตัวทำนายเชิงเส้นเป็นส่วนหนึ่งของ ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$$${\displaystyle \pi ({\boldsymbol {y}}|{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\theta }})=\prod _{i\in {\mathcal {I}}}\pi (y_{i}|\eta _{i},{\boldsymbol {\theta }}),}$$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {y}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$

เพื่อให้แบบจำลองเป็นแบบจำลองเกาส์เซียนแฝง สมมติว่าเป็น Gaussian Markov Random Field (GMRF) ^{[ 8 ]} (นั่นคือ เกาส์เซียนหลายตัวแปรที่มี คุณสมบัติ ความเป็นอิสระแบบมีเงื่อนไข เพิ่มเติม ) โดยมีความหนาแน่นของความน่า จะเป็น โดยที่เป็นเมทริกซ์ความแม่นยำแบบเบาบางที่ขึ้นอยู่กับและเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นั้น เมทริกซ์ความแม่นยำเป็นแบบเบาบางเนื่องจากสมมติฐาน GMRF การแจกแจงก่อนหน้าสำหรับไฮเปอร์พารามิเตอร์ไม่จำเป็นต้องเป็นเกาส์เซียน อย่างไรก็ตาม จำนวนไฮเปอร์พารามิเตอร์ถือว่ามีขนาดเล็ก (เช่น น้อยกว่า 15) ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }}}$$${\displaystyle \pi ({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }})\propto \left|{\boldsymbol {Q_{\theta }}}\right|^{1/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {x}}^{T}{\boldsymbol {Q_{\theta }}}{\boldsymbol {x}}\right),}$$${\displaystyle {\boldsymbol {Q_{\theta }}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$${\displaystyle \left|{\boldsymbol {Q_{\theta }}}\right|}$${\displaystyle \pi ({\boldsymbol {\theta }})}$${\displaystyle m=\mathrm {dim} ({\boldsymbol {\theta }})}$

ในการอนุมานแบบเบย์เซียน เราต้องการหาการแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลังของตัวแปรแฝงและโดยใช้ทฤษฎีบทของเบย์การแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลังร่วมของและจะได้จากการหาการแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลังที่แน่นอนนั้นโดยทั่วไปเป็นปัญหาที่ยากมาก ใน INLA เป้าหมายหลักคือการประมาณค่าการแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลังแบบมาร์จินัลโดย ที่${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$$${\displaystyle \pi ({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})={\frac {\pi ({\boldsymbol {y}}|{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\theta }})\pi ({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }})\pi ({\boldsymbol {\theta }})}{\pi ({\boldsymbol {y}})}},}$$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi ({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})&\propto \pi ({\boldsymbol {\theta }})\pi ({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }})\prod _{i}\pi (y_{i}|\eta _{i},{\boldsymbol {\theta }})\\&\propto \pi ({\boldsymbol {\theta }})\left|{\boldsymbol {Q_{\theta }}}\right|^{1/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {x}}^{T}{\boldsymbol {Q_{\theta }}}{\boldsymbol {x}}+\sum _{i}\log \left[\pi (y_{i}|\eta _{i},{\boldsymbol {\theta }})\right]\right).\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\pi (x_{i}|{\boldsymbol {y}})&=&\int \pi (x_{i}|{\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {y}})\pi ({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {\theta }}\\\pi (\theta _{j}|{\boldsymbol {y}})&=&\int \pi ({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {\theta }}_{-j},\end{array}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}_{-j}=\left(\theta _{1},\dots ,\theta _{j-1},\theta _{j+1},\dots ,\theta _{m}\right)}$

แนวคิดหลักของ INLA คือการสร้างการประมาณแบบซ้อนกัน โดยกำหนดโดยที่เป็นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นภายหลังที่ประมาณค่าได้ การประมาณความหนาแน่นของความน่าจะเป็นส่วนชายขอบได้มาในลักษณะซ้อนกัน โดยการประมาณค่าและก่อน จากนั้นจึงทำการอินทิเกรต เชิงตัวเลข โดยที่ผลรวมนั้นครอบคลุมค่าของโดยมีน้ำหนักการอินทิเกรตที่กำหนดโดยการประมาณค่าของคำนวณได้โดยการอินทิเกรตเชิงตัวเลข จาก$${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\widetilde {\pi }}(x_{i}|{\boldsymbol {y}})&=&\int {\widetilde {\pi }}(x_{i}|{\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {y}}){\widetilde {\pi }}({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {\theta }}\\{\widetilde {\pi }}(\theta _{j}|{\boldsymbol {y}})&=&\int {\widetilde {\pi }}({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {\theta }}_{-j},\end{array}}}$$${\displaystyle {\widetilde {\pi }}(\cdot |\cdot )}$${\displaystyle \pi (x_{i}|{\boldsymbol {y}})}$${\displaystyle \pi ({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})}$${\displaystyle \pi (x_{i}|{\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {y}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\pi }}(x_{i}|{\boldsymbol {y}})=\sum _{k}{\widetilde {\pi }}\left(x_{i}|{\boldsymbol {\theta }}_{k},{\boldsymbol {y}}\right)\times {\widetilde {\pi }}({\boldsymbol {\theta }}_{k}|{\boldsymbol {y}})\times \Delta _{k},\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$${\displaystyle \Delta _{k}}$${\displaystyle \pi (\theta _{j}|{\boldsymbol {y}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}_{-j}}$${\displaystyle {\widetilde {\pi }}({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})}$

เพื่อให้ได้การกระจายโดยประมาณสามารถใช้ความสัมพันธ์เป็นจุดเริ่มต้นได้ จากนั้นจะได้ค่าเฉพาะของไฮเปอร์พารามิเตอร์ด้วยการประมาณของลาปลาส^{[ 8 ]}โดยที่คือการประมาณแบบเกาส์เซียนของซึ่ง โหมดที่ ค่าที่กำหนดคือโหมดสามารถหาได้ด้วยวิธีเชิงตัวเลข เช่น ด้วยวิธีนิวตัน-ราฟสัน ${\displaystyle {\widetilde {\pi }}({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\pi }({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})={\frac {\pi \left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {y}}\right)}{\pi \left({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {y}}\right)\pi ({\boldsymbol {y}})}},\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\widetilde {\pi }}({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}={\boldsymbol {\theta }}_{k}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\pi }}({\boldsymbol {\theta }}_{k}|{\boldsymbol {y}})&\propto \left.{\frac {\pi \left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\theta }}_{k},{\boldsymbol {y}}\right)}{{\widetilde {\pi }}_{G}\left({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }}_{k},{\boldsymbol {y}}\right)}}\right\vert _{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {x}}^{*}({\boldsymbol {\theta }}_{k})},\\&\propto \left.{\frac {\pi ({\boldsymbol {y}}|{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\theta }}_{k})\pi ({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }}_{k})\pi ({\boldsymbol {\theta }}_{k})}{{\widetilde {\pi }}_{G}\left({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }}_{k},{\boldsymbol {y}}\right)}}\right\vert _{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {x}}^{*}({\boldsymbol {\theta }}_{k})},\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\widetilde {\pi }}_{G}\left({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }}_{k},{\boldsymbol {y}}\right)}$${\displaystyle {\pi }\left({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }}_{k},{\boldsymbol {y}}\right)}$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}_{k}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{*}({\boldsymbol {\theta }}_{k})}$

เทคนิคในการประมาณค่าลาปลาสข้างต้นคือข้อเท็จจริงที่ว่าการประมาณค่าเกาส์เซียนถูกนำไปใช้กับเงื่อนไขทั้งหมดของในตัวส่วน เนื่องจากโดยปกติแล้วจะใกล้เคียงกับเกาส์เซียนเนื่องจากคุณสมบัติ GMRF ของการใช้การประมาณค่าในที่นี้ช่วยปรับปรุงความแม่นยำของวิธีการ เนื่องจากค่าหลังเองไม่จำเป็นต้องใกล้เคียงกับเกาส์เซียน ดังนั้นการประมาณค่าเกาส์เซียนจึงไม่ได้นำไปใช้กับโดยตรงคุณสมบัติที่สำคัญประการที่สองของ GMRF คือความเบาบางของเมทริกซ์ความแม่นยำซึ่งจำเป็นสำหรับการคำนวณที่มีประสิทธิภาพ^{สำหรับ}แต่ละค่า^{[ 8} ]${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\pi }({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})}$${\displaystyle {\pi }({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})}$${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}_{{\boldsymbol {\theta }}_{k}}}$${\displaystyle {\widetilde {\pi }}({\boldsymbol {\theta }}_{k}|{\boldsymbol {y}})}$${\displaystyle {{\boldsymbol {\theta }}_{k}}}$

การหาการกระจายโดยประมาณนั้นมีความซับซ้อนมากขึ้น และวิธี INLA มีตัวเลือกสามแบบสำหรับเรื่องนี้ ได้แก่ การประมาณแบบเกาส์เซียน การประมาณแบบลาปลาส หรือการประมาณแบบลาปลาสแบบง่าย^{[ 8 ]}สำหรับการบูรณาการเชิงตัวเลขเพื่อให้ได้ก็มีสามตัวเลือกเช่นกัน ได้แก่ การค้นหาแบบกริด การออกแบบคอมโพสิตกลาง หรือเบย์สเชิงประจักษ์^{[ 8 ]}${\displaystyle {\widetilde {\pi }}\left(x_{i}|{\boldsymbol {\theta }}_{k},{\boldsymbol {y}}\right)}$${\displaystyle {\widetilde {\pi }}(x_{i}|{\boldsymbol {y}})}$

• Amaral Turkman, M. Antónia; Paulino, Carlos Daniel; Müller, Peter ( 2019). "วิธีการลาปลาสแบบคลาสสิก" สถิติเบย์เซียนเชิงคำนวณ: บทนำเคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ หน้า  154–159 ISBN 978-1-108-48103-8.
• Gomez-Rubio, Virgilio (2021). การอนุมานแบบเบย์เซียนด้วย INLA . Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1-03-217453-2.
• Tanner, Martin A. (1996). "โมเมนต์ภายหลังและการหาค่าเฉลี่ยโดยใช้วิธีของลาปลา ซ" เครื่องมือสำหรับการอนุมานทางสถิตินิวยอร์ก: สปริงเกอร์ หน้า  44–51 ISBN 0-387-94688-8.