เคอร์เนล (พีชคณิตเชิงเส้น)

Q: คุณสมบัติ

เคอร์เนลของ L เป็น ปริภูมิย่อยเชิงเส้น ของโดเมน V [ 3 ] [ 2 ]

Q: ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

ถ้า V และ W เป็น ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี โดยที่ W มีมิติจำกัด ตัวดำเนินการเชิงเส้น L : V → W จะ ต่อเนื่อง ก็ต่อเมื่อเคอร์เนลของ L เป็น ปริภูมิย่อย ปิด ของ V

ตัวอย่างหนึ่งของเคอร์เนล คือ ตัวดำเนินการเชิงเส้น $L:(x,y)\longrightarrow (x,x)$ แปลงจุดทั้งหมดบน $(x=0,y)$ เส้นตรงไปยังจุดศูนย์ $(0,0)$ ดังนั้นจึงก่อให้เกิดแกนหลักสำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้น

{\displaystyle L:(x,y)\longrightarrow (x,x)} — ตัวอย่างหนึ่งของเคอร์เนล คือ ตัวดำเนินการเชิงเส้น $L:(x,y)\longrightarrow (x,x)$ แปลงจุดทั้งหมดบน $(x=0,y)$ เส้นตรงไปยังจุดศูนย์ $(0,0)$ ดังนั้นจึงก่อให้เกิดแกนหลักสำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้น

ในทางคณิตศาสตร์เคอร์เนลของแผนที่เชิงเส้น หรือ ที่รู้จักกันในชื่อปริภูมิว่างหรือปริภูมิว่างคือส่วนของโดเมนที่ถูกแมปไปยังเวกเตอร์ศูนย์ของโคโดเมนเคอร์เนลเป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของโดเมน เสมอ ^[¹^]นั่นคือ เมื่อกำหนดแผนที่เชิงเส้น $L$ $:$ $V$ $\to$ $W$ ระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ สองปริภูมิ $V$ และ $W$ เคอร์เนลของ $L คือปริภูมิเวกเตอร์ขององค์ประกอบ$ $v$ ทั้งหมดของ $V$ ที่ $L$ $($ $v$ $) =$ $0$ โดยที่ $0$ หมายถึงเวกเตอร์ศูนย์ใน $W$ [ ²^]หรือในเชิงสัญลักษณ์มากขึ้น ^: $\ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}=L^{-1}(\mathbf {0} ).$

คุณสมบัติ

เคอร์เนลของ $L$ เป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของโดเมน $V$ ^{[ 3 ]}^{[ 2 ]}

ในแผนที่เชิงเส้น $L:V\to W,$ สมาชิกสองตัวของ $V จะมี$ ภาพเดียวกันใน $W$ ก็ต่อเมื่อผลต่างของสมาชิกทั้งสองนั้นอยู่ในแกนหลักของ $L$ นั่นคือ

$L\left(\mathbf {v} _{1}\right)=L\left(\mathbf {v} _{2}\right)\quad \iff \quad L\left(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\right)=\mathbf {0} .$

จากสิ่งนี้ จึงสรุปได้ว่า ตามทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมข้อแรกภาพของ $L$ นั้น เป็นไอโซมอร์ฟิกกับผลหารของ $V$ โดยเคอร์เนล: $\operatorname {im} (L)\cong V/\ker(L).$ ในกรณีที่ $V$ มีมิติจำกัดสิ่งนี้บ่งชี้ถึงทฤษฎีบทอันดับ-มิติว่าง : $\dim(\ker L)+\dim(\ชื่อผู้ดำเนินการ {im} L)=\dim(V)$ โดยที่คำศัพท์นั้นอันดับหมายถึงมิติของภาพของ $L$ $\dim(\ชื่อผู้ดำเนินการ {im} L),$ ในขณะที่nullityหมายถึงมิติของเคอร์เนลของ $L$ $\dim(\ker L).$ ^{[ 4 ]} นั่นคือ $\operatorname {Rank} (L)=\dim(\operatorname {im} L)\qquad {\text{ และ }}\qquad \operatorname {Nullity} (L)=\dim(\ker L),$ ดังนั้นทฤษฎีบทอันดับ-มิติว่างจึงสามารถกล่าวใหม่ได้ดังนี้ $\operatorname {Rank} (L)+\operatorname {Nullity} (L)=\dim \left(\operatorname {domain} L\right).$

เมื่อ $V$ เป็นปริภูมิผลคูณภายใน ผลหาร $V/\ker(L)$ สามารถระบุได้ด้วยส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากใน $V$ ของ $\ker(L)$ นี่คือการขยายแนวคิดของปริภูมิแถวหรือภาพร่วมของเมทริกซ์ ไปยังตัวดำเนินการเชิงเส้น

การสรุปทั่วไปไปยังโมดูล

แนวคิดเรื่องเคอร์เนลยังมีความหมายสำหรับโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลซึ่งเป็นการขยายความของปริภูมิเวกเตอร์ โดยที่สเกลาร์เป็นสมาชิกของริงแทนที่จะ เป็น ฟิลด์โดเมนของการแมปคือโมดูล โดยที่เคอร์เนลประกอบเป็นซับโมดูลในกรณีนี้ แนวคิดเรื่องอันดับและความเป็นศูนย์ไม่จำเป็นต้องนำมาใช้เสมอไป

ในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

ถ้า $V$ และ $W$ เป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีโดยที่ $W$ มีมิติจำกัด ตัวดำเนินการเชิงเส้น $L : V \to W$ จะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อเคอร์เนลของ $L$ เป็น ปริภูมิย่อย ปิดของ $V$

การแสดงผลในรูปของการคูณเมทริกซ์

พิจารณาแผนที่เชิงเส้นที่แสดงด้วยเมทริกซ์ $A ขนาด$ $m \times n$ โดยมีสัมประสิทธิ์อยู่ในฟิลด์ $K$ (โดยทั่วไป) $\mathbb {R}$ หรือ $\mathbb {C}$ ) ซึ่งดำเนินการกับเวกเตอร์คอลัมน์ $x$ ที่มี $n$ ส่วนประกอบเหนือ $K$ เคอร์เนลของแผนที่เชิงเส้นนี้คือเซตของคำตอบของสมการ $A x = 0$ โดยที่ $0$ หมายถึงเวกเตอร์ศูนย์มิติของเคอร์เนลของAเรียกว่ามิติศูนย์ของ A ในสั ญกร ณ์ การสร้างเซต $\operatorname {N} (A)=\operatorname {Null} (A)=\operatorname {ker} (A)=\left\{\mathbf {x} \in K^{n}\mid A\mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}.$ สมการเมทริกซ์เทียบเท่ากับระบบสมการเชิงเส้นเอก พันธุ์ : $A\mathbf {x} =\mathbf {0} \;\;\Leftrightarrow \;\;{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}$ ดังนั้น เคอร์เนลของAจึงเหมือนกับเซตคำตอบของสมการเอกพันธุ์ข้างต้น

คุณสมบัติของปริภูมิย่อย

เคอร์เนลของเมทริกซ์ $A ขนาด$ $m \times n$ บนฟิลด์ $K$ คือปริภูมิย่อยเชิงเส้นของ $K$ $n$ นั่นคือ เคอร์เนลของ $A$ ซึ่งก็คือเซต $Null($ $A$ $)$ มีคุณสมบัติสามประการดังต่อไปนี้:

$Null(A)$ จะมีเวกเตอร์ศูนย์ อยู่เสมอ เนื่องจาก $A 0 = 0$
ถ้า $x \in Null(A)$ และ $y \in Null(A)$ แล้ว $x + y \in Null(A)$ ซึ่งเป็นผลมาจากคุณสมบัติการกระจายตัวของการคูณเมทริกซ์เหนือการบวก
ถ้า $x \in Null($ A $)$ $และ$ c $เป็น$ สเกลาร์ $c \in K$ แล้ว $c x \in Null(A)$ เนื่องจาก $A (c x) = c (A x) = c 0 = 0$

พื้นที่แถวของเมทริกซ์

ผลคูณA xสามารถเขียนในรูปผลคูณดอทของเวกเตอร์ได้ดังนี้: $A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}.$

ในที่นี้ $a₁ ..., aᵢ$ แทนแถวของเมทริกซ์ $A$ ดังนั้น $x$ จะอยู่ในเคอร์เนลของ $A$ ก็ต่อเมื่อ $x$ ตั้งฉาก (หรือตั้งฉาก) กับเวกเตอร์แถวแต่ละตัวของ $A ($ ความเป็นตั้งฉากถูกกำหนดให้มีผลคูณดอทเป็น 0)

ปริภูมิแถวหรือ โคอิมเมจ ของเมทริกซ์ $A$ คือปริภูมิที่เกิดจากการรวมเวกเตอร์แถวของ $A$ ด้วยเหตุผลข้างต้น เคอร์เนลของ $A$ จึงเป็นส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของปริภูมิแถว กล่าวคือ เวกเตอร์ $x$ อยู่ในเคอร์เนลของ $A$ ก็ต่อเมื่อมันตั้งฉากกับทุกเวกเตอร์ในปริภูมิแถวของ $A$

มิติของปริภูมิแถวของ $A$ เรียกว่าอันดับของAและมิติของเคอร์เนลของ $A$ เรียกว่าความเป็นศูนย์ของ $A$ ปริมาณเหล่านี้มีความสัมพันธ์กันโดยทฤษฎีบทอันดับ-ความเป็นศูนย์^{[ 4 ]} $\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.$

ช่องว่างด้านซ้าย

ปริภูมิว่างด้านซ้ายหรือโคเคอร์เนลของเมทริกซ์ $A$ ประกอบด้วยเวกเตอร์คอลัมน์ $x$ ทั้งหมด โดยที่ $x \in T A = 0 \in T$ โดยที่ T แทนการสลับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ ปริภูมิว่างด้านซ้ายของ $A$ เหมือนกับเคอร์เนลของ $A \in T$ ปริภูมิว่างด้านซ้ายของ $A$ เป็นส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของปริภูมิคอลัมน์ของ $A$ และเป็นคู่ตรงข้ามกับโคเคอร์เนลของการแปลงเชิงเส้นที่เกี่ยวข้อง เคอร์เนล ปริภูมิแถว ปริภูมิคอลัมน์ และปริภูมิว่างด้านซ้ายของ $A$ เป็นปริภูมิย่อยพื้นฐานสี่ปริภูมิที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์ $A$

ระบบสมการเชิงเส้นไม่เอกพันธุ์

เคอร์เนลยังมีบทบาทในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่เป็นเอกพันธุ์อีกด้วย: $A\mathbf {x} =\mathbf {b} \quad {\text{or}}\quad {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}$ ถ้า $u$ และ $v$ เป็นสองคำตอบที่เป็นไปได้ของสมการข้างต้นแล้ว $A(\mathbf {u} -\mathbf {v} )=A\mathbf {u} -A\mathbf {v} =\mathbf {b} -\mathbf {b} =\mathbf {0}$ ดังนั้น ผลต่างของคำตอบสองคำตอบใดๆ ของสมการA $x = b จะ$ อยู่ในแกนกลางของ $A$

ดังนั้น ผลเฉลยใดๆ ของสมการ $A x = b$ สามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของผลเฉลยคงที่ $v$ และองค์ประกอบใดๆ ของเคอร์เนล นั่นคือ เซตผลเฉลยของสมการ $A x = b$ คือ $\left\{\mathbf {v} +\mathbf {x} \mid A\mathbf {v} =\mathbf {b} \land \mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)\right\},$ ในทางเรขาคณิต หมายความว่าเซตคำตอบของสมการ $A x = b$ คือการเลื่อนตำแหน่งของเคอร์เนลของ $A$ โดยเวกเตอร์ $v$ ดูเพิ่มเติมที่ทางเลือกของ Fredholmและระนาบ (เรขาคณิต )

ภาพประกอบ

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างง่ายๆ ของการคำนวณเคอร์เนลของเมทริกซ์ (ดูหัวข้อ§ การคำนวณโดยวิธีกำจัดแบบเกาส์เซียนด้านล่าง สำหรับวิธีการที่เหมาะสมกว่าสำหรับการคำนวณที่ซับซ้อนกว่า) ตัวอย่างนี้ยังกล่าวถึงปริภูมิแถวและความสัมพันธ์กับเคอร์เนลด้วย

พิจารณาเมทริกซ์ $A={\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.$ เคอร์เนลของเมทริกซ์นี้ประกอบด้วยเวกเตอร์ทั้งหมด $(x, y, z) \in R 3$ ซึ่ง ${\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},$ ซึ่งสามารถแสดงได้ในรูปของระบบสมการเชิงเส้นเอก พันธุ์ ที่เกี่ยวข้องกับ $x$ , $y$ และ $z$ : ${\begin{aligned}2x+3y+5z&=0,\\-4x+2y+3z&=0.\end{aligned}}$

สมการเชิงเส้นเดียวกันนี้สามารถเขียนในรูปแบบเมทริกซ์ได้ดังนี้: $\left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].$

โดยใช้การกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดนเมทริกซ์สามารถลดรูปได้ดังนี้: $\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].$

การเขียนเมทริกซ์ใหม่ให้อยู่ในรูปสมการจะได้: ${\begin{aligned}x&=-{\frac {1}{16}}z\\y&=-{\frac {13}{8}}z.\end{aligned}}$

องค์ประกอบของเคอร์เนลสามารถแสดงเพิ่มเติมได้ในรูปแบบเวกเตอร์พาราเมตริกดังต่อไปนี้: ${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}\quad ({\text{where }}c\in \mathbb {R} )$

เนื่องจาก $c$ เป็นตัวแปรอิสระที่ครอบคลุมจำนวนจริงทั้งหมด จึงสามารถแสดงได้อีกอย่างหนึ่งว่า: ${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.$ เคอร์เนลของ $A$ คือเซตคำตอบของสมการเหล่านี้ (ในกรณีนี้คือเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดใน $R 3$ ) ในที่นี้ เวกเตอร์ $(-1,-26,16) T$ เป็นฐานของเคอร์เนลของ $A$ ดังนั้น ค่าศูนย์ของ $A$ จึงเท่ากับ 1 เนื่องจาก A ถูกสร้างขึ้นโดยเวกเตอร์เพียงตัวเดียว

ผลคูณดอทต่อไปนี้มีค่าเป็นศูนย์: ${\begin{bmatrix}2&3&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\quad \mathrm {and} \quad {\begin{bmatrix}-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0,$ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเวก เตอร์ ในเคอร์เนลของ $A$ ตั้งฉากกับเวกเตอร์แถวแต่ละตัวของ $A$

เวก เตอร์แถวสองตัวนี้ (ซึ่งเป็นอิสระเชิงเส้น) ครอบคลุมปริภูมิแถวของ $A$ ซึ่งเป็นระนาบตั้งฉากกับเวกเตอร์ $(-1,-26,16) T$

ด้วยอันดับ 2 ของ $A$ , ค่าศูนย์ 1 ของ $A$ และมิติ 3 ของ $A$ เราจึงได้ตัวอย่างประกอบของทฤษฎีบทอันดับ-ค่าศูนย์

ตัวอย่าง

ถ้า $L : R m \to R n$ แล้ว เคอร์เนลของ $L$ คือเซตคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นเอก พันธุ์ ดังตัวอย่างข้างต้น ถ้า $L$ เป็นตัวดำเนินการ: $L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+3x_{3})$ ดังนั้น แกนหลักของ $L$ คือเซตของคำตอบของสมการ ${\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1}&\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}$
ให้ $C [0,1]$ แทนปริมาณเวกเตอร์ของฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องทั้งหมดบนช่วง [0,1] และกำหนด $L : C [0,1] \to R$ โดยใช้กฎ $L(f)=f(0.3).$ จากนั้นเคอร์เนลของ $L$ ประกอบด้วยฟังก์ชัน $f \in C [0,1]$ ทั้งหมด ซึ่ง $f (0.3) =$ 0
ให้ $C \infty (R)$ เป็นปริมาณเวกเตอร์ของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งทั้งหมด $R \to R$ และให้ $D : C \infty (R) \to C \infty (R)$ เป็นตัวดำเนินการหาอนุพันธ์ : $D(f)={\frac {df}{dx}}.$ จากนั้น เคอร์เนลของ $D$ ประกอบด้วยฟังก์ชันทั้งหมดใน $C \infty (R)$ ที่มีอนุพันธ์เป็นศูนย์ กล่าวคือ เซตของฟังก์ชันคงที่ ทั้งหมด
ให้ $R \infty$ เป็นผลคูณโดยตรงของ $R$ จำนวนอนันต์ชุด และให้ $s : R \infty \to R \infty$ เป็นตัวดำเนินการเลื่อน $s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ).$ ดังนั้น เคอร์เนลของ $s$ คือปริภูมิย่อยหนึ่งมิติที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ทั้งหมด $(x, 0, 0, 0, ...$ )
ถ้า $V$ เป็นปริภูมิผลคูณภายในและ $W$ เป็นปริภูมิย่อย เคอร์เนลของ การ ฉายภาพเชิงตั้งฉาก $V \to W$ คือส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของ $W$ ใน $V$

การคำนวณโดยวิธีกำจัดแบบเกาส์เซียน

ฐาน ของ เคอร์เนลของเมทริกซ์สามารถคำนวณได้โดยใช้วิธีการกำจัดแบบเกาส์เซียน

เพื่อจุดประสงค์นี้ เมื่อกำหนดเมทริกซ์ $A ขนาด$ $m \times n$ เราจะสร้าง เมทริกซ์เสริมแถวก่อน ${\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}},$ โดยที่I $คือ$ เมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด $n \times n$

เมื่อคำนวณรูปแบบขั้นบันไดคอลัมน์โดยใช้การกำจัดแบบเกาส์ (หรือวิธีการอื่นใดที่เหมาะสม) เราจะได้เมทริกซ์ ${\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}.$ ฐานของเคอร์เนลของ $A$ ประกอบด้วยคอลัมน์ที่ไม่เป็นศูนย์ของ $C$ โดยที่คอลัมน์ที่สอดคล้องกันของ $B$ เป็นคอลัมน์ศูนย์

อันที่จริง การคำนวณอาจหยุดลงได้ทันทีที่เมทริกซ์ด้านบนอยู่ในรูปแบบขั้นบันไดคอลัมน์: ส่วนที่เหลือของการคำนวณประกอบด้วยการเปลี่ยนฐานของปริภูมิเวกเตอร์ที่สร้างขึ้นโดยคอลัมน์ที่มีส่วนบนเป็นศูนย์

ตัวอย่างเช่น สมมติว่า $A={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}.$ แล้ว ${\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.$

การจัดส่วนบนให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดคอลัมน์โดยใช้การดำเนินการคอลัมน์กับเมทริกซ์ทั้งหมดจะได้ ${\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.$

สามคอลัมน์สุดท้ายของ $B$ เป็นคอลัมน์ศูนย์ ดังนั้น เวกเตอร์สามตัวสุดท้ายของ $C$ ก็คือ $\left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]$ เป็นพื้นฐานของแกนหลักของ $A$

พิสูจน์ว่าวิธีการนี้คำนวณเคอร์เนลได้: เนื่องจากการดำเนินการคอลัมน์สอดคล้องกับการคูณภายหลังด้วยเมทริกซ์ผกผันได้ ดังนั้นข้อเท็จจริงที่ว่า ${\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}$ ลดลงเหลือ ${\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}$ หมายความว่ามีเมทริกซ์ผกผันอยู่ $P$ โดยที่ ${\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}P={\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}},$ กับ $B$ ในรูปแบบขั้นบันไดคอลัมน์ ดังนั้น $AP=B$ , $IP=C$ ,และ $AC=B$ เวกเตอร์คอลัมน์ $\mathbf {v}$ เป็นส่วนหนึ่งของแก่นแท้ของ $A$ (นั่นคือ $A\mathbf {v} =\mathbf {0}$ ) ก็ต่อเมื่อ $B\mathbf {w} =\mathbf {0} ,$ ที่ไหน $\mathbf {w} =P^{-1}\mathbf {v} =C^{-1}\mathbf {v}$ .เช่น $B$ อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดคอลัมน์ $B\mathbf {w} =\mathbf {0}$ ก็ต่อเมื่อรายการที่ไม่เป็นศูนย์ของ $\mathbf {w}$ สอดคล้องกับคอลัมน์ศูนย์ของ $B$ โดยการคูณด้วย $C$ อาจสรุปได้ว่ากรณีนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $\mathbf {v} =C\mathbf {w}$ เป็นผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ที่สอดคล้องกันของ $C$ .

การคำนวณเชิงตัวเลข

ปัญหาของการคำนวณเคอร์เนลบนคอมพิวเตอร์นั้นขึ้นอยู่กับลักษณะของสัมประสิทธิ์

สัมประสิทธิ์ที่แน่นอน

หากสัมประสิทธิ์ของเมทริกซ์เป็นตัวเลขที่กำหนดให้แน่นอนการคำนวณ เมท ริกซ์ในรูปแบบขั้นบันได คอลัมน์ด้วย อัลกอริทึมของ Bareiss อาจมีประสิทธิภาพมากกว่าการกำจัดแบบเกาส์เซียน ยิ่งไปกว่านั้น การใช้ เลขคณิตแบบมอดูลาร์และทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนจะมีประสิทธิภาพมากยิ่งขึ้นเพราะจะลดปัญหาให้เหลือเพียงปัญหาที่คล้ายกันหลายๆ ปัญหาในฟิลด์จำกัด (ซึ่งหลีกเลี่ยงภาระที่เกิดจากความไม่เป็นเชิงเส้นของความซับซ้อนในการคำนวณของการคูณจำนวนเต็ม)

สำหรับสัมประสิทธิ์ในฟิลด์จำกัด วิธีการกำจัดแบบเกาส์เซียนทำงานได้ดี แต่สำหรับเมทริกซ์ขนาดใหญ่ที่เกิดขึ้นในด้านการเข้ารหัสและ การคำนวณ ฐานกรุบเนอร์มีอัลกอริทึมที่ดีกว่าซึ่งมีความซับซ้อนในการคำนวณใกล้ เคียงกัน แต่เร็วกว่าและทำงานได้ดีกว่ากับฮาร์ดแวร์คอมพิวเตอร์สมัยใหม่

การคำนวณจุดลอยตัว

สำหรับเมทริกซ์ที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจุดลอยตัวปัญหาการคำนวณเคอร์เนลจะมีความหมายเฉพาะสำหรับเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวเท่ากับอันดับของเมทริกซ์เท่านั้น เนื่องจากข้อผิดพลาดในการปัดเศษเมทริกซ์จุดลอยตัวจึงมักมีอันดับเต็ม เสมอ แม้ว่าจะเป็นการประมาณค่าของเมทริกซ์ที่มีอันดับต่ำกว่ามากก็ตาม แม้แต่เมทริกซ์ที่มีอันดับเต็ม ก็สามารถคำนวณเคอร์เนลได้ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์นั้นมีสภาพดีกล่าวคือ มีค่าสภาพต่ำ^{[ 5 ]}

แม้แต่เมทริกซ์ที่มีอันดับเต็มและมีเงื่อนไขที่ดี การกำจัดแบบเกาส์ก็ยังทำงานไม่ถูกต้อง: มันทำให้เกิดข้อผิดพลาดจากการปัดเศษที่มากเกินไปจนทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ไม่น่าเชื่อถือ เนื่องจากการคำนวณเคอร์เนลของเมทริกซ์เป็นกรณีพิเศษของการแก้ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์ เคอร์เนลจึงสามารถคำนวณได้ด้วยอัลกอริธึมต่างๆ ที่ออกแบบมาเพื่อแก้ระบบสมการเอกพันธุ์ ซอฟต์แวร์ที่ทันสมัยที่สุดสำหรับจุดประสงค์นี้คือไลบรารีLapack

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุและเอกสารอ้างอิง

↑ Weisstein, Eric W. "Kernel" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2019-12-09 .
1 2 " เคอร์เนล (ช่องว่างว่าง) | วิกิคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ที่ยอดเยี่ยม" brilliant.org สืบค้นเมื่อ2019-12-09
↑พีชคณิตเชิงเส้น ดังที่ได้กล่าวถึงในบทความนี้ เป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางและมีแหล่งข้อมูลมากมาย เกือบทุกเนื้อหาในบทความนี้สามารถพบได้ใน Lay 2005 , Meyer 2001และการบรรยายของ Strang
1 2 Weisstein, Eric W. " ทฤษฎีบทอันดับ-ศูนย์" mathworld.wolfram.com สืบค้นเมื่อ2019-12-09
↑ "สำเนาที่เก็บถาวร" (PDF)เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2017-08-29 เรียกดูเมื่อ2015-04-14{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title ( link )

บรรณานุกรม

Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right ( ฉบับที่ 2), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0.
เลย์, เดวิด ซี. (2005), พีชคณิตเชิงเส้นและการประยุกต์ใช้ ( ฉบับที่ 3), แอดดิสัน เวสลีย์, ISBN 978-0-321-28713-7.
Meyer, Carl D. (2001), การวิเคราะห์เมทริกซ์และพีชคณิตเชิงเส้นประยุกต์ , สมาคมคณิตศาสตร์อุตสาหกรรมและประยุกต์ (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 31 ตุลาคม 2552
พูล, เดวิด (2006), พีชคณิตเชิงเส้น: บทนำสมัยใหม่ ( ฉบับที่ 2), บรูคส์/โคล, ISBN 0-534-99845-3.
Anton, Howard (2005), พีชคณิตเชิงเส้นเบื้องต้น (ฉบับประยุกต์) ( ฉบับที่ 9), Wiley International.
Leon, Steven J. (2006), พีชคณิตเชิงเส้นพร้อมการประยุกต์ใช้ ( ฉบับที่ 7), Pearson Prentice Hall.
Lang, Serge (1987). พีชคณิตเชิงเส้น . Springer. ISBN 9780387964126.
Trefethen, Lloyd N.; Bau, David III (1997), พีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลข , SIAM, ISBN 978-0-89871-361-9.

ลิงก์ภายนอก

"แกนกลางของเมทริกซ์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
Khan Academy , บทนำเกี่ยวกับปริภูมิว่างของเมทริกซ์

[1] Weisstein, Eric W. "Kernel" . mathworld.wolfram.com . สืบค้นเมื่อ2019-12-09 .

[:0-2] 1 2 " เคอร์เนล (ช่องว่างว่าง) | วิกิคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ที่ยอดเยี่ยม" brilliant.org สืบค้นเมื่อ2019-12-09

[textbooks-3] พีชคณิตเชิงเส้น ดังที่ได้กล่าวถึงในบทความนี้ เป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางและมีแหล่งข้อมูลมากมาย เกือบทุกเนื้อหาในบทความนี้สามารถพบได้ใน Lay 2005 , Meyer 2001และการบรรยายของ Strang

[:1-4] 1 2 Weisstein, Eric W. " ทฤษฎีบทอันดับ-ศูนย์" mathworld.wolfram.com สืบค้นเมื่อ2019-12-09

[5] "สำเนาที่เก็บถาวร" (PDF)เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อ 2017-08-29 เรียกดูเมื่อ2015-04-14{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title ( link )

[

[ 3 ]

[ 5 ]