ในทางคณิตศาสตร์โทโพโลยีไร้จุดหรือที่เรียกว่าโทโพโลยีไร้จุด (หรือโทโพโลยีไร้จุด ) หรือโทโพโลยีไร้จุดและทฤษฎีโลคัลเป็นแนวทางหนึ่งในการทำโทโพโลยีโดยที่แลตทิซของเซตเปิดเป็นแนวคิดพื้นฐาน และไม่จำเป็นต้องประกอบด้วยเซตย่อยของจุด[ ^{1 ] ใน}แนวทางนี้ การสร้าง ปริภูมิ ที่น่าสนใจทางโทโพโลยีจากข้อมูลพีชคณิตล้วนๆ จึงเป็นไปได้ ^{[ 2 ]}จุดจึงเป็นแนวคิดที่ได้มา ไม่ใช่แนวคิดพื้นฐาน และมีปริภูมิที่ไม่ธรรมดาที่ไม่มีจุด

แนวทางแรกเริ่มของโทโพโลยีเป็นแบบเรขาคณิต โดยเริ่มจากปริภูมิยุคลิดและนำสิ่งต่างๆ มาต่อกัน แต่ผลงานของMarshall Stone เกี่ยวกับ ทฤษฎีคู่ของ Stoneในช่วงทศวรรษ 1930 แสดงให้เห็นว่าโทโพโลยีสามารถมองได้จากมุมมองทางพีชคณิต (ทฤษฎีแลตติส) Karl Mengerเป็นผู้บุกเบิกในสาขานี้ และผลงานของเขาเกี่ยวกับโทโพโลยีที่ไม่มีจุดได้รับแรงบันดาลใจจากเรขาคณิตไร้จุดของ Whiteheadและใช้บริเวณที่หดตัวของระนาบเพื่อจำลองจุด^{[ 3 ]}

นอกจากสโตนแล้วเฮนรี วอลล์แมนยังได้นำแนวคิดนี้ไปใช้ด้วย คนอื่นๆ ก็ดำเนินตามแนวทางนี้ต่อไปจนกระทั่งชาร์ลส์ เอเรสแมนน์ และ ฌอง เบนาบูนักศึกษาของเขา (และคนอื่นๆ ในเวลาเดียวกัน) ได้ก้าวไปอีกขั้นในช่วงปลายทศวรรษที่ 1950 ความเข้าใจของพวกเขาเกิดขึ้น จาก การศึกษา หมวดหมู่ "เชิงโทโพโลยี" และ "เชิงอนุพันธ์" ^{[ 2 ]}

แนวทางของ Ehresmann เกี่ยวข้องกับการใช้หมวดหมู่ที่มีวัตถุเป็นแลตติซที่สมบูรณ์ซึ่งสอดคล้องกับ กฎ การกระจายและมอร์ ฟิ ซึมเป็นแผนที่ที่รักษาจุดบรรจบ ที่จำกัด และการเชื่อมต่อ ตามอำเภอใจ เขาเรียกแลตติซดังกล่าวว่า "แลตติซท้องถิ่น" ปัจจุบันเรียกว่า "เฟรม" เพื่อหลีกเลี่ยงความกำกวมกับแนวคิดอื่น ๆ ในทฤษฎีแลตติซ^{[ 4 ]}

ทฤษฎีเฟรมและโลเคิลในความหมายร่วมสมัยได้รับการพัฒนาในช่วงหลายทศวรรษต่อมา ( John Isbell , Peter Johnstone , Harold Simmons, Bernhard Banaschewski , Aleš Pultr , Till Plewe, Japie Vermeulen, Steve Vickers ) จนกลายเป็นสาขาหนึ่งของโทโพโลยีที่มีชีวิตชีวา โดยมีการประยุกต์ใช้ในสาขาต่างๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับประวัติของทฤษฎีโลเคิล โปรดดูภาพรวมของ Johnstone ^{[ 5 ]}

ตามธรรมเนียมแล้วปริภูมิเชิงทอพอโลยีประกอบด้วยเซตของจุดพร้อมกับทอพอโลยีซึ่งเป็นระบบของเซตย่อยที่เรียกว่าเซตเปิดซึ่งเมื่อใช้การดำเนินการ ยูเนียน (เช่นjoin ) และอินเตอร์เซกชัน (เช่น meet ) จะก่อให้เกิดแลตทิซที่มีคุณสมบัติบางประการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การรวมกันของเซตเปิดใดๆ ก็จะได้เซตเปิดอีกครั้ง และอินเตอร์เซกชันของเซตเปิดจำนวนจำกัดก็จะได้เซตเปิดอีกครั้ง ในทอพอโลยีไร้จุด เราถือว่าคุณสมบัติเหล่านี้ของแลตทิซเป็นพื้นฐาน โดยไม่จำเป็นต้องกำหนดให้องค์ประกอบของแลตทิซเป็นเซตของจุดในปริภูมิพื้นฐานใดๆ และการดำเนินการของแลตทิซต้องเป็นอินเตอร์เซกชันและยูเนียน แต่ทอพอโลยีไร้จุดนั้นอิงอยู่กับแนวคิดของ "จุดที่สมจริง" แทนที่จะเป็นจุดที่ไม่มีขอบเขต "จุด" เหล่านี้สามารถรวมกันได้ (สัญลักษณ์) คล้ายกับการยูเนียน และเรายังมี การดำเนินการ meetสำหรับจุด (สัญลักษณ์) คล้ายกับอินเตอร์เซกชัน การใช้การดำเนินการทั้งสองนี้ จุดต่างๆ จะก่อให้เกิด แลตทิ ซที่สมบูรณ์ถ้าจุดหนึ่งมาบรรจบกับจุดเชื่อมต่อของจุดอื่นๆ จุดนั้นก็ต้องมาบรรจบกับส่วนประกอบบางส่วนของจุดเชื่อมต่อเหล่านั้น ซึ่งโดยคร่าวๆ แล้ว จะนำไปสู่กฎการกระจายตัว ${\displaystyle \vee }$${\displaystyle \land }$

${\displaystyle b\wedge \left(\bigvee _{i\in I}a_{i}\right)=\bigvee _{i\in I}\left(b\wedge a_{i}\right)}$

โดยที่และเป็นจุด และตระกูลดัชนีสามารถมีขนาดใหญ่ได้ตามอำเภอใจ กฎการกระจายนี้ยังเป็นไปตามโครงข่ายของเซตเปิดของปริภูมิเชิงทอพอโลยีด้วย ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle I}$

ถ้าและเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีแลตทิซของเซตเปิดซึ่งแทนด้วยและตามลำดับ และเป็นแผนที่ต่อเนื่องแล้ว เนื่องจากภาพผกผันของเซตเปิดภายใต้แผนที่ต่อเนื่องเป็นเซตเปิด เราจึงได้แผนที่ของแลตทิซในทิศทางตรงกันข้าม: แผนที่แลตทิซ "ทิศทางตรงกันข้าม" ดังกล่าวจึงทำหน้าที่เป็นการวางนัยทั่วไปที่เหมาะสมของแผนที่ต่อเนื่องในบริบทที่ไม่มีจุด ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \โอเมก้า (X)}$${\displaystyle \Omega (Y)}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle f^{*}\colon \Omega (Y)\to \Omega (X)}$

แนวคิดพื้นฐานคือแนวคิดของเฟรมซึ่งเป็นโครงตาข่ายสมบูรณ์ที่สอดคล้องกับกฎการกระจายทั่วไป:

${\displaystyle b\wedge \left(\bigvee _{i\in I}a_{i}\right)=\bigvee _{i\in I}\left(b\wedge a_{i}\right)}$

โฮโมมอร์ฟิซึมของเฟรมคือแผนที่ระหว่างเฟรมที่เคารพการเชื่อมต่อ ทั้งหมด (โดยเฉพาะอย่างยิ่งสมาชิกที่เล็กที่สุดของแลตทิซ) และการตัดกัน แบบจำกัด (โดยเฉพาะอย่างยิ่งสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดของแลตทิซ) เฟรมพร้อมกับโฮโมมอร์ฟิซึมของเฟรมก่อให้เกิดหมวด หมู่

หมวดหมู่ตรงข้ามกับหมวดหมู่ของเฟรมเรียกว่าหมวดหมู่ของโลเคล ดังนั้น โลเคลจึงเป็นเพียงเฟรม ถ้าเราพิจารณาว่าเป็นเฟรม เราจะเขียนมันเป็นการแปลงโลเคลจากโลเคลหนึ่งไปยังอีกโลเคลหนึ่งนั้นกำหนดโดยโฮโมมอร์ฟิซึมของเฟรม ${\displaystyle X}$${\displaystyle O(X)}$${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle O(Y)\to O(X)}$

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีทุกปริภูมิก่อให้เกิดกรอบของเซตเปิด และด้วยเหตุนี้จึงก่อให้เกิดโลเคล โลเคลเรียกว่าโลเคลเชิงพื้นที่หากมันสมมาตร (ในหมวดหมู่ของโลเคล) กับโลเคลที่เกิดขึ้นจากปริภูมิเชิงทอพอโลยีในลักษณะนี้ ${\displaystyle T}$${\displaystyle \Omega (T)}$

• ดังที่กล่าวมาข้างต้น พื้นที่เชิงทอพอโลยีทุกแห่งก่อให้เกิดกรอบของเซตเปิด และด้วยเหตุนี้จึงก่อให้เกิดโลเคิล ซึ่งตามนิยามแล้วเป็นโลเคิลเชิงพื้นที่${\displaystyle T}$${\displaystyle \Omega (T)}$
• เมื่อกำหนดปริภูมิเชิงทอพอโลยีแล้ว เรายังสามารถพิจารณาชุดของเซตเปิดปกติ ของปริภูมินั้นได้ด้วย นี่คือเฟรมที่ใช้การเชื่อมต่อภายในของการปิดของการรวมกัน และการตัดกัน ดังนั้นเราจึงได้โลเคลอีกอันหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับโลเคลนี้โลเคลนี้โดยทั่วไปจะไม่ใช่โลเคลเชิงพื้นที่${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$
• สำหรับแต่ละค่าของและแต่ละค่าให้ใช้สัญลักษณ์และสร้างกรอบอิสระบนสัญลักษณ์เหล่านี้ โดยคำนึงถึงความสัมพันธ์${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle U_{n,a}}$

${\displaystyle \bigvee _{a\in \mathbb {R} }U_{n,a}=\top \ {\text{ สำหรับทุก }}n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle U_{n,a}\land U_{n,b}=\bot \ {\text{ for every }}n\in \mathbb {N} {\text{ and all }}a,b\in \mathbb {R} {\text{ with }}a\neq b}$

${\displaystyle \bigvee _{n\in \mathbb {N} }U_{n,a}=\top \ {\text{ for every }}a\in \mathbb {R} }$

(โดยที่หมายถึงองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดและองค์ประกอบที่เล็กที่สุดของกรอบ) โลเคลที่ได้นี้เรียกว่า "โลเคลของฟังก์ชันทั่วถึง" ความสัมพันธ์เหล่านี้ถูกออกแบบมาเพื่อชี้ให้เห็นถึงการตีความของว่าเป็นเซตของฟังก์ชันทั่วถึงทั้งหมดที่มีแน่นอนว่าไม่มีฟังก์ชันทั่วถึงดังกล่าวและนี่ไม่ใช่โลเคลเชิงพื้นที่${\displaystyle \top }$${\displaystyle \bot }$${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle U_{n,a}}$${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(n)=a}$${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$

เราได้เห็นแล้วว่าเรามีฟังก์ชันจากหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีและแผนที่ต่อเนื่องไปยังหมวดหมู่ของโลเคิล หากเราจำกัดฟังก์ชันนี้ไว้ที่หมวดหมู่ย่อยที่สมบูรณ์ของปริภูมิโซเบอร์เราจะได้การฝังตัวที่สมบูรณ์ของหมวดหมู่ของปริภูมิโซเบอร์และแผนที่ต่อเนื่องลงในหมวดหมู่ของโลเคิล ในแง่นี้ โลเคิลจึงเป็นการวางนัยทั่วไปของปริภูมิโซเบอร์ ${\displaystyle \Omega }$

เป็นไปได้ที่จะแปลแนวคิดส่วนใหญ่ของโทโพโลยีเซตจุดไปสู่บริบทของโลเคิล และพิสูจน์ทฤษฎีบทที่คล้ายคลึงกัน ข้อเท็จจริงที่สำคัญบางประการของโทโพโลยีแบบคลาสสิกที่ขึ้นอยู่กับหลักการของการเลือกกลายเป็นสิ่งที่ไม่ต้องอาศัยการเลือก (นั่นคือ เป็นแบบสร้างสรรค์ซึ่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งน่าสนใจสำหรับวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์) ตัวอย่างเช่น ผลคูณใดๆ ของ โลเคิล แบบกระชับจะเป็นแบบสร้างสรรค์กระชับ (นี่คือทฤษฎีบทของไทโคนอฟในโทโพโลยีเซตจุด) หรือการเติมเต็มของโลเคิลแบบสม่ำเสมอจะเป็นแบบสร้างสรรค์ สิ่งนี้อาจมีประโยชน์หากทำงานในโทโพสที่ไม่มีสัจพจน์ของการเลือก^{[ 6 ]}ข้อดีอื่นๆ ได้แก่ พฤติกรรมที่ดีกว่ามากของพาราคอมแพ็กต์เนสโดยที่ผลคูณใดๆ ของโลเคิลพาราคอมแพ็กต์จะเป็นพาราคอมแพ็กต์ ซึ่งไม่เป็นจริงสำหรับปริภูมิพาราคอมแพ็กต์ หรือข้อเท็จจริงที่ว่ากลุ่มย่อยของกลุ่มโลคัลลิกจะปิดเสมอ

อีกประเด็นหนึ่งที่ทฤษฎีโทโพโลยีและทฤษฎีโลเคิลแตกต่างกันอย่างมากคือแนวคิดของซับสเปซเทียบกับซับโลเคิล และความหนาแน่น : เมื่อกำหนดชุดซับโลเคิลหนาแน่นของโลเคิลใดๆ แล้ว การตัดกันของซับโลเคิลเหล่านั้นก็จะ หนาแน่นใน^{[ 7 ]}ซึ่งนำไปสู่ ทฤษฎีบทความหนาแน่นของ Isbell : ทุกโลเคิลมีซับโลเคิลหนาแน่นที่เล็กที่สุด ผลลัพธ์เหล่านี้ไม่มีสิ่งที่เทียบเท่าในขอบเขตของปริภูมิโทโพโลยี ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

• พีชคณิตเฮย์ติงเฟรมนั้นมีลักษณะเหมือนกับพีชคณิตเฮย์ติงแบบสมบูรณ์ (ถึงแม้ว่าโฮโมมอร์ฟิซึมของเฟรมไม่จำเป็นต้องเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตเฮย์ติงก็ตาม)
• พีชคณิตบูลีนสมบูรณ์พีชคณิตบูลีนสมบูรณ์ใดๆ ก็ตามเป็นเฟรม (เป็นเฟรมเชิงพื้นที่ก็ต่อเมื่อเป็นเฟรมอะตอมิก )
• รายละเอียดเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีและหมวดหมู่ของโลคัล รวมถึงการสร้างความเท่าเทียมกันอย่างชัดเจนระหว่างปริภูมิที่เที่ยงตรงและโลคัลเชิงพื้นที่ สามารถพบได้ในบทความเรื่องทฤษฎีทวิภาวะของสโตน (Stone duality )
• เรขาคณิตไร้จุดของไวท์เฮด
• เมริโอโทโพโลยี