ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มโปรไฟไนต์เฉพาะที่ (locally profinite group)คือกลุ่มโทโพโลยี แบบเฮาส์ดอร์ฟ ( Hausdorff topological group ) ซึ่งทุกย่านใกล้เคียงของสมาชิกเอกลักษณ์ (identity element) จะมี กลุ่มย่อยเปิด แบบกระชับ (compact open subgroup) อยู่ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง กลุ่มโปรไฟไนต์เฉพาะที่คือกลุ่มโทโพโลยีที่เป็นเฮาส์ดอร์ฟกระชับเฉพาะที่ (locally compact ) และไม่เชื่อมต่อกันโดยสมบูรณ์ (totally disconnected ) ยิ่งไปกว่านั้น กลุ่มโปรไฟไนต์เฉพาะที่จะกระชับก็ต่อเมื่อเป็นกลุ่ม โปรไฟไนต์ ( profinite group) เท่านั้น นี่คือคำอธิบายของคำศัพท์ ตัวอย่างพื้นฐานของกลุ่มโปรไฟไนต์เฉพาะ ที่ ได้แก่ กลุ่มดิสครีต (discrete groups ) และกลุ่มลีแบบ p -adic ตัวอย่างที่ไม่ใช่กลุ่มโปรไฟไนต์เฉพาะที่ ได้แก่ กลุ่มลีจริง (real Lie groups)ซึ่งมีคุณสมบัติไม่มีกลุ่มย่อยขนาดเล็ก (no small subgroup property )

ในกลุ่มโปรไฟไนต์เฉพาะที่ กลุ่มย่อยปิดจะเป็นโปรไฟไนต์เฉพาะที่ และกลุ่มย่อยกระชับทุกกลุ่มจะบรรจุอยู่ในกลุ่มย่อยกระชับแบบเปิด

ตัวอย่างที่สำคัญของกลุ่มโปรไฟไนต์เฉพาะที่มาจากทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตให้Fเป็นฟิลด์เฉพาะที่ที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียน แล้วทั้งFและ${\displaystyle F^{\times }}$เป็นโปรไฟไนต์เฉพาะที่ โดยทั่วไปแล้ว วงแหวนเมทริกซ์${\displaystyle \operatorname {M} _{n}(F)}$และกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(F)}$กลุ่มเหล่านี้เป็นกลุ่มโปรไฟไนต์เฉพาะที่ อีกตัวอย่างหนึ่งของกลุ่มโปรไฟไนต์เฉพาะที่คือกลุ่ม Weil สัมบูรณ์ ของฟิลด์เฉพาะที่ที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียน ซึ่งตรงกันข้ามกับข้อเท็จจริงที่ว่ากลุ่ม Galois สัมบูรณ์ของฟิลด์ดังกล่าวเป็นกลุ่มโปรไฟไนต์ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นกลุ่มกระชับ)

ให้Gเป็นกลุ่มจำกัดเฉพาะที่ จากนั้นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม${\displaystyle \psi :G\to \mathbb {C} ^{\times }}$จะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อมีเคอร์เนลที่เปิดอยู่เท่านั้น

อนุญาต${\displaystyle (\rho ,V)}$เป็นการแสดงที่ซับซ้อน^ของ G [ ^{1 ]}${\displaystyle \rho }$กล่าวได้ว่าพื้นผิวเรียบถ้าVเป็นการรวมกันของ${\displaystyle V^{K}}$โดยที่K ครอบคลุมกลุ่มย่อยแบบเปิดและกระชับทั้งหมดK${\displaystyle \rho }$กล่าวกันว่ายอมรับได้หากพื้นผิวเรียบและ${\displaystyle V^{K}}$มีมิติจำกัดสำหรับกลุ่มย่อยแบบเปิดและกระชับK ใด ๆ

ตอนนี้เราตั้งสมมติฐานโดยรวมว่า${\displaystyle G/K}$นับได้มากที่สุดสำหรับกลุ่มย่อยแบบเปิดขนาดกะทัดรัดKทั้งหมด

พื้นที่สองส่วน${\displaystyle V^{*}}$ดำเนินการ${\displaystyle \rho ^{*}}$ของGที่กำหนดโดย${\displaystyle \left\langle \rho ^{*}(g)\alpha ,v\right\rangle =\left\langle \alpha ,\rho ^{*}(g^{-1})v\right\rangle }$โดยทั่วไปแล้ว${\displaystyle \rho ^{*}}$ไม่ราบเรียบ ดังนั้นเราจึงกำหนด${\displaystyle {\widetilde {V}}=\ถ้วยใหญ่ _{K}(V^{*})^{K}}$ที่ไหน${\displaystyle K}$กำลังดำเนินการผ่าน${\displaystyle \rho ^{*}}$และตั้งค่า${\displaystyle {\widetilde {\rho }}=\rho ^{*}}$การแสดงผลที่ราบรื่น${\displaystyle ({\widetilde {\rho }},{\widetilde {V}})}$จากนั้นจึงเรียกว่า คู่ ตรงข้ามหรือคู่เรียบของ${\displaystyle (\rho ,V)}$.

ฟังก์ชันคอนทราแวเรียนต์

${\displaystyle (\rho ,V)\mapsto ({\widetilde {\rho }},{\widetilde {V}})}$

จากหมวดหมู่ของการแสดงแทนแบบเรียบของGไปยังตัวมันเองนั้นแม่นยำ ยิ่งไปกว่านั้น ข้อความต่อไปนี้ก็เทียบเท่ากัน

• ${\displaystyle \rho }$สามารถยอมรับได้
• ${\displaystyle {\widetilde {\rho }}}$ยอมรับได้^{[ 2 ]}
• แผนที่โมดูลGแบบมาตรฐาน${\displaystyle \rho \to {\widetilde {\widetilde {\rho }}}}$เป็นไอโซมอร์ฟิซึม

เมื่อไร${\displaystyle \rho }$ยอมรับได้${\displaystyle \rho }$ไม่สามารถลดทอนได้ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle {\widetilde {\rho }}}$ไม่สามารถลดทอนได้

ข้อสมมติเรื่องความสามารถในการนับได้ในตอนต้นนั้นมีความจำเป็นอย่างยิ่ง เพราะมีกลุ่มจำกัดเฉพาะที่ซึ่งยอมรับการแสดงแทนเรียบที่ไม่สามารถลดทอนได้${\displaystyle \rho }$โดยที่${\displaystyle {\widetilde {\rho }}}$ไม่ใช่สิ่งที่ลดทอนไม่ได้

อนุญาต${\displaystyle G}$เป็นกลุ่มจำกัดเฉพาะที่แบบยูนิโมดูลาร์ โดยที่${\displaystyle G/K}$นับได้มากที่สุดสำหรับกลุ่มย่อยแบบเปิดขนาดกะทัดรัดK ทั้งหมด และ ${\displaystyle \mu }$การวัดฮาร์ด้านซ้ายบน${\displaystyle G}$. อนุญาต${\displaystyle C_{c}^{\infty }(G)}$แทนพื้นที่ของฟังก์ชันคงที่เฉพาะที่บน${\displaystyle G}$ด้วยการรองรับที่กะทัดรัด โดยมีโครงสร้างการคูณที่กำหนดโดย

${\displaystyle (f*h)(x)=\int _{G}f(g)h(g^{-1}x)d\mu (g)}$

${\displaystyle C_{c}^{\infty }(G)}$ไม่จำเป็นต้องเป็นความสัมพันธ์เชิงหน่วยเสมอไป${\displaystyle \mathbb {C} }$-พีชคณิต เรียกว่าพีชคณิตเฮคเคของGและใช้สัญลักษณ์แทนด้วย${\displaystyle {\mathfrak {H}}(G)}$พีชคณิตมีบทบาทสำคัญในการศึกษาการแสดงแทนแบบเรียบของกลุ่มโปรไฟไนต์เฉพาะที่ อันที่จริงแล้ว มีข้อเท็จจริงดังต่อไปนี้: กำหนดให้การแสดงแทนแบบเรียบ${\displaystyle (\rho ,V)}$จากGเรากำหนดการกระทำใหม่บนV :

${\displaystyle \rho (f)=\int _{G}f(g)\rho (g)d\mu (g).}$

ดังนั้น เราจึงมีฟังก์ชัน${\displaystyle \rho \mapsto \rho }$จากหมวดหมู่ของการแสดงผลที่ราบเรียบของ${\displaystyle G}$ไปสู่หมวดหมู่ที่ไม่เสื่อมทราม${\displaystyle {\mathfrak {H}}(G)}$-โมดูล ในที่นี้ "ไม่เสื่อมสภาพ" หมายถึง${\displaystyle \rho ({\mathfrak {H}}(G))V=V}$. ดังนั้นข้อเท็จจริงก็คือฟังก์ชันเป็นความเท่าเทียมกัน^{[ 3 ]}