ในพีชคณิตเชิงเส้นการแปลงเชิงเส้นสามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์ถ้าเป็นการแปลงเชิงเส้น ที่แม ^ปไปยังและเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ที่มีสมาชิก แล้วจะมีเมทริกซ์เรียกว่าเมทริกซ์การแปลงของ[ ^{1 ]}เช่นนั้น: โปรดทราบว่ามีแถวและคอลัมน์ ในขณะที่การแปลงคือ จากไปยัง มีการแสดงออกของเมทริกซ์การแปลงทางเลือกที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์แถวซึ่งเป็นที่นิยมในหมู่ผู้เขียนบางคน^{[ 2 ] [ 3 ]}${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle T(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} }$$${\displaystyle A}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

เมทริกซ์ช่วยให้การแปลงเชิงเส้น แบบใดก็ได้ สามารถแสดงในรูปแบบที่สอดคล้องกัน ซึ่งเหมาะสมสำหรับการคำนวณ^{[ 1 ]} นอกจากนี้ยังช่วยให้สามารถประกอบ การแปลงได้ อย่างง่ายดาย (โดยการคูณเมทริกซ์)

การแปลงเชิงเส้นไม่ใช่การแปลงเพียงอย่างเดียวที่สามารถแสดงด้วยเมทริกซ์ได้ การแปลงบางอย่างที่ไม่เป็นเชิงเส้นในปริภูมิยูคลิด n มิติ R ⁿสามารถแสดงเป็นการแปลงเชิงเส้นใน ปริภูมิ n + 1 มิติR ^{n + 1}ได้ ซึ่งรวมถึงการแปลงเชิงเส้นแบบแอฟฟิน (เช่นการเลื่อน ) และการแปลงเชิงฉายด้วยเหตุนี้ เมทริกซ์การแปลง 4×4 จึงถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในกราฟิกคอมพิวเตอร์ 3 มิติเนื่องจากช่วยให้สามารถทำการเลื่อน การปรับขนาด และการหมุนของวัตถุได้โดยการคูณเมทริกซ์ซ้ำๆ เมทริกซ์ การแปลง n + 1 มิติเหล่านี้เรียกว่า เมทริกซ์การแปลงเชิงเส้นแบบแอฟฟินเมทริกซ์การแปลงเชิงฉายหรือโดยทั่วไปเรียกว่าเมทริกซ์การแปลงที่ไม่เป็นเชิงเส้น ขึ้นอยู่กับการใช้งาน เมื่อเทียบกับ เมทริกซ์ nมิติ เมทริกซ์ n + 1 มิติสามารถอธิบายได้ว่าเป็น เมทริก ซ์ เสริม

ในสาขาวิทยาศาสตร์กายภาพการแปลงแบบแอคทีฟคือการแปลงที่เปลี่ยนตำแหน่งทางกายภาพของระบบ อย่างแท้จริง และมีความหมายแม้ในกรณีที่ไม่มีระบบพิกัดในขณะที่การแปลงแบบพาสซีฟคือการเปลี่ยนแปลงคำอธิบายพิกัดของระบบทางกายภาพ ( การเปลี่ยนฐาน ) ความแตกต่างระหว่าง การแปลง แบบแอคทีฟและแบบพาสซีฟ มีความสำคัญ โดยทั่วไปแล้ว เมื่อพูดถึงการแปลงนักคณิตศาสตร์มักหมายถึงการแปลงแบบแอคทีฟ ในขณะที่นักฟิสิกส์ อาจหมายถึงการแปลงแบบแอค ทีฟหรือแบบพาสซีฟก็ได้

กล่าวอีกนัยหนึ่ง การแปลง แบบพาสซีฟหมายถึง การอธิบาย วัตถุ เดียวกันโดยมองจากกรอบพิกัดสองกรอบที่แตกต่างกัน

ถ้าเรามีการแปลงเชิงเส้น ในรูปแบบฟังก์ชันแล้ว การหาเมทริกซ์การแปลง A นั้นทำได้ง่ายโดยการแปลงเวกเตอร์แต่ละตัวของฐานมาตรฐานด้วยTจากนั้นจึงนำผลลัพธ์ไปใส่ในคอลัมน์ของเมทริกซ์ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ${\displaystyle T(x)}$$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}T(\mathbf {e} _{1})&T(\mathbf {e} _{2})&\cdots &T(\mathbf {e} _{n})\end{bmatrix}}}$$

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันนี้เป็นการแปลงเชิงเส้น การใช้กระบวนการข้างต้น (สมมติว่าn = 2 ในกรณีนี้) จะแสดงให้เห็นว่า: ${\displaystyle T(x)=5x}$$${\displaystyle T(\mathbf {x} )=5\mathbf {x} =5I\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}5&0\\0&5\end{bmatrix}}\mathbf {x} }$$

การแสดงเวกเตอร์และตัวดำเนินการในรูปแบบเมทริกซ์นั้นขึ้นอยู่กับฐานที่เลือก ใช้ เมทริกซ์ ที่ได้จะมีลักษณะคล้ายกันแม้จะใช้ฐานอื่นก็ตาม อย่างไรก็ตาม วิธีการหาองค์ประกอบยังคงเหมือนเดิม

กล่าวโดยละเอียด เวกเตอร์สามารถแสดงได้ด้วยเวกเตอร์ฐานซึ่งมีพิกัดดังนี้: ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle E={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle [\mathbf {v} ]_{E}={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$${\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +v_{n}\mathbf {e} _{n}=\sum _{i}v_{i}\mathbf {e} _{i}=E[\mathbf {v} ]_{E}}$$

ต่อไปนี้ ให้แสดงผลลัพธ์ของเมทริกซ์การแปลงAบนในฐานที่กำหนดให้: ${\displaystyle \mathbf {v} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}A(\mathbf {v} )&=A\left(\sum _{i}v_{i}\mathbf {e} _{i}\right)=\sum _{i}{v_{i}A(\mathbf {e} _{i})}\\&={\begin{bmatrix}A(\mathbf {e} _{1})&A(\mathbf {e} _{2})&\cdots &A(\mathbf {e} _{n})\end{bmatrix}}[\mathbf {v} ]_{E}=A\cdot [\mathbf {v} ]_{E}\\[3pt]&={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

องค์ประกอบของเมทริกซ์AจะถูกกำหนดสำหรับฐานE ที่กำหนด โดยการใช้Aกับทุก ๆและสังเกตเวกเตอร์การตอบสนอง ${\displaystyle a_{i,j}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{j}={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &(v_{j}=1)&\cdots &0\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$$${\displaystyle A\mathbf {e} _{j}=a_{1,j}\mathbf {e} _{1}+a_{2,j}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n,j}\mathbf {e} _{n}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _{i}.}$$

สมการนี้กำหนดองค์ประกอบที่ต้องการของ คอลัมน์ ^ที่ jของเมทริกซ์A [ ^{4 ]}${\displaystyle a_{i,j}}$

อย่างไรก็ตาม มีพื้นฐานพิเศษสำหรับตัวดำเนินการที่ส่วนประกอบก่อตัวเป็นเมทริกซ์แนวทแยงดังนั้นความซับซ้อนของการคูณจึงลดลงเหลือnการเป็นเมทริกซ์แนวทแยงหมายความว่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดยกเว้นเป็นศูนย์ ทำให้เหลือเพียงพจน์เดียวในผลรวมข้างต้น องค์ประกอบแนวทแยงที่เหลืออยู่เรียกว่าค่าลักษณะเฉพาะและกำหนดด้วยในสมการนิยาม ซึ่งลดลงเหลือสมการที่ได้เรียกว่าสมการค่าลักษณะเฉพาะ [ ^{5 ] เวก}เตอร์ลักษณะเฉพาะและค่าลักษณะเฉพาะได้มาจากสมการนี้ผ่านทางพหุนามลักษณะเฉพาะ ${\displaystyle a_{i,j}}$${\displaystyle a_{i,i}}$${\textstyle \sum a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle a_{i,i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle A\mathbf {e} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}}$

ด้วยการทำให้เป็นแนวทแยงมุมทำให้สามารถแปลงไปมาระหว่างฐานค่าเฉพาะ ได้บ่อยครั้ง

Matrix transformation demonstration. Adjust the numbers in the matrix to apply that transform to the image.

	1	0
	0	1

การแปลงทางเรขาคณิตทั่วไปที่คงจุดกำเนิดไว้มักเป็นการแปลงเชิงเส้น ได้แก่ การหมุน การปรับขนาด การเฉือน การสะท้อน และการฉายภาพเชิงตั้งฉาก หากการแปลงเชิงเส้นไม่ใช่การเลื่อนบริสุทธิ์ มันจะคงจุดใดจุดหนึ่งไว้ และสามารถเลือกจุดนั้นเป็นจุดกำเนิดเพื่อให้การแปลงเป็นเชิงเส้นได้ ในสองมิติ การแปลงเชิงเส้นสามารถแสดงได้โดยใช้เมทริกซ์การแปลงขนาด 2×2

การยืดใน ระนาบ xyคือการแปลงเชิงเส้นที่ขยายระยะทางทั้งหมดในทิศทางใดทิศทางหนึ่งด้วยค่าคงที่ แต่ไม่ส่งผลกระทบต่อระยะทางในทิศทางตั้งฉาก เราพิจารณาเฉพาะการยืดตามแกน x และแกน y เท่านั้น การยืดตามแกน x มีรูปแบบx' = kx ; y' = y สำหรับค่าคงที่บวก kบางค่า(โปรดทราบว่า ถ้าk > 1นี่คือ "การยืด" อย่างแท้จริง ถ้าk < 1ในทางเทคนิคแล้วมันคือ "การบีบอัด" แต่เรายังคงเรียกว่าการยืด นอกจากนี้ ถ้าk = 1การแปลงนั้นเป็นเอกลักษณ์ กล่าวคือไม่มีผลใดๆ)

เมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับการยืดด้วยปัจจัยkตามแกน x มีดังนี้: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}k&0\\0&1\end{bmatrix}}}$$

ในทำนองเดียวกัน การยืดตาม แกน y ด้วยปัจจัยk จะมีรูปแบบ x' = x ; y' = kyดังนั้นเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับการแปลงนี้คือ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&k\end{bmatrix}}}$$

หากนำการยืดทั้งสองแบบข้างต้นมาผสานกับค่าผกผัน เมทริกซ์การแปลงจะแสดงถึงการแมปแบบบีบอัด : สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านขนานกับแกนจะถูกแปลงเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่เท่ากับสี่เหลี่ยมจัตุรัส การยืดและการบีบอัดแบบผกผันทำให้พื้นที่ไม่เปลี่ยนแปลง $${\displaystyle {\begin{bmatrix}k&0\\0&1/k\end{bmatrix}}.}$$

สำหรับการหมุนด้วยมุม θ ทวนเข็มนาฬิกา (ทิศทางบวก) รอบจุดกำเนิด รูปแบบฟังก์ชันคือและเขียนในรูปแบบเมทริกซ์จะได้ดังนี้: ^{[ 6 ]}${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }$${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta }$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

ในทำนองเดียวกัน สำหรับการหมุนตามเข็มนาฬิกา (ทิศทางลบ) รอบจุดกำเนิด รูปแบบฟังก์ชันคือและรูปแบบเมทริกซ์คือ: ${\displaystyle x'=x\cos \theta +y\sin \theta }$${\displaystyle y'=-x\sin \theta +y\cos \theta }$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

สูตรเหล่านี้ตั้งอยู่บนสมมติฐานว่า แกน xชี้ไปทางขวาและ แกน yชี้ขึ้นด้านบน

สำหรับการทำแผนที่แรงเฉือน (ซึ่งมีลักษณะคล้ายกับการเอียง) มีความเป็นไปได้สองประการ

แรงเฉือนที่ขนานกับ แกน xมีค่าและเมื่อเขียนในรูปแบบเมทริกซ์ จะได้ดังนี้: ${\displaystyle x'=x+ky}$${\displaystyle y'=y}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

แรงเฉือนที่ขนานกับ แกน yมีค่าเป็นและซึ่งมีรูปแบบเมทริกซ์ดังนี้: ${\displaystyle x'=x}$${\displaystyle y'=y+kx}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\k&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

สำหรับการสะท้อนภาพเกี่ยวกับเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิด ให้เป็นเวกเตอร์ในทิศทางของเส้นตรงนั้น เมทริกซ์การแปลงจะเป็นดังนี้: ${\displaystyle \mathbf {l} =(l_{x},l_{y})}$$${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {l} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}l_{y}^{2}-l_{x}^{2}&2l_{x}l_{y}\\2l_{x}l_{y}&l_{x}^{2}-l_{y}^{2}\end{bmatrix}}}$$

ใน 3 มิติ โดยที่เมทริกซ์การแปลงคือ: ${\displaystyle \mathbf {l} =(l_{x},l_{y},l_{z})}$

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {l} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}l_{y}^{2}+l_{z}^{2}-l_{x}^{2}&2l_{x}l_{y}&2l_{x}l_{z}\\2l_{y}l_{x}&l_{x}^{2}+l_{z}^{2}-l_{y}^{2}&2l_{y}l_{z}\\2l_{z}l_{x}&2l_{z}l_{y}&l_{x}^{2}+l_{y}^{2}-l_{z}^{2}\end{bmatrix}}}$$

ในการฉายเวกเตอร์ตั้งฉากลงบนเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิด ให้เป็นเวกเตอร์ในทิศทางของเส้นตรงนั้น เมทริกซ์การแปลงจะเป็นดังนี้: ${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y})}$$${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}\\u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}\end{bmatrix}}}$$

เช่นเดียวกับการสะท้อน การฉายภาพตั้งฉากลงบนเส้นตรงที่ไม่ผ่านจุดกำเนิดเป็นการแปลงแบบแอฟฟิน ไม่ใช่การแปลงเชิงเส้น

การฉายภาพแบบขนานก็เป็นการแปลงเชิงเส้นเช่นกัน และสามารถแสดงได้ง่ายๆ ด้วยเมทริกซ์ อย่างไรก็ตาม การฉายภาพแบบเปอร์สเปคทีฟไม่ใช่ และในการแสดงภาพเหล่านี้ด้วยเมทริกซ์สามารถใช้ พิกัดเอกพันธุ์ ได้

เมทริกซ์สำหรับหมุนมุมθรอบแกนใดๆ ที่กำหนดโดยเวกเตอร์หน่วย ( x , y , z ) คือ^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}xx(1-\cos \theta )+\cos \theta &yx(1-\cos \theta )-z\sin \theta &zx(1-\cos \theta )+y\sin \theta \\xy(1-\cos \theta )+z\sin \theta &yy(1-\cos \theta )+\cos \theta &zy(1-\cos \theta )-x\sin \theta \\xz(1-\cos \theta )-y\sin \theta &yz(1-\cos \theta )+x\sin \theta &zz(1-\cos \theta )+\cos \theta \end{bmatrix}}.}$$

ในการสะท้อนจุดผ่านระนาบ(ซึ่งผ่านจุดกำเนิด) สามารถใช้โดยที่คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ 3×3 และ คือ เวกเตอร์หน่วยสามมิติสำหรับเวกเตอร์ตั้งฉากของระนาบ ถ้าค่าL²นอร์มของ^, , และมีค่าเท่ากับหนึ่ง เมทริกซ์การแปลงสามารถแสดงได้ดังนี้: ${\displaystyle ax+by+cz=0}$${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle \mathbf {N} }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{bmatrix}}}$$

โปรดทราบว่านี่เป็นกรณีเฉพาะของการสะท้อนแบบ Householderในสองและสามมิติ การสะท้อนเกี่ยวกับเส้นหรือระนาบที่ไม่ผ่านจุดกำเนิดไม่ใช่การแปลงเชิงเส้น แต่เป็นการแปลงแบบแอฟฟินซึ่งในรูปเมทริกซ์การแปลงแบบแอฟฟิน 4×4 สามารถแสดงได้ดังนี้ (โดยสมมติว่าเวกเตอร์ตั้งฉากเป็นเวกเตอร์หน่วย): โดยที่สำหรับบางจุดบนระนาบ หรือเทียบเท่ากับ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac&-2ad\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc&-2bd\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}&-2cd\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle d=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {N} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$

ถ้าองค์ประกอบที่ 4 ของเวกเตอร์เป็น 0 แทนที่จะเป็น 1 ทิศทางของเวกเตอร์จะเปลี่ยนไปเท่านั้น ขนาดของเวกเตอร์ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง เหมือนกับการสะท้อนผ่านระนาบขนานที่ผ่านจุดกำเนิด คุณสมบัตินี้มีประโยชน์เพราะช่วยให้สามารถแปลงทั้งเวกเตอร์ตำแหน่งและเวกเตอร์ตั้งฉากโดยใช้เมทริกซ์เดียวกันได้ ดูพิกัดเอกพันธุ์และการแปลงเชิงเส้นด้านล่างเพื่อคำอธิบายเพิ่มเติม

หนึ่งในแรงจูงใจหลักในการใช้เมทริกซ์เพื่อแสดงการแปลงเชิงเส้นคือ การแปลงเหล่านั้นสามารถนำมาประกอบและผกผันได้ อย่างง่ายดาย

การประกอบ เมทริกซ์ทำได้โดยการ คูณเมทริก ซ์ เวกเตอร์แถวและคอลัมน์จะถูกประมวลผลโดยเมทริกซ์ โดยแถวอยู่ทางซ้ายและคอลัมน์อยู่ทางขวา เนื่องจากข้อความอ่านจากซ้ายไปขวา เวกเตอร์คอลัมน์จึงเป็นที่นิยมมากกว่าเมื่อประกอบเมทริกซ์การแปลง:

ถ้าAและBเป็นเมทริกซ์ของการแปลงเชิงเส้นสองครั้ง ผลของการใช้A ก่อน แล้วจึง ใช้ Bกับเวกเตอร์คอลัมน์จะแสดงได้ดังนี้: ${\displaystyle \mathbf {x} }$$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {A} \mathbf {x} )=(\mathbf {BA} )\mathbf {x} .}$$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมทริกซ์ของการแปลงแบบผสมAตามด้วยBนั้นก็คือผลคูณของเมทริกซ์แต่ละตัวนั่นเอง

เมื่อ เมทริกซ์ Aเป็นเมทริกซ์ผกผันจะมีเมทริกซ์A ⁻¹ที่แสดงถึงการแปลงที่ "ย้อนกลับ" การแปลงAเนื่องจากเมทริกซ์ A −1 เมื่อนำมาประกอบกับเมทริกซ์A จะได้ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ ในบางแอปพลิเคชันเชิงปฏิบัติ การหาเมทริกซ์ผกผันสามารถคำนวณได้โดยใช้อัลกอริทึมการหาเมทริกซ์ผกผันทั่วไป หรือโดยการดำเนินการผกผัน (ที่มีการตีความทางเรขาคณิตที่ชัดเจน เช่น การหมุนในทิศทางตรงกันข้าม) แล้วนำมาประกอบกันในลำดับย้อนกลับ เมทริกซ์สะท้อนเป็นกรณีพิเศษ เนื่องจากเมทริกซ์สะท้อนเป็นเมทริกซ์ผกผันของตัวเองและไม่จำเป็นต้องคำนวณแยกต่างหาก

ในการแสดงการแปลงเชิงเส้นด้วยเมทริกซ์ เราสามารถใช้พิกัดเอกพันธุ์ได้ ซึ่งหมายถึงการแทนเวกเตอร์ 2 มิติ ( x , y ) ด้วยเวกเตอร์ 3 มิติ ( x , y , 1) และในทำนองเดียวกันสำหรับมิติที่สูงกว่า การใช้ระบบนี้ การเลื่อนสามารถแสดงได้ด้วยการคูณเมทริกซ์ รูปแบบฟังก์ชันจึงเป็นดังนี้: ${\displaystyle x'=x+t_{x};y'=y+t_{y}}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&t_{x}\\0&1&t_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.}$$

การแปลงเชิงเส้นธรรมดาทั้งหมดรวมอยู่ในเซตของการแปลงเชิงเส้นแบบแอฟฟิน และสามารถอธิบายได้ว่าเป็นรูปแบบที่ง่ายขึ้นของการแปลงเชิงเส้นแบบแอฟฟิน ดังนั้น การแปลงเชิงเส้นใดๆ ก็สามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์การแปลงทั่วไป เมทริกซ์ดังกล่าวได้มาจากการขยายเมทริกซ์การแปลงเชิงเส้นที่สอดคล้องกันโดยเพิ่มแถวและคอลัมน์อีกหนึ่งแถวและคอลัมน์ แล้วเติมช่องว่างที่เหลือด้วยศูนย์ ยกเว้นมุมล่างขวาซึ่งต้องตั้งค่าเป็น 1 ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์การหมุนทวนเข็มนาฬิกา จากข้างต้นจะกลายเป็น: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

การใช้เมทริกซ์การแปลงที่มีพิกัดเอกพันธุ์ ทำให้การเลื่อนกลายเป็นเชิงเส้น และสามารถผสมผสานกับการแปลงประเภทอื่นๆ ได้อย่างราบรื่น เหตุผลก็คือ ระนาบจริงถูกแมปไปยังระนาบw = 1ในปริภูมิเชิงฉายจริง ดังนั้นการเลื่อนในปริภูมิยุคลิด จริง จึงสามารถแสดงเป็นการเฉือนในปริภูมิเชิงฉายจริงได้ แม้ว่าการเลื่อนจะเป็นการแปลงที่ไม่เป็นเชิงเส้นในปริภูมิยุคลิด 2 มิติหรือ 3 มิติที่อธิบายด้วยพิกัดคาร์ทีเซียน (กล่าวคือ ไม่สามารถรวมกับการแปลงอื่นๆ ได้โดยยังคงรักษาสมบัติการสลับที่และคุณสมบัติอื่นๆ ไว้) แต่ในปริภูมิเชิงฉาย 3 มิติหรือ 4 มิติที่อธิบายด้วยพิกัดเอกพันธุ์ มัน จะกลาย เป็นการแปลงเชิงเส้นอย่างง่าย ( การเฉือน )

การแปลงเชิงเส้นเพิ่มเติมสามารถทำได้โดยการประกอบการแปลงเชิงเส้นสองรายการขึ้นไป ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดการแปลT'ที่มีเวกเตอร์การหมุนRด้วยมุม θ ทวนเข็มนาฬิกาการปรับขนาดSที่มีปัจจัยและการแปลTของเวกเตอร์ผลลัพธ์MของT'RSTคือ: ^{[ 8 ]}${\displaystyle (t'_{x},t'_{y}),}$${\displaystyle (s_{x},s_{y})}$${\displaystyle (t_{x},t_{y}),}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}s_{x}\cos \theta &-s_{y}\sin \theta &t_{x}s_{x}\cos \theta -t_{y}s_{y}\sin \theta +t'_{x}\\s_{x}\sin \theta &s_{y}\cos \theta &t_{x}s_{x}\sin \theta +t_{y}s_{y}\cos \theta +t'_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

เมื่อใช้การแปลงเชิงเส้นตรง (affine transformations) ส่วนประกอบเอกพันธุ์ (homogeneous component) ของเวกเตอร์พิกัด (โดยปกติเรียกว่าw ) จะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นจึงสามารถสันนิษฐานได้อย่างปลอดภัยว่ามีค่าเป็น 1 เสมอและไม่ต้องสนใจ อย่างไรก็ตาม ข้อสันนิษฐานนี้ไม่เป็นจริงเมื่อใช้การฉายภาพแบบเปอร์สเปคทีฟ (perspective projections)

การแปลงอีกประเภทหนึ่งที่มีความสำคัญในกราฟิกคอมพิวเตอร์ 3 มิติคือการฉายภาพแบบเปอร์สเปคทีฟในขณะที่การฉายภาพแบบขนานใช้ในการฉายจุดลงบนระนาบภาพตามแนวเส้นขนาน การฉายภาพแบบเปอร์สเปคทีฟจะฉายจุดลงบนระนาบภาพตามแนวเส้นที่ลากจากจุดเดียวที่เรียกว่าจุดศูนย์กลางการฉายภาพ ซึ่งหมายความว่าวัตถุจะมีขนาดการฉายภาพที่เล็กกว่าเมื่ออยู่ไกลจากจุดศูนย์กลางการฉายภาพ และจะมีขนาดการฉายภาพที่ใหญ่กว่าเมื่ออยู่ใกล้ (ดูเพิ่มเติมที่ฟังก์ชันผกผัน )

การฉายภาพแบบเปอร์สเปคทีฟที่ง่ายที่สุดใช้จุดกำเนิดเป็นศูนย์กลางการฉายภาพ และระนาบที่ เป็นระนาบภาพ รูปแบบฟังก์ชันของการแปลงนี้คือ; . เราสามารถแสดงสิ่งนี้ในพิกัดเอกพันธุ์ได้ดังนี้: ${\displaystyle z=1}$${\displaystyle x'=x/z}$${\displaystyle y'=y/z}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\z\\z\end{bmatrix}}}$$

หลังจากทำการคูณเมทริกซ์ แล้ว ส่วนประกอบเอกพันธุ์จะมีค่าเท่ากับค่าของและอีกสามส่วนประกอบจะไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้น เพื่อแปลงกลับไปยังระนาบจริง เราต้องทำการหารเอกพันธุ์หรือการหารแบบเปอร์สเปคทีฟโดยการหารแต่ละส่วนประกอบด้วย: ${\displaystyle w_{c}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle w_{c}}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{w_{c}}}{\begin{bmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x/z\\y/z\\1\\1\end{bmatrix}}}$$

สามารถสร้างภาพฉายทัศนียภาพที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นได้โดยการผสมผสานภาพฉายนี้เข้ากับการหมุน การปรับขนาด การเลื่อน และการเฉือน เพื่อเคลื่อนย้ายระนาบภาพและจุดศูนย์กลางการฉายไปยังตำแหน่งใดก็ได้ตามต้องการ

• การฉายภาพสามมิติ
• การเปลี่ยนฐาน
• การแก้ไขภาพ
• ท่าทาง (การมองเห็นด้วยคอมพิวเตอร์)
• การแปลงแบบแข็ง
• การแปลง (ฟังก์ชัน)
• เรขาคณิตการแปลง

• ตัวอย่างการใช้งานจริงในPOV-Ray จากหน้าเมทริกซ์
• หน้าอ้างอิง - การหมุนแกน
• เครื่องคำนวณการแปลงเชิงเส้น
• แอปเพล็ตสำหรับการแปลงรูปทรง - สร้างเมทริกซ์จากการแปลงรูปทรง 2 มิติ และในทางกลับกัน
• การแปลงพิกัดภายใต้การหมุนใน 2 มิติ
• สนุกกับ Excel - สร้างกราฟิก 3 มิติจากสเปรดชีต