ในพีชคณิตเชิงเส้นเมทริกซ์จัตุรัส  เรียกว่า เมทริกซ์ ที่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้หรือเมทริกซ์ที่ไม่บกพร่องถ้ามันคล้ายกับเมทริกซ์ทแยงมุมนั่นคือ ถ้ามีเมทริกซ์ผกผันได้  และเมทริกซ์ทแยงมุม ที่ทำให้ ซึ่งเทียบเท่ากับ(เมทริกซ์ และ ดังกล่าวไม่ซ้ำกัน) คุณสมบัตินี้มีอยู่สำหรับการแปลงเชิงเส้นใดๆ: สำหรับปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดการแปลงเชิงเส้น  เรียกว่า สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ ทแยงมุมได้ถ้ามีฐานเรียงลำดับของ ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของคำจำกัดความเหล่านี้เทียบเท่ากัน: ถ้า มีการแสดงเมทริกซ์ดังข้างต้น เวกเตอร์คอลัมน์ของ จะ สร้าง  ฐานที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของและค่าทแยงมุมของ คือค่าลักษณะ เฉพาะที่สอดคล้องกัน ของเมื่อเทียบกับฐานเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะนี้ จะถูกแทนด้วย${\displaystyle A}$${\displaystyle P}$${\displaystyle D}$${\displaystyle P^{-1}AP=D}$${\displaystyle A=PDP^{-1}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle D}$${\displaystyle V}$${\displaystyle T:V\to V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle A=PDP^{-1}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle T}$${\displaystyle D}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle D}$

การหาเมทริก ซ์ทแยงมุมคือกระบวนการค้นหาค่าข้างต้น และทำให้การคำนวณในภายหลังง่ายขึ้น เราสามารถยกกำลังเมทริกซ์ทแยงมุมได้ โดยการยกกำลังค่าในแนวทแยงมุมด้วยค่าที่ต้องการ ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ทแยงมุมคือผลคูณของค่าในแนวทแยงมุมทั้งหมด การคำนวณดังกล่าวสามารถขยายไปสู่เมทริกซ์ทแยงมุมได้ง่าย${\displaystyle P}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle A=PDP^{-1}}$

การแปลงทางเรขาคณิตที่แสดงโดยเมทริกซ์ที่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้นั้น เป็นการขยายที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน (หรือการปรับขนาดแบบไม่สมมาตร ) กล่าวคือ มันสามารถปรับขนาดพื้นที่ได้ในปริมาณที่แตกต่างกันในทิศทางต่างๆ ทิศทางของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแต่ละตัวจะถูกปรับขนาดด้วยปัจจัยที่กำหนดโดยค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกัน

เมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ เรียกว่า เมทริกซ์ บกพร่องอาจเกิดขึ้นได้ว่า เมทริกซ์ที่มี สมาชิกเป็นจำนวน จริงอาจเป็นเมทริกซ์บกพร่องในส่วนของจำนวนจริง หมายความว่า เมทริกซ์นั้น ไม่สามารถหาเมทริกซ์ผกผันและเป็นเมทริกซ์ทแยงมุม ได้ เมื่อมีสมาชิกเป็นจำนวนจริง แต่สามารถหา เมทริกซ์ ผกผันได้ เมื่อมีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจึง สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้เมื่อ มี สมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น กรณีนี้เกิดขึ้นกับเมทริกซ์การหมุน ทั่วไป${\displaystyle A}$${\displaystyle A=PDP^{-1}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle D}$${\displaystyle A}$

ผลลัพธ์หลายอย่างสำหรับเมทริกซ์ที่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้นั้นใช้ได้เฉพาะกับฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต (เช่น จำนวนเชิงซ้อน) ในกรณีนี้ เมทริกซ์ที่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้จะมีความหนาแน่นในปริภูมิของเมทริกซ์ทั้งหมด ซึ่งหมายความว่าเมทริกซ์ที่มีข้อบกพร่องใดๆ ก็สามารถเปลี่ยนรูปเป็นเมทริกซ์ที่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ด้วยการรบกวน เล็กน้อย และการแยกส่วนแบบจอร์แดน-เชอวัลเลย์ ระบุว่าเมทริกซ์ใดๆ ก็ตามเป็นผลรวมที่ ไม่ซ้ำกันของเมทริกซ์ที่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้และ เมทริกซ์ นิลโพเทนต์ ในฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต เมทริกซ์ที่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้นั้นเทียบเท่ากับเมทริกซ์กึ่งง่าย

เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกอยู่ในฟิลด์ หนึ่ง เรียกว่า เมทริกซ์ที่สามารถทำให้เป็นเมทริก ซ์ทแยงมุมได้หรือ เมทริก ซ์ที่ไม่บกพร่องถ้ามีเมทริกซ์ผกผันได้ (กล่าวคือ สมาชิกของหมู่เชิงเส้นทั่วไป ) อยู่ เช่นนั้นจะเป็นเมทริกซ์ทแยงมุม ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {F} )}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{-1}AP}$

ข้อเท็จจริงพื้นฐานเกี่ยวกับแผนที่และเมทริกซ์ที่สามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้นั้นแสดงออกมาได้ดังต่อไปนี้:

• เมทริกซ์บนฟิลด์หนึ่งจะสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ก็ต่อเมื่อผลรวมของมิติ ของ ปริภูมิไอเกนของเมทริกซ์นั้นเท่ากับซึ่งจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อมีฐานของ ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ไอเกนของถ้าพบฐานดังกล่าวแล้ว เราสามารถสร้างเมทริกซ์ โดยมี เวกเตอร์ฐานเหล่านี้เป็นคอลัมน์ และจะเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมที่มีค่าไอเกนของ เป็นค่าในแนวทแยงมุมเมทริกซ์เรียกว่าเมทริกซ์โมดอลสำหรับ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{-1}AP}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A}$
• แผนที่เชิงเส้นสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ก็ต่อเมื่อผลรวมของมิติ ของปริภูมิค่าลักษณะ เฉพาะเท่ากับซึ่งจะเป็นเช่นนั้นก็ต่อเมื่อมีฐานของที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมื่อเทียบกับฐานดังกล่าวจะถูกแทนด้วยเมทริกซ์ทแยงมุม ค่าในแนวทแยงมุมของเมทริกซ์นี้คือค่าลักษณะเฉพาะของ${\displaystyle T:V\to V}$${\displaystyle \dim(V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

เงื่อนไขที่เพียงพอ (แต่ไม่จำเป็น) ต่อไปนี้มักมีประโยชน์

• เมทริกซ์สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้เหนือฟิลด์ถ้ามันมีค่าไอเกนที่แตกต่างกันใน ฟิลด์ กล่าว คือ ถ้า พหุนามลักษณะเฉพาะของมันมีรากที่แตกต่างกันในฟิลด์อย่างไรก็ตาม ข้อความกลับกันอาจไม่เป็นความจริง พิจารณาเมทริกซ์ ซึ่งมีค่าไอเกน 1, 2, 2 (ไม่แตกต่างกันทั้งหมด) และสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ด้วยรูปแบบทแยงมุม ( คล้ายกับ)และเมทริกซ์เปลี่ยนฐาน : ข้อความกลับกันจะไม่เป็นจริงเมื่อมีปริภูมิไอเกนที่มีมิติสูงกว่า 1 ในตัวอย่างนี้ ปริภูมิไอเกนของที่เกี่ยวข้องกับค่าไอเกน 2 มีมิติ 2${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&3&-1\\-3&5&-1\\-3&3&1\end{bmatrix}},}$$${\displaystyle A}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle P}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&-1\\1&1&0\\1&0&3\end{bmatrix}}.}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$
• แผนที่เชิงเส้นที่มีจะสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ก็ต่อเมื่อมีค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกัน กล่าวคือ ถ้าพหุนามลักษณะเฉพาะของแผนที่นั้นมีรากที่แตกต่างกันใน${\displaystyle T:V\to V}$${\displaystyle n=\dim(V)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$

ให้เป็นเมทริกซ์เหนือถ้าสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ แล้วกำลังใดๆ ของมันก็สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้เช่นกัน ในทางกลับกัน ถ้าหาเมทริกซ์ผกผันได้เป็นเมทริกซ์ปิดเชิงพีชคณิต และสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้สำหรับบางค่าที่ไม่ใช่ผลคูณจำนวนเต็มของลักษณะเฉพาะของแล้วก็สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้เช่นกัน พิสูจน์: ถ้าสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ แล้วจะถูกกำจัดโดยพหุนามบางตัวซึ่งไม่มีรากซ้ำซ้อน (เนื่องจาก)และถูกหารด้วยพหุนามขั้นต่ำของ${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \left(x^{n}-\lambda _{1}\right)\cdots \left(x^{n}-\lambda _{k}\right)}$${\displaystyle \lambda _{j}\neq 0}$${\displaystyle A}$

บนจำนวนเชิงซ้อน เมทริกซ์เกือบทุกเมทริกซ์สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ เซตของเมทริกซ์เชิงซ้อนที่ไม่สามารถ ทำให้ เป็น เมทริกซ์ ทแยงมุมได้บนซึ่งถือว่าเป็นเซตย่อยของ จะมีค่า การวัดแบบเลเบสเป็นศูนย์ นอกจากนี้ยังสามารถกล่าวได้ว่าเมทริกซ์ที่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้นั้นก่อตัวเป็นเซตย่อยที่หนาแน่นเมื่อเทียบกับโทโพโลยีแบบซาริสกี กล่าวคือ เมทริก ซ์ที่ไม่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้นั้นอยู่ภายใน เซตที่ ค่าดิสค รีมิแนนต์ ของ พหุนามลักษณะเฉพาะ หายไปซึ่งเป็นไฮเปอร์เซอร์เฟซจากนั้นจึงได้ความหนาแน่นในโทโพโลยีปกติ ( แบบเข้มงวด ) ที่กำหนดโดยนอร์มแต่สิ่งเดียวกันนี้ไม่เป็นจริงบน${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

การแยกส่วนแบบ จอร์แดน-เชอวัลเลย์แสดงตัวดำเนินการในรูปผลรวมของส่วนกึ่งง่าย (กล่าวคือ สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้) และส่วนนิลโพเทนต์ดังนั้นเมทริกซ์จะทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ก็ต่อเมื่อส่วนนิลโพเทนต์เป็นศูนย์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมทริกซ์จะทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ก็ต่อเมื่อแต่ละบล็อกในรูปแบบจอร์แดนไม่มีส่วนนิลโพเทนต์ กล่าวคือ แต่ละ "บล็อก" เป็นเมทริกซ์ขนาดหนึ่งคูณหนึ่ง

พิจารณาฐานสองฐานต่อไปนี้และสมมติว่ามีการแปลงเชิงเส้นที่แสดงด้วยเมทริกซ์ซึ่งเขียนโดยสัมพันธ์กับฐาน E และสมมติว่ามีสมการลักษณะเฉพาะต่อไปนี้ด้วย: ${\displaystyle E=\{{{\boldsymbol {e}}_{i}|\forall i\in [n]}\}}$${\displaystyle F=\{{{\boldsymbol {\alpha }}_{i}|\forall i\in [n]}\}}$${\displaystyle A_{E}}$

${\displaystyle A_{E}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,i}}$

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอัลฟาเขียนโดยอ้างอิงจากฐาน E ด้วยเช่นกัน เนื่องจากเซต F เป็นทั้งเซตของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะสำหรับเมทริกซ์ A และครอบคลุมปริภูมิเวกเตอร์ใดๆ ดังนั้นเราจึงกล่าวได้ว่ามีเมทริกซ์ A ซึ่งเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมที่คล้ายกับA อยู่ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ A เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมที่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ ถ้าเมทริกซ์ A เขียนอยู่ในฐาน F เราทำการคำนวณการเปลี่ยนฐานโดยใช้เมทริกซ์การเปลี่ยนผ่านซึ่งเปลี่ยนฐานจาก E เป็น F ดังนี้: ${\displaystyle D_{F}}$${\displaystyle A_{E}}$${\displaystyle A_{E}}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle D_{F}=S_{E}^{F}\ A_{E}\ S_{E}^{-1F}}$,

โดยที่เมทริกซ์การเปลี่ยนจากฐาน E ไปยังฐาน F อยู่ ที่ไหน จากนั้นเมทริกซ์ผกผันสามารถเทียบเท่ากับเมทริกซ์การเปลี่ยนใหม่ซึ่งเปลี่ยนฐานจาก F ไปเป็น E แทน ดังนั้นเราจึงมีความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้: ${\displaystyle S_{E}^{F}}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle S_{E}^{-1F}=P_{F}^{E}}$

เมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะ ทั้งสองสามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้ ดังนั้นเราจึงสามารถจัดการเมทริกซ์ได้ในลักษณะต่อไปนี้: เมทริกซ์จะถูกแทนด้วยซึ่งยังคงอยู่ในฐาน E ในทำนองเดียวกัน เมทริกซ์แนวทแยงมุมจะอยู่ในฐาน F ${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle {\begin{aligned}D=S\ A_{E}\ S^{-1}\\D=P^{-1}\ A_{E}\ P\end{aligned}}}$$${\displaystyle A_{E}}$${\displaystyle A}$

ถ้าเมทริกซ์สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ นั่นคือ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle P^{-1}AP={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}=D,}$

แล้ว:

${\displaystyle AP=P{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}.}$

เมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะ S มีเวกเตอร์ฐาน E เป็นคอลัมน์ที่เขียนในฐาน F ในทางกลับกัน เมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะผกผัน P มีเวกเตอร์ฐาน F ที่เขียนในฐาน E ดังนั้นเราจึงสามารถแสดง P ในรูปแบบเมทริกซ์บล็อกได้ในลักษณะต่อไปนี้: ${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {\alpha }__{i}}$

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}},}$

ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนได้ว่า:$${\displaystyle {\begin{aligned}A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}D.\end{aligned}}}$$

ในรูปแบบเมทริกซ์บล็อก เราสามารถพิจารณาเมทริกซ์ A เป็นเมทริกซ์ขนาด 1x1 ในขณะที่ P เป็นเมทริกซ์ขนาด 1xn ส่วนเมทริกซ์ D สามารถเขียนในรูปแบบเต็มโดยที่องค์ประกอบแนวทแยงทั้งหมดเป็นเมทริกซ์ขนาด nxn ได้:

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{E,1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{E,2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{E,n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{bmatrix}}.}$

เมื่อทำการคูณเมทริกซ์ข้างต้น เราจะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: เมื่อพิจารณาส่วนประกอบแต่ละส่วนของเมทริกซ์บล็อกทีละส่วนทั้งสองข้าง เราจะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}A{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\alpha }}_{1}&{\boldsymbol {\alpha }}_{2}&\cdots &{\boldsymbol {\alpha }}_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}{\boldsymbol {\alpha }}_{1}&\lambda _{2}{\boldsymbol {\alpha }}_{2}&\cdots &\lambda _{n}{\boldsymbol {\alpha }}_{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle A{\boldsymbol {\alpha }}_{i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {\alpha }}_{i}\qquad (i=1,2,\dots ,n).}$

ดังนั้น เวกเตอร์คอลัมน์ของคือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะด้านขวาของและค่าในแนวทแยงที่สอดคล้องกันคือค่าลักษณะเฉพาะ ที่สอดคล้องกัน ความสามารถในการผกผันของยังบ่งชี้ว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นฐานของนี่คือเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความสามารถในการทำให้เป็นแนวทแยงและวิธีการทำให้เป็นแนวทแยงแบบมาตรฐาน เวก เตอร์แถวของคือ เวกเตอร์ ลักษณะเฉพาะด้านซ้ายของ${\displaystyle P}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P}$${\displaystyle F^{n}}$${\displaystyle P^{-1}}$${\displaystyle A}$

เมื่อเมทริกซ์เชิงซ้อนเป็นเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน (หรือโดยทั่วไปคือเมทริกซ์ปกติ ) เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมท ริกซ์ สามารถเลือกให้เป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติของเมทริกซ์ได้และ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ สามารถเลือกให้เป็น เมทริกซ์เอกลักษณ์ได้ นอกจากนี้ ถ้า เมทริกซ์เป็น เมทริกซ์สมมาตรจริงเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์สามารถเลือกให้เป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติของ เมทริกซ์ได้ และ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ สามารถเลือกให้เป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉากได้ ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle P}$

ในการใช้งานจริงส่วนใหญ่ เมทริกซ์จะถูกทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมโดยใช้วิธีการเชิงตัวเลขโดยใช้ซอฟต์แวร์คอมพิวเตอร์ มี อัลกอริทึมมากมายที่สามารถทำเช่นนี้ได้

เซตของเมทริกซ์จะเรียกว่าสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้พร้อมกันถ้ามีเมทริกซ์ผกผันได้เพียงเมทริกซ์เดียวที่ ทำให้ เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมสำหรับทุก ๆในเซต ทฤษฎีบทต่อไปนี้อธิบายลักษณะของเมทริกซ์ที่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้พร้อมกัน: เซตของเมทริกซ์ที่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้จะสลับกันได้ก็ต่อเมื่อเซตนั้นสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้พร้อมกัน^{[ 1 ] : หน้า 64} ${\displaystyle P}$${\displaystyle P^{-1}AP}$${\displaystyle A}$

เซตของเมทริกซ์ทั้งหมดที่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ (เหนือ)โดยที่ไม่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้พร้อมกัน ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

สามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้ แต่ไม่สามารถทำให้เป็นแนวทแยงพร้อมกันได้ เนื่องจากไม่สลับที่กัน

เซตประกอบด้วยเมทริกซ์ปกติ ที่สลับกันได้ ก็ต่อเมื่อสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมพร้อมกันได้ด้วยเมทริกซ์เอกลักษณ์กล่าวคือ มีเมทริกซ์เอกลักษณ์อยู่เมทริกซ์หนึ่งตัวที่ทำให้ เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมสำหรับทุก ๆในเซต ${\displaystyle U}$${\displaystyle U^{*}AU}$${\displaystyle A}$

ในภาษาของทฤษฎีลี เซตของเมทริกซ์ที่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมพร้อมกันได้ จะสร้างพีชคณิตลีแบบทอรัลขึ้นมา

• อินโวลูชันสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้บนจำนวนจริง (และบนฟิลด์ใดๆ ที่มีลักษณะเฉพาะไม่ใช่ 2) โดยมี ±1 อยู่บนเส้นทแยงมุม
• เอนโดมอร์ฟิซึมอันดับจำกัดสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้บน(หรือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตใดๆ ที่ลักษณะเฉพาะของฟิลด์ไม่หารอันดับของเอนโดมอร์ฟิซึม) โดยมีรากของเอกภาพอยู่บนแนวทแยงมุม ทั้งนี้เนื่องจากพหุนามขั้นต่ำสามารถแยกตัวประกอบได้เพราะรากของเอกภาพแตกต่างกัน${\displaystyle \mathbb {C} }$
• ค่าที่ฉายออกมาสามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้ โดยมีค่า 0 และ 1 อยู่บนแนวทแยง

• เมทริกซ์สมมาตรจริงสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ด้วยเมทริกซ์เชิงตั้งฉากกล่าวคือ เมื่อกำหนดเมทริกซ์สมมาตรจริงจะเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมสำหรับเมทริกซ์เชิงตั้งฉากบางตัวโดยทั่วไปแล้ว เมทริกซ์จะทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ด้วย เมทริกซ์เอกภาพ ก็ต่อเมื่อ เมทริกซ์เหล่านั้นเป็นเมทริกซ์ ปกติในกรณีของเมทริกซ์สมมาตรจริง เราจะเห็นว่าดังนั้น จึงเป็น จริงอย่างชัดเจนตัวอย่างของเมทริกซ์ปกติ ได้แก่ เมทริกซ์สมมาตรจริง (หรือเมทริกซ์สมมาตรเฉียง ) (เช่น เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม) และเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน (หรือเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนเฉียง) ดูทฤษฎีบทสเปกตรัมสำหรับการวางนัยทั่วไปไปยังปริภูมิเวกเตอร์มิติอนันต์${\displaystyle A}$${\displaystyle Q^{\mathrm {T} }AQ}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle A=A^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle AA^{\mathrm {T} }=A^{\mathrm {T} }A}$

ภาพประกอบทางเรขาคณิตเพิ่มเติมเกี่ยวกับการหาค่าเฉพาะของเมทริกซ์ตั้งฉาก รวมถึงเมทริกซ์การสะท้อนและการฉายภาพตั้งฉาก สามารถดูได้ที่Wikimedia Commons

โดยทั่วไปเมทริกซ์การหมุนจะไม่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้บนจำนวนจริง แต่เมทริกซ์การหมุน ทั้งหมด สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้บนฟิลด์เชิงซ้อน แม้ว่าเมทริกซ์จะไม่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ ก็ยังเป็นไปได้เสมอที่จะ "ทำอย่างดีที่สุดเท่าที่จะทำได้" และหาเมทริกซ์ที่มีคุณสมบัติเดียวกันซึ่งประกอบด้วยค่าลักษณะเฉพาะบนแนวทแยงมุมนำ และค่าหนึ่งหรือศูนย์บนแนวทแยงมุมเหนือกว่า ซึ่งเรียกว่ารูป แบบปกติของจอร์แดน

เมทริกซ์บางเมทริกซ์ไม่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้บนฟิลด์ใดๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมทริกซ์นิลโพเทนต์ที่ไม่เป็นศูนย์ โดยทั่วไปแล้วปรากฏการณ์นี้จะเกิดขึ้นหากความซ้ำซ้อนเชิงพีชคณิตและความซ้ำซ้อนเชิงเรขาคณิตของค่าไอเกนไม่ตรงกัน ตัวอย่างเช่น พิจารณา เมทริกซ์

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}$

เมทริกซ์นี้ไม่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้: ไม่มีเมทริกซ์ใดที่ทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ ที่จริงแล้วมีค่าลักษณะเฉพาะเพียงค่าเดียว (คือศูนย์) และค่าลักษณะเฉพาะนี้มีความซ้ำซ้อนเชิงพีชคณิต 2 และความซ้ำซ้อนเชิงเรขาคณิต 1 ${\displaystyle U}$${\displaystyle U^{-1}CU}$${\displaystyle C}$

เมทริกซ์จริงบางเมทริกซ์ไม่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้บนจำนวนจริง ตัวอย่างเช่น พิจารณาเมทริกซ์

${\displaystyle B=\left[{\begin{array}{rr}0&1\\\!-1&0\end{array}}\right].}$

เมทริกซ์นี้ไม่มีค่าลักษณะเฉพาะที่เป็นจำนวนจริง ดังนั้นจึงไม่มีเมทริกซ์จำนวนจริงใดที่ทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ อย่างไรก็ตาม เราสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้หากเราอนุญาตให้ใช้จำนวนเชิงซ้อน อันที่จริง ถ้าเราใช้ ${\displaystyle B}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q^{-1}BQ}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}1&i\\i&1\end{bmatrix}},}$

จากนั้นจะเป็นแนวทแยงมุม หาได้ง่ายว่าคือเมทริกซ์การหมุนซึ่งหมุนทวนเข็มนาฬิกาด้วยมุม${\displaystyle Q^{-1}BQ}$${\displaystyle B}$${\textstyle \theta =-{\frac {\pi }{2}}}$

โปรดสังเกตว่าตัวอย่างข้างต้นแสดงให้เห็นว่าผลรวมของเมทริกซ์ที่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้นั้น ไม่จำเป็นต้องเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมเสมอไป

การหาเมทริกซ์ทแยงมุมเป็นกระบวนการเดียวกับการหาค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ในกรณีที่เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเป็นฐาน ตัวอย่างเช่น พิจารณาเมทริกซ์

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\\1&\!\!\!-1&3\end{array}}\right].}$

รากของพหุนามลักษณะเฉพาะคือค่าไอเกนการแก้ระบบสมการเชิงเส้นจะให้เวกเตอร์ไอเกนและ ในขณะที่ ให้ ;นั่นคือสำหรับเวกเตอร์เหล่านี้ประกอบเป็นฐานของดังนั้นเราสามารถประกอบพวกมันเป็นเวกเตอร์คอลัมน์ของเมทริกซ์เปลี่ยนฐานเพื่อให้ได้: เราอาจมองสมการนี้ในแง่ของการแปลง: แปลงฐานมาตรฐานเป็นฐานไอเกนดังนั้นเราจึงมี: ดังนั้น จึงมีฐานมาตรฐานเป็นเวกเตอร์ไอเกน ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่กำหนดของ${\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I-A)}$${\displaystyle \lambda _{1}=1,\lambda _{2}=1,\lambda _{3}=2}$${\displaystyle \left(1I-A\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}=(1,1,0)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}=(0,2,1)}$${\displaystyle \left(2I-A\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {v} _{3}=(1,0,-1)}$${\displaystyle A\mathbf {v} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {v} _{i}}$${\displaystyle i=1,2,3}$${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle P^{-1}AP=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\left[{\begin{array}{rrr}0&1&\!\!\!-2\\0&1&0\\1&\!\!\!-1&3\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}}=D.}$$${\displaystyle P}$${\displaystyle P\mathbf {e} _{i}=\mathbf {v} _{i}}$$${\displaystyle P^{-1}AP\mathbf {e} _{i}=P^{-1}A\mathbf {v} _{i}=P^{-1}(\lambda _{i}\mathbf {v} _{i})=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i},}$$${\displaystyle P^{-1}AP}$${\displaystyle D}$

โปรดทราบว่าไม่มีลำดับที่ต้องการของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะใน;การเปลี่ยนลำดับของเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะ ในจะเปลี่ยนเพียงลำดับของค่าลักษณะเฉพาะในรูปแบบทแยงมุมของ^{[ 2 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A}$

การหาค่าเฉพาะของเมทริกซ์สามารถใช้ในการคำนวณกำลังของเมทริกซ์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ:${\displaystyle A=PDP^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}&=\left(PDP^{-1}\right)^{k}=\left(PDP^{-1}\right)\left(PDP^{-1}\right)\cdots \left(PDP^{-1}\right)\\&=PD\left(P^{-1}P\right)D\left(P^{-1}P\right)\cdots \left(P^{-1}P\right)DP^{-1}=PD^{k}P^{-1},\end{aligned}}}$

และวิธีหลังนั้นคำนวณได้ง่าย เนื่องจากเกี่ยวข้องเฉพาะกำลังของเมทริกซ์แนวทแยงเท่านั้น ตัวอย่างเช่น สำหรับเมทริกซ์ที่มีค่าลักษณะเฉพาะในตัวอย่างข้างต้น เราคำนวณได้ดังนี้: ${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda =1,1,2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}=PD^{k}P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}1^{k}&0&0\\0&1^{k}&0\\0&0&2^{k}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix}2-2^{k}&-1+2^{k}&2-2^{k+1}\\0&1&0\\-1+2^{k}&1-2^{k}&-1+2^{k+1}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

แนวทางนี้สามารถนำไปประยุกต์ใช้กับเมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันเมทริกซ์ อื่นๆ ที่สามารถกำหนดได้ในรูปอนุกรมกำลังได้ ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดเราจะได้: ${\textstyle \exp(A)=I+A+{\frac {1}{2!}}A^{2}+{\frac {1}{3!}}A^{3}+\cdots }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)=P\exp(D)P^{-1}&=\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}e^{1}&0&0\\0&e^{1}&0\\0&0&e^{2}\end{bmatrix}}\left[{\begin{array}{rrr}1&\,0&1\\1&2&0\\0&1&\!\!\!\!-1\end{array}}\right]^{-1}\\[1em]&={\begin{bmatrix}2e-e^{2}&-e+e^{2}&2e-2e^{2}\\0&e&0\\-e+e^{2}&e-e^{2}&-e+2e^{2}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

วิธีนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งในการค้นหาสูตรสำเร็จรูปสำหรับพจน์ของลำดับเวียนเกิดเชิงเส้นเช่นลำดับฟิโบนาชชี

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเมทริกซ์ต่อไปนี้:

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}a&b-a\\0&b\end{bmatrix}}.}$

การคำนวณค่ากำลังต่างๆเผยให้เห็นรูปแบบที่น่าประหลาดใจ: ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M^{2}={\begin{bmatrix}a^{2}&b^{2}-a^{2}\\0&b^{2}\end{bmatrix}},\quad M^{3}={\begin{bmatrix}a^{3}&b^{3}-a^{3}\\0&b^{3}\end{bmatrix}},\quad M^{4}={\begin{bmatrix}a^{4}&b^{4}-a^{4}\\0&b^{4}\end{bmatrix}},\quad \ldots }$

ปรากฏการณ์ข้างต้นสามารถอธิบายได้โดยการทำให้เมทริกซ์ เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมเพื่อ ให้บรรลุเป้าหมายนี้ เราจำเป็นต้องมีฐานของ เมทริกซ์ ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะของ เมทริกซ์ ฐานเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะหนึ่งอย่างมีดังนี้ ${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2},}$

โดยที่e _iแทนฐานมาตรฐานของR ⁿการเปลี่ยนฐานแบบย้อนกลับกำหนดโดย

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=\mathbf {u} ,\qquad \mathbf {e} _{2}=\mathbf {v} -\mathbf {u} .}$

การคำนวณอย่างตรงไปตรงมาแสดงให้เห็นว่า

${\displaystyle M\mathbf {u} =a\mathbf {u} ,\qquad M\mathbf {v} =b\mathbf {v} .}$

ดังนั้นaและbคือค่าลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับuและvตามลำดับ จากคุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของการคูณเมทริกซ์ เราจะได้ว่า

${\displaystyle M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\mathbf {u} ,\qquad M^{n}\mathbf {v} =b^{n}\mathbf {v} .}$

เมื่อเปลี่ยนกลับไปใช้พื้นฐานมาตรฐาน เราจะได้

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{n}\mathbf {e} _{1}&=M^{n}\mathbf {u} =a^{n}\mathbf {e} _{1},\\M^{n}\mathbf {e} _{2}&=M^{n}\left(\mathbf {v} -\mathbf {u} \right)=b^{n}\mathbf {v} -a^{n}\mathbf {u} =\left(b^{n}-a^{n}\right)\mathbf {e} _{1}+b^{n}\mathbf {e} _{2}.\end{aligned}}}$

ความสัมพันธ์ข้างต้น ซึ่งแสดงในรูปแบบเมทริกซ์ มีดังนี้

${\displaystyle M^{n}={\begin{bmatrix}a^{n}&b^{n}-a^{n}\\0&b^{n}\end{bmatrix}},}$

จึงสามารถอธิบายปรากฏการณ์ข้างต้นได้

ใน การคำนวณ ทางกลศาสตร์ควอนตัมและเคมีควอนตัมการหาค่าเฉพาะของเมทริกซ์เป็นหนึ่งในกระบวนการเชิงตัวเลขที่ใช้บ่อยที่สุด เหตุผลหลักคือสมการชโรดิงเกอร์ ที่ไม่ขึ้นกับเวลา เป็นสมการค่าเฉพาะ แม้ว่าในสถานการณ์ทางกายภาพส่วนใหญ่จะอยู่ในปริภูมิฮิลเบิร์ต ที่มีมิติอนันต์ ก็ตาม

วิธีการประมาณค่าที่พบได้บ่อยมากวิธีหนึ่งคือการตัดทอน (หรือฉายภาพ) ปริภูมิฮิลเบิร์ตให้มีมิติจำกัด หลังจากนั้นสมการชโรดิงเกอร์สามารถกำหนดได้ในรูปของปัญหาค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์สมมาตรจริงหรือเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนเชิงซ้อน ในทางทฤษฎี การประมาณค่านี้ตั้งอยู่บนหลักการแปรผันซึ่งใช้ได้กับแฮมิลโทเนียนที่มีขอบเขตล่าง

ทฤษฎีการรบกวนอันดับแรกยังนำไปสู่ปัญหาค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์สำหรับสถานะเสื่อมสภาพอีกด้วย

เมทริกซ์สามารถขยายไปสู่ตัวดำเนินการเชิงเส้น ได้ เมทริกซ์แนวทแยงสามารถขยายไปสู่ตัวดำเนินการแนวทแยงบนปริภูมิฮิลเบิร์ตได้

ให้เป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต ตัวดำเนินการเป็นตัวดำเนินการแนวทแยง ก็ต่อเมื่อมีฐานเชิงตั้งฉากปกติของ อยู่ ซึ่งสำหรับบางค่า ${\displaystyle H}$${\displaystyle D:H\to H}$${\displaystyle (e_{n})_{n}}$${\displaystyle H}$${\displaystyle De_{n}=\lambda _{n}e_{n}}$${\displaystyle \lambda _{n}\in \mathbb {C} }$

สำหรับค่าใดๆให้กำหนดนอร์ม p-Schattenดังนี้ ให้เป็นตัวดำเนินการ แล้ว โดยที่คือร่องรอย (trace ) ชั้น p-Schatten คือเซตของตัวดำเนินการทั้งหมดที่มีนอร์ม p-Schatten จำกัด ${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle T:H\to H}$${\displaystyle \|T\|_{p}:=\operatorname {Tr} (|T|^{p})^{1/p}}$${\displaystyle \operatorname {Tr} }$

Weyl [ ^{3 ]} von Neumann [ ^{4 ]}และ Kuroda ^{[ 5 ]}แสดงให้เห็นดังต่อไป^นี้:

สำหรับตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองใดๆบนปริภูมิฮิลเบิร์ตและสำหรับตัวดำเนินการแนวทแยงใดๆจะมีตัวดำเนินการแนวทแยงอยู่ตัวหนึ่งซึ่งทำให้${\displaystyle p>1}$${\displaystyle T}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \|T-D\|_{p}\leq \epsilon }$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองใดๆ ก็คือการรบกวนเล็กน้อยจากตัวดำเนินการแนวทแยง โดยที่ "เล็กน้อย" นั้นมีความหมายตามบรรทัดฐาน p-Schatten โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เนื่องจากคลาสตัวดำเนินการ Hilbert–Schmidt คือคลาส 2-Schatten นั่นหมายความว่าตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองใดๆ ก็สามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้หลังจากการรบกวนโดยตัวดำเนินการ Hilbert–Schmidt ที่มีขนาดเล็กมาก อันที่จริง ผลลัพธ์ข้างต้นสามารถขยายความได้กว้างขึ้นไปอีก:

สำหรับอุดมคติของบรรทัดฐาน ใดๆ ที่ไม่ใช่คลาสร่องรอย โดยมีบรรทัดฐาน, ตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองใดๆบนปริภูมิฮิลเบิร์ตและใดๆจะมีตัวดำเนินการแนวทแยงอยู่เช่นนั้น${\displaystyle \|\cdot \|_{J}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \|T-D\|_{J}\leq \epsilon }$

ผลลัพธ์เป็นเท็จสำหรับ( คลาสร่องรอย ) นี่เป็นผลลัพธ์ที่ง่ายจากทฤษฎีบท Kato ^{[ 6 ]} –Rosenblum ^{[ 7 ] [ 8 ] : ทฤษฎีบท XI.8} ซึ่งระบุว่าถ้าเป็นตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเอง และอยู่ในคลาสร่องรอย จะมีส่วนต่อเนื่องสัมบูรณ์ของสเปกตรัม เหมือนกัน อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์นี้คมชัดในแง่ที่ว่า ถ้าไม่มีส่วนต่อเนื่องสัมบูรณ์ ก็สามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้หลังจากการรบกวนโดยตัวดำเนินการคลาสร่องรอยอนันต์^{[ 9 ]}${\displaystyle p=1}$${\displaystyle T}$${\displaystyle A}$${\displaystyle T,T+A}$${\displaystyle T}$

สำหรับการทำให้เป็นแนวทแยงพร้อมกันเป็นที่ทราบกันว่า เมื่อกำหนดรายการจำกัดของตัวดำเนินการสมมาตรที่สลับกันได้ สำหรับใดๆจะมีลำดับของตัวดำเนินการแนวทแยงอยู่เช่นนั้นโดยที่คือบรรทัดฐาน n-Schatten โปรดทราบว่า^{[ 10 ]}${\displaystyle T_{1},\dots ,T_{n}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle D_{1},\dots ,D_{n}}$${\displaystyle \|T_{1}-D_{1}\|_{n}\leq \epsilon ,\dots ,\|T_{n}-D_{n}\|_{n}\leq \epsilon }$${\displaystyle \|\cdot \|_{n}}$${\displaystyle n\geq 2}$

• เมทริกซ์ที่บกพร่อง
• การปรับขนาด (เรขาคณิต)
• เมทริกซ์สามเหลี่ยม
• ตัวดำเนินการกึ่งง่าย
• กลุ่มที่สามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้
• จอร์แดนรูปแบบปกติ
• โมดูลน้ำหนัก – การวางนัยทั่วไปของพีชคณิตเชิงสัมพันธ์
• การทำให้เป็นแนวทแยงมุมเชิงตั้งฉาก