ในทางคณิตศาสตร์การแปรผันพารามิเตอร์หรือที่เรียกว่าการแปรผันค่าคงที่ เป็นวิธีการทั่วไปในการแก้สม การ เชิง อนุพันธ์สามัญเชิงเส้นไม่เอกพันธุ์

สำหรับ สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธุ์อันดับหนึ่ง โดยทั่วไปแล้วสามารถหาคำตอบได้โดยใช้ตัวประกอบการอินทิเกรตหรือสัมประสิทธิ์ที่ไม่ทราบค่าด้วยความพยายามที่น้อยกว่ามาก แม้ว่าวิธีการเหล่านั้นจะใช้หลักการคาดเดาซึ่งใช้ไม่ได้กับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธุ์ทุกสมการก็ตาม

การเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ขยายไปถึงสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย เชิงเส้น ด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่งในปัญหาที่ไม่เป็นเอกพันธ์สำหรับสมการวิวัฒนาการเชิงเส้น เช่นสมการความร้อนสมการคลื่นและ สมการ แผ่นสั่นในบริบทนี้ วิธีการนี้มักเรียกว่าหลักการของดูฮาเมลซึ่งตั้งชื่อตามฌอง-มารี ดูฮาเมล (ค.ศ. 1797–1872) ผู้ซึ่งนำวิธีการนี้ไปใช้ในการแก้สมการความร้อนที่ไม่เป็นเอกพันธ์เป็นครั้งแรก บางครั้งการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์เองก็เรียกว่าหลักการของดูฮาเมล และในทางกลับกัน

วิธีการแปรผันพารามิเตอร์ได้รับการร่างขึ้นครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสLeonhard Euler (1707–1783) และต่อมาได้รับการพัฒนาให้สมบูรณ์โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี-ฝรั่งเศสJoseph-Louis Lagrange (1736–1813) ^{[ 1 ]}

วิธีการแปรผันขององค์ประกอบวงโคจรของวัตถุท้องฟ้าปรากฏขึ้นในงานของออยเลอร์ในปี 1748 ขณะที่เขากำลังศึกษาการรบกวนซึ่งกันและกันของดาวพฤหัสบดีและดาวเสาร์^{[ 2 ]} ในการศึกษาการเคลื่อนที่ของโลกในปี 1749 ออยเลอร์ได้สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับองค์ประกอบวงโคจร^{[ 3 ]}ในปี 1753 เขาได้นำวิธีการนี้ไปใช้ในการศึกษาการเคลื่อนที่ของดวงจันทร์^{[ 4 ]}

ลากรองจ์ใช้วิธีนี้เป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1766 ^{[ 5 ]} ระหว่างปี ค.ศ. 1778 ถึง 1783 เขาได้พัฒนาวิธีการนี้เพิ่มเติมในเอกสารสองชุด ชุดหนึ่งเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์^{[ 6 ]}และอีกชุดหนึ่งเกี่ยวกับการกำหนดวงโคจรของดาวหางจากการสังเกตสามครั้ง^{[ 7 ]}ในช่วงปี ค.ศ. 1808–1810 ลากรองจ์ได้กำหนดรูปแบบสุดท้ายของวิธีการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ในเอกสารชุดที่สาม^{[ 8 ]}

กำหนดให้ สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นไม่เอกพันธุ์ธรรมดาอันดับn

${\displaystyle y^{(n)}(x)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}(x)=b(x).}$

ฉัน

ให้เป็นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ของคำตอบของสมการเอกพันธุ์ที่สอดคล้องกัน ${\displaystyle y_{1}(x),\ldots ,y_{n}(x)}$

${\displaystyle y^{(n)}(x)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}(x)=0.}$

ii

จากนั้น จะได้ คำตอบเฉพาะของสมการไม่เอกพันธุ์ดังนี้

${\displaystyle y_{p}(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x)y_{i}(x)}$

iii

โดยที่เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ ซึ่งถือว่าสอดคล้องกับเงื่อนไข ${\displaystyle c_{i}(x)}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}'(x)y_{i}^{(j)}(x)=0,\quad j=0,\ldots ,n-2.}$

iv

เริ่มต้นด้วย ( iii ) การหาอนุพันธ์ซ้ำๆ ร่วมกับการใช้ ( iv ) ซ้ำๆ จะได้

${\displaystyle y_{p}^{(j)}(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x)y_{i}^{(j)}(x),\quad j=0,\ldots ,n-1\,.}$

วี

ความแตกต่างสุดท้ายคือ

${\displaystyle y_{p}^{(n)}(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}'(x)y_{i}^{(n-1)}(x)+\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x)y_{i}^{(n)}(x)\,.}$

วี

โดยการแทน ( iii ) ลงใน ( i ) และใช้ ( v ) และ ( vi ) จะได้ว่า

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}'(x)y_{i}^{(n-1)}(x)=b(x).}$

7

จากนั้น ระบบสมการเชิงเส้น ( ivและvii ) จำนวน nสมการ สามารถแก้ไขได้โดยใช้กฎของเครเมอร์ ซึ่งจะได้ ผลลัพธ์ ดังนี้

${\displaystyle c_{i}'(x)={\frac {W_{i}(x)}{W(x)}},\,\quad i=1,\ldots ,n}$

โดยที่คือดีเทอร์มิแนนต์แบบวรอนสเกียนของฐานและคือดีเทอร์มิแนนต์แบบวรอนสเกียนของฐาน โดยที่ คอลัมน์ที่ iถูกแทนที่ด้วย${\displaystyle W(x)}$${\displaystyle y_{1}(x),\ldots ,y_{n}(x)}$${\displaystyle W_{i}(x)}$${\displaystyle (0,0,\ldots ,b(x)).}$

คำตอบเฉพาะของสมการไม่เอกพันธุ์สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y_{i}(x)\,\int {\frac {W_{i}(x)}{W(x)}}\,\mathrm {d} x.}$

พิจารณาสมการของสปริงไร้การกระจายตัวแบบบังคับ ในหน่วยที่เหมาะสม:

${\displaystyle x''(t)+x(t)=F(t).}$

ในที่นี้xคือการกระจัดของสปริงจากตำแหน่งสมดุลx = 0และF ( t )คือแรงภายนอกที่กระทำซึ่งขึ้นอยู่กับเวลา เมื่อแรงภายนอกเป็นศูนย์ สมการนี้จะเป็นสมการเอกพันธุ์ (ซึ่งคำตอบเป็นผลรวมเชิงเส้นของไซน์และโคไซน์ สอดคล้องกับการสั่นของสปริงด้วยพลังงานรวมคงที่)

เราสามารถสร้างคำตอบในเชิงกายภาพได้ดังนี้ ระหว่างเวลา t และt โมเมนตัมที่สอดคล้องกับคำตอบจะมีการเปลี่ยนแปลงสุทธิ(ดู: แรงดล (ฟิสิกส์) ) คำตอบของสมการไม่เอกพันธุ์ ณ เวลาปัจจุบันt > 0ได้มาจากการซ้อนทับเชิงเส้นของคำตอบที่ได้ในลักษณะนี้ สำหรับค่า sที่ อยู่ระหว่าง 0 และt${\displaystyle t=s}$${\displaystyle t=s+ds}$${\displaystyle F(s)\,ds}$

ปัญหาค่าเริ่มต้นที่เป็นเอกพันธุ์ ซึ่งแสดงถึงแรงกระตุ้นเล็กๆที่ถูกเพิ่มเข้าไปในคำตอบ ณ เวลา t คือ ${\displaystyle F(s)\,ds}$${\displaystyle t=s}$

${\displaystyle x''(t)+x(t)=0,\quad x(s)=0,\ x'(s)=F(s)\,ds.}$

คำตอบเดียวของปัญหานี้สามารถเห็นได้อย่างง่ายดายว่าเป็นการซ้อนทับเชิงเส้นของคำตอบทั้งหมดเหล่านี้แสดงได้ด้วยปริพันธ์: ${\displaystyle x(t)=F(s)\sin(ts)\,ds}$

${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}F(s)\sin(ts)\,ds.}$

เพื่อตรวจสอบว่าตรงตามสมการที่ต้องการหรือไม่:

${\displaystyle x'(t)=\int _{0}^{t}F(s)\cos(ts)\,ds}$

${\displaystyle x''(t)=F(t)-\int _{0}^{t}F(s)\sin(ts)\,ds=F(t)-x(t),}$

ตามความจำเป็น (ดู: กฎอินทิกรัลของไลบ์นิซ )

วิธีการทั่วไปของการแปรผันพารามิเตอร์ช่วยให้สามารถแก้สมการเชิงเส้นที่ไม่เป็นเอกพันธ์ได้

${\displaystyle Lx(t)=F(t)}$

โดยพิจารณาตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองLเป็นแรงสุทธิ ดังนั้นแรงดลทั้งหมดที่ส่งไปยังคำตอบระหว่างเวลาsและs + dsคือF ( s ) dsให้ แทนคำตอบของปัญหาค่าเริ่มต้นเอกพันธุ์ ${\displaystyle x_{s}}$

${\displaystyle Lx(t)=0,\quad x(s)=0,\ x'(s)=F(s)\,ds.}$

ดังนั้น ผลเฉลยเฉพาะของสมการอเอกพันธุ์คือ

${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}x_{s}(t)\,ds,}$

ผลลัพธ์ของการซ้อนทับเชิงเส้นของผลเฉลยเอกพันธุ์ขนาดเล็กมาก มีการขยายไปสู่ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสูงกว่า

ในทางปฏิบัติ การเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์มักเกี่ยวข้องกับผลเฉลยพื้นฐานของปัญหาเอกพันธุ์โดยที่ผลเฉลยขนาดเล็กจะถูกกำหนดในรูปของการรวมเชิงเส้นที่ชัดเจนของผลเฉลยพื้นฐานที่เป็นอิสระเชิงเส้น ในกรณีของสปริงแบบไม่มีการกระจายตัวที่ถูกบังคับ เคอร์เนลคือการแยกส่วนที่เกี่ยวข้องออกเป็นผลเฉลยพื้นฐาน ${\displaystyle x_{s}}$${\displaystyle \sin(ts)=\sin t\cos s-\sin s\cos t}$

${\displaystyle y'+p(x)y=q(x)}$

คำตอบเสริมของสมการเดิม (ไม่เอกพันธุ์) ของเราคือคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธุ์ที่สอดคล้องกัน (เขียนไว้ด้านล่าง):

${\displaystyle y'+p(x)y=0}$

สมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธุ์นี้สามารถแก้ได้ด้วยวิธีการต่างๆ เช่น วิธีการแยกตัวแปร :

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}y+p(x)y=0}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-p(x)y}$

${\displaystyle {dy \over y}=-{p(x)\,dx},}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{y}}\,dy=-\int p(x)\,dx}$

${\displaystyle \ln |y|=-\int p(x)\,dx+C}$

${\displaystyle y=\pm e^{-\int p(x)\,dx+C}=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}}$

ดังนั้น คำตอบเสริมของสมการเดิมของเราคือ:

${\displaystyle y_{c}=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}}$

ต่อไปเราจะกลับมาแก้สมการไม่เอกพันธุ์กันอีกครั้ง:

${\displaystyle y'+p(x)y=q(x)}$

โดยใช้วิธีการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ จะได้คำตอบเฉพาะโดยการคูณคำตอบเสริมด้วยฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าC ( x ):

${\displaystyle y_{p}=C(x)e^{-\int p(x)\,dx}}$

โดยการแทนค่าคำตอบเฉพาะลงในสมการที่ไม่เป็นเอกพันธุ์ เราสามารถหาค่าC ( x ) ได้ดังนี้:

${\displaystyle C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}-C(x)p(x)e^{-\int p(x)\,dx}+p(x)C(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)}$

${\displaystyle C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)}$

${\displaystyle C'(x)=q(x)e^{\int p(x)\,dx}}$

${\displaystyle C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+C_{1}}$

เราต้องการเพียงวิธีแก้ปัญหาเฉพาะเจาะจงเพียงวิธีเดียว ดังนั้นเพื่อความง่าย เราจึงเลือกวิธีนั้นโดยพลการ ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะเจาะจงนั้นคือ: ${\displaystyle C_{1}=0}$

${\displaystyle y_{p}=e^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx}$

คำตอบสุดท้ายของสมการเชิงอนุพันธ์คือ:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=y_{c}+y_{p}\\&=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}+e^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx\end{aligned}}}$

วิธีนี้เป็นการจำลองวิธีการรวมปัจจัยขึ้น มา ใหม่

ให้เราแก้ไขปัญหานี้

${\displaystyle y''+4y'+4y=\cosh x}$

เราต้องการหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ นั่นคือ เราต้องการหาคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธุ์

${\displaystyle y''+4y'+4y=0.}$

สมการลักษณะเฉพาะคือ:

${\displaystyle \lambda ^{2}+4\lambda +4=(\lambda +2)^{2}=0}$

เนื่องจากเป็นรากซ้ำ เราจึงต้องแนะนำตัวประกอบxสำหรับคำตอบหนึ่งเพื่อให้แน่ใจว่าเป็นอิสระเชิงเส้น: และ Wronskianของฟังก์ชันทั้งสองนี้คือ ${\displaystyle \lambda =-2}$${\displaystyle u_{1}=e^{-2x}}$${\displaystyle u_{2}=xe^{-2x}}$

${\displaystyle W={\begin{vmatrix}e^{-2x}&xe^{-2x}\\-2e^{-2x}&-e^{-2x}(2x-1)\\\end{vmatrix}}=-e^{-2x}e^{-2x}(2x-1)+2xe^{-2x}e^{-2x}=e^{-4x}.}$

เนื่องจากค่า Wronskian ไม่เป็นศูนย์ ฟังก์ชันทั้งสองจึงเป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้นนี่จึงเป็นคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธุ์ (และไม่ใช่เพียงแค่เซตย่อยของสมการนั้น)

เรากำลังมองหาฟังก์ชันและนั่นคือคำตอบเฉพาะของสมการไม่เอกพันธุ์ เราเพียงแค่ต้องคำนวณอินทิกรัล ${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle B(x)}$${\displaystyle A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x)}$

${\displaystyle A(x)=-\int {1 \over W}u_{2}(x)b(x)\,\mathrm {d} x,\;B(x)=\int {1 \over W}u_{1}(x)b(x)\,\mathrm {d} x}$

โปรดจำไว้ว่าสำหรับตัวอย่างนี้

${\displaystyle b(x)=\cosh x}$

นั่นคือ

${\displaystyle A(x)=-\int {1 \over e^{-4x}}xe^{-2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=-\int xe^{2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=-{1 \over 18}e^{x}\left(9(x-1)+e^{2x}(3x-1)\right)+C_{1}}$

${\displaystyle B(x)=\int {1 \over e^{-4x}}e^{-2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=\int e^{2x}\cosh x\,\mathrm {d} x={1 \over 6}e^{x}\left(3+e^{2x}\right)+C_{2}}$

โดยที่และเป็นค่าคงที่ของการอินทิเกรต ${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$

เรามีสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบ

${\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=f(x)}$

และเรากำหนดตัวดำเนินการเชิงเส้น

${\displaystyle L=D^{2}+p(x)D+q(x)}$

โดยที่Dแทนตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ดังนั้นเราต้องแก้สมการหาค่าโดยที่และเป็นค่าที่ทราบแล้ว ${\displaystyle Lu(x)=f(x)}$${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)}$

เราต้องแก้สมการเอกพันธุ์ที่เกี่ยวข้องก่อน:

${\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=0}$

โดยใช้วิธีการที่เราเลือก เมื่อเราได้คำตอบสองคำตอบที่เป็นอิสระเชิงเส้นสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์เอกพันธุ์นี้แล้ว (เนื่องจาก ODE นี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง) — เรียกคำตอบเหล่านั้นว่าu ₁และu ₂ — เราสามารถดำเนินการต่อด้วยการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ได้

ต่อไปนี้ เราจะหาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ซึ่งเราสมมติว่ามีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle u_{G}(x)}$

${\displaystyle u_{G}(x)=A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x).}$

ในที่นี้และเป็นค่าที่ไม่ทราบค่า และและเป็นคำตอบของสมการเอกพันธุ์ (สังเกตว่าถ้าและเป็นค่าคงที่ แล้ว) เนื่องจากข้างต้นเป็นเพียงสมการเดียวและเรามีฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าสองฟังก์ชัน จึงสมเหตุสมผลที่จะกำหนดเงื่อนไขที่สอง เราเลือกเงื่อนไขต่อไปนี้: ${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle B(x)}$${\displaystyle u_{1}(x)}$${\displaystyle u_{2}(x)}$${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle B(x)}$${\displaystyle Lu_{G}(x)=0}$

${\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0.}$

ตอนนี้,

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{G}'(x)&=\left(A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x)\right)'\\&=\left(A(x)u_{1}(x)\right)'+\left(B(x)u_{2}(x)\right)'\\&=A'(x)u_{1}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}(x)+B(x)u_{2}'(x)\\&=A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\\&=A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\end{aligned}}}$

โดยการหาอนุพันธ์อีกครั้ง (โดยละเว้นขั้นตอนกลาง)

${\displaystyle u_{G}''(x)=A(x)u_{1}''(x)+B(x)u_{2}''(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).}$

ตอนนี้เราสามารถเขียนการกระทำของLต่อu _Gได้ดังนี้

${\displaystyle Lu_{G}=A(x)Lu_{1}(x)+B(x)Lu_{2}(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).}$

เนื่องจากu ₁และu ₂เป็นคำตอบ ดังนั้น

${\displaystyle Lu_{G}=A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).}$

เรามีระบบสมการ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}.}$

ขยายตัว

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)\\A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}.}$

ดังนั้นระบบข้างต้นจึงกำหนดเงื่อนไขได้อย่างแม่นยำ

${\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0.}$

${\displaystyle A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)=Lu_{G}=f.}$

เราต้องการหาA ( x ) และB ( x ) จากเงื่อนไขเหล่านี้ ดังนั้น เมื่อกำหนด

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}}$

เราสามารถหาคำตอบสำหรับ ( A ′( x ), B ′( x )) ^Tได้ ดังนั้น

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}}={\frac {1}{W}}{\begin{bmatrix}u_{2}'(x)&-u_{2}(x)\\-u_{1}'(x)&u_{1}(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\f\end{bmatrix}},}$

โดยที่WแทนWronskianของu ₁และu ₂ (เรารู้ว่าWไม่เป็นศูนย์ จากสมมติฐานที่ว่าu ₁และu ₂เป็นอิสระเชิงเส้น) ดังนั้น

${\displaystyle {\begin{aligned}A'(x)&=-{1 \over W}u_{2}(x)f(x),&B'(x)&={1 \over W}u_{1}(x)f(x)\\A(x)&=-\int {1 \over W}u_{2}(x)f(x)\,\mathrm {d} x,&B(x)&=\int {1 \over W}u_{1}(x)f(x)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}$

ในขณะที่สมการเอกพันธุ์นั้นแก้ได้ค่อนข้างง่าย วิธีนี้ช่วยให้สามารถคำนวณสัมประสิทธิ์ของคำตอบทั่วไปของ สมการ ไม่เอกพันธุ์ได้ และด้วยเหตุนี้จึงสามารถกำหนดคำตอบทั่วไปที่สมบูรณ์ของสมการไม่เอกพันธุ์ได้

โปรดทราบว่าและแต่ละค่าจะถูกกำหนดโดยค่าคงที่บวกที่ไม่เจาะจง ( ค่าคงที่ของการอินทิเกรต ) เท่านั้น การเพิ่มค่าคงที่ให้กับหรือจะไม่เปลี่ยนแปลงค่าของเนื่องจากพจน์เพิ่มเติมเป็นเพียงการรวมเชิงเส้นของu ₁และu ₂ซึ่งเป็นคำตอบของสมการตามนิยาม ${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle B(x)}$${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle B(x)}$${\displaystyle Lu_{G}(x)}$${\displaystyle L}$

• สูตรของอเล็กเซเยฟ-โกรบเนอร์ซึ่งเป็นการขยายความของสูตรการแปรผันของค่าคงที่
• การลดลำดับ

• หมายเหตุ/พิสูจน์อักษรออนไลน์โดย พอล ดอว์กินส์, มหาวิทยาลัยลามาร์
• การ เปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ที่PlanetMath
• หมายเหตุเกี่ยวกับวิธีการแปรผันพารามิเตอร์ของลากรองจ์