ในทางคณิตศาสตร์แผนที่มิลเนอร์ (Milnor maps ) ได้รับการตั้งชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่จอห์น มิลเนอร์ผู้ซึ่งนำเสนอแผนที่เหล่านี้เข้าสู่โทโพโลยีและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตในหนังสือของเขาเรื่องSingular Points of Complex Hypersurfaces ( สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน , 1968) และในการบรรยายก่อนหน้านั้น แผนที่มิลเนอร์ที่ได้รับการศึกษามากที่สุดคือไฟเบอร์เรชัน (fibrations ) และวลีMilnor fibrationมักพบเห็นได้บ่อยในเอกสารทางคณิตศาสตร์ ไฟเบอร์เรชันถูกนำมาใช้เพื่อศึกษาจุดเอกฐานแบบแยกเดี่ยว โดยการสร้างตัวแปร เชิงตัวเลข ที่เกี่ยวข้องกับโทโพโลยีของการเปลี่ยนแปลง อย่างราบเรียบ ของปริภูมิเอกฐาน

ให้ เป็น ฟังก์ชันพหุนามที่ไม่คงที่ของตัวแปรเชิงซ้อนโดยที่ตำแหน่งที่ค่าของ เป็นศูนย์ ${\displaystyle f(z_{0},\dots ,z_{n})}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle z_{0},\จุด ,z_{n}}$

${\displaystyle f(z)\ {\text{ และ }}\ {\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}(z)}$

อยู่ที่จุดกำเนิดเท่านั้น หมายความว่าความหลากหลาย ที่เกี่ยวข้อง ไม่เรียบที่จุดกำเนิด จากนั้น สำหรับ(ทรงกลมภายในรัศมี) การจัดเรียงแบบ Milnor ^{[ 1 ]หน้า 68}ที่เกี่ยวข้องกับถูกกำหนดให้เป็นแผนที่ ${\displaystyle X=V(f)}$${\displaystyle K=X\cap S_{\varepsilon }^{2n+1}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \phi \colon (S_{\varepsilon }^{2n+1}\setminus K)\to S^{1}\ {\text{ sending }}\ x\mapsto {\frac {f(x)}{|f(x)|}}}$,

ซึ่งเป็นไฟเบอร์เรชันเรียบ ที่ไม่สำคัญในระดับท้องถิ่น สำหรับค่า ที่เล็กพอสมควรเดิมทีสิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทโดยมิลเนอร์ แต่ต่อมาถูกนำมาใช้เป็นนิยามของไฟเบอร์เรชันของมิลเนอร์ โปรดทราบว่านี่เป็นแผนที่ที่กำหนดไว้อย่างดีเนื่องจาก ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle f(x)=|f(x)|\cdot e^{2\pi i\operatorname {Arg} (f(x))}}$,

อาร์กิวเมนต์ ของจำนวนเชิงซ้อนอยู่ที่ไหน${\displaystyle \operatorname {Arg} (f(x))}$

หนึ่งในแรงจูงใจดั้งเดิมสำหรับการศึกษาแผนที่ดังกล่าวคือการศึกษาปมที่สร้างขึ้นโดยการใช้ทรงกลม n มิติรอบจุดเอกฐานของเส้นโค้งระนาบซึ่งมีสมมาตรกับทรงกลม 4 มิติจริง และพิจารณาปมภายในขอบเขต ซึ่งเป็นแมนิโฟลด์ 1 มิติภายในทรงกลม 3 มิติเนื่องจากแนวคิดนี้สามารถขยายไปสู่พื้นผิวที่มีจุดเอกฐานแบบแยกเดี่ยวได้ มิลเนอร์จึงได้นำเสนอหัวข้อนี้และพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขา ${\displaystyle \varepsilon }$

แนวคิดที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดอีกประการหนึ่งในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคือ ไฟเบอร์มิลเนอร์ของจุดเอกฐานบนพื้นผิวไฮเปอร์เซอร์เฟซที่แยกตัวออกมา ซึ่งมีโครงสร้างคล้ายกัน โดยที่พหุนามมีจุดเอกฐานที่จุดกำเนิด แต่ในกรณีนี้เป็นพหุนาม ${\displaystyle f}$${\displaystyle f=0}$

${\displaystyle f_{t}\colon \mathbb {C} ^{n+1}\to \mathbb {C} \ {\text{ sending }}\ (z_{0},\ldots ,z_{n})\mapsto f(z_{0},\ldots ,z_{n})-t}$

จะถูกนำมาพิจารณา จากนั้น จะนำ ไฟเบอร์ Milnor ทางพีชคณิตมาใช้เป็นหนึ่งในพหุนาม ${\displaystyle f_{t\neq 0}}$

หนึ่งในทฤษฎีบทโครงสร้างพื้นฐานเกี่ยวกับไฟเบอร์ Milnor คือไฟเบอร์เหล่านี้เป็นแมนิโฟลด์ที่ขนานกันได้^{[ 1 ]หน้า} 75

เส้นใย Milnor มีความพิเศษเนื่องจากมีประเภทโฮโมโทปีเป็นช่อทรงกลม^{[ 1 ]หน้า 78}จำนวนทรงกลมเหล่านี้คือจำนวน Milnorในความเป็นจริง จำนวนทรงกลมสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

${\displaystyle \mu (f)={\text{dim}}_{\mathbb {C} }{\frac {\mathbb {C} [[z_{0},\ldots ,z_{n}]]}{\operatorname {Jac} (f)}},}$

โดยที่อุดมคติผลหารคืออุดมคติจาโคเบียนซึ่งกำหนดโดยอนุพันธ์ย่อย ทรงกลมเหล่านี้ที่เปลี่ยนรูปเป็นไฟเบอร์ Milnor พีชคณิตคือวัฏจักรที่หายไปของไฟเบอร์^{[ 1 ]หน้า 83}การคำนวณค่าลักษณะเฉพาะของโมโนโดรมีนั้นเป็นเรื่องที่ท้าทายในการคำนวณและต้องใช้เทคนิคขั้นสูง เช่นฟังก์ชัน b ^{[ 2 ]หน้า} 23 ${\displaystyle \partial f/\partial z_{i}}$

ทฤษฎีบทไฟเบรชันของมิลเนอร์กล่าวว่า สำหรับทุกค่า ที่จุดกำเนิดเป็นจุดเอกฐานของไฮเปอร์เซอร์เฟซ (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับพหุนามสองตัวแปรที่ไม่คงที่และไม่มีกำลังสองซึ่งเป็นกรณีของเส้นโค้งระนาบ) แล้วสำหรับค่า ที่เล็กพอสมควร ${\displaystyle f}$${\displaystyle V_{f}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle {\dfrac {f}{|f|}}\colon \left(S_{\varepsilon }^{2n+1}\setminus V_{f}\right)\to S^{1}}$

เป็นไฟเบอร์ แต่ละไฟเบอร์เป็นแมนิโฟลด์ที่ไม่กระชับและสามารถหา อนุพันธ์ได้ ซึ่งมีมิติเป็นจำนวนจริงโปรดสังเกตว่าส่วนปิดของแต่ละไฟเบอร์เป็นแมนิโฟลด์ กระชับที่ มีขอบเขต โดยขอบเขตนี้สอดคล้องกับจุดตัดของกับทรงกลม -sphere (ที่มีรัศมีเล็กพอสมควร) ดังนั้นจึงเป็นแมนิโฟลด์จำนวนจริงที่มีมิติยิ่งไปกว่านั้น แมนิโฟลด์กระชับที่มีขอบเขตนี้ ซึ่งเรียกว่าไฟเบอร์มิลเนอร์ (ของจุดเอกฐานที่แยกเดี่ยวของที่จุดกำเนิด) นั้นมีลักษณะทางดิฟเฟอเรนเชียลเหมือนกับจุดตัดของลูกบอล-ball ปิด (ล้อมรอบด้วยทรงกลม -sphere ขนาดเล็ก) กับไฮเปอร์เซอร์เฟซ (ที่ไม่เป็นจุดเอกฐาน) โดยที่และ เป็น จำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ขนาดเล็กพอสมควร ส่วนเล็กๆ ของไฮเปอร์เซอร์เฟ ซ นี้เรียกว่าไฟเบอร์มิลเนอร์ เช่นกัน${\displaystyle 2n}$${\displaystyle V_{f}}$${\displaystyle (2n+1)}$${\displaystyle (2n-1)}$${\displaystyle V_{f}}$${\displaystyle (2n+2)}$${\displaystyle (2n+1)}$${\displaystyle V_{g}}$${\displaystyle g=fe}$${\displaystyle e}$

แผนที่มิลเนอร์ที่รัศมีอื่น ๆ ไม่ได้เป็นไฟเบรชันเสมอไป แต่ก็ยังมีคุณสมบัติที่น่าสนใจหลายอย่าง สำหรับพหุนามส่วนใหญ่ (แต่ไม่ใช่ทั้งหมด) แผนที่มิลเนอร์ที่อนันต์ (นั่นคือ ที่รัศมีขนาดใหญ่เพียงพอ) ก็เป็นไฟเบรชันอีกเช่นกัน

แผนที่มิลนอร์ที่รัศมีใดๆ ก็ตามเป็นการสร้างเส้นใย (fibration) การสร้างนี้ทำให้ปมสามแฉกมีโครงสร้างเป็น ป ม เส้นใย${\displaystyle f(z,w)=z^{2}+w^{3}}$

• วงจรที่หายไป
• โครงสร้างผสมฮอดจ์