ในเรขาคณิตทฤษฎีบทของ Monskyกล่าวว่าไม่สามารถแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัส ออกเป็น สามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากันเป็นจำนวนคี่ได้^{[ 1 ]} กล่าวอีกนัยหนึ่ง สี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่มีการแบ่ง เท่าๆ กันเป็นจำนวน คี่

ปัญหาดังกล่าวถูกตั้งขึ้นโดย Fred Richman ในAmerican Mathematical Monthlyในปี 1967 หลังจากที่ John Thomas ได้แก้ปัญหาสำหรับพิกัดเชิงตรรกะแล้ว และPaul Monsky ได้ขยายวิธีแก้ปัญหาไปยังพิกัดทั้งหมด ในปี 1970 ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับประวัติของปัญหา โปรดดูEquidissection# Monsky's_theorem

การพิสูจน์ของมอนสกีเป็นการผสมผสาน เทคนิคเชิง การจัดเรียงและพีชคณิตโดยมีโครงร่างดังนี้:

1. ให้สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยที่มีจุดยอดอยู่ที่ (0,  0), (0,  1), (1,  0) และ (1,  1) ถ้าแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้ออกเป็นnสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากัน พื้นที่ของแต่ละสามเหลี่ยมจะเท่ากับ 1 / n
2. ระบายสีจุดแต่ละจุดในสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยสีใดสีหนึ่งจากสามสี โดยขึ้นอยู่กับค่าพิกัดในระบบเลขฐานสอง (2-adic)ของจุดนั้น
3. จงแสดงว่าเส้นตรงหนึ่งๆ สามารถมีจุดที่มีสีได้เพียงสองสีเท่านั้น
4. ใช้ทฤษฎีบทของสเปอร์เนอร์เพื่อแสดงว่าการแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นรูปสามเหลี่ยมที่ขอบชนขอบกันทุกรูป จะต้องมีรูปสามเหลี่ยมอย่างน้อยหนึ่งรูปที่มีจุดยอดสามสีที่แตกต่างกัน
5. จากคุณสมบัติของเส้นตรง สรุปได้ว่าสามเหลี่ยมสามสีจะต้องมีอยู่ในการแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสามเหลี่ยมทุกรูป โดยไม่จำเป็นต้องชนกันแบบขอบชนขอบเสมอไป
6. ใช้เรขาคณิตแบบคาร์ทีเซียนเพื่อแสดงว่าค่า 2-adic valuation ของพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดสามสีต่างกันนั้นมีค่ามากกว่า 1 ดังนั้นการแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นสามเหลี่ยมทุกครั้งจะต้องมีสามเหลี่ยมอย่างน้อยหนึ่งรูปที่มีพื้นที่ซึ่งมีค่า 2-adic valuation มากกว่า 1
7. ถ้าnเป็นจำนวนคี่ ค่า 2-adic ของ 1/ nจะเป็น 1 ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่ 1/ n ทั้งหมด^{[ 5 ]}

ตามทฤษฎีบทของ Monsky จำเป็นต้องมีสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่ต่างกันเพื่อแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นจำนวนสามเหลี่ยมคี่ขอบเขตล่างสำหรับความแตกต่างของพื้นที่ที่ต้องเกิดขึ้นเพื่อแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นจำนวนสามเหลี่ยมคี่และการแบ่งที่เหมาะสมที่สุดได้รับการศึกษาแล้ว^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

เนื่องจากการแปลงเชิงเส้นรักษาการแบ่งเท่าๆ กัน จึงสรุปได้ว่าโดยทั่วไปแล้วรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ภาพเชิงเส้นของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส) ก็ไม่มีการแบ่งเท่าๆ กันแบบคี่เช่นกัน รูปหลาย เหลี่ยม สมมาตรศูนย์กลางโดยทั่วไปไม่มีการแบ่งเท่าๆ กันแบบคี่ เช่นเดียวกับรูปหลายเหลี่ยมที่มี รูปร่างคล้ายหลายเหลี่ยม ^{[ 4 ]}

ทฤษฎีบทนี้สามารถขยายไปสู่มิติที่สูงขึ้นได้: ไฮเปอร์คิวบ์nมิติสามารถแบ่งออกเป็นซิมเพล็กซ์ที่มีปริมาตรเท่ากันได้ก็ต่อเมื่อจำนวนซิมเพล็กซ์เป็นพหุคูณของnเท่านั้น! ^{[ 9 ]}