การแบ่งรูปหลายเหลี่ยมP ออก เป็นเซตจำกัดของสามเหลี่ยมที่ไม่ทับซ้อนกันและผลรวมของสามเหลี่ยมเหล่านี้คือรูปหลายเหลี่ยมP ทั้งหมด การแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นnสามเหลี่ยมเรียกว่า การแบ่งรูปหลายเหลี่ยม nรูป และจะถูกจัดประเภทเป็นการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมคู่หรือการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมคี่ตามว่าnเป็นเลขคู่หรือเลขคี่^{[ 5 ]}

การแบ่งเท่าๆ กันคือการแบ่งที่สามเหลี่ยมทุกรูปมีพื้นที่เท่ากัน สำหรับรูปหลายเหลี่ยมPเซตของn ทั้งหมด ซึ่ง มีการแบ่งเท่าๆ กัน nส่วนของPเรียกว่าสเปกตรัมของPและใช้สัญลักษณ์S ( P ) เป้าหมายทางทฤษฎีทั่วไปคือการคำนวณสเปกตรัมของรูปหลายเหลี่ยมที่กำหนด^{[ 6 ]}

การแบ่งแยกเรียกว่าการแบ่งแยกแบบซิมพลิเชียลหากสามเหลี่ยมมาบรรจบกันเฉพาะตามขอบร่วมเท่านั้น ผู้เขียนบางคนจำกัดความสนใจไว้ที่การแบ่งแยกแบบซิมพลิเชียล โดยเฉพาะในเอกสารรอง เนื่องจากง่ายต่อการใช้งาน ตัวอย่างเช่น ข้อความปกติของทฤษฎีบทของสเปอร์เนอร์ใช้ได้เฉพาะกับการแบ่งแยกแบบซิมพลิเชียลเท่านั้น บ่อยครั้งที่การแบ่งแยกแบบซิมพลิเชียลเรียกว่าการแบ่งสามเหลี่ยมแม้ว่าจุดยอดของสามเหลี่ยมจะไม่จำกัดเฉพาะจุดยอดหรือขอบของรูปหลายเหลี่ยมก็ตาม ดังนั้นการแบ่งแยกแบบซิมพลิเชียลที่มีพื้นที่เท่ากันจึงเรียกว่า การแบ่งสามเหลี่ยม ที่มีพื้นที่เท่ากัน ด้วย ^{[ 7 ]}

เงื่อนไขสามารถขยายไปยังโพลีโทปที่ มีมิติสูงกว่าได้ : การแบ่งเท่าๆ กันคือเซตของซิมเพล็กซ์ ที่มี ปริมาตรnเท่ากัน^{[ 8 ]}

การหา การแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน n ส่วนสำหรับทุกค่า nนั้นทำได้ง่ายดังนั้น ถ้ารูปหลายเหลี่ยมมี การแบ่งออกเป็นส่วนเท่าๆ กัน mส่วนแล้ว รูปหลายเหลี่ยมนั้นก็จะมีการแบ่งออกเป็นส่วนเท่าๆ กันmnส่วนสำหรับทุกค่าn ด้วย ในความเป็นจริง สเปกตรัมของรูปหลายเหลี่ยมมักประกอบด้วยผลคูณของจำนวน mบางจำนวนอย่างแม่นยำในกรณีนี้ ทั้งสเปกตรัมและรูปหลายเหลี่ยมเรียกว่า รูปหลายเหลี่ยม หลักและสเปกตรัมจะถูกแทนด้วยสัญลักษณ์${\displaystyle \langle m\rangle }$[ ^{2 ]}ตัวอย่างเช่น สเปกตรัมของรูปสามเหลี่ยม^คือ${\displaystyle \langle 1\rangle }$ตัวอย่างง่ายๆ ของรูปหลายเหลี่ยมที่ไม่ใช่รูปหลักคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอด (0, 0), (1, 0), (0, 1), (3/2, 3/2); สเปกตรัมของมันประกอบด้วย 2 และ 3 แต่ไม่รวม 1 ^{[ 9 ]}

การแปลงเชิงเส้นของระนาบมีประโยชน์สำหรับการศึกษาการแบ่งเท่าๆ กัน รวมถึงการเลื่อนการปรับขนาดแบบสม่ำเสมอและไม่สม่ำเสมอการสะท้อนการหมุน การเฉือนและความคล้ายคลึง อื่นๆ และแผนที่เชิงเส้นเนื่องจากการแปลงเชิงเส้นจะรักษาเส้นตรงและอัตราส่วนของพื้นที่ไว้ จึงส่งการแบ่งเท่าๆ กันไปยังการแบ่งเท่าๆ กัน ซึ่งหมายความว่าเราสามารถใช้การแปลงเชิงเส้นใดๆ กับรูปหลายเหลี่ยมเพื่อให้ได้รูปทรงที่จัดการได้ง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น เป็นเรื่องปกติที่จะเลือกพิกัดเพื่อให้จุดยอดสามจุดของรูปหลายเหลี่ยมเป็น (0, 1), (0, 0) และ (1, 0) ^{[ 10 ]}

ข้อเท็จจริงที่ว่าการแปลงเชิงเส้นรักษาการแบ่งเท่าๆ กันยังหมายความว่าผลลัพธ์บางอย่างสามารถสรุปได้ง่าย ผลลัพธ์ทั้งหมดที่ระบุไว้สำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติยังใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยมปกติเชิงเส้น ด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลลัพธ์เกี่ยวกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วยยังใช้ได้กับรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานอื่นๆ รวมถึงสี่เหลี่ยมผืนผ้าและรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนผลลัพธ์ทั้งหมดที่ระบุไว้สำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่มี พิกัด จำนวนเต็มยังใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยมที่มี พิกัด จำนวนตรรกยะหรือรูปหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่บนแลตทิซ อื่น ๆ^{[ 11 ]}

ทฤษฎีบทของมอนสกีกล่าวว่า รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่มีการแบ่งเท่าๆ กันเป็นจำนวนคี่ ดังนั้นสเปกตรัมของมันจึงเป็น${\displaystyle \langle 2\rangle }$[ ^{1 ]}โดยทั่วไปแล้ว เป็นที่ทราบกันว่า รูปหลายเหลี่ยม สมมาตรศูนย์กลางและรูปหลายเหลี่ยมที่มี^มิติไม่มีการแบ่งเท่าๆ กันแบบคี่^{[ 12 ]}ข้อสันนิษฐานของเชอร์แมน เค. สไตน์เสนอว่าไม่มีรูปหลายเหลี่ยมพิเศษ ใด ที่มีการแบ่งเท่าๆ กันแบบคี่ โดยรูปหลายเหลี่ยมพิเศษคือรูปหลายเหลี่ยมที่ชั้นสมมูลของ ขอบ ขนานแต่ละชั้นรวมกันเป็นเวกเตอร์ศูนย์ สี่เหลี่ยมจัตุรัส รูป หลายเหลี่ยมสมมาตรศูนย์กลาง รูปหลายเหลี่ยมที่มีมิติและรูปหลายเหลี่ยมหกเหลี่ยมล้วนเป็นรูปหลายเหลี่ยมพิเศษ^{[ 13 ]}

สำหรับn > 4 สเปกตรัมของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าnด้าน คือ${\displaystyle \langle n\rangle }$[ ^{14 ] สำหรับ} n > 1 สเปกตรัมของ ลูกบาศก์ nมิติคือ${\displaystyle \langle n!\rangle }$โดยที่n ! คือแฟกทอเรียล^{ของ n [} 15 ]และ^{สเปกตรัมของ}ครอสโพลีโทปnมิติคือ${\displaystyle \langle 2^{n-1}\rangle }$. ต่อมาเป็นไปตามการพิสูจน์สำหรับทรงแปดเหลี่ยมใน^{[ 2 ]}

ให้T ( a ) เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูโดยที่aคืออัตราส่วนของความยาวด้านขนาน ถ้าaเป็นจำนวนตรรกยะแล้วT ( a ) เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหลัก ที่จริงแล้ว ถ้าr / sเป็นเศษส่วนอย่างง่ายที่สุดแล้ว${\displaystyle S(T(r/s))=\langle r+s\rangle }$[ ^{16 ]}โดยทั่วไปแล้วรูปหลายเหลี่ยมนูน ทั้งหมด ที่มีพิกัดเชิงตรรกะสามารถแบ่งเท่าๆ กันได้^{[ 17 ] แม้ว่ารูปหลาย เหลี่ยม}เหล่านั้นจะไม่ใช่รูปหลายเหลี่ยมหลักทั้งหมดก็ตาม ดูตัวอย่างข้างต้นของรูปว่าวที่มีจุดยอดอยู่ที่ (3/2, 3/2)

ในอีกขั้วหนึ่ง หากaเป็นจำนวนอดิศัยT ( a ) จะไม่มีการแบ่งเท่าๆ กัน โดยทั่วไปแล้ว ไม่มีรูปหลายเหลี่ยมใดที่มีพิกัดจุดยอดที่เป็นอิสระทางพีชคณิต ที่ จะมีการแบ่งเท่าๆ กัน^{[ 18 ]}ซึ่งหมายความว่า รูปหลายเหลี่ยม เกือบทั้งหมดที่มีด้านมากกว่าสามด้านไม่สามารถแบ่งเท่าๆ กันได้ แม้ว่ารูปหลายเหลี่ยมส่วนใหญ่จะไม่สามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากันได้ แต่รูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากันได้^{[ 19 ]}

ถ้าaเป็นจำนวนอตรรกยะเชิงพีชคณิต T ( a ) จะเป็นกรณีที่ซับซ้อนกว่า ถ้าaเป็นจำนวนเชิงพีชคณิตดีกรี 2 หรือ 3 ( กำลังสองหรือกำลังสาม) และตัวผกผัน ของมัน ทั้งหมดมีส่วนจริงเป็น บวก S ( T ( a )) จะมีn ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอทั้งหมด ซึ่งn /(1 + a ) เป็นจำนวนเต็มเชิงพีชคณิต [ ^{20 ] มี}การคาดการณ์ว่าเงื่อนไขที่คล้ายกันซึ่งเกี่ยวข้องกับพหุนามเสถียรอาจกำหนดได้ว่าสเปกตรัมว่างเปล่าสำหรับจำนวนเชิงพีชคณิตaทุกดีกรี หรือไม่ ^{[ 21 ]}

ริชแมนต้องการรวมคำถามเกี่ยวกับเรขาคณิตไว้ในข้อสอบ และเขาสังเกตเห็นว่าการหา (สิ่งที่เรียกว่า) การแบ่งเท่าๆ กันของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เป็นจำนวนคี่นั้นเป็นเรื่องยาก ริชแมนพิสูจน์ให้ตัวเองเห็นว่าเป็นไปไม่ได้สำหรับ 3 หรือ 5 การมีอยู่ของ การแบ่งเท่าๆ กันแบบ nบ่งชี้ถึงการมีอยู่ของการแบ่งเท่าๆ กันแบบ( n + 2)และรูปสี่เหลี่ยมบางรูปที่ใกล้เคียงกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสมากจะมีการแบ่งเท่าๆ กันที่เป็นจำนวนคี่^{[ 23 ]}อย่างไรก็ตาม เขาไม่ได้แก้ปัญหาทั่วไปของการแบ่งเท่าๆ กันของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เป็นจำนวนคี่ และเขาจึงไม่ได้ใส่คำถามนี้ไว้ในข้อสอบ จอห์น โทมัส เพื่อนของริชแมนเกิดความสนใจในปัญหานี้ ในความทรงจำของเขา

“ทุกคนที่ได้รับโจทย์ปัญหา (รวมถึงตัวผมเองด้วย) ต่างพูดทำนองว่า 'นั่นไม่ใช่เรื่องที่ผมเชี่ยวชาญ แต่คำถามนี้คงเคยถูกพิจารณามาแล้ว และคำตอบก็คงเป็นที่รู้จักกันดี' บางคนคิดว่าเคยเห็นมาก่อน แต่จำไม่ได้ว่าที่ไหน ผมสนใจเพราะมันทำให้ผมนึกถึงทฤษฎีบทของสเปอร์เนอร์ในวิชาโทโพโลยีซึ่งมีการพิสูจน์แบบเลขคี่-เลขคู่ที่ชาญฉลาด” ^{[ 24 ]}

โทมัสพิสูจน์ว่าการแบ่งเท่าแบบคี่เป็นไปไม่ได้หากพิกัดของจุดยอดเป็นจำนวนตรรกยะที่มีตัวส่วนเป็นเลขคี่ เขาได้ส่งบทพิสูจน์นี้ไปยังวารสารคณิตศาสตร์แต่ถูกระงับไว้ก่อน

“ปฏิกิริยาของผู้ตัดสินเป็นไปตามที่คาดไว้ เขาคิดว่าปัญหาอาจจะค่อนข้างง่าย (ถึงแม้เขาจะแก้ปัญหาไม่ได้) และอาจเป็นที่รู้จักกันดี (ถึงแม้เขาจะไม่พบข้อมูลอ้างอิงใดๆ)” ^{[ 25 ]}

คำถามดังกล่าวถูกนำเสนอเป็นปัญหาขั้นสูงในAmerican Mathematical Monthly ( Richman & Thomas 1967 ) แทน เมื่อไม่มีใครส่งคำตอบมา การพิสูจน์จึงถูกตีพิมพ์ในMathematics Magazine ( Thomas 1968 )สามปีหลังจากที่เขียนขึ้นMonsky (1970)จึงต่อยอดจากข้อโต้แย้งของ Thomas เพื่อพิสูจน์ว่าไม่มีการแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสออกเป็นส่วนเท่าๆ กันแบบคี่ โดยไม่ต้องมีข้อสมมติเกี่ยวกับความมีเหตุผลใดๆ^{[ 25 ]}

การพิสูจน์ของ Monsky อาศัยเสาหลักสองประการ ได้แก่ ผลลัพธ์ เชิงการจัดเรียงที่ขยายความของบทพิสูจน์ของ Sperner และผลลัพธ์เชิงพีชคณิต การมีอยู่ของ การประเมินค่า 2-adicบนจำนวนจริงการระบายสีระนาบอย่างชาญฉลาดจะบ่งชี้ว่าในการแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด อย่างน้อยหนึ่งสามเหลี่ยมจะมีพื้นที่ที่มีตัวส่วนเป็นเลขคู่ ดังนั้นการแบ่งเท่าๆ กันทั้งหมดจะต้องเป็นเลขคู่ สาระสำคัญของข้อโต้แย้งนี้พบได้อยู่แล้วในThomas (1968)แต่Monsky (1970)เป็นคนแรกที่ใช้การประเมินค่า 2-adic เพื่อครอบคลุมการแบ่งด้วยพิกัดใดๆ^{[ 26 ]}

การสรุปทั่วไปครั้งแรกของทฤษฎีบทของมอนสกีคือผลงานของมีด (1979)ซึ่งพิสูจน์ว่าสเปกตรัมของ ลูกบาศก์ nมิติคือ${\displaystyle \langle n!\rangle }$หลักฐานดังกล่าวได้รับการทบทวนอีกครั้งโดยBekker & Netsvetaev (1998 )

การสรุปทั่วไปเกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยมปกติเกิดขึ้นในปี 1985 ระหว่างการสัมมนาเรขาคณิตที่จัดโดย GD Chakerian ที่UC Davis Elaine Kasimatisนักศึกษาปริญญาโท “กำลังมองหาหัวข้อพีชคณิตบางอย่างที่เธอสามารถแทรกเข้าไปได้” ในการสัมมนา^{[ 6 ]} Sherman Stein แนะนำการแบ่งส่วนของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและลูกบาศก์: “หัวข้อที่ Chakerian ยอมรับอย่างไม่เต็มใจว่าเป็นเรขาคณิต” ^{[ 6 ]}หลังจากที่เธอพูดจบ Stein ถามเกี่ยวกับรูปห้าเหลี่ยมปกติ Kasimatis ตอบด้วยKasimatis (1989)ซึ่งพิสูจน์ว่าสำหรับn > 5 สเปกตรัมของรูปหลายเหลี่ยมปกติnด้านคือ${\displaystyle \langle n\rangle }$การพิสูจน์ของเธอสร้างขึ้นจากการพิสูจน์ของ Monsky โดยขยาย การประเมินค่า p -adic ไปยังจำนวนเชิงซ้อนสำหรับตัวหาร เฉพาะ ของn แต่ละตัว และใช้ผลลัพธ์พื้นฐานบางอย่างจากทฤษฎีของฟิลด์ไซโคลโทมิก นอกจากนี้ยังเป็นการพิสูจน์ครั้งแรกที่ใช้การแปลงเชิงเส้นตรงอย่างชัดเจนเพื่อตั้งค่าระบบพิกัดที่สะดวก^{[ 27 ]} จากนั้น Kasimatis & Stein (1990)ได้กำหนดปัญหาของการค้นหาสเปกตรัมของรูปหลายเหลี่ยมทั่วไป โดยแนะนำคำว่าสเปกตรัมและรูปหลายเหลี่ยมหลัก^{[ 6 ]}พวกเขาพิสูจน์ว่ารูปหลายเหลี่ยมเกือบทั้งหมดขาดการแบ่งเท่าๆ กัน และไม่ใช่รูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดที่เป็นรูปหลายเหลี่ยมหลัก^{[ 2 ]}

Kasimatis & Stein (1990)เริ่มศึกษาสเปกตรัมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองรูปแบบโดยเฉพาะ ได้แก่ รูปสี่เหลี่ยมคางหมูและรูปว่าว รูปสี่เหลี่ยมคางหมูได้รับการศึกษาเพิ่มเติมโดยJepsen (1996) , Monsky (1996)และJepsen & Monsky (2008)รูปว่าวได้รับการศึกษาเพิ่มเติมโดยJepsen, Sedberry & Hoyer (2009)รูปสี่เหลี่ยมทั่วไปได้รับการศึกษาในSu & Ding (2003)มีบทความหลายฉบับที่เขียนขึ้นที่มหาวิทยาลัยครูเหอเป่ยโดยส่วนใหญ่เขียนโดยศาสตราจารย์ Ding Ren และนักศึกษาของเขา Du Yatao และ Su Zhanjun ^{[ 28 ]}

ในการพยายามสรุปผลลัพธ์สำหรับรูปหลายเหลี่ยมปกติnด้านสำหรับnที่ เป็นจำนวน คู่ สไตน์ (1989)ตั้งข้อสันนิษฐานว่าไม่มีรูปหลายเหลี่ยมสมมาตรศูนย์กลางใดที่มีการแบ่งเท่าๆ กันเป็นจำนวนคี่ และเขาได้พิสูจน์ กรณี n = 6 และn = 8 ข้อสันนิษฐานทั้งหมดได้รับการพิสูจน์โดยมอนสกี (1990)สิบปีต่อมา สไตน์ได้สร้างสิ่งที่เขาอธิบายว่าเป็น "ความก้าวหน้าที่น่าประหลาดใจ" โดยตั้งข้อสันนิษฐานว่าไม่มีรูปหลายเหลี่ยมที่มีการแบ่งเท่าๆ กันเป็นจำนวนคี่ เขาได้พิสูจน์ผลลัพธ์ของรูปหลายเหลี่ยมที่มีจำนวนช่องสี่เหลี่ยมเป็นจำนวนคี่ในสไตน์ (1999)ข้อสันนิษฐานทั้งหมดได้รับการพิสูจน์เมื่อปราตอน (2002)พิจารณากรณีจำนวนคู่

หัวข้อเรื่องการแบ่งส่วนเท่าๆ กันเพิ่งได้รับความนิยมมากขึ้นเมื่อไม่นานมานี้จากบทความในThe Mathematical Intelligencer ( Stein 2004 ) , เล่มหนึ่งในชุดCarus Mathematical Monographs ( Stein & Szabó 2008 )และฉบับพิมพ์ครั้งที่สี่ของProofs from THE BOOK ( Aigner & Ziegler 2010 )