ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลข วิธี นิวตัน-ราฟสันหรือเรียกง่ายๆ ว่าวิธีของนิวตันซึ่งตั้งชื่อตามไอแซค นิวตันและโจเซฟ ราฟสันเป็นอัลกอริทึมการหาค่าราก ที่ให้ ค่าประมาณที่ดีขึ้นเรื่อยๆสำหรับราก (หรือศูนย์) ของฟังก์ชันค่าจริงเวอร์ชันพื้นฐานที่สุดเริ่มต้นด้วยฟังก์ชันค่าจริงf อนุพันธ์ของf ′และค่าเริ่มต้นx ₀สำหรับรากของfถ้าfเป็นไปตามข้อสมมติบางประการและค่าเริ่มต้นใกล้เคียงแล้ว

$${\displaystyle x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}}$$

เป็นค่าประมาณรากที่ดีกว่าx₀ในทางเรขาคณิต( x₁ _, 0) _คือจุด ตัด แกนxของเส้นสัมผัสกราฟของf ที่ ( x₀ , f ( x₀ ) )นั่นคือ ค่าประมาณที่ดีขึ้นx₁เป็นรากเดียวของการประมาณเชิงเส้นของf ที่ค่าประมาณเริ่มต้นx₀กระบวนการนี้จะ _{ถูกทำซ้ำดังนี้}

$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}$$

จนกว่าจะได้ค่าที่แม่นยำเพียงพอ จำนวนหลักที่ถูกต้องจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าโดยประมาณในแต่ละขั้นตอน อัลกอริทึมนี้เป็นอัลกอริทึมแรกในกลุ่มวิธีของ Householderและต่อมาได้พัฒนาเป็นวิธีของ Halleyวิธีนี้ยังสามารถขยายไปใช้กับฟังก์ชันเชิงซ้อนและระบบสมการได้ อีกด้วย

จุดประสงค์ของวิธีของนิวตันคือการหาค่ารากของฟังก์ชัน แนวคิดคือเริ่มต้นด้วยการคาดเดาค่ารากเบื้องต้นที่อยู่ใกล้ราก จากนั้นประมาณค่าฟังก์ชันโดยใช้เส้นสัมผัสที่ อยู่ใกล้ค่าคาดเดา แล้วจึงหาค่ารากของการประมาณเชิงเส้นเป็นค่าคาดเดาถัดไปของรากฟังก์ชัน โดยทั่วไปแล้วค่าที่ได้จะอยู่ใกล้รากของฟังก์ชันมากกว่าค่าคาดเดาครั้งก่อน และสามารถทำ ซ้ำวิธีนี้ได้

การประมาณเชิงเส้นที่ดีที่สุดของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ ได้ใดๆ ใกล้จุดนั้นคือ เส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ซึ่งมีสมการ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x=x_{n}}$

$${\displaystyle f(x)\approx f(x_{n})+f'(x_{n})(x-x_{n}).}$$

รากของฟังก์ชันเชิงเส้นนี้ ซึ่งเป็นจุดที่ฟังก์ชันตัดกับแกน x สามารถ${\displaystyle x}$นำมาใช้เป็นรากโดยประมาณที่ใกล้เคียงกว่าได้${\displaystyle x_{n+1}}$ถ้า: ${\displaystyle f'(x_{n})\neq 0}$

$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}.}$$

กระบวนการนี้สามารถเริ่มต้นได้ด้วยค่าเริ่มต้นที่คาดเดาใดๆ ก็ได้อย่างไรก็ตามโดย${\displaystyle x_{0}}$ทั่วไปแล้วจะใช้จำนวนรอบการคำนวณน้อยลงหากค่าเริ่มต้นที่คาดเดานั้นอยู่ใกล้กับรากใดรากหนึ่งของฟังก์ชัน วิธีการนี้มักจะลู่เข้าหากนอกจากนี้${\displaystyle f'(x_{0})\neq 0}$สำหรับรากที่มีความซ้ำซ้อน  1 การลู่เข้าจะเป็นอย่างน้อยกำลังสอง (ดูอัตราการลู่เข้า ) ในบริเวณใกล้เคียงรากที่มีขนาดเล็กพอสมควร: จำนวนหลักที่ถูกต้องของการประมาณค่าจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าโดยประมาณในแต่ละขั้นตอนเพิ่มเติม รายละเอียดเพิ่มเติมสามารถพบได้ในหัวข้อ§ การวิเคราะห์ด้านล่าง

วิธีการของ Householderคล้ายคลึงกัน แต่มีลำดับที่สูงกว่า ทำให้ลู่เข้าได้เร็วยิ่งขึ้น อย่างไรก็ตาม การคำนวณเพิ่มเติมที่จำเป็นในแต่ละขั้นตอนอาจทำให้ประสิทธิภาพโดยรวมช้าลงเมื่อเทียบกับวิธีการของ Newton โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากหรืออนุพันธ์${\displaystyle f}$ของมัน มีค่าใช้จ่ายในการคำนวณสูง

ใน สมัย บาบิโลนโบราณ (ศตวรรษที่ 19–16 ก่อนคริสตกาล) สามารถประมาณด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ที่ทราบได้อย่างมีประสิทธิภาพ และสันนิษฐานว่าทำได้โดยใช้วิธีของนิวตันในกรณีพิเศษ ซึ่งอธิบายไว้ในเชิงพีชคณิตด้านล่างโดยการปรับปรุงการประมาณค่าเริ่มต้นแบบวนซ้ำ วิธีที่เทียบเท่ากันสามารถพบได้ในMetricaของHero แห่ง Alexandria (ศตวรรษที่ 1–2 หลังคริสตกาล) ดังนั้นจึงมักเรียกว่าวิธีของ Heron ^{[ 1 ]} Jamshīd al-Kāshīใช้วิธีการแก้สมการx P ⁻ N = 0เพื่อหารากของNซึ่งเป็นวิธีที่เทียบเท่ากับวิธีของนิวตันในเชิงพีชคณิต และพบวิธีที่คล้ายกันในTrigonometria Britannicaซึ่งตีพิมพ์โดยHenry Briggsในปี 1633 ^{[ 2 ]} วิธีของเขาปรากฏครั้งแรกใน Miftāḥ al-Ḥisāb ( กุญแจสู่เลขคณิต ) ที่ตีพิมพ์ในปี 1427 ^{[ 3 ]}งานของอัล-กาชีมีพื้นฐานมาจากผลงานก่อนหน้านี้ของนักปราชญ์อัล-บีรูนี (973–1048) และนักคณิตศาสตร์ชารัฟ อัล-ดิน อัล-ตูซี (1135–1213) ผลงานของอัล-กาชีส่วนใหญ่ไม่เป็นที่รู้จักในวงการวิทยาศาสตร์ตะวันตกเป็นเวลาหลายศตวรรษ จนกระทั่งงานของฟรองซัวส์ วีแยต (1540–1603) ในปี ค.ศ. 1600 วีแยตได้ค้นพบเทคนิคที่คล้ายกับของอัล-กาชีอีกครั้งในบริบทของการแก้สมการพหุนามสเกลาร์ดีกรีหก^{[ 3 ]}

วิธีการที่วางรากฐานสำหรับสิ่งที่ปัจจุบันคือวิธีการของนิวตันสมัยใหม่ ซึ่งต่อมาได้รับการพัฒนาโดยโจเซฟ ราฟสันและโทมัส ซิมป์สันปรากฏครั้งแรกในงานของไอแซค นิวตัน ใน De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (เขียนในปี 1669 ตีพิมพ์ในปี 1711 โดยวิลเลียม โจนส์ ) และในDe metodis fluxionum et serierum infinitarum (เขียนในปี 1671 แปลและตีพิมพ์เป็นMethod of Fluxionsในปี 1736 โดยจอห์น คอลสัน ) ^{[ 4 ] [ 2 ] [ 5 ]}อย่างไรก็ตาม แม้ว่านิวตันจะให้แนวคิดพื้นฐาน แต่วิธีการของเขาก็แตกต่างจากวิธีการสมัยใหม่ที่กล่าวมาข้างต้น เขาใช้วิธีการนี้กับพหุนามเท่านั้น โดยเริ่มต้นด้วยการประมาณค่ารากเริ่มต้นและดึงลำดับของการแก้ไขข้อผิดพลาดออกมา เขาใช้การแก้ไขแต่ละครั้งเพื่อเขียนพหุนามใหม่ในรูปของข้อผิดพลาดที่เหลืออยู่ จากนั้นจึงแก้หาการแก้ไขใหม่โดยการละเลยพจน์ที่มีดีกรีสูงกว่า เขาไม่ได้เชื่อมโยงวิธีการนี้กับอนุพันธ์หรือนำเสนอสูตรทั่วไปอย่างชัดเจน นิวตันใช้วิธีนี้กับทั้งปัญหาเชิงตัวเลขและเชิงพีชคณิต โดยสร้างอนุกรมเทย์เลอร์ในกรณีหลัง อย่างไรก็ตาม ในฉบับพิมพ์ครั้งที่สองและสามของหนังสือPhilosophiæ Naturalis Principia Mathematica ของนิวตันในปี ค.ศ. 1687 เขาได้ใช้วิธีนี้ในลักษณะวนซ้ำกับสมการที่ไม่ใช่พหุนาม โดยเฉพาะสมการของเคปเลอร์ซึ่งเป็นการใช้วิธีของนิวตันในรูปแบบนี้เป็นครั้งแรกที่ตีพิมพ์^{[ 2 ]}

นิวตันอาจได้รับวิธีการของเขามาจากวิธีการที่คล้ายกันแต่มีความแม่นยำน้อยกว่าของนักคณิตศาสตร์ Viète อย่างไรก็ตาม วิธีการทั้งสองไม่เหมือนกัน^{[ 4 ]}สาระสำคัญของวิธีการของ Viète สามารถพบได้ในงานของนักคณิตศาสตร์Sharaf al-Din al- Tusi ^{[ 6 ]}

นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นSeki Kōwaใช้รูปแบบหนึ่งของวิธีการของนิวตันในช่วงทศวรรษ 1680 เพื่อแก้สมการตัวแปรเดียว แม้ว่าจะไม่มี การเชื่อมโยงกับ แคลคูลัส ก็ตาม ^{[ 7 ]}

วิธีของนิวตันได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกในปี ค.ศ. 1685 ในA Treatise of Algebra both Historical and PracticalโดยJohn Wallis [ ^{8 ] ใน}ปี ค.ศ. 1690 Raphson ได้ตีพิมพ์คำอธิบายที่ง่ายขึ้นในAnalysis aequationum universalis [ ^{9 ] Raphson}ยังใช้วิธีนี้กับพหุนามเท่านั้น แต่เขาหลีกเลี่ยงกระบวนการเขียนใหม่ที่ยุ่งยากของนิวตันโดยการดึงการแก้ไขที่ต่อเนื่องกันแต่ละครั้งจากพหุนามดั้งเดิม ซึ่งทำให้เขาสามารถสร้างนิพจน์แบบวนซ้ำที่สามารถนำกลับมาใช้ใหม่ได้สำหรับแต่ละปัญหา ในที่สุด ในปี ค.ศ. 1740 Simpson ได้อธิบายวิธีของนิวตันว่าเป็นวิธีการวนซ้ำสำหรับการแก้สมการไม่เชิงเส้นทั่วไปโดยใช้แคลคูลัส ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วให้คำอธิบายข้างต้น ในสิ่งพิมพ์เดียวกัน Simpson ยังให้การวางนัยทั่วไปสำหรับระบบสมการสองสมการและสังเกตว่าวิธีของนิวตันสามารถใช้สำหรับการแก้ปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดโดยการตั้งค่าเกรเดียนต์เป็นศูนย์

ในปี ค.ศ. 1879 อาร์เธอร์ เคย์ลีย์ในงานเขียนเรื่อง "ปัญหาจินตนาการของนิวตัน-ฟูริเยร์"เป็นคนแรกที่สังเกตเห็นความยากลำบากในการขยายวิธีการของนิวตันไปสู่รากเชิงซ้อนของพหุนามที่มีดีกรีมากกว่า 2 และค่าเริ่มต้นเชิงซ้อน ซึ่งเปิดทางไปสู่การศึกษาทฤษฎีการวนซ้ำของฟังก์ชันตรรกยะ

วิธีของนิวตันเป็นเทคนิคที่มีประสิทธิภาพ—หากอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่รากไม่เป็นศูนย์การลู่เข้าจะเป็นอย่างน้อยในระดับกำลังสอง: เมื่อวิธีการลู่เข้าสู่ราก ความแตกต่างระหว่างรากและค่าประมาณจะเพิ่มขึ้นเป็นกำลังสอง (จำนวนหลักที่แม่นยำเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าโดยประมาณ) ในแต่ละขั้นตอน อย่างไรก็ตาม วิธีการนี้ก็มีข้อจำกัดบางประการ

วิธีของนิวตันต้องการให้สามารถคำนวณอนุพันธ์ได้โดยตรง การหาค่าอนุพันธ์ในรูปสมการเชิงวิเคราะห์อาจทำได้ยากหรือไม่ก็อาจมีค่าใช้จ่ายสูง ในสถานการณ์เช่นนี้ การประมาณค่าอนุพันธ์โดยใช้ความชันของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดที่อยู่ใกล้กันบนฟังก์ชันอาจเหมาะสมกว่า การใช้การประมาณค่านี้จะให้ผลลัพธ์คล้ายกับวิธีซีแคนต์ซึ่งมีการลู่เข้าช้ากว่าวิธีของนิวตัน

ก่อนนำไปใช้จริง จำเป็นต้องทบทวนการพิสูจน์การลู่เข้าแบบกำลังสองของวิธีของนิวตันเสียก่อน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ควรทบทวนข้อสมมติที่ใช้ในการพิสูจน์ ในกรณีที่วิธีไม่สามารถลู่เข้าได้ นั่นเป็นเพราะข้อสมมติที่ใช้ในการพิสูจน์นั้นไม่เป็นไปตามเงื่อนไข

ตัวอย่างเช่นในบางกรณีหากอนุพันธ์อันดับแรกมีพฤติกรรมไม่ดีในบริเวณใกล้เคียงกับรากใดรากหนึ่ง วิธีของนิวตันอาจไม่สามารถลู่เข้าได้ไม่ว่าการกำหนดค่าเริ่มต้นจะอยู่ที่ใดก็ตาม ในบางกรณี วิธีของนิวตันสามารถทำให้เสถียรได้โดยใช้การผ่อนคลายเกินพิกัดแบบต่อเนื่องหรือสามารถเพิ่มความเร็วในการลู่เข้าได้โดยใช้วิธีเดียวกันนี้

ในการนำวิธีของนิวตันไปใช้อย่างมีประสิทธิภาพ มักจะมีการกำหนดข้อจำกัดเกี่ยวกับจำนวนรอบการทำซ้ำ จำกัดขอบเขตของคำตอบให้อยู่ในช่วงที่ทราบว่ามีรากอยู่ และรวมวิธีการนี้เข้ากับวิธีการหารากที่มีประสิทธิภาพมากกว่า

หากรากที่ต้องการค้นหามีความซ้ำซ้อนมากกว่าหนึ่ง อัตราการลู่เข้าจะเป็นเพียงเชิงเส้น (ข้อผิดพลาดลดลงด้วยปัจจัยคงที่ในแต่ละขั้นตอน) เว้นแต่จะมีการดำเนินการพิเศษ เมื่อมีรากสองรากหรือมากกว่าที่อยู่ใกล้กัน อาจต้องใช้การวนซ้ำหลายครั้งก่อนที่ค่าที่วนซ้ำจะเข้าใกล้รากใดรากหนึ่งมากพอจนเห็นการลู่เข้าแบบกำลังสองได้อย่างชัดเจน อย่างไรก็ตาม หากทราบความซ้ำซ้อนmของราก อัลกอริทึมที่แก้ไขต่อไปนี้จะรักษาอัตราการลู่เข้าแบบกำลังสองไว้: ^{[ 10 ]}

$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-m{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}.}$$

วิธีนี้เทียบเท่ากับการใช้การผ่อนคลายเกินพิกัดแบบต่อเนื่องในทางกลับกัน หากไม่ทราบค่าความซ้ำซ้อนmของราก ก็สามารถประมาณค่าm ได้ หลังจากทำการวนซ้ำหนึ่งหรือสองรอบ แล้วใช้ค่านั้นเพื่อเพิ่มอัตราการล convergence

ถ้าความซ้ำซ้อนmของรากมีค่าจำกัดแล้วg ( x ) = ⁠เอฟ ( x )/ฟ′ ( x )จะมีรากอยู่ที่ตำแหน่งเดียวกันโดยมีจำนวนซ้ำ 1 การใช้วิธีของนิวตันเพื่อหารากของ g ( x )จะได้การลู่เข้าแบบกำลังสองในหลายกรณี แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วจะเกี่ยวข้องกับอนุพันธ์อันดับสองของ f ( x ) ^{ก็ตาม}ในกรณีที่ง่ายเป็นพิเศษ ถ้า f ( x ) = xmแล้ว g ( x ) =x/มและวิธีการของนิวตันสามารถหาคำตอบได้ในการวนซ้ำเพียงครั้งเดียวด้วย

$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {g(x_{n})}{g'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {\;{\frac {x_{n}}{m}}\;}{\frac {1}{m}}}=0\,.}$$

ฟังก์ชันf ( x ) = x ²มีรากที่ 0 ^{[ 11 ]}เนื่องจากfสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องที่ราก ทฤษฎีจึงรับประกันว่าวิธีการของนิวตันที่เริ่มต้นใกล้กับรากมากพอจะลู่เข้า อย่างไรก็ตาม เนื่องจากอนุพันธ์f ′เป็นศูนย์ที่ราก การลู่เข้าแบบกำลังสองจึงไม่ได้รับการรับประกันโดยทฤษฎี ในตัวอย่างนี้ การวนซ้ำของนิวตันกำหนดโดย

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}={\frac {1}{2}}x_{n}.}$

จากที่กล่าวมาจะเห็นได้ว่า วิธีของนิวตันสามารถกำหนดค่าเริ่มต้นได้ทุกที่และลู่เข้าสู่ศูนย์ แต่ในอัตราเชิงเส้นเท่านั้น หากกำหนดค่าเริ่มต้นที่ 1 จะต้องทำการคำนวณซ้ำหลายสิบครั้งก่อนที่จะได้ความแม่นยำระดับสิบหลัก

ฟังก์ชันf ( x ) = x + x⁴ ^/³ยังมีรากที่ 0 ซึ่งเป็นจุดที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง แม้ว่าอนุพันธ์อันดับแรกf ′จะไม่เป็นศูนย์ที่ราก แต่อนุพันธ์อันดับสองf ′′ไม่มีอยู่จริงที่นั่น ดังนั้นจึงไม่สามารถรับประกันการลู่เข้าแบบกำลังสองได้ ในความเป็นจริง การวนซ้ำของนิวตันกำหนดโดย

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}={\frac {x_{n}^{4/3}}{3+4x_{n}^{1/3}}}\approx x_{n}\cdot {\frac {x_{n}^{1/3}}{3}}.}$

จากนี้จะเห็นได้ว่าอัตราการลู่เข้าเป็นแบบซูเปอร์ลิเนียร์แต่เป็นแบบซับควาดราติก สามารถเห็นได้จากตารางต่อไปนี้ โดยด้านซ้ายแสดงวิธีการของนิวตันที่ใช้กับf ( x ) = x + x⁴ ^/³ ข้างต้น และด้านขวาแสดงวิธีการของนิวตันที่ใช้กับf ( x ) = x + x² การลู่เข้าแบบควาดราติกในการวนซ้ำที่แสดงทางด้านขวาแสดงให้เห็นได้จากลำดับขนาดของระยะห่างจากค่าที่วนซ้ำไปยังรากที่แท้จริง (0, 1, 2, 3 ^, 5, 10, 20, 39,...) ซึ่งเพิ่มขึ้นประมาณสองเท่าจากแถวหนึ่งไปยังอีกแถวหนึ่ง ในขณะที่การลู่เข้าทางด้านซ้ายเป็นแบบซูเปอร์ลิเนียร์ แต่ลำดับขนาดเพิ่มขึ้นเพียงประมาณ 4/3 จากแถวหนึ่งไปยังอีกแถวหนึ่ง (0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 13,...)

อัตราการลู่เข้าแตกต่างจากจำนวนรอบการทำซ้ำที่จำเป็นเพื่อให้ได้ความแม่นยำที่กำหนด ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันf ( x ) = x²⁰ − 1 ^มีรากที่ 1 เนื่องจากf ′(1) ≠ 0และfเป็นฟังก์ชันเรียบ จึงทราบได้ว่าการทำซ้ำแบบนิวตันใดๆ ที่ลู่เข้าสู่ 1 จะลู่เข้าแบบกำลังสอง อย่างไรก็ตาม หากเริ่มต้นที่ 0.5 การทำซ้ำครั้งแรกๆ ของวิธีนิวตันจะมีค่าประมาณ 26214, 24904, 23658, 22476 ลดลงอย่างช้าๆ โดยมีเพียงการทำซ้ำครั้งที่ 200 เท่านั้นที่มีค่า 1.0371 การทำซ้ำครั้งต่อๆ ไปคือ 1.0103, 1.00093, 1.0000082 และ 1.00000000065 ซึ่งแสดงให้เห็นถึงการลู่เข้าแบบกำลังสอง สิ่งนี้เน้นว่าการลู่เข้าแบบกำลังสองของการวนซ้ำของนิวตันไม่ได้หมายความว่าจะต้องใช้การวนซ้ำเพียงไม่กี่ครั้งเท่านั้น ซึ่งใช้ได้เฉพาะเมื่อลำดับของการวนซ้ำอยู่ใกล้กับรากมากพอ^{[ 12 ]}

ฟังก์ชันf ( x ) = x (1 + x ² ) ^−1/2มีรากที่ 0 การวนซ้ำของนิวตันกำหนดโดย

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {x_{n}(1+x_{n}^{2})^{-1/2}}{(1+x_{n}^{2})^{-3/2}}}=-x_{n}^{3}.}$

จากสิ่งนี้ จะเห็นได้ว่ามีปรากฏการณ์ที่เป็นไปได้สามประการสำหรับการวนซ้ำของนิวตัน หากเริ่มต้นอย่างเคร่งครัดระหว่าง±1การวนซ้ำของนิวตันจะลู่เข้าสู่ 0 แบบ (ซูเปอร์)กำลังสอง หากเริ่มต้นที่1หรือ−1 อย่างแม่นยำ การวนซ้ำของนิวตันจะแกว่งไปมาอย่าง ไม่มีที่สิ้นสุดระหว่าง±1หากเริ่มต้นที่อื่นใด การวนซ้ำของนิวตันจะลู่เข้า^{[ 13 ]}การแบ่งสามประการแบบเดียวกันนี้เกิดขึ้นสำหรับf ( x ) = arctan x ^{[ 11 ]}

ในกรณีที่ฟังก์ชันที่เป็นปัญหามีรากหลายราก การควบคุมว่ารากใด (ถ้ามี) จะถูกระบุโดยวิธีของนิวตันผ่านการเลือกค่าเริ่มต้นอาจทำได้ยาก ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันf ( x ) = x ( x ² − 1)( x − 3)e ^{−( x − 1) 2 /2}มีรากที่ −1, 0, 1 และ 3 ^{[ 14 ]}หากกำหนดค่าเริ่มต้นที่ −1.488 การวนซ้ำของนิวตันจะลู่เข้าสู่ 0 หากกำหนดค่าเริ่มต้นที่ −1.487 จะลู่เข้าสู่ ∞ หากกำหนดค่าเริ่มต้นที่ −1.486 จะลู่เข้าสู่ −1 หากกำหนดค่าเริ่มต้นที่ −1.485 จะลู่เข้าสู่−∞หากกำหนดค่าเริ่มต้นที่ −1.4843 จะลู่เข้าสู่ 3 หากกำหนดค่าเริ่มต้นที่ −1.484 จะลู่เข้าสู่1การพึ่งพาการเริ่มต้นอย่างละเอียดอ่อนในลักษณะนี้ไม่ใช่เรื่องแปลก มักมีการศึกษาในระนาบเชิงซ้อนในรูปแบบของแฟรกทัลนิวตัน

พิจารณาปัญหาการหาคำตอบของสมการf ( x ) = x¹ ^/³วิธีการวนซ้ำของนิวตันคือ

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {x_{n}^{1/3}}{{\frac {1}{3}}x_{n}^{-2/3}}}=-2x_{n}.}$

เว้นแต่ว่าวิธีการของนิวตันจะเริ่มต้นที่รากที่แน่นอนคือ 0 จะเห็นได้ว่าลำดับของการวนซ้ำจะไม่ลู่เข้า ตัวอย่างเช่น แม้ว่าจะเริ่มต้นด้วยค่าประมาณที่ค่อนข้างแม่นยำที่ 0.001 การวนซ้ำครั้งแรก ๆ ก็จะเป็น −0.002, 0.004, −0.008, 0.016 ไปจนถึง 1048.58, −2097.15, ... ในการวนซ้ำครั้งที่ 20 ความล้มเหลวในการลู่เข้านี้ไม่ขัดแย้งกับทฤษฎีเชิงวิเคราะห์ เนื่องจากในกรณีนี้fไม่สามารถหาอนุพันธ์ที่รากได้

ในตัวอย่างข้างต้น ความล้มเหลวของการลู่เข้าสะท้อนให้เห็นจากการที่f ( x, _n )ไม่เข้าใกล้ศูนย์มากขึ้นเมื่อn เพิ่มขึ้น เช่นเดียวกับข้อเท็จจริงที่ว่าค่าที่ได้จากการวนซ้ำแต่ละครั้ง ^นั้นห่างกันมากขึ้นเรื่อยๆ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันf ( x ) = x¹ ^/ ³e⁻ˣ² ก็มีรากที่ 0 ^{เช่น กัน การวนซ้ำแบบนิ ว}ตันกำหนดโดย

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}\left(1-{\frac {3}{1-6x_{n}^{2}}}\right).}$

ในตัวอย่างนี้ ซึ่งfไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่รากอีกครั้ง การวนซ้ำของนิวตันใดๆ ที่ไม่ได้เริ่มต้นที่รากพอดีจะล diverge แต่ทั้งx _{n + 1} − x _nและf ( x _n )จะลู่เข้าสู่ศูนย์^{[ 15 ]}สิ่งนี้เห็นได้จากตารางต่อไปนี้ที่แสดงการวนซ้ำด้วยการเริ่มต้น 1:

แม้ว่าการลู่เข้าของx _{n + 1} − x _nในกรณีนี้จะไม่รวดเร็วมากนัก แต่ก็สามารถพิสูจน์ได้จากสูตรการวนซ้ำ ตัวอย่างนี้เน้นให้เห็นถึงความเป็นไปได้ที่เกณฑ์การหยุดของวิธีของนิวตันซึ่งอิงตามความเล็กของx _{n + 1} − x _nและf ( x _n ) เพียงอย่างเดียว อาจระบุรากผิดพลาดได้

เป็นเรื่องง่ายที่จะพบสถานการณ์ที่วิธีการของนิวตันแกว่งไปมาอย่างไม่มีที่สิ้นสุดระหว่างค่าสองค่าที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น สำหรับวิธีการของนิวตันที่ใช้กับฟังก์ชันfเพื่อให้แกว่งไปมาระหว่าง 0 และ 1 นั้น จำเป็นเพียงแค่เส้นสัมผัสของfที่ 0 ตัดกับ แกน xที่ 1 และเส้นสัมผัสของfที่ 1 ตัดกับ แกน xที่ 0 ^{[ 15 ]}ตัวอย่างเช่น กรณีนี้เกิดขึ้นเมื่อf ( x ) = x ³ − 2 x + 2สำหรับฟังก์ชันนี้ การวนซ้ำของนิวตันที่เริ่มต้นใกล้กับ 0 หรือ 1 มากพอ จะแกว่งไปมาระหว่างค่าเหล่านี้อย่างไม่มีที่สิ้นสุดตัวอย่างเช่น วิธีของนิวตันที่เริ่มต้นด้วยค่า 0.99 จะให้ค่าการวนซ้ำเป็น 0.99, −0.06317, 1.00628, 0.03651, 1.00196, 0.01162, 1.00020, 0.00120, 1.000002 และอื่นๆ พฤติกรรมนี้เกิดขึ้นแม้ว่าจะมีรากของfที่ประมาณเท่ากับ −1.76929 ก็ตาม

ในบางกรณี อาจไม่สามารถดำเนินการวนซ้ำแบบนิวตันได้เลย ตัวอย่างเช่น ถ้า^f ( x ) = x² − 1การวนซ้ำแบบนิวตันจะถูกกำหนดโดย

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {x_{n}^{2}-1}{2x_{n}}}={\frac {x_{n}^{2}+1}{2x_{n}}}.}$

ดังนั้น วิธีของนิวตันจึงไม่สามารถเริ่มต้นที่ 0 ได้ เนื่องจากจะทำให้x ₁หาค่าไม่ได้ ในทางเรขาคณิต เป็นเพราะเส้นสัมผัสของfที่ 0 เป็นเส้นแนวนอน (นั่นคือf ′(0) = 0 ) ซึ่งจะไม่ตัดกับแกน x เลย

แม้ว่าจะเลือกการกำหนดค่าเริ่มต้นเพื่อให้การวนซ้ำแบบนิวตันสามารถเริ่มต้นได้ ปรากฏการณ์เดียวกันนี้ก็อาจขัดขวางไม่ให้การวนซ้ำดำเนินต่อไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุดได้

ถ้าfมีโดเมนไม่สมบูรณ์ วิธีของนิวตันอาจส่งค่าการวนซ้ำออกไปนอกโดเมน ทำให้ไม่สามารถดำเนินการวนซ้ำต่อไปได้^{[ 15 ]}ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติf ( x ) = ln xมีรากที่ 1 และกำหนดไว้เฉพาะสำหรับx ที่เป็นบวกเท่านั้น การวนซ้ำของนิวตันในกรณีนี้กำหนดโดย

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}(1-\ln x_{n}).}$

ดังนั้น หากการวนซ้ำเริ่มต้นที่ค่า eค่าการวนซ้ำครั้งถัดไปจะเป็น 0; หากการวนซ้ำเริ่มต้นที่ค่ามากกว่าeค่าการวนซ้ำครั้งถัดไปจะเป็นค่าลบ ในทั้งสองกรณี วิธีการนี้ไม่สามารถดำเนินการต่อได้

สมมติว่าฟังก์ชันfมี ค่าเป็นศูนย์ที่αนั่นคือf ( α ) = 0และfสามารถหาอนุพันธ์ได้ในบริเวณใกล้เคียงของα

ถ้าf เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องและอนุพันธ์ของ ^fไม่เป็นศูนย์ที่  αแล้วจะมีบริเวณใกล้เคียงของαที่สำหรับค่าเริ่มต้นx ₀ ทั้งหมด ในบริเวณใกล้เคียงนั้นลำดับ( x _n )จะลู่เข้าสู่α [ ^{16 ]}

ถ้าf เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง อนุพันธ์ของ fไม่เป็นศูนย์ที่  αและมีอนุพันธ์อันดับสองที่  αแล้ว การลู่เข้าจะเป็นแบบกำลังสองหรือเร็วกว่านั้น ถ้าอนุพันธ์อันดับสองไม่เป็นศูนย์ที่αการลู่เข้าจะเป็นเพียงแบบกำลังสอง ถ้าอนุพันธ์อันดับสามมีอยู่และมีขอบเขตในบริเวณใกล้เคียงαแล้ว:

$${\displaystyle \Delta x_{i+1}={\frac {f''(\alpha )}{2f'(\alpha )}}\left(\Delta x_{i}\right)^{2}+O\left(\Delta x_{i}\right)^{3}\,,}$$

ที่ไหน

$${\displaystyle \Delta x_{i}\triangleq x_{i}-\alpha \,.}$$

ถ้าอนุพันธ์เป็น 0 ที่αการลู่เข้ามักจะเป็นแบบเชิงเส้นเท่านั้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าfเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์อันดับสองได้อย่างต่อเนื่องf ′ ( α ) = 0และf ″ ( α ) ≠ 0แล้วจะมีบริเวณใกล้เคียงของα อยู่ ซึ่งสำหรับค่าเริ่มต้นx ₀ ทั้งหมด ในบริเวณใกล้เคียงนั้น ลำดับของการวนซ้ำจะลู่เข้าแบบเชิงเส้นด้วยอัตรา⁠1/2[ ^{17 ]}หรืออีกทางหนึ่ง ถ้าf ′ ( α ) = 0และf ′ ( x ) ≠ 0 ^{สำหรับ} x ≠ α โดยที่x  อยู่ในบริเวณใกล้เคียงUของαโดย ที่ αเป็นศูนย์ที่มีความซ้ำซ้อนrและถ้าf ∈ C ^r ( U )แล้วจะมีบริเวณใกล้เคียงของα อยู่ เช่นนั้น สำหรับค่าเริ่มต้นx ₀ ทั้งหมด ในบริเวณใกล้เคียงนั้น ลำดับของการวนซ้ำจะลู่เข้าเชิงเส้น

อย่างไรก็ตาม แม้แต่การลู่เข้าเชิงเส้นก็ไม่ได้รับการรับประกันในสถานการณ์ที่ผิดปกติ

ในทางปฏิบัติ ผลลัพธ์เหล่านี้เป็นเพียงผลลัพธ์เฉพาะที่ และไม่สามารถทราบขอบเขตของการลู่เข้าล่วงหน้าได้ แต่ก็มีผลลัพธ์บางอย่างเกี่ยวกับการลู่เข้าแบบทั่วโลกเช่นกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดขอบเขตด้านขวาU ₊ของα _แล้วถ้าfสามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้ในU ₊และถ้าf ′ ≠ 0 , f · f ″ > 0ในU ₊แล้ว สำหรับแต่ละx0ในU ₊ลำดับxkจะลดลงอย่างต่อเนื่องไป _สู่ ​​α

ตามทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ฟังก์ชันf ( x ) ใดๆ ที่มีอนุพันธ์อันดับสองต่อเนื่อง สามารถแสดงได้ด้วยการกระจายอนุกรมรอบจุดที่อยู่ใกล้กับรากของf ( x )สมมติว่ารากนี้คือαดังนั้นการกระจายอนุกรมของf ( α )รอบxn _คือ :

${\displaystyle f(\alpha )=f(x_{n})+f'(x_{n})(\alpha -x_{n})+R_{1}\,}$

1

โดยที่รูปแบบลากรางจ์ของส่วนที่เหลือจากการขยายอนุกรมเทย์เลอร์คือ

$${\displaystyle R_{1}={\frac {1}{2!}}f''(\xi _{n})\left(\alpha -x_{n}\right)^{2}\,,}$$

โดยที่ξ n _อยู่ระหว่างx _nและα

เนื่องจากαเป็นราก ดังนั้น ( 1 ) จึงกลายเป็น:

${\displaystyle 0=f(\alpha )=f(x_{n})+f'(x_{n})(\alpha -x_{n})+{\tfrac {1}{2}}f''(\xi _{n})\left(\alpha -x_{n}\right)^{2}\,}$

2

หารสมการ ( 2 ) ด้วยf ′ ( x _n )และจัดเรียงใหม่จะได้

${\displaystyle {\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}+\left(\alpha -x_{n}\right)={\frac {-f''(\xi _{n})}{2f'(x_{n})}}\left(\alpha -x_{n}\right)^{2}}$

3

โปรดจำไว้ว่าx _{n + 1}ถูกกำหนดโดย

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}\,,}$

4

พบว่า

$${\displaystyle \underbrace {\alpha -x_{n+1}} _{\varepsilon _{n+1}}={\frac {-f''(\xi _{n})}{2f'(x_{n})}}{(\,\underbrace {\alpha -x_{n}} _{\varepsilon _{n}}\,)}^{2}\,.}$$

นั่นคือ

${\displaystyle \varepsilon _{n+1}={\frac {-f''(\xi _{n})}{2f'(x_{n})}}\cdot \varepsilon _{n}^{2}\,.}$

5

การหาค่าสัมบูรณ์ของทั้งสองข้างจะได้

${\displaystyle \left|{\varepsilon _{n+1}}\right|={\frac {\left|f''(\xi _{n})\right|}{2\left|f'(x_{n})\right|}}\cdot \varepsilon _{n}^{2}\,.}$

6

สมการ ( 6 ) แสดงให้เห็นว่าลำดับการลู่เข้าอย่างน้อยที่สุดจะเป็นกำลังสองหากเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1. f ′ ( x ) ≠ 0 ; สำหรับทุก x ∈ Iโดยที่ Iคือช่วง [ α − | ε ₀ |, α + | ε ₀ |] ;
2. f ″ ( x )มีความต่อเนื่อง สำหรับทุก x ∈ I ;
3. M | ε ₀ | < 1

โดยที่Mกำหนดโดย

$${\displaystyle M={\frac {1}{2}}\left(\sup _{x\in I}\vert f''(x)\vert \right)\left(\sup _{x\in I}{\frac {1}{\vert f'(x)\vert }}\right).\,}$$

หากเงื่อนไขเหล่านี้เป็นจริง

$${\displaystyle \vert \varepsilon _{n+1}\vert \leq M\cdot \varepsilon _{n}^{2}\,.}$$

สมมติว่าf ( x )เป็นฟังก์ชันเว้าบนช่วง ซึ่งเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดถ้าเป็นลบที่จุดปลายด้านซ้ายและเป็นบวกที่จุดปลายด้านขวาทฤษฎีบทค่ากลางรับประกันว่ามีค่าศูนย์ζของfอยู่ที่ใดที่หนึ่งในช่วง จากหลักการทางเรขาคณิต จะเห็นได้ว่าการวนซ้ำของนิวตันxᵢ _ที่เริ่มต้นที่จุดปลายด้านซ้ายจะเพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องและลู่เข้าสู่ζ อย่าง แน่นอน ^{[ 18 ]}

โจเซฟ ฟูริเยร์ได้เสนอการปรับเปลี่ยนวิธีการของนิวตัน โดยเริ่มต้นจากจุดปลายด้านขวา:

${\displaystyle y_{i+1}=y_{i}-{\frac {f(y_{i})}{f'(x_{i})}}.}$

^{ลำดับนี้ลดลงอย่างต่อเนื่องและลู่เข้า เมื่อพิจารณาลิมิตใน นิยาม}นี้ จะเห็นได้ว่าลิมิตของy _iจะต้องเป็นศูนย์ζ เช่นกัน [ ^{18 ]}

ดังนั้น ในกรณีของฟังก์ชันเพิ่มขึ้นแบบเว้าที่มีจุดศูนย์ การกำหนดค่าเริ่มต้นจึงแทบไม่มีความสำคัญ การวนซ้ำแบบนิวตันที่เริ่มต้นจากตำแหน่งใดๆ ทางซ้ายของจุดศูนย์จะลู่เข้า เช่นเดียวกับการวนซ้ำแบบนิวตันที่ปรับปรุงโดยฟูริเยร์ซึ่งเริ่มต้นจากตำแหน่งใดๆ ทางขวาของจุดศูนย์ ความแม่นยำในแต่ละขั้นตอนของการวนซ้ำสามารถกำหนดได้โดยตรงจากความแตกต่างระหว่างตำแหน่งของการวนซ้ำจากทางซ้ายและตำแหน่งของการวนซ้ำจากทางขวา ถ้าfเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองครั้งอย่างต่อเนื่อง ก็สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ว่า

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }{\frac {y_{i+1}-x_{i+1}}{(y_{i}-x_{i})^{2}}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {f''(\zeta )}{f'(\zeta )}},}$

แสดงให้เห็นว่าความแตกต่างในตำแหน่งนี้ลู่เข้าสู่ศูนย์แบบกำลังสอง^{[ 18 ]}

ทั้งหมดข้างต้นสามารถขยายไปยังระบบสมการในตัวแปรหลายตัวได้ แม้ว่าในบริบทนั้นแนวคิดที่เกี่ยวข้องของความเป็นเอกรูปและความเว้าจะมีความละเอียดอ่อนกว่าในการกำหนดสูตร^{[ 19 ]}ในกรณีของสมการเดี่ยวในตัวแปรเดียว การลู่เข้าแบบเอกรูปข้างต้นของวิธีของนิวตันยังสามารถขยายให้ครอบคลุมถึงการแทนที่ความเว้าด้วยเงื่อนไขความเป็นบวกหรือความเป็นลบของอนุพันธ์อันดับสูงของf ที่กำหนด อย่างไรก็ตาม ในการขยายความนี้ การวนซ้ำของนิวตันจะถูกแก้ไขเพื่อให้ขึ้นอยู่กับพหุนามเทย์เลอร์แทนที่จะเป็นเส้นสัมผัส ในกรณีของความเว้า การแก้ไขนี้จะสอดคล้องกับวิธีของนิวตันมาตรฐาน^{[ 20 ]}

ถ้าเราหาค่ารากของฟังก์ชันเดี่ยว ข้อผิดพลาดจะเป็นเวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบเป็นไปตามเงื่อนไขโดยที่เป็นรูปแบบกำลังสอง: ประเมินค่าที่ราก (โดยที่คือเมทริกซ์เฮสเซียนของอนุพันธ์อันดับ 2) ${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\to \mathbf {R} }$${\displaystyle \epsilon _{n}=x_{n}-\alpha }$${\displaystyle \epsilon _{k}^{(n+1)}={\frac {1}{2}}(\epsilon ^{(n)})^{T}Q_{k}\epsilon ^{(n)}+O(\|\epsilon ^{(n)}\|^{3})}$${\displaystyle Q_{k}}$${\displaystyle (Q_{k})_{i,j}=\sum _{\ell }((D^{2}f)^{-1})_{i,\ell }{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{\ell }}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle D^{2}f}$

วิธีของนิวตันเป็นหนึ่งในวิธีการคำนวณรากที่สองที่รู้จักกันดีหลายวิธี^{เมื่อ}กำหนดจำนวนบวกaปัญหาของการหาจำนวนxที่ทำให้x² = aเทียบเท่ากับการหารากของฟังก์ชันf ( x ) = x² − a การวนซ้ำ ^ของนิวตันที่กำหนดโดยฟังก์ชันนี้กำหนดโดย^{[ 21 ]}

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}-{\frac {x_{n}^{2}-a}{2x_{n}}}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)}$.

วิธีนี้สอดคล้องกับวิธีการหาค่ารากที่สองแบบ "บาบิโลน"ซึ่งประกอบด้วยการแทนที่ค่ารากโดยประมาณx _nด้วยค่าเฉลี่ยเลขคณิตของx _nและa ⁄ x _nโดยการทำซ้ำเช่นนี้ เราสามารถหาค่ารากที่สองได้ด้วยความแม่นยำตามต้องการโดยใช้เพียงการคำนวณทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน เท่านั้น

ตารางสามตารางต่อไปนี้แสดงตัวอย่างผลลัพธ์ของการคำนวณหาค่ารากที่สองของ 612 โดยเริ่มต้นการวนซ้ำด้วยค่า 1, 10 และ -20 แต่ละแถวในคอลัมน์ " x _n " ได้มาจากการใช้สูตรก่อนหน้ากับค่าด้านบน ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle 306.5={\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {612}{1}}\right).}$

ตัวเลขที่ถูกต้องจะถูกขีดเส้นใต้ จะเห็นได้ว่าด้วยการวนซ้ำเพียงไม่กี่ครั้งก็สามารถได้คำตอบที่แม่นยำถึงทศนิยมหลายตำแหน่ง ตารางแรกแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้เป็นจริงแม้ว่าการวนซ้ำของนิวตันจะเริ่มต้นด้วยการเดาที่ไม่แม่นยำอย่างมากที่1ก็ตาม

ในการคำนวณรากที่สองที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ อนุพันธ์อันดับแรกของfจะต้องไม่เป็นศูนย์ที่ราก และfต้องเป็นฟังก์ชันเรียบ ดังนั้น แม้ก่อนการคำนวณใดๆ ก็เป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้วว่าการวนซ้ำแบบนิวตันที่ลู่เข้าใดๆ จะมีอัตราการลู่เข้าแบบกำลังสอง ซึ่งสะท้อนให้เห็นในตารางข้างต้นโดยข้อเท็จจริงที่ว่า เมื่อการวนซ้ำแบบนิวตันเข้าใกล้ราก จำนวนหลักที่ถูกต้องจะเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าโดยประมาณในแต่ละรอบการวนซ้ำ

พิจารณาปัญหาการหาจำนวนบวกxที่มีcos( x ) = x³ เราสามารถเขียนใหม่ ^ได้เป็นการหาค่าศูนย์ของf ( x ) = cos( ^x ) − x³เรามีf ′ ( x ) = −sin( x ) − ^3x²เนื่องจากcos( x ) ≤ 1สำหรับทุกxและx³ > 1 ^{สำหรับ} x > 1เราจึงทราบว่าคำตอบของเราอยู่ระหว่าง 0 และ 1

ค่าเริ่มต้นเป็น 0 จะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไม่แน่นอน ซึ่งแสดงให้เห็นถึงความสำคัญของการใช้จุดเริ่มต้นที่ใกล้เคียงกับคำตอบ ตัวอย่างเช่น หากเดาค่าเริ่มต้นx ₀ = 0.5ลำดับที่ได้จากวิธีของนิวตันจะเป็นดังนี้:

$${\displaystyle {\begin{matrix}x_{1}&=&x_{0}-{\dfrac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}&=&0.5-{\dfrac {\cos 0.5-0.5^{3}}{-\sin 0.5-3\times 0.5^{2}}}&=&1.112\,141\,637\,097\dots \\x_{2}&=&x_{1}-{\dfrac {f(x_{1})}{f'(x_{1})}}&=&\vdots &=&{\underline {0.}}909\,672\,693\,736\dots \\x_{3}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.86}}7\,263\,818\,209\dots \\x_{4}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.865\,47}}7\,135\,298\dots \\x_{5}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.865\,474\,033\,1}}11\dots \\x_{6}&=&\vdots &=&\vdots &=&{\underline {0.865\,474\,033\,102}}\dots \end{matrix}}}$$

ตัวเลขที่ถูกต้องจะถูกขีดเส้นใต้ในตัวอย่างข้างต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งx ₆นั้นถูกต้องถึงทศนิยม 12 ตำแหน่ง เราจะเห็นว่าจำนวนตัวเลขที่ถูกต้องหลังจุดทศนิยมเพิ่มขึ้นจาก 2 (สำหรับx ₃ ) เป็น 5 และ 10 ซึ่งแสดงให้เห็นถึงการลู่เข้าแบบกำลังสอง

นอกจากนี้ยังสามารถใช้วิธีของนิวตันเพื่อแก้ระบบ สมการ kสมการ ซึ่งเทียบเท่ากับการหาศูนย์ (พร้อมกัน) ของฟังก์ชันที่อนุพันธ์ต่อเนื่องk ฟังก์ชัน ซึ่งเทียบเท่ากับการหาศูนย์ของฟังก์ชันเวกเตอร์ค่าเดียวในสูตรที่ให้ไว้ข้างต้น สเกลาร์x _nจะถูกแทนที่ด้วยเวกเตอร์x _nและแทนที่จะหารฟังก์ชันf ( x _n )ด้วยอนุพันธ์f ′ ( x _n )จะต้องคูณฟังก์ชันF ( x _n ) ทางซ้ายด้วย เมทริกซ์ Jacobian ผกผันขนาด k × kของมันJ _F ( x _n ) ^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ]} ซึ่งส่งผลให้ ได้นิพจน์ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} .}$${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k}.}$

$${\displaystyle \mathbf {x} _{n+1}=\mathbf {x} _{n}-J_{F}(\mathbf {x} _{n})^{-1}F(\mathbf {x} _{n}).}$$

หรือโดยการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

$${\displaystyle J_{F}(\mathbf {x} _{n})(\mathbf {x} _{n+1}-\mathbf {x} _{n})=-F(\mathbf {x} _{n})}$$

สำหรับx _{n + 1} − x _nที่ ไม่ทราบค่า ^{[ 25 ]}

วิธีการของนิวตันแบบkมิติ สามารถใช้แก้ระบบสมการที่มีมากกว่า kสมการ (ไม่เชิงเส้น) ได้เช่นกัน หากอัลกอริทึมใช้เมทริกซ์ผกผันทั่วไป ของ เมทริกซ์จาโคเบียนที่ไม่ใช่เมทริกซ์จัตุรัสJ ⁺ = ( J ^T J ) ⁻¹ J ^Tแทนที่จะใช้เมทริกซ์ผกผันของJหากระบบไม่เชิงเส้นไม่มีคำตอบ วิธีการนี้จะพยายามหาคำตอบใน แง่ ของกำลังสองน้อยที่สุดแบบไม่เชิงเส้นดูอัลกอริทึม Gauss–Newtonสำหรับข้อมูลเพิ่มเติม

กล่องนม^{[ 26 ]}ที่มีความจุ 2 ไพนต์จะต้องสร้างจากแผ่นกระดาษแข็งเคลือบแว็กซ์โดยมีการซ้อนทับกัน 5 มม. ข้อกำหนดคือต้องใช้พื้นที่ผิวขั้นต่ำสำหรับกล่อง

สมมติว่าความกว้าง ความลึก และความสูงของกล่องกระดาษถูกกำหนดโดย, และตามลำดับ ในหน่วยมิลลิเมตร พื้นที่ผิวทั้งหมดจะคำนวณได้จากสูตร ${\displaystyle w}$${\displaystyle b}$${\displaystyle h}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=(2b+2w+5)(h+b+10).}$

เนื่องจาก 2 ไพนต์เท่ากับประมาณ 1.136 ลิตร และ 1 ลิตรเท่ากับดังนั้นจึงสรุปได้ว่า ${\displaystyle 1000000mm^{3}}$

${\displaystyle hbw=1136000.}$

การแก้สมการให้ผลลัพธ์ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle w={\frac {1136000}{hb}}.}$

ให้ และเป็นเวกเตอร์ของตัวแปรที่ไม่ทราบค่าสองตัวพื้นที่ผิวสามารถแสดงได้ดังนี้ ${\displaystyle \mathbf {x} =\left[b,h\right]\in {\mathbb {R} }^{2}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle A(\mathbf {x} )=(h+b+10)\left({\frac {2272000}{hb}}+2b+5\right).}$

การหาค่าต่ำสุดของฟังก์ชันนี้เกี่ยวข้องกับการกำหนดให้ค่าอนุพันธ์ย่อย ของฟังก์ชันเท่ากับ ศูนย์ ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial b}}={\frac {2272000}{hb}}+2b+5+(h+b+10)\left({\frac {-2272000}{hb^{2}}}+2\right)=0}$

และ

${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial h}}={\frac {2272000}{hb}}+2b+5-(h+b+10)\left({\frac {2272000}{h^{2}b}}\right)=0.}$

เพื่อให้ง่ายต่อการเขียนสัญลักษณ์ ให้กำหนดดังนี้

${\displaystyle f_{1}(\mathbf {x} )={\frac {\partial A}{\partial b}}}$

และ

${\displaystyle f_{2}(\mathbf {x} )={\frac {\partial A}{\partial h}}.}$

ดังนั้น เวกเตอร์ฟังก์ชันคือ ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )={\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&f_{1}(\mathbf {x} )\\~&f_{2}(\mathbf {x} )\end{aligned}}\end{bmatrix}}~=~{\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&{\frac {2272000}{hb}}+2b+5+(h+b+10)\left({\frac {-2272000}{hb^{2}}}+2\right)\\~&{\frac {2272000}{hb}}+2b+5-(h+b+10)\left({\frac {2272000}{h^{2}b}}\right)\end{aligned}}\end{bmatrix}}}$

และเมทริกซ์จาโคเบียนคือ ${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} (\mathbf {x} )={\begin{bmatrix}~{\frac {\ \partial {f_{1}}\ }{\partial {b}}}\ &~{\frac {\ \partial {f_{1}}\ }{\partial {h}}}~\\~{\frac {\ \partial {f_{2}}\ }{\partial {b}}}\ &~{\frac {\ \partial {f_{2}}\ }{\partial {h}}}~\end{bmatrix}}~=~{\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&{\frac {4544000}{b^{3}}}+{\frac {45440000}{hb^{3}}}+4\ &&{\frac {22720000}{h^{2}b^{2}}}+2\\~&{\frac {22720000}{h^{2}b^{2}}}+2\ &&{\frac {4544000}{h^{3}}}+{\frac {45440000}{bh^{3}}}\end{aligned}}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

การใช้วิธีของนิวตันโดยกำหนดค่าเริ่มต้นและเกณฑ์การหยุด จะได้ผลลัพธ์การวนซ้ำดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}=\left[100,100\right]}$${\displaystyle \|\ \mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} _{i-1}\|_{2}<10^{-6}}$

การวนซ้ำ	เวกเตอร์โซลูชัน	เวกเตอร์ฟังก์ชัน	${\displaystyle \|\ \mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} _{i-1}\|_{2}}$
0	${\displaystyle \mathbf {x} _{0}=\left[100,100\right]}$	${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} _{0})~=~{\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&\quad 375.08\\~&-44.92\end{aligned}}\end{bmatrix}}}$	-
1	${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=\left[47.99347513,132.16007766\right]}$	${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} _{1})~=~{\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&-579.72039\\~&-56.19573\end{aligned}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle 16.07552}$
2	${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=\left[60.16520202,142.66110819\right]}$	${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} _{2})~=~{\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&-120.66290\\~&-4.85837\end{aligned}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle 6.48393}$
3	${\displaystyle \mathbf {x} _{3}=\left[65.34915899,138.76649357\right]}$	${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} _{3})~=~{\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&-6.43007\\~&-0.34509\end{aligned}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle 4.03613\times 10^{-1}}$
4	${\displaystyle \mathbf {x} _{4}=\left[65.68871009,138.5482994\right]}$	${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} _{4})~=~{\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&\quad 3.13226\times 10^{-1}\\~&-1.20192\times 10^{-3}\end{aligned}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle 2.79029\times 10^{-2}}$
5	${\displaystyle \mathbf {x} _{5}=\left[65.67075217,138.56965564\right]}$	${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} _{5})~=~{\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&-1.88252\times 10^{-2}\\~&-9.54744\times 10^{-6}\end{aligned}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle 1.63648\times 10^{-3}}$
6	${\displaystyle \mathbf {x} _{6}=\left[65.67182534,138.56842016\right]}$	${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} _{6})~=~{\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&\quad 1.11786\times 10^{-3}\\~&-3.20764\times 10^{-8}\end{aligned}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle 9.74697\times 10^{-5}}$
7	${\displaystyle \mathbf {x} _{7}=\left[65.67176157,138.56849388\right]}$	${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} _{7})~=~{\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&-6.64497\times 10^{-5}\\~&-1.14255\times 10^{-10}\end{aligned}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle 5.79292\times 10^{-6}}$
8	${\displaystyle \mathbf {x} _{8}=\left[65.67176536,138.5684895\right]}$	${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} _{8})~=~{\begin{bmatrix}{\begin{aligned}~&\quad 3.94975\times 10^{-6}\\~&-3.41060\times 10^{-13}\end{aligned}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle 3.44333\times 10^{-7}}$

เพื่อแสดงว่าทำให้ มีค่าน้อยที่สุดก็เพียงพอที่จะแสดงว่าเมทริกซ์เฮสเซียน ของมัน เป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน ในกรณีนี้ เมทริกซ์เฮสเซียนก็คือ ${\displaystyle \mathbf {x} _{8}=\left[65.67176536,138.5684895\right]}$${\displaystyle A(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} _{8})\approx {\begin{bmatrix}~20.15939696&~2.27436075~\\~2.27436075&~1.9678865~\end{bmatrix}}.}$

พหุนามลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นี้คือ

${\displaystyle \lambda ^{2}-22.12728346\lambda +34.49868830=0}$.

เมื่อใช้สูตรกำลังสองจะได้ค่าไอเกนสองค่าดังนี้

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {22.12728346+{\sqrt {351.62192}}}{2}}\approx 20.43943}$

และ

${\displaystyle \lambda _{2}={\frac {22.12728346-{\sqrt {351.62192}}}{2}}\approx 1.68784.}$

เนื่องจากค่าไอเกนทั้งหมดเป็นบวก ดังนั้น เมทริกซ์ จึงเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน และด้วยเหตุนี้จึงเป็นเมทริกซ์ที่มีค่าต่ำสุด ${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} _{8})}$${\displaystyle \mathbf {x} _{8}}$

เมื่อจัดการกับฟังก์ชันที่ซับซ้อนวิธีของนิวตันสามารถนำไปใช้โดยตรงเพื่อหาค่าศูนย์ของฟังก์ชันเหล่านั้นได้^{[ 27 ]}ค่าศูนย์แต่ละค่าจะมีแอ่งดึงดูดในระนาบเชิงซ้อน ซึ่งเป็นเซตของค่าเริ่มต้นทั้งหมดที่ทำให้วิธีการลู่เข้าสู่ค่าศูนย์นั้นๆ เซตเหล่านี้สามารถแมปได้ดังภาพที่แสดง สำหรับฟังก์ชันที่ซับซ้อนจำนวนมาก ขอบเขตของแอ่งดึงดูดจะเป็นแฟรกทัล

ในบางกรณีจะมีบริเวณในระนาบเชิงซ้อนซึ่งไม่ได้อยู่ในแอ่งดึงดูดใดๆ เหล่านี้ ซึ่งหมายความว่าการวนซ้ำจะไม่ลู่เข้า ตัวอย่างเช่น^{[ 28 ]}หากใช้เงื่อนไขเริ่มต้นจริงเพื่อหารากของx ² + 1การวนซ้ำที่ตามมาทั้งหมดจะเป็นจำนวนจริง ดังนั้นการวนซ้ำจึงไม่สามารถลู่เข้าสู่รากใดรากหนึ่งได้ เนื่องจากรากทั้งสองไม่ใช่จำนวนจริง ในกรณีนี้เงื่อนไขเริ่มต้นจริงเกือบทั้งหมด จะนำไปสู่ พฤติกรรมอลวนในขณะที่เงื่อนไขเริ่มต้นบางอย่างจะวนซ้ำไปจนถึงอนันต์หรือวนซ้ำเป็นวัฏจักรที่มีความยาวจำกัดใดๆ

เคิร์ต แมคมัลเลนได้แสดงให้เห็นว่าสำหรับอัลกอริทึมแบบวนซ้ำบริสุทธิ์ใดๆ ที่คล้ายกับวิธีของนิวตัน อัลกอริทึมจะล diverge ในบางบริเวณเปิดของระนาบเชิงซ้อนเมื่อนำไปใช้กับพหุนามที่มีดีกรี 4 หรือสูงกว่า อย่างไรก็ตาม แมคมัลเลนได้เสนออัลกอริทึมที่ลู่เข้าโดยทั่วไปสำหรับพหุนามที่มีดีกรี 3 ^{[ 29 ]}นอกจากนี้ สำหรับพหุนามใดๆ ฮับบาร์ด ชไลเชอร์ และซัทเธอร์แลนด์ ได้เสนอวิธีการเลือกชุดจุดเริ่มต้นเพื่อให้วิธีของนิวตันจะลู่เข้าที่จุดใดจุดหนึ่งอย่างแน่นอน^{[ 30 ]}

อีกหนึ่งการสรุปทั่วไปคือ วิธีของนิวตันในการหารากของฟังก์ชันFที่นิยามไว้ในปริภูมิบานาคในกรณีนี้ สูตรคือ

$${\displaystyle X_{n+1}=X_{n}-{\bigl (}F'(X_{n}){\bigr )}^{-1}F(X_{n}),\,}$$

โดยที่F ′ ( X _n )คืออนุพันธ์ Fréchetที่คำนวณที่X _nจำเป็นต้องมีอนุพันธ์ Fréchet ที่ผกผันได้อย่างมีขอบเขตที่แต่ละX _nเพื่อให้วิธีการนี้สามารถใช้งานได้ เงื่อนไขสำหรับการมีอยู่และการลู่เข้าสู่รากนั้นกำหนดโดยทฤษฎีบทของ Newton– Kantorovich ^{[ 31 ]}

ในช่วงทศวรรษ 1950 จอห์น แนชได้พัฒนาวิธีการของนิวตันขึ้นมาเพื่อใช้กับปัญหาการสร้างการฝังแบบไอโซเมตริก ของ แมนิโฟลด์รีมันน์ทั่วไปในปริภูมิยูคลิด ปัญหา การสูญเสียอนุพันธ์ที่เกิดขึ้นในบริบทนี้ ทำให้การวนซ้ำแบบนิวตันมาตรฐานใช้ไม่ได้ เนื่องจากไม่สามารถดำเนินการต่อไปได้เรื่อยๆ (และไม่สามารถลู่เข้าได้) วิธีแก้ปัญหาของแนชเกี่ยวข้องกับการนำ ตัวดำเนินการ ปรับเรียบเข้ามาใช้ในการวนซ้ำ เขาสามารถพิสูจน์การลู่เข้าของวิธีการนิวตันแบบปรับเรียบของเขาได้ เพื่อจุดประสงค์ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายสำหรับการฝังแบบไอโซเมตริก ในช่วงทศวรรษ 1960 เยอร์เกน โมเซอร์แสดงให้เห็นว่าวิธีการของแนชมีความยืดหยุ่นเพียงพอที่จะนำไปใช้กับปัญหาที่นอกเหนือจากการฝังแบบไอโซเมตริก โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกลศาสตร์ดาราศาสตร์ตั้งแต่นั้นมา นักคณิตศาสตร์หลายคน รวมถึงมิคาเอล โกรโมฟและริชาร์ด แฮมิลตันได้ค้นพบทฤษฎีแนช-โมเซอร์ในรูปแบบนามธรรมทั่วไป^{[ 32 ] [ 33 ]}ในสูตรของแฮมิลตัน ทฤษฎีบทแนช-โมเซอร์เป็นการวางนัยทั่วไปของวิธีการนิวตันของปริภูมิบานาคซึ่งเกิดขึ้นในปริภูมิเฟรเชต์บาง แห่ง

ในกรณีที่ไม่มีเมทริกซ์จาโคเบียน หรือการคำนวณเมทริกซ์จาโคเบียนในแต่ละรอบมีค่าใช้จ่ายสูงเกินไปสามารถใช้ วิธีควาซี-นิวตัน ได้

เนื่องจากการขยายอนุกรมเทย์เลอร์ลำดับสูงกว่าให้การประมาณค่าเฉพาะที่ที่แม่นยำกว่าของฟังก์ชันfจึงเป็นเรื่องสมเหตุสมผลที่จะถามว่าเหตุใดวิธีการของนิวตันจึงอาศัยเพียงการประมาณค่าเทย์เลอร์ลำดับที่สองเท่านั้น ในศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย Pafnuty Chebyshev ได้สำรวจแนวคิดนี้โดยการพัฒนารูปแบบหนึ่งของวิธีการของนิวตันที่ใช้การประมาณค่าลูกบาศก์^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]}

ใน การวิเคราะห์พหุ นาม p -adic วิธีมาตรฐานในการแสดงว่าสมการพหุนามตัวแปรเดียวมี ราก p -adic คือทฤษฎีบทของเฮนเซลซึ่งใช้การเวียนเกิดจากวิธีของนิวตันบน จำนวน p -adic เนื่องจากพฤติกรรมการบวกและการคูณใน จำนวน p -adic มีความเสถียรมากกว่าเมื่อเทียบกับจำนวนจริง (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ลูกบอลหน่วยในจำนวนp -adic เป็นวงแหวน) การลู่เข้าในทฤษฎีบทของเฮนเซลจึงสามารถรับประกันได้ภายใต้สมมติฐานที่ง่ายกว่ามากเมื่อเทียบกับวิธีของนิวตันแบบคลาสสิกบนเส้นจำนวนจริง

วิธีของนิวตันสามารถสรุปได้โดยใช้q-อนาล็อกของอนุพันธ์ปกติ^{[ 37 ]}

โดยทั่วไปสมการไม่เชิงเส้นจะมีคำตอบหลายคำตอบ แต่ถ้าค่าเริ่มต้นไม่เหมาะสม วิธีของนิวตันอาจไม่ลู่เข้าสู่คำตอบที่ต้องการ หรืออาจลู่เข้าสู่คำตอบเดียวกันกับที่พบก่อนหน้านี้ เมื่อเราพบ คำตอบ Nคำตอบของแล้ว รากถัดไปสามารถหาได้โดยใช้วิธีของนิวตันกับสมการถัดไป: ^{[ 38 ] [ 39 ]}${\displaystyle f(x)=0}$

$${\displaystyle F(x)={\frac {f(x)}{\prod _{i=1}^{N}(x-x_{i})}}=0.}$$

วิธีนี้ใช้เพื่อหาค่าศูนย์ของฟังก์ชันเบสเซลชนิดที่สอง^{[ 40 ]}

วิธีนิวตันที่ปรับปรุงของฮิราโนะเป็นการปรับปรุงที่รักษาการล convergence ของวิธีนิวตันและหลีกเลี่ยงความไม่เสถียร^{[ 41 ]}ได้รับการพัฒนาเพื่อแก้ปัญหาพหุนามที่ซับซ้อน

การรวมวิธีของนิวตันเข้ากับเลขคณิตช่วงมีประโยชน์มากในบางบริบท วิธีนี้ให้เกณฑ์การหยุดที่เชื่อถือได้มากกว่าเกณฑ์ทั่วไป (ซึ่งคือค่าฟังก์ชันที่น้อยหรือการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของตัวแปรระหว่างการวนซ้ำที่ต่อเนื่องกัน) นอกจากนี้ ยังสามารถตรวจจับกรณีที่วิธีของนิวตันลู่เข้าตามทฤษฎีแต่ลู่ออกตามตัวเลขเนื่องจากความแม่นยำของจุดลอยตัว ไม่เพียงพอ (โดยทั่วไปจะเป็นกรณีสำหรับพหุนามดีกรีสูง ซึ่งการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยของตัวแปรอาจทำให้ค่าของฟังก์ชันเปลี่ยนแปลงอย่างมาก ดูพหุนามของวิลกินสัน ) ^{[ 42 ] [ 43 ]}

พิจารณาf → C ¹ ( X )โดยที่Xเป็นช่วงจำนวนจริง และสมมติว่าเรามีการขยายช่วงF ′ของf ′ซึ่งหมายความว่าF ′รับช่วงY ⊆ X เป็นอินพุต และส่งออกช่วงF ′ ( Y )ดังนี้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}F'([y,y])&=\{f'(y)\}\\[5pt]F'(Y)&\supseteq \{f'(y)\mid y\in Y\}.\end{aligned}}}$$

นอกจากนี้ เรายังถือว่า0 ∉ F ′ ( X )ดังนั้นfจึงมีรากในX มากที่สุดเพียงรากเดียว จากนั้นเรากำหนดตัวดำเนินการนิวตันช่วงโดย:

$${\displaystyle N(Y)=m-{\frac {f(m)}{F'(Y)}}=\left\{\left.m-{\frac {f(m)}{z}}~\right|~z\in F'(Y)\right\}}$$

โดยที่m ∈ Yโปรดทราบว่าสมมติฐานเกี่ยวกับF ′บ่งชี้ว่าN ( Y )ถูกกำหนดไว้อย่างดีและเป็นช่วง (ดูพีชคณิตช่วงสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการดำเนินการช่วง) ซึ่งนำไปสู่ลำดับต่อไปนี้โดยธรรมชาติ:

$${\displaystyle {\begin{aligned}X_{0}&=X\\X_{k+1}&=N(X_{k})\cap X_{k}.\end{aligned}}}$$

ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยรับรองว่า ถ้ามีรากของfอยู่ในX _kแล้ว รากนั้นก็จะอยู่ในX _{k + 1}ด้วย ยิ่งไปกว่านั้น สมมติฐานเกี่ยวกับF′รับรองว่าX _{k + 1}จะมีขนาดไม่เกินครึ่งหนึ่งของX _kเมื่อmเป็นจุดกึ่งกลางของYดังนั้นลำดับนี้จึงลู่เข้าสู่[ x* , x* ]โดยที่x*คือ รากของfในX

ถ้าF ′ ( X )มีค่าเป็น 0 อย่างเคร่งครัด การใช้การแบ่งช่วงแบบขยายจะสร้างการรวมกันของสองช่วงสำหรับN ( X )ดังนั้นรากหลายรากจึงถูกแยกและจำกัดขอบเขตโดยอัตโนมัติ

วิธีของนิวตันสามารถใช้เพื่อหาค่าต่ำสุดหรือสูงสุดของฟังก์ชันf ( x )ได้ อนุพันธ์จะเป็นศูนย์ที่ค่าต่ำสุดหรือสูงสุด ดังนั้นจึงสามารถหาค่าต่ำสุดและสูงสุดเฉพาะที่ได้โดยการใช้วิธีของนิวตันกับอนุพันธ์^{[ 44 ]}การวนซ้ำจะเป็นดังนี้:

$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f'(x_{n})}{f''(x_{n})}}.}$$

การประยุกต์ใช้ที่สำคัญอย่างหนึ่งคือการหารแบบนิวตัน-ราฟสันซึ่งสามารถใช้หาค่าผกผันของจำนวนa ได้อย่างรวดเร็ว โดยใช้เพียงการคูณและการลบ กล่าวคือ จำนวนxที่ทำให้⁠1/x= a . เราสามารถเขียนใหม่ ได้ว่า การหาค่าศูนย์ของ f ( x ) = ⁠1/x⁠ − a . เรามี f ′ ( x ) = − ⁠1/x ²⁠ .

การวนซ้ำของนิวตันคือ

$${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}=x_{n}+{\frac {{\frac {1}{x_{n}}}-a}{\frac {1}{x_{n}^{2}}}}=x_{n}(2-ax_{n}).}$$

ดังนั้น วิธีการวนซ้ำของนิวตันจึงต้องการเพียงการคูณสองครั้งและการลบหนึ่งครั้งเท่านั้น

วิธีนี้ยังมีประสิทธิภาพมากในการคำนวณตัวผกผันการคูณของอนุกรมกำลังอีก ด้วย

สมการเชิงพีชคณิตหลายสมการสามารถหาคำตอบได้ด้วยความแม่นยำตามอำเภอใจโดยใช้วิธีของนิวตัน ตัวอย่างเช่น การหาฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะ เป็นสะสม เช่นการแจกแจงปกติเพื่อให้เข้ากับความน่าจะเป็นที่ทราบ โดยทั่วไปเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันปริพันธ์ซึ่งไม่มีวิธีการแก้ในรูปแบบปิดที่ทราบ อย่างไรก็ตาม การคำนวณอนุพันธ์ที่จำเป็นในการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขด้วยวิธีของนิวตันนั้นโดยทั่วไปทราบกันดี ทำให้สามารถหาคำตอบเชิงตัวเลขได้ ตัวอย่างเช่น ดูคำตอบเชิงตัวเลขของการแจกแจงสะสมปกติผกผัน

ได้มีการสร้างวิธีการตรวจสอบเชิงตัวเลขสำหรับคำตอบของสมการไม่เชิงเส้น โดยใช้วิธีของนิวตันหลายครั้งและสร้างชุดคำตอบที่เป็นไปได้

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างการใช้งานที่เป็นไปได้ของวิธีของนิวตันใน ภาษาโปรแกรม Python (เวอร์ชัน 3.x) สำหรับการ หา ค่ารากของฟังก์ชันfที่มีอนุพันธ์f_prime

ค่าที่คาดเดาเบื้องต้นคือx ₀ = 1และฟังก์ชันจะเป็นf ( x ) = x ² − 2ดังนั้นf ′ ( x ) = 2 x .

แต่ละรอบการคำนวณใหม่ของวิธีของนิวตันจะถูกแทนด้วยx1เราจะตรวจสอบระหว่างการคำนวณว่าตัวส่วน ( y_prime) มีค่าเล็กเกินไปหรือไม่ (เล็กกว่าepsilon) ซึ่งจะเป็นเช่นนั้นหากf ′ ( x _n ) ≈ 0เพราะมิฉะนั้นอาจเกิดข้อผิดพลาดจำนวนมากได้

def f ( x ):คืนค่าx ** 2 - 2 # f(x) = x^2 - 2def f_prime ( x ):คืนค่า2 * x # f'(x) = 2xdef newtons_method ( x0 , f , f_prime , tolerance , epsilon , max_iterations ):"วิธีของนิวตัน" อาร์กิวเมนต์: x0: การคาดเดาเบื้องต้น f: ฟังก์ชันที่เรากำลังพยายามหาค่ารากของฟังก์ชันนั้น f_prime: อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ค่าความคลาดเคลื่อน: หยุดการทำงานเมื่อจำนวนรอบการเปลี่ยนแปลงน้อยกว่าค่านี้ เอปซิลอน: ห้ามหารด้วยจำนวนที่น้อยกว่าค่านี้ max_iterations: จำนวนรอบการคำนวณสูงสุด """สำหรับ_ ในช่วง( จำนวนรอบสูงสุด):y = f ( x0 )y_prime = f_prime ( x0 )ถ้าabs ( y_prime ) < epsilon : # ยกเลิกหากตัวหารมีค่าน้อยเกินไปหยุดพักx1 = x0 - y / y_prime # ทำการคำนวณแบบนิวตันถ้าabs ( x1 - x0 ) <= tolerance : # หยุดเมื่อผลลัพธ์อยู่ในช่วงค่าความคลาดเคลื่อนที่ต้องการส่งคืนค่าx1 # x1 เป็นคำตอบที่อยู่ในช่วงความคลาดเคลื่อนและจำนวนรอบสูงสุดx0 = x1 # อัปเดต x0 เพื่อเริ่มกระบวนการใหม่อีกครั้งส่งคืนค่า None # วิธีของนิวตันไม่ลู่เข้า