ค้นหาคำว่า "multiplicity"ใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

ในทางคณิตศาสตร์ความซ้ำซ้อนของสมาชิกในเซตหลายสมาชิกคือจำนวนครั้งที่สมาชิกนั้นปรากฏในเซตหลายสมาชิกนั้น ตัวอย่างเช่น จำนวนครั้งที่พหุนาม ที่กำหนด มีรากที่จุดที่กำหนด คือ ความซ้ำซ้อนของรากนั้น

แนวคิดเรื่องความซ้ำซ้อนมีความสำคัญเพื่อให้สามารถนับได้อย่างถูกต้องโดยไม่ต้องระบุข้อยกเว้น (เช่นรากที่ซ้ำกันสองครั้ง) ดังนั้นจึงมีสำนวนว่า "นับโดยคำนึงถึงความซ้ำซ้อน"

หากไม่คำนึงถึงความซ้ำซ้อน อาจเน้นย้ำด้วยการนับจำนวน องค์ประกอบ ที่แตกต่างกันเช่น "จำนวนรากที่แตกต่างกัน" อย่างไรก็ตาม เมื่อใดก็ตามที่ สร้าง เซต (ตรงข้ามกับมัลติเซต) ความซ้ำซ้อนจะถูกละเลยโดยอัตโนมัติ โดยไม่จำเป็นต้องใช้คำว่า "แตกต่างกัน"

ในการแยกตัวประกอบเฉพาะความซ้ำซ้อนของตัวประกอบเฉพาะคือจำนวนครั้งที่ตัวประกอบเฉพาะปรากฏ${\displaystyle p}$การประเมินค่าแบบ -adicตัวอย่างเช่น การแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนเต็ม60คือ

60 = 2 × 2 × 3 × 5

จำนวนครั้งที่ตัวประกอบเฉพาะ2 ปรากฏซ้ำ คือ2ในขณะที่จำนวนครั้งที่ตัวประกอบเฉพาะ3และ5 ปรากฏซ้ำ คือ1ดังนั้น60มีตัวประกอบเฉพาะสี่ตัวที่สามารถปรากฏซ้ำได้ แต่มีตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกันเพียงสามตัวเท่านั้น

อนุญาต${\displaystyle F}$เป็นทุ่งนาและ${\displaystyle p(x)}$เป็นพหุนามในตัวแปรเดียวที่มีสัมประสิทธิ์ใน${\displaystyle F}$องค์ประกอบหนึ่ง${\displaystyle a\in F}$เป็นรากของความหลากหลาย${\displaystyle k}$ของ${\displaystyle p(x)}$ถ้ามีพหุนาม${\displaystyle s(x)}$โดยที่${\displaystyle s(a)\neq 0}$และ${\displaystyle p(x)=(xa)^{k}s(x)}$. ถ้า${\displaystyle k=1}$ถ้าเช่นนั้นaจะเรียกว่ารากเดี่ยว${\displaystyle k\geq 2}$, แล้ว${\displaystyle a}$เรียกว่ารากหลายตัว (multiple root )

ตัวอย่างเช่น พหุนาม${\displaystyle p(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4}$มี รากคือ 1 และ −4 และสามารถเขียนได้ดังนี้${\displaystyle p(x)=(x+4)(x-1)^{2}}$ซึ่งหมายความว่า 1 เป็นรากที่มีความซ้ำซ้อน 2 และ −4 เป็นรากเดี่ยว (ที่มีความซ้ำซ้อน 1) ความซ้ำซ้อนของรากคือจำนวนครั้งที่รากนั้นปรากฏในการแยกตัวประกอบสมบูรณ์ของพหุนาม โดยใช้ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต

ถ้า${\displaystyle a}$เป็นรากของความหลากหลาย${\displaystyle k}$ถ้าเป็นพหุนาม แสดงว่ามันเป็นรากที่มีความซ้ำซ้อน${\displaystyle k-1}$ของอนุพันธ์ของพหุนามนั้น เว้นแต่ว่าลักษณะเฉพาะของฟิลด์พื้นฐานจะเป็นตัวหารของkในกรณีนั้น${\displaystyle a}$เป็นรากของความหลากหลายอย่างน้อยที่สุด${\displaystyle k}$ของอนุพันธ์

ค่าดิสครีมิแนนต์ของพหุนามจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อพหุนามนั้นมีรากซ้ำ

พฤติกรรมของฟังก์ชันพหุนามใกล้รากซ้ำ

กราฟของฟังก์ชันพหุนามf ตัดแกนxที่รากจริงของพหุนาม กราฟจะสัมผัสแกนนี้ที่รากซ้ำของfและไม่สัมผัสที่รากเดี่ยว กราฟจะผ่าน แกน x ที่รากที่ มีความซ้ำเป็นเลขคี่ และไม่ผ่านแกน x ที่รากที่มีความซ้ำเป็นเลขคู่ โดย "การผ่าน แกน x " หมายความว่า ใกล้กับรากนั้นจะมีจุดบนกราฟอยู่ทั้งสองด้านของแกน

ฟังก์ชันพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์จะมีค่าไม่เป็นลบ ทุกที่ ก็ต่อเมื่อรากทั้งหมดของฟังก์ชันนั้นมีจำนวนเท่าๆ กัน และมีอยู่จริง${\displaystyle x_{0}}$โดยที่${\displaystyle f(x_{0})>0}$.

สำหรับสมการ${\displaystyle f(x)=0}$ด้วยวิธีแก้ปัญหาตัวแปรเดียว${\displaystyle x_{*}}$ความหลากหลายคือ${\displaystyle k}$ถ้า

${\displaystyle f(x_{*})=f'(x_{*})=\cdots =f^{(k-1)}(x_{*})=0}$และ${\displaystyle f^{(k)}(x_{*})\neq 0.}$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันเชิงอนุพันธ์${\displaystyle \partial _{j}}$ซึ่งนิยามว่าเป็นอนุพันธ์${\displaystyle {\frac {1}{j!}}{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}}$ของฟังก์ชันที่${\displaystyle x_{*}}$หายไปที่${\displaystyle f}$สำหรับ${\displaystyle j}$มากถึง${\displaystyle k-1}$ฟังก์ชันเชิงอนุพันธ์เหล่านั้น${\displaystyle \partial _{0},\partial _{1},\cdots ,\partial _{k-1}}$ครอบคลุมปริภูมิเวกเตอร์เรียกว่าปริภูมิคู่แมคคอลีย์ที่${\displaystyle x_{*}}$[ ^{1 ]}และมิติของมันคือความหลากหลาย^ของ${\displaystyle x_{*}}$เป็นศูนย์ของ${\displaystyle f}$.

อนุญาต${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$เป็นระบบของ${\displaystyle m}$สมการของ${\displaystyle n}$ตัวแปรที่มีคำตอบ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$ที่ไหน${\displaystyle \mathbf {f} }$เป็นการแมปจาก${\displaystyle R^{n}}$ถึง${\displaystyle R^{m}}$หรือจาก${\displaystyle C^{n}}$ถึง${\displaystyle C^{m}}$นอกจากนี้ยังมีปริภูมิคู่แมคคอลีย์ของฟังก์ชันเชิงอนุพันธ์ที่${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$ซึ่งฟังก์ชันทุกอย่างจะหายไป ณ ที่นั้น${\displaystyle \mathbf {f} }$มิติของปริภูมิคู่แมคคอลีย์นี้คือจำนวนเท่าของคำตอบ${\displaystyle \mathbf {x} _{*}}$ไปยังสมการ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$พื้นที่คู่ของ Macaulay ก่อให้เกิดโครงสร้างความหลากหลายของระบบที่คำตอบ^{[ 2 ] [ 3 ]}

ตัวอย่างเช่น วิธีแก้ปัญหา${\displaystyle \mathbf {x} _{*}=(0,0)}$ของระบบสมการในรูปแบบของ ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$กับ

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\left[{\begin{array}{c}\sin(x_{1})-x_{2}+x_{1}^{2}\\x_{1}-\sin(x_{2})+x_{2}^{2}\end{array}}\right]}$

มีจำนวนเท่า 3 เนื่องจากปริภูมิคู่แมคคอลีย์

${\displaystyle \operatorname {span} \{\partial _{00},\partial _{10}+\partial _{01},-\partial _{10}+\partial _{20}+\partial _{11}+\partial _{02}\}}$

มีมิติ 3 โดยที่${\displaystyle \partial _{ij}}$แสดงถึงฟังก์ชันเชิงอนุพันธ์${\displaystyle {\frac {1}{i!j!}}{\frac {\partial ^{i+j}}{\partial x_{1}^{i}\,\partial x_{2}^{j}}}}$นำไปใช้กับฟังก์ชัน ณ จุดนั้น${\displaystyle \mathbf {x} _{*}=(0,0)}$.

จำนวนครั้งของการปรากฏจะมีค่าจำกัดเสมอ หากคำตอบนั้นแยกเดี่ยว และจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การรบกวนในแง่ที่ว่า${\displaystyle k}$โซลูชันแบบพับหลายชั้นจะกลายเป็นกลุ่มของโซลูชันที่มีความหลากหลายรวมกัน${\displaystyle k}$ภายใต้การรบกวนในปริภูมิเชิงซ้อน และเหมือนกับความซ้ำซ้อนของการตัดกันในระบบพหุนาม

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตการตัดกันของสองส่วนย่อยของวาไรตีเชิงพีชคณิต คือการรวมกันแบบจำกัดของวาไรตีที่ไม่สามารถลดทอนได้แต่ละส่วนประกอบของการตัดกันดังกล่าวจะมีค่า ความซ้ำซ้อนของการตัดกัน ( intersection multiplicity ) แนวคิดนี้เป็นแบบเฉพาะที่ (local)ในแง่ที่ว่าสามารถกำหนดได้โดยการพิจารณาสิ่งที่เกิดขึ้นในบริเวณใกล้เคียงของจุดทั่วไป ใดๆ ของส่วนประกอบนี้ ดังนั้นโดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เราอาจพิจารณาการตัดกันของสอง วาไรตีเชิง เส้นตรง (ส่วนย่อยของปริภูมิเชิงเส้นตรง) เพื่อกำหนดค่าความซ้ำซ้อนของการตัดกัน

ดังนั้น เมื่อกำหนดวาไรตี้เชิงเส้นสองตัวV และV แล้ว ให้พิจารณาส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้WของจุดตัดของV และV ให้dเป็นมิติของWและPเป็นจุดทั่วไปใดๆ ของWจุดตัดของWกับ ระนาบไฮเปอร์ d ระนาบในตำแหน่งทั่วไปที่ผ่านPมีส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้ซึ่งลดรูปเหลือเพียงจุดเดียว คือ Pดังนั้นวงแหวนเฉพาะที่ส่วนประกอบนี้ของวงแหวนพิกัดของจุดตัดจึงมีอุดมคติ เฉพาะเพียงหนึ่งเดียว และจึงเป็นวงแหวนอาร์ทิเนียนวงแหวนนี้จึงเป็น ปริภูมิ เวก เตอร์ มิติจำกัดเหนือฟิลด์พื้นฐาน มิติของมันคือความซ้ำซ้อนของจุดตัดของV และV ที่W

คำจำกัดความนี้ทำให้เราสามารถกล่าวถึงทฤษฎีบทของเบซูต์และการขยายความของทฤษฎีบทนั้นได้อย่างแม่นยำ

นิยามนี้เป็นการขยายความหมายของรากของพหุนามในลักษณะต่อไปนี้ รากของพหุนามfคือจุดบนเส้นตรงเชิงเส้นตรงซึ่งเป็นส่วนประกอบของเซตพีชคณิตที่กำหนดโดยพหุนาม วงแหวนพิกัดของเซตเชิงเส้นตรงนี้คือ${\displaystyle R=K[X]/\langle f\rangle ,}$โดยที่Kเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตซึ่งประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ของfถ้า${\displaystyle f(X)=\prod _{i=1}^{k}(X-\alpha _{i})^{m_{i}}}$คือการแยกตัวประกอบของfจากนั้นวงแหวนเฉพาะที่ของRที่อุดมคติเฉพาะ${\displaystyle \langle X-\alpha _{i}\rangle }$เป็น${\displaystyle K[X]/\langle (X-\alpha )^{m_{i}}\rangle .}$นี่คือปริมาณเวกเตอร์เหนือKซึ่งมีความซ้ำซ้อน${\displaystyle m_{i}}$ของรากในฐานะมิติหนึ่ง

นิยามของความซ้ำซ้อนของการตัดกันนี้ ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วเป็นผลงานของJean-Pierre SerreในหนังสือLocal Algebra ของเขา ใช้ได้เฉพาะกับส่วนประกอบเชิงทฤษฎีเซต (หรือเรียกว่าส่วนประกอบแยกเดี่ยว ) ของการตัดกันเท่านั้น ไม่ใช่ส่วนประกอบที่ฝังตัวอยู่มีการพัฒนาทฤษฎีเพื่อจัดการกับกรณีที่ฝังตัวอยู่แล้ว (ดู รายละเอียดได้ใน ทฤษฎีการตัดกัน )

ให้z เป็นรากของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกfและให้nเป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่ อนุพันธ์อันดับ ^ที่nของfที่ประเมินที่z แตกต่างจากศูนย์ จากนั้นอนุกรมกำลังของfรอบz จะเริ่มต้นด้วย พจน์ ^ที่nและfกล่าวได้ว่ามีรากที่มีความซ้ำซ้อน (หรือ "อันดับ") nถ้าn = 1 รากนั้นเรียกว่ารากเดี่ยว^{[ 4 ]}   

เรายังสามารถกำหนดความซ้ำซ้อนของศูนย์และขั้วของฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิก ได้อีกด้วย ถ้าเรามีฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิก${\textstyle f={\frac {g}{h}},}$ทำการแจกแจงเทย์เลอร์ของgและhรอบจุดz mและnเป็นลำดับของพจน์ตามลำดับ) ถ้าm  = n แสดง ว่าจุดนั้นมีค่าไม่เป็นศูนย์ ${\displaystyle m>n,}$ดังนั้นจุดนั้นจึงเป็นศูนย์ของความซ้ำซ้อน${\displaystyle m-n.}$ถ้า${\displaystyle m<n}$ดังนั้นจุดนั้นจึงมีขั้วแห่งความซ้ำซ้อน${\displaystyle n-m.}$หลักการอาร์กิวเมนต์นับศูนย์และขั้วตามจำนวนครั้งที่ปรากฏ

• ความหลากหลายเชิงพีชคณิต