เซ็นต์ (ดนตรี)

Q: ประวัติศาสตร์

บทความของ Alexander John Ellis เรื่อง On the Musical Scales of Various Nations [ 1 ] ซึ่ง ตีพิมพ์โดย Journal of the Society of Arts ในปี พ.ศ.

หนึ่งเซนต์เมื่อเทียบกับครึ่งเสียงบนคอร์ดเดี่ยว ที่ถูกตัด ทอน

เมื่อวัดบนมาตราส่วนความถี่เชิงเส้น (เฮิร์ตซ์) ค่าอ็อกเทฟจะเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ

เมื่อวัดบนมาตราส่วนลอการิทึม (เซนต์) ระยะห่างระหว่างอ็อกเทฟจะเท่ากัน

เซนต์เป็นหน่วยวัดเชิงลอการิทึม ที่ใช้สำหรับ ช่วงเสียงดนตรี ระบบเสียงสิบสองโทนเท่ากันจะแบ่ง ช่วงเสียง หนึ่งอ็อกเทฟ ออก เป็น 12 เซมิโทน เซมิโทนละ 100 เซนต์ โดยทั่วไป เซนต์จะใช้เพื่อแสดงช่วงเสียงเล็กๆ ตรวจสอบระดับเสียงหรือเปรียบเทียบขนาดของช่วงเสียงที่เทียบเคียงกันได้ในระบบการปรับเสียง ที่แตกต่างกัน สำหรับมนุษย์แล้ว หนึ่งเซนต์นั้นเล็กเกินกว่าจะรับรู้ได้ระหว่างโน้ตที่ต่อเนื่องกัน

หน่วยเซนต์ ตามที่อเล็กซานเดอร์ จอห์น เอลลิส อธิบายไว้ เป็นไปตามธรรมเนียมการวัดช่วงเสียงโดยใช้ลอการิทึมซึ่งเริ่มต้นโดยฮวน คารามูเอล อี โลบโควิทซ์ในศตวรรษที่ 17 ^{[ a ]}เอลลิสเลือกที่จะใช้หน่วยวัดที่หนึ่งในร้อยของครึ่งเสียงตาม คำแนะนำของ โรเบิร์ต โฮลฟอร์ด แมคโดเวลล์ โบซานเกต์ เอลลิสได้ทำการวัดเครื่องดนตรีจากทั่วโลกอย่างกว้างขวาง และใช้หน่วยเซนต์ในการรายงานและเปรียบเทียบสเกลที่ใช้^[¹^]และยังได้อธิบายและใช้ระบบนี้เพิ่มเติมในหนังสือOn the Sensations of Toneของเฮอร์มันน์ ฟอน เฮล์มโฮลท ซ์ ฉบับปี 1875 ซึ่งกลายเป็นวิธีการมาตรฐานในการแสดงและเปรียบเทียบระดับเสียงและช่วงเสียงดนตรี^[²^]^[³^] ${\sqrt[{1200}]{2}}$

ประวัติศาสตร์

บทความของAlexander John Ellis เรื่อง On the Musical Scales of Various Nations [ ^{1 ] ซึ่ง}ตีพิมพ์โดยJournal of the Society of Artsในปี พ.ศ. 2428 ได้นำเสนอระบบหน่วยเซนต์อย่างเป็นทางการเพื่อใช้ในการสำรวจ โดยการเปรียบเทียบและหาความแตกต่างระหว่างหน่วยเสียงดนตรีของประเทศต่างๆ ระบบหน่วยเซนต์ได้รับการกำหนดไว้แล้วในหนังสือ History of Musical Pitch ของเขา ซึ่ง Ellis เขียนไว้ว่า:

"ถ้าเราสมมติว่าระหว่างโน้ตที่อยู่ติดกันแต่ละคู่ซึ่งประกอบกันเป็นครึ่งเสียง เท่ากัน [...] มีโน้ตอื่นแทรกอยู่ 99 ตัว ซึ่งทำให้เกิดช่วงห่างเท่ากันพอดี เราจะแบ่งอ็อกเทฟออกเป็น 1200 ส่วน เท่าๆ กัน [ sic ]ของครึ่งเสียงเท่ากัน หรือเรียกสั้นๆ ว่าเซนต์ " ^[⁴^]

เอลลิสได้กำหนดระดับเสียงของโน้ตดนตรีในงานเขียนเรื่องประวัติศาสตร์ระดับเสียงดนตรี ในปี พ.ศ. 2423 ^{[ 5 ]}ไว้ว่า

"จำนวนการสั่นสะเทือนสองเท่าหรือสมบูรณ์ ทั้งไปข้างหน้าและข้างหลัง ที่เกิดขึ้นในแต่ละวินาทีโดยอนุภาคของอากาศในขณะที่ได้ยินเสียงโน้ต" ^{[ 6 ]}

ต่อมาเขาได้กำหนดระดับเสียงดนตรีว่าคือ "ระดับเสียง หรือ V [สำหรับ "การสั่นสะเทือนคู่"] ของโน้ตดนตรีใดๆ ที่กำหนดระดับเสียงของโน้ตอื่นๆ ทั้งหมดในระบบการปรับเสียงเฉพาะ" ^{[ 7 ]}เขาสังเกตว่าโน้ตเหล่านี้ เมื่อเล่นต่อเนื่องกัน จะก่อให้เกิดสเกลของเครื่องดนตรี และช่วงห่างระหว่างโน้ตสองตัวใดๆ จะวัดได้จาก "อัตราส่วนของตัวเลขระดับเสียงที่เล็กกว่าต่อตัวเลขระดับเสียงที่ใหญ่กว่า หรือจากเศษส่วนที่เกิดจากการหารตัวเลขที่ใหญ่กว่าด้วยตัวเลขที่เล็กกว่า" ^{[ 8 ]}ระดับเสียงสัมบูรณ์และระดับเสียงสัมพัทธ์ก็ถูกกำหนดขึ้นโดยอิงจากอัตราส่วนเหล่านี้เช่นกัน^{[ 8 ]}

เอลลิสตั้งข้อสังเกตว่า

“วัตถุประสงค์ของจูนเนอร์คือการทำให้ช่วงห่าง [...] ระหว่างโน้ตสองตัวใดๆ ที่ตอบสนองต่อคีย์นิ้วที่อยู่ติดกันสองตัวใดๆ ตลอดทั้งเครื่องดนตรีเท่ากันอย่างแม่นยำ ผลลัพธ์ที่ได้เรียกว่า การปรับ เสียงแบบเท่ากันหรือการปรับเสียงแบบเท่ากัน และเป็นระบบที่ใช้กันทั่วทั้งยุโรปในปัจจุบัน” ^{[ 9 ]}

นอกจากนี้ เขายังให้การคำนวณเพื่อประมาณค่าอัตราส่วนในหน่วยเซนต์ โดยกล่าวเพิ่มเติมว่า

"โดยทั่วไปแล้ว ไม่จำเป็นต้องคำนวณเกินจำนวนเต็มที่ใกล้เคียงที่สุดของเซนต์" ^{[ 10 ]}

ในบทความนี้ เอลลิสได้นำเสนอการประยุกต์ใช้ระบบเซนต์กับบันไดเสียงดนตรีของประเทศต่างๆ ซึ่งรวมถึง: (I. บันไดเสียงเฮปตาโทนิก) กรีกโบราณและยุโรปสมัยใหม่^{[ 11 ]}เปอร์เซีย อาระเบีย ซีเรีย และที่ราบสูงสกอตแลนด์^{[ 12 ]}อินเดีย^{[ 13 ]}สิงคโปร์^{[ 14 ]}พม่า^{[ 15 ]}และสยาม^{[ 16 ]} (II. บันไดเสียงเพนตาโทนิก) แปซิฟิกใต้^{[ 17 ]}แอฟริกาตะวันตก^{[ 18 ]}ชวา^{[ 19 ]}จีน^{[ 20 ]}และญี่ปุ่น^{[ 21 ]}และเขาสรุปว่า

"สเกลดนตรีไม่ใช่สเกลเดียว ไม่ใช่ 'ธรรมชาติ' และไม่ได้ตั้งอยู่บนกฎขององค์ประกอบของเสียงดนตรีที่เฮล์มโฮลทซ์ได้คิดค้นไว้อย่างสวยงาม แต่มีความหลากหลาย ประดิษฐ์ขึ้น และคาดเดาไม่ได้" ^{[ 22 ]}

ใช้

เซนต์เป็นหน่วยวัดอัตราส่วนระหว่างความถี่สองค่า เซมิโทน แบบเท่ากัน (ช่วงห่างระหว่างคีย์เปียโนสองคีย์ที่อยู่ติดกัน) มีค่าเท่ากับ 100 เซนต์ตามนิยาม อ็อกเทฟ —โน้ตสองตัวที่มีอัตราส่วนความถี่ 2:1—มีค่าเท่ากับสิบสองเซมิโทน หรือ 1200 เซนต์ อัตราส่วนของความถี่ที่ห่างกันหนึ่งเซนต์นั้นเท่ากับ2 ^{1 ⁄ 1200} = ¹²⁰⁰√ 2ซึ่งเป็นรากที่ 1200 ของ 2 โดยประมาณ1.000 577 7895ดังนั้น การเพิ่มความถี่ขึ้นหนึ่งเซนต์จะเทียบเท่ากับการคูณความถี่เดิมด้วยค่าคงที่นี้ การเพิ่มความถี่ขึ้น 1200 เซนต์จะทำให้ความถี่เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า ส่งผลให้ได้ความถี่ในระดับอ็อกเทฟ

ถ้าทราบความถี่ของโน้ตสองตัว จำนวนเซนต์ที่ใช้วัดช่วงห่างระหว่าง โน้ตสอง ตัวนั้นคือ: $f_{1}$ $f_{2}$ $c$ $f_{1}$ $f_{2}$

c=1200\cdot \log _{2}\left({\frac {f_{2}}{f_{1}}}\right)

ในทำนองเดียวกัน หากเรารู้ค่าและจำนวนเซนต์ในช่วงตั้งแต่ถึงแล้วจะเท่ากับ: $f_{1}$ $c$ $f_{1}$ $f_{2}$ $f_{2}$

f_{2}=f_{1}\times 2^{\frac {c}{1200}}\,.

การเปรียบเทียบเมเจอร์เทิร์ดในระบบเสียงยุติธรรมและระบบเสียงเท่ากัน

ในระบบเสียงแบบ Just Intonation ระยะห่างระหว่างโน้ตเมเจอร์เทิร์ด จะมีอัตราส่วนความถี่ 5:4 หรือประมาณ 386 เซนต์ แต่ในระบบเสียงแบบ Equal Temperament จะมีความถี่ 400 เซนต์ ความแตกต่าง 14 เซนต์นี้คิดเป็นประมาณหนึ่งในเจ็ดของครึ่งขั้น และมากพอที่จะได้ยินอย่างชัดเจน และเป็นเสียงที่ไม่กลมกลืนอย่างเห็นได้ชัดสำหรับนักดนตรีที่ได้รับการฝึกฝนใน บันไดเสียง แบบ Meantoneเพื่อการแสดงที่ถูกต้องตามยุคสมัย

การประมาณเชิงเส้นแบบแบ่งช่วง

เมื่อxเพิ่มขึ้นจาก 0 ถึง1/12ฟังก์ชัน 2x ^จะเพิ่มขึ้นเกือบเป็นเส้นตรงจาก1,000 00ถึง1.059 46ซึ่งอนุญาตให้ใช้การประมาณเชิงเส้นแบบเป็นช่วงดังนั้น แม้ว่าหน่วยเซนต์จะแสดงถึงมาตราส่วนลอการิทึม แต่ช่วงเล็ก ๆ (ต่ำกว่า 100 เซนต์) สามารถประมาณได้อย่างคร่าว ๆด้วยความสัมพันธ์เชิงเส้น 1 + 0.000 5946แทนที่จะเป็นความสัมพันธ์เลขชี้กำลังที่แท้จริง 2 ^c^⁄¹²⁰⁰ข้อผิดพลาดจากการปัดเศษเป็นศูนย์เมื่อเป็น 0 หรือ 100 และสูงขึ้นเพียงประมาณ 0.72 เซนต์เมื่อ= 50 (ซึ่งค่าที่ถูกต้องคือ 2 ¹^⁄²⁴ ≅ $c$ $c$ $c$ 1.029 30ประมาณโดย 1 + 0.000 5946 × 50 ≅ 1.02973) ค่าความคลาดเคลื่อนนี้ต่ำกว่าระดับที่มนุษย์สามารถได้ยินได้มาก ทำให้การประมาณค่าเชิงเส้นแบบแบ่งช่วงนี้เพียงพอสำหรับวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติส่วนใหญ่

การรับรู้ของมนุษย์

เป็นการยากที่จะระบุว่ามนุษย์สามารถรับรู้ความแตกต่างของระดับเสียงได้กี่เซนต์ ความแม่นยำนี้แตกต่างกันไปในแต่ละบุคคล ผู้เขียนคนหนึ่งกล่าวว่ามนุษย์สามารถแยกแยะความแตกต่างของระดับเสียงได้ประมาณ 5–6 เซนต์^{[ 23 ]} เกณฑ์ของสิ่งที่รับรู้ได้ ซึ่งในทางเทคนิคเรียกว่าความแตกต่างที่รับรู้ได้ (JND) ก็แตกต่างกันไปตามความถี่ แอมพลิจูด และลักษณะเสียงในการศึกษาหนึ่ง การเปลี่ยนแปลงคุณภาพของเสียงทำให้ความสามารถของนักดนตรีรุ่นเยาว์ในการรับรู้ระดับเสียงที่เบี่ยงเบนจากค่าที่เหมาะสมไป ±12 เซนต์ว่าเป็นเสียงที่ไม่ตรงคีย์ลดลง^{[ 24 ]} นอกจากนี้ยังมีการพิสูจน์แล้วว่าบริบทของเสียงที่เพิ่มขึ้นช่วยให้ผู้ฟังสามารถตัดสินระดับเสียงได้แม่นยำยิ่งขึ้น^{[ 25 ]} "ในขณะที่ช่วงห่างที่น้อยกว่าไม่กี่เซนต์นั้นหูของมนุษย์ไม่สามารถรับรู้ได้ในบริบทของทำนองเพลง แต่ในความกลมกลืน การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยมากอาจทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงอย่างมากในจังหวะและความหยาบของคอร์ด" ^{[ 26 ]}

เมื่อฟังเสียงที่มีการสั่นสะเทือนมีหลักฐานว่ามนุษย์รับรู้ความถี่เฉลี่ยว่าเป็นจุดศูนย์กลางของเสียง^{[ 27 ]}การศึกษาหนึ่งเกี่ยวกับการแสดงAve Maria ของ Schubert ในยุคปัจจุบัน พบว่าช่วงการสั่นสะเทือนโดยทั่วไปอยู่ระหว่าง ±34 เซนต์และ ±123 เซนต์ โดยมีค่าเฉลี่ยอยู่ที่ ±71 เซนต์ และสังเกตเห็นความแปรผันที่สูงกว่าในอาริอาโอเปร่าของVerdi ^{[ 28 ]}

ผู้ใหญ่ปกติสามารถรับรู้ความแตกต่างของระดับเสียงที่เล็กเพียง 25 เซนต์ได้อย่างน่าเชื่อถือมาก อย่างไรก็ตาม ผู้ใหญ่ที่มีภาวะอะมูเซียจะมีปัญหาในการรับรู้ความแตกต่างที่น้อยกว่า 100 เซนต์ และบางครั้งก็มีปัญหาในการรับรู้ช่วงเสียงเหล่านี้หรือช่วงเสียงที่ใหญ่กว่า^{[ 29 ]}

การแสดงช่วงเวลาด้วยลอการิทึมในรูปแบบอื่นๆ

อ็อกเทฟ

การแสดงช่วงเสียงดนตรีด้วยลอการิทึมนั้นเก่าแก่เกือบเท่ากับตัวลอการิทึมเอง ลอการิทึมถูกคิดค้นโดยลอร์ดเนเปียร์ในปี ค.ศ. 1614 ^{[ 30 ]}ย้อนกลับไปในปี ค.ศ. 1647 ฮวน คารามูเอล อี โลบโควิทซ์ (ค.ศ. 1606-1682) ได้อธิบายการใช้ลอการิทึมฐาน 2 ในดนตรีในจดหมายถึงอทานาซิอุส เคิร์ชเชอร์^{[ 31 ]}ในฐานนี้ อ็อกเทฟแทนด้วย 1 เซมิโทนแทนด้วย 1/12 เป็นต้น

เฮปตาเมอไรด์

โจเซฟ ซอเวอร์ในหนังสือ Principes d'acoustique et de musique ของเขา ในปี 1701 ได้เสนอให้ใช้ลอการิทึมฐาน 10 ซึ่งอาจเป็นเพราะตารางมีให้ใช้ เขาใช้ลอการิทึมที่คำนวณด้วยทศนิยมสามตำแหน่ง ลอการิทึมฐาน 10 ของ 2 มีค่าประมาณ 0.301 ซึ่งซอเวอร์คูณด้วย 1000 เพื่อให้ได้ 301 หน่วยในอ็อกเทฟ เพื่อให้สามารถทำงานกับหน่วยที่จัดการได้ง่ายขึ้น เขาแนะนำให้ใช้ 7/301 เพื่อให้ได้หน่วย 1/43 อ็อกเทฟ^{[ b ]}ดังนั้น อ็อกเทฟจึงถูกแบ่งออกเป็น 43 ส่วน เรียกว่า "เมอไรด์" ซึ่งแต่ละส่วนแบ่งออกเป็น 7 ส่วน เรียกว่า "เฮปตาเมอไรด์" ซอเวอร์ยังจินตนาการถึงความเป็นไปได้ที่จะแบ่งเฮปตาเมอไรด์แต่ละส่วนออกเป็น 10 ส่วน แต่ไม่ได้ใช้หน่วยย่อยขนาดนั้นจริงๆ^{[ 32 ]}

พรอนี่

ในช่วงต้นศตวรรษที่ 19 Gaspard de Pronyได้เสนอหน่วยฐานลอการิทึมโดยที่หน่วยนี้สอดคล้องกับเซมิโทนในระบบเสียงเท่ากัน^[³³^] Alexander John Ellis ในปี 1880 ได้อธิบายมาตรฐานระดับเสียงจำนวนมากที่เขาจดบันทึกหรือคำนวณ โดยระบุเป็น pronys ด้วยทศนิยมสองตำแหน่ง กล่าวคือ มีความแม่นยำถึง 1/100 ของเซมิโทน^[³⁴^]ซึ่งเป็นช่วงห่างที่แยกออกจากระดับเสียงตามทฤษฎีที่ 370 Hz ซึ่งถือเป็นจุดอ้างอิง^[³⁵^] ${\sqrt[{12}]{2}}$

เซนติโทน

เซนติโทน (หรือIring ) เป็นช่วงเสียงดนตรี (2 ¹^⁄⁶⁰⁰ , ) เท่ากับสองเซนต์ (2 ²^⁄¹²⁰⁰ ) ^[³⁶^]^[³⁷^]เสนอให้เป็นหน่วยวัด ( ${\sqrt[{600}]{2}}$ เล่น^ⓘ ) โดย Widogast Iring ในDie reine Stimmung in der Musik(1898) ว่าเป็น 600 ขั้นต่ออ็อกเทฟและต่อมาโดยJoseph YasserในA Theory of Evolving Tonality(1932) ว่าเป็น 100 ขั้นต่อโทนเสียงเต็มที่เท่า

Iring สังเกตเห็นว่า Grad/Werckmeister (1.96 เซนต์, 12 ต่อคอมมาพีทาโกเรียน ) และschisma (1.95 เซนต์) เกือบจะเหมือนกัน (≈ 614 ขั้นต่ออ็อกเทฟ) และทั้งสองสามารถประมาณได้ด้วย 600 ขั้นต่ออ็อกเทฟ (2 เซนต์) ^{[ 38 ]} Yasser สนับสนุนเดซิโทนเซนติโทน และมิลลิโทน (10, 100 และ 1000 ขั้นต่อโทนเต็ม = 60, 600 และ 6000 ขั้นต่ออ็อกเทฟ = 20, 2 และ 0.2 เซนต์) ^{[ 39 ]}^{[ 40 ]}

ตัวอย่างเช่น: เพอร์เฟคฟิฟท์แบบปรับสมดุลเท่ากัน = 700 เซ็นต์ = 175.6 ซาวาร์ต = 583.3 มิลลิออค เทฟ = 350 เซนติโทน^{[ 41 ]}

เซนติโทน	เซนต์
1 เซนติโทน	2 เซนต์
0.5 เซนติโทน	1 เซนต์
2 ¹^⁄⁶⁰⁰	2 ¹^⁄¹²⁰⁰
50 ต่อเซมิโทน	100 ต่อเซมิโทน
100 ต่อโทนเสียงเต็ม	200 ต่อโทนเสียงเต็ม

ซาวาร์ท

savart ^{[ 42 ]}ได้รับการเสนอโดย Auguste Guillemin ในปี พ.ศ. 2445 ^{[ 43 ]}ซึ่งตั้งชื่อตาม Félix Savart (1791-1841) ซึ่งอย่างไรก็ตามไม่เคยพิจารณาความเป็นไปได้ในการวัดช่วงเวลาด้วยลอการิทึมมาก่อน การระบุว่าเป็นของ Savart เองปรากฏขึ้นในภายหลังในแหล่งข้อมูลแองโกล-แซกซอนหลายแห่ง^{[ 44 ]}^{[ 45 ]}

กิเยมินได้กำหนดนิยามของซาวาร์ตเป็นครั้งแรกว่าเป็นลอการิทึมฐานสิบ โดย 1 ซาวาร์ตคือลอการิทึมของทศวรรษ (10/1) และมิลลิซาวาร์ตคือลอการิทึมฐาน 10 คูณด้วย 1000 ต่อมาจึงถือว่านี่คือซาวาร์ตเอง^{[ 46 ]}

savart ได้รับการอธิบายโดยไม่จำกัดจำนวนทศนิยม ดังนั้นค่าของหน่วยจึงแตกต่างกันไปตามแหล่งที่มา ด้วยทศนิยมห้าตำแหน่ง ลอการิทึมฐาน 10 ของ 2 คือ 0.30103 ซึ่งให้ 301.03 savart ในอ็อกเทฟ^{[ 47 ]}ค่านี้มักจะปัดเศษเป็น 1/301 หรือ 1/300 อ็อกเทฟ^{[ 48 ]}^{[ 49 ]}

ไฟล์เสียง

ไฟล์เสียงต่อไปนี้เล่นช่วงเสียงต่างๆ ในแต่ละกรณี โน้ตตัวแรกที่เล่นคือโน้ตกลาง C โน้ตถัดไปจะสูงกว่า C ตามค่าที่กำหนดเป็นเซนต์ สุดท้าย โน้ตทั้งสองจะเล่นพร้อมกัน

โปรดทราบว่าค่า JND สำหรับความแตกต่างของระดับเสียงอยู่ที่ 5–6 เซนต์ เมื่อเล่นโน้ตแยกกัน อาจไม่แสดงความแตกต่างที่ได้ยินได้ แต่เมื่อเล่นพร้อมกัน อาจได้ยิน เสียงบีต (ตัวอย่างเช่น หากเล่นโน้ตกลาง C และโน้ตที่สูงกว่า 10 เซนต์) ในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง รูปคลื่นทั้งสองจะเสริมหรือหักล้างกันมากหรือน้อย ขึ้นอยู่กับ ความสัมพันธ์ ของเฟส ในขณะ นั้น ช่างจูนเปียโนอาจตรวจสอบความถูกต้องของการจูนโดยการจับเวลาบีตเมื่อเล่นสายสองสายพร้อมกัน

เล่นโน้ตกลาง C และสูงกว่านั้น 1 เซนต์^ⓘ , ความถี่บีต = 0.16เฮิรตซ์เล่นโน้ตกลาง C และสูงกว่านั้น 10.06 เซนต์^ⓘ , ความถี่บีต = 1.53 เฮิรตซ์ เล่นโน้ต C กลาง และสูงกว่านั้น 25 เซนต์^ⓘ , ความถี่บีต = 3.81 เฮิรตซ์

ดูเพิ่มเติม

แหล่งที่มา

Apel, Willi (1970). พจนานุกรมดนตรีฮาร์วาร์ด . เทย์เลอร์ แอนด์ ฟรานซิส.
บาร์บิเอรี, ปาตริซิโอ (1987) ฮวน คารามูเอล ล็อบโควิทซ์ (1606–1682): über die musikalischen Logarithmen und das Problem der musikalischen Temperatur" ทฤษฎีดนตรี . 2 (2): 145– 168.
เบนสัน, เดฟ (2007). ดนตรี: ข้อเสนอทางคณิตศาสตร์ . เคมบริดจ์. ISBN 9780521853873.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
Brown, JC; Vaughn, KV (กันยายน 1996). "จุดศูนย์กลางระดับเสียงของเสียงสั่นของเครื่องดนตรีประเภทสาย" (PDF) . วารสารของสมาคมเสียงแห่งอเมริกา . 100 (3): 1728– 1735. Bibcode : 1996ASAJ..100.1728B . doi : 10.1121/1.416070 . PMID 8817899 . สืบค้นเมื่อ2008-09-28 .
Ellis, Alexander J. ; Hipkins, Alfred J. (1884), "การสังเกตทางโทนเสียงของบันไดเสียงดนตรีที่ไม่กลมกลืนกันบางบันไดเสียง", Proceedings of the Royal Society of London , 37 ( 232– 234): 368– 385, doi : 10.1098/rspl.1884.0041 , JSTOR 114325 , Zenodo : 1432077 .
Ellis, Alexander J. (1880), "ประวัติของระดับเสียงดนตรี" , Journal of the Society of Arts , 21 (545): 293– 337, Bibcode : 1880Natur..21..550E , doi : 10.1038/021550a0 , S2CID 4107831
เอลลิส, อเล็กซานเดอร์ เจ. (1885), "เกี่ยวกับบันไดเสียงดนตรีของชาติต่างๆ" , วารสารสมาคมศิลปะ : 485– 527 , สืบค้นเมื่อ1 มกราคม 2020
ฟาร์นสเวิร์ธ, พอล แรนดอล์ฟ (1969). จิตวิทยาสังคมของดนตรี . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยรัฐไอโอวา. ISBN 9780813815473.
Geringer, JM; Worthy, MD (1999). "ผลกระทบของการเปลี่ยนแปลงคุณภาพเสียงต่อการออกเสียงและการให้คะแนนคุณภาพเสียงของนักดนตรีระดับมัธยมปลายและวิทยาลัย" วารสารวิจัยการศึกษาดนตรี 47 ( 2): 135– 149. doi : 10.2307/3345719 . JSTOR 3345719 . S2CID 144918272 .
Loeffler, DB (เมษายน 2549). ลักษณะเสียงของเครื่องดนตรีและการประมาณค่าระดับเสียงในดนตรีหลายเสียง (ปริญญาโท). ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้าและคอมพิวเตอร์, Georgia Tech. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 18 ธันวาคม 2550
Peretz, I.; Hyde, KL (สิงหาคม 2546). "อะไรคือสิ่งที่เฉพาะเจาะจงในการประมวลผลดนตรี? ข้อมูลเชิงลึกจากภาวะบกพร่องทางดนตรีแต่กำเนิด". แนวโน้มในวิทยาศาสตร์การรู้คิด 7 ( 8): 362– 367. CiteSeerX 10.1.1.585.2171 . doi : 10.1016/S1364-6613(03)00150-5 . PMID 12907232 . S2CID 3224978 .
Prame, E. (กรกฎาคม 1997). "ขอบเขตของการสั่นสะเทือนและระดับเสียงในการร้องเพลง抒情แบบตะวันตกมืออาชีพ"วารสารของสมาคมเสียงแห่งอเมริกา 102 ( 1): 616– 621. Bibcode : 1997ASAJ..102..616P . doi : 10.1121/1.419735 .
แรนเดล, ดอน ไมเคิล (1999). พจนานุกรมดนตรีและนักดนตรีฉบับย่อของฮาร์วาร์ด . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด. ISBN 978-0-674-00084-1.
แรนเดล, ดอน ไมเคิล (2003). พจนานุกรมดนตรีฮาร์วาร์ด ( ฉบับที่ 4). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด. ISBN 978-0-674-01163-2.
เรโนลด์, มาเรีย (2004) [1998], แอนนา มิวส์ (บรรณาธิการ), ช่วงเสียง, บันไดเสียง, โทนเสียง และระดับเสียงมาตรฐาน C = 128 เฮิรตซ์แปลโดย เบวิส สตีเวนส์, เทมเปิล ลอดจ์, ISBN 9781902636467สัดส่วนช่วง สามารถแปลงเป็นค่าเซนต์ซึ่งเป็นค่าที่ใช้กันทั่วไปในปัจจุบันได้{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
Warrier, CM; Zatorre, RJ (กุมภาพันธ์ 2002). "อิทธิพลของบริบทโทนเสียงและการเปลี่ยนแปลงของเสียงต่อการรับรู้ระดับเสียง"การรับรู้และจิตวิทยา 64 ( 2): 198– 207. doi : 10.3758/BF03195786 . PMID 12013375 . S2CID 15094971 .
ยัสเซอร์, โจเซฟ (1932). ทฤษฎีวิวัฒนาการของโทนเสียง . หอสมุดดนตรีวิทยาอเมริกัน.

ลิงก์ภายนอก

การแปลงหน่วยเซนต์: อัตราส่วนจำนวนเต็มต่อเซนต์เก็บถาวรเมื่อ 2017-04-22 ที่Wayback Machine [ปัดเศษเป็นจำนวนเต็ม]
การแปลงหน่วยเงินเซนต์: โปรแกรมออนไลน์ที่มีฟังก์ชันหลากหลาย

[ a ]

[

[

[

[

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ b ]

[ 32 ]

[

[

[

[

[

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49 ]