การปรับค่าใหม่ (Renormalization)คือชุดของเทคนิคในทฤษฎีสนามควอนตัมทฤษฎีสนามสถิติและทฤษฎี โครงสร้างทางเรขาคณิต ที่คล้ายคลึงกันซึ่งใช้ในการจัดการกับค่าอนันต์ที่เกิดขึ้นในปริมาณที่คำนวณได้ โดยการเปลี่ยนแปลงค่าของปริมาณเหล่านี้เพื่อชดเชยผลกระทบของปฏิสัมพันธ์ ระหว่างกัน แม้ว่าจะไม่มีค่าอนันต์เกิดขึ้นในไดอะแกรมลูปในทฤษฎีสนามควอนตัม ก็สามารถแสดงได้ว่าจำเป็นต้องปรับค่าใหม่ของมวลและสนามที่ปรากฏในลากรางเจียนดั้งเดิม^{[ 1 ]}นี่เป็นวิธีการหลักที่ใช้ในฟิสิกส์เชิงทฤษฎีในการจัดการกับ ปริมาณที่ ล divergent เหล่านี้ เนื่องจากความสามารถในการใช้งานที่กว้างขวาง แม้ว่าจะมีวิธีการที่จำกัดกว่าแต่เข้มงวดกว่า เช่นทฤษฎีการรบกวนเชิงสาเหตุก็ถูกนำมาใช้เช่นกัน

ตัวอย่างเช่น ทฤษฎี อิเล็กตรอนอาจเริ่มต้นด้วยการตั้งสมมติฐานว่าอิเล็กตรอนมีมวลและประจุเริ่มต้น ในทฤษฎีสนามควอนตัมกลุ่มอนุภาคเสมือนเช่นโฟตอนโพซิตรอนและอื่นๆ จะล้อมรอบและมีปฏิสัมพันธ์กับอิเล็กตรอนเริ่มต้น การพิจารณาปฏิสัมพันธ์ของอนุภาคโดยรอบ (เช่น การชนกันที่พลังงานต่างกัน) แสดงให้เห็นว่าระบบอิเล็กตรอนมีพฤติกรรมราวกับว่ามีมวลและประจุที่แตกต่างจากที่ตั้งสมมติฐานไว้ในตอนแรก การปรับค่าใหม่ (Renormalization) ในตัวอย่างนี้ จะแทนที่มวลและประจุของอิเล็กตรอนที่ตั้งสมมติฐานไว้ในตอนแรก ( อนุภาคเปล่า ) ด้วยมวลและประจุที่สังเกตได้จากการทดลอง ( อนุภาคที่ตกแต่งแล้ว ) คณิตศาสตร์และการทดลองพิสูจน์ว่าโพซิตรอนและอนุภาคที่มีมวลมากกว่า เช่นโปรตอนแสดงประจุที่สังเกตได้เหมือนกับอิเล็กตรอนอย่างแม่นยำ แม้จะมีปฏิสัมพันธ์ที่รุนแรงกว่าและกลุ่มอนุภาคเสมือนที่เข้มข้นกว่ามากก็ตาม กระบวนการปรับค่าใหม่นั้นขึ้นอยู่กับข้อกำหนดที่ว่าปริมาณทางกายภาพบางอย่าง (เช่น มวลและประจุของอิเล็กตรอน) ต้องเท่ากับค่าที่สังเกตได้ (จากการทดลอง)

การปรับค่ามาตรฐาน (Renormalization) ระบุความสัมพันธ์ระหว่างพารามิเตอร์ในทฤษฎีเมื่อพารามิเตอร์ที่อธิบายระยะทางขนาดใหญ่แตกต่างจากพารามิเตอร์ที่อธิบายระยะทางขนาดเล็ก ในทางกายภาพ การสะสมของส่วนประกอบจากมาตราส่วนจำนวนอนันต์ที่เกี่ยวข้องในปัญหาอาจส่งผลให้เกิดปริมาณอนันต์เพิ่มเติม เมื่ออธิบายปริภูมิเวลาเป็นแบบต่อเนื่อง โครงสร้างทางสถิติและกลศาสตร์ควอนตัมบางอย่างไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจนเพื่อที่จะกำหนดโครงสร้างเหล่านั้นได้อย่างชัดเจนขีดจำกัดแบบต่อเนื่องจะต้องกำจัด "โครงสร้างค้ำยัน" ของแลตทิซในมาตราส่วนต่างๆ อย่างระมัดระวัง

การปรับค่ามาตรฐาน (Renormalization) ได้รับการพัฒนาขึ้นครั้งแรกในควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ (QED) เพื่อทำความเข้าใจอินทิกรัลอนันต์ในทฤษฎีการรบกวนในตอนแรกถูกมองว่าเป็นขั้นตอนชั่วคราวที่น่าสงสัย แม้แต่โดยผู้ริเริ่มบางคน การปรับค่ามาตรฐานในที่สุดก็ได้รับการยอมรับว่าเป็นกลไกที่สำคัญและสอดคล้องกันของฟิสิกส์เชิงสเกลในหลายสาขาของฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ แม้ว่าต่อมาเขาจะมีความสงสัย แต่พอล ดิแรก ก็เป็น ผู้บุกเบิกการปรับค่ามาตรฐาน^{[ 2 ] [ 3 ]}

ในปัจจุบัน จากแนวคิด สำคัญของ กลุ่มการปรับค่า มาตรฐาน (renormalization group) ที่นำโดย Nikolay BogolyubovและKenneth Wilsonการศึกษาเรื่องการปรับค่ามาตรฐานจึงมุ่งเน้นไปที่การเปลี่ยนแปลงของปริมาณทางกายภาพในระดับที่ต่อเนื่องกัน ส่วนระดับที่ห่างไกลกันนั้นจะเชื่อมโยงกันผ่าน คำอธิบายเชิง "ประสิทธิผล" (effective descriptions) ทุกระดับจะเชื่อมโยงกันอย่างเป็นระบบ และฟิสิกส์ที่แท้จริงที่เกี่ยวข้องกับแต่ละระดับจะถูกดึงออกมาด้วยเทคนิคการคำนวณที่เหมาะสมกับแต่ละระดับ Wilson ได้ชี้แจงว่าตัวแปรใดในระบบมีความสำคัญและตัวแปรใดซ้ำซ้อน

การปรับค่ามาตรฐาน (Renormalization) ทำได้โดยการกำหนด "แผนการปรับค่ามาตรฐาน" ซึ่งเป็นสมการที่กำหนดวิธีการปรับขนาดพารามิเตอร์ทางฟิสิกส์ภายในทฤษฎี วิธีการที่แตกต่างกัน เช่นon-shellหรือการลบขั้นต่ำจะต้องใช้ขึ้นอยู่กับประเภทของปฏิสัมพันธ์ที่กำลังพิจารณา การปรับค่ามาตรฐานแตกต่างจากการทำให้เป็นระเบียบ (Regularization ) ซึ่งเป็นอีกเทคนิคหนึ่งในการควบคุมค่าอนันต์โดยการสมมติว่ามีฟิสิกส์ใหม่ที่ไม่รู้จักในระดับใหม่ แม้ว่าทั้งสองจะสามารถใช้ร่วมกันได้ก็ตาม

ปัญหาของอนันต์เกิดขึ้นครั้งแรกในพลศาสตร์ไฟฟ้าแบบคลาสสิกของอนุภาคจุดในช่วงศตวรรษที่ 19 และต้นศตวรรษที่ 20 ^{[ 4 ]}มวลของอนุภาคที่มีประจุควรจะรวมมวล-พลังงานในสนามไฟฟ้าสถิต ( มวลแม่เหล็กไฟฟ้า ) สมมติว่าอนุภาคเป็นเปลือกทรงกลมที่มีประจุรัศมีr _eมวล-พลังงานในสนามคือ ซึ่งจะกลายเป็นอนันต์เมื่อr _e → 0ซึ่งหมายความว่าอนุภาคจุดจะมีแรงเฉื่อย อนันต์ และไม่สามารถเร่งความเร็วได้ อนึ่ง ค่าของr _eที่ทำให้เท่ากับมวลอิเล็กตรอนเรียกว่ารัศมีอิเล็กตรอนแบบคลาสสิกซึ่ง (เมื่อกำหนดและละเว้นปัจจัยของ) จะกลายเป็น โดย ที่คือค่าคงที่โครงสร้างละเอียดและคือความยาวคลื่นคอมป์ตัน ที่ลดลง ของอิเล็กตรอน $${\displaystyle m_{\text{em}}c^{2}=\int {\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}\,dV=\int _{r_{\text{e}}}^{\infty }{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}\left({\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}\right)^{2}4\pi r^{2}\,dr={\frac {q^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}r_{\text{e}}}},}$$${\displaystyle m_{\text{em}}}$${\displaystyle q=e}$${\displaystyle {1}/{2}}$$${\displaystyle r_{\text{e}}={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}m_{\text{e}}c^{2}}}=\alpha {\frac {\hbar }{m_{\text{e}}c}}\approx 2.8\times 10^{-15}~{\text{m}},}$$${\displaystyle \alpha \approx 1/137}$${\displaystyle \hbar /(m_{\text{e}}c)}$

มวลยังผลรวมของอนุภาคประจุทรงกลมนั้นรวมถึงมวลเปล่าที่แท้จริงของเปลือกทรงกลม (นอกเหนือจากมวลที่กล่าวถึงข้างต้นซึ่งเกี่ยวข้องกับสนามไฟฟ้า) หากอนุญาตให้มวลเปล่าของเปลือกเป็นลบได้ อาจเป็นไปได้ที่จะใช้ขีดจำกัดจุดที่สอดคล้องกัน วิธีนี้เรียกว่าการปรับค่าใหม่ (renormalization) และลอเรนซ์และอับราฮัมพยายามพัฒนาทฤษฎีคลาสสิกของอิเล็กตรอนด้วยวิธีนี้ งานในช่วงแรกนี้เป็นแรงบันดาลใจให้กับความพยายามในภายหลังเกี่ยวกับการทำให้เป็นระเบียบ (regularization)และการปรับค่าใหม่ในทฤษฎีสนามควอนตัม

ในการคำนวณ ปฏิสัมพันธ์ ทางแม่เหล็กไฟฟ้าของอนุภาคที่มีประจุ จำเป็นต้องใช้ ปฏิกิริยาย้อนกลับของสนามของอนุภาคเองต่อตัวมันเอง (คล้ายกับแรงเคลื่อนไฟฟ้าเหนี่ยวนำย้อนกลับในการวิเคราะห์วงจร) เพื่ออธิบายแรงเสียดทานบนอนุภาคที่มีประจุเมื่อพวกมันปล่อยรังสี หากสมมติว่าอิเล็กตรอนเป็นจุด ค่าของปฏิกิริยาย้อนกลับจะลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ ด้วยเหตุผลเดียวกับที่มวลลู่เข้าสู่ค่าอนันต์ เนื่องจากสนามเป็นค่าผกผันกำลังสอง

ทฤษฎีAbraham–Lorentzประกอบด้วย "การเร่งความเร็วล่วงหน้า" แบบย้อนกลับซึ่งช่วยให้สามารถแก้ปัญหาที่อิเล็กตรอนจะเริ่มเคลื่อนที่ก่อนที่จะมีการใช้แรง ปัญหาเหล่านี้ยังคงอยู่ในสมการ Abraham-Lorentz เวอร์ชันสัมพัทธภาพ นี่เป็นสัญญาณบ่งชี้ว่าขีดจำกัดจุดไม่สอดคล้องกัน และ/หรือจำเป็นต้องมีการจัดการทางกลศาสตร์ควอนตัม^{[ 5 ]}

ปัญหาจะรุนแรงกว่าในทฤษฎีสนามแบบคลาสสิกมากกว่าในทฤษฎีสนามควอนตัม เพราะในทฤษฎีสนามควอนตัม อนุภาคที่มีประจุจะประสบกับZitterbewegung ^{[ 6 ]}เนื่องจากการรบกวนกับคู่ของอนุภาคเสมือน-ปฏิอนุภาค จึงทำให้ประจุกระจายไปทั่วบริเวณที่เทียบได้กับความยาวคลื่นคอมป์ตัน ในควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ที่การเชื่อมต่อขนาดเล็ก มวลแม่เหล็กไฟฟ้าจะล diverges ตามลอการิทึมของรัศมีของอนุภาคเท่านั้น

ความแตกต่างภายในทฤษฎีสนามควอนตัมเป็นเรื่องปกติ แต่พบครั้งแรกในการพัฒนาควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ในช่วงทศวรรษ 1930 โดยMax Born , Werner Heisenberg , Pascual JordanและPaul Diracพวกเขาค้นพบว่าเมื่อเพิ่มการแก้ไขแบบรบกวนเข้าไป อินทิกรัลจำนวนมากภายในทฤษฎีจะเกิดการล divergence ^{[ 7 ]}

วิธีหนึ่งในการอธิบาย ความแตกต่างของการแก้ไข ทฤษฎีการรบกวนถูกค้นพบในปี พ.ศ. 2490–2490 โดยHans Kramers [ ^{8 ] Hans} Bethe [ ^{9 ] Julian} Schwinger [ ^{10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] Richard} Feynman ^{[ 14} ] ^{[ 15 ] [ 16 ]}และShin'ichiro Tomonaga [ ^{17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}และได้รับการจัดระบบโดย^Freeman Dysonในปี พ.ศ. 2492 ^{[ 24 ]}ความแตกต่างปรากฏในการแก้ไขการแผ่รังสีที่เกี่ยวข้องกับ^{ไดอะแกรม} Feynmanที่มีวงปิดของ^{อนุภาค}เสมือนอยู่ภายใน

ถึงแม้ว่าอนุภาคเสมือนจะปฏิบัติตามหลักการอนุรักษ์พลังงานและโมเมนตัมแต่พวกมันสามารถมีพลังงานและโมเมนตัมใดๆ ก็ได้ แม้กระทั่ง ค่าที่ อยู่นอกเหนือขอบเขต พลังงาน ปกติ ซึ่งไม่ได้รับอนุญาตจากความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานและโมเมนตัมเชิงสัมพัทธภาพสำหรับมวลที่สังเกตได้ของอนุภาคนั้น เมื่อมีวงจร โมเมนตัมของอนุภาคที่เกี่ยวข้องในวงจรจะไม่ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจงโดยพลังงานและโมเมนตัมของอนุภาคที่เข้ามาและออกไป การเปลี่ยนแปลงในพลังงานของอนุภาคหนึ่งในวงจรสามารถสมดุลได้ด้วยการเปลี่ยนแปลงที่เท่ากันและตรงกันข้ามในพลังงานของอนุภาคอีกตัวหนึ่งในวงจร โดยไม่ส่งผลกระทบต่ออนุภาคที่เข้ามาและออกไป ดังนั้นจึงมีความแปรผันได้หลายแบบ การหาแอมพลิจูดสำหรับกระบวนการวงจรต้องใช้การอิน ทิเกรต เหนือชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดของพลังงานและโมเมนตัมที่สามารถเคลื่อนที่ไปรอบๆ วงจรได้ อินทิกรัลเหล่านี้มักจะลู่เข้าสู่ค่าอนันต์

ความแตกต่างเหล่านี้มีสองประเภท ประเภทแรกคือ " รังสีอัลตราไวโอเลต " (UV) ซึ่งมาจาก

• บริเวณในปริพันธ์ที่อนุภาคทั้งหมดในลูปมีพลังงานและโมเมนตัมสูง
• คลื่นความยาวสั้นมากและ ความผันผวน ความถี่ สูง ของสนาม ในปริพันธ์เส้นทางสำหรับสนาม
• ช่วงเวลาที่เหมาะสม ระหว่างการปล่อยและการดูดซับอนุภาค นั้นสั้นมากหากมองว่าวงจรดังกล่าวเป็นผลรวมของเส้นทางการเคลื่อนที่ของอนุภาค

ดังที่แสดงในรูปภาพที่ขอบด้านขวา มีแผนภาพลูปที่แยกออกหนึ่งลูปจำนวนสามแบบในควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์: ^{[ 25 ]}

ความแตกต่างประเภทที่สองเรียกว่าความแตกต่างอินฟราเรดกระบวนการทุกอย่างที่เกี่ยวข้องกับอนุภาคที่มีประจุจะปล่อยโฟตอนที่สอดคล้องกันจำนวนอนันต์ที่มีความยาวคลื่นอนันต์ และแอมพลิจูดสำหรับการปล่อยโฟตอนจำนวนจำกัดใดๆ จะเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น ที่ลำดับหนึ่งลูปฟังก์ชันจุดยอดมีความแตกต่างทั้งอัลตราไวโอเลตและอินฟราเรด แตกต่างจากความแตกต่างอัลตราไวโอเลต ความแตกต่างอินฟราเรดไม่จำเป็นต้องมีการปรับค่าพารามิเตอร์ในทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง ความแตกต่างอินฟราเรดของไดอะแกรมจุดยอดจะถูกกำจัดโดยการรวมไดอะแกรมที่คล้ายกับไดอะแกรมจุดยอดที่มีความแตกต่างที่สำคัญดังต่อไปนี้: โฟตอนที่เชื่อมต่อขาของอิเล็กตรอนทั้งสองข้างถูกตัดออกและแทนที่ด้วย โฟ ตอนออนเชลล์ (เช่น โฟตอนจริง) สองตัวที่มีความยาวคลื่นเข้าใกล้ค่าอนันต์ ไดอะแกรมนี้เทียบเท่ากับ กระบวนการ เบร็มส์ตราห์ลุงต้องรวมไดอะแกรมเพิ่มเติมนี้ไว้ด้วยเพราะไม่มีวิธีทางกายภาพใดที่จะแยกแยะโฟตอนพลังงานศูนย์ที่ไหลผ่านลูปดังในไดอะแกรมจุดยอดและโฟตอนพลังงานศูนย์ที่ปล่อยออกมาผ่านเบร็มส์ตราห์ลุงได้ จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ความแตกต่างในย่านอินฟราเรดสามารถทำให้เป็นระเบียบได้โดยการสมมติการหาอนุพันธ์เศษส่วนเทียบกับพารามิเตอร์ ตัวอย่างเช่น มีค่าชัดเจนที่p = aแต่มีความแตกต่างในย่านยูวี หากเราหาอนุพันธ์เศษส่วนลำดับที่3/2 เทียบกับ−a²เราจะได้ความแตกต่างในย่านอินฟราเรด ^{ดังนั้น} ความแตกต่างในย่านอินฟราเรดจึงสามารถแปลงเป็นความแตกต่างในย่านยู วีได้$${\displaystyle \left(p^{2}-a^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}$$$${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}-a^{2}}},}$$

แผนภาพในรูปที่ 2 แสดงหนึ่งในหลายๆการมีส่วนร่วมของลูปเดียวในการกระเจิงของอิเล็กตรอนต่ออิเล็กตรอนใน QED อิเล็กตรอนทางด้านซ้ายของแผนภาพ ซึ่งแสดงด้วยเส้นทึบ เริ่มต้นด้วยโมเมนตัม 4 มิติp ^μและจบลงด้วยโมเมนตัม 4 มิติr ^μมันปล่อยโฟตอนเสมือนที่บรรจุr ^μ − p ^μเพื่อถ่ายโอนพลังงานและโมเมนตัมไปยังอิเล็กตรอนอีกตัว (เส้นโค้งสีดำ) แต่ในแผนภาพนี้ ก่อนที่จะเกิดเหตุการณ์นั้น มันปล่อยโฟตอนเสมือนอีกตัวที่บรรจุโมเมนตัม 4 มิติq ^μ ซึ่งถูกดูดซับกลับหลังจากปล่อยโฟตอนเสมือนตัวแรก การอนุรักษ์พลังงานและโมเมนตัมไม่ได้กำหนดโมเมนตัม 4 มิติ q ^μอย่างเฉพาะเจาะจง ดังนั้นความเป็นไปได้ทั้งหมดจึงมีส่วนร่วมเท่ากัน และเราต้องทำการอิน ทิเกรต

แอมพลิจูดของแผนภาพนี้สุดท้ายแล้วจะมีปัจจัยหลายอย่าง รวมถึงปัจจัยจากลูป ปัจจัยγ ^μต่างๆ ในนิพจน์นี้คือ เมทริกซ์แกมมาเช่นเดียวกับในสูตรโคแวเรียนต์ของสมการดิแรกซึ่งเกี่ยวข้องกับสปินของอิเล็กตรอน ในที่นี้eคือค่าคงที่การเชื่อมต่อทางไฟฟ้า และคือหน่วยจินตนาการสิ่งสำคัญในที่นี้คือการพึ่งพาq ^μของปัจจัยเศษส่วนทั้งสามในตัวอินทิกรัล ซึ่งมาจากตัวแพร่ของเส้นอิเล็กตรอนสองเส้นและเส้นโฟตอนในลูป $${\displaystyle -ie^{3}\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}\gamma ^{\mu }{\frac {i(\gamma ^{\alpha }(r-q)_{\alpha }+m)}{(r-q)^{2}-m^{2}+i\epsilon }}\gamma ^{\rho }{\frac {i(\gamma ^{\beta }(p-q)_{\beta }+m)}{(p-q)^{2}-m^{2}+i\epsilon }}\gamma ^{\nu }{\frac {-ig_{\mu \nu }}{q^{2}+i\epsilon }}.}$$${\displaystyle i}$

เมื่อขยายอินทิกรัลออก จะมีพจน์ที่มีกำลังสองของq ^μในตัวเศษซึ่งครอบงำที่ค่าq ^μ มาก : ^{[ 26 ]} อินทิกรัลนี้จะลู่เข้า เว้นแต่พลังงานและโมเมนตัมจะถูกตัดออกที่ค่าจำกัดบางค่า $${\displaystyle e^{3}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\beta }\gamma _{\mu }\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {q_{\alpha }q_{\beta }}{(r-q)^{2}(p-q)^{2}q^{2}}}.}$$

วิธีแก้ปัญหาเรื่องความไม่สอดคล้องกันคือการพิจารณาข้อเท็จจริงที่ว่าค่าเริ่มต้นของปริมาณต่างๆ เช่นประจุไฟฟ้าและมวล ของอิเล็กตรอน นั้นไม่ตรงกับค่าคงที่ทางฟิสิกส์ที่วัดได้ในห้องปฏิบัติการ ตามที่เขียนไว้ในทฤษฎีนั้น ใช้เพียงอนุภาคเปล่าๆที่ไม่ได้คำนึงถึงผลกระทบของลูปอนุภาคเสมือนที่มีต่อค่าคงที่ทางฟิสิกส์ โดยทั่วไปแล้ว ผลกระทบเหล่านี้จะทำให้เกิดความไม่สอดคล้องกันเช่นเดียวกับค่าแอมพลิจูดที่พิจารณาในตอนแรก ดังนั้นปริมาณที่วัดได้ที่มีค่าจำกัดจึงหมายถึงปริมาณเปล่าๆ ที่มีค่าไม่สอดคล้องกัน

ในการเชื่อมโยงค่าพื้นฐานเหล่านี้เข้ากับผลการทดลอง จำเป็นต้องเขียนสูตรใหม่โดยใช้ปริมาณที่วัดได้และปรับค่าใหม่แล้ว ตัวอย่างเช่น ประจุของอิเล็กตรอนสามารถกำหนดได้โดยใช้ปริมาณที่วัดได้ ณ จุดปรับค่าใหม่ ทางจลนศาสตร์หรือจุดลบที่เฉพาะเจาะจง (ซึ่งจะมีพลังงานเฉพาะที่เรียกว่ามาตราส่วนพลังงาน การปรับค่าใหม่ ) จากนั้นพจน์ที่เหลือซึ่งเกี่ยวข้องกับส่วนที่เหลือของปริมาณพื้นฐาน สามารถตีความใหม่ได้ว่าเป็นพจน์แก้ไขที่เกี่ยวข้องกับชุดไดอะแกรมใหม่ที่หักล้างชุดไดอะแกรมที่ล diverges ก่อนหน้านี้ได้อย่างแม่นยำ

ตัวอย่างเช่น ในLagrangian ของ QED ฟิลด์และค่าคงที่การเชื่อมต่อเป็นปริมาณเปล่าๆ จริงๆ ดังนั้นจึงมีตัวห้อยB อยู่ ด้านบน ตามธรรมเนียมแล้ว ปริมาณเปล่าๆ จะถูกเขียนเพื่อให้เทอม Lagrangian ที่สอดคล้องกันเป็นผลคูณของเทอมที่ปรับค่าใหม่แล้ว: โปรดทราบว่าความไม่แปรผันของเกจผ่านเอกลักษณ์ Ward–Takahashiถูกใช้ในบรรทัดที่สองเพื่อให้เทอมทั้งสองของอนุพันธ์โคแวเรียนต์สามารถปรับค่าใหม่พร้อมกันได้^{[ 27 ]}$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}_{B}\left[i\gamma _{\mu }\left(\partial ^{\mu }+ie_{B}A_{B}^{\mu }\right)-m_{B}\right]\psi _{B}-{\frac {1}{4}}F_{B\mu \nu }F_{B}^{\mu \nu }}$$$${\displaystyle \left({\bar {\psi }}m\psi \right)_{B}=Z_{0}{\bar {\psi }}m\psi }$$$${\displaystyle \left({\bar {\psi }}\left(\partial ^{\mu }+ieA^{\mu }\right)\psi \right)_{B}=Z_{1}{\bar {\psi }}\left(\partial ^{\mu }+ieA^{\mu }\right)\psi }$$$${\displaystyle \left(F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)_{B}=Z_{2}\,F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.}$$

ปฏิสัมพันธ์ระหว่างอิเล็กตรอนและโฟตอนที่แสดงในรูปที่ 1 สามารถเขียนได้ดังนี้ ประจุอิเล็กตรอนeสามารถกำหนดได้โดยใช้การทดลองเฉพาะบางอย่าง: ตั้งค่ามาตราส่วนการปรับค่าใหม่ให้เท่ากับพลังงานลักษณะเฉพาะของการทดลองนี้ และพจน์แรกจะให้ปฏิสัมพันธ์ที่สังเกตได้ในห้องปฏิบัติการ (โดยมีการแก้ไขเล็กน้อยจากไดอะแกรมลูป) ส่วนที่เหลือคือพจน์แก้ไข หากทฤษฎีสามารถปรับค่าใหม่ได้เช่นเดียวกับใน QED ส่วนที่ล divergent ของไดอะแกรมลูปทั้งหมดสามารถแยกออกเป็นชิ้นส่วนที่มีสามขาหรือน้อยกว่า โดยมีรูปแบบพีชคณิตที่สามารถหักล้างได้ด้วยพจน์ที่สอง (หรือด้วยพจน์แก้ไขที่คล้ายกันที่มาจากZ ₀และZ ₃ ) $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{I}=-e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi -(Z_{1}-1)e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi }$$

แผนภาพที่มี จุดปฏิสัมพันธ์ของเทอมแก้ไข Z ₁วางไว้ดังแสดงในรูปที่ 3 จะหักล้างความแตกต่างจากวงวนในรูปที่ 2

ในทางประวัติศาสตร์ การแยก "เงื่อนไขเปล่า" ออกเป็นเงื่อนไขดั้งเดิมและเงื่อนไขตอบโต้เกิดขึ้นก่อน ความเข้าใจเรื่อง กลุ่มการปรับมาตรฐานใหม่เนื่องจากKenneth Wilson [ ^{28 ] ตาม}ความเข้าใจเรื่องกลุ่มการปรับมาตรฐานใหม่ดังกล่าว การแยกนี้เป็นสิ่งที่ไม่สมจริง เนื่องจากทุกระดับของปัญหาเข้ามาในรูปแบบที่เป็นระบบอย่างต่อเนื่อง

เพื่อลดผลกระทบของไดอะแกรมลูปต่อการคำนวณ (และทำให้การดึงผลลัพธ์ง่ายขึ้น) เราจึงเลือกจุดปรับค่าใหม่ (renormalization point) ที่ใกล้เคียงกับพลังงานและโมเมนตัมที่แลกเปลี่ยนกันในปฏิกิริยา อย่างไรก็ตาม จุดปรับค่าใหม่นี้ไม่ใช่ปริมาณทางกายภาพ: การคาดการณ์ทางกายภาพของทฤษฎีที่คำนวณในทุกอันดับ ควรเป็นอิสระจากการเลือกจุดปรับค่าใหม่ ตราบใดที่ยังอยู่ในขอบเขตการใช้งานของทฤษฎี การเปลี่ยนแปลงในมาตราส่วนการปรับค่าใหม่จะส่งผลต่อว่าผลลัพธ์ส่วนใดมาจากไดอะแกรมไฟน์แมนที่ไม่มีลูป และส่วนใดมาจากส่วนที่เหลือของไดอะแกรมลูป เราสามารถใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงนี้ในการคำนวณการเปลี่ยนแปลงที่มีประสิทธิภาพของค่าคงที่ทางกายภาพเมื่อมาตราส่วนเปลี่ยนแปลง การเปลี่ยนแปลงนี้ถูกเข้ารหัสโดยฟังก์ชันเบตาและทฤษฎีทั่วไปของการพึ่งพามาตราส่วนประเภทนี้เรียกว่ากลุ่มการปรับค่าใหม่ (renormalization group )

โดยทั่วไป นักฟิสิกส์อนุภาคมักพูดถึง "ค่าคงที่" ทางฟิสิกส์บางอย่างว่าแปรผันไปตามพลังงานของการปฏิสัมพันธ์ แม้ว่าในความเป็นจริงแล้ว มาตราส่วนการปรับค่าใหม่ (renormalization scale) ต่างหากที่เป็นปริมาณอิสระ อย่างไรก็ตาม การเปลี่ยนแปลง นี้ ช่วยให้สามารถอธิบายการเปลี่ยนแปลงพฤติกรรมของทฤษฎีสนามภายใต้การเปลี่ยนแปลงของพลังงานที่เกี่ยวข้องในการปฏิสัมพันธ์ได้อย่างสะดวก ตัวอย่างเช่น เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์การคู่ควบในควอนตัมโครโมไดนามิกส์มีค่าน้อยลงที่มาตราส่วนพลังงานสูง ทฤษฎีจึงมีพฤติกรรมคล้ายกับทฤษฎีอิสระมากขึ้นเมื่อพลังงานที่แลกเปลี่ยนในการปฏิสัมพันธ์มีค่ามากขึ้น ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่เรียกว่าอิสรภาพเชิง อะซิมโทติก (asymptotic freedom ) การเลือกมาตราส่วนพลังงานที่เพิ่มขึ้นและใช้กลุ่มการปรับค่าใหม่ทำให้เห็นได้ชัดเจนจากแผนภาพไฟน์แมนอย่างง่าย หากไม่ทำเช่นนี้ การทำนายก็จะเหมือนกัน แต่จะเกิดจากการหักล้างลำดับสูงที่ซับซ้อนกว่า

ตัวอย่างเช่น ไม่สามารถนิยามได้อย่างชัดเจน $${\displaystyle I=\int _{0}^{a}{\frac {1}{z}}\,dz-\int _{0}^{b}{\frac {1}{z}}\,dz=\ln a-\ln b-\ln 0+\ln 0}$$

เพื่อขจัดความแตกต่าง ให้เปลี่ยนขีดจำกัดล่างของอินทิกรัลเป็น_{εa และ εb}โดยตรวจ_สอบให้ แน่ใจว่า⁠$${\displaystyle I=\ln a-\ln b-\ln {\varepsilon _{a}}+\ln {\varepsilon _{b}}=\ln {\tfrac {a}{b}}-\ln {\tfrac {\varepsilon _{a}}{\varepsilon _{b}}}}$$ε _b/ε _a→ 1แล้ว I = lnเอ/ข⁠ .

เนื่องจากปริมาณ∞ − ∞นั้นไม่ชัดเจน การยกเลิกความแตกต่างจึงสามารถทำได้อย่างเข้มงวดทางคณิตศาสตร์โดยใช้ทฤษฎีของลิมิตในกระบวนการที่เรียกว่าการทำให้เป็นระเบียบ [ ^{29 ] อิน}ทิกรัลสามารถทำให้ลู่เข้าที่โมเมนตัมและพลังงานสูงได้โดยการแนะนำการปรับเปลี่ยนเพิ่มเติมให้กับรูปแบบที่เรียกว่าตัวควบคุม ตัวควบคุมมีมาตราส่วนพลังงานลักษณะเฉพาะที่เรียกว่าจุดตัดการนำจุดตัดนี้ไปที่อนันต์ (หรือเทียบเท่ากับมาตราส่วนความยาว/เวลาที่สอดคล้องกันไปที่ศูนย์) จะได้อินทิกรัลดั้งเดิมกลับคืนมา พจน์ที่ลู่เข้าในอินทิกรัลจะกลายเป็นค่าจำกัดแต่ขึ้นอยู่กับจุดตัด ซึ่งสามารถยกเลิกได้ด้วยพจน์แก้ไขที่ขึ้นอยู่กับจุดตัด เมื่อนำจุดตัดไปที่อนันต์ ผลลัพธ์ทางกายภาพที่มีค่าจำกัดจะถูกกู้คืน หากฟิสิกส์ในมาตราส่วนที่วัดได้เป็นอิสระจากสิ่งที่เกิดขึ้นในระยะทางและมาตราส่วนเวลาที่สั้นมาก ก็ควรจะสามารถได้ผลลัพธ์ที่ไม่ขึ้นอยู่กับจุดตัดได้

มีการใช้ตัวควบคุมหลายประเภทในทฤษฎีสนามควอนตัม หนึ่งในตัวควบคุมที่ได้รับความนิยมมากที่สุดคือการควบคุมมิติ^{[ 30 ]}ซึ่งอินทิกรัลจะถูกขยายไปยังพื้นที่ที่มีมิติเศษส่วนสมมติ อีกแบบหนึ่งคือการควบคุมแบบ Pauli–Villarsซึ่งเพิ่มอนุภาคสมมติที่มีมวลมากเข้าไปในทฤษฎี เพื่อให้ตัวอินทิกรัลแบบวนรอบที่เกี่ยวข้องกับอนุภาคที่มีมวลจะหักล้างกับแบบวนรอบที่มีอยู่ ณ โมเมนตัมขนาดใหญ่ อีกหนึ่งรูปแบบการควบคุมคือการควบคุมแบบแลตติสซึ่งวางปริภูมิเวลาสี่มิติบนแลตติสที่มีขนาดกริดคงที่ ขนาดนี้จำกัดโมเมนตัมที่อนุภาคสามารถมีได้เมื่อเคลื่อนที่บนแลตติส หลังจากจัดการกับแลตติสหลายๆ แบบที่มีขนาดกริดต่างกัน ผลลัพธ์ทางกายภาพจะถูกขยายไปยังขนาดกริดเป็นศูนย์ นั่นคือขีดจำกัดต่อเนื่องซึ่งสร้างฟิสิกส์ของจักรวาลธรรมชาติ

โดยทั่วไปแล้ว ผู้คิดค้นทฤษฎี QED และทฤษฎีสนามควอนตัมอื่นๆ ในช่วงแรกมักไม่พอใจกับสถานการณ์เช่นนี้ ดูเหมือนว่าการกระทำที่เทียบเท่ากับการลบอนันต์ออกจากอนันต์เพื่อให้ได้คำตอบที่จำกัดนั้นไม่ถูกต้อง ไดสันแย้งว่าอนันต์เหล่านี้มีลักษณะพื้นฐานและไม่สามารถกำจัดได้ด้วยกระบวนการทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการใดๆ เช่น วิธีการปรับค่าใหม่^{[ 31 ] [ 32 ]}

คำวิจารณ์ของ Dirac นั้นมีมาอย่างต่อเนื่องที่สุด^{[ 33 ]}จนถึงปี 1975 เขาก็ยังพูดว่า: ^{[ 34 ]}

นักฟิสิกส์ส่วนใหญ่พอใจกับสถานการณ์นี้มาก พวกเขากล่าวว่า 'ควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์เป็นทฤษฎีที่ดี และเราไม่ต้องกังวลกับมันอีกต่อไป' แต่ผมต้องบอกว่าผมไม่พอใจกับสถานการณ์นี้อย่างมาก เพราะทฤษฎีที่ว่านี้เกี่ยวข้องกับการละเลยค่าอนันต์ที่ปรากฏในสมการของมัน โดยการเพิกเฉยต่อมันอย่างไม่มีเหตุผล นี่ไม่ใช่คณิตศาสตร์ที่สมเหตุสมผล คณิตศาสตร์ที่สมเหตุสมผลเกี่ยวข้องกับการไม่พิจารณาปริมาณเมื่อมันมีค่าน้อย ไม่ใช่การละเลยมันเพียงเพราะมันมีค่ามหาศาลและคุณไม่ต้องการมัน!

นักวิจารณ์คนสำคัญอีกคนหนึ่งคือเฟย์แมน แม้ว่าเขาจะมีบทบาทสำคัญในการพัฒนาควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ แต่เขาเขียนไว้ดังต่อไปนี้ในปี 1985: ^{[ 35 ]}

กระบวนการที่เราใช้หาค่าnและjนั้น ในทางเทคนิคเรียกว่า 'การปรับค่ามาตรฐาน' (renormalization) แต่ไม่ว่าคำนี้จะฟังดูฉลาดแค่ไหน ผมก็ยังคงเรียกมันว่ากระบวนการที่งี่เง่าอยู่ดี! การที่ต้องหันมาใช้กลอุบายแบบนี้ทำให้เราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าทฤษฎีควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์นั้นมีความสอดคล้องกันทางคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องน่าประหลาดใจที่ทฤษฎีนี้ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ว่ามีความสอดคล้องกันไม่ว่าในทางใดทางหนึ่งจนถึงตอนนี้ ผมสงสัยว่าการปรับค่ามาตรฐานนั้นอาจไม่ถูกต้องตามหลักคณิตศาสตร์

เฟย์นแมนกังวลว่าทฤษฎีสนามทั้งหมดที่รู้จักในทศวรรษ 1960 มีคุณสมบัติที่ว่าปฏิกิริยาจะแข็งแกร่งอย่างไม่มีที่สิ้นสุดในระยะทางที่สั้นพอขั้วแลนเดา เหล่านี้ ทำให้เป็นไปได้ว่าทฤษฎีสนามควอนตัมทั้งหมดไม่สอดคล้องกัน ในปี 1974 เดวิด กรอสส์ฮิวจ์ เดวิด โพลิทเซอร์และแฟรงค์ วิลเชคได้แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีสนามควอนตัมอีกทฤษฎีหนึ่ง คือ ควอนตัมโครโมไดนามิกส์ ไม่มีขั้วแลนเดา เฟย์นแมนและคนอื่นๆ ส่วนใหญ่ยอมรับว่าควอนตัมโครโมไดนามิกส์เป็นทฤษฎีที่สอดคล้องกันอย่างสมบูรณ์

ความไม่สบายใจโดยทั่วไปนั้นพบเห็นได้ทั่วไปในตำราต่างๆ จนถึงช่วงทศวรรษ 1970 และ 1980 อย่างไรก็ตาม ตั้งแต่ทศวรรษ 1970 เป็นต้นมา ด้วยแรงบันดาลใจจากงานวิจัยเกี่ยวกับกลุ่มการปรับมาตรฐาน (renormalization group) และทฤษฎีสนามที่มีประสิทธิภาพ (effective field theory) และถึงแม้ว่า Dirac และคนอื่นๆ จะไม่เคยถอนคำวิจารณ์ของพวกเขา ทัศนคติก็เริ่มเปลี่ยนแปลงKenneth G. Wilsonและคนอื่นๆ ได้แสดงให้เห็นว่ากลุ่มการปรับมาตรฐานนั้นมีประโยชน์ใน ทฤษฎีสนามทาง สถิติที่ประยุกต์ใช้กับฟิสิกส์สสารควบแน่นซึ่งให้ข้อมูลเชิงลึกที่สำคัญเกี่ยวกับพฤติกรรมของการเปลี่ยนเฟส ในฟิสิกส์ สสารควบแน่น มีตัวควบคุมระยะสั้นทางกายภาพอยู่ กล่าวคือสสารจะไม่ต่อเนื่องในระดับอะตอมความแตกต่างระยะสั้นในฟิสิกส์สสารควบแน่นไม่ได้ก่อให้เกิดปัญหาทางปรัชญา เนื่องจากทฤษฎีสนามเป็นเพียงการแสดงพฤติกรรมของสสารอย่างมีประสิทธิภาพและราบเรียบเท่านั้น ไม่มีค่าอนันต์เนื่องจากค่าตัดขอบมีค่าจำกัดเสมอ และปริมาณพื้นฐานขึ้นอยู่กับค่าตัดขอบ

หากทฤษฎีสนามควอนตัมยังคงใช้ได้เกินความยาวพลังค์แล้ว ก็อาจไม่มีปัญหาเรื่องความแตกต่างในระยะสั้นในฟิสิกส์อนุภาคเช่นกัน และทฤษฎีสนามทั้งหมดอาจเป็นเพียงทฤษฎีสนามที่มีประสิทธิภาพก็ได้

อย่างไรก็ตามอับดุส สลามตั้งข้อสังเกต^{[ 36 ]}ในปี 1972:

อนันต์ในทฤษฎีสนาม – ซึ่งพบครั้งแรกในการคำนวณมวลของอิเล็กตรอนโดยลอเรนซ์ – ยังคงมีอยู่ในการศึกษาพลศาสตร์ไฟฟ้าแบบคลาสสิกมานานถึงเจ็ดสิบปี และในพลศาสตร์ไฟฟ้าควอนตัมมานานประมาณสามสิบห้าปี ความผิดหวังอันยาวนานเหล่านี้ได้ทิ้งความชื่นชอบที่แปลกประหลาดต่ออนันต์ไว้ในสาขาวิชานี้ และความเชื่ออย่างแรงกล้าว่ามันเป็นส่วนหนึ่งของธรรมชาติที่หลีกเลี่ยงไม่ได้ มากเสียจนแม้แต่การเสนอแนะความหวังที่ว่าในที่สุดแล้วอาจจะสามารถหลีกเลี่ยงมันได้ – และคำนวณค่าคงที่การปรับมาตรฐานได้ในระดับจำกัด – ก็ยังถูกมองว่าไม่สมเหตุสมผล

ในทฤษฎีสนามควอนตัม ค่าของค่าคงที่ทางฟิสิกส์ขึ้นอยู่กับมาตราส่วนที่เลือกเป็นจุดปรับค่าใหม่ ค่าคงที่การเชื่อมต่อในแบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์อนุภาคจะแปรผันในรูปแบบต่างๆ เมื่อมาตราส่วนพลังงานเพิ่มขึ้น: การเชื่อมต่อของควอนตัมโครโมไดนามิกส์และการเชื่อมต่อไอโซสปิน ที่อ่อนของ แรงอิเล็กโทรวีคมีแนวโน้มที่จะลดลง และ การเชื่อมต่อ ไฮเปอร์ชาร์จ ที่อ่อน ของแรงอิเล็กโทรวีคมีแนวโน้มที่จะเพิ่มขึ้น ที่มาตราส่วนพลังงาน 10 ¹⁵ GeV (ไกลเกินกว่าที่ เครื่องเร่งอนุภาคในปัจจุบันจะเข้าถึงได้) ค่าทั้งหมดจะมีขนาดใกล้เคียงกัน^{[ 37 ]}ซึ่งเป็นแรงจูงใจสำคัญสำหรับการคาดการณ์เกี่ยวกับทฤษฎี รวมแรง

หากทฤษฎีที่ปรับค่าใหม่สามารถตีความได้ว่าเป็นทฤษฎีสนามที่มีประสิทธิภาพเท่านั้น ปัญหาก็ยังคงอยู่คือการค้นพบทฤษฎีที่แม่นยำกว่าซึ่งไม่มีปัญหาการปรับค่าใหม่เหล่านี้ ดังที่Lewis Ryderได้กล่าวไว้ว่า "ในทฤษฎีควอนตัม ความแตกต่าง [แบบคลาสสิก] เหล่านี้ไม่ได้หายไป ตรงกันข้าม ดูเหมือนว่าจะแย่ลง และแม้ว่าทฤษฎีการปรับค่าใหม่จะประสบความสำเร็จในระดับเปรียบเทียบ แต่ก็ยังมีความรู้สึกว่าน่าจะมีวิธีการทำสิ่งต่างๆ ที่น่าพอใจกว่านี้" ^{[ 38 ]}

ไม่ใช่ทุกทฤษฎีที่จะสามารถปรับค่าใหม่ได้ในลักษณะที่อธิบายไว้ข้างต้น โดยมีจำนวนเทอมแก้ไขที่จำกัด และปริมาณทั้งหมดกลายเป็นอิสระจากค่าตัดในตอนท้ายของการคำนวณ หากลากรางเจียน ประกอบด้วยการรวมกันของตัวดำเนินการสนามที่มี มิติสูงพอในหน่วยพลังงาน จะต้องใช้เทอมแก้ไขจำนวนอนันต์เพื่อหักล้างความแตกต่างทั้งหมด เมื่อมองแวบแรก ทฤษฎีดังกล่าวดูเหมือนจะมีพารามิเตอร์อิสระจำนวนอนันต์ และด้วยเหตุนี้จึงสูญเสียพลังในการทำนายทั้งหมด ทฤษฎีดังกล่าวเรียกว่า "ไม่สามารถปรับค่าใหม่ได้"

แบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์อนุภาคประกอบด้วยตัวดำเนินการที่สามารถปรับค่าใหม่ได้เท่านั้น แต่ปฏิสัมพันธ์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปจะไม่สามารถปรับค่าใหม่ได้หากพยายามสร้างทฤษฎีสนามของแรงโน้มถ่วงควอนตัมด้วยวิธีที่ตรงไปตรงมาที่สุด (โดยการพิจารณาเมตริกใน ลากรางเจียนของ ไอน์สไตน์-ฮิลเบิร์ตเป็นการรบกวนเกี่ยวกับเมตริกมิงโกวสกี ) ซึ่งบ่งชี้ว่าทฤษฎีการรบกวนไม่เหมาะสมในการนำไปใช้กับแรงโน้มถ่วงควอนตัม

อย่างไรก็ตาม ในทฤษฎีสนามที่มีประสิทธิภาพคำว่า "การปรับค่าใหม่ได้" (renormalizability) นั้นเป็นคำที่ไม่ถูกต้องในทฤษฎีสนามที่มีประสิทธิภาพที่ไม่สามารถปรับค่าใหม่ได้นั้น เทอมในลากรางเจียนจะคูณกันไปจนถึงอนันต์ แต่สัมประสิทธิ์จะถูกกดทับด้วยกำลังผกผันของขีดจำกัดพลังงานที่เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ หากขีดจำกัดเป็นปริมาณทางกายภาพ กล่าวคือ หากทฤษฎีเป็นเพียงคำอธิบายที่มีประสิทธิภาพของฟิสิกส์จนถึงระดับพลังงานสูงสุดหรือระยะทางต่ำสุดบางระดับ เทอมเพิ่มเติมเหล่านี้อาจแสดงถึงปฏิสัมพันธ์ทางกายภาพที่แท้จริง สมมติว่าค่าคงที่ไร้มิติในทฤษฎีไม่มากเกินไป เราสามารถจัดกลุ่มการคำนวณตามกำลังผกผันของขีดจำกัด และดึงการคาดการณ์โดยประมาณในลำดับที่จำกัดของขีดจำกัดซึ่งยังมีพารามิเตอร์อิสระจำนวนจำกัดอยู่ สิ่งนี้สามารถใช้เพื่อปรับค่าใหม่ของปฏิสัมพันธ์ที่ "ไม่สามารถปรับค่าใหม่ได้" เหล่านี้

ปฏิสัมพันธ์ที่ไม่สามารถปรับค่าใหม่ได้ในทฤษฎีสนามประสิทธิผลจะอ่อนลงอย่างรวดเร็วเมื่อระดับพลังงานเล็กลงกว่าค่าตัดขอบมาก ตัวอย่างคลาสสิกคือทฤษฎีเฟอร์มิของแรงนิวเคลียร์อ่อนซึ่งเป็นทฤษฎีประสิทธิผลที่ไม่สามารถปรับค่าใหม่ได้ โดยค่าตัดขอบเทียบได้กับมวลของอนุภาค Wข้อเท็จจริงนี้อาจเป็นคำอธิบายที่เป็นไปได้ว่าทำไมปฏิสัมพันธ์ของอนุภาคเกือบทั้งหมดที่เราเห็นจึงสามารถอธิบายได้ด้วยทฤษฎีที่ปรับค่าใหม่ได้: ปฏิสัมพันธ์อื่นๆ ที่อาจมีอยู่จริงในระดับGUTหรือระดับพลังค์นั้นอ่อนเกินไปจนไม่สามารถสังเกตได้ มีข้อยกเว้นหนึ่งอย่างคือแรงโน้มถ่วง ซึ่งปฏิสัมพันธ์ที่อ่อนมากของมันจะ ถูก ขยายให้ใหญ่ขึ้นโดยการมีอยู่ของมวลมหาศาลของดาวฤกษ์และดาวเคราะห์

ความเข้าใจที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้นเกี่ยวกับความหมายทางกายภาพและการสรุปทั่วไปของกระบวนการปรับค่าใหม่ ซึ่งก้าวข้ามกลุ่มการขยายตัวของทฤษฎีที่ปรับค่าใหม่ได้ตามปกติ มาจากฟิสิกส์สสารควบแน่นLeo P. Kadanoffได้เสนอกลุ่มการปรับค่าใหม่แบบ "บล็อก-สปิน" ซึ่งกำหนดส่วนประกอบของทฤษฎีที่ระยะทางไกลๆ เป็นกลุ่มของส่วนประกอบที่ระยะทางสั้นกว่า^{[ 39 ]}

แนวทางนี้ครอบคลุมประเด็นเชิงแนวคิดและได้รับการพิสูจน์ด้วยการคำนวณอย่างเต็มรูปแบบโดยKenneth Wilson Wilson พัฒนาวิธีการใหม่ของเขาโดยนำไปใช้กับทฤษฎีการเปลี่ยนเฟสลำดับที่สองและปรากฏการณ์วิกฤต ในปี 1971 และสาธิตวิธีการแก้ปัญหาการปรับมาตรฐานแบบวนซ้ำเชิงสร้างสรรค์ของ ปัญหา Kondoที่มีมายาวนานในปี 1974 ^{[ 28 ]}เขาได้รับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์จากผลงานเหล่านี้ในปี 1982 ^{[ 40 ]}

ในเชิงเทคนิคมากขึ้น ลองพิจารณาทฤษฎีที่อธิบายโดยฟังก์ชันบางอย่างของตัวแปรสถานะและค่าคงที่การเชื่อมโยง อาจเป็นฟังก์ชันการแบ่งส่วนการกระทำ แฮมิล โทเนียนฯลฯ ซึ่งต้องประกอบด้วยคำอธิบายทั้งหมดของฟิสิกส์ของระบบ ${\displaystyle Z}$${\displaystyle \{s_{i}\}}$${\displaystyle \{J_{k}\}}$${\displaystyle Z}$

พิจารณาการแปลงแบบปิดกั้นของตัวแปรสถานะโดยที่จำนวนของต้องน้อยกว่าจำนวนของ ถ้าสามารถเขียนได้เป็นฟังก์ชันของเพียงอย่างเดียวผ่านการแปลงที่คล้ายกันของค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อแล้วทฤษฎีนั้นจะเรียกว่าสามารถปรับค่าใหม่ได้ สถานะมหภาคที่เป็นไปได้ของระบบในระดับใหญ่จะได้รับจากเซตของจุดคงที่ภายในกลุ่มการไหลของการปรับค่าใหม่ของฟังก์ชันเบตาที่เกี่ยวข้องกับค่าสัมประสิทธิ์การเชื่อมต่อ ${\displaystyle \{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}}$${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$${\displaystyle \{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}}$

• ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีสนามควอนตัม
• ความไร้สาระของควอนตัม
• ปริศนาของซีโน
• การแก้ไขที่ไม่เฉียง

• คอลลินส์, จอห์น (2023). การปรับค่ามาตรฐาน: บทนำเกี่ยวกับการปรับค่ามาตรฐาน กลุ่มการปรับค่ามาตรฐาน และการขยายผลคูณตัวดำเนินการสำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์รหัสบรรณานุกรม: 2023rair.book .....C doi : 10.1017 /9781009401807 ISBN 978-1-009-40180-7.
• DeDeo, Simon; บทนำสู่การปรับขนาดมาตรฐาน (2017). หลักสูตรออนไลน์ Complexity Explorer ของสถาบัน Santa Feการปรับขนาดมาตรฐานจากมุมมองของระบบที่ซับซ้อน รวมถึง Markov Chains, Cellular Automata, แบบจำลอง Ising ในพื้นที่จริง, ทฤษฎีบท Krohn-Rhodes, QED และทฤษฎีอัตราการบิดเบือน
• Delamotte, Bertrand (2004). "A hint of renormalization". American Journal of Physics . 72 (2): 170– 184. arXiv : hep-th/0212049 . Bibcode : 2004AmJPh..72..170D . doi : 10.1119/1.1624112 . S2CID  2506712 .
• Baez, John; การปรับค่ามาตรฐานให้ง่ายขึ้น (2005). บทนำเชิงคุณภาพเกี่ยวกับหัวข้อนี้
• เบลชแมน, แอนดรูว์ อี.; การปรับค่าใหม่: เพื่อนที่ถูกเข้าใจผิดอย่างมากของเรา (2002) สรุปการบรรยาย มีข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับแผนการปรับค่าใหม่และการลบค่าเบี่ยงเบนที่เฉพาะเจาะจง
• Cao, Tian Yu; Schweber, Silvan S. (1993). "รากฐานเชิงแนวคิดและแง่มุมทางปรัชญาของทฤษฎีการปรับมาตรฐาน" Synthese . 97 : 33– 108. doi : 10.1007/BF01255832 . S2CID  46968305 .
• Shirkov, Dmitry ; ห้าสิบปีของกลุ่มการปรับมาตรฐาน , CERN Courrier 41(7) (2001). ข้อความฉบับเต็มสามารถดูได้ที่: IOP Magazinesเก็บถาวรเมื่อวันที่ 5 ธันวาคม 2008 ที่Wayback Machine

• NN Bogoliubov , DV Shirkov (1959): ทฤษฎีของสนามควอนตัมนิวยอร์ก, Interscience. ตำราเล่มแรกเกี่ยวกับทฤษฎีกลุ่มการปรับมาตรฐาน
• ไรเดอร์, ลูอิส เอช.; ทฤษฎีสนามควอนตัม (สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 1985), ISBN 0-521-33859-Xตำราเรียนที่อ่านง่ายมาก และเป็นหนังสือแนะนำที่ดีที่สุดเกี่ยวกับทฤษฎีสนามควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพสำหรับฟิสิกส์อนุภาคอย่างแน่นอน
• ซี, แอนโทนี; ทฤษฎีสนามควอนตัมโดยสังเขป , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน (2003) ISBN 0-691-01019-6อีกหนึ่งตำราเรียนที่ยอดเยี่ยมเกี่ยวกับทฤษฎีสนามควอนตัม
• ไวน์เบิร์ก, สตีเวน; ทฤษฎีควอนตัมของสนาม (3 เล่ม) สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ (1995) ตำราสำคัญเกี่ยวกับทฤษฎีสนามควอนตัมที่เขียนโดยผู้เชี่ยวชาญชั้นนำ ผู้ได้รับรางวัลโนเบลปี 1979
• โปคอร์สกี, สเตฟาน; ทฤษฎีสนามเกจ , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ (1987) ISBN 0-521-47816-2.
• 't Hooft, Gerard; วันอันรุ่งโรจน์ของฟิสิกส์ – การปรับค่าใหม่ของทฤษฎีเกจการบรรยายที่เมืองเอริเซ (สิงหาคม/กันยายน 1998) โดยผู้ได้รับรางวัลโนเบลปี 1999สามารถดูข้อความฉบับเต็มได้ที่: hep-th/ 9812203
• Rivasseau, Vincent; บทนำสู่การปรับค่ามาตรฐาน (Renormalization ), สัมมนา Poincaré (ปารีส, 12 ตุลาคม 2545), ตีพิมพ์ใน: Duplantier, Bertrand; Rivasseau, Vincent (บรรณาธิการ); สัมมนา Poincaré 2002 , ความก้าวหน้าในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ 30, Birkhäuser (2003) ISBN 3-7643-0579-7สามารถดูข้อความฉบับเต็มได้ในรูปแบบ PostScript
• ริวาสโซ, วินเซนต์; จากการปรับค่ามาตรฐานแบบรบกวนไปสู่การปรับค่ามาตรฐานแบบสร้างสรรค์ , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน (1991) ISBN 0-691-08530-7สามารถดูเอกสารฉบับเต็มได้ในรูปแบบ PostScriptและPDF (ฉบับร่าง )
• Iagolnitzer, Daniel & Magnen, J.; การวิเคราะห์กลุ่มการปรับมาตรฐาน , สารานุกรมคณิตศาสตร์, สำนักพิมพ์ Kluwer Academic Publisher (1996). สามารถดูข้อความฉบับเต็มในรูปแบบ PostScript และ pdf ได้ที่นี่
• ชาร์ฟ, กุนเทอร์; พลศาสตร์ไฟฟ้าควอนตัมจำกัด: วิธีการเชิงสาเหตุ , Springer Verlag Berlin Heidelberg New York (1995) ISBN 3-540-60142-2.
• AS Švarc ( Albert Schwarz ), Математические основы квантовой теории поля, (แง่มุมทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีสนามควอนตัม), Atomizdat, Moscow, 1975. 368 หน้า

• AN Vasil'ev; กลุ่มการปรับมาตรฐานเชิงทฤษฎีสนามในทฤษฎีพฤติกรรมวิกฤตและพลวัตเชิงสุ่ม (Routledge Chapman & Hall 2004); ISBN 978-0-415-31002-4
• ไนเจล โกลเดนเฟลด์ ; บรรยายเรื่องการเปลี่ยนเฟสและกลุ่มการปรับมาตรฐาน , Frontiers in Physics 85, Westview Press (มิถุนายน 1992) ISBN 0-201-55409-7หนังสือยอดนิยมเล่มนี้ครอบคลุมแง่มุมพื้นฐานของฟิสิกส์เกี่ยวกับการเปลี่ยนสถานะและกลุ่มการปรับมาตรฐาน โดยเน้นความเข้าใจและความชัดเจนมากกว่าการคำนวณทางเทคนิค
• Zinn-Justin, Jean; ทฤษฎีสนามควอนตัมและปรากฏการณ์วิกฤต , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 4 – 2002) ISBN 0-19-850923-5ผลงานชิ้นเอกเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้วิธีการปรับค่ามาตรฐานในการคำนวณค่าเลขชี้กำลังวิกฤตในกลศาสตร์เชิงสถิติ โดยยึดตามแนวคิดของวิลสัน (เคนเนธ วิลสัน ได้ รับรางวัลโนเบลในปี 1982 )
• Zinn-Justin, Jean; การเปลี่ยนเฟสและกลุ่มการปรับมาตรฐาน: จากทฤษฎีสู่ตัวเลข , สัมมนา Poincaré (ปารีส, 12 ตุลาคม 2545) ตีพิมพ์ใน: Duplantier, Bertrand; Rivasseau, Vincent (บรรณาธิการ); สัมมนา Poincaré 2002 , ความก้าวหน้าในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ 30, Birkhäuser (2003) ISBN 3-7643-0579-7สามารถดูข้อความฉบับเต็มได้ในรูปแบบ PostScriptซึ่งเก็บถาวรไว้เมื่อวันที่ 15 ตุลาคม 2548 ที่Wayback Machine
• ดอมบ์, ซีริล; จุดวิกฤต: บทนำเชิงประวัติศาสตร์สู่ทฤษฎีสมัยใหม่ของปรากฏการณ์วิพากษ์ , สำนักพิมพ์ CRC (มีนาคม 1996) ISBN 0-7484-0435-X.
• บราวน์, ลอรี เอ็ม. (บรรณาธิการ); การปรับค่ามาตรฐาน: จากลอเรนซ์ถึงแลนเดา (และอื่นๆ)สปริงเกอร์-เวอร์แลก (นิวยอร์ก-1993) ISBN 0-387-97933-6.
• คาร์ดี้, จอห์น ; การปรับขนาดและการปรับค่าใหม่ในฟิสิกส์เชิงสถิติ , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ (1996) ISBN 0-521-49959-3.

• Shirkov, Dmitry ; กลุ่มการปรับสภาพมาตรฐาน Bogoliubov , JINR Communication E2-96-15 (1996). สามารถดูข้อความฉบับเต็มได้ที่: hep-th/9602024
• Zinn-Justin, Jean; การปรับค่าใหม่และการจัดกลุ่มการปรับค่าใหม่: จากการค้นพบความแตกต่างของ UV ไปสู่แนวคิดของทฤษฎีสนามที่มีประสิทธิภาพใน: de Witt-Morette C., Zuber J.-B. (บรรณาธิการ), รายงานการประชุม NATO ASI ว่าด้วยทฤษฎีสนามควอนตัม: มุมมองและแนวโน้มในอนาคต , 15–26 มิถุนายน 1998, Les Houches, ฝรั่งเศส, Kluwer Academic Publishers, NATO ASI Series C 530, 375–388 (1999). มีข้อความฉบับเต็มใน รูป แบบPostScript
• คอนเนส, อแลง ; Symétries Galoiisiennes & Renormalisation , Poincaré Seminar (ปารีส, 12 ต.ค. 2545) ตีพิมพ์ใน: Duplantier, Bertrand; Rivasseau, Vincent (บรรณาธิการ); Poincaré Seminar 2002 , Progress in Mathematical Physics 30, Birkhäuser (2003) ISBN 3-7643-0579-7นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสAlain Connes (ผู้ได้รับรางวัล Fields ปี 1982) อธิบายโครงสร้างทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน ( พีชคณิต Hopf ) ของการปรับค่ามาตรฐาน และความเชื่อมโยงกับปัญหา Riemann-Hilbert สามารถอ่านบทความฉบับเต็ม (ภาษาฝรั่งเศส) ได้ที่arXiv : math/ 0211199

• คำคมที่เกี่ยวข้องกับการปรับมาตรฐานใหม่ในวิกิคำคม