พิจารณา${\displaystyle z_{1}}$และ${\displaystyle z_{0}}$โปรดทราบว่า${\displaystyle z_{0}=f_{1}^{-1}(z_{1})}$.

โดยใช้ สูตร การเปลี่ยนตัวแปรการกระจายของ${\displaystyle z_{1}}$เป็น:

${\displaystyle p_{1}(z_{1})=p_{0}(z_{0})\left|\det {\frac {df_{1}^{-1}(z_{1})}{dz_{1}}}\right|}$

ที่ไหน${\displaystyle \det {\frac {df_{1}^{-1}(z_{1})}{dz_{1}}}}$คือดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จาโคเบียนของ${\displaystyle f_{1}^{-1}}$.

โดยทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน :

${\displaystyle p_{1}(z_{1})=p_{0}(z_{0})\left|\det \left({\frac {df_{1}(z_{0})}{dz_{0}}}\right)^{-1}\right|}$

โดยอัตลักษณ์${\displaystyle \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}}$(ที่ไหน${\displaystyle A}$ถ้าเมทริกซ์ นั้นเป็นเมทริกซ์ผกผันได้เราจะได้ว่า:

${\displaystyle p_{1}(z_{1})=p_{0}(z_{0})\left|\det {\frac {df_{1}(z_{0})}{dz_{0}}}\right|^{-1}}$

ค่าลอการิทึมความน่าจะเป็นจึงเป็นดังนี้:

${\displaystyle \log p_{1}(z_{1})=\log p_{0}(z_{0})-\log \left|\det {\frac {df_{1}(z_{0})}{dz_{0}}}\right|}$

โดยทั่วไปแล้ว ข้อความข้างต้นใช้ได้กับทุกกรณี${\displaystyle z_{i}}$และ${\displaystyle z_{i-1}}$. เนื่องจาก${\displaystyle \log p_{i}(z_{i})}$เท่ากับ${\displaystyle \log p_{i-1}(z_{i-1})}$เมื่อลบด้วยพจน์ที่ไม่เวียนเกิด เราสามารถอนุมานโดยการอุปมานได้ว่า:

${\displaystyle \log p_{K}(z_{K})=\log p_{0}(z_{0})-\sum _{i=1}^{K}\log \left|\det {\frac {df_{i}(z_{i-1})}{dz_{i-1}}}\right|}$

ตัวอย่างแรกสุด^{[ 11 ]}แก้ไขฟังก์ชันการเปิดใช้งานบางอย่าง${\displaystyle h}$และปล่อยให้${\displaystyle \theta =(u,w,b)}$ด้วยขนาดที่เหมาะสมแล้ว$${\displaystyle x=f_{\theta }(z)=z+uh(\langle w,z\rangle +b)}$$สิ่งที่ตรงกันข้าม${\displaystyle f_{\theta }^{-1}}$โดยทั่วไปแล้วไม่มีคำตอบในรูปแบบตายตัว

ค่า Jacobian คือ${\displaystyle |\det(I+h'(\langle w,z\rangle +b)uw^{T})|=|1+h'(\langle w,z\rangle +b)\langle u,w\rangle |}$.

เพื่อให้เมทริกซ์นั้นสามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้ทุกที่ เมทริกซ์นั้นจะต้องมีค่าไม่เป็นศูนย์ทุกที่ ตัวอย่างเช่น${\displaystyle h=\tanh }$และ${\displaystyle \langle u,w\rangle >-1}$ตรงตามข้อกำหนด

อนุญาต${\displaystyle x,z\in \mathbb {R} ^{2n}}$เป็นมิติคู่ และแบ่งตรงกลาง^{[ 6 ]}จากนั้นฟังก์ชันการไหลปกติคือ$${\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=f_{\theta }(z)={\begin{bmatrix}z_{1}\\z_{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\m_{\theta }(z_{1})\end{bmatrix}}}$$ที่ไหน${\displaystyle m_{\theta }}$คือโครงข่ายประสาทเทียมใดๆ ที่มีน้ำหนัก${\displaystyle \theta }$.

${\displaystyle f_{\theta }^{-1}}$ก็แค่${\displaystyle z_{1}=x_{1},z_{2}=x_{2}-m_{\theta }(x_{1})}$และเมทริกซ์จาโคเบียนมีค่าเท่ากับ 1 ซึ่งหมายความว่าการไหลนั้นรักษาปริมาตรไว้

เมื่อไร${\displaystyle n=1}$สิ่งนี้ถูกมองว่าเป็นการเฉือนโค้งไปตามแนว${\displaystyle x_{2}}$ทิศทาง.

แบบจำลองที่ไม่รักษาปริมาตรที่แท้จริงจะขยายแบบจำลอง NICE โดย: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}=f_{\theta }(z)={\begin{bmatrix}z_{1}\\e^{s_{\theta }(z_{1})}\odot z_{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\m_{\theta }(z_{1})\end{bmatrix}}}$$

สิ่งที่ตรงกันข้ามกับมันคือ${\displaystyle z_{1}=x_{1},z_{2}=e^{-s_{\theta }(x_{1})}\odot (x_{2}-m_{\theta }(x_{1}))}$และเมทริกซ์จาโคเบียนของมันคือ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}e^{s_{\theta }(z_{1,})}}$โมเดล NICE จะถูกกู้คืนโดยการตั้งค่า${\displaystyle s_{\theta }=0}$เนื่องจากแผนที่ NVP ที่แท้จริงจะเก็บครึ่งแรกและครึ่งหลังของเวกเตอร์ไว้${\displaystyle x}$แยกต่างหาก โดยปกติแล้วจะต้องเพิ่มการเรียงสับเปลี่ยนเข้าไปด้วย${\displaystyle (x_{1},x_{2})\mapsto (x_{2},x_{1})}$หลังจากเลเยอร์ NVP จริงทุกชั้น

ในแบบจำลองการไหลแบบกำเนิด^{[ 8 ]}แต่ละชั้นมี 3 ส่วน:

• การแปลงเชิงเส้นแบบช่องต่อช่อง$${\displaystyle y_{cij}=s_{c}(x_{cij}+b_{c})}$$ด้วยจาโคเบียน${\displaystyle \prod _{c}s_{c}^{HW}}$.
• การคอนโวลูชัน 1x1 ที่ผกผันได้$${\displaystyle z_{cij}=\sum _{c'}K_{cc'}y_{cij}}$$ด้วยจาโคเบียน${\displaystyle \det(K)^{HW}}$. ที่นี่${\displaystyle K}$คือเมทริกซ์ผกผันใดๆ
• NVP ที่แท้จริง โดยใช้ Jacobian ตามที่อธิบายไว้ใน NVP ที่แท้จริง

แนวคิดของการใช้การแปลงแบบคอนโวลูชัน 1x1 ที่ผกผันได้ คือการสลับตำแหน่งของทุกเลเยอร์โดยทั่วไป แทนที่จะสลับตำแหน่งเฉพาะครึ่งแรกและครึ่งหลัง เหมือนใน Real NVP

แบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟของการกระจายตัวบน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ถูกกำหนดให้เป็นกระบวนการสุ่ม ดังต่อไปนี้ : ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}\sim &N(\mu _{1},\sigma _{1}^{2})\\x_{2}\sim &N(\mu _{2}(x_{1}),\sigma _{2}(x_{1})^{2})\\&\cdots \\x_{n}\sim &N(\mu _{n}(x_{1:n-1}),\sigma _{n}(x_{1:n-1})^{2})\\\end{aligned}}}$$ที่ไหน${\displaystyle \mu _{i}:\mathbb {R} ^{i-1}\to \mathbb {R} }$และ${\displaystyle \sigma _{i}:\mathbb {R} ^{i-1}\to (0,\infty )}$เป็นฟังก์ชันคงที่ที่กำหนดแบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟ

ด้วยเทคนิคการปรับพารามิเตอร์ใหม่โมเดลอัตถารีเกรสซีฟจึงถูกขยายไปสู่กระแสการทำให้เป็นมาตรฐาน:$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=&\mu _{1}+\sigma _{1}z_{1}\\x_{2}=&\mu _{2}(x_{1})+\sigma _{2}(x_{1})z_{2}\\&\cdots \\x_{n}=&\mu _{n}(x_{1:n-1})+\sigma _{n}(x_{1:n-1})z_{n}\\\end{aligned}}}$$แบบจำลองอัตถารีเกรสซีฟจะถูกกู้คืนโดยการตั้งค่า${\displaystyle z\sim N(0,I_{n})}$.

การแปลงข้อมูลไปข้างหน้าช้า (เพราะเป็นการประมวลผลแบบเรียงลำดับ) แต่การแปลงข้อมูลย้อนกลับเร็ว (เพราะเป็นการประมวลผลแบบขนาน)

เมทริกซ์จาโคเบียนเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมล่าง ดังนั้น จาโคเบียนคือ${\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}(x_{1})\cdots \sigma _{n}(x_{1:n-1})}$.

การสลับแผนที่ทั้งสอง${\displaystyle f_{\theta }}$และ${\displaystyle f_{\theta }^{-1}}$ผลลัพธ์ของ MAF ส่งผลให้เกิดการไหลแบบอัตถารีเกรสซีฟผกผัน (IAF) ซึ่งมีการแมปไปข้างหน้าอย่างรวดเร็วและการแมปย้อนกลับที่ช้า^{[ 13 ]}

แทนที่จะสร้างการไหลโดยการประกอบฟังก์ชัน อีกแนวทางหนึ่งคือการกำหนดการไหลเป็นไดนามิกแบบต่อเนื่องตามเวลา^{[ 14 ] [ 15 ]}ให้${\displaystyle z_{0}}$เป็นตัวแปรแฝงที่มีการกระจายตัว${\displaystyle p(z_{0})}$แปลงตัวแปรแฝงนี้ไปเป็นพื้นที่ข้อมูลโดยใช้ฟังก์ชันการไหลต่อไปนี้:

${\displaystyle x=F(z_{0})=z_{T}=z_{0}+\int _{0}^{T}f(z_{t},t)dt}$

ที่ไหน${\displaystyle f}$เป็นฟังก์ชันที่กำหนดขึ้นเองได้ และสามารถจำลองได้ด้วยโครงข่ายประสาทเทียม เป็นต้น

ฟังก์ชันผกผันจึงเป็นดังนี้ตามธรรมชาติ: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle z_{0}=F^{-1}(x)=z_{T}+\int _{T}^{0}f(z_{t},t)dt=z_{T}-\int _{0}^{T}f(z_{t},t)dt}$

และค่าลอการิทึมความน่าจะเป็นของ${\displaystyle x}$สามารถพบได้ดังนี้: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle \log(p(x))=\log(p(z_{0}))-\int _{0}^{T}{\text{Tr}}\left[{\frac {\partial f}{\partial z_{t}}}\right]dt}$

เนื่องจากร่องรอยขึ้นอยู่กับแนวทแยงของเมทริกซ์จาโคเบียนเท่านั้น${\displaystyle \partial _{z_{t}}f}$สิ่งนี้ทำให้ Jacobian มีรูปแบบ "อิสระ" ^{[ 16 ]}ในที่นี้ "รูปแบบอิสระ" หมายความว่าไม่มีข้อจำกัดใดๆ เกี่ยวกับรูปแบบของ Jacobian ซึ่งแตกต่างจากแบบจำลองการไหลแบบแยกส่วนก่อนหน้านี้ที่ Jacobian ได้รับการออกแบบอย่างระมัดระวังให้เป็นเพียงแนวทแยงมุมบนหรือล่างเท่านั้น เพื่อให้สามารถประเมิน Jacobian ได้อย่างมีประสิทธิภาพ

ร่องรอยสามารถประมาณได้ด้วย "เทคนิคของฮัทชินสัน": ^{[ 17 ] [ 18 ]}

กำหนดเมทริกซ์ใดๆ${\displaystyle W\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$และสุ่มเลือกใดๆ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{n}}$กับ${\displaystyle E[uu^{T}]=I}$เรามี${\displaystyle E[u^{T}Wu]=tr(W)}$(พิสูจน์: ขยายค่าคาดหวังโดยตรง)

โดยปกติ เวกเตอร์สุ่มจะถูกสุ่มมาจาก${\displaystyle N(0,I)}$(การแจกแจงแบบปกติ) หรือ${\displaystyle \{\pm n^{-1/2}\}^{n}}$( การแจกแจงแบบราเดมาเชอร์ )

เมื่อไร${\displaystyle f}$หากนำไปใช้เป็นเครือข่ายประสาทจะต้องใช้วิธีการ ODE ของระบบประสาท^{[ 19 ] อันที่จริง CNF ได้รับการเสนอครั้งแรกในเอกสารฉบับเดียวกันกับที่เสนอ ODE ของระบบประสาท}

CNF มีข้อบกพร่องหลักสองประการ ประการแรกคือ การไหลอย่างต่อเนื่องจะต้องเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมซึ่งหมายความว่าต้องรักษาทิศทางและไอโซโทปีของสิ่งแวดล้อม (ตัวอย่างเช่น เป็นไปไม่ได้ที่จะพลิกมือซ้ายให้เป็นมือขวาโดยการเปลี่ยนรูปพื้นที่อย่างต่อเนื่อง และเป็นไปไม่ได้ที่จะพลิกทรงกลมจากด้านในออกด้านนอกหรือแก้ปม) และประการที่สองคือ การไหลที่เรียนรู้มานั้น${\displaystyle f}$อาจมีพฤติกรรมไม่ดีเนื่องจากความเสื่อม (กล่าวคือ มีความเป็นไปได้นับไม่ถ้วน)${\displaystyle f}$ซึ่งทั้งหมดนี้แก้ปัญหาเดียวกัน)

ด้วยการเพิ่มมิติพิเศษ CNF จะได้รับอิสระมากพอที่จะกลับทิศทางการวางแนวและก้าวข้ามไอโซโทปีแวดล้อม (เช่นเดียวกับการที่คนเราสามารถหยิบรูปหลายเหลี่ยมจากโต๊ะและพลิกมันไปรอบๆ ในพื้นที่ 3 มิติ หรือคลายปมในพื้นที่ 4 มิติ) ทำให้เกิด "ODE ประสาทเสริม" ^{[ 20 ]}

โฮโมมอร์ฟิซึมใดๆ ของ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$สามารถประมาณได้ด้วย ODE ประสาทที่ทำงานบน${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}$พิสูจน์โดยการรวมทฤษฎีบทการฝังตัวของ Whitneyสำหรับแมนิโฟลด์และทฤษฎีบทการประมาณค่าสากลสำหรับเครือข่ายประสาท^{[ 21 ]}

เพื่อปรับการไหลให้เป็นปกติ${\displaystyle f}$สามารถกำหนดการสูญเสียแบบปรับให้เรียบได้ เอกสาร^{[ 17 ]}เสนอการสูญเสียแบบปรับให้เรียบต่อไปนี้โดยอิงตามทฤษฎีการขนส่งที่เหมาะสมที่สุด :$${\displaystyle \lambda _{K}\int _{0}^{T}\left\|f(z_{t},t)\right\|^{2}dt+\lambda _{J}\int _{0}^{T}\left\|\nabla _{z}f(z_{t},t)\right\|_{F}^{2}dt}$$ที่ไหน${\displaystyle \lambda _{K},\lambda _{J}>0}$เป็นพารามิเตอร์เสริม เทอมแรกจะลงโทษแบบจำลองหากสนามการไหลแกว่งไปมาตามเวลา และเทอมที่สองจะลงโทษแบบจำลองหากสนามการไหลแกว่งไปมาตามพื้นที่ ทั้งสองเทอมรวมกันจะช่วยนำทางแบบจำลองไปสู่การไหลที่ราบเรียบ (ไม่ใช่ "ขรุขระ") ทั้งในแง่ของพื้นที่และเวลา

สำหรับ${\displaystyle m<n}$, อนุญาต${\displaystyle {\mathcal {M}}\subset \mathbb {R} ^{n}}$เป็น${\displaystyle m}$แมนิโฟลด์หลายมิติที่มีการฝังตัวแบบไอโซเมตริกที่ราบเรียบเข้าไปใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. อนุญาต${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$เป็นการแปลงการไหลที่ราบรื่นโดยมีช่วงจำกัดไว้ที่${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. อนุญาต${\displaystyle \mathbf {x} \in {\mathcal {M}}}$สุ่มตัวอย่างจากการกระจายที่มีความหนาแน่น${\displaystyle P_{X}}$. อนุญาต${\displaystyle \mathbf {y} =f(\mathbf {x} )}$ส่งผลให้มีความหนาแน่น (แบบผลักไปข้างหน้า)${\displaystyle P_{Y}}$. อนุญาต${\displaystyle U\subset {\mathcal {M}}}$เป็นบริเวณนูนขนาดเล็กที่บรรจุอยู่ภายใน${\displaystyle \mathbf {x} }$และปล่อยให้${\displaystyle V=f(U)}$เป็นภาพลักษณ์ของมัน ซึ่งประกอบด้วย${\displaystyle \mathbf {y} }$จากนั้นโดยอาศัยหลักการอนุรักษ์ความน่าจะเป็น:

${\displaystyle P_{X}(\mathbf {x} )\operatorname {volume} (U)\approx P_{Y}(\mathbf {y} )\operatorname {volume} (V)}$

โดยปริมาตร (สำหรับบริเวณเล็ก ๆ) จะกำหนดโดยการวัดแบบเลเบสใน${\displaystyle m}$ปริภูมิสัมผัสแบบหลายมิติโดยการทำให้บริเวณมีขนาดเล็กมากจนแทบไม่มีที่สิ้นสุด ปัจจัยที่เชื่อมโยงความหนาแน่นทั้งสองเข้าด้วยกันคืออัตราส่วนของปริมาตร ซึ่งเราเรียกว่าอัตราส่วนปริมาตรเชิงอนุพันธ์

เพื่อให้ได้สูตรที่ชัดเจนสำหรับการคำนวณปริมาตรบน${\displaystyle m}$เราสร้างแมนิโฟลด์มิติ - มิติ${\displaystyle U}$โดยการทำแผนที่${\displaystyle m}$แปลงสี่เหลี่ยมผืนผ้าหลายมิติในพื้นที่พิกัด (ท้องถิ่น) ไปยังแมนิโฟลด์ผ่านฟังก์ชันการฝังตัวแบบเรียบ:${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ที่ระดับขนาดเล็กมาก ฟังก์ชันการฝังตัวจะกลายเป็นเชิงเส้นโดยพื้นฐาน ดังนั้น${\displaystyle U}$เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (การขยายรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานไปเป็นหลายมิติ) ในทำนองเดียวกัน การแปลงการไหล${\displaystyle f}$กลายเป็นเส้นตรง ดังนั้นภาพจึง${\displaystyle V=f(U)}$เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเช่นกัน ใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$เราสามารถแสดงแทนได้${\displaystyle m}$สี่เหลี่ยมด้านขนานมิติที่มี${\displaystyle m{\text{-by-}}m}$เมทริกซ์ที่มีเวกเตอร์คอลัมน์เป็นเซตของขอบ (ที่มาบรรจบกันที่จุดยอดร่วม) ซึ่งทอดข้ามรูปทรงขนาน ปริมาตรหาได้จากค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้ ในกรณีทั่วไป (เช่นในกรณีนี้)${\displaystyle m}$พาราเลลโลโทปมิติถูกฝังอยู่ใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$สามารถแสดงได้ด้วย (สิ่งสูง)${\displaystyle n{\text{-by-}}m}$เมทริกซ์ เช่น${\displaystyle \mathbf {V} }$โดยกำหนดให้รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็น${\displaystyle /\mathbf {V} \!/}$ปริมาตรของมันจะหาได้จากรากที่สองของค่าคงที่แกรม :

${\displaystyle \operatorname {volume} /\mathbf {V} \!/={\sqrt {\left|\operatorname {det} (\mathbf {V} '\mathbf {V} )\right|}}}$

ในหัวข้อด้านล่างนี้ เราจะแสดงวิธีการต่างๆ ในการใช้สูตรปริมาตรนี้เพื่อหาอัตราส่วนปริมาตรเชิงอนุพันธ์

ตัวอย่างแรก เราจะพัฒนาสูตรสำหรับอัตราส่วนปริมาตรเชิงอนุพันธ์ของการไหลแบบซิมเพล็กซ์${\displaystyle \mathbf {q} =f(\mathbf {p} )}$, ที่ไหน${\displaystyle \mathbf {p} ,\mathbf {q} \in {\mathcal {M}}=\Delta ^{n-1}}$กำหนดฟังก์ชันการฝังข้อมูล :

${\displaystyle e:{\tilde {\mathbf {p} }}=(p_{1}\dots ,p_{n-1})\mapsto \mathbf {p} =(p_{1}\dots ,p_{n-1},1-\sum _{i=1}^{n-1}p_{i})}$

ซึ่งกำหนดแผนที่ที่เลือกไว้อย่างเหมาะสม${\displaystyle (n-1)}$การแสดงผลแบบหลายมิติ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {p} }}}$ไปยังแมนิโฟลด์ที่ฝังอยู่${\displaystyle n{\text{-by-}}(n-1)}$จาโคเบียนคือ ${\displaystyle \mathbf {E} ={\begin{bmatrix}\mathbf {I} _{n-1}\\-{\boldsymbol {1}}'\end{bmatrix}}}$เพื่อกำหนด${\displaystyle U}$องค์ประกอบปริมาตรเชิงอนุพันธ์ที่อินพุตการแปลง (${\displaystyle \mathbf {p} \in \Delta ^{n-1}}$) เราเริ่มต้นด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าใน${\displaystyle {\tilde {\mathbf {p} }}}$-ช่องว่างที่มีความยาวด้านต่างกัน (แบบมีเครื่องหมาย)${\displaystyle dp_{1},\dots ,dp_{n-1}}$จากนั้นเราจะสร้างเมทริกซ์ทแยงมุมสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมา${\displaystyle \mathbf {D} }$โดยที่เสาเหล่านั้นทอดยาวไปตามสี่เหลี่ยมผืนผ้า ในระดับที่เล็กมาก เราจะได้${\displaystyle U=e(\mathbf {D} )=/\mathbf {ED} \!/}$, กับ:

${\displaystyle \operatorname {volume} (U)={\sqrt {\left|\operatorname {det} (\mathbf {DE} '\mathbf {ED} )\right|}}={\sqrt {\left|\operatorname {det} (\mathbf {E} '\mathbf {E} )\right|}}\,\left|\operatorname {det} \mathbf {D} )\right|={\sqrt {n}}\prod _{i=1}^{n-1}\left|dp_{i}\right|}$

เพื่อทำความเข้าใจการตีความทางเรขาคณิตของตัวประกอบ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$โปรดดูตัวอย่างของซิมเพล็กซ์ 1 ในแผนภาพด้านขวา

องค์ประกอบปริมาตรเชิงอนุพันธ์ที่เอาต์พุตการแปลง (${\displaystyle \mathbf {q} \in \Delta ^{n-1}}$) คือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน${\displaystyle V=f(U)=/\mathbf {F_{p}ED} \!/}$, ที่ไหน${\displaystyle \mathbf {F_{p}} }$คือ${\displaystyle n{\text{-by-}}n}$จาโคเบียนของ${\displaystyle f}$ที่${\displaystyle \mathbf {p} =e({\tilde {\mathbf {p} }})}$ปริมาตรของมันคือ:

${\displaystyle \operatorname {volume} (V)={\sqrt {\left|\operatorname {det} (\mathbf {DE} '\mathbf {F_{p}} '\mathbf {F_{p}ED} )\right|}}={\sqrt {\left|\operatorname {det} (\mathbf {E} '\mathbf {F_{p}} '\mathbf {F_{p}E} )\right|}}\,\left|\operatorname {det} \mathbf {D} )\right|}$

ดังนั้นปัจจัยนั้น${\displaystyle \left|\operatorname {det} \mathbf {D} )\right|}$ตัดกันในอัตราส่วนปริมาตร ซึ่งสามารถประเมินค่าเชิงตัวเลขได้แล้ว อย่างไรก็ตาม สามารถเขียนใหม่ในรูปแบบที่สะดวกกว่าได้ในบางครั้ง โดยการแนะนำฟังก์ชันการแสดงผล เพิ่มเติม ด้วย${\displaystyle r:\mathbf {p} \mapsto {\tilde {\mathbf {p} }}}$ซึ่งเพียงแค่ดึงข้อมูลแรกออกมา${\displaystyle (n-1)}$ส่วนประกอบต่างๆ เมทริกซ์จาโคเบียนคือ${\displaystyle \mathbf {R} ={\begin{bmatrix}\mathbf {I} _{n}&{\boldsymbol {0}}\end{bmatrix}}}$โปรดสังเกตว่า เนื่องจาก${\displaystyle e\circ r\circ f=f}$กฎลูกโซ่สำหรับการประกอบฟังก์ชันให้ผลลัพธ์ดังนี้:${\displaystyle \mathbf {ERF_{p}} =\mathbf {F_{p}} }$โดยการนำการขยายนี้ไปใส่ในดีเทอร์มิแนนต์ของแกรมข้างต้น แล้วทำการปรับโครงสร้างใหม่ให้เป็นผลคูณของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จัตุรัส เราสามารถแยกตัวประกอบออกมาได้${\displaystyle {\sqrt {\left|\operatorname {det} (\mathbf {E} '\mathbf {E} )\right|}}={\sqrt {n}}}$ซึ่งตอนนี้ก็ตัดกันในอัตราส่วนด้วย ซึ่งในที่สุดก็จะลดรูปเหลือเพียงดีเทอร์มิแนนต์ของจาโคเบียนของการแปลงการไหลแบบ "แซนด์วิช"${\displaystyle r\circ f\circ e}$:

${\displaystyle R_{f}^{\Delta }(\mathbf {p} )={\frac {\operatorname {volume} (V)}{\operatorname {volume} (U)}}=\left|\operatorname {det} (\mathbf {RF_{p}E} )\right|}$

ซึ่งถ้าหาก${\displaystyle \mathbf {p} \sim P_{\mathbf {P} }}$สามารถใช้เพื่อหาค่าความหนาแน่นของการผลักดันไปข้างหน้าหลังจากการเปลี่ยนตัวแปรได้${\displaystyle \mathbf {q} =f(\mathbf {p} )}$:

${\displaystyle P_{\mathbf {Q} }(\mathbf {q} )={\frac {P_{\mathbf {P} }(\mathbf {p} )}{R_{f}^{\Delta }(\mathbf {p} )}}\,,\;{\text{where}}\;\;\mathbf {p} =f^{-1}(\mathbf {q} )}$

สูตรนี้ใช้ได้เฉพาะในกรณีที่ซิมเพล็กซ์แบนราบและจาโคเบียน${\displaystyle \mathbf {E} }$มีค่าคงที่ กรณีทั่วไปสำหรับแมนิโฟลด์โค้งจะกล่าวถึงต่อไปหลังจากที่เราได้นำเสนอตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมสองตัวอย่างของการแปลงการไหลแบบซิมเพล็กซ์

พิจารณาการไหล${\displaystyle \mathbf {y} =f(\mathbf {x} )}$บนท่อโค้ง ตัวอย่างเช่น${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$ซึ่งเราได้ติดตั้งฟังก์ชันการฝังข้อมูลไว้ด้วย${\displaystyle e}$ที่แมปชุดของ${\displaystyle (n-1)}$พิกัดทรงกลมเชิงมุมไปยัง${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$จาโคเบียนของ${\displaystyle e}$เป็นค่าที่ไม่คงที่ และเราต้องประเมินค่าที่อินพุตทั้งสอง (${\displaystyle \mathbf {E_{x}} }$) และผลลัพธ์ (${\displaystyle \mathbf {E_{y}} }$หลักการเดียวกันนี้ใช้ได้กับ${\displaystyle r}$ฟังก์ชันการแสดงผลที่กู้คืนพิกัดทรงกลมจากจุดบน${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$ซึ่งเราต้องการ Jacobian ที่เอาต์พุต (${\displaystyle \mathbf {R_{y}} }$). อัตราส่วนปริมาตรที่แตกต่างกันสามารถสรุปได้ดังนี้:

${\displaystyle R_{f}(\mathbf {x} )=\left|\operatorname {det} (\mathbf {R_{y}F_{x}E_{x}} )\right|\,{\frac {\sqrt {\left|\operatorname {det} (\mathbf {E} _{\mathbf {y} }'\mathbf {E_{y}} )\right|}}{\sqrt {\left|\operatorname {det} (\mathbf {E} _{\mathbf {x} }'\mathbf {E_{x}} )\right|}}}}$

เพื่อให้ได้ความเข้าใจเชิงเรขาคณิต ลองพิจารณาดู${\displaystyle \mathbf {S} ^{2}}$โดยที่พิกัดทรงกลมนั้นอยู่ในแนวละติจูดเดียวกัน${\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}$และลองจิจูด${\displaystyle \phi \in [0,2\pi )}$. ที่${\displaystyle \mathbf {x} =e(\theta ,\phi )}$เราได้รับ${\displaystyle {\sqrt {\left|\operatorname {det} (\mathbf {E} _{\mathbf {x} }'\mathbf {E_{x}} )\right|}}=\sin \theta }$ซึ่งจะให้รัศมีของวงกลมที่ละติจูดนั้น (เช่น เปรียบเทียบวงกลมขั้วโลกกับเส้นศูนย์สูตร) ​​ปริมาตรเชิงอนุพันธ์ (พื้นที่ผิวบนทรงกลม) คือ:${\displaystyle \sin \theta \,d\theta \,d\phi }$.

การคำนวณข้างต้นสำหรับ${\displaystyle R_{f}}$มีความเปราะบางในแง่ที่ว่าเมื่อใช้ฟังก์ชันคงที่${\displaystyle e,r}$อาจมีบางจุดที่พิกัดไม่ชัดเจน เช่น ที่ขั้วของทรงกลม 2 มิติ ซึ่งเส้นลองจิจูดไม่แน่นอน ปัญหานี้สามารถหลีกเลี่ยงได้ (โดยใช้กลไกแมนิโฟลด์มาตรฐาน) โดยการขยายไปสู่ พิกัด ท้องถิ่น (แผนที่) ซึ่งในบริเวณใกล้เคียงกับ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in {\mathcal {M}}}$เราสร้างแผนที่จากข้อมูลท้องถิ่น${\displaystyle m}$พิกัดหลายมิติ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$และย้อนกลับโดยใช้คู่ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle e_{\mathbf {x} },r_{\mathbf {x} }}$และ${\displaystyle e_{\mathbf {y} },r_{\mathbf {y} }}$เรายังคงใช้สัญลักษณ์เดียวกันสำหรับเมทริกซ์จาโคเบียนของฟังก์ชันเหล่านี้ (${\displaystyle \mathbf {E_{x}} ,\mathbf {E_{y}} ,\mathbf {R_{y}} }$) ดังนั้นสูตรข้างต้นสำหรับ${\displaystyle R_{f}}$ยังคงมีผลใช้ได้

อย่างไรก็ตาม เราสามารถเลือกใช้ระบบพิกัดท้องถิ่นของเราในลักษณะที่ทำให้การแสดงออกของสมการง่ายขึ้นได้${\displaystyle R_{f}}$และรวมถึงการนำไปใช้ในทางปฏิบัติด้วย^{[ 22 ]}ให้${\displaystyle \pi$ :{\mathcal {P}}\to \mathbb {R} ^{n}} เป็นการฉายภาพเอกลักษณ์เรียบ (${\displaystyle \pi \circ \pi =\pi }$) จากเซตที่ฉายได้ ,${\displaystyle {\mathcal {P}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$บนแมนิโฟลด์ที่ฝังตัวอยู่ ตัวอย่างเช่น:

• ออร์แธนต์บวกของ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ฉายลงบนซิมเพล็กซ์ดังนี้:${\displaystyle \pi (\mathbf {z} )={\bigl (}\sum _{i=1}^{n}z_{i}{\bigr )}^{-1}\mathbf {z} }$
• เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ฉายลงบนทรงกลมหน่วยดังนี้:${\displaystyle \pi (\mathbf {z} )={\bigl (}\sum _{i=1}^{n}z_{i}^{2}{\bigr )}^{-{\frac {1}{2}}}\mathbf {z} }$

สำหรับทุกๆ${\displaystyle \mathbf {x} \in {\mathcal {M}}}$เราต้องการ${\displaystyle \pi }$ว่ามัน${\displaystyle n{\text{-by-}}n}$จาโคเบียน${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi _{x}}}}$มีอันดับ${\displaystyle m}$(มิติของแมนิโฟลด์) ในกรณีนั้น${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi _{x}}}}$เป็นการฉายภาพเชิงเส้นแบบเอกลักษณ์ลงบนปริภูมิสัมผัสเฉพาะที่ ( ตั้งฉากกับทรงกลมหน่วย)${\displaystyle \mathbf {I} _{n}-\mathbf {xx} '}$เฉียง สำหรับซิมเพล็ กซ์:${\displaystyle \mathbf {I} _{n}-{\boldsymbol {x1}}'}$คอลัมน์ของ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi _{x}}}}$ครอบคลุม${\displaystyle m}$ปริภูมิสัมผัสแบบหลายมิติที่${\displaystyle \mathbf {x} }$เราใช้สัญลักษณ์ว่า${\displaystyle \mathbf {T_{x}} }$สำหรับใดๆ${\displaystyle n{\text{-by-}}m}$เมทริกซ์ที่มีคอลัมน์ตั้งฉากกัน (${\displaystyle \mathbf {T} _{\mathbf {x} }'\mathbf {T_{x}} =\mathbf {I} _{m}}$) ที่ครอบคลุมพื้นที่สัมผัสเฉพาะที่ โปรดทราบด้วยว่า:${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi _{x}}}\mathbf {T_{x}} =\mathbf {T_{x}} }$ตอนนี้เราสามารถเลือกฟังก์ชันการฝังพิกัดท้องถิ่นได้แล้ว${\displaystyle e_{\mathbf {x} }:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$:

${\displaystyle e_{\mathbf {x} }({\tilde {x}})=\pi (\mathbf {x} +\mathbf {T_{x}{\tilde {x}}} )\,,{\text{with Jacobian:}}\,\mathbf {E_{x}} =\mathbf {T_{x}} \,{\text{at}}\,{\tilde {\mathbf {x} }}=\mathbf {0} .}$

เนื่องจากเมทริกซ์จาโคเบียนเป็นเมทริกซ์หนึ่งต่อหนึ่ง (อันดับเต็ม:${\displaystyle m}$) ตัวผกผันซ้าย เฉพาะที่ (ไม่จำเป็นต้องเป็นเอกลักษณ์) เช่น${\displaystyle r_{\mathbf {x} }^{*}}$ด้วยจาโคเบียน${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathbf {x} }^{*}}$มีอยู่จริงซึ่ง${\displaystyle r_{\mathbf {x} }^{*}(e_{\mathbf {x} }({\tilde {x}}))={\tilde {x}}}$และ${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathbf {x} }^{*}\mathbf {T_{x}} =\mathbf {I} _{m}}$ในทางปฏิบัติ เราไม่จำเป็นต้องใช้ฟังก์ชันผกผันซ้ายเอง แต่เราจำเป็นต้องใช้เมทริกซ์จาโคเบียน ซึ่งสมการข้างต้นไม่ได้ให้คำตอบที่ไม่ซ้ำกัน อย่างไรก็ตาม เราสามารถบังคับให้เมทริกซ์จาโคเบียนมีคำตอบที่ไม่ซ้ำกันได้โดยการเลือกฟังก์ชันผกผันซ้ายดังนี้${\displaystyle r_{\mathbf {x} }:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$:

${\displaystyle r_{\mathbf {x} }(\mathbf {z} )=r_{\mathbf {x} }^{*}(\pi (\mathbf {z} ))\,,{\text{with Jacobian:}}\,\mathbf {R_{x}} =\mathbf {T} _{\mathbf {x} }'}$

ในที่สุดเราก็สามารถเสียบปลั๊กได้แล้ว${\displaystyle \mathbf {E_{x}} =\mathbf {T_{x}} }$และ${\displaystyle \mathbf {R_{y}} =\mathbf {T} _{\mathbf {y} }'}$เข้าสู่การแสดงออกก่อนหน้านี้ของเราสำหรับ${\displaystyle R_{f}}$อัตราส่วนปริมาตรที่แตกต่างกันซึ่งเนื่องจาก Jacobian ออร์โทนอร์มอล จึงทำให้ง่ายขึ้นเป็น: ^{[ 28 ]}

${\displaystyle R_{f}(\mathbf {x} )=\left|\operatorname {det} (\mathbf {T_{y}} '\mathbf {F_{x}T_{x}} )\right|}$

ในวรรณกรรมการเรียนรู้ของเครื่อง อาจพบการไหลทรงกลมที่ซับซ้อนต่างๆ ที่เกิดจากสถาปัตยกรรมเครือข่ายประสาทแบบลึก^{[ 22 ]}ในทางตรงกันข้าม ส่วนนี้ได้รวบรวมรายละเอียดจาก วรรณกรรม ทางสถิติของการแปลงการไหลทรงกลมที่ง่ายมากสามแบบ พร้อมด้วยนิพจน์แบบปิดที่เรียบง่ายสำหรับส่วนกลับและอัตราส่วนปริมาตรเชิงอนุพันธ์ การไหลเหล่านี้สามารถใช้แยกกันหรือเชื่อมโยงกันเพื่อสรุปการกระจายบนทรงกลมหน่วยได้${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$การไหลทั้งสามแบบนี้เป็นองค์ประกอบของการแปลงเชิงเส้นผกผันใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ตามด้วยการฉายภาพรัศมีกลับไปยังทรงกลม รูปแบบที่เราพิจารณาสำหรับการแปลงเชิงเส้นคือ การเลื่อนแบบบริสุทธิ์ การแปลงเชิงเส้นแบบบริสุทธิ์ และการแปลงเชิงเส้นทั่วไป เพื่อให้การไหลเหล่านี้ใช้งานได้อย่างเต็มประสิทธิภาพสำหรับการเรียนรู้ การอนุมาน และการสุ่มตัวอย่าง งานที่ต้องทำคือ:

• เพื่อหาอนุพันธ์ของการแปลงผกผัน โดยมีข้อจำกัดที่เหมาะสมเกี่ยวกับพารามิเตอร์เพื่อให้มั่นใจได้ว่าสามารถหาอนุพันธ์ผกผันได้
• เพื่อหาอัตราส่วนปริมาตรเชิงอนุพันธ์ ใน รูป แบบปิดที่ง่าย${\displaystyle R_{f}}$.

คุณสมบัติที่น่าสนใจอย่างหนึ่งของการไหลทรงกลมแบบง่ายเหล่านี้คือ พวกมันไม่ได้ใช้ความไม่เป็นเชิงเส้นใดๆ นอกจากการฉายภาพในแนวรัศมี แม้แต่การไหลที่ง่ายที่สุดอย่างการไหลแบบแปลนมาตรฐาน ก็สามารถเชื่อมต่อกันเพื่อสร้างการกระจายที่ยืดหยุ่นได้อย่างน่าประหลาดใจ