กลุ่ม (คณิตศาสตร์)

Q: สัญลักษณ์และศัพท์เฉพาะ

ในทางทฤษฎี กลุ่มคือ คู่ลำดับ ของเซตและโอเปอเรชันทวิภาคบนเซตนั้นซึ่งสอดคล้องกับ สัจพจน์ของกลุ่ม เซตนั้นเรียกว่า เซตพื้นฐาน ของกลุ่ม และโอเปอเรชันนั้นเรียกว่า โอเปอเรชันของกลุ่ม หรือ กฎของ กลุ่ม

ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มคือเซตที่มีการดำเนินการซึ่งรวมสมาชิกสองตัวใดๆ ในเซตนั้นเข้าด้วยกันเพื่อสร้างสมาชิกตัวที่สามภายในเซตเดียวกัน โดยต้องเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: การดำเนินการนั้นมีคุณสมบัติการสลับ ที่ได้ มีเอกลักษณ์ และสมาชิกทุกตัวในเซตมีตัวผกผันตัวอย่างเช่นจำนวนเต็มกับการดำเนินการบวกเป็นกลุ่มหนึ่ง

แนวคิดเรื่องกลุ่มได้รับการพัฒนาขึ้นเพื่อจัดการกับโครงสร้างทางคณิตศาสตร์หลายอย่าง เช่น ตัวเลข รูปทรงเรขาคณิตและรากพหุนาม ในรูปแบบที่เป็น เอกภาพ เนื่องจากแนวคิดเรื่องกลุ่มมีอยู่ทั่วไปในหลายสาขาทั้งในและนอกคณิตศาสตร์ ผู้เขียนบางคนจึงถือว่ากลุ่มเป็นหลักการจัดระเบียบหลักของคณิตศาสตร์ร่วมสมัย^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

ในเรขาคณิตกลุ่มต่างๆ เกิดขึ้นเองตามธรรมชาติในการศึกษาความสมมาตรและการแปลงทางเรขาคณิต : ความสมมาตรของวัตถุหนึ่งๆ ก่อให้เกิดกลุ่ม เรียกว่ากลุ่มสมมาตรของวัตถุนั้น และการแปลงประเภทใดประเภทหนึ่งจะก่อให้เกิดกลุ่มทั่วไป กลุ่มลีปรากฏในกลุ่มสมมาตรในเรขาคณิต และในแบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์อนุภาค ด้วย กลุ่มปวงกาเรเป็นกลุ่มลีที่ประกอบด้วยความสมมาตรของปริภูมิเวลาใน ทฤษฎีสั มพัทธภาพพิเศษ กลุ่มจุดอธิบายความสมมาตรในเคมีโมเลกุล

แนวคิดเรื่องกลุ่มเกิดขึ้นจากการศึกษาเกี่ยวกับสมการพหุนามเอวาริสต์ กาโลอิสในช่วงทศวรรษ 1830 ได้นำเสนอคำว่ากลุ่ม (ภาษาฝรั่งเศส: groupe ) สำหรับกลุ่มสมมาตรของรากของสมการ ซึ่งปัจจุบันเรียกว่ากลุ่มกาโลอิสหลังจากได้รับการสนับสนุนจากสาขาอื่นๆ เช่นทฤษฎีจำนวนและเรขาคณิต แนวคิดเรื่องกลุ่มจึงได้รับการขยายความและได้รับการยอมรับอย่างมั่นคงราวปี 1870 ทฤษฎีกลุ่ม สมัยใหม่ ซึ่งเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ที่กำลังพัฒนาอย่างต่อเนื่อง ศึกษาเกี่ยวกับกลุ่มโดยตรง เพื่อสำรวจกลุ่ม นักคณิตศาสตร์ได้คิดค้นแนวคิดต่างๆ เพื่อแบ่งกลุ่มออกเป็นส่วนย่อยๆ ที่เข้าใจได้ง่ายขึ้น เช่นกลุ่มย่อยกลุ่มผลหารและกลุ่มเชิงเดี่ยวนอกเหนือจากคุณสมบัติเชิงนามธรรมแล้ว นักทฤษฎีกลุ่มยังศึกษาถึงวิธีการต่างๆ ที่สามารถแสดงกลุ่มออกมาได้อย่างเป็นรูปธรรม ทั้งจากมุมมองของทฤษฎีการแทน (นั่นคือ ผ่านการแทนกลุ่ม ) และทฤษฎีกลุ่มเชิงคำนวณ มีการพัฒนาทฤษฎีสำหรับกลุ่มจำกัดซึ่ง culminate ด้วยการจำแนกกลุ่มง่ายจำกัดซึ่งเสร็จสมบูรณ์ในปี 2547 ตั้งแต่กลางทศวรรษ 1980 ทฤษฎีกลุ่มเชิงเรขาคณิตซึ่งศึกษาเกี่ยว กับ กลุ่มที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดในฐานะวัตถุเชิงเรขาคณิต ได้กลายเป็นสาขาที่ได้รับความสนใจอย่างมากในทฤษฎีกลุ่ม

คำจำกัดความและตัวอย่างประกอบ

ตัวอย่างแรก: จำนวนเต็ม

หนึ่งในกลุ่มที่คุ้นเคยกันดีคือเซตของจำนวนเต็ม $\mathbb {Z} =\{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}$ พร้อมกับการบวก [ ^{3 ] สำหรับ}จำนวนเต็มสองจำนวนใดๆ $a$ และ $b$ ผลรวม $a+b$ ก็เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน คุณสมบัติ การปิด นี้ บอกว่า $+$ เป็นการดำเนินการแบบไบนารีบน⁠ $\mathbb {Z}$ คุณสมบัติต่อ ไป นี้ของการบวกจำนวนเต็มทำหน้าที่เป็นแบบจำลองสำหรับ สัจพจน์กลุ่มในคำจำกัดความด้านล่าง^{[ 4 ]}

สำหรับจำนวนเต็มทั้งหมด $a$ ⁠ , $b$ และ $c$ หนึ่งมี $(a+b)+c=a+(b+c)$ .อธิบายเป็นคำพูด โดยเพิ่มเติม $a$ ถึง $b$ ก่อนอื่น แล้วจึงนำผลลัพธ์ไปบวกเพิ่ม $c$ ให้ผลลัพธ์สุดท้ายเหมือนกับการบวก $a$ ผลรวมของ $b$ และ $c$ คุณสมบัตินี้เรียกว่าการเชื่อมโยง^{[ 4 ]}
ถ้า $a$ ถ้าเป็นจำนวนเต็มใดๆ แล้ว $0+a=a$ และ $a+0=a$ ศูนย์เรียกว่าองค์ประกอบเอกลักษณ์ ของการบวก เพราะการบวกศูนย์กับจำนวนเต็มใด ๆจะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็มเดิม^[⁴^]
สำหรับจำนวนเต็มทุกจำนวน $a$ มีจำนวนเต็มอยู่ $b$ โดยที่ $a+b=0$ และ $b+a=0$ จำนวนเต็ม $b$ เรียกว่าองค์ประกอบผกผันของจำนวนเต็ม $a$ และมีสัญลักษณ์⁠ $-a$ ⁠ .^{[ 4 ]}

จำนวนเต็มพร้อมกับการดำเนินการ⁠ $+$ ก่อให้เกิดวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่อยู่ในกลุ่มกว้างๆ ซึ่งมีลักษณะโครงสร้างคล้ายคลึงกัน เพื่อให้เข้าใจโครงสร้างเหล่านี้ในฐานะกลุ่มได้อย่างเหมาะสม จึงได้มีการกำหนดนิยามดังต่อไปนี้

คำนิยาม

กลุ่มคือเซต $G$ พร้อมกับการดำเนินการไบนารีบน⁠ $G$ ซึ่งในที่นี้แสดงด้วย " $\cdot$ "ซึ่งเป็นการรวมองค์ประกอบ สองอย่างใดๆ เข้าด้วยกัน" $a$ และ $b$ ของ $G$ เพื่อสร้างองค์ประกอบของ⁠ $G$ ซึ่งแสดงด้วย $a\cdot b$ โดยที่เงื่อนไขสามประการต่อไปนี้ ซึ่งเรียกว่าสัจพจน์ของกลุ่มเป็นไปตามที่กำหนด:^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ a ]}

ความสัมพันธ์: สำหรับทุกคน $a$ , ⁠ $b$ , ⁠ $c$ ใน $G$ หนึ่งมี $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ⁠ .
องค์ประกอบเอกลักษณ์: มีองค์ประกอบอยู่ $e$ ใน $G$ โดยที่สำหรับทุกๆ $a$ ใน $G$ หนึ่งมี $e\cdot a=a$ และ $a\cdot e=a$ ⁠ .; องค์ประกอบดังกล่าว $e$ มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว เรียกว่าองค์ประกอบเอกลักษณ์ (หรือบางครั้งเรียกว่าองค์ประกอบที่เป็นกลาง ) ของกลุ่ม
องค์ประกอบผกผัน: สำหรับแต่ละรายการ $a$ ใน $G$ มีองค์ประกอบอยู่ $b$ ใน $G$ โดยที่ $a\cdot b=e$ และ $b\cdot a=e$ โดยที่ $e$ คือองค์ประกอบเอกลักษณ์; สำหรับแต่ละ⁠ $a$ องค์ประกอบ $b$ มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว เรียกว่าเป็นส่วนกลับของ $a$ และโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์⁠ $a^{-1}$ ⁠ .

หมายเหตุ: ความเป็นเอกลักษณ์ของเอกลักษณ์และความเป็นเอกลักษณ์ขององค์ประกอบผกผันไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของสัจพจน์ แต่เป็นผลสืบเนื่องมาจากสัจพจน์ทั้งสามข้อ

สัญลักษณ์และศัพท์เฉพาะ

ในทางทฤษฎี กลุ่มคือคู่ลำดับของเซตและโอเปอเรชันทวิภาคบนเซตนั้นซึ่งสอดคล้องกับสัจพจน์ของกลุ่มเซตนั้นเรียกว่าเซตพื้นฐานของกลุ่ม และโอเปอเรชันนั้นเรียกว่าโอเปอเรชันของกลุ่มหรือกฎของกลุ่ม

ดังนั้น กลุ่มและเซตที่อยู่ภายใต้กลุ่มจึงเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ ที่แตกต่างกันสองอย่าง เพื่อหลีกเลี่ยง สัญลักษณ์ที่ยุ่งยาก จึงมักใช้สัญลักษณ์เดียวกันเพื่อแทนทั้งสองอย่าง ซึ่งสะท้อนให้เห็นถึงวิธีคิดแบบไม่เป็นทางการด้วยเช่นกัน กล่าวคือ กลุ่มนั้นเหมือนกับเซต ยกเว้นแต่ว่ามันได้รับการเสริมด้วยโครงสร้างเพิ่มเติมที่เกิดจากการดำเนินการ

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเซตของจำนวนจริง $\mathbb {R}$ ซึ่งมีการดำเนินการบวก $a+b$ และการคูณ $ab$ อย่างเป็นทางการแล้ว $\mathbb {R}$ เป็นชุดหนึ่ง $(\mathbb {R} ,+)$ เป็นกลุ่ม และ $(\mathbb {R} ,+,\cdot )$ เป็นสาขา หนึ่ง แต่โดยทั่วไปมักเขียนว่า $\mathbb {R}$ เพื่อหมายถึงวัตถุทั้งสามอย่างนี้

กลุ่มเพิ่มเติมของสนาม $\mathbb {R}$ คือกลุ่มที่มีเซตพื้นฐานเป็น $\mathbb {R}$ และการดำเนินการของมันคือการบวกกลุ่มการคูณของฟิลด์ $\mathbb {R}$ คือกลุ่ม $\mathbb {R} ^{\times }$ ซึ่งเซตพื้นฐานคือเซตของจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ $\mathbb {R} \smallsetminus \{0\}$ และการดำเนินการนั้นคือการคูณ

โดยทั่วไปแล้ว เราจะพูดถึงกลุ่มแบบบวกเมื่อใดก็ตามที่การดำเนินการของกลุ่มนั้นเขียนแทนด้วยการบวก ในกรณีนี้ สัญลักษณ์เอกลักษณ์มักจะเขียนแทนด้วย⁠ $0$ และตัวผกผันขององค์ประกอบ $x$ ถูกกำหนดโดย⁠ $-x$ ใน ทำนองเดียวกัน เราจะพูดถึงกลุ่มการคูณเมื่อใดก็ตามที่การดำเนินการของกลุ่มนั้นถูกเขียนแทนด้วยการคูณ ในกรณีนี้ โดยทั่วไปแล้วจะใช้สัญลักษณ์เอกลักษณ์แทนด้วย $1$ และตัวผกผันขององค์ประกอบ $x$ ถูกกำหนดโดย⁠ $x^{-1}$ ในกลุ่มการคูณ โดยปกติแล้วจะละเว้นสัญลักษณ์การดำเนินการโดยสิ้นเชิง ดังนั้นจึงแสดงการดำเนินการด้วยการวางติดกัน $ab$ แทนที่จะเป็น $a\cdot b$ ⁠ .

นิยามของกลุ่มไม่ได้กำหนดว่า $a\cdot b=b\cdot a$ สำหรับองค์ประกอบทั้งหมด $a$ และ $b$ ใน $G$ ถ้าเงื่อนไขเพิ่มเติมนี้เป็น จริงการดำเนินการนั้นจะเรียกว่าเป็นการสลับที่ได้และกลุ่มนั้นเรียกว่ากลุ่มอาเบเลียนโดยทั่วไปแล้ว สำหรับกลุ่มอาเบเลียน อาจใช้สัญลักษณ์การบวกหรือการคูณก็ได้ แต่สำหรับกลุ่มที่ไม่ใช่อาเบเลียน จะใช้เฉพาะสัญลักษณ์การคูณเท่านั้น

นอกจากนี้ ยังมีสัญลักษณ์อื่นๆ ที่ใช้กันทั่วไปสำหรับกลุ่มที่มีสมาชิกไม่ใช่ตัวเลข สำหรับกลุ่มที่มีสมาชิกเป็นฟังก์ชันการดำเนินการที่ใช้บ่อยคือการประกอบฟังก์ชัน $f\circ g$ ;จากนั้นอาจใช้สัญลักษณ์ id แทนเอกลักษณ์ ในกรณีเฉพาะเจาะจงของกลุ่มการแปลงทางเรขาคณิตกลุ่มสมมาตร กลุ่ม การเรียงสับเปลี่ยนและกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมจะใช้สัญลักษณ์ $\circ$ มักจะละเว้นเครื่องหมายนี้ เช่นเดียวกับกลุ่มการคูณ นอกจากนี้ยังอาจพบรูปแบบการเขียนสัญลักษณ์อื่นๆ อีกมากมาย

ตัวอย่างที่สอง: กลุ่มสมมาตร

องค์ประกอบของกลุ่มสมมาตรของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส⁠

\mathrm {D} _{4}

จุดยอดจะถูกระบุด้วยสีหรือหมายเลข

\mathrm {id}

(คงไว้เช่นเดิม)

r_{1}

(หมุนตามเข็มนาฬิกา 90°)

r_{2}

(หมุน 180 องศา)

r_{3}

(หมุนตามเข็มนาฬิกา 270°)

f_{\คณิตศาสตร์ {v} }

(การสะท้อนแนวตั้ง)

f_{\คณิตศาสตร์ {h} }

(ภาพสะท้อนแนวนอน)

f_{\คณิตศาสตร์ {d} }

(การสะท้อนแนวทแยง)

f_{\คณิตศาสตร์ {c} }

(การสะท้อนกลับแนวทแยง)

รูปทรงสองรูปในระนาบจะเท่ากันทุกประการถ้าสามารถเปลี่ยนรูปหนึ่งเป็นอีกรูปหนึ่งได้โดยใช้การหมุนการสะท้อนและการเลื่อน ผสมกัน รูปทรงใดๆ ก็เท่ากันทุกประการกับตัวมันเอง อย่างไรก็ตาม รูปทรงบางรูปเท่ากันทุกประการกับตัวมันเองได้มากกว่าหนึ่งวิธี และความเท่ากันทุกประการเพิ่มเติมเหล่านี้เรียกว่าสมมาตรสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีสมมาตร แปดแบบ ได้แก่: ^{[ 8 ]}

การดำเนินการเอกลักษณ์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงสิ่งใด ๆ (แสดงด้วยสัญลักษณ์) $\operatorname {id}$ ;
การหมุนของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรอบจุดศูนย์กลางเป็นมุม 90°, 180° และ 270° ตามเข็มนาฬิกา ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์⁠ $r_{1}$ ⁠ , $r_{2}$ และ $r_{3}$ ตาม ลำดับ ;
การสะท้อนความคิดเกี่ยวกับเส้นกลางแนวนอนและแนวตั้ง ( ⁠ $f_{\คณิตศาสตร์ {v} }$ และ $f_{\คณิตศาสตร์ {h} }$ )หรือผ่านเส้นทแยงมุม ทั้งสอง ( ) $f_{\คณิตศาสตร์ {d} }$ และ $f_{\คณิตศาสตร์ {c} }$ )

สมมาตรเหล่านี้เป็นฟังก์ชัน โดยแต่ละฟังก์ชันจะส่งจุดในสี่เหลี่ยมจัตุรัสไปยังจุดที่สอดคล้องกันภายใต้สมมาตรนั้น ตัวอย่างเช่น $r_{1}$ ส่งจุดไปยังตำแหน่งหมุน 90° ตามเข็มนาฬิกา รอบจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยมจัตุรัส และ $f_{\คณิตศาสตร์ {h} }$ ส่งจุดไปยังภาพสะท้อนของมันข้ามเส้นกึ่งกลางแนวตั้งของสี่เหลี่ยมจัตุรัส การประกอบสมมาตรสองแบบนี้เข้าด้วยกันจะทำให้เกิดสมมาตรอีกแบบหนึ่ง สมมาตรเหล่านี้กำหนดกลุ่มที่เรียกว่ากลุ่มไดเฮดรัลระดับสี่ ซึ่งเขียนแทนด้วย⁠ $\mathrm {D} _{4}$ เซตพื้นฐานของกลุ่มคือเซตสมมาตรข้างต้น และการดำเนินการของกลุ่มคือการประกอบฟังก์ชัน โดยการรวมสมมาตรสองอย่างเข้าด้วยกันโดยการประกอบเป็นฟังก์ชัน กล่าวคือ ใช้สมมาตรแรกกับกำลังสอง และใช้สมมาตรที่ สองกับผลลัพธ์จากการใช้สมมาตรแรก ผลลัพธ์จากการดำเนินการครั้งแรก $a$ แล้วก็ $b$ เขียนเป็นสัญลักษณ์จากขวาไปซ้ายดังนี้ $b\circ a$ ("ใช้ความสมมาตร") $b$ หลังจากทำการสมมาตรแล้ว $a$ " ). นี่คือสัญลักษณ์ปกติสำหรับการประกอบฟังก์ชัน^{[ 9 ]}

ตารางCayleyแสดงรายการผลลัพธ์ขององค์ประกอบที่เป็นไปได้ทั้งหมด ตัวอย่างเช่น การหมุนตามเข็มนาฬิกา 270° ( ⁠ $r_{3}$ )แล้วจึงสะท้อนในแนวนอน ( ) $f_{\คณิตศาสตร์ {h} }$ )เหมือนกับการสะท้อนตามแนวทแยงมุม ( ) $f_{\คณิตศาสตร์ {d} }$ โดยใช้สัญลักษณ์ข้างต้น ซึ่งไฮไลต์ด้วยสีน้ำเงินในตารางของเคย์ลีย์ : $f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}=f_{\mathrm {d} }.$

โต๊ะของ เคย์ลีย์ $\mathrm {D} _{4}$
$\circ$	$\mathrm {id}$	$r_{1}$	$r_{2}$	$r_{3}$	$f_{\คณิตศาสตร์ {v} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {h} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {d} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {c} }$
$\mathrm {id}$	$\mathrm {id}$	$r_{1}$	$r_{2}$	$r_{3}$	$f_{\คณิตศาสตร์ {v} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {h} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {d} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {c} }$
$r_{1}$	$r_{1}$	$r_{2}$	$r_{3}$	$\mathrm {id}$	$f_{\คณิตศาสตร์ {c} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {d} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {v} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {h} }$
$r_{2}$	$r_{2}$	$r_{3}$	$\mathrm {id}$	$r_{1}$	$f_{\คณิตศาสตร์ {h} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {v} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {c} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {d} }$
$r_{3}$	$r_{3}$	$\mathrm {id}$	$r_{1}$	$r_{2}$	$f_{\คณิตศาสตร์ {d} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {c} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {h} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {v} }$
$f_{\คณิตศาสตร์ {v} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {v} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {d} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {h} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {c} }$	$\mathrm {id}$	$r_{2}$	$r_{1}$	$r_{3}$
$f_{\คณิตศาสตร์ {h} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {h} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {c} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {v} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {d} }$	$r_{2}$	$\mathrm {id}$	$r_{3}$	$r_{1}$
$f_{\คณิตศาสตร์ {d} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {d} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {h} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {c} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {v} }$	$r_{3}$	$r_{1}$	$\mathrm {id}$	$r_{2}$
$f_{\คณิตศาสตร์ {c} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {c} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {v} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {d} }$	$f_{\คณิตศาสตร์ {h} }$	$r_{1}$	$r_{3}$	$r_{2}$	$\mathrm {id}$
องค์ประกอบต่างๆ $\mathrm {id}$ , ⁠ $r_{1}$ , ⁠ $r_{2}$ และ $r_{3}$ สร้างกลุ่มย่อยที่มีตาราง Cayley ที่ไฮไลต์ด้วย สีแดง (บริเวณด้านบนซ้าย)โคเซต ซ้ายและขวา ของกลุ่มย่อยนี้ถูกไฮไลต์ด้วยสีเขียว (ในแถวสุดท้าย) และสีเหลือง (คอลัมน์สุดท้าย) ตามลำดับ ผลลัพธ์ขององค์ประกอบ $f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}$ ความสมมาตร $f_{\คณิตศาสตร์ {d} }$ ⁠ถูกเน้นด้วยสีน้ำเงิน (ด้านล่างกึ่งกลางตาราง)

เมื่อพิจารณาสมมาตรชุดนี้และการดำเนินการที่อธิบายไว้แล้ว เราสามารถเข้าใจสัจพจน์ของกลุ่มได้ดังนี้:

การดำเนินการแบบไบนารี : การประกอบเป็นการดำเนินการแบบไบนารี นั่นคือ $a\circ b$ เป็นสมมาตรสำหรับสมมาตรสองอย่างใดๆ $a$ และ $b$ ตัวอย่างเช่น $r_{3}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {c} }.$ นั่นคือ การหมุนตามเข็มนาฬิกา 270° หลังจากสะท้อนในแนวนอน จะเท่ากับการสะท้อนตามแนวทแยงมุมตรงข้าม ( ⁠ $f_{\mathrm {c} }$ อันที่จริงแล้ว การรวมกันของสมมาตรสองแบบอื่นๆ ทุกแบบก็ยังคงให้สมมาตรอยู่ ซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยใช้ตารางเคย์ลีย์
หลักการจัดกลุ่ม : หลักการจัดกลุ่มเกี่ยวข้องกับการประกอบสมมาตรมากกว่าสองแบบ โดยเริ่มต้นจากองค์ประกอบสามตัว $a$ , ⁠ $b$ และ $c$ ของ $\mathrm {D} _{4}$ มีสองวิธีที่เป็นไปได้ในการ ใช้สมมาตรทั้งสามนี้ตามลำดับเพื่อกำหนดสมมาตรของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส วิธีหนึ่งคือการประกอบสมมาตรก่อน $a$ และ $b$ รวมเข้าเป็นสมมาตรเดียว จากนั้นจึงประกอบสมมาตรนั้นเข้ากับ⁠ $c$ อีกวิธีหนึ่งคือการแต่งเพลงก่อน $b$ และ $c$ จากนั้นจึงประกอบสมมาตรที่ได้มากับ $a$ สองวิธีนี้จะต้องให้ผลลัพธ์เดียวกันเสมอ นั่นคือ $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c).$ ตัวอย่างเช่น, $(f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}=f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})$ สามารถตรวจสอบได้โดยใช้ตารางเคย์ลีย์: ${\begin{aligned}(f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}&=r_{3}\circ r_{2}=r_{1}\\f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})&=f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {h} }=r_{1}.\end{aligned}}$
องค์ประกอบเอกลักษณ์ : องค์ประกอบเอกลักษณ์คือ⁠ $\mathrm {id}$ เนื่องจากไม่เปลี่ยนแปลงสมมาตรใดๆ $a$ เมื่อจัดวางโดยวางไว้ทางด้านซ้ายหรือด้านขวา
องค์ประกอบผกผัน : สมมาตรแต่ละแบบมีองค์ประกอบผกผัน: ⁠ $\mathrm {id}$ การสะท้อน $f_{\mathrm {h} }$ , ⁠ $f_{\mathrm {v} }$ , ⁠ $f_{\mathrm {d} }$ , ⁠ $f_{\mathrm {c} }$ และการหมุน 180° $r_{2}$ เป็นการหมุนผกผันของตัวเอง เพราะการหมุนสองครั้งจะทำให้สี่เหลี่ยมกลับมาอยู่ในตำแหน่งเดิม การหมุนเหล่านี้ $r_{3}$ และ $r_{1}$ ทั้งสองรูปเป็นส่วนกลับของกันและกัน เพราะการหมุน 90° แล้วหมุน 270° (หรือในทางกลับกัน) จะได้การหมุน 360° ซึ่งทำให้รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่เปลี่ยนแปลง สามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ จากตารางนี้

ตรงกันข้ามกับกลุ่มจำนวนเต็มข้างต้นที่ลำดับของการดำเนินการไม่สำคัญ แต่ในกรณีนี้ลำดับของการดำเนินการมีความสำคัญ $\mathrm {D} _{4}$ เช่น $f_{\mathrm {h} }\circ r_{1}=f_{\mathrm {c} }$ แต่ $r_{1}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {d} }$ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ $\mathrm {D} _{4}$ ไม่ใช่กลุ่มอาเบเลียน

ประวัติศาสตร์

แนวคิดสมัยใหม่ของกลุ่มนามธรรมพัฒนามาจากหลายสาขาของคณิตศาสตร์^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}แรงจูงใจดั้งเดิมของทฤษฎีกลุ่มคือการแสวงหาคำตอบของสมการพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่า 4 นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 19 ชื่อÉvariste Galoisได้ขยายงานก่อนหน้าของPaolo RuffiniและJoseph-Louis Lagrangeโดยให้เกณฑ์สำหรับความสามารถในการแก้สมการพหุนามเฉพาะในแง่ของกลุ่มสมมาตรของราก (คำตอบ) องค์ประกอบของกลุ่ม Galois ดังกล่าว สอดคล้องกับการเรียงสับเปลี่ยน บางอย่าง ของราก ในตอนแรก แนวคิดของ Galois ถูกปฏิเสธโดยคนร่วมสมัยของเขา และได้รับการตีพิมพ์หลังจากที่เขาเสียชีวิตแล้วเท่านั้น^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}กลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนทั่วไปได้รับการศึกษาโดยเฉพาะโดยAugustin Louis Cauchy Arthur Cayleyได้กล่าวถึงทฤษฎีของกลุ่มโดยขึ้นอยู่กับสมการเชิงสัญลักษณ์ $\theta ^{n}=1$ ^{( 1854} ) ให้คำจำกัดความเชิงนามธรรมแรกของกลุ่มจำกัด [ ^{15 ]}

เรขาคณิตเป็นสาขาที่สองที่ใช้กลุ่มอย่างเป็นระบบ โดยเฉพาะกลุ่มสมมาตรซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของโครงการ ErlangenของFelix Klein ในปี 1872 ^[¹⁶^]หลังจากที่เรขาคณิตรูปแบบใหม่ เช่นเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกและเรขาคณิตเชิงฉายภาพ ได้เกิดขึ้น Klein ได้ใช้ทฤษฎีกลุ่มเพื่อจัดระเบียบเรขาคณิตเหล่านั้นให้เป็นระเบียบมากขึ้น ต่อมา Sophus Lieได้ก่อตั้งการศึกษาเกี่ยวกับกลุ่ม Lie ขึ้น ในปี 1884 เพื่อพัฒนาแนวคิดเหล่านี้ต่อไป^[¹⁷^]

สาขาที่สามที่สนับสนุนทฤษฎีกลุ่มคือทฤษฎีจำนวนโครงสร้างกลุ่มอาเบเลียนบางอย่างถูกนำมาใช้โดยปริยายในงานทฤษฎีจำนวนของคาร์ล ฟรีดริช เกาส์เรื่อง Disquisitiones Arithmeticae (1798) และถูกนำมาใช้อย่างชัดเจนยิ่งขึ้นโดยเลโอโปลด์ โครเนกเกอร์ [ ^{18 ] ใน}ปี 1847 เอิร์นส์ คุมเมอร์ได้พยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยการพัฒนากลุ่มที่อธิบายการแยกตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะ^{[ 19 ]}

การรวมแหล่งข้อมูลต่างๆ เหล่านี้เข้าเป็นทฤษฎีกลุ่มที่เป็นเอกภาพเริ่มต้นด้วยTraité des substitutions et des équations algébriquesของJordan (1870) ^[²⁰^] von Dyck (1882)ได้นำเสนอแนวคิดในการระบุกลุ่มโดยใช้ตัวสร้างและความสัมพันธ์ และยังเป็นคนแรกที่ให้คำจำกัดความเชิงสัจพจน์ของ "กลุ่มนามธรรม" ตามศัพท์เฉพาะในสมัยนั้น^[²¹^]นับตั้งแต่ศตวรรษที่ 20 กลุ่มต่างๆ ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางจากผลงานบุกเบิกของFerdinand Georg FrobeniusและWilliam Burnsideซึ่งทำงานเกี่ยวกับทฤษฎีการแทนของกลุ่มจำกัดและเขียนหนังสือเล่มแรกเกี่ยวกับทฤษฎีกลุ่มในภาษาอังกฤษ: Theory of Groups of Finite Order [ ²²^]^{ทฤษฎี}การแทนแบบโมดูลาร์ของRichard BrauerและเอกสารของIssai Schur ^[²³^]ทฤษฎีกลุ่มลี และโดยทั่วไปแล้วกลุ่มกระชับเฉพาะที่ได้รับการศึกษาโดยเฮอร์มันน์ เวย์ลเอลี คาร์ตันและคนอื่นๆ อีกมากมาย^[²⁴^]ทฤษฎีกลุ่มพีชคณิต ซึ่ง เป็นคู่ขนานของทฤษฎี นี้ได้รับการพัฒนาขึ้นครั้งแรกโดยโคลด เชอวาลเลย์ (ตั้งแต่ปลายทศวรรษ 1930) และต่อมาโดยผลงานของอาร์มันด์ โบเรลและฌาคส์ ทิตส์^[²⁵^]

ปีการศึกษาทฤษฎีกลุ่มของ มหาวิทยาลัยชิคาโกในปี 1960–61 ได้รวบรวมนักทฤษฎีกลุ่ม เช่นDaniel Gorenstein , John G. ThompsonและWalter Feit เข้าด้วยกัน ซึ่งเป็นการวางรากฐานของการทำงานร่วมกันที่นำไปสู่การจำแนกกลุ่มง่ายจำกัด โดยได้รับข้อมูลจากนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ อีกมากมาย และขั้นตอนสุดท้ายดำเนินการโดยAschbacherและ Smith ในปี 2004 โครงการนี้มีขนาดใหญ่กว่าความพยายามทางคณิตศาสตร์ก่อนหน้านี้ ทั้งในแง่ของความยาวของการพิสูจน์และจำนวนนักวิจัย การวิจัยเกี่ยวกับการพิสูจน์การจำแนกประเภทนี้ยังคงดำเนินต่อไป^{[ 26 ]}ทฤษฎีกลุ่มยังคงเป็นสาขาคณิตศาสตร์ที่มีความเคลื่อนไหวสูง^{[ b ]}ซึ่งส่งผลกระทบต่อสาขาอื่นๆ อีกมากมาย ดังตัวอย่างด้านล่าง

ผลที่ตามมาเบื้องต้นของสัจพจน์กลุ่ม

ข้อเท็จจริงพื้นฐานเกี่ยวกับกลุ่มทั้งหมดที่สามารถได้รับโดยตรงจากสัจพจน์ของกลุ่มมักจะถูกรวมไว้ภายใต้^{ทฤษฎี}กลุ่มพื้นฐาน [ ^{27 ]}ตัวอย่างเช่นการประยุกต์ใช้สัจพจน์การเชื่อมโยง ซ้ำๆ แสดงให้เห็นว่าความไม่กำกวมของ $a\cdot b\cdot c=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ สามารถขยายความไปครอบคลุมปัจจัยมากกว่าสามปัจจัย (ตัวอย่างเช่น $a\cdot b\cdot c\cdot d$ (ซึ่งก็ชัดเจนเช่นกัน) เนื่องจากหมายความว่าวงเล็บสามารถแทรกได้ทุกที่ภายในชุดคำดังกล่าว จึงมักจะละเว้นวงเล็บ^{[ 28 ]}

ความเป็นเอกลักษณ์ขององค์ประกอบเอกลักษณ์

สัจพจน์ของกลุ่มบ่งชี้ว่าองค์ประกอบเอกลักษณ์มีเพียงหนึ่งเดียว กล่าวคือ มีองค์ประกอบเอกลักษณ์เพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น: องค์ประกอบเอกลักษณ์สองตัวใดๆ $e$ และ $f$ ของกลุ่มนั้นเท่ากัน เพราะสัจพจน์ของกลุ่มบ่งชี้ว่า⁠ $e=e\cdot f=f$ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึงองค์ประกอบเอกลักษณ์ของกลุ่ม^{[ 29 ]}

ความเป็นเอกลักษณ์ของสิ่งผกผัน

สัจพจน์ของกลุ่มยังบ่งชี้ว่าตัวผกผันของแต่ละสมาชิกมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ให้สมาชิกของกลุ่มเป็นสมาชิกของกลุ่ม $a$ มีทั้งสองอย่าง $b$ และ $c$ ในฐานะส่วนกลับ จากนั้น

{\begin{aligned}b&=b\cdot e&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element)}}\\&=b\cdot (a\cdot c)&&{\text{(}}c{\text{ and }}a{\text{ are inverses of each other)}}\\&=(b\cdot a)\cdot c&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot c&&{\text{(}}b{\text{ is an inverse of }}a{\text{)}}\\&=c&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element and }}b=c{\text{)}}\end{aligned}}

ดังนั้น จึงเป็นเรื่องปกติที่จะพูดถึงองค์ประกอบผกผัน^{[ 29 ]}

แผนก

องค์ประกอบที่กำหนด $a$ และ $b$ ของกลุ่ม $G$ มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร $x$ ใน $G$ ไปยังสมการ $a\cdot x=b$ กล่าวคือ $a^{-1}\cdot b$ [ ^c^]^[³⁰^]เป็นผลให้สำหรับ^{แต่ละ} $a$ ใน $G$ ฟังก์ชัน $G\to G$ ที่แมปแต่ละอัน $x$ ถึง $a\cdot x$ เป็นการจับ คู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection ) เรียกว่าการคูณทางซ้ายด้วย $a$ หรือการแปลด้านซ้ายโดย $a$ .

ในทำนองเดียวกัน เมื่อพิจารณาจาก $a$ และ $b$ ใน $G$ โซลูชันที่เป็นเอกลักษณ์ $x$ ถึง $x\cdot a=b$ เป็น $b\cdot a^{-1}$ สำหรับแต่ละ $a$ ฟังก์ชัน $G\to G$ ที่แมปแต่ละอัน $x$ ถึง $x\cdot a$ เป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงที่เรียกว่าการคูณทางขวาโดย $a$ หรือการแปลที่ถูกต้องโดย $a$ .

นิยามที่เทียบเท่ากันโดยมีสัจพจน์ที่ผ่อนปรน

สัจพจน์ของกลุ่มสำหรับเอกลักษณ์และตัวผกผันอาจถูก "ทำให้อ่อนลง" เพื่อยืนยันเฉพาะการมีอยู่ของเอกลักษณ์ด้านซ้ายและตัวผกผันด้านซ้าย เท่านั้น จากสัจพจน์ด้านเดียว เหล่านี้ เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าเอกลักษณ์ด้านซ้ายก็เป็นเอกลักษณ์ด้านขวาด้วย และตัวผกผันด้านซ้ายก็เป็นตัวผกผันด้านขวาสำหรับองค์ประกอบเดียวกัน เนื่องจากสัจพจน์เหล่านี้กำหนดโครงสร้างที่เหมือนกันทุกประการกับกลุ่ม ดังนั้นโดยรวมแล้วสัจพจน์เหล่านี้จึงไม่อ่อนลง^{[ 31 ]}

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมมติว่ามีความสัมพันธ์แบบสมาคมและการมีอยู่ของเอกลักษณ์ทางซ้าย $e$ (นั่นคือ⁠ $e\cdot f=f$ )และตัวผกผันซ้าย $f^{-1}$ สำหรับแต่ละองค์ประกอบ $f$ (นั่นคือ⁠ $f^{-1}\cdot f=e$ )เป็นผลให้ตัวผกผันซ้ายทุกตัวเป็นตัวผกผันขวาขององค์ประกอบเดียวกันดังต่อไปนี้^{[ 31 ]} อันที่จริง มี

{\begin{aligned}f\cdot f^{-1}&=e\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left identity)}}\\&=((f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1})\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot ((f^{-1}\cdot f)\cdot f^{-1})&&{\text{(associativity)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot (e\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1}&&{\text{(left identity)}}\\&=e&&{\text{(left inverse)}}\end{aligned}}

ในทำนองเดียวกัน อัตลักษณ์ด้านซ้ายก็เป็นอัตลักษณ์ด้านขวาเช่นกัน: ^{[ 31 ]}

{\begin{aligned}f\cdot e&=f\cdot (f^{-1}\cdot f)&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f\cdot f^{-1})\cdot f&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot f&&{\text{(right inverse)}}\\&=f&&{\text{(left identity)}}\end{aligned}}

ผลลัพธ์เหล่านี้จะไม่เป็นจริงหากตัดสัจพจน์ข้อใดข้อหนึ่งออกไป (สัจพจน์การสลับที่ การมีอยู่ของเอกลักษณ์ซ้าย และการมีอยู่ของตัวผกผันซ้าย) ตัวอย่างเช่น สำหรับโครงสร้างที่มีนิยามที่หลวมกว่า (เช่นเซมิกรุป ) อาจพบว่าเอกลักษณ์ซ้ายไม่จำเป็นต้องเป็นเอกลักษณ์ขวาเสมอไป

สามารถได้ผลลัพธ์เดียวกันโดยเพียงแค่สมมติว่ามีเอกลักษณ์ทางขวาและตัวผกผันทางขวาอยู่

อย่างไรก็ตาม การสมมติเพียงว่ามี เอกลักษณ์ ซ้ายและ ตัวผกผัน ขวา (หรือในทางกลับกัน) นั้นไม่เพียงพอที่จะกำหนดกลุ่มได้ ตัวอย่างเช่น พิจารณาเซต $G=\{e,f\}$ กับผู้ปฏิบัติงาน $\,\!\cdot$ น่าพอใจ $e\cdot e=f\cdot e=e$ และ $e\cdot f=f\cdot f=f$ โครงสร้างนี้มีเอกลักษณ์ทางซ้าย (กล่าวคือ⁠ $e$ )และแต่ละองค์ประกอบมีตัวผกผันทางขวา (ซึ่งคือ $e$ (สำหรับทั้งสององค์ประกอบ) นอกจากนี้ การดำเนินการนี้มีคุณสมบัติการสลับที่ (เนื่องจากผลคูณขององค์ประกอบจำนวนใด ๆ จะเท่ากับองค์ประกอบขวาสุดในผลคูณนั้นเสมอ โดยไม่คำนึงถึงลำดับการดำเนินการ) อย่างไรก็ตาม $(G,\cdot )$ ไม่ใช่กลุ่ม เนื่องจากขาดอัตลักษณ์ที่ถูกต้อง

แนวคิดพื้นฐาน

เมื่อศึกษาเซต เราจะใช้แนวคิดต่างๆ เช่นเซตย่อยฟังก์ชัน และผลหารโดยความสัมพันธ์สมมูลเมื่อศึกษากลุ่ม เราจะใช้กลุ่มย่อย โฮโมมอ ร์ฟิซึมและกลุ่มผลหาร แทน ซึ่งเป็นแนวคิดที่นำมาเปรียบเทียบกับโครงสร้างของกลุ่ม^{[ d ]}

โฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่ม

โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม^{[ e ]}คือฟังก์ชันที่เคารพโครงสร้างของกลุ่ม สามารถใช้เพื่อเชื่อมโยงสองกลุ่มเข้าด้วยกันได้โฮโมมอร์ฟิซึมจากกลุ่ม $(G,\cdot )$ ไปยังกลุ่มหนึ่ง $(H,*)$ เป็นฟังก์ชัน $\varphi :G\to H$ โดยที่

\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)*\varphi (b)

สำหรับองค์ประกอบทั้งหมด

a

และ

b

ใน

G

⁠ .

เป็นเรื่องปกติที่จะต้องเรียกร้องสิ่งต่อไปนี้ด้วย $\varphi$ เคารพในอัตลักษณ์ที่แตกต่างกัน $\varphi (1_{G})=1_{H}$ และส่วนกลับ $\varphi (a^{-1})=\varphi (a)^{-1}$ สำหรับทุกคน $a$ ใน $G$ อย่างไรก็ตามไม่จำเป็นต้องรวมข้อกำหนดเพิ่มเติมเหล่านี้ไว้ในคำจำกัดความของโฮโมมอร์ฟิซึม เนื่องจากข้อกำหนดในการเคารพการดำเนินการของกลุ่มได้บ่งบอกไว้แล้ว^{[ 32 ]}

โฮโมมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์ของกลุ่ม $G$ คือโฮโมมอร์ฟิซึม $\iota _{G}:G\to G$ ที่แมปแต่ละองค์ประกอบของ $G$ ไปยังตัวมันเองโฮโมมอร์ฟิซึมผกผันของโฮโมมอร์ฟิซึม $\varphi :G\to H$ เป็นโฮโมมอร์ฟิซึม $\psi :H\to G$ โดยที่ $\psi \circ \varphi =\iota _{G}$ และ $\varphi \circ \psi =\iota _{H}$ นั่นคือ ในลักษณะที่ $\psi {\bigl (}\varphi (g){\bigr )}=g$ สำหรับทุกคน $g$ ใน $G$ และเช่นนั้น $\varphi {\bigl (}\psi (h){\bigr )}=h$ สำหรับทุกคน $h$ ใน $H$ ไอโซมอร์ฟิซึมคือโฮโมมอร์ฟิซึมที่มีโฮโมมอร์ฟิซึมผกผัน หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือเป็น โฮโม มอ ร์ฟิซึม แบบหนึ่ง ต่อหนึ่ง ทั่วถึง กลุ่ม $G$ และ $H$ เรียกว่าไอโซมอร์ฟิกหากมีไอโซมอร์ฟิซึมอยู่ $\varphi :G\to H$ ในกรณีนี้ $H$ สามารถหาได้จาก $G$ เพียงแค่เปลี่ยน ชื่อองค์ประกอบให้สอดคล้องกับฟังก์ชัน $\varphi$ ;จากนั้นข้อความใดๆ ก็เป็นจริงสำหรับ $G$ เป็นความจริงสำหรับ⁠ $H$ โดยมีเงื่อนไขว่าองค์ประกอบเฉพาะใดๆ ที่กล่าวถึงในข้อความนั้นจะต้องได้รับการเปลี่ยนชื่อด้วยเช่นกัน

การรวบรวมกลุ่มทั้งหมดพร้อมกับโฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างกลุ่มเหล่านั้นก่อให้เกิด^หมวดหมู่ หมวด หมู่ของกลุ่ม^[³³ ]

โฮโมมอร์ฟิซึมแบบฉีด $\phi :G'\to G$ ปัจจัยตามหลักการคือไอโซมอร์ฟิซึมตามด้วยการรวม $G'\;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H\hookrightarrow G$ สำหรับกลุ่มย่อยบางกลุ่ม $H$ ของ $G$ โฮโมมอร์ฟิซึมแบบฉีด (Injective homomorphisms) คือโมโนมอร์ฟิซึม (Monomorphisms)ในหมวดหมู่ของกลุ่ม (Category of groups)

กลุ่มย่อย

โดยทั่วไปกลุ่มย่อยก็คือกลุ่มหนึ่ง $H$ บรรจุอยู่ภายในสิ่งที่ใหญ่กว่า $G$ :มันมีเซตย่อยขององค์ประกอบของ ⁠ $G$ ด้วยการดำเนินการแบบเดียวกัน^{[ 34 ]} โดย เฉพาะอย่างยิ่ง หมายความว่าองค์ประกอบเอกลักษณ์ของ $G$ จะต้องบรรจุอยู่ใน⁠ $H$ และเมื่อใดก็ตามที่ $h_{1}$ และ $h_{2}$ ทั้งคู่อยู่ใน⁠ $H$ ดังนั้นก็เช่นกัน $h_{1}\cdot h_{2}$ และ $h_{1}^{-1}$ ดังนั้นองค์ประกอบของ $H$ พร้อมด้วยอุปกรณ์สำหรับการปฏิบัติงานแบบกลุ่มบน $G$ จำกัดเฉพาะ⁠ $H$ แท้จริงแล้วก่อตัวเป็นกลุ่ม ในกรณีนี้คือแผนที่การรวมกลุ่ม $H\to G$ เป็นโฮโมมอร์ฟิซึม

ในตัวอย่างสมมาตรของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เอกลักษณ์และการหมุนประกอบกันเป็นกลุ่มย่อย $R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}$ ดังที่ไฮไลต์ด้วยสีแดงในตาราง Cayley ของตัวอย่าง: การหมุนสองแบบใดๆ ที่ประกอบกันยังคงเป็นการหมุน และการหมุนสามารถย้อนกลับได้โดย (กล่าวคือ เป็นการผกผันกับ) การหมุนเสริม 270° สำหรับ 90°, 180° สำหรับ 180° และ 90° สำหรับ 270°การทดสอบกลุ่มย่อยให้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่า $H$ ของกลุ่ม $G$ การเป็นกลุ่มย่อย: เพียงแค่ตรวจสอบว่าก็เพียงพอแล้ว $g^{-1}\cdot h\in H$ สำหรับองค์ประกอบทั้งหมด $g$ และ $h$ ใน $H$ การรู้จัก กลุ่มย่อยของกลุ่มใด กลุ่มหนึ่ง นั้นมีความสำคัญต่อการทำความเข้าใจกลุ่มโดยรวม^{[ f ]}

เมื่อกำหนดเซตย่อยใดๆ $S$ ของกลุ่ม $G$ กลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นโดย $S$ ประกอบด้วยผลิตภัณฑ์ทั้งหมดขององค์ประกอบต่างๆ $S$ และส่วนกลับของพวกมัน มันเป็นกลุ่มย่อยที่เล็กที่สุดของ $G$ ประกอบด้วย⁠ $S$ [ 35 ^{] ในตัวอย่างของ}^{สมมาตร}ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส กลุ่มย่อยที่สร้างขึ้น^โดย $r_{2}$ และ $f_{\mathrm {v} }$ ประกอบด้วยองค์ประกอบสองอย่างนี้ คือ องค์ประกอบเอกลักษณ์ $\mathrm {id}$ และองค์ประกอบ $f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {v} }\cdot r_{2}$ อีกครั้ง นี่เป็นกลุ่มย่อย เพราะการรวมสมาชิกสองตัวใดๆ จากสี่ตัวนี้ หรือตัวผกผันของสมาชิกเหล่านั้น (ซึ่งในกรณีนี้คือสมาชิกเดียวกัน) จะได้สมาชิกของกลุ่มย่อยนี้

เสื้อโค้ท

ในหลายสถานการณ์ เป็นที่พึงปรารถนาที่จะพิจารณาว่าสมาชิกของกลุ่มสองกลุ่มนั้นเหมือนกัน หากแตกต่างกันด้วยสมาชิกของกลุ่มย่อยที่กำหนด ตัวอย่างเช่น ในกลุ่มสมมาตรของสี่เหลี่ยมจัตุรัส เมื่อทำการสะท้อนแล้ว การหมุนเพียงอย่างเดียวไม่สามารถทำให้สี่เหลี่ยมจัตุรัสกลับไปยังตำแหน่งเดิมได้ ดังนั้นเราจึงสามารถคิดว่าตำแหน่งที่สะท้อนของสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดนั้นเทียบเท่ากัน และไม่เทียบเท่ากับตำแหน่งที่ไม่สะท้อน การดำเนินการหมุนไม่เกี่ยวข้องกับคำถามว่าได้ทำการสะท้อนหรือไม่ โคเซตถูกใช้เพื่อทำให้แนวคิดนี้เป็นทางการ: กลุ่มย่อย $H$ กำหนดโคเซตซ้ายและขวา ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นการแปลของ $H$ โดยสมาชิกกลุ่มที่กำหนดขึ้นเอง $g$ ในเชิงสัญลักษณ์โคเซตซ้ายและขวาของ $H$ ซึ่งประกอบด้วยองค์ประกอบ $g$ ,คือ

gH=\{g\cdot h\mid h\in H\}

และ

Hg=\{h\cdot g\mid h\in H\}

ตามลำดับ^{[ 36 ]}

เซตซ้ายของกลุ่มย่อยใดๆ $H$ สร้างพาร์ทิชันของ⁠ $G$ กล่าวคือผลรวมของโคเซตซ้ายทั้งหมดเท่ากับ $G$ และโคเซตซ้ายสองเซตจะเท่ากันหรือมีจุดตัด ว่างเปล่า [ ³⁷^]^กรณีแรก $g_{1}H=g_{2}H$ เกิดขึ้นเมื่อใด $g_{1}^{-1}\cdot g_{2}\in H$ กล่าวคือ เมื่อองค์ประกอบทั้งสองแตกต่างกันด้วยองค์ประกอบหนึ่ง $H$ การ พิจารณาที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับโคเซตขวาของ $H$ เซตย่อยด้านซ้ายของ $H$ อาจจะเหมือนหรือไม่เหมือนกับเซตย่อยด้านขวาของมันก็ได้ ถ้าหากว่าเหมือนกัน (นั่นคือ ถ้าทั้งหมด) $g$ ใน $G$ พึงพอใจ $gH=Hg$ )จากนั้น $H$ กล่าวกันว่าเป็นกลุ่มย่อยปกติ

ใน $\mathrm {D} _{4}$ กลุ่มสมมาตรของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส พร้อมด้วยกลุ่มย่อยของกลุ่มนั้น $R$ ของการหมุน เซตด้านซ้าย $gR$ มีค่าเท่ากับ⁠ $R$ ถ้า $g$ เป็นองค์ประกอบหนึ่งของ $R$ ตัวมันเอง หรือเทียบเท่ากับอย่างอื่น $U=f_{\mathrm {c} }R=\{f_{\mathrm {c} },f_{\mathrm {d} },f_{\mathrm {v} },f_{\mathrm {h} }\}$ (ไฮไลต์ด้วยสีเขียวในตารางของเคย์ลีย์) $\mathrm {D} _{4}$ ) . กลุ่มย่อย $R$ เป็นเรื่องปกติ เพราะ $f_{\mathrm {c} }R=U=Rf_{\mathrm {c} }$ และเช่นเดียวกันสำหรับองค์ประกอบอื่นๆ ของกลุ่ม (อันที่จริง ในกรณีของ⁠ $\mathrm {D} _{4}$ โคเซตที่เกิดจากการสะท้อนทั้งหมดมีค่าเท่ากัน : $f_{\mathrm {h} }R=f_{\mathrm {v} }R=f_{\mathrm {d} }R=f_{\mathrm {c} }R$ . )

กลุ่มผลหาร

สมมติว่า $N$ เป็นกลุ่มย่อยปกติของกลุ่มหนึ่ง $G$ และ $G/N=\{gN\mid g\in G\}$ แสดงถึงเซตของโคเซต จากนั้นจะมีกฎกลุ่มที่ไม่ซ้ำกันบน $G/N$ ซึ่งแผนที่นั้น $G\to G/N$ ส่งแต่ละองค์ประกอบ $g$ ถึง $gN$ เป็นโฮโมมอร์ฟิซึม กล่าวคือ ผลคูณของโคเซตสองเซต $gN$ และ $hN$ คือ $(gh)N$ ,เสื้อคลุม $eN=N$ ทำหน้าที่เป็นเอกลักษณ์ของ⁠ $G/N$ และส่วนกลับของ $gN$ ในกลุ่มผลหารคือ⁠ $(gN)^{-1}=\left(g^{-1}\right)N$ กลุ่ม $G/N$ อ่านว่า " $G$ โมดูลัส $N$ “ [³⁸^]เรียกว่ากลุ่มผลหารหรือกลุ่มปัจจัยกลุ่มผลหารสามารถกำหนดลักษณะโดยคุณสมบัติสากลได้^{เช่น กัน}

ตารางเคย์ลีย์ของกลุ่มผลหาร $\mathrm {D} _{4}/R$
$\cdot$	$R$	$U$
$R$	$R$	$U$
$U$	$U$	$R$

องค์ประกอบของกลุ่มผลหาร $\mathrm {D} _{4}/R$ เป็น $R$ และ $U=f_{\mathrm {v} }R$ การดำเนินการกลุ่มบนผลหารแสดงอยู่ในตารางตัวอย่างเช่น $U\cdot U=f_{\mathrm {v} }R\cdot f_{\mathrm {v} }R=(f_{\mathrm {v} }\cdot f_{\mathrm {v} })R=R$ ทั้งกลุ่มย่อย $R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}$ และผลหาร $\mathrm {D} _{4}/R$ เป็นกลุ่มอาเบเลียน แต่ $\mathrm {D} _{4}$ ไม่ใช่ บางครั้งกลุ่มสามารถสร้างขึ้นใหม่ได้จากกลุ่มย่อยและผลหาร (รวมถึงข้อมูลเพิ่มเติมบางอย่าง) โดยใช้การสร้างผลคูณกึ่งตรง $\mathrm {D} _{4}$ เป็นตัวอย่างหนึ่ง

ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมข้อแรกบ่งชี้ว่าโฮโมมอร์ฟิซึมแบบทั่วถึง ใดๆ $\phi :G\to H$ ปัจจัยตามหลักการคือ โฮโมมอร์ฟิซึมผลหาร ตามด้วยไอโซมอร์ฟิซึม: ⁠ $G\to G/\ker \phi \;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H$ โฮโมมอร์ฟิซึมแบบ ทั่วถึง (Surjective homomorphisms) คือ เอพิโมร์ฟิซึม (Epimorphisms)ในหมวดหมู่ของกลุ่ม (Category of groups)

การนำเสนอ

ทุกกลุ่มมีความสมมาตรกับผลหารของกลุ่มอิสระในหลายๆ ด้าน

ตัวอย่างเช่น กลุ่มไดเฮดรัล $\mathrm {D} _{4}$ เกิดจากการหมุนขวา $r_{1}$ และการสะท้อน $f_{\mathrm {v} }$ ในแนวเส้นตรง (ทุกองค์ประกอบของ $\mathrm {D} _{4}$ เป็นผลคูณจำกัดของสำเนาของสิ่งเหล่านี้และส่วนกลับของพวกมัน) ดังนั้นจึงมีโฮโมมอร์ฟิซึมแบบทั่วถึง $\phi$ จากกลุ่มฟรี $\langle r,f\rangle$ บนเครื่องกำเนิดไฟฟ้าสองเครื่องเพื่อ $\mathrm {D} _{4}$ การส่ง $r$ ถึง $r_{1}$ และ $f$ ถึง⁠ $f_{1}$ องค์ประกอบใน $\ker \phi$ เรียกว่าความสัมพันธ์ตัวอย่างเช่น⁠ $r^{4},f^{2},(r\cdot f)^{2}$ ที่จริงแล้ว ปรากฏว่า $\ker \phi$ เป็นกลุ่มย่อยปกติที่เล็กที่สุดของ $\langle r,f\rangle$ ประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งสามนี้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความสัมพันธ์ทั้งหมดเป็นผลมาจากองค์ประกอบทั้งสามนี้ ผลหารของกลุ่มอิสระโดยกลุ่มย่อยปกติจะถูกแสดงด้วย⁠ $\langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle$ นี่เรียกว่าการนำเสนอ $\mathrm {D} _{4}$ โดยตัวสร้างและความสัมพันธ์ เนื่องจากทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมแรกสำหรับ⁠ $\phi$ ส่งผลให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึม $\langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle \to \mathrm {D} _{4}$ . ^[³⁹^]

การนำเสนอของกลุ่มสามารถใช้ในการสร้างกราฟ Cayleyซึ่งเป็นการแสดงภาพกราฟิกของกลุ่มแยกส่วนได้^{[ 40 ]}

ตัวอย่างและการประยุกต์ใช้

ตัวอย่างและการประยุกต์ใช้กลุ่มมีอยู่มากมาย จุดเริ่มต้นคือกลุ่ม $\mathbb {Z}$ กลุ่มของจำนวนเต็มที่มีการบวกเป็นการดำเนินการของกลุ่ม ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น หากพิจารณาการคูณแทนการบวก จะได้กลุ่มการคูณกลุ่มเหล่านี้เป็นพื้นฐานของโครงสร้างที่สำคัญในพีชคณิตนามธรรม

กลุ่มยังถูกนำไปใช้ในสาขาคณิตศาสตร์อื่นๆ อีกมากมาย วัตถุทางคณิตศาสตร์มักถูกตรวจสอบโดยการเชื่อมโยงกลุ่มเข้ากับวัตถุเหล่านั้นและศึกษาคุณสมบัติของกลุ่มที่เกี่ยวข้อง ตัวอย่างเช่นอองรี ปวงกาเรได้วางรากฐานสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าโทโพโลยีเชิงพีชคณิตโดยการแนะนำกลุ่มพื้นฐาน^{[ 41 ]}ด้วยความเชื่อมโยงนี้คุณสมบัติทางโทโพโลยีเช่นความใกล้เคียงและความต่อเนื่องจึงถูกแปลงเป็นคุณสมบัติของกลุ่ม^{[ g ]}

สมาชิกของกลุ่มพื้นฐานในปริภูมิเชิงทอพอโล ยี คือชั้นสมมูลของวงวน โดยวงวนจะถือว่าสมมูลกันหากสามารถเปลี่ยนรูปวงวนหนึ่งไปเป็นอีกวงวนหนึ่งได้อย่างราบรื่นและการดำเนินการของกลุ่มคือ "การต่อเชื่อม" (การลากเส้นตามวงวนหนึ่งแล้วตามเส้นวนอีกวงหนึ่ง) ตัวอย่างเช่น ดังแสดงในรูป หากปริภูมิเชิงทอพอโลยีเป็นระนาบที่ลบจุดหนึ่งออกไป วงวนที่ไม่วนรอบจุดที่หายไป (สีน้ำเงิน) สามารถหดตัวอย่างราบรื่นไปยังจุดเดียวและเป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ของกลุ่มพื้นฐาน วงวนที่วนรอบจุดที่หายไปนั้นถือเป็นวงวนที่วนรอบจุดที่หายไป $k$ เวลาไม่สามารถถูกบิดเบือนให้กลายเป็นวงวนที่พันกันได้ $m$ ครั้ง (กับ⁠ $m\neq k$ เนื่องจาก ลูปไม่สามารถเปลี่ยนรูปได้อย่างราบรื่นข้ามรู ดังนั้นลูปแต่ละประเภทจึงมีลักษณะเฉพาะด้วยจำนวนรอบที่วนรอบจุดที่หายไป กลุ่มที่ได้จึงมีลักษณะสมมาตรกับจำนวนเต็มภายใต้การบวก

ในการประยุกต์ใช้ล่าสุด อิทธิพลยังกลับกันเพื่อกระตุ้นการสร้างทางเรขาคณิตโดยอาศัยพื้นฐานทางทฤษฎีกลุ่ม^{[ h ]}ในทำนองเดียวกันทฤษฎีกลุ่มทางเรขาคณิตใช้แนวคิดทางเรขาคณิต เช่น ในการศึกษากลุ่มไฮเปอร์โบลิก [ ^{42 ] สาขา}อื่นๆ ที่นำกลุ่มมาใช้อย่างสำคัญ ได้แก่เรขาคณิตเชิงพีชคณิตและทฤษฎีจำนวน^{[ 43 ]}

นอกเหนือจากการประยุกต์ใช้ทางทฤษฎีข้างต้นแล้ว ยังมีการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติของกลุ่มอีกมากมายการเข้ารหัสอาศัยการผสมผสานระหว่างแนวทางทฤษฎีกลุ่มเชิงนามธรรมกับ ความรู้ เชิงอั ลกอริทึม ที่ได้รับในทฤษฎีกลุ่มเชิงคำนวณโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อนำไปใช้กับกลุ่มจำกัด^{[ 44 ]}การประยุกต์ใช้ทฤษฎีกลุ่มไม่ได้จำกัดอยู่เฉพาะคณิตศาสตร์เท่านั้น วิทยาศาสตร์ เช่นฟิสิกส์เคมีและวิทยาการคอมพิวเตอร์ก็ได้รับประโยชน์จากแนวคิดนี้เช่นกัน

ตัวเลข

ระบบจำนวนหลายระบบ เช่น จำนวนเต็มและจำนวนตรรกยะมีโครงสร้างกลุ่มตามธรรมชาติ ในบางกรณี เช่น จำนวนตรรกยะ ทั้งการบวกและการคูณต่างก็ก่อให้เกิดโครงสร้างกลุ่ม ระบบจำนวนเหล่านี้เป็นพื้นฐานสำหรับโครงสร้างพีชคณิตทั่วไปที่เรียกว่าริงและฟิลด์แนวคิดพีชคณิตนามธรรมอื่นๆ เช่นโมดูลปริภูมิเวกเตอร์และพีชคณิตก็ก่อตัวเป็นกลุ่มเช่นกัน

จำนวนเต็ม

กลุ่มของจำนวนเต็ม $\mathbb {Z}$ ภายใต้การบวก จะแสดงด้วย⁠ $\left(\mathbb {Z} ,+\right)$ ดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้นแล้ว จำนวนเต็ม โดยใช้การคูณแทนการบวก $\left(\mathbb {Z} ,\cdot \right)$ ไม่ก่อให้เกิดกลุ่ม เงื่อนไขการสลับที่และเอกลักษณ์เป็นไปตามที่กำหนด แต่ไม่มีตัวผกผัน เช่น $a=2$ เป็นจำนวนเต็ม แต่เป็นคำตอบเดียวของสมการ $a\cdot b=1$ ในกรณีนี้คือ⁠ $b={\tfrac {1}{2}}$ ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะ แต่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ดังนั้นไม่ใช่ทุกองค์ประกอบของ $\mathbb {Z}$ มีตัวผกผัน (แบบคูณ) ^{[ i ]}

เหตุผล

ความปรารถนาที่จะค้นหาตัวผกผันการคูณนั้น ชี้ให้เห็นถึงความจำเป็นในการพิจารณาเศษส่วน ${\frac {a}{b}}.$

เศษส่วนของจำนวนเต็ม (ที่มี $b$ จำนวนตรรกยะ(ที่ไม่ใช่ศูนย์) เรียกว่าจำนวนตรรกยะ^{[ j ]}เซตของเศษส่วนที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ทั้งหมดดังกล่าว มักใช้สัญลักษณ์⁠ $\mathbb {Q}$ ยังคงมีอุปสรรคเล็กน้อยอยู่ $\left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)$ เนื่องจากจำนวนตรรกยะที่มีการคูณเป็นกลุ่ม เพราะศูนย์ไม่มีตัวผกผันการคูณ (กล่าวคือ ไม่มี $x$ โดยที่ $x\cdot 0=1$ ) , $\left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)$ ยังไม่ใช่กลุ่มอยู่ดี

อย่างไรก็ตาม เซตของจำนวนตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์ ทั้งหมด $\mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\}=\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q\neq 0\right\}$ ก่อให้เกิดกลุ่มอาเบเลียนภายใต้การคูณ ซึ่งเขียนแทนด้วย⁠ $\mathbb {Q} ^{\times }$ [ k ^{] สัจพจน์เกี่ยว}^กับการเชื่อมโยงและเอกลักษณ์เป็นผลมาจากคุณสมบัติของจำนวนเต็ม ข้อกำหนดการปิดยังคงเป็นจริงหลังจากลบศูนย์ออกไป เนื่องจากผลคูณของจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่ศูนย์สองจำนวนจะไม่เป็นศูนย์ สุดท้าย ตัวผกผัน^ของ $a/b$ คือ $b/a$ ดังนั้นสัจพจน์ขององค์ประกอบผกผันจึงเป็นไปตามเงื่อนไข

จำนวนตรรกยะ (รวมถึงศูนย์) ก็เป็นกลุ่มภายใต้การบวกเช่นกัน การผสมผสานการบวกและการคูณเข้าด้วยกันทำให้เกิดโครงสร้างที่ซับซ้อนมากขึ้นเรียกว่าวงแหวน และ – หากการหารด้วยจำนวนอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์เป็นไปได้ เช่นใน $\mathbb {Q}$ – ฟิลด์ ซึ่งมีบทบาทสำคัญในพีชคณิตนามธรรม ดังนั้น ข้อโต้แย้งเชิงทฤษฎีกลุ่มจึงเป็นพื้นฐานของทฤษฎีบางส่วนของเอนทิตีเหล่านั้น^{[ l ]}

เลขคณิตแบบโมดูลาร์

เลขคณิตโมดูลาร์สำหรับโมดูลัส $n$ กำหนดองค์ประกอบสองอย่างใดๆ $a$ และ $b$ ซึ่งแตกต่างกันด้วยผลคูณของ $n$ เพื่อให้เท่ากัน โดยใช้สัญลักษณ์⁠ $a\equiv b{\pmod {n}}$ จำนวนเต็มทุกจำนวนเทียบเท่ากับจำนวนเต็มจำนวนใดจำนวนหนึ่งจาก $0$ ถึง⁠ $n-1$ และการดำเนินการทางเลขคณิตแบบมอดูลาร์จะปรับเปลี่ยนเลขคณิตปกติโดยการแทนที่ผลลัพธ์ของการดำเนินการใดๆ ด้วยตัวแทนที่เทียบเท่ากันการบวกแบบมอดูลาร์ ซึ่งกำหนดไว้ในลักษณะนี้สำหรับจำนวนเต็มตั้งแต่ $0$ ถึง⁠ $n-1$ ก่อตัวเป็นกลุ่ม ซึ่งแสดงด้วยสัญลักษณ์ $\mathrm {Z} _{n}$ หรือ $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)$ ⁠กับ $0$ ในฐานะองค์ประกอบเอกลักษณ์และ $n-a$ ในฐานะองค์ประกอบผกผันของ⁠ $a$ ⁠ .

ตัวอย่างที่คุ้นเคยคือการบวกชั่วโมงบนหน้าปัดนาฬิกาโดยเลือกใช้ 12 แทน 0 เป็นค่าแทนเอกลักษณ์ ถ้าเข็มชั่วโมงอยู่ที่... $9$ และมีความก้าวหน้า $4$ หลายชั่วโมง สุดท้ายก็จบลงที่⁠ $1$ ดังแสดงในภาพประกอบ ซึ่งสามารถแสดงได้โดยการกล่าวว่า $9+4$ สอดคล้องกับ $1$ "โมดูลัส ⁠ $12$ หรือในเชิงสัญลักษณ์ว่า $9+4\equiv 1{\pmod {12}}.$

สำหรับจำนวนเฉพาะใดๆ $p$ นอกจากนี้ยังมีกลุ่มการคูณของจำนวนเต็มมอ ดูล $p$ [ ^{45 ] องค์ประกอบของ มัน}สามารถแสดงได้โดย $1$ ถึง⁠ $p-1$ การดำเนินการกลุ่ม การคูณโมดูลัส $p$ แทนที่ผลิตภัณฑ์ปกติด้วยตัวแทนของผลิตภัณฑ์นั้นส่วนที่เหลือจากการหารด้วย $p$ ตัวอย่างเช่นสำหรับ $p=5$ องค์ประกอบ ทั้งสี่ของกลุ่มสามารถแสดงได้ด้วย $1,2,3,4$ ในกลุ่มนี้ $4\cdot 4\equiv 1{\pmod {5}}$ เนื่องจากผลิตภัณฑ์ทั่วไป $16$ เทียบเท่ากับ⁠ $1$ :เมื่อหารด้วย $5$ ส่งผลให้เหลือเศษ⁠ $1$ ความเป็นปฐมภูมิของ $p$ รับประกันว่าผลคูณปกติของตัวแทนสองตัวจะไม่หารลงตัวด้วย⁠ $p$ และด้วยเหตุนี้ ผลคูณมอดูลาร์จึงไม่เป็นศูนย์^{[ m ]}องค์ประกอบเอกลักษณ์แสดงด้วย ⁠ $1$ และคุณสมบัติการสลับที่ได้นั้นเป็นผลมาจากคุณสมบัติที่สอดคล้องกันของจำนวนเต็ม สุดท้าย แล้วสัจพจน์ขององค์ประกอบผกผันกำหนดว่า เมื่อกำหนดจำนวนเต็มมาให้ $a$ ไม่สามารถหารลงตัวด้วย⁠ $p$ มีจำนวนเต็มอยู่จำนวนหนึ่ง $b$ โดยที่ $a\cdot b\equiv 1{\pmod {p}},$ นั่นคือ ในลักษณะที่ว่า $p$ แบ่งเท่าๆกัน $a\cdot b-1$ ⁠ . ส่วนกลับ $b$ สามารถหาได้โดยใช้เอกลักษณ์ของเบซูต์และข้อเท็จจริงที่ว่าตัวหารร่วมมากที่สุด $\gcd(a,p)$ เท่ากับ $1$ [ ⁴⁶^{] ใน}กรณี $p=5$ ข้างต้นคือค่าผกผันขององค์ประกอบที่แสดงโดย $4$ คือสิ่งที่แสดงโดย⁠ $4$ และส่วนกลับขององค์ประกอบที่แสดงโดย $3$ แทนด้วย⁠ $2$ เช่นเดียวกับ $3\cdot 2=6\equiv 1{\pmod {5}}$ ดังนั้นสัจพจน์ของกลุ่มทั้งหมดจึงเป็นไปตามเงื่อนไข ตัวอย่างนี้คล้ายกับ $\left(\mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\},\cdot \right)$ ด้านบน: มันประกอบด้วยองค์ประกอบเหล่านั้นในวงแหวนอย่างแม่นยำ $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ ที่มีตัวผกผันการคูณ^{[ 47 ]}กลุ่มเหล่านี้เรียกว่า⁠ $\mathbb {F} _{p}^{\times }$ มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อเข้ารหัสแบบกุญแจสาธารณะ^{[ n ]}

กลุ่มวงจร

{\displaystyle z} — รากที่ซับซ้อนลำดับที่ 6 ของเอกภาพก่อให้เกิดกลุ่มวัฏจักร $z$ เป็นองค์ประกอบดั้งเดิม แต่ $z^{2}$ ไม่ใช่ เพราะพลังอันแปลกประหลาดของ $z$ ไม่ใช่พลังของ $z^{2}$ ⁠ .

กลุ่มวัฏจักรคือกลุ่มที่สมาชิกทุกตัวเป็นกำลังของสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งโดย เฉพาะ $a$ [ ⁴⁸^] ในสัญกร ณ์^{การ คูณ}องค์ประกอบของกลุ่มคือ $\dots ,a^{-3},a^{-2},a^{-1},a^{0},a,a^{2},a^{3},\dots ,$ ที่ไหน $a^{2}$ หมายถึง $a\cdot a$ ⁠ , $a^{-3}$ ย่อมาจาก⁠ $a^{-1}\cdot a^{-1}\cdot a^{-1}=(a\cdot a\cdot a)^{-1}$ ⁠เป็นต้น^{[ o ]}องค์ประกอบดังกล่าว $a$ เรียกว่าตัวสร้างหรือองค์ประกอบดั้งเดิมของกลุ่ม ในสัญกรณ์การบวก ข้อกำหนดสำหรับองค์ประกอบที่จะเป็นองค์ประกอบดั้งเดิมคือ องค์ประกอบแต่ละตัวของกลุ่มสามารถเขียนได้ในรูป $\dots ,(-a)+(-a),-a,0,a,a+a,\dots .$

ในกลุ่มต่างๆ $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)$ องค์ประกอบที่กล่าวถึงข้างต้น $1$ เป็นกลุ่มดั้งเดิม ดังนั้นกลุ่มเหล่านี้จึงเป็นกลุ่มวัฏจักร อันที่จริง แต่ละองค์ประกอบสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมซึ่งทุกพจน์เป็น⁠ $1$ กลุ่มวัฏจักรใดๆ ที่มี $n$ องค์ประกอบต่างๆ นั้นมีโครงสร้างเหมือนกับกลุ่มนี้ ตัวอย่างที่สองของกลุ่มวัฏจักรคือกลุ่มของ⁠ $n$ ราก ที่ซับซ้อนของเอกภาพซึ่งกำหนดโดยจำนวนเชิงซ้อน $z$ น่าพอใจ $z^{n}=1$ ตัวเลขเหล่านี้สามารถมองเห็นได้เสมือนเป็นจุดยอดบนรูป ทรงเรขาคณิต ปกติ $n$ -กอน ดังแสดงในภาพด้วยสีน้ำเงินสำหรับ⁠ $n=6$ การดำเนิน การของกลุ่มคือการคูณจำนวนเชิงซ้อน ในภาพคือการคูณด้วย $z$ สอดคล้องกับ การหมุน ทวนเข็มนาฬิกา 60° ^{[ 49 ]}จากทฤษฎีสนามกลุ่ม $\mathbb {F} _{p}^{\times }$ เป็นวัฏจักรสำหรับจำนวนเฉพาะ $p$ ตัวอย่างเช่นถ้า $p=5$ ⁠ , $3$ เป็นเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเนื่องจาก⁠ $3^{1}=3$ , ⁠ $3^{2}=9\equiv 4$ , ⁠ $3^{3}\equiv 2$ และ $3^{4}\equiv 1$ ⁠ .

กลุ่มวัฏจักรบางกลุ่มมีจำนวนสมาชิกเป็นอนันต์ ในกลุ่มเหล่านี้ สำหรับสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัว⁠ $a$ พลังทั้งหมดของ $a$ แตกต่างกัน แม้จะมีชื่อว่า "กลุ่มวัฏจักร" แต่กำลังของสมาชิกไม่ได้เป็นวัฏจักร กลุ่มวัฏจักรอนันต์เป็นไอโซมอร์ฟิกกับ⁠ $(\mathbb {Z} ,+)$ กลุ่มจำนวนเต็มภายใต้การบวกที่กล่าวถึงข้างต้น^[ 50 ^]เนื่องจากต้นแบบทั้งสองนี้เป็นอาเบล ดังนั้นกลุ่มวัฏจักรทั้งหมดจึงเป็นอาเบลเช่น^กัน

การศึกษากลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดนั้นมีความสมบูรณ์มาก รวมถึงทฤษฎีบทพื้นฐานของกลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดและเพื่อสะท้อนถึงสถานการณ์นี้ แนวคิดที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มหลายอย่าง เช่นศูนย์กลางและตัวสลับตำแหน่งอธิบายถึงขอบเขตที่กลุ่มที่กำหนดไม่ใช่กลุ่มอาเบเลียน^{[ 51 ]}

กลุ่มสมมาตร

กลุ่มสมมาตรคือกลุ่มที่ประกอบด้วยสมมาตรของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่กำหนด โดยหลักแล้วคือวัตถุทางเรขาคณิต เช่น กลุ่มสมมาตรของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ยกตัวอย่างเบื้องต้นข้างต้น แม้ว่ากลุ่มสมมาตรจะเกิดขึ้นในพีชคณิตเช่นกัน เช่น สมมาตรระหว่างรากของสมการพหุนามที่กล่าวถึงในทฤษฎีกาโลอิส (ดูด้านล่าง) ^{[ 53 ]}ในเชิงแนวคิด ทฤษฎีกลุ่มสามารถคิดได้ว่าเป็นการศึกษาสมมาตร^{[ p ]}สมมาตรในคณิตศาสตร์ทำให้การศึกษา วัตถุ ทางเรขาคณิตหรือเชิงวิเคราะห์ ง่ายขึ้นมาก กล่าวได้ว่ากลุ่มหนึ่งกระทำต่อวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่น $X$ หากองค์ประกอบทุกตัวในกลุ่มสามารถเชื่อมโยงกับการดำเนินการบางอย่างได้ $X$ และองค์ประกอบของการดำเนินการเหล่านี้เป็นไปตามกฎของกลุ่ม ตัวอย่างเช่น องค์ประกอบของกลุ่มสามเหลี่ยม (2,3,7) กระทำการกับ พื้นผิวสามเหลี่ยมของระนาบไฮเปอร์โบลิกโดยการสลับตำแหน่งของสามเหลี่ยม^{[ 52 ]}โดยการกระทำของกลุ่ม รูปแบบของกลุ่มจะเชื่อมโยงกับโครงสร้างของวัตถุที่ถูกกระทำ

ในวิชาเคมีกลุ่มจุดอธิบายสมมาตรของโมเลกุลในขณะที่กลุ่มพื้นที่อธิบายสมมาตรของผลึกในวิชาผลึกศาสตร์สมมาตรเหล่านี้เป็นพื้นฐานของพฤติกรรมทางเคมีและทางกายภาพของระบบเหล่านี้ และทฤษฎีกลุ่มช่วยให้การ วิเคราะห์ เชิงกลควอนตัมของคุณสมบัติเหล่านี้ง่ายขึ้น^{[ 54 ]}ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีกลุ่มถูกใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าการเปลี่ยนผ่านทางแสงระหว่างระดับควอนตัมบางระดับไม่สามารถเกิดขึ้นได้เพียงเพราะสมมาตรของสถานะที่เกี่ยวข้อง^{[ 55 ]}

ทฤษฎีกลุ่มช่วยในการทำนายการเปลี่ยนแปลงของคุณสมบัติทางกายภาพที่เกิดขึ้นเมื่อวัสดุเกิดการเปลี่ยนเฟสเช่น จากรูปแบบผลึกทรงลูกบาศก์ไปเป็นทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่า ตัวอย่างเช่น วัสดุ เฟอร์โร อิเล็กทริก ซึ่งการเปลี่ยนจากสถานะพาราอิเล็กทริกไปเป็นสถานะเฟอร์โรอิเล็กทริกเกิดขึ้นที่อุณหภูมิคูรี และเกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนแปลงจากสถานะพาราอิเล็กทริกที่มีสมมาตรสูงไปเป็นสถานะเฟอร์โรอิเล็กทริกที่มีสมมาตรต่ำกว่า โดยมีโหมด โฟนอนอ่อนที่เรียกว่าโหมดการสั่นของแลตติซที่ความถี่เป็นศูนย์ที่การเปลี่ยนเฟส^{[ 56 ]}

การแตกสมมาตรโดยธรรมชาติดังกล่าวพบการประยุกต์ใช้เพิ่มเติมในฟิสิกส์อนุภาคพื้นฐาน ซึ่งการเกิดขึ้นดังกล่าวเกี่ยวข้องกับการปรากฏตัวของโบซอนโกลด์สโตน^{[ 57 ]}


บัคมินสเตอร์ฟูลเลอรีนแสดงสมมาตรทรงยี่สิบหน้า^{[ 58 ]}	แอมโมเนีย , NH กลุ่มสมมาตรของมันคือลำดับที่ 6 ซึ่งสร้างขึ้นโดยการหมุน 120° และการสะท้อน^{[ 59 ]}	คิวเบน C H มี สมมาตรแบบทรงแปดเหลี่ยม^{[ 60 ]}	ไอออน เต ตระคลอโรแพลทิเนต(II) [PtCl ] ²⁻มีโครงสร้างแบบระนาบสี่เหลี่ยม

กลุ่มสมมาตรจำกัด เช่นกลุ่ม Mathieuถูกนำมาใช้ในทฤษฎีการเข้ารหัสซึ่งนำไปประยุกต์ใช้ในการแก้ไขข้อผิดพลาดของข้อมูลที่ส่ง และในเครื่องเล่นซีดี [ ^{61 ] การ}ประยุกต์ใช้อีกอย่างหนึ่งคือทฤษฎี Galois เชิงอนุพันธ์ซึ่งกำหนดลักษณะของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ย้อนกลับในรูปแบบที่กำหนดไว้ โดยให้เกณฑ์ทางทฤษฎีกลุ่มสำหรับกรณีที่คำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์บางสม การมี พฤติกรรมที่ดี^{[ q ]} คุณสมบัติทางเรขาคณิตที่ยังคงเสถียรภายใต้การกระทำของกลุ่มได้รับการตรวจ สอบในทฤษฎีความไม่แปรเปลี่ยน (ทางเรขาคณิต) ^[⁶²^]

กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปและทฤษฎีการแทน

{\displaystyle x} — เวกเตอร์สองตัว(ภาพประกอบด้านซ้าย) คูณด้วยเมทริกซ์ (ภาพประกอบตรงกลางและด้านขวา) ภาพประกอบตรงกลางแสดงถึงการหมุนตามเข็มนาฬิกา 90° ในขณะที่ภาพประกอบด้านขวาสุดแสดงถึงการยืดออกของเวกเตอร์ $x$ -พิกัดโดยใช้ตัวประกอบ 2

กลุ่มเมทริกซ์ประกอบด้วย เมท ริกซ์และการคูณเมทริกซ์กลุ่มเชิงเส้นทั่วไป $\mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ ประกอบด้วย สิ่ง ที่สามารถผกผันได้ ทั้งหมด $n$ -โดย - $n$ เมทริกซ์ที่มีรายการจริง^{[ 63 ]}กลุ่มย่อยของมันเรียกว่ากลุ่มเมทริกซ์หรือกลุ่มเชิงเส้นตัวอย่างกลุ่มไดเฮดรัลที่กล่าวถึงข้างต้นสามารถมองได้ว่าเป็นกลุ่มเมทริกซ์ (ขนาดเล็กมาก) อีกกลุ่มเมทริกซ์ที่สำคัญคือ กลุ่มออร์โธโกนอ ลพิเศษ $\mathrm {SO} (n)$ มันอธิบายถึงการหมุนที่เป็นไปได้ทั้งหมดใน $n$ มิติเมทริกซ์การหมุนในกลุ่มนี้ใช้ในกราฟิกคอมพิวเตอร์^{[ 64 ]}

ทฤษฎีการเป็นตัวแทนเป็นทั้งการประยุกต์ใช้แนวคิดกลุ่มและมีความสำคัญต่อความเข้าใจกลุ่มที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้น^{[ 65 ]}^{[ 66 ]}ทฤษฎีนี้ศึกษากลุ่มโดยการกระทำของกลุ่มบนพื้นที่อื่น ๆการเป็นตัวแทนกลุ่ม ในวงกว้าง คือการเป็นตัวแทนเชิงเส้นซึ่งกลุ่มกระทำบนพื้นที่เวกเตอร์ เช่นพื้นที่ยูคลิดสาม มิติ $\mathbb {R} ^{3}$ การเป็นตัวแทนของกลุ่ม $G$ บน $n$ - ปริภูมิเวกเตอร์จริง มิติ - เป็นเพียงโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม $\rho :G\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ จากกลุ่มไปสู่กลุ่มเชิงเส้นทั่วไป ด้วยวิธีนี้ การดำเนินการของกลุ่ม ซึ่งอาจกำหนดไว้ในเชิงนามธรรม จะถูกแปลงเป็นการคูณเมทริกซ์ ทำให้สามารถเข้าถึงการคำนวณที่ชัดเจนได้^{[ r ]}

การกระทำของกลุ่มช่วยให้สามารถศึกษาวัตถุที่ถูกกระทำได้มากขึ้น^{[ s ]}ในทางกลับกัน มันยังให้ข้อมูลเกี่ยวกับกลุ่มด้วย การแสดงแทนกลุ่มเป็นหลักการจัดระเบียบในทฤษฎีของกลุ่มจำกัด กลุ่มลี กลุ่มพีชคณิต และกลุ่มโทโพโลยีโดย เฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่มกระชับ (เฉพาะที่) ^{[ 65 ]}^{[ 67 ]}

กลุ่มกาโลอิส

กลุ่มกาโลอิสได้รับการพัฒนาขึ้นเพื่อช่วยแก้สมการพหุนามโดยการจับคุณสมบัติสมมาตรของสมการเหล่านั้น^{[ 68 ]}^{[ 69 ]}ตัวอย่างเช่น คำตอบของสมการกำลังสอง $ax^{2}+bx+c=0$ ได้รับจาก $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$ แต่ละวิธีแก้ปัญหาสามารถได้มาโดยการแทนที่ $\pm$ ลงชื่อโดย $+$ หรือ $-$ สูตรที่คล้ายกัน นี้เป็นที่รู้จักสำหรับ สมการ กำลังสามและกำลังสี่แต่ โดยทั่วไปแล้ว ไม่มีอยู่สำหรับดีกรี 5ขึ้นไป^{[ 70 ]}ในสูตรกำลังสองการเปลี่ยนเครื่องหมาย (การสลับตำแหน่งของคำตอบสองคำตอบที่ได้) สามารถมองได้ว่าเป็นการดำเนินการกลุ่ม (ที่ง่ายมาก) กลุ่มกาโลอิสที่คล้ายกันจะกระทำกับคำตอบของสมการพหุนามดีกรีสูงกว่า และมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการมีอยู่ของสูตรสำหรับคำตอบของสมการเหล่านั้น คุณสมบัติเชิงนามธรรมของกลุ่มเหล่านี้ (โดยเฉพาะอย่างยิ่งความสามารถในการแก้ ) เป็นเกณฑ์สำหรับความสามารถในการแสดงคำตอบของพหุนามเหล่านี้โดยใช้เพียงการบวก การคูณ และรากที่คล้ายกับสูตรข้างต้น^{[ 71 ]}

ทฤษฎีกาโลอิสสมัยใหม่ขยายกลุ่มกาโลอิสประเภทข้างต้นโดยเปลี่ยนไปใช้ทฤษฎีฟิลด์และพิจารณาส่วนขยายฟิลด์ที่เกิดขึ้นเป็นฟิลด์แยกของพหุนาม ทฤษฎีนี้สร้างความสัมพันธ์ที่แม่นยำระหว่างฟิลด์และกลุ่มผ่านทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีกาโลอิสซึ่งเน้นย้ำถึงความแพร่หลายของกลุ่มในคณิตศาสตร์อีกครั้ง^{[ 72 ]}

กลุ่มจำกัด

กลุ่มจะเรียกว่ากลุ่มจำกัดก็ต่อเมื่อมีจำนวนสมาชิกจำกัดจำนวนสมาชิกเรียกว่าอันดับของกลุ่ม^{[ 73 ]}กลุ่มที่สำคัญคือกลุ่มสมมาตร $\mathrm {S} _{N}$ กลุ่มของการเรียงสับเปลี่ยนของ $N$ วัตถุ ตัวอย่างเช่นกลุ่มสมมาตรบนตัวอักษร 3 ตัว $\mathrm {S} _{3}$ กลุ่มนี้เป็นกลุ่มของการเรียงลำดับใหม่ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของวัตถุ ตัวอักษร ABC สามตัวสามารถเรียงลำดับใหม่ได้เป็น ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA ซึ่งรวมแล้วได้ 6 ตัว ( แฟกทอเรียลของ 3) การดำเนินการของกลุ่มคือการประกอบของการเรียงลำดับใหม่เหล่านี้ และสมาชิกเอกลักษณ์คือการดำเนินการเรียงลำดับใหม่ที่ทำให้ลำดับไม่เปลี่ยนแปลง กลุ่มนี้มีความสำคัญพื้นฐาน เนื่องจากกลุ่มจำกัดใดๆ ก็สามารถแสดงเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มสมมาตรได้ $\mathrm {S} _{N}$ สำหรับจำนวนเต็มที่เหมาะสม $N$ ตามทฤษฎีบทของเคย์ลีย์ขนานกับกลุ่มสมมาตรของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสข้างต้น $\mathrm {S} _{3}$ นอกจากนี้ยังสามารถตีความได้ว่าเป็นกลุ่มสมมาตรของสามเหลี่ยมด้านเท่า

ลำดับขององค์ประกอบ $a$ ในกลุ่ม $G$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุด $n$ โดยที่ $a^{n}=e$ โดยที่ $a^{n}$ ตัวแทน $\underbrace {a\cdots a} _{n{\text{ factors}}},$ นั่นคือ การประยุกต์ใช้การดำเนินการ " ⁠ $\cdot$ "ถึง" $n$ สำเนาของ⁠ $a$ ⁠ . (ถ้า " ⁠ $\cdot$ "แสดงถึงการคูณ" $a^{n}$ สอดคล้องกับ⁠ $n$ กำลังของ $a$ ในกลุ่มอนันต์ เช่นนั้น $n$ อาจไม่มีอยู่จริง ในกรณีนั้นลำดับของ $a$ กล่าวกันว่ามีค่าเป็นอนันต์ อันดับของสมาชิกหนึ่งตัวมีค่าเท่ากับอันดับของกลุ่มย่อยวัฏจักรที่สร้างขึ้นโดยสมาชิกนั้น

เทคนิคการนับที่ซับซ้อนกว่า เช่น การนับโคเซต จะให้ข้อความที่แม่นยำยิ่งขึ้นเกี่ยวกับกลุ่มจำกัด: ทฤษฎีบทของลากรองจ์กล่าวว่า สำหรับกลุ่มจำกัด $G$ ลำดับของกลุ่มย่อยจำกัดใดๆ $H$ แบ่งลำดับของ⁠ $G$ ทฤษฎีบทของไซโลว์ให้บทกลับบางส่วน

กลุ่มไดเฮดรัล $\mathrm {D} _{4}$ กลุ่มสมมาตรของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นกลุ่มจำกัดที่มีอันดับ 8 ในกลุ่มนี้ อันดับของ $r_{1}$ คือ 4 เช่นเดียวกับลำดับของกลุ่มย่อย $R$ องค์ประกอบนี้สร้างขึ้น ลำดับขององค์ประกอบการสะท้อน $f_{\mathrm {v} }$ ฯลฯ คือ 2 ทั้งสองอันดับหาร 8 ลงตัว ตามที่ทฤษฎีบทของลากรองจ์ทำนายไว้ กลุ่มต่างๆ $\mathbb {F} _{p}^{\times }$ ของการคูณโมดูลัสจำนวนเฉพาะ $p$ มีคำสั่ง $p-1$ ⁠ .

กลุ่มอาเบเลียนจำกัด

กลุ่มอาเบเลียนจำกัดใดๆ จะสมสัณฐานกับผลคูณของกลุ่มวัฏจักรจำกัด ข้อความนี้เป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีบทพื้นฐานของกลุ่มอาเบเลียนที่สร้างขึ้นโดยจำนวนจำกัด

กลุ่มใด ๆ ของลำดับหลัก $p$ มีโครงสร้างเหมือนกับกลุ่มวัฏจักร $\mathrm {Z} _{p}$ (ผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทของลากรองจ์ ) กลุ่มใดๆ ที่มีอันดับ $p^{2}$ เป็นกลุ่มอาเบเลียน สมมาตรกับ $\mathrm {Z} _{p^{2}}$ หรือ $\mathrm {Z} _{p}\times \mathrm {Z} _{p}$ แต่ยังมีกลุ่มโนนาเบเลียนที่มีอันดับอยู่ $p^{3}$ กลุ่มไดเฮดรัล $\mathrm {D} _{4}$ ของคำสั่ง $2^{3}$ ข้างต้นเป็นตัวอย่าง^{[ 74 ]}

กลุ่มง่ายๆ

เมื่อกลุ่มหนึ่ง $G$ มีกลุ่มย่อยปกติ $N$ นอกเหนือจาก $\{1\}$ และ $G$ ตัวมันเอง คำถามเกี่ยวกับ $G$ บางครั้งอาจลดทอนเหลือเพียงคำถามเกี่ยวกับ $N$ และ $G/N$ กลุ่มที่ไม่ใช่กลุ่มย่อยปกติเรียกว่ากลุ่มง่าย ถ้ามันไม่มีกลุ่มย่อยปกติดังกล่าว กลุ่มง่ายจำกัดมีความสัมพันธ์กับกลุ่มจำกัดเช่นเดียวกับจำนวนเฉพาะที่มีความ สัมพันธ์กับจำนวนเต็มบวก กล่าวคือ พวกมันทำหน้าที่เป็นหน่วยพื้นฐาน ในความหมายที่ทฤษฎีบทจอร์แดน-โฮลเดอร์ได้

การจำแนกกลุ่มง่ายจำกัด

ระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ถูกนำมาใช้เพื่อแสดงรายการกลุ่มทั้งหมดที่มีอันดับสูงสุดถึง 2000 [ ^{t ] แต่} การจำแนกกลุ่มจำกัดทั้งหมดเป็นปัญหาที่ถือว่ายากเกินกว่าจะแก้ไขได้

สัจพจน์ของกลุ่มนั้นสั้นและเป็นธรรมชาติ ... แต่สิ่งที่ซ่อนอยู่เบื้องหลังสัจพจน์เหล่านี้คือกลุ่มเชิงเดี่ยวอันน่าเหลือเชื่อซึ่งเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ขนาดใหญ่และไม่ธรรมดา ที่ดูเหมือนจะอาศัยความบังเอิญแปลกประหลาดมากมายในการดำรงอยู่ สัจพจน์ของกลุ่มไม่ได้ให้เบาะแสที่ชัดเจนใดๆ ว่าสิ่งเช่นนี้มีอยู่จริง

— Richard Borcherdsนักคณิตศาสตร์: มุมมองภายนอกของโลกภายใน^[⁷⁵^]

การจำแนก กลุ่ม ง่าย จำกัดทั้งหมด ถือเป็นความสำเร็จครั้งสำคัญในทฤษฎีกลุ่มร่วมสมัย มี กลุ่มดังกล่าวอยู่ หลายตระกูลอนันต์รวมทั้ง " กลุ่มสปอราดิก" 26 กลุ่มที่ไม่สังกัดตระกูลใดเลยกลุ่มสปอราดิก ที่ใหญ่ที่สุด เรียกว่ากลุ่มมอนสเตอร์ ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับ ดวงจันทร์อันน่าสยดสยองที่พิสูจน์โดยริชาร์ด บอร์เชอร์ดส์เชื่อมโยงกลุ่มมอนสเตอร์กับฟังก์ชันมอดูลาร์ บางอย่าง ^{[ 76 ]}

ช่องว่างระหว่างการจำแนกกลุ่มแบบง่ายกับการจำแนกกลุ่มทั้งหมดอยู่ที่ปัญหาการขยาย^{[ 77 ]}

กลุ่มที่มีโครงสร้างเพิ่มเติม

นิยามที่เทียบเท่ากันของกลุ่มคือการแทนที่ส่วน "มีอยู่" ในสัจพจน์ของกลุ่มด้วยการดำเนินการที่มีผลลัพธ์เป็นสมาชิกที่ต้องมีอยู่ ดังนั้น กลุ่มจึงเป็นเซต $G$ ติดตั้งระบบการทำงานแบบไบนารี $G\times G\rightarrow G$ (การดำเนินการกลุ่ม) การดำเนินการเอกภาค $G\rightarrow G$ (ซึ่งให้ค่าผกผัน) และการดำเนินการแบบไม่มีตัวถูกดำเนินการ ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ ส่วนอื่นๆ ของสัจพจน์ของกลุ่มนั้นเหมือนกันทุกประการ รูปแบบการนิยามนี้หลีกเลี่ยงตัวบ่งปริมาณเชิงมีอยู่และใช้ในการคำนวณด้วยกลุ่มและสำหรับการพิสูจน์โดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วย

วิธีการกำหนดกลุ่มแบบนี้เอื้อต่อการสรุปทั่วไป เช่น แนวคิดของวัตถุกลุ่มในหมวดหมู่ กล่าวโดยย่อคือ วัตถุนี้เป็นวัตถุที่มีมอร์ฟิซึมที่เลียนแบบสัจพจน์ของกลุ่ม^{[ 78 ]}

กลุ่มโทโพโลยี

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีบางแห่งอาจมีกฎของกลุ่ม เพื่อให้กฎของกลุ่มและทอพอโลยีผสานกันได้อย่างดี การดำเนินการของกลุ่มจะต้องเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง กล่าวโดยไม่เป็นทางการคือ $g\cdot h$ และ $g^{-1}$ จะต้องไม่เปลี่ยนแปลงอย่างมากหาก $g$ และ $h$ แตกต่างกันเพียงเล็กน้อย กลุ่มดังกล่าวเรียกว่ากลุ่มโทโพโลยีและเป็นกลุ่มวัตถุในหมวดหมู่ของปริภูมิโทโพโลยี [ ^{79 ] ตัวอย่าง}พื้นฐานที่สุดคือกลุ่มจำนวนจริงภายใต้การบวกและกลุ่มจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ภายใต้การคูณ ตัวอย่างที่คล้ายกันสามารถสร้างขึ้นจากฟิลด์โทโพโลยี อื่น ๆ เช่น ฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนหรือฟิลด์ของจำนวน $p$ -adic ตัวอย่างเหล่านี้มีความกะทัดรัดเฉพาะที่ดังนั้นจึงมีการวัดแบบ Haarและสามารถศึกษาได้ผ่านการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกกลุ่มโทโพโลยีที่กะทัดรัดเฉพาะที่อื่น ๆ ได้แก่ กลุ่มจุดของกลุ่มพีชคณิตเหนือฟิลด์เฉพาะที่หรือวงแหวน adeleซึ่งเป็นพื้นฐานของทฤษฎีจำนวน^{[ 80 ]}กลุ่ม Galois ของส่วนขยายฟิลด์พีชคณิตอนันต์นั้นมีโทโพโลยี Krullซึ่งมีบทบาทในทฤษฎี Galois อนันต์ [ ^{81 ] การ}วางนัยทั่วไปที่ใช้ในเรขาคณิตพีชคณิตคือกลุ่มพื้นฐาน étale ^{[ 82 ]}

กลุ่มโกหก

กลุ่มLieเป็นกลุ่มที่มีโครงสร้างของแมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้กล่าวคือ ในทางไม่เป็นทางการหมายความว่ามันดูเหมือนปริภูมิยุคลิดที่มีมิติคงที่ในระดับท้องถิ่น^{[ 83 ]}อีกครั้ง คำจำกัดความนี้ต้องการโครงสร้างเพิ่มเติม ในที่นี้คือโครงสร้างแมนิโฟลด์ เพื่อให้เข้ากันได้ กล่าวคือ แผนที่การคูณและแผนที่ผกผันจะต้องเรียบ

ตัวอย่างมาตรฐานคือกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปที่ได้กล่าวถึงข้างต้น: มันเป็นเซตย่อยเปิดของปริมาณของทั้งหมด $n$ -โดย- $n$ เมทริกซ์ เนื่องจากกำหนดโดยอสมการ $\det(A)\neq 0,$ ที่ไหน $A$ หมายถึง $n$ -โดย- $n$ เมทริกซ์^{[ 84 ]}

กลุ่ม Lie มีความสำคัญพื้นฐานในฟิสิกส์สมัยใหม่: ทฤษฎีบทของ Noetherเชื่อมโยงสมมาตรต่อเนื่องกับปริมาณที่อนุรักษ์ไว้ [ ^{85 ] การ}หมุนเช่นเดียวกับการแปลในอวกาศและเวลาเป็นสมมาตรพื้นฐานของกฎของกลศาสตร์ตัวอย่างเช่น สามารถนำมาใช้สร้างแบบจำลองง่ายๆ ได้ เช่น การกำหนดสมมาตรตามแกนให้กับสถานการณ์หนึ่งๆ มักจะนำไปสู่การลดความซับซ้อนอย่างมากในสมการที่ต้องแก้เพื่อให้ได้คำอธิบายทางกายภาพ^{[ u ]}อีกตัวอย่างหนึ่งคือกลุ่มของการแปลง Lorentzซึ่งเชื่อมโยงการวัดเวลาและความเร็วของผู้สังเกตการณ์สองคนที่เคลื่อนที่สัมพันธ์กัน สามารถอนุมานได้ด้วยวิธีทางทฤษฎีกลุ่มล้วนๆ โดยการแสดงการแปลงเป็นสมมาตรการหมุนของปริภูมิ Minkowskiซึ่งในกรณีที่ไม่มีแรงโน้มถ่วง อย่างมีนัยสำคัญ จะทำหน้าที่ เป็นแบบจำลองของปริภูมิเวลาใน ทฤษฎีสั มพัทธภาพพิเศษ^{[ 86 ]}กลุ่มสมมาตรทั้งหมดของปริภูมิ Minkowski ซึ่งรวมถึงการเลื่อนตำแหน่ง เรียกว่ากลุ่ม Poincaréดังที่กล่าวมาข้างต้น กลุ่มนี้มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ และโดยนัยสำคัญสำหรับทฤษฎีสนามควอนตัม [ ^{87 ] สมมาตร}ที่เปลี่ยนแปลงไปตามตำแหน่งเป็นหัวใจสำคัญของการอธิบายปฏิสัมพันธ์ทางกายภาพสมัยใหม่ด้วยความช่วยเหลือของทฤษฎีเกจตัวอย่างที่สำคัญของทฤษฎีเกจคือแบบจำลองมาตรฐานซึ่งอธิบายแรงพื้นฐาน ที่รู้จัก 3 ใน 4 ^แรง และจำแนก อนุภาคพื้นฐานที่รู้จักทั้งหมด[ ^{88 ]}

การสรุปโดยทั่วไป

โครงสร้างแบบกลุ่ม
	ทั้งหมด	การเชื่อมโยง	ตัวตน	หารลงตัว
แมกมาบางส่วน	ไม่จำเป็น	ไม่จำเป็น	ไม่จำเป็น	ไม่จำเป็น
เซมิกรุปอยด์	ไม่จำเป็น	ที่จำเป็น	ไม่จำเป็น	ไม่จำเป็น
หมวดหมู่ขนาดเล็ก	ไม่จำเป็น	ที่จำเป็น	ที่จำเป็น	ไม่จำเป็น
กรุปอยด์	ไม่จำเป็น	ที่จำเป็น	ที่จำเป็น	ที่จำเป็น
แมกมา	ที่จำเป็น	ไม่จำเป็น	ไม่จำเป็น	ไม่จำเป็น
กลุ่มย่อย	ที่จำเป็น	ไม่จำเป็น	ไม่จำเป็น	ที่จำเป็น
แมกมาหน่วย	ที่จำเป็น	ไม่จำเป็น	ที่จำเป็น	ไม่จำเป็น
วนลูป	ที่จำเป็น	ไม่จำเป็น	ที่จำเป็น	ที่จำเป็น
เซมิกรุ๊ป	ที่จำเป็น	ที่จำเป็น	ไม่จำเป็น	ไม่จำเป็น
กลุ่มควาซิแบบเชื่อมโยง	ที่จำเป็น	ที่จำเป็น	ไม่จำเป็น	ที่จำเป็น
โมโนอิด	ที่จำเป็น	ที่จำเป็น	ที่จำเป็น	ไม่จำเป็น
กลุ่ม	ที่จำเป็น	ที่จำเป็น	ที่จำเป็น	ที่จำเป็น

โครงสร้างทั่วไปเพิ่มเติมอาจถูกกำหนดโดยการผ่อนปรนสัจพจน์บางส่วนที่กำหนดกลุ่ม^{[ 33 ]}^{[ 89 ]}^{[ 90 ]}ตารางแสดงรายการโครงสร้างหลายแบบที่ขยายกลุ่ม

ตัวอย่างเช่น หากเงื่อนไขที่ว่าทุกองค์ประกอบต้องมีตัวผกผันถูกกำจัดออกไป โครงสร้างพีชคณิตที่ได้จะเรียกว่าโมโนอิด จำนวนธรรมชาติ $\mathbb {N}$ (รวมถึงศูนย์) เมื่อนำมาบวกจะเกิดเป็นโมโนอิด เช่นเดียวกับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์เมื่อนำมาคูณ $(\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\},\cdot )$ ⁠ . ตัวผกผันที่อยู่ติดกันขององค์ประกอบทั้งหมดของโมโนอิด $(\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\},\cdot )$ สร้างกลุ่ม $(\mathbb {Q} \smallsetminus \{0\},\cdot )$ และเช่นเดียวกันกับอินเวอร์สที่อยู่ติดกันของโมโนอิด (อาเบเลียน)ใดๆ $M$ ก่อให้เกิดกลุ่มที่รู้จักกันในชื่อกลุ่ม Grothendieckของ $M$ ⁠ .

อาจมองกลุ่มได้ว่าเป็นหมวดหมู่เล็กๆที่มีวัตถุเพียงชิ้นเดียว $x$ ซึ่งทุกมอร์ฟิซึมเป็นไอโซมอร์ฟิซึม: เมื่อกำหนดหมวดหมู่ดังกล่าวแล้ว เซต $\operatorname {Hom} (x,x)$ เป็นกลุ่ม ในทางกลับกัน เมื่อกำหนดกลุ่มแล้ว $G$ เราสามารถสร้างหมวดหมู่เล็กๆ โดยใช้เพียงวัตถุชิ้นเดียวได้ $x$ ซึ่ง $\operatorname {Hom} (x,x)\simeq G$ โดยทั่วไปแล้วกรุปอยด์ คือหมวดหมู่ขนาดเล็กใดๆ ที่มอร์ฟิซึมทุกตัวเป็นไอโซมอร์ฟิซึม ในกรุปอยด์ เซตของมอร์ฟิซึมทั้งหมดในหมวดหมู่มักจะไม่ใช่กลุ่ม เพราะการประกอบกัน นั้นถูกกำหนดไว้เพียงบางส่วนเท่านั้น $fg$ จะถูกกำหนดก็ ต่อเมื่อแหล่งที่มาของ $f$ ตรงกับเป้าหมายของ $g$ กลุ่มกรุปอย ด์เกิดขึ้นในวิชาโทโพโลยี (ตัวอย่างเช่นกลุ่มกรุปอยด์พื้นฐาน ) และในทฤษฎีสแต็ก

สุดท้ายนี้ เป็นไปได้ที่จะสรุปแนวคิดเหล่านี้โดยการแทนที่การดำเนินการแบบไบนารีด้วยการดำเนินการแบบ $n$ -ary (กล่าวคือ การดำเนินการที่รับ อาร์กิวเมนต์ $n$ ตัว สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ $n$ บางตัว ) ด้วยการสรุปสัจพจน์ของกลุ่มอย่างเหมาะสม ทำให้เกิดแนวคิดของกลุ่มแบบ $n$ -ary ขึ้น^{[ 91 ]}

ตัวอย่าง
ชุด	จำนวนธรรมชาติ $\mathbb {N}$ ⁠		จำนวนเต็ม $\mathbb {Z}$ ⁠		จำนวนตรรกยะ $\mathbb {Q}$ จำนวนจริง $\mathbb {R}$ จำนวนเชิงซ้อน $\mathbb {C}$ ⁠				จำนวนเต็มโมดูล3 $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\{0,1,2\}$ ⁠
การดำเนินการ	+	×	+	×	+	−	×	÷	+	×
ทั้งหมด	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	เลขที่	ใช่	ใช่
ตัวตน	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	เลขที่	ใช่	เลขที่	ใช่	ใช่
ผกผัน	เลขที่	เลขที่	ใช่	เลขที่	ใช่	เลขที่	เฉพาะในกรณีที่⁠ $a\neq 0$ ⁠	เลขที่	ใช่	เฉพาะในกรณีที่⁠ $a\neq 0$ ⁠
การหารลงตัว	เลขที่	เลขที่	ใช่	เลขที่	ใช่	ใช่	เฉพาะในกรณีที่⁠ $a\neq 0$ ⁠	เฉพาะในกรณีที่⁠ $a\neq 0$ ⁠	ใช่	เลขที่
การเชื่อมโยง	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	เลขที่	ใช่	เลขที่	ใช่	ใช่
สลับที่ได้	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	เลขที่	ใช่	เลขที่	ใช่	ใช่
โครงสร้าง	โมโนอิด	โมโนอิด	กลุ่มอาเบเลียน	โมโนอิด	กลุ่มอาเบเลียน	ควาซิกรุป	โมโนอิด	กลุ่มควาซิ (โดยลบ 0 ออก)	กลุ่มอาเบเลียน	โมโนอิด

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

↑ผู้เขียนบางท่านได้เพิ่มสัจพจน์เพิ่มเติมที่เรียกว่าการปิดภายใต้การดำเนินการ " $\cdot$ " ซึ่งหมายความว่า $a \cdot b$ เป็นสมาชิกของ $G$ สำหรับทุก $a$ และ $b$ ใน $G$ เงื่อนไขนี้รวมอยู่ในข้อกำหนดที่ว่า " $\cdot$ " ต้องเป็นการดำเนินการทวิภาคบน $G$ ดูLang 2002
↑ ฐานข้อมูลสิ่งพิมพ์ทาง คณิตศาสตร์ MathSciNetระบุว่ามีบทความวิจัยเกี่ยวกับทฤษฎีกลุ่มและการขยายความทั่วไปของทฤษฎีกลุ่มจำนวน 1,779 ฉบับที่เขียนขึ้นในปี 2020 เพียงปีเดียว ดู MathSciNet 2021
↑โดยทั่วไปแล้ว เรามักหลีกเลี่ยงการใช้สัญลักษณ์เศษส่วน $⁠ b / a ⁠$ เว้นแต่ว่า $G$ จะเป็นกลุ่มอาเบเลียน เนื่องจากมีความกำกวมว่าหมายถึง $a -1 \cdot b$ หรือ $b \cdot a -1$ กันแน่)
↑ดูตัวอย่างเช่น Lang 2002 , Lang 2005 , Herstein 1996และ Herstein 1975
↑คำว่า homomorphism มาจากภาษากรีก ὁμός—เหมือนกัน และ μορφή—โครงสร้าง ดู Schwartzman 1994หน้า 108
↑อย่างไรก็ตาม กลุ่มไม่ได้ถูกกำหนดโดยโครงข่ายของกลุ่มย่อย ดู Suzuki 1951
↑ดูทฤษฎีบท Seifert–Van Kampenเป็นตัวอย่าง
↑ตัวอย่างหนึ่งคือโคฮอโมโลยีของกลุ่มซึ่งเท่ากับโคฮอโมโลยีเอกฐานของปริภูมิ จำแนกกลุ่ม ดู Weibel 1994 , §8.2
↑องค์ประกอบที่มีตัวผกผันการคูณเรียกว่าหน่วยดู Lang 2002หน้า 84 §II.1
↑การเปลี่ยนผ่านจากจำนวนเต็มไปสู่จำนวนตรรกยะโดยรวมเศษส่วนเข้าไปด้วยนั้น ได้รับการขยายความโดยขอบเขตของเศษส่วน
↑หลักการเดียวกันนี้ใช้ได้กับฟิลด์ $F$ ใดๆ แทน $Q$ ด้วยเช่น กัน ดู Lang 2005หน้า 86 §III.1
↑ตัวอย่างเช่น กลุ่มย่อยจำกัดของกลุ่มการคูณของฟิลด์จะต้องเป็นกลุ่มวัฏจักร ดู Lang 2002ทฤษฎีบท IV.1.9 แนวคิดเรื่องทอร์ชั่นของโมดูลและพีชคณิตเชิงเดี่ยวเป็นตัวอย่างอื่น ๆ ของหลักการนี้
↑คุณสมบัติที่กล่าวมานั้นเป็นนิยามที่เป็นไปได้ของจำนวนเฉพาะ ดูที่จำนวนเฉพาะ
↑ตัวอย่างเช่น โปรโตคอล Diffie–Hellmanใช้ลอการิทึมแบบไม่ต่อเนื่องดู Gollmann 2011 , §15.3.2
↑ สั ญกรณ์การบวกสำหรับองค์ประกอบของกลุ่มวัฏจักรจะเป็น $t \cdot a$ โดยที่ $t$ อยู่ใน $Z$
↑กล่าวอย่างเคร่งครัดยิ่งขึ้น ทุกกลุ่มเป็นกลุ่มสมมาตรของกราฟ บางกราฟ ดูทฤษฎีบทของฟรุคท์ ( Frucht 1939 )
↑ กล่าว โดยละเอียดกว่านั้น คือการพิจารณาการกระทำ แบบโมโนโดรมีบนปริภูมิเวกเตอร์ของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ ดู Kuga 1993หน้า 105–113
↑ตัวอย่างเช่น นี่เป็นสิ่งสำคัญในการจำแนกกลุ่มง่ายจำกัด ดู Aschbacher 2004
↑ดูตัวอย่างเช่นบทพิสูจน์ของ Schurเกี่ยวกับผลกระทบของการกระทำของกลุ่มต่อโมดูลแบบง่ายตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านั้นคือการกระทำของกลุ่ม Galois สัมบูรณ์ต่อยีแบบ étale
↑เมื่อพิจารณาถึงความเหมือนกันทางโครงสร้างแล้ว จะมีกลุ่มที่มีอันดับสูงสุดถึง 2000 ประมาณ 49 พันล้านกลุ่ม ดู Besche, Eick & O'Brien 2001
↑ดูเมตริก Schwarzschildสำหรับตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าความสมมาตรช่วยลดความซับซ้อนในการวิเคราะห์ระบบทางกายภาพได้อย่างมาก

การอ้างอิง

↑แฮร์สไตน์ 1975 , หน้า. 26, §2.
↑ Hall 1967 , หน้า 1, §1.1: "แนวคิดเรื่องกลุ่มเป็นแนวคิดที่แทรกซึมอยู่ในคณิตศาสตร์ทุกแขนง ทั้งคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ "
↑ Lang 2005 , หน้า 360, ภาคผนวก 2.
1 2 3 4ครานซ์ 2011 , น. 159 .
↑อาร์ติน 2018 , หน้า. 40, §2.2.
↑ Lang 2002 , หน้า 3, I.§1 และ หน้า 7, I.§2.
↑หรั่ง 2548 , หน้า. 16, II.§1.
↑ Johnston & Richman 1997 , หน้า 92 .
↑แฮร์สไตน์ 1975 , หน้า. 54, §2.6
↑ วุสซิ ง 2007
↑ ไคลเนอ ร์ 1986
↑ สมิ ธ 1906
↑ กาโล อิส 1908
↑ Kleiner 1986 , หน้า 202.
↑ เคย์ลี ย์ 1889
↑ Wussing 2007 , §III.2.
↑โกหก 1973
↑ Kleiner 1986 , หน้า 204.
↑วุสซิง 2007 , §I.3.4.
↑จอร์แดน 1870
↑ฟอน ไดค์ 1882
↑ Cameron 1999 , หน้า 35 .
↑ เคอร์ติ ส 2003
↑ แม็ กกี้ 1976
↑ โบเร ล 2001
↑โซโลมอน 2018
↑ Ledermann 1953 , หน้า 4–5, §1.2.
↑ Ledermann 1973 , หน้า 3, §I.1.
1 2หลัง 2548 , น. 17, §II.1.
↑อาร์ติน 2018 , หน้า 40.
1 2 3หลัง 2545 , หน้า. 7, §I.2.
↑หรั่ง 2548 , หน้า. 34, §II.3.
1 2แม็ค เลน 1998
↑หรั่ง 2548 , หน้า. 19, §II.1.
↑ Ledermann 1973 , หน้า 39, §II.12.
↑หรั่ง 2548 , หน้า. 41, §II.4.
↑ Lang 2002 , หน้า 12, §I.2.
↑หรั่ง 2548 , หน้า. 45, §II.4.
↑ Lang 2002 , หน้า 9, §I.2.
↑ Magnus, Karrass & Solitar 2004 , หน้า 56–67, §1.6
↑ Hatcher 2002 , หน้า 30, บทที่ 1.
↑ Coornaert, Delzant & Papadopoulos 1990 .
↑ตัวอย่างเช่นกลุ่มคลาสและกลุ่ม Picardดู Neukirch 1999โดยเฉพาะ §§I.12 และ I.13
↑เซเรส 1997
↑ Lang 2005 , บทที่ VII.
↑ Rosen 2000 , หน้า 54, (ทฤษฎีบท 2.1)
↑หรั่ง 2548 , หน้า. 292, §VIII.1.
↑หรั่ง 2548 , หน้า. 22, §II.1.
↑หรั่ง 2548 , หน้า. 26, §II.2.
↑ Lang 2005 , หน้า 22, §II.1 (ตัวอย่างที่ 11)
↑หรั่ง 2002หน้า 26, 29, §I.5
1 2เอลลิส 2019
↑ เวย์ ล 1952
↑คอนเวย์และคณะ 2001ดูเพิ่มเติมที่ บิชอป 1993
↑ไวล์ 1950 , หน้า 197–202.
↑โดฟ 2003
↑ซี 2010 , หน้า 228.
↑ Chancey & O'Brien 2021 , หน้า 15, 16.
↑ Simons 2003 , §4.2.1.
↑เอเลียล, วิลเลนแอนด์แมนเดอร์ 1994 , p. 82.
↑เวลส์ 1989
↑ Mumford, Fogarty & Kirwan 1994 .
↑ เล ย์ 2003
↑คุยเปอร์ส 1999
1 2ฟุลตันและแฮ ร์ริส 1991
↑เซอร์เร 1977
↑รูดิน 1990
↑โรบินสัน 1996หน้า viii.
↑ อาร์ติ น 1998
↑ Lang 2002บทที่ VI (ดูโดยเฉพาะหน้า 273 สำหรับตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม)
↑หลาง 2002 , หน้า. 292, (ทฤษฎีบท VI.7.2)
↑ Stewart 2015 , §12.1.
↑เคิร์ซไวล์แอนด์สเตลมาเชอร์ 2004 , หน้า. 3.
↑อาร์ติน 2018 , ข้อเสนอที่ 6.4.3 . ดูเพิ่มเติมที่ Lang 2002 , p. 77สำหรับผลลัพธ์ที่คล้ายกัน
↑คุก 2009หน้า 24
↑โรแนน 2007
↑ Aschbacher 2004 , หน้า737 .
↑ Awodey 2010 , §4.1.
↑ฮุเซน 1966
↑ นอยเคิร์ ช 1999
↑ ชัต ซ์ 1972
↑ มิล น์ 1980
↑ วอร์เนอ ร์ 1983
↑ โบเร ล 1991
↑โกลด์สไตน์ 1980
↑ไวน์เบิร์ก 1972
↑นาเบอร์ 2003
↑ซี 2010
↑ Denecke & Wismath 2002
↑ Romanowska & Smith 2002
↑ Dudek 2001 .

อ่านเพิ่มเติม

Nikulin, VVและShafarevich, IR . เรขาคณิตและกลุ่ม . แปลจากต้นฉบับภาษารัสเซียปี 1983 โดยM. Reid . Universitext. Springer-Verlag, Berlin, ตีพิมพ์ครั้งแรกเป็นภาษาอังกฤษในปี 1987
" กลุ่มการแปลงจากมุมมองทางเรขาคณิต " โดยHSM Coxeter (ในหนังสือGeometric Transformation Groups and Other Topics / บรรณาธิการ Lincoln K. Durst) คณะกรรมการโครงการระดับปริญญาตรีสาขาคณิตศาสตร์ MAA
Shlomo Sternberg , ทฤษฎีกลุ่มและฟิสิกส์ , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 1994

ลิงก์ภายนอก

ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. , "Group" , MathWorld

[8] ผู้เขียนบางท่านได้เพิ่มสัจพจน์เพิ่มเติมที่เรียกว่าการปิดภายใต้การดำเนินการ " $\cdot$ " ซึ่งหมายความว่า $a \cdot b$ เป็นสมาชิกของ $G$ สำหรับทุก $a$ และ $b$ ใน $G$ เงื่อนไขนี้รวมอยู่ในข้อกำหนดที่ว่า " $\cdot$ " ต้องเป็นการดำเนินการทวิภาคบน $G$ ดูLang 2002

[28] ฐานข้อมูลสิ่งพิมพ์ทาง คณิตศาสตร์ MathSciNetระบุว่ามีบทความวิจัยเกี่ยวกับทฤษฎีกลุ่มและการขยายความทั่วไปของทฤษฎีกลุ่มจำนวน 1,779 ฉบับที่เขียนขึ้นในปี 2020 เพียงปีเดียว ดู MathSciNet 2021

[32] โดยทั่วไปแล้ว เรามักหลีกเลี่ยงการใช้สัญลักษณ์เศษส่วน $⁠ b / a ⁠$ เว้นแต่ว่า $G$ จะเป็นกลุ่มอาเบเลียน เนื่องจากมีความกำกวมว่าหมายถึง $a -1 \cdot b$ หรือ $b \cdot a -1$ กันแน่)

[35] ดูตัวอย่างเช่น Lang 2002 , Lang 2005 , Herstein 1996และ Herstein 1975

[36] คำว่า homomorphism มาจากภาษากรีก ὁμός—เหมือนกัน และ μορφή—โครงสร้าง ดู Schwartzman 1994หน้า 108

[40] อย่างไรก็ตาม กลุ่มไม่ได้ถูกกำหนดโดยโครงข่ายของกลุ่มย่อย ดู Suzuki 1951

[48] ดูทฤษฎีบท Seifert–Van Kampenเป็นตัวอย่าง

[49] ตัวอย่างหนึ่งคือโคฮอโมโลยีของกลุ่มซึ่งเท่ากับโคฮอโมโลยีเอกฐานของปริภูมิ จำแนกกลุ่ม ดู Weibel 1994 , §8.2

[53] องค์ประกอบที่มีตัวผกผันการคูณเรียกว่าหน่วยดู Lang 2002หน้า 84 §II.1

[54] การเปลี่ยนผ่านจากจำนวนเต็มไปสู่จำนวนตรรกยะโดยรวมเศษส่วนเข้าไปด้วยนั้น ได้รับการขยายความโดยขอบเขตของเศษส่วน

[55] หลักการเดียวกันนี้ใช้ได้กับฟิลด์ $F$ ใดๆ แทน $Q$ ด้วยเช่น กัน ดู Lang 2005หน้า 86 §III.1

[56] ตัวอย่างเช่น กลุ่มย่อยจำกัดของกลุ่มการคูณของฟิลด์จะต้องเป็นกลุ่มวัฏจักร ดู Lang 2002ทฤษฎีบท IV.1.9 แนวคิดเรื่องทอร์ชั่นของโมดูลและพีชคณิตเชิงเดี่ยวเป็นตัวอย่างอื่น ๆ ของหลักการนี้

[58] คุณสมบัติที่กล่าวมานั้นเป็นนิยามที่เป็นไปได้ของจำนวนเฉพาะ ดูที่จำนวนเฉพาะ

[61] ตัวอย่างเช่น โปรโตคอล Diffie–Hellmanใช้ลอการิทึมแบบไม่ต่อเนื่องดู Gollmann 2011 , §15.3.2

[63] สั ญกรณ์การบวกสำหรับองค์ประกอบของกลุ่มวัฏจักรจะเป็น $t \cdot a$ โดยที่ $t$ อยู่ใน $Z$

[69] กล่าวอย่างเคร่งครัดยิ่งขึ้น ทุกกลุ่มเป็นกลุ่มสมมาตรของกราฟ บางกราฟ ดูทฤษฎีบทของฟรุคท์ ( Frucht 1939 )

[78] กล่าว โดยละเอียดกว่านั้น คือการพิจารณาการกระทำ แบบโมโนโดรมีบนปริภูมิเวกเตอร์ของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ ดู Kuga 1993หน้า 105–113

[84] ตัวอย่างเช่น นี่เป็นสิ่งสำคัญในการจำแนกกลุ่มง่ายจำกัด ดู Aschbacher 2004

[85] ดูตัวอย่างเช่นบทพิสูจน์ของ Schurเกี่ยวกับผลกระทบของการกระทำของกลุ่มต่อโมดูลแบบง่ายตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านั้นคือการกระทำของกลุ่ม Galois สัมบูรณ์ต่อยีแบบ étale

[94] เมื่อพิจารณาถึงความเหมือนกันทางโครงสร้างแล้ว จะมีกลุ่มที่มีอันดับสูงสุดถึง 2000 ประมาณ 49 พันล้านกลุ่ม ดู Besche, Eick & O'Brien 2001

[106] ดูเมตริก Schwarzschildสำหรับตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าความสมมาตรช่วยลดความซับซ้อนในการวิเคราะห์ระบบทางกายภาพได้อย่างมาก

[FOOTNOTEHerstein197526§2-1] แฮร์สไตน์ 1975 , หน้า. 26, §2.

[FOOTNOTEHall19671§1.1:_"The_idea_of_a_group_is_one_which_pervades_the_whole_of_mathematics_both_[[pure_mathematics|pure]]_and_[[applied_mathematics|applied]]."-2] Hall 1967 , หน้า 1, §1.1: "แนวคิดเรื่องกลุ่มเป็นแนวคิดที่แทรกซึมอยู่ในคณิตศาสตร์ทุกแขนง ทั้งคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ "

[FOOTNOTELang2005360App._2-3] Lang 2005 , หน้า 360, ภาคผนวก 2.

[FOOTNOTEKrantz2011[httpsbooksgooglecombooksidmMZBtxVZiQoCpgPA159_159]-4] 1 2 3 4ครานซ์ 2011 , น. 159 .

[FOOTNOTEArtin201840§2.2-5] อาร์ติน 2018 , หน้า. 40, §2.2.

[FOOTNOTELang2002p._3,_I.§1_and_p._7,_I.§2-6] Lang 2002 , หน้า 3, I.§1 และ หน้า 7, I.§2.

[FOOTNOTELang200516II.§1-7] หรั่ง 2548 , หน้า. 16, II.§1.

[FOOTNOTEJohnstonRichman1997[httpbooksgooglecombooksidYcLxDwAAQBAJpgPA92_92]-9] Johnston & Richman 1997 , หน้า 92 .

[FOOTNOTEHerstein197554§2.6-10] แฮร์สไตน์ 1975 , หน้า. 54, §2.6

[FOOTNOTEWussing2007-11] วุสซิ ง 2007

[FOOTNOTEKleiner1986-12] ไคลเนอ ร์ 1986

[FOOTNOTESmith1906-13] สมิ ธ 1906

[FOOTNOTEGalois1908-14] กาโล อิส 1908

[FOOTNOTEKleiner1986202-15] Kleiner 1986 , หน้า 202.

[FOOTNOTECayley1889-16] เคย์ลี ย์ 1889

[FOOTNOTEWussing2007§III.2-17] Wussing 2007 , §III.2.

[FOOTNOTELie1973-18] โกหก 1973

[FOOTNOTEKleiner1986204-19] Kleiner 1986 , หน้า 204.

[FOOTNOTEWussing2007§I.3.4-20] วุสซิง 2007 , §I.3.4.

[FOOTNOTEJordan1870-21] จอร์แดน 1870

[FOOTNOTEvon_Dyck1882-22] ฟอน ไดค์ 1882

[FOOTNOTECameron1999[httpsbooksgooglecombooksid4bNj8K1omGACpgPA35_35]-23] Cameron 1999 , หน้า 35 .

[FOOTNOTECurtis2003-24] เคอร์ติ ส 2003

[FOOTNOTEMackey1976-25] แม็ กกี้ 1976

[FOOTNOTEBorel2001-26] โบเร ล 2001

[FOOTNOTESolomon2018-27] โซโลมอน 2018

[FOOTNOTELedermann19534–5§1.2-29] Ledermann 1953 , หน้า 4–5, §1.2.

[FOOTNOTELedermann19733§I.1-30] Ledermann 1973 , หน้า 3, §I.1.

[FOOTNOTELang200517§II.1-31] 1 2หลัง 2548 , น. 17, §II.1.

[FOOTNOTEArtin201840-33] อาร์ติน 2018 , หน้า 40.

[FOOTNOTELang20027§I.2-34] 1 2 3หลัง 2545 , หน้า. 7, §I.2.

[FOOTNOTELang200534§II.3-37] หรั่ง 2548 , หน้า. 34, §II.3.

[FOOTNOTEMac_Lane1998-38] 1 2แม็ค เลน 1998

[FOOTNOTELang200519§II.1-39] หรั่ง 2548 , หน้า. 19, §II.1.

[FOOTNOTELedermann197339§II.12-41] Ledermann 1973 , หน้า 39, §II.12.

[FOOTNOTELang200541§II.4-42] หรั่ง 2548 , หน้า. 41, §II.4.

[FOOTNOTELang200212§I.2-43] Lang 2002 , หน้า 12, §I.2.

[FOOTNOTELang200545§II.4-44] หรั่ง 2548 , หน้า. 45, §II.4.

[FOOTNOTELang20029§I.2-45] Lang 2002 , หน้า 9, §I.2.

[FOOTNOTEMagnusKarrassSolitar200456–67§1.6-46] Magnus, Karrass & Solitar 2004 , หน้า 56–67, §1.6

[FOOTNOTEHatcher200230Chapter_I-47] Hatcher 2002 , หน้า 30, บทที่ 1.

[FOOTNOTECoornaertDelzantPapadopoulos1990-50] Coornaert, Delzant & Papadopoulos 1990 .

[51] ตัวอย่างเช่นกลุ่มคลาสและกลุ่ม Picardดู Neukirch 1999โดยเฉพาะ §§I.12 และ I.13

[FOOTNOTESeress1997-52] เซเรส 1997

[FOOTNOTELang2005Chapter_VII-57] Lang 2005 , บทที่ VII.

[FOOTNOTERosen200054&nbsp;(Theorem_2.1)-59] Rosen 2000 , หน้า 54, (ทฤษฎีบท 2.1)

[FOOTNOTELang2005292§VIII.1-60] หรั่ง 2548 , หน้า. 292, §VIII.1.

[FOOTNOTELang200522§II.1-62] หรั่ง 2548 , หน้า. 22, §II.1.

[FOOTNOTELang200526§II.2-64] หรั่ง 2548 , หน้า. 26, §II.2.

[FOOTNOTELang200522§II.1_(example_11)-65] Lang 2005 , หน้า 22, §II.1 (ตัวอย่างที่ 11)

[FOOTNOTELang200226,_29§I.5-66] หรั่ง 2002หน้า 26, 29, §I.5

[FOOTNOTEEllis2019-67] 1 2เอลลิส 2019

[FOOTNOTEWeyl1952-68] เวย์ ล 1952

[70] คอนเวย์และคณะ 2001ดูเพิ่มเติมที่ บิชอป 1993

[FOOTNOTEWeyl1950197–202-71] ไวล์ 1950 , หน้า 197–202.

[FOOTNOTEDove2003-72] โดฟ 2003

[FOOTNOTEZee2010228-73] ซี 2010 , หน้า 228.

[FOOTNOTEChanceyO'Brien202115,_16-74] Chancey & O'Brien 2021 , หน้า 15, 16.

[FOOTNOTESimons2003§4.2.1-75] Simons 2003 , §4.2.1.

[FOOTNOTEElielWilenMander199482-76] เอเลียล, วิลเลนแอนด์แมนเดอร์ 1994 , p. 82.

[FOOTNOTEWelsh1989-77] เวลส์ 1989

[FOOTNOTEMumfordFogartyKirwan1994-79] Mumford, Fogarty & Kirwan 1994 .

[FOOTNOTELay2003-80] เล ย์ 2003

[FOOTNOTEKuipers1999-81] คุยเปอร์ส 1999

[FOOTNOTEFultonHarris1991-82] 1 2ฟุลตันและแฮ ร์ริส 1991

[FOOTNOTESerre1977-83] เซอร์เร 1977

[FOOTNOTERudin1990-86] รูดิน 1990

[FOOTNOTERobinson1996viii-87] โรบินสัน 1996หน้า viii.

[FOOTNOTEArtin1998-88] อาร์ติ น 1998

[FOOTNOTELang2002Chapter_VI_(see_in_particular_p._273_for_concrete_examples)-89] Lang 2002บทที่ VI (ดูโดยเฉพาะหน้า 273 สำหรับตัวอย่างที่เป็นรูปธรรม)

[FOOTNOTELang2002292(Theorem_VI.7.2)-90] หลาง 2002 , หน้า. 292, (ทฤษฎีบท VI.7.2)

[FOOTNOTEStewart2015§12.1-91] Stewart 2015 , §12.1.

[FOOTNOTEKurzweilStellmacher2004p._3-92] เคิร์ซไวล์แอนด์สเตลมาเชอร์ 2004 , หน้า. 3.

[93] อาร์ติน 2018 , ข้อเสนอที่ 6.4.3 . ดูเพิ่มเติมที่ Lang 2002 , p. 77สำหรับผลลัพธ์ที่คล้ายกัน

[FOOTNOTECook200924-95] คุก 2009หน้า 24

[FOOTNOTERonan2007-96] โรแนน 2007

[97] Aschbacher 2004 , หน้า737 .

[FOOTNOTEAwodey2010§4.1-98] Awodey 2010 , §4.1.

[FOOTNOTEHusain1966-99] ฮุเซน 1966

[FOOTNOTENeukirch1999-100] นอยเคิร์ ช 1999

[FOOTNOTEShatz1972-101] ชัต ซ์ 1972

[FOOTNOTEMilne1980-102] มิล น์ 1980

[FOOTNOTEWarner1983-103] วอร์เนอ ร์ 1983

[FOOTNOTEBorel1991-104] โบเร ล 1991

[FOOTNOTEGoldstein1980-105] โกลด์สไตน์ 1980

[FOOTNOTEWeinberg1972-107] ไวน์เบิร์ก 1972

[FOOTNOTENaber2003-108] นาเบอร์ 2003

[FOOTNOTEZee2010-109] ซี 2010

[FOOTNOTEDeneckeWismath2002-110] Denecke & Wismath 2002

[FOOTNOTERomanowskaSmith2002-111] Romanowska & Smith 2002

[FOOTNOTEDudek2001-112] Dudek 2001 .

[ 1 ]

3 ] สำหรับ

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ a ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

( 1854

[

[

18 ] ใน

[ 19 ]

[

[

22

[

[

[

[ 26 ]

[ b ]

ทฤษฎี

[ 28 ]

[ 29 ]

c

[

[ 31 ]

[ d ]

[ e ]

[ 32 ]

หมวด

[ 34 ]

[ f ]

] ในตัวอย่างของ

[ 36 ]

37

38

[

[ 40 ]

[ 41 ]

[ g ]

[ h ]

42 ] สาขา

[ 43 ]

[ 44 ]

[ i ]

[ j ]

] สัจพจน์เกี่ยว

[ l ]

45 ] องค์ประกอบของ มัน

[ m ]

46

[ 47 ]

[ n ]

48

[ o ]

[ 49 ]

[

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 53 ]

[ p ]

[ 54 ]

[ 55 ]

[ 56 ]

[ 57 ]

[ 58 ]

[ 59 ]

[ 60 ]

61 ] การ

[ q ]

[

[ 63 ]

[ 64 ]

[ 65 ]

[ 66 ]

[ r ]

[ s ]

[ 67 ]

[ 68 ]

[ 69 ]

[ 70 ]

[ 71 ]

[ 72 ]

[ 73 ]

[ 74 ]

t ] แต่

[

[ 76 ]

[ 77 ]

[ 78 ]

79 ] ตัวอย่าง

[ 80 ]

81 ] การ