เนื้อหาอัตชีวประวัติบางส่วนสามารถพบได้ในคำนำที่หลงเหลืออยู่ของหนังสือของโคนิกส์คำนำเหล่านี้เป็นจดหมายที่อพอลโลนิอุสเขียนถึงเพื่อนผู้มีอิทธิพลเพื่อขอให้พวกเขาวิจารณ์หนังสือที่แนบมาด้วย คำนำสองฉบับแรกเขียนถึงยูเดมัสแห่งเปอร์กามอน

ยูเดมัสอาจเป็นหรือได้เป็นหัวหน้าศูนย์วิจัยของพิพิธภัณฑ์แห่ง เมือง เปอร์กามอนเมืองที่ขึ้นชื่อเรื่องหนังสือและ อุตสาหกรรม กระดาษหนังซึ่งเป็นที่มาของชื่อกระดาษหนังการวิจัยในสถาบันคณิตศาสตร์ของกรีก ซึ่งดำเนินตามแบบอย่างของโรงเรียนไลเซียม แห่งเอเธนส์ เป็นส่วนหนึ่งของความพยายามด้านการศึกษาซึ่งห้องสมุดและพิพิธภัณฑ์เป็นส่วนประกอบเสริม มีโรงเรียนดังกล่าวเพียงแห่งเดียวในรัฐ ภายใต้การอุปถัมภ์ของราชวงศ์ หนังสือหายากและมีราคาแพง และการสะสมหนังสือเป็นหน้าที่ของราชวงศ์

คำนำของอพอลโลนิอุสในหนังสือเล่มที่ 1 บอกยูเดมัสว่า หนังสือสี่เล่มแรกเกี่ยวข้องกับการพัฒนาองค์ประกอบต่างๆ ในขณะที่สี่เล่มหลังเกี่ยวข้องกับหัวข้อเฉพาะ อพอลโลนิอุสเตือนยูเดมัสว่าหนังสือ Conicsนั้นเดิมทีได้รับการร้องขอจากนาอูคราเตส นักเรขาคณิตและแขกที่พักอาศัยในอเล็กซานเดรีย ซึ่งไม่เป็นที่รู้จักในประวัติศาสตร์ อพอลโลนิอุสได้มอบฉบับร่างแรกของหนังสือทั้งแปดเล่มให้แก่นาอูคราเตส แต่เขากล่าวว่าหนังสือเหล่านั้น "ยังไม่ได้ผ่านการตรวจสอบอย่างละเอียด" และตั้งใจที่จะตรวจสอบและแก้ไขหนังสือเหล่านั้น โดยจะเผยแพร่แต่ละเล่มเมื่อเสร็จสมบูรณ์

หลังจากได้ยินแผนการนี้จากอพอลโลนิอุสเอง ซึ่งเคยมาเยือนเมืองเปอร์กามอน ยูเดมัสจึงยืนกรานให้อพอลโลนิอุสส่งหนังสือแต่ละเล่มให้เขาก่อนที่จะตีพิมพ์ ในช่วงเวลานั้น อพอลโลนิอุสน่าจะเป็นนักเรขาคณิตหนุ่ม ซึ่งตามคำบอกเล่าของปัปปัส เขาได้พำนักอยู่ที่อเล็กซานเดรียกับลูกศิษย์ของยูคลิด (หลังจากยุคของยูคลิดไปนานแล้ว) ซึ่งอาจเป็นช่วงสุดท้ายของการศึกษาของเขา ยูเดมัสอาจเป็นอาจารย์ที่ปรึกษาของอพอลโลนิอุสตั้งแต่สมัยที่เขาอยู่ที่เปอร์กามอน

มีช่องว่างระหว่างคำนำฉบับแรกและฉบับที่สอง อพอลโลนิอุสได้ส่งลูกชายของเขาซึ่งมีชื่อว่าอพอลโลนิอุสเช่นกัน มาส่งคำนำฉบับที่สอง เขาพูดด้วยความมั่นใจมากขึ้น โดยแนะนำให้ยูเดมัสใช้หนังสือเล่มนี้ในกลุ่มศึกษาพิเศษ อพอลโลนิอุสกล่าวถึงการพบ กับ ฟิโลนิดีสแห่งลาโอดีเซียนักเรขาคณิตที่เขาแนะนำให้ยูเดมัสรู้จักในเอเฟซัสและฟิโลนิดีสก็กลายเป็นศิษย์ของยูเดมัส ฟิโลนิดีสอาศัยอยู่ส่วนใหญ่ในซีเรียในช่วงครึ่งแรกของศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช ยังไม่เป็นที่แน่ชัดว่าการพบปะครั้งนี้บ่งชี้ว่าอพอลโลนิอุสอาศัยอยู่ในเอเฟซัสหรือไม่ ชุมชนปัญญาชนในแถบเมดิเตอร์เรเนียนมีลักษณะเป็นสากล และนักวิชาการใน "ยุคทองของคณิตศาสตร์" นี้ต่างแสวงหางานในระดับนานาชาติ เยี่ยมเยียนกัน อ่านงานของกันและกัน ให้คำแนะนำ แนะนำนักเรียน และติดต่อสื่อสารกันผ่านบริการไปรษณีย์บางประเภท จดหมายที่หลงเหลืออยู่มีอยู่มากมาย

คำนำของหนังสือเล่มที่ 3 หายไป และในช่วงเวลานั้น ยูเดมัสเสียชีวิต อพอลโลนิอุสกล่าวไว้ในคำนำของหนังสือเล่มที่ 4 คำนำของหนังสือเล่มที่ 4-7 มีลักษณะเป็นทางการมากกว่า เป็นเพียงบทสรุปโดยละเว้นข้อมูลส่วนบุคคล ทั้งสี่เล่มเขียนถึงอัตตาลัสผู้ลึกลับ ซึ่งอพอลโลนิอุสกล่าวว่าเป็นการเลือก "เพราะความปรารถนาอย่างแรงกล้าของคุณที่จะครอบครองผลงานของข้าพเจ้า" สันนิษฐานได้ว่าอัตตาลัสมีความสำคัญถึงขนาดที่ต้องได้รับต้นฉบับ ของอพอลโลนิอุส ทฤษฎีหนึ่งกล่าวว่าอัตตาลัสคืออัตตาลัสที่ 2 ฟิลาเดลฟัส (220–138 ปีก่อนคริสตกาล) แม่ทัพและผู้ปกป้องเมืองเปอร์กามอน ซึ่งมีพี่ชายคือยูเมเนสที่ 2เป็นกษัตริย์ และได้เป็นผู้ร่วมปกครองหลังจากพี่ชายป่วยในปี 160 ปีก่อนคริสตกาล และขึ้นครองราชย์ในปี 158 ปีก่อนคริสตกาล พี่น้องทั้งสองเป็นผู้อุปถัมภ์ศิลปะ และขยายห้องสมุดให้ยิ่งใหญ่ระดับนานาชาติ แอตทาลัสเป็นคนร่วมสมัยของฟิโลไนด์ และแรงจูงใจของอพอลโลเนียสสอดคล้องกับความคิดริเริ่มในการสะสมหนังสือของแอตทาลัส

ในคำนำบทที่ 7 อพอลโลนิอุสได้บรรยายถึงหนังสือเล่มที่ 8 ว่าเป็น "ภาคผนวก...ซึ่งข้าพเจ้าจะดูแลส่งให้ท่านโดยเร็วที่สุด" ไม่มีบันทึกว่ามีการส่งไปจริงหรือไม่ และอพอลโลนิอุสอาจเสียชีวิตไปก่อนที่จะเขียนเสร็จ อย่างไรก็ตาม ปัปปัสแห่งอเล็กซานเดรียได้ให้ตัวอย่างศัพท์สำหรับหนังสือเล่มนี้ ดังนั้นจึงต้องมีการเผยแพร่ในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งอย่างแน่นอน

ตำรา เรขาคณิตภาคตัดกรวยฉบับภาษากรีกใช้ การจัดเรียงแบบ ยุคลิดของคำจำกัดความ รูปทรง และส่วนประกอบต่างๆ กล่าวคือ “สิ่งที่กำหนดให้” ตามด้วยข้อเสนอ “ที่จะต้องพิสูจน์” หนังสือเล่มที่ 1-7 นำเสนอข้อเสนอ 387 ข้อ การจัดเรียงแบบนี้สามารถพบได้ในตำราเรขาคณิตสมัยใหม่ทั่วไปที่มีเนื้อหาแบบดั้งเดิม เช่นเดียวกับวิชาคณิตศาสตร์อื่นๆ เนื้อหาค่อนข้างหนาแน่นและการพิจารณาจึงต้องใช้เวลา อพอลโลนิอุสมีแผนสำหรับแต่ละเล่ม ซึ่งอธิบายไว้บางส่วนในคำนำหัวข้อหรือตัวชี้ไปยังแผนนั้นค่อนข้างขาดหายไป เนื่องจากอพอลโลนิอุสพึ่งพาการไหลของตรรกะของหัวข้อมากกว่า

เล่ม 1

หนังสือเล่มที่ 1 นำเสนอข้อเสนอ 58 ข้อ เนื้อหาที่สำคัญที่สุดคือคำจำกัดความพื้นฐานทั้งหมดเกี่ยวกับกรวยและภาคตัดกรวย คำจำกัดความเหล่านี้ไม่เหมือนกับคำจำกัดความสมัยใหม่ของคำเดียวกันเสียทีเดียวในทางนิรุกติศาสตร์คำสมัยใหม่มีที่มาจากคำโบราณ แต่รากศัพท์มักมีความหมายแตกต่างจากความหมายที่สะท้อนออกมา

พื้นผิวทรงกรวยเกิดจาก การหมุน ส่วนของเส้นตรงรอบ จุด แบ่งครึ่ง โดยที่จุดปลายทั้งสองจะลากเป็นวงกลม แต่ละวงใน ระนาบของตัวเองกรวยซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของพื้นผิวทรงกรวยคู่ คือพื้นผิวที่มีจุด ( จุดยอดหรือจุดยอด ) วงกลม ( ฐาน ) และแกน ซึ่งเป็นเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างจุดยอดและจุดศูนย์กลางของฐาน

ส่วนตัด(ภาษาละตินsectio , ภาษากรีกtome ) คือ "การตัด" กรวยในจินตนาการด้วยระนาบ

• ข้อเสนอที่ 1.3: “ถ้ากรวยถูกตัดด้วยระนาบที่ผ่านจุดยอด ภาคตัดจะเป็นรูปสามเหลี่ยม” ในกรณีของกรวยคู่ ภาคตัดจะเป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูป โดยที่มุมที่จุดยอดเป็นมุมตรงข้ามกัน
• ข้อเสนอ I.4 ระบุว่าส่วนตัดของกรวยที่ขนานกับฐานจะเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่บนแกน^{[ b ]}
• ข้อเสนอ I.13 นิยามวงรี ซึ่งถูกมองว่าเป็นการตัดกรวยเดี่ยวด้วยระนาบที่เอียงทำมุมกับระนาบฐาน และตัดกับระนาบฐานเป็นเส้นตรงตั้งฉากกับเส้นผ่านศูนย์กลางที่ต่อจากฐานออกไปนอกกรวย (ไม่ได้แสดงในภาพ) มุมของระนาบเอียงต้องมากกว่าศูนย์ มิฉะนั้นส่วนที่ตัดจะเป็นวงกลม มุมของระนาบเอียงต้องน้อยกว่ามุมฐานที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมแกน ซึ่งในกรณีนี้รูปทรงจะกลายเป็นพาราโบลา
• ข้อเสนอ I.11 กำหนดพาราโบลา ระนาบของพาราโบลาจะขนานกับด้านใดด้านหนึ่งในพื้นผิวกรวยของสามเหลี่ยมแกน
• ข้อเสนอ I.12 กำหนดไฮเปอร์โบลา ระนาบของมันขนานกับแกน มันตัดกรวยทั้งสองของคู่ ทำให้เกิดกิ่งแยกสองกิ่งที่แตกต่างกัน (แสดงไว้เพียงกิ่งเดียว)

“การประยุกต์ใช้พื้นที่” โดยนัยถามถึงพื้นที่และส่วนของเส้นตรงที่กำหนด พื้นที่นี้ใช้ได้หรือไม่ กล่าวคือ เท่ากับกำลังสองของส่วนของเส้นตรงนั้นหรือไม่ ถ้าใช่ ความสามารถในการประยุกต์ (พาราโบลา) ก็ได้รับการพิสูจน์แล้ว อพอลโลนิอุสทำตามยูคลิดโดยถามว่าสี่เหลี่ยมผืนผ้าบนแกนabscissaของจุดใดๆ บนส่วนตัดนั้นใช้กับกำลังสองของแกนordinate ได้หรือ ไม่ ^{[ 7 ]}ถ้าใช้ได้ สมการคำพูดของเขาเทียบเท่ากับ$y² = kx$ซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของสมการสมัยใหม่สำหรับพาราโบลาสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีด้านต่างๆ${\displaystyle k}$และ${\displaystyle x}$เขาจึงเป็นผู้ตั้งชื่อรูปทรงดังกล่าวว่า พาราโบลา ซึ่งมีความหมายว่า "การประยุกต์ใช้"

กรณี "ไม่สามารถใช้งานได้" นั้นแบ่งออกเป็นสองความเป็นไปได้เพิ่มเติม โดยกำหนดฟังก์ชันมาให้แล้ว${\textstyle f(x)}$ดังนั้น ในกรณีที่สามารถนำไปใช้ได้นั้น${\textstyle y^{2}=g(x)}$ในกรณีที่ไม่มีผลบังคับใช้ ก็อาจเป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง${\textstyle y^{2}>g(x)}$หรือ${\textstyle y^{2}<g(x)}$ในกรณีแรกนั้น${\displaystyle g(x)}$ต่ำกว่าเกณฑ์${\textstyle y^{2}}$โดยปริมาณที่เรียกว่าจุดไข่ปลาหรือ "การขาดดุล" ในกรณีหลังนี้${\displaystyle g(x)}$เกินไปกว่าความเป็นจริงด้วยปริมาณที่เรียกว่า " ส่วนเกิน " (surfeit)

การนำไปใช้งานสามารถทำได้โดยการเพิ่มส่วนที่ขาดหายไป${\textstyle y^{2}=f(x)=g(x)+d,}$หรือหักส่วนเกินออกไป${\displaystyle g(x)-s.}$รูปทรงที่ชดเชยการขาดแคลนเรียกว่าวงรี ส่วนรูปทรงที่ชดเชยส่วนเกินเรียกว่าไฮเปอร์โบลา^{[ c ]}เงื่อนไขของสมการสมัยใหม่ขึ้นอยู่กับการเลื่อนและการหมุนของรูปทรงจากจุดกำเนิด แต่สมการทั่วไปสำหรับวงรี

${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}=C}$

สามารถใส่ลงในแบบฟอร์มได้

${\displaystyle y^{2}=\left|{\frac {A}{B}}x^{2}\right|+{\frac {C}{B}}}$

ที่ไหน${\displaystyle C/B}$คือค่าขาดดุล ในขณะที่สมการสำหรับไฮเปอร์โบลา

${\displaystyle Ax^{2}-By^{2}=C}$

กลายเป็น

${\displaystyle y^{2}=\left|{\frac {A}{B}}x^{2}\right|-{\frac {C}{B}}}$

ที่ไหน${\displaystyle C/B}$คือส่วนเกิน^{[ d ]}

การตัดอัตราส่วนนั้นมุ่งแก้ปัญหาง่ายๆ ดังนี้: กำหนดเส้นตรงสองเส้นและจุดหนึ่งจุดในแต่ละเส้น ลากเส้นตรงผ่านจุดที่สามที่กำหนด ตัดเส้นตรงสองเส้นที่คงที่ โดยที่ส่วนที่ถูกตัดระหว่างจุดที่กำหนดในเส้นตรงเหล่านั้นและจุดตัดกับเส้นตรงที่สามนี้ อาจมีอัตราส่วนที่กำหนด^{[ 8 ]}

เอกสารต้นฉบับภาษาอาหรับที่ยังไม่ได้รับการตีพิมพ์ในห้องสมุดบอดเลียน มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด ชื่อว่า "การตัดอัตราส่วน" (Cutting off a Ratio)ถูกค้นพบและแปลบางส่วนโดยเอ็ดเวิร์ด เบอร์นาร์ดแต่ถูกขัดจังหวะด้วยการเสียชีวิตของเขา ต่อมาเอกสารนี้ถูกมอบให้แก่เอ็ดมอนด์ ฮัลลีย์ศาสตราจารย์ นักดาราศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ และนักสำรวจ ซึ่ง ต่อมา ดาวหางฮัลลีย์ได้รับการตั้งชื่อตามเขา แต่เนื่องจากไม่สามารถถอดรหัสข้อความที่เสียหายได้ เขาจึงละทิ้งมันไป หลังจากนั้นเดวิด เกรกอรี (นักคณิตศาสตร์)ได้บูรณะภาษาอาหรับให้แก่เฮนรี อัลดริชซึ่งได้มอบเอกสารนี้ให้แก่ฮัลลีย์อีกครั้ง ผู้เขียนต้นฉบับภาษาอาหรับนั้นไม่เป็นที่รู้จัก แต่จากคำกล่าวที่ว่าเอกสารนี้เขียนขึ้นภายใต้ "การอุปถัมภ์" ของอัล-มามูน (Al-Ma'mun) นักดาราศาสตร์และกาหลิบแห่งแบกแดด ในปี 825 ฮัลลีย์จึงกำหนดวันที่เขียนเอกสารนี้ไว้ที่ปี 820 ในหนังสือ "Praefatio ad Lectorem" ของเขา

นอกจากเรื่องConics and Cutting of a Ratio แล้ว ปัปปัสยังกล่าวถึงตำราอื่นๆ ของอพอลโลนิอุสอีกด้วย:

• การตัดพื้นที่ ( กรีกโบราณ: Χωρίου ἀποτομή , ละติน: De Spatii Sectione )
• กำหนดมาตรา ( กรีกโบราณ: Διωρισμένη τομή , ละติน: De Sectione กำหนด )
• การสัมผัส ( ภาษากรีกโบราณ: Ἐπαφαί , ภาษาละติน: De Tactionibus ) ^{[ 13 ]}
• นอยซิส ( กรีกโบราณ: Νεύσεις , ละติน: De Inclinationibus )
• เครื่องบินโลซี ( กรีกโบราณ: Τόποι ἐπίπεδοι , ละติน: De Locis Planis )

แต่ละเล่มเหล่านี้ถูกแบ่งออกเป็นสองเล่ม และ—พร้อมกับข้อมูล โพริ สซึมและตำแหน่งพื้นผิวของยูคลิดและภาคตัดกรวยของอพอลโลเนียส—ถูกรวมอยู่ในเนื้อหาของการวิเคราะห์โบราณตามที่ปัปปัสกล่าว^{[ 8 ]}คำอธิบายต่อไปนี้เป็นผลงานทั้งหกที่กล่าวถึงข้างต้น

นักเขียนโบราณกล่าวถึงผลงานอื่นๆ ของอพอลโลนิอุสที่ปัจจุบันไม่หลงเหลืออยู่แล้ว:

• Περὶ τοῦ πυρίου, บนกระจกที่กำลังลุกไหม้ , บทความที่อาจสำรวจคุณสมบัติโฟกัสของพาราโบลา
• Περὶ τοῦ κοχлίου, บนเกลียวทรงกระบอก (กล่าวถึงโดย Proclus)
• การเปรียบเทียบทรงสิบสองเหลี่ยมและทรงยี่สิบเหลี่ยมที่บรรจุอยู่ในทรงกลมเดียวกัน
• Ἡ καθόλου πραγματεία, งานเกี่ยวกับหลักการทั่วไปของคณิตศาสตร์ที่อาจรวมถึงการวิพากษ์วิจารณ์และข้อเสนอแนะของ Apollonius สำหรับการปรับปรุงองค์ประกอบ ของ Euclid
• Ὠκυτόκιον ("การนำมาซึ่งกำเนิดอย่างรวดเร็ว") ซึ่งตามคำกล่าวของยูโทเซียส อพอลโลนิอุสได้แสดงให้เห็นถึงวิธีการหาขอบเขตที่แคบกว่าสำหรับค่าของπเมื่อเทียบกับของ อา ร์ คิ มิดีสซึ่งคำนวณได้ว่าขอบเขตบนคือ3 + 1/7 และ ขอบเขตล่างคือ 3 + 10/71
• งานทางคณิตศาสตร์ที่ปัปปัส กล่าวถึง คือระบบที่ใช้ในการแสดงตัวเลขขนาดใหญ่ด้วยภาษาที่เข้าใจง่ายกว่าเครื่องคำนวณทราย ของอาร์คิมิดีส และระบบที่ใช้ในการคูณตัวเลขขนาดใหญ่เหล่านั้นด้วย
• การขยายทฤษฎีจำนวนอตรรกยะที่อธิบายไว้ในยูคลิด เล่มที่ 10 อย่างมาก จากทวินามไปสู่พหุนาม และจากจำนวนอตรรกยะเรียงลำดับไปสู่ จำนวนอตรรกยะ ไม่เรียงลำดับ (ดูข้อความที่ตัดตอนมาจากคำอธิบายของ Pappus เกี่ยวกับยูคลิด เล่มที่ 10 ซึ่งเก็บรักษาไว้ในภาษาอาหรับและตีพิมพ์โดยWoepkeในปี 1856) ^{[ 8 ]}

ความเท่าเทียมกันของคำอธิบายการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์สองแบบ แบบหนึ่งใช้ค่าความเยื้องศูนย์ และอีกแบบใช้ค่าความเยื้องศูนย์และวงโคจรย่อย นั้น เป็นผลงานของอพอลโลนิอุส ส่วนปโตเลมีได้อธิบายความเท่าเทียมกันนี้ไว้ในหนังสืออัลมาเกสต์

Heath ใช้คำว่าพีชคณิตเชิงเรขาคณิตสำหรับวิธีการของยุคทองทั้งหมด^{[ h ]}คำนี้ได้รับการกำหนดโดยHenry Burchard Fineในปี 1890 หรือก่อนหน้านั้น ซึ่งเขาได้นำไปใช้กับLa GéométrieของRené Descartesซึ่งเป็นงานเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ ชิ้นแรกที่สมบูรณ์ แบบ^{[ 16 ]}โดยกำหนดเป็นเงื่อนไขเบื้องต้นว่า “พีชคณิตสองแบบจะเหมือนกันอย่างเป็นทางการเมื่อการดำเนินการพื้นฐานเหมือนกันอย่างเป็นทางการ” Fine กล่าวว่างานของ Descartes “ไม่ใช่ ...พีชคณิตเชิงตัวเลขธรรมดา แต่เป็นสิ่งที่อาจเรียกได้ว่าพีชคณิตของส่วนของเส้นตรงหากไม่มีชื่อที่ดีกว่า สัญลักษณ์ของมันเหมือนกับของพีชคณิตเชิงตัวเลข ...”

ตัวอย่างเช่น ในระบบเลขคณิต Apollonius ส่วนของเส้นตรง AB (เส้นตรงระหว่างจุด A และจุด B) ก็คือความยาวเชิงตัวเลขของส่วนของเส้นตรงนั้น มันสามารถมีความยาวเท่าใดก็ได้ ดังนั้น AB จึงกลายเป็นเหมือนตัวแปรทางพีชคณิตเช่นx (ตัวแปรที่ไม่ทราบค่า) ซึ่งสามารถกำหนดค่าใดๆ ก็ได้ เช่นx = 3

ในพีชคณิตของอพอลโลเนียส ตัวแปรถูกกำหนดด้วยข้อความ เช่น “ให้ AB เป็นระยะทางจากจุดใดๆ บนภาคตัดขวางไปยังเส้นผ่านศูนย์กลาง” ซึ่งเป็นวิธีการที่ยังคงใช้ในพีชคณิตในปัจจุบัน นักเรียนทุกคนที่เรียนพีชคณิตพื้นฐานต้องเรียนรู้วิธีแปลง “โจทย์ปัญหา” ให้เป็นตัวแปรและสมการพีชคณิต ซึ่งกฎของพีชคณิตจะนำมาใช้ในการแก้หาค่าxแต่ในพีชคณิตของอพอลโลเนียสไม่มีกฎเช่นนั้น วิธีแก้ปัญหาของเขาจึงเป็นแบบเรขาคณิต

ความสัมพันธ์ที่ไม่สามารถแสดงออกมาในรูปภาพประกอบได้โดยง่ายนั้นอยู่นอกเหนือความเข้าใจของเขา อย่างไรก็ตาม คลังภาพประกอบที่เขาใช้แก้ปัญหานั้นมาจากชุดวิธีแก้ปัญหาทางเรขาคณิตที่ซับซ้อน ซึ่งโดยทั่วไปแล้วไม่เป็นที่รู้จัก (หรือไม่จำเป็นต้องใช้) ในปัจจุบัน ข้อยกเว้นที่รู้จักกันดีอย่างหนึ่งคือทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งแม้กระทั่งในปัจจุบันก็ยังคงแสดงด้วยรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ด้านข้าง เพื่อแสดงนิพจน์เช่น^a² + b² ⁼ c² ^นักเรขาคณิตชาวกรีกเรียกพจน์เหล่านั้นว่า "สี่เหลี่ยมจัตุรัสบน AB" เป็นต้น ในทำนองเดียวกัน พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เกิดจาก AB และ CD ก็คือ "สี่เหลี่ยมผืนผ้าบน AB และ CD"

แนวคิดเหล่านี้ทำให้นักเรขาคณิตชาวกรีกสามารถเข้าถึงฟังก์ชันเชิงเส้นและฟังก์ชันกำลังสอง ได้ด้วยวิธีทางพีชคณิต ซึ่งฟังก์ชันกำลังสองเหล่านี้ก็คือภาคตัดกรวยนั่นเอง ฟังก์ชันเหล่านี้มีกำลังของ 1 หรือ 2 ตามลำดับ อพอลโลนิอุสไม่ได้ให้ความสำคัญกับลูกบาศก์มากนัก (ซึ่งพบได้ในเรขาคณิตทรงสามมิติ ) แม้ว่ากรวยจะเป็นทรงสามมิติก็ตาม ความสนใจของเขาอยู่ที่ภาคตัดกรวย ซึ่งเป็นรูปทรงเรขาคณิตบนระนาบ กำลังของ 4 ขึ้นไปนั้นเกินกว่าจะมองเห็นได้ด้วยตาเปล่า ต้องใช้ระดับของนามธรรมที่ไม่สามารถหาได้ในเรขาคณิต แต่มีอยู่ในพีชคณิต

การวัดความยาวทั่วไปในหน่วยสาธารณะ เช่น นิ้ว โดยใช้อุปกรณ์สาธารณะมาตรฐาน เช่น ไม้บรรทัด บ่งบอกถึงการยอมรับในที่สาธารณะของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนนั่นคือ พื้นผิวที่แบ่งออกเป็นช่องสี่เหลี่ยมหน่วย เช่น หนึ่งตารางนิ้ว และพื้นที่ที่แบ่งออกเป็นลูกบาศก์หน่วย เช่น หนึ่งลูกบาศก์นิ้วหน่วยวัดของชาวกรีกโบราณได้จัดเตรียมระบบพิกัดดังกล่าวให้กับนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกมาตั้งแต่ยุคสำริด ก่อนหน้าอพอลโลนิ อุส เมนาเอคมัสและอาร์คิมิดีสได้เริ่มกำหนดตำแหน่งของตัวเลขของพวกเขาบนหน้าต่างโดยนัยของระบบพิกัดทั่วไปโดยอ้างอิงถึงระยะทางที่คิดว่าวัดจากเส้นแนวตั้งด้านซ้ายที่ทำเครื่องหมายการวัดต่ำและเส้นแนวนอนด้านล่างที่ทำเครื่องหมายการวัดต่ำ โดยทิศทางเป็นเส้นตรงหรือตั้งฉากกัน^{[ 17 ]}ขอบของหน้าต่างเหล่านี้กลายเป็นแกนในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนเรากำหนดระยะทางเส้นตรงของจุดใด ๆ จากแกนเป็นพิกัดชาวกรีกโบราณไม่มีธรรมเนียมนั้น พวกเขาเพียงแค่อ้างอิงถึงระยะทาง

อพอลโลนิอุสมีหน้าต่างมาตรฐานที่เขาใช้ในการวางรูปทรงต่างๆ การวัดแนวตั้งจะวัดจากเส้นแนวนอนที่เขาเรียกว่า "เส้นผ่านศูนย์กลาง" คำนี้ในภาษากรีกเหมือนกับในภาษาอังกฤษ แต่ภาษากรีกมีความเข้าใจที่กว้างกว่าเล็กน้อย^{[ 18 ]} หากรูปทรงของภาคตัดกรวยถูกตัดด้วยเส้นขนาน เส้นผ่านศูนย์กลางจะแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงทั้งหมดที่อยู่ระหว่างกิ่งของรูปทรงนั้น มันต้องผ่านจุดยอด (koruphe, "มงกุฎ") ดังนั้นเส้นผ่านศูนย์กลางจึงครอบคลุมรูปทรงเปิด เช่น พาราโบลา เช่นเดียวกับรูปทรงปิด เช่น วงกลม ไม่มีข้อกำหนดว่าเส้นผ่านศูนย์กลางจะต้องตั้งฉากกับเส้นขนาน แต่อพอลโลนิอุสใช้เฉพาะเส้นตรงเท่านั้น

ระยะทางเชิงเส้นตรงจากจุดบนหน้าตัดไปยังเส้นผ่านศูนย์กลางเรียกว่า tetagmenos ในภาษากรีก ซึ่งตามรากศัพท์แล้วหมายถึง "ขยาย" เนื่องจากระยะทางนี้ขยายออกไปได้เพียง "ลง" (kata-) หรือ "ขึ้น" (ana-) เท่านั้น ผู้แปลจึงตีความว่าordinateในกรณีนี้ เส้นผ่านศูนย์กลางจะกลายเป็นแกน x และจุดยอดจะกลายเป็นจุดกำเนิด แกน y จะกลายเป็นเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งที่จุดยอด ส่วนabscissaจะถูกกำหนดให้เป็นส่วนของเส้นผ่านศูนย์กลางระหว่าง ordinate กับจุดยอด

โดยใช้ระบบพิกัดในแบบของเขาเอง อพอลโลนิอุสสามารถพัฒนาสมการทางเรขาคณิตของภาคตัดกรวยออกมาในรูปแบบภาพ ซึ่งทำให้เกิดคำถามว่าระบบพิกัดของเขาสามารถถือว่าเป็นระบบคาร์ทีเซียนได้หรือไม่ มีความแตกต่างอยู่บ้าง ระบบคาร์ทีเซียนถือเป็นระบบสากล ครอบคลุมรูปทรงทั้งหมดในทุกพื้นที่ที่ใช้ก่อนการคำนวณใดๆ ประกอบด้วยสี่ส่วนแบ่งโดยแกนสองแกนที่ตัดกัน สามส่วนนั้นรวมถึงพิกัดลบ ซึ่งหมายถึงทิศทางตรงข้ามกับแกนอ้างอิงศูนย์

Apollonius ไม่มีจำนวนลบ ไม่มีจำนวนสำหรับศูนย์อย่างชัดเจน และไม่ได้พัฒนาระบบพิกัดโดยอิสระจากภาคตัดกรวย เขาทำงานโดยพื้นฐานแล้วเฉพาะในควอดแรนต์ที่ 1 ซึ่งเป็นพิกัดบวกทั้งหมด Carl Boyer นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์สมัยใหม่จึงกล่าวว่า: ^{[ 19 ]}

อย่างไรก็ตาม พีชคณิตเชิงเรขาคณิตของกรีกไม่ได้รองรับค่าลบ ยิ่งไปกว่านั้น ระบบพิกัดในทุกกรณีจะถูกวางซ้อนทับลงบนเส้นโค้งที่กำหนดในภายหลังเพื่อศึกษาคุณสมบัติของมัน... อพอลโลนิอุส นักเรขาคณิตที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในสมัยโบราณ ล้มเหลวในการพัฒนาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์...

อย่างไรก็ตาม ตามที่บอยเออร์กล่าว การพิจารณาเส้นโค้งของอพอลโลเนียสมีความคล้ายคลึงกับการพิจารณาแบบสมัยใหม่ในบางแง่มุม และงานของเขายังดูเหมือนจะคาดการณ์ถึงเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ได้ อีกด้วย ^{[ 19 ]} อพอลโลเนียสอยู่ในตำแหน่งกึ่งกลางระหว่างระบบกริดของการวัดแบบดั้งเดิมและระบบพิกัดคาร์ทีเซียน ที่พัฒนาอย่างสมบูรณ์ ของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ ในการอ่านงานของอพอลโลเนียส เราต้องระมัดระวังอย่าให้ความหมายตามแบบสมัยใหม่สำหรับคำศัพท์ของเขา

Apollonius ใช้ "ทฤษฎีสัดส่วน" ตามที่แสดงไว้ในElementsของEuclidเล่ม 5 และ 6 ทฤษฎีนี้คิดค้นโดยEudoxus แห่ง Cnidusซึ่งอยู่ระหว่างวิธีการทางกราฟิกล้วนๆ กับทฤษฎีจำนวนสมัยใหม่ ระบบเลขฐานสิบมาตรฐานยังขาดอยู่ เช่นเดียวกับการจัดการเศษส่วนที่เป็นมาตรฐาน อย่างไรก็ตาม ข้อเสนอเหล่านี้แสดงกฎสำหรับการจัดการเศษส่วนในทางเลขคณิตด้วยคำพูด Heath เสนอว่าข้อเสนอเหล่านี้ใช้แทนการคูณและการหาร^{[ 20 ]}

ยูโดซัสหวังที่จะสื่อความหมายของคำว่า “ขนาด” มากกว่าแค่ตัวเลข แต่หมายถึงความรู้สึกทั่วไปของขนาด ซึ่งเป็นความหมายที่ยังคงใช้มาจนถึงปัจจุบัน ในส่วนของรูปทรงเรขาคณิตในตำราของยูคลิดนั้น มักหมายถึงตัวเลข ซึ่งเป็นแนวทางของพีทาโกรัสพีทาโกรัสเชื่อว่าจักรวาลสามารถอธิบายได้ด้วยปริมาณ ซึ่งความเชื่อนี้ได้กลายเป็นหลักการทางวิทยาศาสตร์ในปัจจุบัน หนังสือเล่มที่ 5 ของยูคลิดเริ่มต้นด้วยการยืนยันว่า ขนาด (megethos, “ขนาด”) ต้องหารลงตัวด้วยหน่วย (meros, “ส่วน”) ดังนั้น ขนาดจึงเป็นพหุคูณของหน่วย หน่วยเหล่านั้นไม่จำเป็นต้องเป็นหน่วยวัดมาตรฐาน เช่น เมตรหรือฟุต หน่วยหนึ่งอาจเป็นส่วนของเส้นตรงใดๆ ก็ได้

ต่อไปนี้คือคำจำกัดความพื้นฐานที่มีประโยชน์ที่สุดเท่าที่เคยคิดค้นมาในวิทยาศาสตร์: อัตราส่วน (ภาษากรีกlogosซึ่งหมายถึง "คำอธิบาย" โดยประมาณ) คือข้อความแสดงขนาดสัมพัทธ์ ยกตัวอย่างเช่น ขนาดสองค่า ส่วนของเส้นตรง AB และ CD อัตราส่วนของ AB ต่อ CD โดยที่ CD ถือเป็นหน่วย คือจำนวนของ CD ใน AB ตัวอย่างเช่น 3 ส่วนของ 4 หรือ 60 ส่วนต่อล้านส่วน ( ppm) ซึ่ง ยังคงใช้คำว่า "ส่วน" อยู่ อัตราส่วนเป็นพื้นฐานของเศษส่วนสมัยใหม่ ซึ่งยังคงหมายถึง "ส่วน" หรือ "เศษ" มาจากรากศัพท์ภาษาละตินเดียวกันกับคำว่า fracture อัตราส่วนเป็นพื้นฐานของการทำนายทางคณิตศาสตร์ในโครงสร้างเชิงตรรกะที่เรียกว่า "สัดส่วน" (ภาษากรีก analogos) สัดส่วนระบุว่า ถ้าส่วนของเส้นตรงสองส่วน AB และ CD มีอัตราส่วนเดียวกันกับส่วนของเส้นตรงอีกสองส่วน EF และ GH แล้ว AB และ CD จะเป็นสัดส่วนกับ EF และ GH หรือดังที่ยูคลิดกล่าวไว้ว่า AB ต่อ CD เท่ากับ EF ต่อ GH

พีชคณิตลดทอนแนวคิดทั่วไปนี้ให้เหลือเพียงนิพจน์ AB/CD = EF/GH เมื่อทราบค่าสามค่าใดๆ ก็สามารถคำนวณค่าที่สี่ได้ เมื่อจัดเรียงสมการข้างต้นใหม่ จะได้ AB = (CD/GH)•EF ซึ่งเมื่อแสดงในรูป y = kx แล้ว CD/GH จะเรียกว่า “ค่าคงที่สัดส่วน” ชาวกรีกไม่มีปัญหาในการคูณพหุคูณ (ภาษากรีก pollaplasiein) มากนัก อาจโดยการบวกต่อเนื่องกัน

Apollonius ใช้สัดส่วนของส่วนของเส้นตรงและพื้นที่เกือบทั้งหมด ซึ่งกำหนดโดยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้า ผู้แปลได้ดำเนินการใช้สัญกรณ์โคลอนที่ Leibniz นำมาใช้ในActa Eruditorum , 1684 ^{[ 21 ]}นี่คือตัวอย่างจากConics , เล่ม 1, เกี่ยวกับข้อเสนอที่ 11:

การแปลตามตัวอักษรจากภาษากรีก: จงจัดให้สี่เหลี่ยมจัตุรัสของ BC มีความสัมพันธ์กับสี่เหลี่ยมผืนผ้าของ BAC ในลักษณะเดียวกับที่ FH มีความสัมพันธ์กับ FA

คำแปลของ Taliaferro: “ให้มีการจัดเตรียมว่า สี่เหลี่ยมจัตุรัส BC  : สี่เหลี่ยมจัตุรัส BA.AC  :: FH  : FA”

ค่าเทียบเท่าทางพีชคณิต: BC ² /BA•BC = FH/FA

ในศตวรรษที่ 4 เซเรนัสแห่งแอนติโนโอโพลิสได้เขียนคำอธิบายเกี่ยวกับภาคตัดกรวยซึ่งปัจจุบันสูญหายไปแล้ว พร้อมกับงานเขียนขนาดสั้นอีกสองชิ้นที่ยังคงหลงเหลืออยู่เกี่ยวกับบางส่วนของภาคตัดกรวย ได้แก่เรื่องภาคตัดของทรงกระบอกและเรื่องภาคตัดของทรงกรวย

ในศตวรรษที่ 6 ยูโทเซียสแห่งอัสคาลอนได้เขียนคำอธิบายเกี่ยวกับ หนังสือ Conicsเล่มที่ 1-4 ซึ่งยังคงหลงเหลืออยู่จนถึงปัจจุบัน

ในศตวรรษที่ 9 บานู มูซาได้มอบหมายให้แปลConicsเป็น ภาษาอาหรับ ^{[ 4 ]}

หนังสือ Conics ของ Apollonius เล่มที่ 1-4 พิมพ์เป็นภาษาละตินครั้งแรกในปี 1566 ในปี 1626 Jacobus Goliusค้นพบสำเนาที่ยังหลงเหลืออยู่ของการแปลภาษาอาหรับของหนังสือเล่มที่ 5-6 ซึ่งในที่สุดก็ถูกบริจาคให้กับห้องสมุด Bodleian (เดิมเป็น MS Marsh 607 ลงวันที่ 1070) ^{[ 22 ]}ด้วยความสำเร็จจากการแปลข้อความภาษาอาหรับที่แก้ไขแล้วของ David Gregory เรื่องCutting off a Ratioซึ่งตีพิมพ์ในปี 1706 Halley จึงได้ดำเนินการบูรณะและแปลConics ของ Apollonius ทั้งหมดเป็นภาษาละติน รวมถึงการสร้างหนังสือเล่มที่ 8 ขึ้นใหม่จากบทสรุปของ Pappus ในงานของ Halley หนังสือเล่มที่ 1-4 ปรากฏโดยมีภาษากรีกอยู่ในคอลัมน์หนึ่งและภาษาละตินของ Halley อยู่ในคอลัมน์คู่ขนาน ในขณะที่มีเพียงการแปลภาษาละตินของหนังสือเล่มที่ 5-72 เท่านั้นที่ปรากฏ การสร้างใหม่ของ Halley พิมพ์เป็นภาษาละติน

ในช่วงศตวรรษที่ 16-18 มีงานเขียนเกี่ยวกับภาคตัดกรวยเป็นภาษาอังกฤษค่อนข้างจำกัด เนื่องจากนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ เช่น เอ็ดมันด์ ฮัลลีย์ และไอแซค นิวตัน นิยมใช้ภาษาละตินใหม่มากกว่าในศตวรรษต่อมา เรขาคณิตได้รับการฟื้นฟูโดยใช้พิกัด ( เรขาคณิตวิเคราะห์ ) และวิธีการสังเคราะห์ก็ไม่เป็นที่นิยมอีกต่อไป ดังนั้น อิทธิพลโดยตรง ของภาคตัดกรวยต่อการวิจัยทางคณิตศาสตร์จึงลดลง

การนำเสนอที่เขียนด้วยภาษาอังกฤษโดยสมบูรณ์เริ่มขึ้นในปลายศตวรรษที่ 19

• การแปล Treatise on Conic Sectionsของ Thomas Heath ในปี 1896 คำอธิบายเบื้องต้นของเขารวมถึงรายการต่างๆ เช่น พจนานุกรมศัพท์เรขาคณิตของ Apollonian ที่ให้คำภาษากรีก ความหมาย และการใช้งาน Heath ยังได้ปรับเปลี่ยนการจัดระเบียบของข้อความและเพิ่มสัญลักษณ์สมัยใหม่^{[ 23 ]}
• ในปี ค.ศ. 1941 ไอวอร์ โทมัสได้แปลส่วนต่างๆ ของ หนังสือ Conicsเล่ม 1 ที่กำหนดนิยามของภาคตัดกรวย ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของหนังสือคณิตศาสตร์กรีกโบราณฉบับ สองเล่มที่เขาจัดพิมพ์ สำหรับสำนักพิมพ์ Loeb Classical Library
• R. Catesby Taliaferro แปลตำรา Conics ในปี 1952 ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของชุด หนังสือ Great Books of the Western Worldของสารานุกรม Britannica โดยมีเพียงเล่มที่ 1-3 เท่านั้น พร้อมภาคผนวกสำหรับหัวข้อพิเศษ (การแปลเล่มที่ 4 ของ Conics โดย Michael N. Fried จัดทำขึ้นในปี 2002) แตกต่างจาก Heath Taliaferro ไม่ได้พยายามจัดระเบียบ Apollonius ใหม่ แม้แต่เพียงผิวเผิน หรือเขียนใหม่ การแปลเป็นภาษาอังกฤษสมัยใหม่ของเขาค่อนข้างใกล้เคียงกับต้นฉบับภาษากรีก อย่างไรก็ตาม เขาใช้สัญลักษณ์ทางเรขาคณิตสมัยใหม่ในระดับหนึ่ง