ในทางคณิตศาสตร์กระบวนการออร์นสไตน์-อูห์เลนเบ็ค (Ornstein–Uhlenbeck process)เป็นกระบวนการสุ่มที่มีการประยุกต์ใช้ในคณิตศาสตร์การเงินและวิทยาศาสตร์กายภาพ การประยุกต์ใช้ดั้งเดิมในฟิสิกส์คือการใช้เป็นแบบจำลองสำหรับความเร็วของอนุภาคบราวน์ที่ มีมวลภาย ใต้อิทธิพลของแรงเสียดทาน ชื่อของกระบวนการ นี้ตั้งตามชื่อของเลียวนาร์ด ออร์นสไตน์ (Leonard Ornstein)และจอร์จ ยูจีน อูห์เลนเบ็ค (George Eugene Uhlenbeck )

กระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck เป็นกระบวนการ Gauss–Markov แบบอยู่ตัว ซึ่งหมายความว่าเป็นกระบวนการ GaussianกระบวนการMarkovและเป็นเนื้อเดียวกันตามเวลา อันที่จริง เป็นกระบวนการที่ไม่ใช่แบบธรรมดาเพียงกระบวนการเดียวที่ตรงตามเงื่อนไขทั้งสามนี้ โดยอนุญาตให้มีการแปลงเชิงเส้นของตัวแปรพื้นที่และเวลา^{[ 1 ]}เมื่อเวลาผ่านไป กระบวนการมีแนวโน้มที่จะเคลื่อนเข้าหาฟังก์ชันค่าเฉลี่ย กระบวนการดังกล่าวเรียกว่า การกลับสู่ ค่า เฉลี่ย

กระบวนการนี้สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นการดัดแปลงการเดินแบบสุ่มในเวลาต่อเนื่องหรือกระบวนการ Wienerซึ่งคุณสมบัติของกระบวนการได้ถูกเปลี่ยนแปลงเพื่อให้มีแนวโน้มที่การเดินจะเคลื่อนกลับไปยังตำแหน่งศูนย์กลาง โดยมีแรงดึงดูดมากขึ้นเมื่อกระบวนการอยู่ห่างจากศูนย์กลางมากขึ้น กระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck ยังสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นอนาล็อกในเวลาต่อเนื่องของกระบวนการ AR(1)ใน เวลาไม่ต่อเนื่อง

กระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck ถูกกำหนดโดยสมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่ม ดังต่อไปนี้ : ${\displaystyle x_{t}}$

${\displaystyle dx_{t}=-\theta \,x_{t}\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

โดยที่และเป็นพารามิเตอร์ และแทนกระบวนการWiener ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle \theta >0}$${\displaystyle \sigma >0}$${\displaystyle W_{t}}$

บางครั้งอาจมีการเพิ่มคำศัพท์เพิ่มเติม:

${\displaystyle dx_{t}=-\theta (x_{t}-\mu )\,dt+\sigma \,dW_{t}}$

โดยที่เป็นค่าคงที่ที่เรียกว่าค่าเฉลี่ย (ระยะยาว) กระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck บางครั้งก็เขียนในรูปสมการ Langevinในรูปแบบ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {dx_{t}}{dt}}=-\theta \,x_{t}+\sigma \,\eta (t)}$

โดยที่ หรือที่รู้จักกันในชื่อสัญญาณรบกวนสีขาวแทนอนุพันธ์ที่คาดการณ์ไว้ของกระบวนการ Wiener ^{[ 5 ]}อย่างไรก็ตามไม่มีอยู่จริงเนื่องจากกระบวนการ Wiener ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ใดเลย^{[ 6 ]}ดังนั้นสมการ Langevin จึงมีความหมายก็ต่อเมื่อตีความในแง่ของการกระจายตัวเท่านั้น ในสาขาฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์ มันเป็นการแสดงแทนทั่วไปสำหรับกระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck และสมการเชิงอนุพันธ์สุ่มที่คล้ายกัน โดยสมมติโดยปริยายว่าพจน์สัญญาณรบกวนเป็นอนุพันธ์ของการประมาณค่าแบบหาอนุพันธ์ได้ (เช่น Fourier) ของกระบวนการ Wiener ${\displaystyle \eta (t)}$${\displaystyle dW_{t}/dt}$${\displaystyle dW_{t}/dt}$

กระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck สามารถอธิบายได้ในแง่ของฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นซึ่งระบุความน่าจะเป็นของการพบกระบวนการในสถานะณเวลา^{[ 5 ]}ฟังก์ชันนี้สอดคล้องกับสมการ Fokker–Planck${\displaystyle P(x,t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\theta {\frac {\partial }{\partial x}}((x-\mu )P)+D{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}}$

โดยที่. นี่คือสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยพาราโบลิก เชิงเส้น ซึ่งสามารถแก้ได้ด้วยเทคนิคต่างๆ ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะ หรือที่เรียกว่าฟังก์ชันกรีน เป็น ฟังก์ชันเกาส์ เซียน ที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน: ${\displaystyle D=\sigma ^{2}/2}$${\displaystyle P(x,t\mid x_{0},t_{0})}$${\displaystyle x_{0}e^{-\theta (t-t_{0})}+\mu (1-e^{-\theta (t-t_{0})})}$${\displaystyle {\frac {D}{\theta }}\left(1-e^{-2\theta (t-t_{0})}\right)}$

${\displaystyle P(x,t\mid x_{0},t_{0})={\sqrt {\frac {\theta }{2\pi D(1-e^{-2\theta (t-t_{0})})}}}\exp \left[-{\frac {\theta }{2D}}{\frac {(x-x_{0}e^{-\theta (t-t_{0})}-\mu (1-e^{-\theta (t-t_{0})}))^{2}}{1-e^{-2\theta (t-t_{0})}}}\right]}$

นี่เป็นการแสดงความน่าจะเป็นของการเกิดสถานะ ณ เวลาโดยกำหนดสถานะเริ่มต้นณ เวลาเทียบเท่ากับเป็นคำตอบของสมการฟอกเกอร์-พลังค์ พร้อมเงื่อนไขเริ่มต้น ${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle t_{0}<t}$${\displaystyle P(x,t\mid x_{0},t_{0})}$${\displaystyle P(x,t_{0})=\delta (x-x_{0})}$

เมื่อพิจารณาจากค่าเฉพาะค่าหนึ่งของค่าเฉลี่ยคือ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } (x_{t}\mid x_{0})=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})}$

และค่าความแปรปรวนร่วมคือ

${\displaystyle \operatorname {cov} (x_{s},x_{t})={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\left(e^{-\theta |t-s|}-e^{-\theta (t+s)}\right).}$

สำหรับกระบวนการสถิต (ไม่มีเงื่อนไข) ค่าเฉลี่ยของคือและค่าความแปรปรวนร่วมของ และคือ${\displaystyle x_{t}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle x_{s}}$${\displaystyle x_{t}}$${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}e^{-\theta |t-s|}}$

กระบวนการออร์นสไตน์-อูห์เลนเบ็คเป็นตัวอย่างของกระบวนการเกาส์เซียนที่มีความแปรปรวนจำกัดและมีการกระจายความน่าจะเป็นแบบคงที่ ซึ่งแตกต่างจากกระบวนการไวเนอร์ความแตกต่างระหว่างสองกระบวนการนี้อยู่ที่พจน์ "การเปลี่ยนแปลง" สำหรับกระบวนการไวเนอร์ พจน์การเปลี่ยนแปลงจะมีค่าคงที่ ในขณะที่สำหรับกระบวนการออร์นสไตน์-อูห์เลนเบ็ค พจน์การเปลี่ยนแปลงจะขึ้นอยู่กับค่าปัจจุบันของกระบวนการ: ถ้าค่าปัจจุบันของกระบวนการน้อยกว่าค่าเฉลี่ย (ระยะยาว) การเปลี่ยนแปลงจะเป็นบวก ถ้าค่าปัจจุบันของกระบวนการมากกว่าค่าเฉลี่ย (ระยะยาว) การเปลี่ยนแปลงจะเป็นลบ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าเฉลี่ยทำหน้าที่เป็นระดับสมดุลสำหรับกระบวนการ นี่คือที่มาของชื่อที่สื่อความหมายของกระบวนการนี้ว่า "การกลับคืนสู่ค่าเฉลี่ย"

กระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck ที่เป็นเนื้อเดียวกันในเชิงเวลาซึ่งเริ่มต้น ที่ สามารถแสดงได้ในรูปของ กระบวนการ Wienerที่ปรับขนาดและแปลงเวลาแล้ว: ${\displaystyle x_{0}=0}$

${\displaystyle x_{t}={\frac {\sigma }{\sqrt {2\theta }}}e^{-\theta t}W_{e^{2\theta t}-1}}$

กระบวนการ Wiener มาตรฐานอยู่ที่ไหน นี่คือทฤษฎีบท 1.2 ใน Doob ปี 1942 โดยประมาณ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ด้วยการเปลี่ยนตัวแปรจะได้ว่า ${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle s=e^{2\theta t}}$

${\displaystyle W_{s}={\frac {\sqrt {2\theta }}{\sigma }}s^{1/2}x_{(\ln s)/(2\theta )},\qquad s>0}$

โดยใช้การแมปนี้ เราสามารถแปลคุณสมบัติที่ทราบของ ไปเป็นข้อความที่สอดคล้องกันสำหรับ ได้ตัวอย่างเช่นกฎของลอการิทึมแบบวนซ้ำสำหรับจะกลายเป็น^{[ 1 ]}${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle x_{t}}$${\displaystyle W_{t}}$

${\displaystyle \limsup _{t\to \infty }{\frac {x_{t}}{\sqrt {(\sigma ^{2}/\theta )\ln t}}}=1,\quad {\text{with probability 1.}}}$

สมการเชิงอนุพันธ์สุ่มสำหรับสามารถแก้ไขได้อย่างเป็นทางการโดยการ แปรผันพารามิเตอร์^{[ 7 ]}เขียน${\displaystyle x_{t}}$

${\displaystyle f(x_{t},t)=x_{t}e^{\theta t}\,}$

เราได้รับ

${\displaystyle {\begin{aligned}df(x_{t},t)&=\theta \,x_{t}\,e^{\theta t}\,dt+e^{\theta t}\,dx_{t}\\[6pt]&=e^{\theta t}\theta \,\mu \,dt+\sigma \,e^{\theta t}\,dW_{t}.\end{aligned}}}$

การบูรณาการจากถึงเราได้รับ ${\displaystyle 0}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle x_{t}e^{\theta t}=x_{0}+\int _{0}^{t}e^{\theta s}\theta \,\mu \,ds+\int _{0}^{t}\sigma \,e^{\theta s}\,dW_{s}\,}$

จากนั้นเราจึงเห็น

${\displaystyle x_{t}=x_{0}\,e^{-\theta t}+\mu \,(1-e^{-\theta t})+\sigma \int _{0}^{t}e^{-\theta (t-s)}\,dW_{s}.\,}$

จากภาพแสดงนี้โมเมนต์ แรก (เช่น ค่าเฉลี่ย) จะแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle \operatorname {E} (x_{t})=x_{0}e^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})\!\ }$

โดยสมมติว่ามีค่าคงที่ นอกจากนี้ไอโซเมตรีของอิโตะยังสามารถใช้ในการคำนวณฟังก์ชันความแปรปรวนร่วมได้โดย ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (x_{s},x_{t})&=\operatorname {E} [(x_{s}-\operatorname {E} [x_{s}])(x_{t}-\operatorname {E} [x_{t}])]\\[5pt]&=\operatorname {E} \left[\int _{0}^{s}\sigma e^{\theta (u-s)}\,dW_{u}\int _{0}^{t}\sigma e^{\theta (v-t)}\,dW_{v}\right]\\[5pt]&=\sigma ^{2}e^{-\theta (s+t)}\operatorname {E} \left[\int _{0}^{s}e^{\theta u}\,dW_{u}\int _{0}^{t}e^{\theta v}\,dW_{v}\right]\\[5pt]&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\,e^{-\theta (s+t)}(e^{2\theta \min(s,t)}-1)\\[5pt]&={\frac {\sigma ^{2}}{2\theta }}\left(e^{-\theta |t-s|}-e^{-\theta (t+s)}\right).\end{aligned}}}$

ตัวสร้างอนันต์ของกระบวนการคือ^{[ 8 ]}ถ้าเราให้สมการค่าลักษณะเฉพาะจะลดรูปเป็น: ซึ่งเป็นสมการนิยามสำหรับพหุนามเฮอร์ไมต์คำตอบของมันคือโดยที่ซึ่งหมายความว่าเวลาผ่านครั้งแรกโดยเฉลี่ยสำหรับอนุภาคที่จะกระทบจุดบนขอบเขตอยู่ในลำดับของ $${\displaystyle Lf=-\theta (x-\mu )f'+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}f''}$$${\displaystyle y=(x-\mu ){\sqrt {\frac {2\theta }{\sigma ^{2}}}}}$$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dy^{2}}}\phi -y{\frac {d}{dy}}\phi -{\frac {\lambda }{\theta }}\phi =0}$$${\displaystyle \phi (y)=He_{n}(y)}$${\displaystyle \lambda =-n\theta }$${\displaystyle \theta ^{-1}}$

โดยการใช้ข้อมูลที่สุ่มตัวอย่างแบบไม่ต่อเนื่องในช่วงเวลาที่มีความกว้าง ตัวประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดสำหรับพารามิเตอร์ของกระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck จะมีลักษณะปกติเชิงอะซิมโทติกกับค่าจริง^{[ 9 ]}กล่าวโดยละเอียดกว่านั้น${\displaystyle t}$$${\displaystyle {\sqrt {n}}\left({\begin{pmatrix}{\widehat {\theta }}_{n}\\{\widehat {\mu }}_{n}\\{\widehat {\sigma }}_{n}^{2}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}\theta \\\mu \\\sigma ^{2}\end{pmatrix}}\right)\xrightarrow {d} \ {\mathcal {N}}\left({\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {e^{2t\theta }-1}{t^{2}}}&0&{\frac {\sigma ^{2}(e^{2t\theta }-1-2t\theta )}{t^{2}\theta }}\\0&{\frac {\sigma ^{2}\left(e^{t\theta }+1\right)}{2\left(e^{t\theta }-1\right)\theta }}&0\\{\frac {\sigma ^{2}(e^{2t\theta }-1-2t\theta )}{t^{2}\theta }}&0&{\frac {\sigma ^{4}\left[\left(e^{2t\theta }-1\right)^{2}+2t^{2}\theta ^{2}\left(e^{2t\theta }+1\right)+4t\theta \left(e^{2t\theta }-1\right)\right]}{t^{2}\left(e^{2t\theta }-1\right)\theta ^{2}}}\end{pmatrix}}\right)}$$

ในการจำลองกระบวนการ OU ด้วยวิธีเชิงตัวเลข โดยคำนึงถึงค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานและเวลาสัมพันธ์วิธีหนึ่งคือการใช้สูตรผลต่างจำกัด ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \tau =1/\Theta }$

$${\displaystyle x(t+dt)=x(t)-\Theta \,dt\,x(t)+\Sigma {\sqrt {2\,dt\,\Theta }}\nu _{i}}$$ โดยที่เป็นจำนวนสุ่มที่มีการแจกแจงแบบปกติ มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และค่าความแปรปรวนเป็นหนึ่ง ซึ่งสุ่มอย่างอิสระในแต่ละช่วงเวลา^{[ 10 ]}${\displaystyle \nu _{i}}$${\displaystyle dt}$

กระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck สามารถตีความได้ว่าเป็นขีดจำกัดการปรับขนาดของกระบวนการแบบไม่ต่อเนื่อง ในทำนองเดียวกับที่การเคลื่อนที่แบบบราวน์เป็นขีดจำกัดการปรับขนาดของการเดินแบบสุ่มพิจารณาโถที่บรรจุลูกบอลสีดำและสีขาว ในแต่ละขั้นตอนจะเลือกลูกบอลแบบสุ่มและแทนที่ด้วยลูกบอลสีตรงข้าม ให้เป็นจำนวนลูกบอลสีดำในโถหลังจากขั้นตอน จากนั้นจะลู่เข้าสู่กระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck ตามกฎเมื่อมีแนวโน้มเข้าสู่อนันต์ สิ่งนี้ได้รับโดยMark Kac ^{[ 11 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle X_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\frac {X_{[nt]}-n/2}{\sqrt {n}}}}$${\displaystyle n}$

ในเชิงอนุมาน เราอาจได้ข้อสรุปดังต่อไปนี้

ให้และเราจะได้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงสุ่มที่ลิมิต ก่อนอื่นให้สรุป ด้วยสิ่งนี้ เราสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของซึ่งปรากฏว่าเป็นและดังนั้นที่ลิมิต เราจะได้โดยมีคำตอบ (โดยสมมติว่าการแจกแจงเป็นแบบปกติมาตรฐาน) ${\displaystyle X_{t}^{(n)}:={\frac {X_{[nt]}-n/2}{\sqrt {n}}}}$${\displaystyle n\to \infty }$$${\displaystyle \Delta t=1/n,\quad \Delta X_{t}^{(n)}=X_{t+\Delta t}^{(n)}-X_{t}^{(n)}.}$$${\displaystyle \Delta X_{t}^{(n)}}$${\displaystyle -2X_{t}^{(n)}\Delta t}$${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle dX_{t}=-2X_{t}\,dt+dW_{t}}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X_{t}=e^{-2t}W_{e^{4t}}}$

กระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck เป็นต้นแบบของกระบวนการผ่อนคลาย ที่มีสัญญาณรบกวน ตัวอย่างที่สำคัญคือสปริงแบบ Hookean ( ออสซิลเลเตอร์แบบฮาร์มอนิก ) ที่มีค่าคงที่สปริงซึ่งพลวัตมีการหน่วงเกิน ด้วยสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานในกรณีที่มีการผันผวนทางความร้อนด้วยอุณหภูมิความยาวของสปริงจะผันผวนรอบความยาวขณะพักของสปริงพลวัตแบบสุ่มของมันถูกอธิบายโดยกระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck ที่มี ${\displaystyle k}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle T}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=k/\gamma ,\\\mu &=x_{0},\\\sigma &={\sqrt {2D}}={\sqrt {2k_{B}T/\gamma }},\end{aligned}}}$

โดยที่ได้มาจากสมการ Stokes–Einsteinสำหรับค่าคงที่การแพร่กระจายที่มีประสิทธิภาพ^{[ 12 ] [ 13 ]} เขียนใหม่เป็นสมการ Langevin ทั่วไปในฟิสิกส์ โดยที่แทนสัญญาณรบกวนสีขาวแบบเกาส์ เซียนที่มี ; ดังนั้น เราจึงมี สำหรับฟังก์ชันสหสัมพันธ์อัตโนมัติ (เหมือนกับข้างต้นในสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์) ที่มีความแปรปรวนที่ไม่ขึ้นกับและมาตราส่วนเวลาการผ่อนคลายตามที่คาดไว้จากการวิเคราะห์มิติ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle D=k_{B}T/\gamma }$${\displaystyle \gamma \,{\dot {x}}=-k(x-x_{0})+\xi (t)}$${\displaystyle \xi (t)}$${\displaystyle \langle \xi (t)\xi (t')\rangle =2D\,\delta (t-t')}$${\displaystyle \langle [x(t)-x_{0}][x(t')-x_{0}]\rangle =(k_{B}T/k)\exp[-(k/\gamma )|t-t'|]}$${\displaystyle k_{B}T/k}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma /k}$

แบบจำลองนี้ถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคบราวน์ในกับดักแสง^{[ 13 ] [ 14 ]} ที่สภาวะสมดุล สปริงจะเก็บพลังงานเฉลี่ยตามทฤษฎีบทการแบ่งส่วนพลังงาน^{[ 15 ]}${\displaystyle \langle E\rangle =k\langle (x-x_{0})^{2}\rangle /2=k_{B}T/2}$

กระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck ถูกนำมาใช้ใน แบบจำลอง อัตราดอกเบี้ยของVasicek ^{[ 16 ]}กระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck เป็นหนึ่งในวิธีการหลายวิธีที่ใช้ในการสร้างแบบจำลอง (โดยมีการปรับเปลี่ยน) อัตราดอกเบี้ยอัตราแลกเปลี่ยน สกุลเงิน และราคาสินค้าโภคภัณฑ์แบบสุ่ม พารามิเตอร์แสดงถึงค่าสมดุลหรือค่าเฉลี่ยที่ได้รับการสนับสนุนจากปัจจัยพื้นฐานระดับความผันผวนรอบๆ ค่าดังกล่าวที่เกิดจากแรงกระแทกและอัตราที่แรงกระแทกเหล่านี้ลดลงและตัวแปรกลับคืนสู่ค่าเฉลี่ย การประยุกต์ใช้กระบวนการนี้อย่างหนึ่งคือกลยุทธ์การซื้อขายที่เรียกว่า การ ซื้อขายแบบจับคู่^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \theta }$

Marcello Minenna ได้นำกระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck มาใช้เพิ่มเติมเพื่อสร้างแบบจำลองผลตอบแทนของหุ้น ภายใต้พลวัตการ กระจายแบบลอการิทมิกปกติ การสร้างแบบจำลองนี้มีจุดมุ่งหมายเพื่อกำหนดช่วงความเชื่อมั่นเพื่อทำนายปรากฏการณ์การละเมิดตลาด^{[ 20 ] [ 21 ]}

กระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck ได้รับการเสนอให้เป็นการปรับปรุงเหนือแบบจำลองการเคลื่อนที่แบบบราวน์สำหรับการจำลองการเปลี่ยนแปลงของฟีโนไทป์ ของสิ่งมีชีวิต เมื่อเวลาผ่านไป^{[ 22 ]}แบบจำลองการเคลื่อนที่แบบบราวน์บ่งชี้ว่าฟีโนไทป์สามารถเคลื่อนที่ได้โดยไม่มีขีดจำกัด ในขณะที่สำหรับฟีโนไทป์ส่วนใหญ่ การคัดเลือกโดยธรรมชาติจะกำหนดต้นทุนสำหรับการเคลื่อนที่มากเกินไปในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง การวิเคราะห์ข้อมูลอนุกรมเวลาของฟีโนไทป์ฟอสซิล 250 ชุดแสดงให้เห็นว่าแบบจำลอง Ornstein–Uhlenbeck เหมาะสมที่สุดสำหรับอนุกรมเวลาที่ตรวจสอบ 115 ชุด (46%) ซึ่งสนับสนุนความคงที่ในฐานะรูปแบบวิวัฒนาการทั่วไป^{[ 23 ]} อย่างไรก็ตาม มีความท้าทายบางประการในการใช้งาน ได้แก่ กลไกการเลือกแบบจำลองมักมีอคติในการเลือกกระบวนการ OU โดยไม่มีการสนับสนุนที่เพียงพอ และการตีความผิดเป็นเรื่องง่ายสำหรับนักวิทยาศาสตร์ข้อมูลที่ไม่ระมัดระวัง^{[ 24 ]}

เป็นไปได้ที่จะกำหนดกระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck ที่ขับเคลื่อนด้วย Lévyซึ่งกระบวนการขับเคลื่อนพื้นหลังเป็นกระบวนการ Lévyแทนที่จะเป็นกระบวนการ Wiener: ^{[ 25 ] [ 26 ]}

${\displaystyle dx_{t}=-\theta \,x_{t}\,dt+\sigma \,dL_{t}}$

ในที่นี้ อนุพันธ์ของกระบวนการ Wiener ได้ถูกแทนที่ด้วยอนุพันธ์ของกระบวนการLévy ${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle L_{t}}$

นอกจากนี้ ในด้านการเงิน กระบวนการสุ่มจะถูกนำมาใช้ โดยที่ความผันผวนจะเพิ่มขึ้นสำหรับค่าที่มากขึ้นของโดยเฉพาะอย่างยิ่งกระบวนการ CKLS (Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders) ^{[ 27 ]}โดยที่เทอมความผันผวนถูกแทนที่ด้วยสามารถแก้ได้ในรูปแบบปิดสำหรับเช่นเดียวกับสำหรับซึ่งสอดคล้องกับกระบวนการ OU แบบดั้งเดิม อีกกรณีพิเศษคือซึ่งสอดคล้องกับแบบจำลอง Cox–Ingersoll–Ross (แบบจำลอง CIR) ${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma \,x^{\gamma }\,dW_{t}}$${\displaystyle \gamma =1}$${\displaystyle \gamma =0}$${\displaystyle \gamma =1/2}$

กระบวนการ Ornstein–Uhlenbeck ในรูปแบบหลายมิติ ซึ่งแสดงด้วย เวกเตอร์ Nมิติสามารถกำหนดได้จาก ${\displaystyle \mathbf {x} _{t}}$

${\displaystyle d\mathbf {x} _{t}=-{\boldsymbol {\beta }}\,\mathbf {x} _{t}\,dt+{\boldsymbol {\sigma }}\,d\mathbf {W} _{t}.}$

โดยที่เป็นกระบวนการ Wiener มิติN และ และเป็นเมทริกซ์N × N คงที่ ^{[ 28 ]}คำตอบคือ ${\displaystyle \mathbf {W} _{t}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{t}=e^{-{\boldsymbol {\beta }}t}\mathbf {x} _{0}+\int _{0}^{t}e^{-{\boldsymbol {\beta }}(t-t')}{\boldsymbol {\sigma }}\,d\mathbf {W} _{t'}}$

และค่าเฉลี่ยคือ

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {x} _{t})=e^{-{\boldsymbol {\beta }}t}\operatorname {E} (\mathbf {x} _{0}).}$

นิพจน์เหล่านี้ใช้ประโยชน์จากเมทริกซ์เอกซ์โปเนนเชียล

กระบวนการนี้ยังสามารถอธิบายได้ในแง่ของฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นซึ่งสอดคล้องกับสมการ Fokker–Planck ^{[ 29 ]}${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\sum _{i,j}\beta _{ij}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(x_{j}P)+\sum _{i,j}D_{ij}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}},}$

โดยที่เมทริกซ์ที่มีส่วนประกอบถูกกำหนดโดยเช่นเดียวกับกรณีหนึ่งมิติ กระบวนการนี้เป็นการแปลงเชิงเส้นของตัวแปรสุ่มแบบเกาส์เซียน ดังนั้นตัวมันเองจึงต้องเป็นแบบเกาส์เซียน ด้วยเหตุนี้ ความน่าจะเป็นของการเปลี่ยนสถานะจึงเป็นแบบเกาส์เซียนซึ่งสามารถเขียนออกมาได้อย่างชัดเจน หากส่วนจริงของค่าลักษณะเฉพาะของ มีค่ามากกว่าศูนย์จะมีคำตอบที่เสถียรอยู่ด้วย ซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$${\displaystyle D_{ij}}$${\displaystyle {\boldsymbol {D}}={\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {\sigma }}^{T}/2}$${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x} ',t')}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$${\displaystyle P_{\text{st}}(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle P_{\text{st}}(\mathbf {x} )=(2\pi )^{-N/2}(\det {\boldsymbol {\omega }})^{-1/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{T}{\boldsymbol {\omega }}^{-1}\mathbf {x} \right),}$

โดยที่เมทริกซ์^ถูกกำหนดจากสมการ Lyapunov [ ^{5 ]}${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}{\boldsymbol {\omega }}+{\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\beta }}^{T}=2{\boldsymbol {D}}}$

• แคลคูลัสเชิงสุ่ม
• กระบวนการไวเนอร์
• กระบวนการเกาส์เซียน
• การเงินเชิงคณิตศาสตร์
• แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยของวา ซิเชค
• แบบจำลองอัตราดอกเบี้ยระยะสั้น
• การแพร่กระจาย
• ทฤษฎีความผันผวน-การกระจายพลังงาน
• สมการไคลน์-เครเมอร์ส

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับกระบวนการออร์นสไตน์-อูห์เลนเบ็ค

• ชุดเครื่องมือสำหรับกระบวนการสุ่มเพื่อการบริหารความเสี่ยงโดย ดามิอาโน บริโก, อันโตนิโอ ดาเลสซานโดร, มัทธิอัส นอยเกบาวเออร์ และ ฟาเรส ทริกิ
• การจำลองและการปรับเทียบกระบวนการ Ornstein–Uhlenbeckโดย MA van den Berg
• การประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดของกระบวนการที่กลับสู่ค่าเฉลี่ยโดย โฮเซ่ คาร์ลอส การ์เซีย ฟรังโก
• "แอปพลิเคชันเว็บแบบโต้ตอบ: กระบวนการสุ่มที่ใช้ในด้านการเงินเชิงปริมาณ"เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2015-09-20 เรียกดูเมื่อ2015-07-03