ทุกขอบ${\displaystyle E\in H}$ได้รับการกำหนด "เวลาเกิด" ที่แท้จริงที่แตกต่างกันอย่างเป็นอิสระและสม่ำเสมอ${\displaystyle t_{E}\in [0,D]}$ขอบจะถูกเลือกทีละขอบตามลำดับเวลาเกิด ขอบ${\displaystyle E}$ได้รับการยอมรับและรวมอยู่ใน${\displaystyle P}$หากมันไม่ทับซ้อนกับขอบที่ยอมรับไว้ก่อนหน้านี้ เห็นได้ชัดว่าเซตย่อยนั้น${\displaystyle P}$เป็นบรรจุภัณฑ์ และสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าขนาดของมันคือ${\displaystyle |P|={\frac {n}{K+1}}}$เกือบจะแน่นอนเพื่อแสดงให้เห็นเช่นนั้น ให้หยุดกระบวนการเพิ่มขอบใหม่ ณ เวลา${\displaystyle c}$สำหรับค่าใดๆ ก็ตาม${\displaystyle \gamma >0}$, เลือก${\displaystyle c,D_{0},\เอปไซลอน }$โดยที่สำหรับใดๆ${\displaystyle (D_{0},\เอปไซลอน )}$-ไฮเปอร์กราฟที่ดี${\displaystyle f_{x,H}(c)<\gamma ^{2}}$ที่ไหน${\displaystyle f_{x,H}(c)}$แสดงถึงความน่าจะเป็นของจุดยอด${\displaystyle x}$การอยู่รอด (จุดยอดจะอยู่รอดหากไม่อยู่ในขอบใด ๆ ใน${\displaystyle P}$) จนถึงเวลา${\displaystyle c}$เห็นได้ชัดว่า ในสถานการณ์เช่นนี้ จำนวนที่คาดหวังของ${\displaystyle x}$รอดชีวิตมาได้ ณ เวลานั้น${\displaystyle c}$น้อยกว่า${\displaystyle \gamma ^{2}n}$ดังนั้น ความน่าจะเป็นของ${\displaystyle x}$การเอาชีวิตรอดจากการที่ด้อยกว่า${\displaystyle \gamma n}$สูงกว่า${\displaystyle 1-\gamma }$กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ${\displaystyle P_{c}}$ต้องรวมอย่างน้อย${\displaystyle (1-\gamma )n}$จุดยอด ซึ่งหมายความว่า${\displaystyle |P|\geq (1-\gamma ){\frac {n}{K+1}}}$.

เพื่อให้การพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์ จะต้องแสดงให้เห็นว่า${\displaystyle \lim _{c\rightarrow \infty }\lim _{x,H}f_{x,H}(c)=0}$ด้วยเหตุนี้ พฤติกรรมเชิงอะซิมโทติกของ${\displaystyle x}$การอยู่รอดนั้นจำลองโดยกระบวนการแตกแขนงอย่างต่อเนื่อง แก้ไข${\displaystyle c>0}$และเริ่มต้นด้วยอีฟ โดยมีวันเกิดคือ${\displaystyle c}$สมมติว่าเวลาเดินถอยหลัง ดังนั้นอีฟจึงให้กำเนิดบุตรในช่วงเวลาดังกล่าว${\displaystyle [0,c)}$ด้วย การแจกแจงปัวซงที่มีความหนาแน่นหนึ่งหน่วยความน่าจะเป็นที่อีฟจะมี${\displaystyle k}$การเกิดคือ${\displaystyle {\frac {e^{-c}c^{k}}{k!}}}$โดยการปรับเงื่อนไขตาม${\displaystyle k}$เวลาเกิด${\displaystyle x_{1},...,x_{k}}$มีการกระจายอย่างอิสระและสม่ำเสมอบน${\displaystyle [0,c)}$การเกิดทุกครั้งที่อีฟให้กำเนิดนั้นประกอบด้วย...${\displaystyle Q}$ลูกหลานที่เกิดเวลาเดียวกันทั้งหมด${\displaystyle a}$กระบวนการนี้จะทำซ้ำสำหรับลูกหลานแต่ละตัว สามารถแสดงได้ว่าสำหรับทุกๆ${\displaystyle \epsilon >0}$มีอยู่${\displaystyle K}$ดังนั้นจึงมีความน่าจะเป็นสูงกว่า${\displaystyle (1-\epsilon )}$อีฟมีเวลาอย่างมากที่สุด${\displaystyle K}$ลูกหลาน

ต้นไม้ที่มีรากซึ่งมีแนวคิดเกี่ยวกับพ่อแม่ ลูก ราก ลำดับการเกิด และพี่น้องร่วมครรภ์ จะเรียกว่าต้นไม้สายวิวัฒนาการ โดยกำหนดให้ต้นไม้สายวิวัฒนาการมีจำนวนจำกัด${\displaystyle T}$เรากล่าวสำหรับแต่ละจุดยอดว่ามันจะอยู่รอดหรือตาย จุดยอดที่ไม่มีลูกหลานจะอยู่รอด จุดยอดจะตายก็ต่อเมื่อมันมีลูกหลานอย่างน้อยหนึ่งกลุ่มและทุกกลุ่มรอดชีวิต ให้${\displaystyle f(c)}$แสดงถึงความน่าจะเป็นที่อีฟจะรอดชีวิตในต้นไม้แห่งสายเลือด${\displaystyle T}$โดยกำหนดตามกระบวนการข้างต้น วัตถุประสงค์คือเพื่อแสดงให้เห็น${\displaystyle \lim _{c\rightarrow \infty }f(c)=0}$แล้วสำหรับค่าคงที่ใดๆ${\displaystyle c}$สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า${\displaystyle \lim ^{*}f_{x,H}(c)=f(c)}$ความสัมพันธ์ทั้งสองนี้ทำให้ข้อโต้แย้งของเราสมบูรณ์

เพื่อแสดง${\displaystyle f(c)=0}$, อนุญาต${\displaystyle c\geq 0,\Delta c>0}$. สำหรับ${\displaystyle \Delta c}$เล็ก,${\displaystyle f(c+\Delta c)-f(c)\approx -(\Delta c)f(c)^{Q+1}}$โดยประมาณแล้วก็คืออีฟที่เริ่มต้น ณ เวลา${\displaystyle c+\Delta c}$อาจมีการเกิดในช่วงเวลาที่กำหนด${\displaystyle [c,c+\Delta c)}$ลูกๆ ของพวกเขาทุกคนมีชีวิตรอด ในขณะที่อีฟไม่มีลูกเลย${\displaystyle [0,c)}$ซึ่งลูก ๆ ของพวกเขาทั้งหมดรอดชีวิต ปล่อยให้${\displaystyle \Delta c\rightarrow 0}$ส่งผลให้ได้สมการเชิงอนุพันธ์${\displaystyle f'(c)=-f(c)^{Q+1}}$ค่าเริ่มต้น${\displaystyle f(0)=1}$นำเสนอวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร${\displaystyle f(c)=(1+Qc)^{-1/Q}}$โปรดทราบว่าแท้จริงแล้ว${\displaystyle \lim _{c\rightarrow \infty }f(c)=0}$.

เพื่อพิสูจน์${\displaystyle \lim ^{*}f_{x,H}(c)=f(c)}$ลองพิจารณาขั้นตอนที่เราเรียกว่า History ซึ่งจะยกเลิกหรือสร้างสายวิวัฒนาการ History ประกอบด้วยเซต${\displaystyle T}$ของจุดยอด ในตอนเริ่มต้น${\displaystyle T=\{x\}}$.${\displaystyle T}$จะมีโครงสร้างต้นไม้ผสมพันธุ์ที่มี${\displaystyle x}$ราก.${\displaystyle y\in T}$เป็นได้ทั้งแบบแปรรูปแล้วและยังไม่แปรรูป${\displaystyle x}$ในขั้นต้นยังไม่ผ่านกระบวนการใดๆ สำหรับแต่ละ${\displaystyle y\in T}$ได้รับการกำหนดเวลาเกิด${\displaystyle t_{y}}$เราเริ่มต้น${\displaystyle t_{x}=c}$ประวัติศาสตร์คือการนำเอาสิ่งที่ไม่ผ่านกระบวนการมาประมวลผล${\displaystyle y\in T}$และดำเนินการดังต่อไปนี้ สำหรับค่าทั้งหมด${\displaystyle t_{E}}$กับ${\displaystyle y\in E}$แต่ไม่มี${\displaystyle x\in E}$ที่ได้รับการประมวลผลไปแล้ว หากอย่างใดอย่างหนึ่ง${\displaystyle E}$มี${\displaystyle t_{E}<t_{y}}$และ${\displaystyle y,z\in E}$กับ${\displaystyle z\in T}$หรือบางส่วน${\displaystyle E,E'}$มี${\displaystyle t_{E},t_{E'}<t_{y}}$กับ${\displaystyle y\in E,E'}$และ${\displaystyle |E\cup E'|>1}$จากนั้นกระบวนการประวัติศาสตร์จะถูกยกเลิก มิฉะนั้นสำหรับแต่ละ${\displaystyle E}$กับ${\displaystyle t_{E}<t_{y}}$เพิ่มทั้งหมด${\displaystyle z\in E-\{y\}}$ถึง${\displaystyle T}$ในฐานะเพื่อนร่วมครรภ์กับพ่อแม่${\displaystyle y}$และวันเกิดทั่วไป${\displaystyle t_{E}}$. ตอนนี้${\displaystyle y}$ถือว่าดำเนินการเสร็จสิ้นแล้ว ประวัติการทำงานจะหยุดลง หากไม่ถูกยกเลิก เมื่อทุกอย่างเสร็จสิ้น${\displaystyle y\in T}$จะถูกประมวลผล หากประวัติไม่ยกเลิก ให้ดำเนินการกับ root${\displaystyle x}$รอดชีวิตจากต้นพันธุ์${\displaystyle T}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle x}$อยู่รอดมาได้จนถึงเวลา${\displaystyle c}$สำหรับต้นพันธุ์ที่กำหนดไว้ ให้${\displaystyle f(T,c)}$แสดงถึงความน่าจะเป็นที่กระบวนการแตกกิ่งจะให้ต้นพันธุ์${\displaystyle T}$ดังนั้น ความน่าจะเป็นที่ประวัติศาสตร์จะไม่ยุติลงคือ${\displaystyle f(T,c)}$เนื่องจากกระบวนการแตกแขนงมีขอบเขตจำกัด${\displaystyle \sum f(T,c)=1}$ผลรวมของต้นไม้พ่อแม่พันธุ์ทั้งหมด${\displaystyle T}$และประวัติศาสตร์ก็ไม่ยุติลง${\displaystyle lim^{*}}$การกระจายตัวของต้นพันธุ์เข้าใกล้การกระจายตัวของกระบวนการแตกแขนง ดังนั้น${\displaystyle \lim ^{*}f_{x,H}(c)=f(c)}$.