ปัญหาเหล่านี้มีความแตกต่างทางคณิตศาสตร์จากแนวคิดในทฤษฎีบทการจัดเรียงวงกลม ปัญหา การจัดเรียงวงกลมที่เกี่ยวข้องนั้นเกี่ยวกับการจัดเรียงวงกลมซึ่งอาจมีขนาดแตกต่างกัน บนพื้นผิว เช่นระนาบหรือทรงกลม

สิ่งที่เทียบเท่ากับวงกลมในมิติอื่นไม่สามารถบรรจุได้อย่างมีประสิทธิภาพอย่างสมบูรณ์ในมิติที่ใหญ่กว่าหนึ่ง (ในจักรวาลหนึ่งมิติ สิ่งที่เทียบเท่ากับวงกลมก็คือจุดสองจุด) กล่าวคือ จะมีพื้นที่ว่างเหลืออยู่เสมอหากผู้คนบรรจุเฉพาะวงกลม วิธีการบรรจุวงกลมที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดคือการบรรจุแบบหกเหลี่ยมซึ่งให้ประสิทธิภาพประมาณ 91% ^{[ 8 ]}

ในสามมิติ โครงสร้าง ที่อัดแน่น จะให้การจัดเรียงทรง กลมแบบแลต ติส ที่ดีที่สุดและเชื่อว่าเป็นรูปแบบการจัดเรียงที่เหมาะสมที่สุดในบรรดารูปแบบการจัดเรียงทั้งหมด ด้วยการจัดเรียงทรงกลมแบบ 'ง่าย' ในสามมิติ ('ง่าย' ได้รับการกำหนดอย่างระมัดระวัง) จะมีการจัดเรียงที่สามารถกำหนดได้เก้าแบบ^{[ 9 ]}แลตติส E8 8 มิติ และ แลตติส Leech 24 มิติได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเป็นรูปแบบที่เหมาะสมที่สุดในพื้นที่มิติจริงของแต่ละแบบ

ลูกบาศก์สามารถจัดเรียงเพื่อเติมเต็มพื้นที่สามมิติได้อย่างสมบูรณ์ โดยการจัดเรียงที่เป็นธรรมชาติที่สุดคือโครงสร้างรังผึ้งลูกบาศก์ไม่มีทรงหลายเหลี่ยมเพลโต อื่นใด ที่สามารถปูพื้นที่ได้ด้วยตัวมันเอง แต่ก็มีผลลัพธ์เบื้องต้นบางอย่างที่ทราบกันดีอยู่แล้วทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่วสามารถจัดเรียงได้เต็มพื้นที่อย่างน้อย 85% หนึ่งในการจัดเรียงที่ดีที่สุดของ ทรง สิบสองเหลี่ยม ด้านเท่าปกติ คือโครงสร้างแบบลูกบาศก์ศูนย์กลางหน้า (FCC) ที่กล่าวถึงข้างต้น

รูปทรงสี่เหลี่ยมด้านเท่าและรูปทรงแปดเหลี่ยมเมื่อรวมกันแล้วสามารถเติมเต็มพื้นที่ทั้งหมดได้ในรูปแบบการจัดเรียงที่เรียกว่าโครงสร้างรังผึ้งแบบสี่เหลี่ยมด้านเท่า-แปดเหลี่ยม

การจำลองที่รวมวิธีการปรับปรุงเฉพาะที่เข้ากับการบรรจุแบบสุ่มแสดงให้เห็นว่าการบรรจุแบบตาข่ายสำหรับไอโคซาเฮดรา โดเดคาเฮดรา และออกตาเฮดรานั้นเหมาะสมที่สุดในกลุ่มการบรรจุทั้งหมดที่กว้างขึ้น^{[ 3 ]}

จงหาจำนวน ภาชนะ ทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้า (กล่อง) ขั้นต่ำที่จำเป็นในการบรรจุสิ่งของทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้าชุดหนึ่ง โดยที่สิ่งของทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่จะบรรจุนั้นสามารถหมุนได้ 90 องศาในแต่ละแกน

ปัญหาการหาลูกบอลที่เล็กที่สุดซึ่งสามารถบรรจุลูกบอลหน่วยเปิดที่ไม่ซ้ำกันk ลูกไว้ภายในได้นั้น มีคำตอบที่ง่ายและสมบูรณ์ใน ปริภูมิยุคลิดn มิติ ถ้า${\displaystyle k\leq n+1}$และในปริภูมิฮิลเบิร์ตที่ มีมิติอนันต์ โดยไม่มีข้อจำกัดใดๆ ควรกล่าวถึงรายละเอียดในที่นี้เพื่อให้เห็นภาพรวมของปัญหาโดยทั่วไป ในกรณีนี้ มีการกำหนดค่าของ ลูกบอลหน่วย สัมผัสกันเป็นคู่ๆ จำนวนkลูก ผู้คนวางจุดศูนย์กลางไว้ที่จุดยอด${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}}$ของปกติ${\displaystyle (k-1)}$ซิมเพ ล็ก ซ์มิติที่มีขอบ 2 เส้น; สามารถสร้างได้ง่ายๆ โดยเริ่มจากฐานตั้งฉากปกติการคำนวณเล็กๆ น้อยๆ แสดงให้เห็นว่าระยะห่างของแต่ละจุดยอดจากจุดศูนย์กลางมวลคือ${\textstyle {\sqrt {2{\big (}1-{\frac {1}{k}}{\ใหญ่ )}}}}$นอกจากนี้ จุดอื่นใดในปริภูมิย่อมมีระยะห่างจาก จุดยอด อย่างน้อยหนึ่งจุดในจำนวนk จุดมากกว่า เสมอ ในแง่ของการรวมทรงกลม ทรงกลมหน่วยเปิดk ลูกที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}}$รวมอยู่ในทรงกลมรัศมี${\textstyle r_{k}:=1+{\sqrt {2{\big (}1-{\frac {1}{k}}{\big )}}}}$ซึ่งถือว่าน้อยที่สุดสำหรับการกำหนดค่านี้

เพื่อแสดงว่าการกำหนดค่านี้เหมาะสมที่สุด ให้ลอง${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$ให้ เป็นจุดศูนย์กลางของ ลูกบอลหน่วยเปิด kลูกที่ไม่ทับซ้อนกัน ซึ่งบรรจุอยู่ในลูกบอลรัศมีrที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดหนึ่ง${\displaystyle x_{0}}$พิจารณาแผนที่จากเซตจำกัด${\displaystyle \{x_{1},\dots ,x_{k}\}}$เข้าไปข้างใน${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{k}\}}$การเอาไป${\displaystyle x_{j}}$ในสิ่งที่เกี่ยวข้อง${\displaystyle a_{j}}$สำหรับแต่ละคน${\displaystyle 1\leq j\leq k}$เนื่องจากสำหรับทุกสิ่ง${\displaystyle 1\leq i<j\leq k}$,${\displaystyle \|a_{i}-a_{j}\|=2\leq \|x_{i}-x_{j}\|}$แผนที่นี้เป็นแผนที่ลิปชิตซ์ 1 และตามทฤษฎีบทของเคิร์ซบราวน์มันจะขยายไปเป็นแผนที่ลิปชิตซ์ 1 ที่นิยามได้ทั่วโลก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีจุดอยู่จุดหนึ่ง${\displaystyle a_{0}}$โดยที่สำหรับทั้งหมด${\displaystyle 1\leq j\leq k}$หนึ่งมี${\displaystyle \|a_{0}-a_{j}\|\leq \|x_{0}-x_{j}\|}$ดังนั้นด้วย${\displaystyle r_{k}\leq 1+\|a_{0}-a_{j}\|\leq 1+\|x_{0}-x_{j}\|\leq r}$นี่แสดงให้เห็นว่ามี ลูกบอลเปิดหน่วยที่ไม่ซ้ำกัน kลูกในลูกบอลรัศมีr ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle r\geq r_{k}}$โปรดสังเกตว่าในปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติอนันต์ สิ่งนี้หมายความว่ามีลูกบอลหน่วยเปิดที่ไม่ซ้ำกันจำนวนอนันต์อยู่ภายในลูกบอลรัศมีrก็ต่อเมื่อ${\displaystyle r\geq 1+{\sqrt {2}}}$ตัวอย่างเช่น ลูกบอลหน่วยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่${\displaystyle {\sqrt {2}}e_{j}}$, ที่ไหน${\displaystyle \{e_{j}\}_{j}}$เป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติ ไม่ทับซ้อนกัน และรวมอยู่ในทรงกลมรัศมี${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด นอกจากนี้ สำหรับ${\displaystyle r<1+{\sqrt {2}}}$จำนวนสูงสุดของลูกบอลหน่วยเปิดที่ไม่ทับซ้อนกันภายในลูกบอลที่มีรัศมีrคือ$${\displaystyle \left\lfloor {\frac {2}{2-(r-1)^{2}}}\right\rfloor .}$$

ผู้คนจะหาจำนวนวัตถุทรงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางd ที่กำหนดให้ ซึ่งสามารถบรรจุลงในทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาด ได้${\displaystyle a\times b\times c}$.

ผู้คนกำหนดความสูงขั้นต่ำhของทรงกระบอกที่มีรัศมีR ที่กำหนด ซึ่งจะบรรจุ^ทรง กลมที่เหมือนกัน nลูกที่มีรัศมีr (< R ) [ ^{12 ]}สำหรับรัศมีR ขนาดเล็ก ทรงกลมจะเรียงตัวเป็น โครงสร้างที่เป็นระเบียบ เรียกว่าโครงสร้างแบบคอลัมน์

ผู้คนกำหนดรัศมีขั้นต่ำRที่จะบรรจุโพลีเฮด ราที่ มีปริมาตรหน่วยเท่ากัน จำนวน nอันที่มีรูปร่างที่กำหนด^{[ 13 ]}

ผู้คนได้รับวงกลมหน่วยจำนวนn วง และต้องบรรจุวงกลมเหล่านั้นลงในภาชนะที่เล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ มีการศึกษาภาชนะหลายประเภท:

• การจัดเรียงวงกลมในวงกลม - มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการกระจายจุดในวงกลมหน่วย โดยมีเป้าหมายเพื่อหาค่าระยะห่างน้อยที่สุดที่มากที่สุดd ระหว่างจุดต่างๆ ได้มีการพิสูจน์แล้วว่าได้คำตอบที่เหมาะสมที่สุดสำหรับn ≤ 14และn = 19
• การจัดเรียงวงกลมในสี่เหลี่ยมจัตุรัส - มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการกระจายจุดในสี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วย โดยมีเป้าหมายเพื่อหาค่าระยะห่างน้อยที่สุดที่มากที่สุดd ระหว่างจุดต่างๆ ในการแปลงระหว่างสองรูปแบบของปัญหานี้ ด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสำหรับวงกลมหน่วยจะเป็น${\displaystyle L=2+2/d_{n}}$.

  

  ได้มีการพิสูจน์แล้วว่าวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดนั้นใช้ได้กับกรณีที่n ≤ 30
• การจัดเรียงวงกลมในสี่เหลี่ยมผืนผ้า
• การจัดเรียงวงกลมในสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว - ทราบค่าประมาณที่ดีแล้วสำหรับn < 300
• การจัดเรียงวงกลมในสามเหลี่ยมด้านเท่า - ทราบวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดสำหรับn ≤ 15และมีข้อสันนิษฐาน สำหรับ n ≤ 34 ^{[ 14 ]}

ผู้คนจะได้รับแผ่นสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดn หน่วยจำนวน n แผ่น และต้องบรรจุแผ่นเหล่านั้นลงในภาชนะที่เล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ โดยที่ชนิดของภาชนะจะแตกต่างกันไป:

• การจัดเรียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสลงในสี่เหลี่ยมจัตุรัส : ได้มีการพิสูจน์แล้วว่าได้คำตอบที่เหมาะสมที่สุดสำหรับn ตั้งแต่ 1-10, 14-16, 22-25, 33-36, 62-64, 79-81, 98-100 และจำนวนเต็มกำลังสอง ใดๆ พื้นที่ที่สูญเปล่ามีค่าโดยประมาณเป็นO ( a³ ^/5 )
• การจัดเรียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสในวงกลม : พบวิธีแก้ปัญหาที่ดีสำหรับn ≤ 35แล้ว

  

• การจัดเรียงสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่เหมือนกันลงในสี่เหลี่ยมผืนผ้า : ปัญหาของการจัดเรียงสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด( l , w ) หลายๆ ชิ้น โดยอนุญาตให้หมุนได้ 90° ลงในสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดใหญ่กว่าที่มีขนาด( L , W )มีการประยุกต์ใช้บางอย่าง เช่น การจัดวางกล่องบนพาเลท และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง การจัดเก็บ เยื่อไม้ตัวอย่างเช่น สามารถจัดเรียงสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด (137,95) ได้ 147 ชิ้นลงในสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด (1600,1230)
• การจัดเรียงสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้างและความสูงต่างกันลงในสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีพื้นที่ น้อยที่สุด (แต่ไม่มีข้อจำกัดด้านความกว้างหรือความสูงของสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ล้อมรอบ) มีประโยชน์อย่างมากในการรวมภาพหลายภาพเข้าด้วยกันเป็นภาพขนาดใหญ่ภาพเดียว เว็บเพจที่โหลดภาพขนาดใหญ่ภาพเดียวมักจะแสดงผลได้เร็วกว่าในเบราว์เซอร์เมื่อเทียบกับเว็บเพจที่โหลดภาพขนาดเล็กหลายภาพ เนื่องจากมีค่าใช้จ่ายเพิ่มเติมในการขอภาพแต่ละภาพจากเว็บเซิร์ฟเวอร์ ปัญหานี้โดยทั่วไปเป็นปัญหาNP-completeแต่มีอัลกอริธึมที่รวดเร็วสำหรับการแก้ปัญหาในกรณีขนาดเล็ก