ในคณิตศาสตร์และในสาขาวิชาอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับภาษาเชิงรูปธรรมรวมถึงตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์และวิทยาการคอมพิวเตอร์ตัวแปรอาจกล่าวได้ว่าเป็นตัวแปรอิสระหรือตัวแปรถูกผูกไว้ หนังสือเก่าบางเล่มใช้คำว่าตัวแปรจริงและตัวแปรปรากฏแทนตัวแปรอิสระและตัวแปรถูกผูกไว้ตามลำดับตัวแปรอิสระคือสัญลักษณ์ที่ระบุตำแหน่งในนิพจน์ที่ สามารถทำการ แทนที่ได้ และไม่ใช่พารามิเตอร์ของนิพจน์นี้หรือนิพจน์อื่นๆ แนวคิดนี้เกี่ยวข้องกับตัวยึดตำแหน่ง ( สัญลักษณ์ที่จะถูกแทนที่ด้วยค่าบางอย่างในภายหลัง) หรืออักขระตัวแทนที่ใช้แทนสัญลักษณ์ที่ไม่ระบุ

ในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์คำว่า ตัวแปรอิสระ หมายถึงตัวแปรที่ใช้ในฟังก์ชันซึ่งไม่ใช่ทั้งตัวแปรเฉพาะที่หรือพารามิเตอร์ของฟังก์ชันนั้น คำว่าตัวแปรไม่เฉพาะที่มักเป็นคำที่มีความหมายเหมือนกันในบริบทนี้

ในทางตรงกันข้าม ตัวแปรสัญลักษณ์จะถูกผูกไว้ก็ต่อเมื่อค่าของตัวแปรสัญลักษณ์นั้นถูกผูกไว้กับค่าเฉพาะหรือช่วงค่าในโดเมนของการสนทนาหรือจักรวาลซึ่งอาจทำได้โดยการใช้ตัวบ่งปริมาณเชิงตรรกะ ตัวดำเนินการผูกตัวแปร หรือการระบุค่าที่อนุญาตสำหรับตัวแปรอย่างชัดเจน (เช่น "...โดยที่เป็นจำนวนเต็มบวก") ${\displaystyle n}$

เนื่องจากสัญลักษณ์ตัวแปรเดียวกันอาจปรากฏในหลายตำแหน่งในนิพจน์ การปรากฏของสัญลักษณ์ตัวแปรบางครั้งอาจเป็นอิสระในขณะที่บางครั้งถูกผูกไว้^{[ 1 ] : 78} ดังนั้น "อิสระ" และ "ถูกผูกไว้" จึงถูกกำหนดขึ้นในตอนแรกสำหรับการปรากฏ และจากนั้นจึงขยายความทั่วไปไปยังการปรากฏทั้งหมดของสัญลักษณ์ตัวแปรดังกล่าวในนิพจน์ สัญลักษณ์ตัวแปรโดยรวมจะเป็นอิสระหากมีการปรากฏอย่างน้อยหนึ่งครั้งที่เป็นอิสระ^{[ 1 ]}

แม้ว่าขอบเขตของการพิจารณาในบริบทต่างๆ จะเป็นที่เข้าใจได้ แต่เมื่อไม่ได้ระบุช่วงค่าที่ชัดเจนสำหรับตัวแปรที่ถูกผูกไว้ อาจจำเป็นต้องระบุขอบเขตเพื่อประเมินนิพจน์ได้อย่างถูกต้อง ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ต่อไปนี้ซึ่งตัวแปรทั้งสองถูกผูกไว้ด้วยตัวบ่งปริมาณเชิงตรรกะ:

${\displaystyle \forall y\,\exists x\,\left(x={\sqrt {y}}\right)}$

นิพจน์นี้จะมีค่าเป็นเท็จหากโดเมนของและคือจำนวนจริงแต่ จะมี ค่า เป็นจริงหากโดเมนคือจำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

คำว่า "ตัวแปรดัมมี่" บางครั้งก็ใช้สำหรับตัวแปรที่ถูกผูกไว้ (โดยทั่วไปในคณิตศาสตร์ทั่วไปมากกว่าในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์) แต่ไม่ควรสับสนกับแนวคิดที่มีชื่อเดียวกันแต่ไม่เกี่ยวข้องกันของตัวแปรดัมมี่ที่ใช้ในสถิติ ซึ่งส่วนใหญ่ใช้ใน การ วิเคราะห์การถดถอย^{[ 2 ]หน้า 17}

ก่อนที่จะกล่าวถึงคำจำกัดความที่ชัดเจนของตัวแปรอิสระและตัวแปรที่ถูกผูกไว้ ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างบางส่วนที่อาจทำให้เข้าใจแนวคิดทั้งสองนี้ได้ชัดเจนกว่าคำจำกัดความ:

• ในการแสดงออก:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{10}f(k,n),}$

${\displaystyle n}$เป็นตัวแปรอิสระและเป็นตัวแปรที่ถูกผูกไว้ ดังนั้นค่าของนิพจน์นี้จึงขึ้นอยู่กับค่าของแต่ไม่มีสิ่งใดที่เรียกว่าซึ่งนิพจน์นี้อาจขึ้นอยู่กับได้${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

• ในการแสดงออก:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{y-1}e^{-x}\,dx,}$

${\displaystyle y}$เป็นตัวแปรอิสระและเป็นตัวแปรที่ถูกผูกไว้ ดังนั้นค่าของนิพจน์นี้จึงขึ้นอยู่กับค่าของแต่ไม่มีสิ่งใดที่เรียกว่าซึ่งนิพจน์นี้อาจขึ้นอยู่กับได้${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$

• ในการแสดงออก:

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}},}$

${\displaystyle x}$เป็นตัวแปรอิสระและเป็นตัวแปรที่ถูกผูกไว้ ดังนั้นค่าของนิพจน์นี้จึงขึ้นอยู่กับค่าของแต่ไม่มีสิ่งใดที่เรียกว่าซึ่งนิพจน์นี้อาจขึ้นอยู่กับได้${\displaystyle h}$${\displaystyle x}$${\displaystyle h}$

• ในการแสดงออก:

${\displaystyle \forall x\ \exists y\ {\Big [}\varphi (x,y,z){\Big ]},}$

${\displaystyle z}$เป็นตัวแปรอิสระ และและเป็นตัวแปรที่ถูกผูกไว้ ซึ่งเกี่ยวข้องกับตัวบ่งปริมาณเชิงตรรกะดังนั้นค่าเชิงตรรกะของนิพจน์นี้จึงขึ้นอยู่กับค่าของแต่ไม่มีสิ่งใดที่เรียกว่าหรือที่นิพจน์นี้จะขึ้นอยู่กับได้${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

ในบริบทที่กว้างขึ้น ตัวแปรที่ถูกผูกไว้มีความสำคัญต่อโครงสร้างของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ตัวอย่างเช่น การพิสูจน์ต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่ากำลังสองของจำนวน คู่บวกใดๆ หารด้วย 4 ลงตัว:

ให้เป็นจำนวนเต็มคู่บวกใดๆ ตามนิยาม จะมีจำนวนเต็ม อยู่จำนวนหนึ่งที่ทำให้ แทนค่านี้ลงในนิพจน์ของกำลังสองจะได้เนื่องจากเป็นจำนวนเต็มดังนั้น ก็เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน ดังนั้น จึงหารด้วย 4 ลงตัว ${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n=2k}$${\displaystyle n^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k^{2}}$${\displaystyle n^{2}}$

ในการพิสูจน์นี้ ทั้งและทำหน้าที่เป็นตัวแปรที่ถูกผูกไว้ แต่ถูกผูกไว้ด้วยวิธีที่แตกต่างกัน^{[ 3 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

ตัวแปรถูกนำเสนอเป็น องค์ประกอบ ที่กำหนดขึ้นเองแต่เฉพาะเจาะจงของเซต ข้อความ "ให้เป็น..." ทำหน้าที่เป็นตัวบ่งปริมาณสากล โดยปริยาย ซึ่งมีผลผูกพันต่อขอบเขตของการพิสูจน์ การพิสูจน์สร้างคุณสมบัติสำหรับตัวแปรที่กำหนดขึ้นเองเพียงตัวเดียวนี้ซึ่งอนุญาตให้สรุปโดยทั่วไปว่าคุณสมบัตินี้ใช้ได้กับจำนวนเต็มคู่บวกทั้งหมด^{[ 4 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

ในทางกลับกันตัวแปร ถูกผูกไว้ด้วย ตัวบ่งปริมาณการมีอยู่ ("มีจำนวนเต็มอยู่") ตัวแปรนี้ถูกนำมาใช้เพื่อแทนจำนวนเต็มที่เฉพาะเจาะจง แม้ว่าจะไม่ได้ระบุชื่อ ซึ่งการมีอยู่ของมันได้รับการรับประกันโดยนิยามของการเป็นจำนวนคู่ ขอบเขตของตัวแปรนี้ถูกจำกัดไว้เฉพาะการให้เหตุผลที่ตามมาหลังจากการนำมาใช้^{[ 5 ]}${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

ดังนั้น ตัวแปรทั้งสองจึงไม่เป็นอิสระ ความหมายของตัวแปรเหล่านั้นถูกกำหนดโดยบทบาทของมันภายในโครงสร้างเชิงตรรกะของการพิสูจน์อย่างสมบูรณ์

ในคณิตศาสตร์และตรรกศาสตร์สัญลักษณ์จำนวนหนึ่งทำหน้าที่เป็นตัวดำเนินการผูกตัวแปร ตัวดำเนินการเหล่านี้รับฟังก์ชันหรือสูตรเปิดเป็นอาร์กิวเมนต์และผูกตัวแปรอิสระภายในนิพจน์นั้นกับโดเมนหรือช่วงค่าที่เฉพาะเจาะจง สร้างนิพจน์ใหม่ที่มีความหมายไม่ขึ้นอยู่กับตัวแปรที่ถูกผูกไว้^{[ 6 ]}

ตัวดำเนินการผูกตัวแปรที่ใช้กันทั่วไป ได้แก่:

• ตัวดำเนินการ ผลรวม ( ) และผลคูณ ( ) ซึ่งผูกตัวแปรกับเซตหรือช่วงของค่า${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle \sum _{x\in S}f(x)\quad \quad \quad \prod _{x\in S}f(x)}$

• ตัว ดำเนินการ อินทิกรัล ( ) และลิมิต ( ) ซึ่งผูกตัวแปรไว้กับค่าต่อเนื่องหรือเมื่อเข้าใกล้ค่าใดค่าหนึ่ง${\displaystyle \textstyle \int }$${\displaystyle \lim }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\quad \quad \lim _{x\to c}f(x)}$

• ตัวบ่งปริมาณเชิงตรรกะเช่นตัวบ่งปริมาณสากล ( ) และตัวบ่งปริมาณเชิงการมีอยู่ ( ) ซึ่งผูกตัวแปรไว้กับขอบเขตของการสนทนา${\displaystyle \forall }$${\displaystyle \exists }$

${\displaystyle \forall x,P(x)\quad \quad \quad \exists x,P(x)}$

ในแต่ละกรณี ตัวแปรxจะถูกผูกไว้ภายในนิพจน์ที่ตามหลังตัวดำเนินการ (เช่นหรือ) ตัวดำเนินการเหล่านี้จำนวนมากทำงานกับฟังก์ชันของตัวแปรที่ถูกผูกไว้ แม้ว่าสัญกรณ์มาตรฐานมักจะเพียงพอ แต่นิพจน์ที่ซับซ้อนที่มี ตัวดำเนินการ ซ้อนกันอาจทำให้เกิดความกำกวม โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากมีการใช้ชื่อตัวแปรเดียวกันซ้ำ ซึ่งอาจนำไปสู่ปัญหาที่เรียกว่าการจับตัวแปรซึ่งตัวแปรที่ตั้งใจให้เป็นอิสระถูกผูกไว้โดยไม่ถูกต้องโดยตัวดำเนินการในขอบเขตที่แตกต่างกัน^{[ 7 ]}${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle P(x)}$

เพื่อหลีกเลี่ยงความกำกวมดังกล่าว การเปลี่ยนไปใช้สัญกรณ์ที่ทำให้การผูกมัดชัดเจนโดยถือว่าตัวดำเนินการเป็น ฟังก์ชันลำดับสูงกว่าอาจเป็นประโยชน์แนวทางนี้ซึ่งมีรากฐานมาจากหลักการของแคลคูลัสแลมบ์ดาจะแยกฟังก์ชันที่ถูกดำเนินการออกจากตัวดำเนินการเองอย่างชัดเจน^{[ 8 ]}

ตัวอย่างเช่น:

• สามารถเขียนผลรวม เพื่อให้เห็นถึงข้อโต้แย้งเชิงฟังก์ชันได้อย่างชัดเจน:${\displaystyle \sum _{k=1}^{10}f(k,n)}$

${\displaystyle \sum _{\{1,\ldots ,10\}}(k\mapsto f(k,n))}$

ในที่นี้ ตัวดำเนินการนี้ใช้ กับเซตSและฟังก์ชันf${\displaystyle \sum _{S}f}$

• ตัว ดำเนิน การอนุพันธ์สามารถแสดงได้อย่างชัดเจนโดยรับฟังก์ชันเป็นอาร์กิวเมนต์:

${\displaystyle D(x\mapsto x^{2}+2x+1)}$

สัญลักษณ์นี้ช่วยให้เข้าใจได้ชัดเจนว่าตัวดำเนินการนั้นถูกนำไปใช้กับฟังก์ชันทั้งหมดไม่ใช่เพียงแค่ส่วนหนึ่งของนิพจน์ที่มีตัวแปรอยู่ เท่านั้น${\displaystyle D}$${\displaystyle x\mapsto x^{2}+2x+1}$${\displaystyle x}$

กลไกการผูกตัวแปรเกิดขึ้นในบริบทต่างๆ ในคณิตศาสตร์ ตรรกศาสตร์ และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ อย่างไรก็ตาม ในทุกกรณี กลไกเหล่านี้เป็นเพียง คุณสมบัติ ทางไวยากรณ์ของนิพจน์และตัวแปรในนั้น สำหรับส่วนนี้ เราสามารถสรุปไวยากรณ์ได้โดยการระบุนิพจน์ด้วยต้นไม้ที่มีโหนดใบเป็นตัวแปร ค่าคงที่ ค่าคงที่ของฟังก์ชัน หรือค่าคงที่ของภาคแสดง และโหนดที่ไม่ใช่ใบเป็นตัวดำเนินการทางตรรกะ จากนั้นนิพจน์นี้สามารถกำหนดได้โดยการ ท่อง ต้นไม้ตามลำดับ ตัว ดำเนินการผูกตัวแปรเป็นตัว ดำเนินการทางตรรกะที่เกิดขึ้นในภาษาทางการเกือบทุกภาษา ตัวดำเนินการผูกตัวแปรรับอาร์กิวเมนต์สองตัว ได้แก่ ตัวแปรและนิพจน์และเมื่อนำไปใช้กับอาร์กิวเมนต์จะสร้างนิพจน์ใหม่ความหมายของตัวดำเนินการผูกตัวแปรนั้นมาจากความหมายของภาษาและไม่เกี่ยวข้องกับเราในที่นี้ ${\displaystyle Q}$${\displaystyle v}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q(v,P)}$

การผูกตัวแปรเกี่ยวข้องกับสามสิ่ง ได้แก่ตัวแปร ตำแหน่งของตัวแปรนั้นในนิพจน์ และโหนดที่ไม่ใช่โหนดใบในรูปแบบ <variable_name> ควรสังเกตว่าเรากำหนดตำแหน่งในนิพจน์เป็นโหนดใบในโครงสร้างต้นไม้ทางไวยากรณ์ การผูกตัวแปรเกิดขึ้นเมื่อตำแหน่งนั้นอยู่ต่ำกว่าโหนด<variable_name> ${\displaystyle v}$${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle Q(v,P)}$${\displaystyle n}$

ในแคลคูลัสแลมบ์ดาเป็นxตัวแปรที่ถูกผูกไว้ในเทอมM = λx. Tและเป็นตัวแปรอิสระในเทอมTเรากล่าวว่าxถูกผูกไว้ในMและเป็นอิสระในTถ้าTประกอบด้วยเทอมย่อยλx. Uจะxถูกผูกไว้ในเทอมนี้ การผูกภายในแบบซ้อนกันของ นี้xเรียกว่า "เงา" ของการผูกภายนอก การเกิดขึ้นของxในUเป็นการเกิดขึ้นแบบอิสระของxใหม่^{[ 9 ]}

ตัวแปรที่ถูกผูกไว้ในระดับบนสุดของโปรแกรมนั้น ในทางเทคนิคแล้วเป็นตัวแปรอิสระภายในเงื่อนไขที่มันถูกผูกไว้ แต่โดยทั่วไปแล้วจะได้รับการปฏิบัติเป็นพิเศษเนื่องจากสามารถคอมไพล์เป็นที่อยู่คงที่ได้ ในทำนองเดียวกัน ตัวระบุที่ผูกไว้กับฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำก็ในทางเทคนิคแล้วเป็นตัวแปรอิสระภายในตัวมันเอง แต่ได้รับการปฏิบัติเป็นพิเศษเช่นกัน

เทอมปิดคือเทอมที่ไม่มีตัวแปรอิสระ

ตัวอย่างที่ชัดเจนของตัวดำเนินการผูกตัวแปรจากคณิตศาสตร์คือการนิยามฟังก์ชัน นิพจน์ที่นิยามฟังก์ชัน เช่น ด้านขวามือของ:

${\displaystyle f=\left[(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto t\right]\,,}$

ผูกตัวแปร นิพจน์ซึ่งเป็นตัวเนื้อหาของฟังก์ชัน อาจมีตัวแปรบางส่วนทั้งหมดหรือไม่มีเลยซึ่งเป็นพารามิเตอร์อย่างเป็นทางการ การปรากฏของตัวแปรเหล่านี้ภายในจะถูกผูกไว้ด้วยคำจำกัดความของฟังก์ชัน ตัวเนื้อหายังอาจมีตัวแปรอื่นๆ ซึ่งจะถือว่าเป็นตัวแปรอิสระซึ่งค่าของตัวแปรเหล่านั้นจะต้องถูกกำหนดจากบริบทที่กว้างขึ้น^{[ 6 ]}${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t}$

การแสดงออกนี้คล้ายคลึงโดยตรงกับการแสดงออกแลมบ์ดาในแคลคูลัสแลมบ์ดาโดยที่สัญลักษณ์เป็นตัวดำเนินการผูกตัวแปรพื้นฐาน ตัวอย่างเช่น นิยามฟังก์ชันเทียบเท่ากับนามธรรมแลมบ์ดา^{[ 8 ]}${\displaystyle \left[(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto t\right]}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle (x\mapsto x^{2})}$${\displaystyle \lambda x.x^{2}}$

นิยามเดียวกันนี้ ซึ่งเชื่อมโยงฟังก์ชันที่กำลังนิยามเข้ากับชื่อมักจะเขียนในตำราคณิตศาสตร์ในรูปแบบนี้มากกว่า ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=t\,.}$

ตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์อื่นๆ สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นฟังก์ชันลำดับสูงที่ผูกตัวแปรเข้าด้วยกัน ตัวอย่างเช่นตัวดำเนินการหาผลรวมสามารถวิเคราะห์ได้ว่าเป็นตัวดำเนินการที่รับฟังก์ชันและเซตที่จะประเมินค่าฟังก์ชันนั้น นิพจน์: ${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle \sum _{x\in S}{x^{2}}}$

ผูกตัวแปรx ไว้ ภายในเทอมขอบเขตของการผูกคือเทอมที่อยู่หลังสัญลักษณ์ผลรวม นิพจน์นี้สามารถถือได้ว่าเป็นสัญกรณ์ที่กระชับกว่าสำหรับ: ${\displaystyle x^{2}}$

${\displaystyle \sum _{S}{(x\mapsto x^{2})}}$

ในที่นี้คือตัวดำเนินการที่มีพารามิเตอร์สองตัว ได้แก่ ฟังก์ชันที่มีพารามิเตอร์เดียว(ในกรณีนี้คือ) และเซตที่จะใช้ประเมินค่าฟังก์ชันนั้น ${\displaystyle \sum _{S}{f}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$${\displaystyle S}$

ตัวดำเนินการอื่นๆ สามารถแสดงได้ในลักษณะเดียวกันตัวบ่งปริมาณสากล สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นตัวดำเนินการที่ประเมินผลเป็นการเชื่อมโยงเชิงตรรกะของฟังก์ชันค่าบูลีนที่ใช้กับแต่ละองค์ประกอบในเซต (ซึ่งอาจเป็นอนันต์) ในทำนอง เดียวกันตัวดำเนินการผลคูณ ( ), ตัวดำเนินการลิมิต ( ) และ ตัวดำเนินการ อินทิกรัล ( ) ล้วนทำหน้าที่เป็นตัวผูกตัวแปร โดยผูกตัวแปรและตามลำดับเหนือโดเมนที่กำหนด^{[ 10 ]}${\displaystyle \forall x\in S,P(x)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$${\textstyle \prod }$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }}$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$

เมื่อวิเคราะห์ผ่านมุมมองของความหมายเชิงรูปธรรมภาษาธรรมชาติแสดงให้เห็นระบบการผูกตัวแปรที่คล้ายคลึงกันกับสิ่งที่พบในตรรกศาสตร์เชิงรูปธรรมและวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ [ ^{11 ] ระบบ}นี้ควบคุมวิธีการตีความการแสดงออกที่อ้างอิง โดยเฉพาะคำสรรพนามภายในประโยคหรือบทสนทนา^{[ 12 ]}

ในภาษาอังกฤษสรรพนามส่วนบุคคลเช่นhe , she , theyและรูปแบบต่างๆ (เช่นher , him ) สามารถทำหน้าที่เป็นตัวแปรอิสระได้ [ ^{13 ] ตัวแปร}อิสระคือคำที่ผู้ถูกอ้างอิงไม่ได้ถูกกำหนดไว้ภายในโครงสร้างทางไวยากรณ์โดยตรงของประโยค และต้องระบุโดยบริบทที่กว้างขึ้น ซึ่งอาจเป็นได้ทั้งทางภาษาหรือสถานการณ์ ( เชิงปฏิบัติ ) ^{[ 14 ]}

พิจารณาประโยคต่อไปนี้:

ลิซ่าเจอหนังสือของเธอแล้ว

สรรพนามแสดงความเป็นเจ้าของherเป็นตัวแปรอิสระ การตีความมีความยืดหยุ่น สามารถหมายถึงLisaซึ่งเป็นเอนทิตีภายในประโยค หรือหมายถึงบุคคลหญิงอื่นที่โดดเด่นในบริบทของคำพูด^{[ 12 ]}ความกำกวมนี้ทำให้เกิดการตีความหลักสองประการ ซึ่งสามารถแสดงอย่างเป็นทางการได้โดยใช้ดัชนีร่วม^{[ 15 ]}ดัชนีที่เหมือนกันบ่งชี้ถึงการอ้างอิงร่วมกันในขณะที่ดัชนีที่แตกต่างกันบ่งชี้ว่าสำนวนเหล่านั้นอ้างถึงเอนทิตีที่แตกต่างกัน

1. _ฉันเจอลิซ่า ใน หนังสือ _ของเธอ
   • (การตีความนี้แสดงถึงการอ้างอิงร่วมกัน โดยที่ "เธอ" หมายถึงลิซ่า ซึ่งมักเรียกว่าการอ่านแบบอนาโฟริก โดยที่ "เธอ" เป็นคำอนาโฟร และ "ลิซ่า" เป็นคำที่อ้างถึง )
2. ลิซ่า_ฉันเจอ_สมุดของเธอแล้ว
   • (ในความหมายนี้ "เธอ" หมายถึงบุคคลเพศหญิงที่ไม่ใช่ลิซ่า ตัวอย่างเช่น บุคคลชื่อเจนที่ถูกกล่าวถึงไปก่อนหน้านี้ในบทสนทนา)

ความแตกต่างนี้ไม่ใช่เพียงแค่การฝึกฝนทางทฤษฎีเท่านั้น บางภาษามีรูปแบบสรรพนามที่แตกต่างกันเพื่อแยกความแตกต่างระหว่างการอ่านทั้งสองแบบนี้ ตัวอย่างเช่นภาษานอร์เวย์และสวีเดนใช้สรรพนามแสดงความเป็นเจ้าของแบบสะท้อนกลับsinสำหรับการอ่านแบบอ้างอิงร่วม ( her _i ) และรูปแบบที่ไม่สะท้อนกลับเช่นhennes (ในภาษาสวีเดน) สำหรับการอ่านแบบไม่อ้างอิงร่วม ( her _j ) ^{[ 16 ]}

แม้ว่าภาษาอังกฤษจะไม่มีการแบ่งแยกที่ชัดเจนนี้ในสรรพนามมาตรฐาน แต่ก็สามารถบังคับให้เกิดการอ่านแบบอ้างอิงร่วมกันได้โดยใช้ownซึ่ง เป็นคำแสดงความเป็นเจ้าของที่เน้นย้ำ ^{[ 17 ]}

• ลิซ่า_ฉันเจอ หนังสือ _ของเธอแล้ว (ต้องมีการอ้างอิงร่วม)
• * ลิซ่า_ฉันเจอ หนังสือ _ของเธอเองแล้ว (การแปลนี้ผิดหลักไวยากรณ์)

ตรงกันข้ามกับสรรพนามส่วนบุคคลสรรพนามสะท้อน (เช่นhimself , herself , themselves ) และสรรพนามตอบแทน (เช่นeach other ) ทำหน้าที่เป็นตัวแปรผูกพันซึ่งในทางภาษาศาสตร์เรียกว่าanaphors [ ^{15 ] ตัวแปร}ผูกพันคือสำนวนที่ต้องมีการจัดทำดัชนีร่วมกับ และถูกควบคุมโดย antecedent ภายในโดเมนทางไวยากรณ์ที่เฉพาะเจาะจง^{[ 15 ]}

ลองพิจารณาประโยคต่อไปนี้:

เจนทำร้ายตัวเอง

สรรพนามสะท้อนตัวเองต้องหมายถึงประธานของประโยคย่อย คือเจนไม่สามารถหมายถึงบุคคลอื่นได้^{[ 12 ]}การอ้างอิงร่วมที่จำเป็นนี้เป็นลักษณะเด่นของตัวแปรที่ถูกผูกมัด

• เจน_{ทำร้าย}ตัวเอง (การตีความทางไวยากรณ์_: herself = Jane )
• * เจน_{ทำร้าย}ตัวเอง (การ _{ตีความ}ผิดหลักไวยากรณ์: herself ≠ Jane )

ความสัมพันธ์การผูกมัดนี้สามารถบันทึกอย่างเป็นทางการได้โดยใช้นิพจน์แลมบ์ดา ซึ่งเป็นเครื่องมือจากแคลคูลัสแลมบ์ดาที่ใช้ในความหมายเชิงรูปธรรมเพื่อจำลองนามธรรมและการประยุกต์ใช้ฟังก์ชัน^{[ 18 ]}ประโยคนี้สามารถแสดงได้ดังนี้:

(λx.x hurt x)(Jane)

ในรูปแบบการเขียนแบบนี้:

• λxxคือตัวดำเนินการแลมบ์ดา ที่ผูกตัวแปร
• x hurt xคือ述语 (predicate)ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่รับอาร์กิวเมนต์และระบุว่าอาร์กิวเมนต์นั้นทำร้ายตัวมันเอง
• (Jane)คือค่าอาร์กิวเมนต์ที่ใช้กับฟังก์ชัน

การแสดงออกนี้ประเมินค่าเป็น "เจนทำร้ายเจน" ซึ่งแสดงให้เห็นอย่างถูกต้องว่าประธานและกรรมของกริยาเป็นสิ่งเดียวกัน^{[ 18 ]}

พฤติกรรมที่แตกต่างกันของสรรพนามและอนาฟอร์ได้รับการอธิบายอย่างเป็นระบบโดยทฤษฎีการผูกมัด ซึ่ง เป็น องค์ประกอบหลักของ ทฤษฎีการปกครองและการผูกมัดของโนม ชอมสกี^{[ 15 ]}ทฤษฎีนี้เสนอหลักการสามประการที่ควบคุมการตีความวลีคำนาม ประเภทต่างๆ :

• หลักการ A:อนาฟอร์ (สะท้อน, แลกเปลี่ยน) จะต้องถูกผูกไว้ในหมวดหมู่ที่ควบคุม (โดยประมาณคือประโยค ย่อย ) ^{[ 15 ]}นี่อธิบายว่าทำไมherselfใน "Jane hurt herself" จึงต้องถูกผูกไว้กับJane

• หลักการ B:สรรพนามต้องเป็นอิสระในหมวดหมู่ที่ควบคุม^{[ 15 ]}นี่อธิบายว่าทำไมสรรพนามส่วนบุคคลจึงมักไม่สามารถผูกติดกับคำนามอ้างอิงเฉพาะที่ได้ ตัวอย่างเช่น ในประโยค "Ashley hit her" สรรพนามherไม่สามารถหมายถึงAshleyได้^{[ 19 ]}
  • * แอชลีย์_ฉันตีเธอ (ผิดหลัก _{ไวยากรณ์}เนื่องจากหลักการข้อ B)
  • แอชลีย์_ฉันตีเธอ (ไวยากรณ์: คำว่า " _her "หมายถึงคนอื่นที่ไม่ใช่แอชลีย์)

• หลักการ C:นิพจน์R (นิพจน์อ้างอิง เช่น ชื่อเฉพาะ เช่นเจนหรือคำอธิบายที่แน่นอน เช่นผู้หญิงคนนั้น ) ต้องเป็นอิสระทุกที่^{[ 15 ]}ซึ่งป้องกันไม่ให้นิพจน์ R ถูกจัดทำดัชนีร่วมกับสรรพนามสั่งการ c เช่นใน * He _i said that John _i was tired* ^{[ 20 ]}

แนวคิดเรื่องการผูกตัวแปรเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับการทำความเข้าใจวลีคำนามเชิงปริมาณ (QNPs) เช่นนักเรียนทุกคนนักการเมืองบางคนหรือไม่มีใครเลย^{[ 18 ]}ต่างจากชื่อเฉพาะ วลีเหล่านี้ไม่ได้อ้างถึงหน่วยงานเฉพาะเจาะจง แต่แสดงถึงปริมาณของกลุ่มบุคคล^{[ 18 ]} QNP สามารถผูกคำสรรพนามที่อยู่ในขอบเขต ของมัน ทำให้คำสรรพนามนั้นเป็นตัวแปรที่ถูกผูกไว้

นักเรียนทุกคน_คิดว่าตัว_เองฉลาด

ในประโยคนี้ สรรพนามheถูกตีความตามธรรมชาติที่สุดว่าเป็นตัวแปรที่ถูกผูกไว้^{[ 21 ]}การอ้างอิงของมันแปรผันร่วมกับบุคคลในชุดที่แสดงโดย "นักเรียนทุกคน" ประโยคนี้ไม่ได้หมายความว่านักเรียนทุกคนคิดว่าบุคคลใดบุคคลหนึ่ง (เช่น ปีเตอร์) ฉลาด แต่หมายความว่าสำหรับนักเรียนแต่ละคนคิดว่าฉลาด ในทฤษฎีไวยากรณ์ สิ่งนี้มักถูกวิเคราะห์ผ่านกระบวนการยกตัวบ่งปริมาณ (QR) ซึ่ง QNP เคลื่อนที่ในระดับไวยากรณ์นามธรรมของรูปแบบ ตรรกะ ไปยังตำแหน่งที่มันควบคุมและผูกสรรพนาม^{[ 21 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

การผูกตัวแปรยังมีความสำคัญต่อการวิเคราะห์การเคลื่อน whซึ่งเกิดขึ้นในการสร้างคำถามและอนุประโยคสัมพันธสรรพนาม [ ^{22 ] คำ} wh เช่น who , what และ which ทำหน้าที่เป็นตัวดำเนินการที่ผูกตัวแปรในประโยคหลัก^{[ 23 ]}

• คำถาม:จอ_ห์นชอบใคร_?
• อนุประโยคสัมพันธสรรพนาม:ชายคนนั้น [ที่_แมรี่เห็น_]คือพี่ชายของฉัน

ในโครงสร้างเหล่านี้ คำ ว่า wh -word กล่าวกันว่าเคลื่อนจากตำแหน่งพื้นฐาน ทิ้ง "ร่องรอย" ไว้ซึ่งถือเป็นตัวแปรที่ถูกผูกไว้^{[ 15 ]}ความหมายของคำถามสามารถถอดความได้ว่า " จอห์นชอบ คนแบบไหน ?" ^{[ 18 ]}ในทำนองเดียวกัน อนุประโยคสัมพัทธ์แสดงถึงกลุ่มบุคคลเช่น "แมรี่เห็น" ^{[ 18 ]}${\displaystyle (t)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

ความแตกต่างระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรที่ถูกผูกไว้เป็นคำอธิบายที่มีประสิทธิภาพสำหรับความกำกวมบางประการที่เกิดขึ้นภายใต้VP-ellipsis [ ^{24 ] [ 25 ] พิจารณา}ประโยคต่อไปนี้:

จอห์นรักแม่ของเขา และบิลก็รักแม่ของเขาเช่นกัน

ประโยคนี้สามารถตีความได้สองแบบ:

1. ความสัมพันธ์ที่เคร่งครัด:บิลรักแม่ของจอห์ น
2. การระบุตัวตนที่ไม่ชัดเจน :บิลรักแม่ของบิล

ความกำกวมนี้สามารถอธิบายได้ด้วยสถานะของสรรพนามhisในประโยคแรก^{[ 19 ]}

• หาก ถือว่า hisเป็นตัวแปรอิสระที่อ้างถึง John วลีคำกริยาที่ถูกละเว้น (หรือ "หายไป") จะถูกตีความว่า "รักแม่ของ John" เมื่อนำไปใช้กับ Bill ผลลัพธ์ที่ได้คือการอ่านแบบเคร่งครัด^{[ 19 ]}
• หาก ถือว่า hisเป็นตัวแปรที่ถูกผูกไว้โดยประธานของประโยค (เช่นJohn ) วลีกริยาจะถูกตีความว่าเป็นคุณสมบัติที่ถูกแยกส่วนด้วยแลมบ์ดา: λx.x loves x's motherเมื่อใช้คุณสมบัตินี้กับ Bill ผลลัพธ์ที่ได้คือการอ่านที่ผิดพลาด^{[ 19 ]}

การมีอยู่ของการอ่านเอกลักษณ์ที่ไม่เรียบร้อยถือเป็นหลักฐานที่ชัดเจนสำหรับความเป็นจริงทางจิตวิทยาของการตีความตัวแปรที่ผูกไว้ในไวยากรณ์ของภาษาธรรมชาติ^{[ 26 ]}

ดังนั้น การกระจายและการตีความคำสรรพนามและคำแสดงการอ้างอิงอื่นๆ ในภาษาธรรมชาติจึงไม่ใช่เรื่องบังเอิญ แต่ถูกควบคุมโดยระบบไวยากรณ์และความหมายที่ซับซ้อน^{[ 12 ]}

ความแตกต่างระหว่างตัวแปรอิสระและตัวแปรที่ถูกผูกมัดเป็นรากฐานสำคัญของทฤษฎีภาษาศาสตร์สมัยใหม่ ซึ่งเป็นเครื่องมือวิเคราะห์ที่จำเป็นต่อการอธิบายการอ้างอิงร่วม การกำหนดปริมาณ การสร้างคำถาม และการละคำ

• การปิด (วิทยาการคอมพิวเตอร์)
• ตรรกะเชิงผสม
• การยกแลมบ์ดา
• การผูกชื่อ
• ขอบเขต (การเขียนโปรแกรม)
• ขอบเขต (ตรรกะ)

• Gowers, Timothy ; Barrow-Green, June ; Leader, Imre , บรรณาธิการ (2008). คู่มือคณิตศาสตร์ฉบับพรินซ์ตัน . พรินซ์ตัน, นิวเจอร์ซีย์ : สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน . หน้า  15–16 . doi : 10.1515/9781400830398 . ISBN 978-0-691-11880-2. JSTOR  j.ctt7sd01 . ลคซีเอ็น 2008020450 . คุณ 2467561 . โอซีแอลซี 227205932 . โอล 19327100M . ซบแอล 1242.00016 .