ในตรรกศาสตร์ตัวบ่งปริมาณ (quantifier) ​​คือตัวดำเนินการที่ระบุจำนวนของสิ่งต่างๆ ในขอบเขตของการพิจารณา ที่ สอดคล้อง กับ สูตรเปิดตัวอย่างเช่นตัวบ่งปริมาณสากล (universal quantifier) ​​ในสูตรลำดับที่หนึ่ง (first-order formula)แสดงว่าทุกสิ่งในขอบเขตนั้นสอดคล้องกับคุณสมบัติที่แสดงโดย ในทางกลับกันตัวบ่งปริมาณเชิงมีอยู่ (existential quantifier) ​​ในสูตรแสดงว่ามีบางสิ่งในขอบเขตนั้นที่สอดคล้องกับคุณสมบัติดังกล่าว สูตรที่ตัวบ่งปริมาณมีขอบเขต กว้างที่สุด เรียกว่าสูตรที่มีตัวบ่งปริมาณ (quantified formula) สูตรที่มีตัวบ่งปริมาณต้องมี ตัวแปรที่ถูกผูกไว้ (bound variable)และสูตรย่อย (subformula)ที่ระบุคุณสมบัติของสิ่งที่ตัวแปรนั้นอ้างถึง ${\displaystyle \forall }$${\displaystyle \forall xP(x)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \exists }$${\displaystyle \exists xP(x)}$

ตัวบ่งปริมาณที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุดคือและตัวบ่งปริมาณเหล่านี้โดยทั่วไปนิยามว่าเป็นคู่กันในตรรกศาสตร์คลาสสิก : แต่ละตัวสามารถนิยามได้ในรูปของอีกตัวหนึ่งโดยใช้การปฏิเสธนอกจากนี้ยังสามารถใช้เพื่อนิยามตัวบ่งปริมาณที่ซับซ้อนกว่าได้ เช่น ในสูตรที่แสดงว่าไม่มีสิ่งใดมีคุณสมบัติตัวบ่งปริมาณอื่นๆ สามารถนิยามได้เฉพาะในตรรกศาสตร์ลำดับที่สองหรือตรรกศาสตร์ลำดับที่สูงกว่า เท่านั้น ตัวบ่งปริมาณได้รับการวางนัยทั่วไปมากขึ้นโดยเริ่มจากงานของAndrzej MostowskiและPer Lindström ${\displaystyle \forall }$${\displaystyle \exists }$${\displaystyle \neg \exists xP(x)}$${\displaystyle P}$

ในประโยคตรรกะลำดับที่หนึ่ง การกำหนดปริมาณประเภทเดียวกัน (ไม่ว่าจะเป็นการกำหนดปริมาณสากลหรือการกำหนดปริมาณเชิงการมีอยู่) สามารถสลับเปลี่ยนกันได้โดยไม่เปลี่ยนแปลงความหมายของประโยค ในขณะที่การสลับเปลี่ยนการกำหนดปริมาณประเภทต่างกันจะเปลี่ยนแปลงความหมาย ตัวอย่างเช่น ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวในนิยามของความต่อเนื่องสม่ำเสมอและความต่อเนื่อง (ธรรมดา)คือลำดับของการกำหนดปริมาณ

ตัวบ่งปริมาณลำดับแรกจะประมาณความหมายของ ตัวบ่งปริมาณ ในภาษาธรรมชาติ บาง คำ เช่น "บางส่วน" และ "ทั้งหมด" อย่างไรก็ตาม ตัวบ่งปริมาณในภาษาธรรมชาติจำนวนมากสามารถวิเคราะห์ได้เฉพาะในแง่ของตัวบ่งปริมาณทั่วไปเท่านั้น

สำหรับขอบเขตการสนทนาที่จำกัดสูตรที่มีตัวบ่งปริมาณสากลจะเทียบเท่ากับการเชื่อมโยงเชิงตรรกะ ในทางกลับกัน สูตรที่มีตัวบ่งปริมาณเชิงมีอยู่จะเทียบเท่ากับการแยกเชิงตรรกะตัวอย่างเช่น ถ้าคือเซตของเลขฐานสองสูตรจะย่อเป็นซึ่งประเมินค่าได้เป็น จริง${\displaystyle D=\{a_{1},...a_{n}\}}$${\displaystyle \forall x\in D\;P(x)}$${\displaystyle P(a_{1})\land ...\land P(a_{n})}$${\displaystyle \exists x\in D\;P(x)}$${\displaystyle P(a_{1})\lor ...\lor P(a_{n})}$${\displaystyle B=\{0,1\}}$${\displaystyle \forall x\in B\;x=x^{2}}$${\displaystyle 0=0^{2}\land 1=1^{2}}$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้ (โดยใช้สัญลักษณ์จุดสำหรับการคูณ):

สิ่งนี้ดูเหมือนจะเป็นการเชื่อมโยง ประพจน์ ที่ไม่มีที่สิ้นสุดจากมุมมองของภาษาเชิงรูปธรรมนี่เป็นปัญหาในทันที เนื่องจาก กฎ ไวยากรณ์คาดว่าจะสร้าง ประโยค ที่มีจำนวนจำกัดการกำหนดสูตรที่กระชับและเทียบเท่ากัน ซึ่งหลีกเลี่ยงปัญหาเหล่านี้ ใช้การกำหนดปริมาณแบบสากล :

การวิเคราะห์ที่คล้ายกันนี้สามารถนำไปใช้กับการเชื่อมแบบ "หรือ" ได้เช่นกัน

ซึ่งสามารถเรียบเรียงใหม่ได้โดยใช้การระบุปริมาณเชิงการมีอยู่ :

เป็นไปได้ที่จะสร้างพีชคณิตนามธรรมที่มีแบบจำลองรวมถึงภาษาเชิงรูปธรรมที่มีการกำหนดปริมาณ แต่ความคืบหน้าเป็นไปอย่างช้าๆ และความสนใจในพีชคณิตดังกล่าวมีจำกัด จนถึงปัจจุบันได้มีการคิดค้นแนวทางขึ้นมาสามแนวทาง:

• พีชคณิตเชิง ความสัมพันธ์ (Relation algebra ) คิดค้นโดยออกัสตัส เดอ มอร์แกนและพัฒนาโดยชาร์ลส์ แซนเดอร์ส เพียร์ซ , เอิร์นส์ ชโรเดอร์ , อัลเฟรด ทาร์สกีและลูกศิษย์ของทาร์สกี พีชคณิตเชิงความสัมพันธ์ไม่สามารถแทนสูตรใดๆ ที่มีตัวบ่งปริมาณซ้อนกันมากกว่าสามระดับได้ ที่น่าประหลาดใจคือ แบบจำลองของพีชคณิตเชิงความสัมพันธ์นั้นรวมถึงทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ZFCและเลขคณิตของพีอาโน (Peano arithmetic ) ด้วย
• พีชคณิตทรงกระบอกคิดค้นโดยอัลเฟรด ทาร์สกี , ลีออน เฮนกินและคนอื่นๆ
• พีชคณิตพหุภาคีของพอล ฮาลมอส

ตัวบ่งปริมาณที่พบได้บ่อยที่สุดสองตัวคือ ตัวบ่งปริมาณสากลและตัวบ่งปริมาณการมีอยู่ สัญลักษณ์ดั้งเดิมของตัวบ่งปริมาณสากลคือ " ∀ " ซึ่งเป็นตัวอักษร " A " ที่หมุนแล้ว ซึ่งหมายถึง "สำหรับทั้งหมด" หรือ "ทั้งหมด" สัญลักษณ์ที่สอดคล้องกันของตัวบ่งปริมาณการมีอยู่คือ " ∃ " ซึ่งเป็นตัวอักษร " E " ที่หมุนแล้ว ซึ่งหมายถึง "มีอยู่" หรือ "มีอยู่" ^{[ 1 ] [ 2 ]}

ตัวอย่างของการแปลประโยคบอกปริมาณในภาษาธรรมชาติ เช่น ภาษาอังกฤษ จะเป็นดังนี้ จากประโยคที่ว่า "เพื่อนของปีเตอร์แต่ละคนชอบเต้นรำหรือชอบไปทะเล (หรือทั้งสองอย่าง)" เราสามารถระบุและเขียนลักษณะสำคัญใหม่ได้โดยใช้สัญลักษณ์ รวมถึงตัวบอกปริมาณ ดังนั้น ให้Xเป็นเซตของเพื่อนทั้งหมดของปีเตอร์, P ( x ) เป็นภาคแสดง " xชอบเต้นรำ" และQ ( x ) เป็นภาคแสดง " xชอบไปทะเล" จากนั้นประโยคข้างต้นสามารถเขียนในสัญลักษณ์อย่างเป็นทางการได้เป็นซึ่งอ่านว่า "สำหรับทุกxที่เป็นสมาชิกของX , Pใช้กับx หรือQใช้กับx " ${\displaystyle \forall {x}{\in }X,(P(x)\lor Q(x))}$

นอกจากนี้ ยังมีการสร้างนิพจน์เชิงปริมาณอื่นๆ ดังต่อไปนี้

• ${\displaystyle \exists {x}\,P}$^{[ 3 ]}
• ${\displaystyle \forall {x}\,P}$

สำหรับสูตรPสำนวนทั้งสองนี้ (โดยใช้คำจำกัดความข้างต้น) อ่านได้ว่า "มีเพื่อนของปีเตอร์คนหนึ่งที่ชอบเต้นรำ" และ "เพื่อนของปีเตอร์ทุกคนชอบเต้นรำ" ตามลำดับ สัญกรณ์แบบอื่น ๆ ได้แก่ สำหรับเซตXและสมาชิกเซตx :

• ${\displaystyle \bigvee _{x}P}$
• ${\displaystyle (\exists {x})P}$^{[ 4 ]}
• ${\displaystyle (\exists x\ .\ P)}$
• ${\displaystyle \exists x\ \cdot \ P}$
• ${\displaystyle (\exists x:P)}$
• ${\displaystyle \exists {x}(P)}$^{[ 5 ]}
• ${\displaystyle \exists _{x}\,P}$
• ${\displaystyle \exists {x}{,}\,P}$
• ${\displaystyle \exists {x}{\in }X\,P}$
• ${\displaystyle \exists \,x{:}X\,P}$

รูปแบบต่างๆ เหล่านี้ยังใช้ได้กับการกำหนดปริมาณแบบสากลด้วย รูปแบบอื่นๆ สำหรับตัวกำหนดปริมาณแบบสากล ได้แก่

• ${\displaystyle \bigwedge _{x}P}$
• ${\displaystyle \bigwedge xP}$^{[ 6 ]}
• ${\displaystyle (x)\,P}$^{[ 7 ]}

สัญกรณ์บางเวอร์ชันระบุช่วงของการวัดปริมาณไว้อย่างชัดเจน ช่วงของการวัดปริมาณจะต้องระบุเสมอ สำหรับทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่กำหนด สามารถทำได้หลายวิธี:

• สมมติขอบเขตการสนทนาที่คงที่สำหรับทุกการกำหนดปริมาณ ดังเช่นที่ทำในทฤษฎีเซตของ Zermelo– Fraenkel
• กำหนดขอบเขตการสนทนาหลายอย่างล่วงหน้า และกำหนดให้ตัวแปรแต่ละตัวต้องมีการประกาศขอบเขต ซึ่งก็คือชนิดของตัวแปรนั้น นี่เป็นสิ่งที่คล้ายคลึงกับสถานการณ์ใน ภาษา โปรแกรมคอมพิวเตอร์แบบกำหนดชนิดข้อมูลแบบคงที่ ซึ่งตัวแปรต่างๆ มีการประกาศชนิดข้อมูลไว้แล้ว
• ระบุขอบเขตของการวัดปริมาณอย่างชัดเจน อาจใช้สัญลักษณ์แทนเซตของวัตถุทั้งหมดในขอบเขตนั้น (หรือประเภทของวัตถุในขอบเขตนั้น)

เราสามารถใช้ตัวแปรใดก็ได้เป็นตัวแปรเชิงปริมาณแทนตัวแปรอื่นได้ ภายใต้ข้อจำกัดบางประการที่การจับค่าตัวแปรจะไม่เกิดขึ้น แม้ว่าสัญลักษณ์จะใช้ตัวแปรที่มีชนิดข้อมูล ตัวแปรประเภทนั้นก็สามารถนำมาใช้ได้

ในภาษาพูดทั่วไปหรือภาษาธรรมชาติ "∀ x " หรือ "∃ x " อาจปรากฏอยู่หลังหรือตรงกลางของP ( x ) ก็ได้ แต่ในภาษาทางการ วลีที่แนะนำตัวแปรดัมมี่จะอยู่ข้างหน้า

สูตรทางคณิตศาสตร์ผสมผสานการแสดงออกเชิงสัญลักษณ์สำหรับตัวบ่งปริมาณเข้ากับตัวบ่งปริมาณในภาษาธรรมชาติ เช่น

คำสำคัญสำหรับการวัดปริมาณความเฉพาะตัวได้แก่:

นอกจากนี้xอาจถูกแทนที่ด้วยคำสรรพนามตัวอย่างเช่น

ลำดับของคำบ่งปริมาณมีความสำคัญต่อความหมาย ดังที่แสดงให้เห็นได้จากข้อเสนอสองข้อต่อไปนี้:

นี่เป็นความจริงอย่างชัดเจน มันเพียงแค่ยืนยันว่าจำนวนธรรมชาติทุกจำนวนมีกำลังสอง ความหมายของการยืนยันในกรณีที่ลำดับของตัวบ่งปริมาณกลับกันนั้นแตกต่างออกไป:

นี่เป็นเรื่องเท็จอย่างชัดเจน เพราะมันกล่าวว่ามีจำนวนธรรมชาติเพียงจำนวนเดียวsที่เป็นกำลังสองของ จำนวนธรรมชาติ ทุกจำนวน เนื่องจากไวยากรณ์กำหนดไว้ว่าตัวแปรใดๆ ก็ตามไม่สามารถเป็นฟังก์ชันของตัวแปรที่ถูกนำเข้ามาในภายหลังได้

ตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่าจากคณิตศาสตร์วิเคราะห์เกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่อง ความต่อเนื่อง สม่ำเสมอและ ความต่อเนื่อง เฉพาะจุดซึ่งนิยามแตกต่างกันเพียงแค่การสลับตำแหน่งของตัวบ่งปริมาณสองตัว ฟังก์ชันfจากRไปRเรียกว่า

• ต่อเนื่องแบบจุดต่อจุด ถ้า$${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\forall x\in \mathbb {R} \;\exists \delta >0\;\forall h\in \mathbb {R} \;(|h|<\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(x+h)|<\varepsilon )}$$
• ต่อเนื่องสม่ำเสมอ ถ้า$${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in \mathbb {R} \;\forall h\in \mathbb {R} \;(|h|<\delta \,\Rightarrow \,|f(x)-f(x+h)|<\varepsilon )}$$

ในกรณีแรก ค่าเฉพาะที่เลือกสำหรับδสามารถเป็นฟังก์ชันของทั้งεและxซึ่งเป็นตัวแปรที่อยู่ข้างหน้าได้ ในกรณีหลังδสามารถเป็นฟังก์ชันของε เท่านั้น (กล่าวคือ ต้องเลือกค่า δ โดยไม่ขึ้นอยู่กับ^x )ตัวอย่างเช่นf ( x ) = x²สอดคล้องกับความต่อเนื่องแบบจุดต่อจุด แต่ไม่สอดคล้องกับความต่อเนื่องแบบสม่ำเสมอ (ความชันไม่มีขอบเขต) ในทางตรงกันข้าม การสลับตัวบ่งปริมาณสากลสองตัวแรกในนิยามของความต่อเนื่องแบบจุดต่อจุดไม่ได้เปลี่ยนแปลงความหมาย

โดยทั่วไปแล้ว การสลับตัวบ่งปริมาณสากลที่อยู่ติดกันสองตัวที่มีขอบเขต เดียวกัน (หรือการสลับตัวบ่งปริมาณแสดงการมีอยู่ที่อยู่ติดกันสองตัวที่มีขอบเขตเดียวกัน) จะไม่เปลี่ยนแปลงความหมายของสูตร (ดูตัวอย่างที่นี่ ) แต่การสลับตัวบ่งปริมาณแสดงการมีอยู่และตัวบ่งปริมาณสากลที่อยู่ติดกันอาจเปลี่ยนแปลงความหมายของสูตรได้

ระดับความลึกสูงสุดของการซ้อนตัวบ่งปริมาณในสูตรเรียกว่า " ลำดับตัวบ่งปริมาณ "

ถ้าDเป็นโดเมนของxและP ( x ) เป็น述語ที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรวัตถุxแล้วประโยคสากลสามารถแสดงได้ดังนี้

$${\displaystyle \forall x\!\in \!D\;P(x).}$$

สัญลักษณ์นี้เรียกว่าการกำหนดปริมาณแบบจำกัด หรือแบบสัมพัทธ์ หรือแบบมีขอบเขต หรือ อาจเขียนได้อีกแบบว่า

$${\displaystyle \forall x\;(x\!\in \!D\to P(x)).}$$

ประโยคแสดงการมีอยู่สามารถแสดงได้ด้วยการกำหนดปริมาณแบบจำกัดดังนี้

$${\displaystyle \exists x\!\in \!D\;P(x),}$$

หรือเทียบเท่า

$${\displaystyle \exists x\;(x\!\in \!\!D\land P(x)).}$$

เมื่อใช้ร่วมกับการปฏิเสธ จะต้องใช้เพียงตัวบ่งปริมาณสากลหรือตัวบ่งปริมาณเชิงการมีอยู่เพียงตัวเดียวเพื่อทำหน้าที่ทั้งสองอย่าง:

$${\displaystyle \neg (\forall x\!\in \!D\;P(x))\equiv \exists x\!\in \!D\;\neg P(x),}$$

ซึ่งแสดงให้เห็นว่าในการหักล้างประโยค "สำหรับทุกx " นั้น ไม่จำเป็นต้องทำอะไรมากไปกว่าการหาค่าxที่ทำให้ประโยคนั้นเป็นเท็จ ในทำนองเดียวกัน

$${\displaystyle \neg (\exists x\!\in \!D\;P(x))\equiv \forall x\!\in \!D\;\neg P(x),}$$

ในการพิสูจน์ว่าประโยค "มีค่าx อยู่จริง" เป็น เท็จ จำเป็นต้องแสดงให้เห็นว่าประโยคดังกล่าวเป็นเท็จสำหรับทุกค่าx

ในตรรกศาสตร์แบบคลาสสิกทุกสูตรจะสมมูลกันทางตรรกะกับสูตรในรูปแบบปกติพรีเน็กซ์ (prenex normal form ) ซึ่งก็คือ สตริงของตัวบ่งปริมาณและตัวแปรที่ถูกผูกไว้ ตามด้วยสูตรที่ไม่มีตัวบ่งปริมาณ

การหาปริมาณทุกครั้งเกี่ยวข้องกับตัวแปรเฉพาะหนึ่งตัวและขอบเขตการพิจารณาหรือช่วงการหาปริมาณของตัวแปรนั้น ช่วงการหาปริมาณระบุเซตของค่าที่ตัวแปรนั้นรับได้ ในตัวอย่างข้างต้น ช่วงการหาปริมาณคือเซตของจำนวนธรรมชาติ การระบุช่วงการหาปริมาณช่วยให้เราสามารถแสดงความแตกต่างระหว่างการยืนยันว่าภาคแสดงเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติบางจำนวนหรือสำหรับจำนวนจริง บางจำนวน ได้ โดยทั่วไปแล้ว ข้อกำหนดในการอธิบายมักสงวนชื่อตัวแปรบางชื่อไว้ เช่น " n " สำหรับจำนวนธรรมชาติ และ " x " สำหรับจำนวนจริง แม้ว่าการพึ่งพาเฉพาะข้อกำหนดการตั้งชื่อจะไม่สามารถใช้ได้เสมอไป เนื่องจากช่วงของตัวแปรสามารถเปลี่ยนแปลงได้ในระหว่างการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์

สูตรที่กำหนดปริมาณแบบสากลในช่วงว่างเปล่า (เช่น) จะเป็นจริงโดยปริยาย เสมอ ในทางกลับกัน สูตรที่กำหนดปริมาณแบบมีอยู่จริงในช่วงว่างเปล่า (เช่น) จะเป็นเท็จเสมอ ${\displaystyle \forall x\!\in \!\varnothing \;x\neq x}$${\displaystyle \exists x\!\in \!\varnothing \;x=x}$

วิธีที่เป็นธรรมชาติกว่าในการจำกัดขอบเขตของการสนทนาคือการใช้การระบุปริมาณแบบระมัดระวังตัวอย่างเช่น การระบุปริมาณแบบระมัดระวัง

วิธี

ในทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ บาง ทฤษฎี จะมีการสมมติขอบเขตการพิจารณาเพียงขอบเขตเดียวที่กำหนดไว้ล่วงหน้า ตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkel ตัวแปรจะครอบคลุมเซตทั้งหมด ในกรณีนี้ สามารถใช้ตัวบ่งปริมาณแบบมีเงื่อนไขเพื่อจำลองขอบเขตการบ่งปริมาณที่แคบลงได้ ดังนั้นในตัวอย่างข้างต้น เพื่อแสดง

ในทฤษฎีเซตของ Zermelo–Fraenkel เราจะเขียนได้ว่า

โดยที่Nคือเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด

ความหมายเชิงคณิตศาสตร์คือการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์เพื่อศึกษาความหมายของนิพจน์ในภาษาที่เป็นทางการ ประกอบด้วยองค์ประกอบสามประการ ได้แก่ การกำหนดทางคณิตศาสตร์ของกลุ่มวัตถุผ่านทางไวยากรณ์การกำหนดทางคณิตศาสตร์ของโดเมนความหมาย ต่างๆ และความสัมพันธ์ระหว่างทั้งสอง ซึ่งโดยปกติจะแสดงออกมาในรูปฟังก์ชันจากวัตถุทางไวยากรณ์ไปยังวัตถุทางความหมาย บทความนี้จะกล่าวถึงเฉพาะประเด็นการตีความองค์ประกอบของตัวบ่งปริมาณเท่านั้น ไวยากรณ์ของสูตรสามารถแสดงได้ด้วยแผนผังไวยากรณ์ ตัวบ่งปริมาณมีขอบเขตและการปรากฏของตัวแปรxจะเป็นอิสระหากไม่อยู่ในขอบเขตของการบ่งปริมาณสำหรับตัวแปรนั้น ดังนั้นใน

$${\displaystyle \forall x(\exists yB(x,y))\vee C(y,x)}$$

การปรากฏของทั้งxและyในC ( y , x ) เป็นแบบอิสระ ในขณะที่การปรากฏของxและyในB ( y , x ) เป็นแบบมีเงื่อนไข (กล่าวคือไม่ใช่แบบอิสระ)

การตีความแคลคูลัสเชิงประพจน์ลำดับที่หนึ่งถือว่าโดเมนของบุคคลX เป็นสิ่งที่กำหนดมาแล้ว สูตรAที่มีตัวแปรอิสระเป็นx ₁ , ..., x _nจะถูกตีความว่าเป็นฟังก์ชันค่าบูลีนF ( v ₁ , ..., v _n ) ที่ มีอาร์กิวเมนต์ n ตัวโดยแต่ละอาร์กิวเมนต์ครอบคลุมโดเมนXค่าบูลีนหมายความว่าฟังก์ชันนั้นมีค่าเป็นT (ตีความว่าเป็นจริง) หรือF (ตีความว่าเท็จ) การตีความสูตร

$${\displaystyle \forall x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$

Gคือฟังก์ชันที่ มีอาร์กิวเมนต์ n -1 _ตัวโดยที่G ( v1 , ..., vn _{- 1} ) = Tก็ต่อเมื่อF ( v1 _, ..., vn _{- 1} , w ) = TสำหรับทุกwในXถ้า F ( v1 _, ..., vn _{- 1} , w ) = F สำหรับค่า wอย่างน้อยหนึ่งค่าแล้วG ( v1 _, ..., vn _{- 1} ) = Fในทำนองเดียวกัน การตีความสูตรก็เป็นไปในทำนองเดียวกัน

$${\displaystyle \exists x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$

คือฟังก์ชันHที่มี อาร์กิวเมนต์ n -1 ตัว โดยที่H ( v ₁ , ..., v _{n -1} ) = Tก็ต่อเมื่อF ( v ₁ , ..., v _{n -1} , w ) = T สำหรับ wอย่างน้อยหนึ่งตัวและ H ( v ₁ , ..., v _{n -1} ) = Fในกรณีอื่น ๆ

ความหมายเชิงปริมาณของความเป็นเอกลักษณ์นั้นต้องการแคลคูลัสภาคแสดงลำดับที่หนึ่งที่มีความเท่าเทียมกัน ซึ่งหมายความว่ามีภาคแสดงสองตำแหน่งที่โดดเด่น "="; ความหมายก็จะถูกปรับเปลี่ยนตามไปด้วยเพื่อให้ "=" ถูกตีความว่าเป็นความสัมพันธ์ความเท่าเทียมกันสองตำแหน่งบนX เสมอ การตีความของ

$${\displaystyle \exists !x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$

ดังนั้น ฟังก์ชันจึงเป็นฟังก์ชันของ อาร์กิวเมนต์ n -1 ซึ่งก็คือการดำเนินการทางตรรกะแบบANDของการตีความของ

$${\displaystyle {\begin{aligned}\exists x_{n}&A(x_{1},\ldots ,x_{n})\\\forall y,z&{\big (}A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},y)\wedge A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},z)\implies y=z{\big )}.\end{aligned}}}$$

การกำหนดปริมาณแต่ละประเภทจะกำหนดตัวดำเนินการปิด ที่สอดคล้องกัน บนเซตของสูตร โดยการเพิ่มตัวกำหนดปริมาณ สำหรับตัวแปรอิสระ x แต่ละตัวเพื่อผูก xไว้^{[ 9 ]}ตัวอย่างเช่นการปิดแบบมีอยู่ของสูตรเปิดn >2 ∧ x ⁿ + y ⁿ = z ⁿคือสูตรปิด ∃ n ∃ x ∃ y ∃ z ( n >2 ∧ x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ ); สูตรหลังนี้ เมื่อตีความบนจำนวนเต็มบวก เป็นที่ทราบกันว่าเป็นเท็จตามทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์อีกตัวอย่างหนึ่งคือ สัจพจน์สมการ เช่นx + y = y + xมักจะหมายถึงการปิดแบบสากลเช่น ∀ x ∀ y ( x + y = y + x ) เพื่อแสดงการสลับที่ได้

ไม่มีตัวบ่งชี้ปริมาณใดๆ ที่กล่าวถึงไปก่อนหน้านี้ที่สามารถนำมาใช้กับการหาปริมาณในลักษณะดังกล่าวได้

กลไกการตีความที่เป็นไปได้ประการหนึ่งสามารถหาได้ดังนี้: สมมติว่านอกเหนือจากโดเมนความหมายXแล้ว เรายังมีมาตรวัดความน่าจะเป็น P ที่กำหนดบนXและตัวเลขตัดขอบ 0 < a ≤ b ≤ 1 ถ้าAเป็นสูตรที่มีตัวแปรอิสระx ₁ ,..., x _nซึ่งการตีความคือฟังก์ชันFของตัวแปรv ₁ ,..., v _nแล้วการตีความของ

$${\displaystyle \exists ^{\mathrm {many} }x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})}$$

เป็นฟังก์ชันของv ₁ ,..., v _{n -1}ซึ่งเป็นTก็ต่อเมื่อ

$${\displaystyle \operatorname {P} \{w:F(v_{1},\ldots ,v_{n-1},w)=\mathbf {T} \}\geq b}$$

และFในกรณีอื่น ๆ ในทำนองเดียวกัน การตีความของ

$${\displaystyle \exists ^{\mathrm {few} }x_{n}A(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})}$$

เป็นฟังก์ชันของv ₁ ,..., v _{n -1}ซึ่งเป็นFก็ต่อเมื่อ

$${\displaystyle 0<\operatorname {P} \{w:F(v_{1},\ldots ,v_{n-1},w)=\mathbf {T} \}\leq a}$$

และTในกรณีอื่นๆ

มีการเสนอตัวบ่งปริมาณอื่นๆ อีกเล็กน้อยในช่วงเวลาที่ผ่านมา โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวบ่งปริมาณการแก้ปัญหา^{[ 10 ] : 28} ระบุ § ( เครื่องหมายส่วน ) และอ่านว่า "เหล่านั้น" ตัวอย่างเช่น

$${\displaystyle \left[\S n\in \mathbb {N} \quad n^{2}\leq 4\right]=\{0,1,2\}}$$

อ่านว่า "สมาชิกnในNที่n ² ≤ 4 อยู่ใน {0,1,2}" โครงสร้างเดียวกันนี้สามารถแสดงในสัญกรณ์การสร้างเซตได้ดังนี้

$${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} :n^{2}\leq 4\}=\{0,1,2\}.}$$

ตรงกันข้ามกับตัวบ่งปริมาณอื่นๆ § ให้ผลลัพธ์เป็นเซตแทนที่จะเป็นสูตร^{[ 11 ]}

ตัวบ่งปริมาณอื่นๆ ที่บางครั้งใช้ในคณิตศาสตร์ ได้แก่:

• มีองค์ประกอบมากมายนับไม่ถ้วนที่มีคุณสมบัติว่า...
• สำหรับองค์ประกอบเกือบทั้งหมด ยกเว้นจำนวนจำกัด... (บางครั้งอาจแสดงเป็น "สำหรับ องค์ประกอบ เกือบทั้งหมด ...")
• มีองค์ประกอบมากมายนับไม่ถ้วนที่...
• สำหรับองค์ประกอบเกือบทั้งหมด ยกเว้นเพียงจำนวนนับได้...
• สำหรับองค์ประกอบทั้งหมดในชุดของการวัดเชิงบวก...
• สำหรับองค์ประกอบทั้งหมด ยกเว้นองค์ประกอบในเซตที่มีขนาดเป็นศูนย์...

ตรรกศาสตร์เชิง คำศัพท์ หรือที่เรียกว่าตรรกศาสตร์แบบอริสโตเติล จัดการกับปริมาณในลักษณะที่ใกล้เคียงกับภาษาธรรมชาติมากกว่า และไม่เหมาะสมสำหรับการวิเคราะห์เชิงรูปธรรม ตรรกศาสตร์เชิงคำศัพท์ได้กล่าวถึงคำว่าทั้งหมดบางส่วนและไม่ในศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสต์ศักราช ในบันทึกที่กล่าวถึงรูปแบบความจริงด้วย

ในปี พ.ศ. 2360 จอร์จ เบนแธมได้ตีพิมพ์หนังสือOutline of a New System of Logic: With a Critical Examination of Dr. Whately's Elements of Logicซึ่งอธิบายหลักการของตัวบ่งปริมาณ แต่หนังสือเล่มนี้ไม่ได้แพร่หลายมากนัก^{[ 12 ]}

วิลเลียม แฮมิลตันอ้างว่าเขาเป็นผู้บัญญัติศัพท์คำว่า "quantify" และ "quantification" ซึ่งน่าจะมาจากการบรรยายที่เอดินบะระของเขาราวปี ค.ศ. 1840 ออกัสตัส เดอ มอร์แกนยืนยันเรื่องนี้ในปี ค.ศ. 1847 แต่การใช้งานสมัยใหม่เริ่มต้นโดยเดอ มอร์แกนในปี ค.ศ. 1862 ซึ่งเขากล่าวว่า "เราต้องพิจารณาทั้งคำว่าทั้งหมดและบางส่วนที่ไม่ใช่ทั้งหมดในฐานะตัวบ่งปริมาณ" ^{[ 13 ]}

กอตต์ลอบ เฟรเกในหนังสือ Begriffsschrift ปี 1879 ของเขา เป็นคนแรกที่ใช้ตัวบ่งปริมาณเพื่อผูกตัวแปรที่ครอบคลุมขอบเขตของการสนทนาและปรากฏในภาคแสดงเขาจะบ่งปริมาณตัวแปร (หรือความสัมพันธ์) โดยการเขียนตัวแปรไว้เหนือรอยบุ๋มในเส้นตรงที่ปรากฏในสูตรแผนภาพของเขา เฟรเกไม่ได้คิดค้นสัญลักษณ์ที่ชัดเจนสำหรับการบ่งปริมาณเชิงมีอยู่ แต่ใช้สิ่งที่เทียบเท่ากับ ~∀ x ~ หรือการผกผันแทนการจัดการเรื่องการบ่งปริมาณของเฟรเกไม่ค่อยได้รับความสนใจมากนักจนกระทั่งเบอร์แทรนด์ รัสเซลล์เขียน หนังสือ Principles of Mathematicsในปี 1903

ในงานวิจัยที่นำไปสู่บทความของเพียร์ซในปี 1885 เรื่อง "ว่าด้วยพีชคณิตของตรรกศาสตร์: การมีส่วนร่วมต่อปรัชญาของสัญลักษณ์" ชาร์ลส์ แซนเดอร์ส เพียร์ซ และ ออสการ์ ฮาวาร์ด มิตเชลล์นักศึกษาของเขาได้คิดค้นตัวบ่งปริมาณสากลและตัวบ่งปริมาณเชิงมีอยู่ รวมถึงตัวแปรที่ถูกผูกไว้โดยอิสระ เพียร์ซและมิตเชลล์เขียนว่า Π _xและ Σ _xซึ่งปัจจุบันเราเขียนว่า ∀ xและ ∃ xสัญลักษณ์ของเพียร์ซสามารถพบได้ในงานเขียนของเอิร์นส์ ชโรเดอร์ , เลโอโปลด์ โลเวนไฮม์ , โธรัล์ฟ สโกเลมและนักตรรกศาสตร์ชาวโปแลนด์จนถึงทศวรรษ 1950 ที่โดดเด่นที่สุดคือ สัญลักษณ์ที่ใช้ในบทความสำคัญของเคิร์ต เกอเดล ในปี 1930 เกี่ยวกับความสมบูรณ์ของตรรกศาสตร์อันดับหนึ่งและบทความในปี 1931 เกี่ยวกับความไม่สมบูรณ์ของเลขคณิตของพีอาโนPer Martin-Löfได้นำสัญลักษณ์ที่คล้ายกันมาใช้สำหรับผลคูณและผลรวมแบบขึ้นอยู่กันในทฤษฎีประเภทเชิงสัญชาตญาณ ของเขา ซึ่งมีความสัมพันธ์เชิงแนวคิดกับการกำหนดปริมาณ

แนวทางการกำหนดปริมาณของ Peirce ยังมีอิทธิพลต่อWilliam Ernest JohnsonและGiuseppe Peanoซึ่งได้คิดค้นสัญลักษณ์อีกแบบหนึ่งขึ้นมา นั่นคือ ( x ) สำหรับการกำหนดปริมาณแบบสากลของxและ (ในปี 1897) ∃x สำหรับการกำหนดปริมาณแบบมีอยู่ของxดังนั้นเป็นเวลาหลายทศวรรษ สัญลักษณ์มาตรฐานในปรัชญาและตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์คือ ( x ) Pเพื่อแสดงว่า "บุคคลทั้งหมดในขอบเขตของการสนทนามีคุณสมบัติP " และ "(∃x ) P "สำหรับ "มีบุคคลอย่างน้อยหนึ่งคนในขอบเขตของการสนทนาที่มีคุณสมบัติP " Peano ซึ่งเป็นที่รู้จักมากกว่า Peirce ได้เผยแพร่ความคิดของ Peirce ไปทั่วยุโรป สัญลักษณ์ของ Peano ถูกนำมาใช้ในPrincipia MathematicaของWhiteheadและRussell , QuineและAlonzo Churchในปี 1935 Gentzenได้แนะนำสัญลักษณ์ ∀ โดยเปรียบเทียบกับสัญลักษณ์ ∃ ของ Peano ∀ เพิ่งได้รับการยอมรับอย่างเป็นทางการในช่วงทศวรรษ 1960

ประมาณปี 1895 เพียร์ซเริ่มพัฒนาแผนภูมิเชิงอัตถิภาวะ (existential graphs ) ซึ่งตัวแปรต่างๆ สามารถมองได้ว่ามีการกำหนดปริมาณโดยปริยาย การที่ตัวอย่างที่ตื้นที่สุดของตัวแปรนั้นเป็นเลขคู่หรือเลขคี่ จะเป็นตัวกำหนดว่าการกำหนดปริมาณของตัวแปรนั้นเป็นแบบสากล (universal) หรือแบบอัตถิภาวะ (existential) (ความตื้นเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับความลึก ซึ่งถูกกำหนดโดยการซ้อนกันของคำปฏิเสธ) ตรรกะเชิงกราฟของเพียร์ซได้รับความสนใจจากผู้ที่ทำการวิจัยเกี่ยวกับการให้เหตุผลที่หลากหลายและการอนุมานเชิงแผนภาพ ในช่วงไม่กี่ปี ที่ ผ่านมา

• ความทั่วไปอย่างสมบูรณ์
• เกือบทั้งหมด
• ตัวบ่งปริมาณแบบแตกแขนง
• ตัวบ่งปริมาณแบบมีเงื่อนไข
• การนับเชิงปริมาณ
• ในที่สุด (คณิตศาสตร์)
• ตัวบ่งปริมาณทั่วไป — คุณสมบัติลำดับสูงกว่าที่ใช้เป็นความหมายมาตรฐานของวลีคำนาม ที่มีตัวบ่งปริมาณ
• ตัวบ่งปริมาณของลินด์สตรอม — ตัวบ่งปริมาณพหุพจน์แบบทั่วไป
• การเลื่อนตัวระบุปริมาณ

• บาร์ไวส์, จอนและเอ็ตเชเมนดี, จอห์น , 2000. การพิสูจน์ภาษาและตรรกศาสตร์ . CSLI (สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโก) และนิวยอร์ก: สำนักพิมพ์เซเว่นบริดจ์ส. บทนำอย่างง่าย ๆ เกี่ยวกับตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่งโดยนักตรรกศาสตร์ชั้นนำสองท่าน
• บราวน์, คริสโตเฟอร์ ดับเบิลยู. (31 กรกฎาคม 2545). "การกำจัดตัวบ่งปริมาณคืออะไร" . สืบค้นเมื่อ30 สิงหาคม 2561 .
• Frege, Gottlob , 1879. Begriffsschrift . แปลโดยJean van Heijenoort , 1967. From Frege to Gödel: A Source Book on Mathematical Logic, 1879-1931 . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด. การปรากฏตัวครั้งแรกของการกำหนดปริมาณ
• ฮิลเบิร์ต, เดวิดและแอคเคอร์มันน์, วิลเฮล์ม , 1950 (1928). หลักการของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ . เชลซี. แปลจากGrundzüge der theoretischen Logik . สปริงเกอร์-เวอร์แลก. ฉบับพิมพ์ครั้งแรกในปี 1928 เป็นครั้งแรกที่มีการใช้การกำหนดปริมาณอย่างมีสติในลักษณะที่เป็นมาตรฐานในปัจจุบัน กล่าวคือ ในฐานะตัวแปรผูกมัดที่ครอบคลุมขอบเขตการสนทนาที่กำหนดไว้ นี่คือลักษณะเฉพาะของตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่ง
• CS Peirce , 1885, "ว่าด้วยพีชคณิตของตรรกศาสตร์: การมีส่วนร่วมต่อปรัชญาของสัญลักษณ์", American Journal of Mathematics , Vol. 7, pp. 180–202. พิมพ์ซ้ำใน Kloesel, N. et al. eds., 1993. งานเขียนของ CS Peirce, Vol. 5.สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยอินเดียนา. เป็นการปรากฏตัวครั้งแรกของการกำหนดปริมาณในรูปแบบที่คล้ายคลึงกับรูปแบบปัจจุบัน
• ไรเชนบัค, ฮันส์ , 1975 (1947). องค์ประกอบของตรรกศาสตร์เชิงสัญลักษณ์ , สำนักพิมพ์โดเวอร์. ตัวบ่งปริมาณจะกล่าวถึงในบทที่ §18 "การผูกตัวแปร" ถึง §30 "การอนุมานจากสมมติฐานสังเคราะห์"
• Westerståhl, Dag, 2001, "Quantifiers," ใน Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic . Blackwell.
• ไวส์, ไฮเค, 2003. ตัวเลข ภาษา และจิตใจมนุษย์ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 0-521-83182-2.

ลองค้นหาคำว่า "quantification"ใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

• "ตัวบ่งปริมาณ" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• "วลี ประโยค และสำนวนที่เกี่ยวข้องกับหัวข้อ "สำหรับทุกคน" และ "มีอยู่" (เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 1 มีนาคม 2543)จากวิทยาลัยวิทยาศาสตร์ธรรมชาติมหาวิทยาลัยฮาวาย มาโนอา
• สารานุกรมปรัชญาแห่งมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด :
  • Shapiro, Stewart (2000). "ตรรกศาสตร์คลาสสิก" (ครอบคลุมไวยากรณ์ ทฤษฎีแบบจำลอง และอภิปรัชญาสำหรับตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่งในรูปแบบการอนุมานตามธรรมชาติ)
  • เวสเตอร์สทาห์ล, ดาก (2005). "ตัวบ่งปริมาณทั่วไป"
• Peters, Stanley; Westerståhl, Dag (2002). "Quantifiers" เก็บถาวรเมื่อ 2012-07-16 ที่Wayback Machine