ในทฤษฎีการวัดทฤษฎีบทของโปรคอรอฟเชื่อมโยงความแน่นของการวัดกับความกะทัดรัดสัมพัทธ์ (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นการลู่เข้าแบบอ่อน ) ในปริภูมิของการวัดความน่าจะเป็น ทฤษฎีบทนี้ได้รับการยกย่องให้เป็นผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียตยูริ วาซิลเยวิช โปรคอรอฟผู้ซึ่งพิจารณาการวัดความน่าจะเป็นบนปริภูมิเมตริกที่สมบูรณ์และแยกได้ คำว่า "ทฤษฎีบทของโปรคอรอฟ" ยังถูกนำไปใช้กับการขยายความในภายหลังทั้งในรูปแบบโดยตรงและแบบผกผันด้วย

ให้เป็นปริภูมิเมตริกที่แยกส่วนได้ให้แทนกลุ่มของมาตรวัดความน่าจะเป็นทั้งหมดที่กำหนดบน(พร้อมด้วยพีชคณิตบอเรล σ ของมัน ) ${\displaystyle (S,\rho )}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle S}$

ทฤษฎีบท.

1. ถ้าชุดของมาตรวัดความน่าจะเป็นมีความกระชับแล้วการปิดของ ชุดนั้น จะมีความกะทัดรัดตามลำดับในปริภูมิที่มาพร้อมกับ โทโพโลยีของ การลู่เข้า แบบอ่อน${\displaystyle K\subset {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$
2. พื้นที่ที่มีโทโพโลยีของการลู่เข้าแบบอ่อนนั้นสามารถกำหนดเมตริกได้${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$
3. สมมติว่านอกจากนี้ยังเป็นปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ (ดังนั้น จึงเป็นปริภูมิโปแลนด์ ) จากนั้นข้อความกลับของ (1) ก็เป็นจริงเช่นกัน ดังนั้นจะกระชับก็ต่อเมื่อการปิดของมันเป็นปริภูมิกระชับแบบลำดับ ยิ่งไปกว่านั้น มีเมตริกสมบูรณ์ บน ที่เทียบเท่ากับโทโพโลยีของการลู่เข้าแบบอ่อน และสำหรับเมตริกนี้จะกระชับก็ต่อเมื่อการปิดของมันในเป็นปริภูมิกระชับ${\displaystyle (S,\rho )}$${\displaystyle (S,\rho )}$${\displaystyle K\subset {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle d_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle K\subset {\mathcal {P}}(S)}$${\displaystyle ({\mathcal {P}}(S),d_{0})}$

สำหรับปริภูมิยุคลิด เรามีว่า:

• ถ้าเป็นลำดับ ที่แน่น ใน(ชุดของการวัดความน่าจะเป็นบนปริภูมิยุคลิดมิติ) แล้วจะมีลำดับย่อยและการวัดความน่าจะเป็น อยู่ ซึ่งลู่เข้าอย่างอ่อนไปยัง${\displaystyle (\mu _{n})}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle m}$${\displaystyle (\mu _{n_{k}})}$${\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle \mu _{n_{k}}}$${\displaystyle \mu }$
• ถ้าเป็นลำดับที่กระชับในซึ่งลำดับย่อยที่ลู่เข้าอย่างอ่อนทุกตัว มีลิมิตเดียวกันแล้วลำดับ จะลู่เข้าอย่างอ่อนไปยัง${\displaystyle (\mu _{n})}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle (\mu _{n_{k}})}$${\displaystyle \mu \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{m})}$${\displaystyle (\mu _{n})}$${\displaystyle \mu }$

ทฤษฎีบทของ Prokhorov สามารถขยายเพื่อพิจารณามาตรวัดเชิงซ้อนหรือมาตรวัดแบบ มีเครื่องหมายจำกัด ได้

ทฤษฎีบท: สมมติว่าเป็นปริภูมิเมตริกแบบแยกส่วนได้สมบูรณ์ และเป็นตระกูลของมาตรวัดเชิงซ้อนบอเรลบนข้อความต่อไปนี้สมมูลกัน: ${\displaystyle (S,\rho )}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle S}$

• ${\displaystyle \Pi }$เป็นลำดับที่กระชับล่วงหน้าตามลำดับ กล่าวคือ ทุกลำดับจะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้าอย่างอ่อน${\displaystyle \{\mu _{n}\}\subset \Pi }$
• ${\displaystyle \Pi }$มีความแน่นและมีขอบเขตสม่ำเสมอในบรรทัดฐานความแปรผันรวม

เนื่องจากทฤษฎีบทของ Prokhorov แสดงถึงความกระชับในแง่ของความกะทัดรัด ดังนั้นทฤษฎีบท Arzelà–Ascoliจึงมักถูกนำมาใช้แทนความกะทัดรัด: ในปริภูมิฟังก์ชัน สิ่งนี้จะนำไปสู่การกำหนดลักษณะของความกระชับในแง่ของโมดูลัสของความต่อเนื่องหรือสิ่งที่คล้ายคลึงกันที่เหมาะสม—ดูความกระชับในปริภูมิ Wiener แบบคลาสสิกและความกระชับในปริภูมิ Skorokhod

มีการขยายทฤษฎีบทของโปรโครอฟออกไปอย่างลึกซึ้งและซับซ้อนหลายประการ อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์เหล่านั้นไม่ได้บดบังความสำคัญและความเกี่ยวข้องของผลลัพธ์ดั้งเดิมต่อการประยุกต์ใช้แต่อย่างใด

• เมตริกเลวี-โปรคอรอฟ  – เมตริกความน่าจะเป็นในทางคณิตศาสตร์
• ทฤษฎีบทของซาโซนอฟ
• ความเข้มงวดของมาตรการ  – แนวคิดในทฤษฎีการวัด
• การลู่เข้าอย่างอ่อนของการวัด  – แนวคิดทางคณิตศาสตร์หน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง