ในสาขาคณิตศาสตร์ของทฤษฎีเซตสัจพจน์การบังคับที่เหมาะสม ( PFA ) เป็นการเสริมความแข็งแกร่งอย่างมีนัยสำคัญของสัจพจน์ของมาร์ตินโดยที่การบังคับที่มีเงื่อนไขลูกโซ่ที่นับได้ (ccc) ถูกแทนที่ด้วยการบังคับที่เหมาะสม

เซตบังคับหรือเซตที่มีลำดับบางส่วน${\displaystyle P}$เหมาะสมหากใช้กับจำนวนนับปกติที่นับไม่ได้ ทั้งหมด${\displaystyle \lambda }$การบังคับด้วย P ช่วยรักษาสับเซตคงที่ของ${\displaystyle [\แลมบ์ดา ]^{\โอเมก้า }}$.

สัจพจน์การบังคับที่เหมาะสมกล่าวว่า ถ้า${\displaystyle P}$เหมาะสมและ${\displaystyle D_{\alpha }}$เป็นเซตย่อยที่มีความหนาแน่นสูงของ${\displaystyle P}$สำหรับแต่ละคน${\displaystyle \alpha <\omega _{1}}$จากนั้นก็จะมีตัวกรอง${\displaystyle G\subseteq P}$โดยที่${\displaystyle D_{\alpha }\cap G}$ไม่ว่างเปล่าสำหรับทุกสิ่ง${\displaystyle \alpha <\omega _{1}}$.

กลุ่มของแรงบังคับที่เหมาะสมซึ่งสามารถนำ PFA มาใช้ได้นั้นค่อนข้างกว้าง ตัวอย่างเช่น การให้เหตุผลแบบมาตรฐานแสดงให้เห็นว่า ถ้า${\displaystyle P}$ถ้าcccหรือω-closedแล้ว${\displaystyle P}$เหมาะสมแล้ว ถ้า${\displaystyle P}$เป็นการวนซ้ำการสนับสนุนที่นับได้ของการบังคับที่เหมาะสม จากนั้น${\displaystyle P}$เหมาะสมแล้ว ที่สำคัญ แรงผลักดันที่เหมาะสมทั้งหมดจะรักษาไว้${\displaystyle \aleph _{1}}$.

PFA บ่งชี้โดยตรงถึงเวอร์ชันของมันสำหรับการบังคับ ccc ซึ่งก็คือสัจพจน์ของมาร์ตินในเลขคณิตเชิงคาร์ดินัล PFA บ่งชี้ว่า${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}}$PFA หมายถึงสิ่งใดๆ สองสิ่ง${\displaystyle \aleph _{1}}$เซตย่อยหนาแน่นของ R นั้นเป็นไอโซมอร์ฟิก^{[ 1 ]}ต้นไม้ Aronszajnสองต้นใดๆ ก็ตามเป็นคลับไอโซมอร์ฟิก^{[ 2 ]}และออโตมอร์ฟิซึมทุกตัวของพีชคณิตบูลีน${\displaystyle P(\omega ){\text{/fin}}}$เป็นเรื่องเล็กน้อย^{[ 3 ]} PFA บ่งชี้ว่าสมมติฐานคาร์ดินัลเอกพจน์เป็นจริง ผลที่ตามมาที่โดดเด่นเป็นพิเศษซึ่งพิสูจน์โดย John R. Steelคือสัจพจน์ของความแน่นอนเป็น จริง ในL(R) ซึ่งเป็น แบบจำลองภายในที่เล็กที่สุดที่มีจำนวนจริง ผลที่ตามมาอีกประการหนึ่งคือความล้มเหลวของหลักการกำลังสองและด้วยเหตุนี้จึงมีแบบจำลองภายในที่มีคาร์ดินัล Woodinจำนวน มาก

ถ้ามีจำนวนคาร์ดินัลซูเปอร์คอมแพ็กต์อยู่จริงก็จะมีแบบจำลองของทฤษฎีเซตที่ PFA เป็นจริง การพิสูจน์ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าการบังคับที่เหมาะสมจะได้รับการรักษาไว้ภายใต้การวนซ้ำของการสนับสนุนที่นับได้ และข้อเท็จจริงที่ว่าถ้า${\displaystyle \kappa }$ถ้าเป็นซูเปอร์คอมแพ็กต์ ก็จะมีฟังก์ชัน Laverสำหรับ${\displaystyle \kappa }$.

ยังไม่ทราบแน่ชัดว่าความแข็งแกร่งของจำนวนคาร์ดินัลขนาดใหญ่มาจาก PFA มากน้อยเพียงใด และในปัจจุบัน ขอบล่างที่ดีที่สุดอยู่ต่ำกว่าการมีอยู่ของจำนวนคาร์ดินัล Woodin ซึ่งเป็นขีดจำกัดของจำนวนคาร์ดินัล Woodin เล็กน้อย

สัจพจน์การบังคับที่เหมาะสมแบบจำกัดขอบเขต (BPFA) เป็นรูปแบบที่อ่อนกว่าของสัจพจน์การบังคับที่เหมาะสม (PFA) ซึ่งแทนที่จะใช้กับเซตย่อยหนาแน่นใดๆ จะใช้ได้เฉพาะกับแอนติเชน สูงสุด ที่มีขนาด เท่านั้น${\displaystyle \omega _{1}}$ค่าสูงสุดของมาร์ติน เป็นรูปแบบที่แข็งแกร่งที่สุดเท่า ที่จะเป็นไปได้ของสัจพจน์การบังคับ

สัจพจน์บังคับเป็นตัวเลือกที่เหมาะสมสำหรับการขยายสัจพจน์ของทฤษฎีเซต โดยเป็นทางเลือกแทนสัจพจน์จำนวนเชิงคาร์ดินัลขนาดใหญ่

ทฤษฎีบทพื้นฐานของการบังคับที่เหมาะสม (Fundamental Theorem of Proper Forcing) ซึ่งคิดค้นโดยShelahระบุว่าการวนซ้ำการรองรับที่นับได้ ใดๆ ของการบังคับที่เหมาะสมนั้น ก็เป็นการบังคับที่เหมาะสมเช่นกัน สิ่งนี้สืบเนื่องมาจากบทพิสูจน์ย่อยของการวนซ้ำที่เหมาะสม (Proper Iteration Lemma) ซึ่งระบุว่า เมื่อใดก็ตามที่${\displaystyle (P_{\alpha })_{\alpha \leq \kappa }}$เป็นการวนซ้ำการบังคับสนับสนุนที่นับได้โดยอิงจาก${\displaystyle (Q_{\alpha })_{\alpha <\kappa }}$และ${\displaystyle N}$เป็นโครงสร้างย่อยพื้นฐานที่นับได้ของ${\displaystyle H_{\lambda }}$สำหรับนกคาร์ดินัลปกติที่มีขนาดใหญ่พอสมควร${\displaystyle \lambda }$, และ${\displaystyle P_{\kappa }\in N}$และ${\displaystyle \alpha \in \kappa \cap N}$และ${\displaystyle p}$เป็น${\displaystyle (N,P_{\alpha })}$-ทั่วไปและ${\displaystyle p}$กองกำลัง${\displaystyle q\in P_{\kappa }/G_{P_{\alpha }}\cap N[G_{P_{\alpha }}]}$ดังนั้นจึงมีอยู่${\displaystyle r\in P_{\kappa }}$โดยที่${\displaystyle r}$เป็น${\displaystyle N}$-ทั่วไปและข้อจำกัดของ${\displaystyle r}$ถึง${\displaystyle P_{\alpha }}$เท่ากับ${\displaystyle p}$และ${\displaystyle p}$บังคับให้เกิดข้อจำกัดของ${\displaystyle r}$ถึง${\displaystyle [\alpha ,\kappa )}$แข็งแกร่งกว่าหรือเท่าเทียมกัน${\displaystyle q}$.

ทฤษฎีบทการวนซ้ำที่เหมาะสมฉบับนี้ ซึ่งมีชื่อเรียก${\displaystyle q}$ไม่ได้สันนิษฐานว่าอยู่ใน${\displaystyle N}$เป็นผลมาจาก Schlindwein ^{[ 4 ]}

บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทการวนซ้ำที่เหมาะสมนั้นพิสูจน์ได้ด้วยการอุปมานที่ค่อนข้างตรงไปตรงมาบน${\displaystyle \kappa }$และทฤษฎีบทพื้นฐานของการบังคับที่เหมาะสมนั้นได้มาจากการนำ${\displaystyle \alpha =0}$.

• สเตโว โทโดร์เชวิช
• ซาฮารอน เชลาห์