ในทฤษฎีสัมพัทธภาพเวลาที่แท้จริงตาม เส้น เวลาโลกจะถูกกำหนดให้เป็นเวลาที่วัดโดยนาฬิกาที่ตามเส้นนั้นช่วงเวลาที่แท้จริงระหว่างเหตุการณ์สองเหตุการณ์บนเส้นเวลาโลกคือการเปลี่ยนแปลงของเวลาที่แท้จริง ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับพิกัด และเป็นสเกลาร์ลอเรนซ์ [ ^{1 ] ช่วง}เวลานี้เป็นปริมาณที่น่าสนใจ เนื่องจากเวลาที่แท้จริงนั้นคงที่เพียงแค่ค่าคงที่บวกที่กำหนดขึ้นเองเท่านั้น นั่นคือการตั้งค่านาฬิกา ณ เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งตามเส้นเวลาโลก

ช่วงเวลาที่เหมาะสมระหว่างเหตุการณ์สองเหตุการณ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเหตุการณ์เท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับเส้นโลกที่เชื่อมต่อเหตุการณ์เหล่านั้นด้วย และด้วยเหตุนี้จึงขึ้นอยู่กับการเคลื่อนที่ของนาฬิการะหว่างเหตุการณ์ โดยแสดงเป็นปริพันธ์เหนือเส้นโลก (คล้ายกับความยาวส่วนโค้งในปริภูมิยุคลิด ) นาฬิกาที่เร่งความเร็วจะวัดเวลาที่ผ่านไประหว่างเหตุการณ์สองเหตุการณ์ได้น้อยกว่านาฬิกาที่ไม่เร่งความเร็ว ( เฉื่อย ) ระหว่างเหตุการณ์สองเหตุการณ์เดียวกันปรากฏการณ์แฝดเป็นตัวอย่างหนึ่งของผลกระทบนี้^{[ 2 ]}

ตามธรรมเนียมแล้ว เวลาที่แท้จริงมักจะแทนด้วยอักษรกรีกτ ( เทา ) เพื่อแยกแยะออกจากเวลาพิกัดซึ่งแทนด้วยtเวลาพิกัดคือเวลาที่อยู่ระหว่างสองเหตุการณ์ซึ่งวัดโดยผู้สังเกตการณ์โดยใช้วิธีการกำหนดเวลาให้กับเหตุการณ์ของผู้สังเกตการณ์เอง ในกรณีพิเศษของผู้สังเกตการณ์เฉื่อยในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษเวลาจะถูกวัดโดยใช้นาฬิกาของผู้สังเกตการณ์และคำจำกัดความของความพร้อมกันของผู้สังเกตการณ์

แนวคิดเรื่องเวลาที่เหมาะสมได้รับการนำเสนอโดยHermann Minkowskiในปี พ.ศ. 2451 ^{[ 3 ]}และเป็นคุณลักษณะที่สำคัญของแผนภาพ Minkowski

นิยามอย่างเป็นทางการของเวลาที่แท้จริงเกี่ยวข้องกับการอธิบายเส้นทางผ่านปริภูมิเวลาที่แสดงถึงนาฬิกา ผู้สังเกต หรืออนุภาคทดสอบ และโครงสร้างเมตริกของปริภูมิเวลานั้น เวลาที่แท้จริงคือ ความยาวส่วนโค้ง แบบซูโด-รีมันน์ของเส้นโลกในปริภูมิเวลาสี่มิติ จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ เวลาพิกัดถือว่าถูกกำหนดไว้ล่วงหน้าแล้ว และจำเป็นต้องมีนิพจน์สำหรับเวลาที่แท้จริงเป็นฟังก์ชันของเวลาพิกัด ในทางกลับกัน เวลาที่แท้จริงวัดได้จากการทดลอง และเวลาพิกัดคำนวณจากเวลาที่แท้จริงของนาฬิกาเฉื่อย

เวลาที่แท้จริงสามารถกำหนดได้เฉพาะสำหรับเส้นทางเวลาผ่านปริภูมิเวลาเท่านั้น ซึ่งอนุญาตให้สร้างชุดไม้บรรทัดและนาฬิกาทางกายภาพที่เกี่ยวข้องได้ รูปแบบเดียวกันสำหรับเส้นทางอวกาศนำไปสู่การวัดระยะทางที่แท้จริงแทนที่จะเป็นเวลาที่แท้จริง สำหรับเส้นทางแสง ไม่มีแนวคิดของเวลาที่แท้จริงและไม่สามารถกำหนดได้เนื่องจากช่วงเวลาของปริภูมิเวลาเป็นศูนย์ แทนที่จะเป็นเช่นนั้นต้องมีการแนะนำพารามิเตอร์เชิงเส้น ที่ไม่เกี่ยวข้องทางกายภาพและไม่สัมพันธ์กับเวลา ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

ด้วย ข้อกำหนด เชิงเวลาสำหรับสัญลักษณ์เมตริกเมตริกมินคอฟสกีจึงถูกกำหนดโดย และพิกัดโดย สำหรับเฟรมลอเรนซ์ใดๆ $${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,x,y,z)}$$

ในกรอบอ้างอิงใดๆ ช่วงเวลาอันเล็กน้อยมาก ซึ่งในที่นี้ถือว่าเป็นช่วงเวลา ระหว่างเหตุการณ์สองเหตุการณ์ จะถูกแสดงออกมาดังนี้

$${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu },}$$

(1)

และแยกจุดบนวิถีการเคลื่อนที่ของอนุภาค (นึกถึงนาฬิกา) ช่วงเวลาเดียวกันนี้สามารถแสดงในพิกัดได้ โดยที่ในแต่ละขณะ อนุภาคจะหยุดนิ่งกรอบดังกล่าวเรียกว่ากรอบหยุดนิ่งชั่วขณะ ซึ่งในที่นี้แสดงด้วยพิกัดสำหรับแต่ละขณะ เนื่องจากความไม่แปรเปลี่ยนของช่วงเวลา (กรอบหยุดนิ่งชั่วขณะที่เกิดขึ้นในเวลาต่างกันมีความสัมพันธ์กันโดยการแปลงลอเรนซ์) เราอาจเขียนได้ ว่า เนื่องจากในกรอบหยุดนิ่งชั่วขณะ อนุภาคหรือกรอบนั้นเองจะหยุดนิ่ง กล่าวคือเนื่องจากช่วงเวลานี้ถือว่าเป็นแบบไทม์ไลค์ (กล่าวคือ) การหาค่ารากที่สองของข้างต้นจะได้^{[ 10 ]} หรือ เมื่อกำหนดนิพจน์เชิงอนุพันธ์นี้สำหรับτช่วงเวลาที่เหมาะสมจะถูกกำหนดเป็น ${\displaystyle (c\tau ,x_{\tau },y_{\tau },z_{\tau })}$$${\displaystyle ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}-dx_{\tau }^{2}-dy_{\tau }^{2}-dz_{\tau }^{2}=c^{2}d\tau ^{2},}$$${\displaystyle dx_{\tau }=dy_{\tau }=dz_{\tau }=0}$${\displaystyle ds^{2}>0}$$${\displaystyle ds=cd\tau ,}$$$${\displaystyle d\tau ={\frac {ds}{c}}.}$$

ในที่นี้Pคือเส้นทางโลกจากเหตุการณ์เริ่มต้นไปยังเหตุการณ์สุดท้าย โดยลำดับของเหตุการณ์ถูกกำหนดไว้แล้วด้วยเงื่อนไขที่ว่าเหตุการณ์สุดท้ายจะเกิดขึ้นช้ากว่าเหตุการณ์เริ่มต้นตามเวลาของนาฬิกา

โดยใช้(1)และความไม่เปลี่ยนแปลงของช่วงเวลาอีกครั้ง เราสามารถเขียนได้ว่า^{[ 11 ]}

โดยที่ เป็นการกำหนดพารามิเตอร์แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงของเส้นทางโลกP โดยที่ ให้จุดปลายของPและ a < b; v ( t )คือความเร็วพิกัด ณ เวลาพิกัดt ; และx ( t ) , y ( t )และz ( t )คือพิกัดในอวกาศ นิพจน์แรกนั้นเห็นได้ชัดว่าไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงลอเรนซ์ นิพจน์ทั้งหมดไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงลอเรนซ์ เนื่องจากเวลาที่แท้จริงและช่วงเวลาที่แท้จริงไม่ขึ้นอยู่กับพิกัดตามนิยาม $${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}):[a,b]\rightarrow P}$$$${\displaystyle (x^{0}(a),x^{1}(a),x^{2}(a),x^{3}(a))\quad {\text{and}}\quad (x^{0}(b),x^{1}(b),x^{2}(b),x^{3}(b))}$$

ถ้าt , x , y , zถูกกำหนดด้วยพารามิเตอร์λจะสามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle \Delta \tau =\int {\sqrt {\left({\frac {dt}{d\lambda }}\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{d\lambda }}\right)^{2}\right]}}\,d\lambda .}$$

ถ้าการเคลื่อนที่ของอนุภาคคงที่ นิพจน์จะลดรูปเหลือ โดย ที่ Δ หมายถึงการเปลี่ยนแปลงพิกัดระหว่างเหตุการณ์เริ่มต้นและเหตุการณ์สุดท้าย นิยามในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษสามารถขยายไปสู่ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปได้อย่างตรงไปตรงมาดังต่อไปนี้ $${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\left(\Delta t\right)^{2}-{\frac {\left(\Delta x\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta y\right)^{2}}{c^{2}}}-{\frac {\left(\Delta z\right)^{2}}{c^{2}}}}},}$$

เวลาที่เหมาะสมถูกกำหนดในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปดังนี้: เมื่อกำหนดแมนิโฟลด์แบบซูโดรีมันน์ที่มีพิกัดท้องถิ่นx ^μและมีเทนเซอร์เมตริกg _μνช่วงเวลาที่เหมาะสมΔ τระหว่างเหตุการณ์สองเหตุการณ์ตามเส้นทางไทม์ไลค์Pจะได้รับจากอินทิกรัลเส้น^{[ 12 ]}

${\displaystyle \Delta \tau =\int _{P}\,d\tau =\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {g_{\mu \nu }\;dx^{\mu }\;dx^{\nu }}}.}$

(4)

นิพจน์นี้ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนพิกัด ดังที่ควรจะเป็น มันจะลดรูป (ในพิกัดที่เหมาะสม) ไปเป็นนิพจน์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษในปริภูมิ เวลาแบบราบ

ในทำนองเดียวกันกับที่สามารถเลือกพิกัดเพื่อให้x ¹ , x ² , x ³ = constในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ก็สามารถทำได้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปเช่นกัน จากนั้นในพิกัดเหล่านี้^{[ 13 ]}$${\displaystyle \Delta \tau =\int _{P}d\tau =\int _{P}{\frac {1}{c}}{\sqrt {g_{00}}}dx^{0}.}$$

นิพจน์นี้เป็นการขยายความหมายของนิยาม(2)และสามารถใช้เป็นนิยามได้ จากนั้นใช้ความไม่แปรเปลี่ยนของช่วง สมการ(4) จะได้มาจากสมการ (4)ในทำนองเดียวกันกับที่สมการ (3) ได้มาจากสมการ(2)ยกเว้นว่าในที่นี้อนุญาตให้มีการเปลี่ยนแปลงพิกัดตามอำเภอใจได้

สำหรับ สถานการณ์ ปรากฏการณ์แฝด สมมติว่ามีผู้สังเกตการณ์Aที่เคลื่อนที่ระหว่าง พิกัด A (0,0,0,0) และ (10 ปี, 0, 0, 0) อย่างเฉื่อยชา ซึ่งหมายความว่าAจะอยู่ที่ พิกัด A เป็นเวลา 10 ปี ตาม เวลาพิกัด Aช่วงเวลาที่เหมาะสมสำหรับAระหว่างเหตุการณ์ทั้งสองคือ ${\displaystyle x=y=z=0}$$${\displaystyle \Delta \tau _{A}={\sqrt {(10{\text{ years}})^{2}}}=10{\text{ years}}.}$$

ดังนั้น การ "หยุดนิ่ง" ในระบบพิกัดสัมพัทธภาพพิเศษ หมายความว่า เวลาที่แท้จริงและเวลาพิกัดนั้นเหมือนกัน

สมมติว่ามีผู้สังเกตการณ์อีกคนหนึ่งชื่อBซึ่งเดินทางใน ทิศทาง xจาก (0,0,0,0) เป็นเวลา 5 ปี ตามเวลาพิกัดA ด้วยความเร็ว 0.866 cไปยัง (5 ปี, 4.33 ปีแสง, 0, 0) เมื่อถึงที่นั่นแล้วBจะเร่งความเร็วและเดินทางในทิศทางอื่นเป็นเวลาอีก 5 ปี ตาม เวลาพิกัด Aไปยัง (10 ปี, 0, 0, 0) สำหรับแต่ละช่วงของการเดินทาง ช่วงเวลาที่เหมาะสมสามารถคำนวณได้โดยใช้ พิกัด Aและกำหนดโดย $${\displaystyle \Delta \tau _{leg}={\sqrt {({\text{5 years}})^{2}-({\text{4.33 years}})^{2}}}={\sqrt {6.25\;\mathrm {years} ^{2}}}={\text{2.5 years}}.}$$

ดังนั้นเวลาที่เหมาะสมทั้งหมดสำหรับผู้สังเกตการณ์Bในการเดินทางจาก (0,0,0,0) ไปยัง (5 ปี, 4.33 ปีแสง, 0, 0) และจากนั้นไปยัง (10 ปี, 0, 0, 0) คือ $${\displaystyle \Delta \tau _{B}=2\Delta \tau _{leg}={\text{5 years}}.}$$

ดังนั้นจึงแสดงให้เห็นว่าสมการเวลาที่แท้จริงนั้นรวมเอาผลกระทบของการยืดเวลา ไว้ด้วย ในความเป็นจริง สำหรับวัตถุในปริภูมิเวลาของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ (SR) ที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วเป็นเวลาช่วงเวลาที่แท้จริงที่ได้รับคือ ซึ่งเป็นสูตรการยืดเวลาของทฤษฎีสัมพัทธภาพ พิเศษ${\displaystyle v}$${\displaystyle \Delta T}$$${\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\Delta T^{2}-\left({\frac {v_{x}\Delta T}{c}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{y}\Delta T}{c}}\right)^{2}-\left({\frac {v_{z}\Delta T}{c}}\right)^{2}}}=\Delta T{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},}$$

ผู้สังเกตการณ์ที่หมุนรอบผู้สังเกตการณ์เฉื่อยอีกคนหนึ่งจะอยู่ในกรอบอ้างอิงที่เร่งความเร็ว สำหรับผู้สังเกตการณ์ดังกล่าวจำเป็นต้องใช้สมการเวลาที่เหมาะสมในรูปแบบเพิ่มขึ้น ( ) พร้อมกับคำอธิบายเส้นทางที่ใช้พารามิเตอร์ ดังแสดงด้านล่าง ${\displaystyle d\tau }$

ให้มีผู้สังเกตการณ์Cบนแผ่นดิสก์ที่หมุนอยู่ใน ระนาบ xyด้วยอัตราเชิงมุมพิกัดและอยู่ห่างจากศูนย์กลางของแผ่นดิสก์เป็นระยะrโดยที่ศูนย์กลางของแผ่นดิสก์อยู่ที่x = y = z = 0เส้นทางการเคลื่อนที่ของผู้สังเกตการณ์Cกำหนดโดย โดยที่คือเวลาพิกัดปัจจุบัน เมื่อrและเป็นค่าคงที่และสูตรเวลาที่แท้จริงแบบเพิ่มขึ้นจึงกลายเป็น ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle (T,\,r\cos(\omega T),\,r\sin(\omega T),\,0)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle dx=-r\omega \sin(\omega T)\,dT}$${\displaystyle dy=r\omega \cos(\omega T)\,dT}$$${\displaystyle d\tau ={\sqrt {dT^{2}-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\sin ^{2}(\omega T)\;dT^{2}-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\cos ^{2}(\omega T)\;dT^{2}}}=dT{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}.}$$

ดังนั้น สำหรับผู้สังเกตการณ์ที่หมุนอยู่ที่ระยะคงที่rจากจุดที่กำหนดในปริภูมิเวลาด้วยอัตราเชิงมุมคงที่ωระหว่างเวลาพิกัด t และt เวลาที่แท้จริงที่รับรู้ได้จะเป็น เช่นเดียวกับผู้สังเกตการณ์ที่หมุน ผลลัพธ์นี้เหมือนกับตัวอย่างการเคลื่อนที่เชิงเส้น และแสดงให้เห็นถึงการประยุกต์ใช้ทั่วไปของสูตรเวลาที่แท้จริงในรูปแบบปริพันธ์ ${\displaystyle T_{1}}$${\displaystyle T_{2}}$$${\displaystyle \int _{T_{1}}^{T_{2}}d\tau =(T_{2}-T_{1}){\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}}=\Delta T{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},}$$${\displaystyle v=r\omega }$

ความแตกต่างระหว่างทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ (SR) และทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (GR) คือ ใน GR เราสามารถใช้เมตริกใดก็ได้ที่เป็นคำตอบของสมการสนามของไอน์สไตน์ไม่ใช่แค่เมตริกของมิงคอฟสกีเท่านั้น เนื่องจากการเคลื่อนที่แบบเฉื่อยในปริภูมิเวลาโค้งนั้นขาดการแสดงออกที่เรียบง่ายเหมือนใน SR จึงต้องใช้รูปแบบปริพันธ์เส้นของสมการเวลาที่เหมาะสมเสมอ

การแปลงพิกัดที่เหมาะสมโดยใช้เมตริกมินคอฟสกีจะสร้างพิกัดที่ทำให้วัตถุบนแผ่นดิสก์ที่หมุนอยู่ยังคงอยู่ในตำแหน่งพิกัดเชิงพื้นที่เดิม พิกัดใหม่คือ และ $${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$$${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\omega t.}$$

พิกัดtและzยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ในระบบพิกัดใหม่นี้ สมการเวลาที่เหมาะสมแบบเพิ่มขึ้นคือ $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{c^{2}}}-{\frac {r^{2}\,d\theta ^{2}}{c^{2}}}-{\frac {dz^{2}}{c^{2}}}-2{\frac {r^{2}\omega \,dt\,d\theta }{c^{2}}}}}.}$$

เนื่องจากr , θและzมีค่าคงที่ตลอดเวลา สมการจึงลดรูปเหลือ ซึ่งเหมือนกับในตัวอย่างที่ 2 $${\displaystyle d\tau =dt{\sqrt {1-\left({\frac {r\omega }{c}}\right)^{2}}},}$$

ทีนี้ สมมติว่ามีวัตถุอยู่นอกจานหมุนและหยุดนิ่งอย่างเฉื่อยชาเมื่อเทียบกับศูนย์กลางของจานหมุน และอยู่ห่างจากจานหมุนเป็นระยะRวัตถุนี้มี การเคลื่อนที่ ตามพิกัดที่อธิบายได้ด้วยdθ = − ω dtซึ่งอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุที่หยุดนิ่งอย่างเฉื่อยชาในทิศทางตรงกันข้ามกับมุมมองของผู้สังเกตที่กำลังหมุนอยู่ ดังนั้นสมการเวลาที่เหมาะสมจึงเป็นดังนี้ $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left[1-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\right]dt^{2}-\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}+2\left({\frac {R\omega }{c}}\right)^{2}\,dt^{2}}}=dt.}$$

ดังนั้นสำหรับผู้สังเกตการณ์เฉื่อยที่หยุดนิ่ง เวลาพิกัดและเวลาที่แท้จริงจึงพบว่าผ่านไปในอัตราเดียวกันอีกครั้ง ตามที่คาดไว้และจำเป็นสำหรับความสอดคล้องภายในของทฤษฎีสัมพัทธภาพ^{[ 14 ]}

วิธีแก้ปัญหา ของSchwarzschildมีสมการเวลาที่เหมาะสมแบบเพิ่มขึ้นทีละ ขั้นดังนี้ $${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)dt^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}d\phi ^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}(\phi )\,d\theta ^{2}}},}$$

• tคือเวลาที่ปรับเทียบด้วยนาฬิกาที่อยู่ห่างไกลและหยุดนิ่งเมื่อเทียบกับโลก
• rคือพิกัดเชิงรัศมี (ซึ่งก็คือระยะห่างจากศูนย์กลางของโลกนั่นเอง)
• ɸคือพิกัดละติจูดร่วม ซึ่งเป็นระยะห่างเชิงมุมจากขั้วโลกเหนือในหน่วยเรเดียน
• θคือพิกัดลองจิจูด ซึ่งคล้ายคลึงกับลองจิจูดบนพื้นผิวโลก แต่ไม่ขึ้นอยู่กับการหมุน ของโลก ค่านี้แสดงเป็นเรเดียนเช่นกัน
• mคือ มวล ที่ปรับให้เข้ากับรูปทรงเรขาคณิตของโลก, m = GM / c ² ,
  • Mคือมวลของโลก
  • Gคือ ค่าคง ที่ความโน้มถ่วง

เพื่อแสดงให้เห็นถึงการใช้ความสัมพันธ์ของเวลาที่ถูกต้อง จะมีการยกตัวอย่างย่อยหลายตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับโลกในที่นี้

สำหรับโลก M =​5.9742 × 10 ²⁴  กิโลกรัมหมายความว่า m =4.4354 × 10 ⁻³  ม . เมื่อยืนอยู่บนขั้วโลกเหนือ เราสามารถสมมติได้ว่า(หมายความว่าเราไม่ได้เคลื่อนที่ขึ้นลงหรือไปตามพื้นผิวโลก) ในกรณีนี้ สมการเวลาที่เหมาะสมของคำตอบ Schwarzschild จะกลายเป็นจากนั้นใช้รัศมีขั้วโลกของโลกเป็นพิกัดรัศมี (หรือ) เราพบว่า ${\displaystyle dr=d\theta =d\phi =0}$${\textstyle d\tau =dt\,{\sqrt {1-2m/r}}}$${\displaystyle r={\text{6,356,752 metres}}}$$${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-1.3908\times 10^{-9}\right)\;dt^{2}}}=\left(1-6.9540\times 10^{-10}\right)\,dt.}$$

ที่เส้นศูนย์สูตรรัศมีของโลกคือr =6 378 137  ม . นอกจากนี้ ยังต้องคำนึงถึงการหมุนของโลกด้วย ซึ่งทำให้ผู้สังเกตการณ์มีความเร็วเชิงมุมเท่ากับ2πหารด้วยคาบดาราศาสตร์ของการหมุนของโลก ซึ่งคือ 86162.4 วินาที ดังนั้นสมการเวลาที่เหมาะสมจึงให้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle d\theta /dt}$${\displaystyle d\theta =7.2923\times 10^{-5}\,dt}$$${\displaystyle d\tau ={\sqrt {\left(1-1.3908\times 10^{-9}\right)dt^{2}-2.4069\times 10^{-12}\,dt^{2}}}=\left(1-6.9660\times 10^{-10}\right)\,dt.}$$

จากมุมมองที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพ ผลลัพธ์นี้ควรจะเหมือนกับผลลัพธ์ก่อนหน้านี้ ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นถึงวิธีการใช้สมการเวลาที่เหมาะสม แม้ว่าโลกจะหมุนและดังนั้นจึงไม่สมมาตรทรงกลมตามที่สมมติไว้ในวิธีแก้ปัญหาของ Schwarzschild ก็ตาม เพื่ออธิบายผลกระทบของการหมุนได้อย่างแม่นยำยิ่งขึ้นอาจใช้ เมตริกของ Kerr ได้

• การแปลงลอเรนซ์
• พื้นที่มินโกวสกี้
• ความยาวที่เหมาะสม
• การเร่งความเร็วที่เหมาะสม
• พิธีมิสซาที่แท้จริง
• ความเร็วที่เหมาะสม
• สมมติฐานนาฬิกา
• เมตริกเปเรส