ในฟิสิกส์ปริภูมิเวลาของมินคอฟสกี ( หรือปริภูมิของมินคอฟสกี ; / m ɪ ŋ ˈ k ɔː f s k i , - ˈ k ɒ f -/ ) ^{[ 1 ]}เป็นคำอธิบายทางคณิตศาสตร์หลักของปริภูมิเวลาในกรณีที่ไม่มีแรงโน้มถ่วงมันรวมปริภูมิเฉื่อย และแมนิโฟลด์เวลาเข้าเป็นแบบจำลอง สี่มิติ

แบบจำลองนี้ช่วยแสดงให้เห็นว่าช่วงเวลาในปริภูมิเวลาระหว่างเหตุการณ์สองเหตุการณ์ ใดๆ นั้น เป็นอิสระจากกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่ใช้บันทึกเหตุการณ์เหล่านั้น นักคณิตศาสตร์เฮอร์มันน์ มินคอฟสกีพัฒนาแบบจำลองนี้จากผลงานของเฮนดริก ลอเรนซ์ , อองรี ปวงกาเรและคนอื่นๆ และกล่าวว่า "แบบจำลองนี้พัฒนาขึ้นบนพื้นฐานทางฟิสิกส์เชิงทดลอง"

ปริภูมิเวลาแบบมินคอฟสกีมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและสัมพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์และเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ใช้กันทั่วไปในการกำหนดทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ในขณะที่ส่วนประกอบแต่ละส่วนในปริภูมิและเวลาแบบยุคลิดอาจแตกต่างกันเนื่องจากการหดตัวของความยาวและการขยายตัวของเวลาในปริภูมิเวลาแบบมินคอฟสกี กรอบอ้างอิงทั้งหมดจะเห็นพ้องต้องกันในช่วงเวลารวมในปริภูมิเวลาระหว่างเหตุการณ์ต่างๆ^{[ nb 1 ]}ปริภูมิเวลาแบบมินคอฟสกีแตกต่างจาก ปริภูมิแบบ ยุคลิดสี่มิติตรงที่มันปฏิบัติต่อเวลาแตกต่างจากมิติเชิงพื้นที่สามมิติ

ใน ปริภูมิยูคลิด 3 มิติกลุ่มไอโซเมตรี ( แผนที่ที่รักษา ระยะทางยูคลิดปกติ) คือกลุ่มยูคลิดมันถูกสร้างขึ้นโดยการหมุนการสะท้อนและการเลื่อนเมื่อเพิ่มเวลาเป็นมิติที่สี่ การแปลงเพิ่มเติมของการเลื่อนในเวลาและการเพิ่มความเร็วแบบลอเรนซ์จะถูกเพิ่มเข้ามา และกลุ่มของการแปลงทั้งหมดเหล่านี้เรียกว่ากลุ่มปวงกาเรแบบจำลองของมินคอฟสกีเป็นไปตามทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ซึ่งการเคลื่อนที่ทำให้เกิดการยืดเวลาเปลี่ยนมาตราส่วนที่ใช้กับกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่และเปลี่ยนเฟสของแสง

ปริภูมิเวลา Minkowski เป็นปริภูมิแบบกึ่งยุคลิดที่มีรูปแบบกำลังสองแบบไอโซโทรปิกเรียกว่าช่วงเวลาของปริภูมิเวลาหรือค่ากำลังสองของบรรทัดฐาน Minkowskiในปริภูมิยุคลิด ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดที่แตกต่างกันจะมากกว่าศูนย์ แต่ในปริภูมิเวลา Minkowski ช่วงเวลาระหว่างเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่แตกต่างกันอาจเป็นศูนย์ได้ ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อเหตุการณ์หนึ่งอยู่บนกรวยแสงของอีกเหตุการณ์หนึ่ง การใช้เอกลักษณ์โพลาไรเซชันรูปแบบกำลังสองจะถูกแปลงเป็นรูปแบบทวิเชิงเส้นแบบสมมาตรเรียกว่าผลคูณภายใน Minkowskiแม้ว่ามันจะไม่ใช่ผลคูณภายใน เชิงเรขาคณิต ก็ตาม

กลุ่มของการแปลงสำหรับปริภูมิเวลาของมินคอฟสกีที่รักษาระยะห่างของปริภูมิเวลา (ตรงข้ามกับระยะทางยูคลิดเชิงพื้นที่) คือกลุ่มลอเรนซ์ (ตรงข้ามกับกลุ่มกาลิเลียน )

ในช่วงทศวรรษ 1890 เฮนดริก ลอเรนซ์เริ่มพัฒนาทฤษฎีอิเล็กโทรไดนามิกส์โดยอาศัยอีเธอร์เรืองแสง ที่แพร่กระจายไปทั่ว ซึ่งแยกออกจากสสาร ในชุดบทความตั้งแต่ปี 1892 ถึง 1904 เขาใช้การแปลงซึ่งต่อมาได้ใช้ชื่อของเขาเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ในการวิเคราะห์ทฤษฎีเหล่านี้^{[ 2 ]}นักฟิสิกส์คนอื่นๆ อีกหลายคนก็มีส่วนร่วมในการพัฒนาและทำความเข้าใจการแปลงเหล่านี้เช่นกัน มินโกวสกีคุ้นเคยกับผลงานของอองรี ปวงกาเร เป็นอย่างดี โดย เฉพาะอย่างยิ่งบทความเกี่ยวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพฉบับที่สองของเขาในปี พ.ศ. 2448 ^{[ 3 ] : 94} ในบทความนั้น ปวงกาเรแสดงให้เห็น^{[ 4 ]}ว่าโดยการใช้เวลาเป็นพิกัดปริภูมิเวลาที่สี่เชิงจินตนาการict โดยที่cคือความเร็วแสงและiคือหน่วยจินตนาการ การแปลงลอเร นซ์สามารถมองเห็นได้เป็นการหมุนธรรมดาของทรงกลมสี่มิติ^{[ 5 ] : vi} โดยที่แกนการหมุนสอดคล้องกับทิศทางของการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ระหว่างผู้สังเกตการณ์ทั้งสอง และมุมการหมุนเกี่ยวข้องกับความเร็วสัมพัทธ์ของพวกเขา

ในส่วนหนึ่งของการวิเคราะห์ของเขา ปวงกาเรได้อธิบายถึงค่าคงที่ภายใต้การหมุน เช่น ปริมาณ ที่เป็นผลต่างระหว่างจุดในปริภูมิสี่มิติ ซึ่งก็คือระยะทาง (ผลรวมของผลต่างสามประการแรกจะเป็นกำลังสองของระยะทางแบบยุคลิดในปริภูมิ 3 มิติ ระยะทางดังกล่าวจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุนในปริภูมิ 3 มิติ) แนวคิดเรื่องการหมุนและค่าคงที่ในรูปของระยะทางได้รับการพัฒนาโดยมินคอฟสกี^{[ 3 ]}ในบทความภาษาเยอรมันที่ตีพิมพ์ในปี 1908 ชื่อ "สมการพื้นฐานสำหรับกระบวนการแม่เหล็กไฟฟ้าในวัตถุที่เคลื่อนที่" ^{[ 6 ]} บทความนี้ได้แนะนำเทนเซอร์ให้กับการแสดงทางคณิตศาสตร์ของฟิสิกส์และปรับปรุงสมการของแม็กซ์เวลล์ ใหม่ เป็นชุดสมการสมมาตรในตัวแปรสี่ตัว( x , y , z , ict )รวมกับตัวแปรเวกเตอร์ที่กำหนดใหม่สำหรับปริมาณแม่เหล็กไฟฟ้า เขาสามารถแสดงให้เห็นถึงความไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงลอเรนซ์ได้^{[ 3 ]} จากการปรับปรุงใหม่ของเขา เขาได้สรุปว่าเวลาและอวกาศควรได้รับการปฏิบัติอย่างเท่าเทียมกัน และด้วยเหตุนี้จึงเกิดแนวคิดของเขาเกี่ยวกับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นใน มิติเวลาและอวกาศ สี่มิติที่เป็นเอกภาพ $${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2},}$$${\displaystyle x,y,z,t}$

ในปี พ.ศ. 2451 มินคอฟสกีนำเสนอแนวคิดของเขาในการบรรยายที่เมืองโคโลญ ประเทศเยอรมนีต่อหน้าผู้ชมจากนานาชาติ ซึ่งรวมถึงนักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์^{[ 7 ]}การบรรยายนี้เป็นที่รู้จักในชื่อการบรรยาย "อวกาศและเวลา" ปี พ.ศ. 2451 ของเขา และต่อมาได้มีการตีพิมพ์ในหลายรูปแบบ^{[ 8 ]} มินคอฟสกีเริ่มต้นการบรรยายของเขาด้วยสิ่งที่กลายเป็นความคิดเห็นที่มีชื่อเสียงที่สุดของเขา: ^{[ 3 ] : 97}

มุมมองเกี่ยวกับอวกาศและเวลาที่ผมต้องการนำเสนอต่อท่านนั้น เกิดขึ้นจากพื้นฐานของฟิสิกส์เชิงทดลอง และนั่นคือจุดแข็งของมัน มุมมองเหล่านี้เป็นแนวคิดที่ก้าวล้ำ จากนี้ไป อวกาศและเวลาเพียงอย่างเดียวจะเลือนหายไปเป็นเพียงเงา และมีเพียงการรวมกันของทั้งสองเท่านั้นที่จะรักษาความเป็นจริงที่เป็นอิสระเอาไว้ได้

แม้ว่าจุดเริ่มต้นของเขาจะมาจากฟิสิกส์เชิงทดลอง แต่ส่วนที่เหลือของการบรรยายของมินคอฟสกีเน้นไปที่คณิตศาสตร์ เขาเน้นย้ำถึงข้อดีของการแสดงพิกัดและความเร็วด้วยเวกเตอร์สี่ตัว^{[ 3 ] : 105} เขาแนะนำแผนภาพมินคอฟสกีและใช้มันเพื่อกำหนดแนวคิดและสาธิตคุณสมบัติของการแปลงลอเรนซ์ (เช่น การหดตัวของเวลา และความยาวที่เหมาะสม ) ตลอดจนให้การตีความทางเรขาคณิตแก่การวางนัยทั่วไปของกลศาสตร์นิวตันไปสู่กลศาสตร์สัมพัทธภาพ ผลที่ได้คือการวางตำแหน่งคณิตศาสตร์ให้เป็นสิ่งที่เปิดเผยแนวคิดสำคัญของความเป็นจริงทางกายภาพ มากกว่าที่จะเป็นเพียงเครื่องมือที่สะดวก^{[ 3 ]}

ในมุมมองของมินคอฟสกีเอง บทความของไอน์สไตน์ในปี 1905 ได้สร้างความเข้าใจใหม่เกี่ยวกับเวลาในฐานะปรากฏการณ์เฉพาะที่ ซึ่งเป็นผลมาจากความสัมพันธ์ของความพร้อมกันมินคอฟสกีมองว่าการมีส่วนร่วมของเขาเป็นการเปลี่ยนแปลงแนวคิดพื้นฐานของอวกาศ^{[ 9 ] : 27} แนวคิดเรื่องกาลอวกาศของมินคอฟสกี ซึ่งพัฒนามาจากการศึกษาด้านไฟฟ้าพลศาสตร์ กลายเป็นพื้นฐานสำหรับการพัฒนากลศาสตร์สัมพัทธภาพ^{[ 10 ]}

แนวทางเวกเตอร์สี่ตัวสำหรับเรขาคณิตของปริภูมิเวลากลายเป็นภาษามาตรฐานสำหรับการทำความเข้าใจทฤษฎีสัมพัทธภาพ^{[ 9 ] : 37} มินคอฟสกีเองแสดงให้เห็นว่าความ หนาแน่นกระแสปริภูมิ 3 มิติ, j , รวมเข้ากับความหนาแน่นประจุ ,เพื่อสร้างเวกเตอร์สี่มิติ สนามไฟฟ้าสามมิติE รวมกับ สนามแม่เหล็กสามมิติB เพื่อสร้างเทนเซอร์ในรูปแบบเวกเตอร์สี่มิติ แนวทางนี้ทำให้เห็นได้อย่างชัดเจนว่าสนาม E และ B เปลี่ยนแปลงไปเป็นกันและกันขึ้นอยู่กับกรอบอ้างอิงเฉื่อยของผู้สังเกต^{[ 11 ] : 75}

แม้ว่ามินคอฟสกีจะก้าวไปอีกขั้นที่สำคัญสำหรับฟิสิกส์ แต่ ในตอนแรก อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ก็ไม่ได้กระตือรือร้นนัก^{[ 9 ]}แนวทางของมินคอฟสกีไม่รวมแรงโน้มถ่วงซึ่งเป็นปัญหาที่ไอน์สไตน์รู้ว่าจำเป็นต้องรวมไว้ด้วย^{[ 12 ]}

โดยที่vคือความเร็ว, x , yและzคือ พิกัดคาร์ ทีเซียนในปริภูมิ 3 มิติ, cคือค่าคงที่ที่แสดงถึงขีดจำกัดความเร็วสากล และtคือเวลา เวกเตอร์ 4 มิติv = ( ct , x , y , z ) = ( ct , r )จะถูกจำแนกตามเครื่องหมายของc²t² ⁻ r²เวกเตอร์จะเป็นแบบ ไทม์ไลค์ (timelike) ^ถ้า c²t² > r² ,แบบ^สเปซไลค์ (spacelike) ถ้า c²t² ^{< r²}และแบบนัลล์ไลค์ ( ^{null หรือ lightlike) ถ้า c²t² = r²}สิ่งนี้สามารถ^แสดงได้ในรูป^ของเครื่องหมายของη ( v , v )หรือที่เรียกว่า ผลคูณสเกลาร์ ⁽ scalar product )ซึ่งขึ้นอยู่กับเครื่องหมายด้วยการจำแนกประเภทของเวกเตอร์ใดๆ จะเหมือนกันในทุกกรอบอ้างอิงที่สัมพันธ์กันด้วยการแปลงลอเรนซ์ (แต่ไม่ใช่ด้วยการแปลงปวงกาเรทั่วไป เพราะจุดกำเนิดอาจถูกเลื่อนไป) เนื่องมาจากความไม่แปรเปลี่ยนของช่วงเวลาในปริภูมิเวลาภายใต้การแปลงลอเรนซ์

เซตของเวกเตอร์ศูนย์ ทั้งหมด ณ เหตุการณ์^{[ nb 2 ]}ของปริภูมิเวลา Minkowski ประกอบกันเป็นกรวยแสงของเหตุการณ์นั้น เมื่อกำหนดเวกเตอร์เวลาvแล้ว จะมีเวิลด์ไลน์ที่มีความเร็วคงที่ซึ่งเกี่ยวข้องกับเวกเตอร์นั้น โดยแสดงด้วยเส้นตรงในแผนภาพ Minkowski

เมื่อเลือกทิศทางของเวลาแล้ว^{[ nb 3 ]}เวกเตอร์เวลาและเวกเตอร์ว่างสามารถแยกย่อยออกเป็นคลาสต่างๆ ได้อีก สำหรับเวกเตอร์เวลา จะมี

1. เวกเตอร์เวลาที่มีทิศทางไปยังอนาคต โดยส่วนประกอบแรกเป็นค่าบวก (ปลายเวกเตอร์อยู่ที่อนาคตเชิงสาเหตุ (หรือเรียกว่าอนาคตสัมบูรณ์) ในรูป) และ
2. เวกเตอร์บอกเวลาที่มุ่งไปยังอดีตซึ่งส่วนประกอบแรกเป็นค่าลบ (อดีตเชิงสาเหตุ (เรียกอีกอย่างว่าอดีตสัมบูรณ์))

เวกเตอร์ว่างแบ่งออกเป็นสามประเภท:

1. เวกเตอร์ศูนย์ ซึ่งมีส่วนประกอบในฐานใดๆ ก็คือ(0, 0, 0, 0) (จุดกำเนิด)
2. เวกเตอร์ศูนย์ที่มุ่งไปในอนาคตซึ่งส่วนประกอบแรกเป็นบวก (กรวยแสงด้านบน) และ
3. เวกเตอร์ว่างที่ชี้ไปยังอดีตซึ่งส่วนประกอบแรกเป็นค่าลบ (กรวยแสงด้านล่าง)

เมื่อรวมกับเวกเตอร์เชิงพื้นที่แล้ว จะมีทั้งหมด 6 ประเภท

ฐานเชิงตั้งฉากปกติสำหรับปริภูมิเวลาของมิงโกวสกีนั้นจำเป็นต้องประกอบด้วยเวกเตอร์หน่วยแบบไทม์ไลค์หนึ่งตัวและเวกเตอร์หน่วยแบบสเปซไลค์สามตัว หากต้องการทำงานกับฐานที่ไม่ตั้งฉากปกติ ก็สามารถใช้เวกเตอร์ในรูปแบบอื่นได้ ตัวอย่างเช่น สามารถสร้างฐาน (ที่ไม่ตั้งฉากปกติ) ที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ศูนย์ทั้งหมดได้อย่างง่ายดาย ซึ่งเรียกว่าฐานศูนย์

ฟิลด์เวกเตอร์เรียกว่าฟิลด์แบบไทม์ไลค์ ฟิลด์แบบสเปซไลค์ หรือฟิลด์แบบนัลล์ ถ้าเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องเป็นเวกเตอร์แบบไทม์ไลค์ ฟิลด์แบบสเปซไลค์ หรือฟิลด์แบบนัลล์ ณ ทุกจุดที่ฟิลด์นั้นถูกกำหนดขึ้น

เวกเตอร์แบบไทม์ไลค์มีความสำคัญเป็นพิเศษในทฤษฎีสัมพัทธภาพ เนื่องจากสอดคล้องกับเหตุการณ์ที่ผู้สังเกตสามารถเข้าถึงได้ที่ (0, 0, 0, 0) ด้วยความเร็วที่น้อยกว่าความเร็วแสง เวกเตอร์แบบไทม์ไลค์ที่น่าสนใจที่สุดคือเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกัน กล่าวคือ อยู่ในกรวยไปข้างหน้าหรือกรวยไปข้างหลังทั้งหมด เวกเตอร์เหล่านี้มีคุณสมบัติหลายประการที่เวกเตอร์แบบสเปซไลค์ไม่มี คุณสมบัติเหล่านี้เกิดขึ้นเนื่องจากทั้งกรวยไปข้างหน้าและกรวยไปข้างหลังเป็นรูปทรงนูน ในขณะที่บริเวณแบบสเปซไลค์ไม่ใช่รูปทรงนูน

ผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์เวลาสองตัวu ₁ = ( t ₁ , x ₁ , y ₁ , z ₁ )และu ₂ = ( t ₂ , x ₂ , y ₂ , z ₂ )คือ $${\displaystyle \eta (u_{1},u_{2})=u_{1}\cdot u_{2}=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}.}$$

ความเป็นบวกของผลคูณสเกลาร์ : คุณสมบัติที่สำคัญอย่างหนึ่งคือ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เวลาสองเวกเตอร์ที่มีทิศทางคล้ายกันจะมีค่าเป็นบวกเสมอ ซึ่งสามารถเห็นได้จากอสมการโคชี-ชวาร์ซ แบบกลับ ด้านด้านล่าง ดังนั้น หากผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองเวกเตอร์เป็นศูนย์ แสดงว่าอย่างน้อยหนึ่งในเวกเตอร์เหล่านั้นต้องเป็นเวกเตอร์อวกาศ ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์อวกาศสองเวกเตอร์อาจเป็นบวกหรือลบก็ได้ ดังที่เห็นได้จากการพิจารณาผลคูณของเวกเตอร์อวกาศสองเวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบเชิงพื้นที่ตั้งฉากกัน และมีเวลาที่มีเครื่องหมายต่างกันหรือเหมือนกัน

โดยใช้คุณสมบัติความเป็นบวกของเวกเตอร์แบบไทม์ไลค์ เราสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่า ผลรวมเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์เป็นบวกของเวกเตอร์แบบไทม์ไลค์ที่มีทิศทางเดียวกัน ก็จะเป็นเวกเตอร์แบบไทม์ไลค์ที่มีทิศทางเดียวกันด้วย (ผลรวมจะยังคงอยู่ในกรวยแสงเนื่องจากความนูน)

ค่ามาตรฐานของเวกเตอร์เวลาu = ( ct , x , y , z )ถูกกำหนดดังนี้ $${\displaystyle \left\|u\right\|={\sqrt {\eta (u,u)}}={\sqrt {c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}}$$

อสมการโคชีแบบกลับด้านเป็นผลสืบเนื่องอีกประการหนึ่งจากความนูนของกรวยแสง^{[ 13 ]}สำหรับเวกเตอร์เวลาที่คล้ายกันสองเวกเตอร์ที่แตกต่างกันu ₁และu ₂อสมการนี้คือ หรือในเชิงพีชคณิต $${\displaystyle \eta (u_{1},u_{2})>\left\|u_{1}\right\|\left\|u_{2}\right\|}$$$${\displaystyle c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}>{\sqrt {\left(c^{2}t_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}-z_{1}^{2}\right)\left(c^{2}t_{2}^{2}-x_{2}^{2}-y_{2}^{2}-z_{2}^{2}\right)}}}$$

จากสิ่งนี้ จะเห็นได้ว่าผลคูณสเกลาร์มีคุณสมบัติเชิงบวก

สำหรับเวกเตอร์เวลาที่มีทิศทางคล้ายกันสองตัวuและwอสมการคือ^{[ 14 ]} โดยที่ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นเมื่อเวกเตอร์ขึ้นต่อกันเชิงเส้น $${\displaystyle \left\|u+w\right\|\geq \left\|u\right\|+\left\|w\right\|,}$$

การพิสูจน์ใช้นิยามพีชคณิตด้วยอสมการโคชีแบบกลับด้าน: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|u+w\right\|^{2}&=\left\|u\right\|^{2}+2\left(u,w\right)+\left\|w\right\|^{2}\\[5mu]&\geq \left\|u\right\|^{2}+2\left\|u\right\|\left\|w\right\|+\left\|w\right\|^{2}=\left(\left\|u\right\|+\left\|w\right\|\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

ผลลัพธ์ที่ได้จึงมาจากการถอดรากที่สองทั้งสองข้าง

ในที่นี้จะถือว่าปริภูมิเวลาจะมีระบบพิกัดที่สอดคล้องกับกรอบอ้างอิงเฉื่อย ซึ่ง ให้จุดกำเนิดที่จำเป็นสำหรับการจำลองปริภูมิเวลาเป็นปริภูมิเวกเตอร์ อย่างไรก็ตาม การเพิ่มเติมนี้ไม่จำเป็น และวิธีการที่ซับซ้อนกว่าซึ่งคล้ายกับปริภูมิเชิงเส้นสามารถกำจัดโครงสร้างส่วนเกินนี้ได้ แต่สิ่งนี้ไม่ใช่แบบแผนเบื้องต้นและจะไม่กล่าวถึงในที่นี้

โดยสรุปแล้ว ปริภูมิเวลาของมินคอฟสกีเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริง4มิติที่มีรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรที่ ไม่เสื่อมสภาพ บนปริภูมิสัมผัสณ แต่ละจุดในปริภูมิเวลา ซึ่งในที่นี้เรียกว่าผลคูณภายในของมินคอฟสกีโดยมีเครื่องหมายเมตริกเป็น(+ − − −)หรือ(− + + +)ปริภูมิสัมผัส ณ แต่ละจุดเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติเดียวกับปริภูมิเวลาคือ 4

ในทางปฏิบัติ ไม่จำเป็นต้องกังวลเกี่ยวกับปริภูมิสัมผัส โครงสร้างปริภูมิเวกเตอร์ของปริภูมิเวลา Minkowski ช่วยให้สามารถระบุเวกเตอร์ในปริภูมิสัมผัสที่จุด (เหตุการณ์) กับเวกเตอร์ (จุด เหตุการณ์) ในปริภูมิเวลา Minkowski เองได้อย่างเป็นแบบแผน ดูเช่นLee (2003 , ข้อเสนอ 3.8) หรือLee (2012 , ข้อเสนอ 3.13) การระบุเหล่านี้ทำกันเป็นประจำในทางคณิตศาสตร์ สามารถแสดงอย่างเป็นทางการในพิกัดคาร์ทีเซียนได้ดังนี้^{[ 16 ]} โดยมีเวกเตอร์ฐานในปริภูมิสัมผัสที่กำหนดโดย $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(x^{0},\,x^{1},\,x^{2},\,x^{3}\right)\ &\leftrightarrow \ \left.x^{0}\mathbf {e} _{0}\right|_{p}+\left.x^{1}\mathbf {e} _{1}\right|_{p}+\left.x^{2}\mathbf {e} _{2}\right|_{p}+\left.x^{3}\mathbf {e} _{3}\right|_{p}\\&\leftrightarrow \ \left.x^{0}\mathbf {e} _{0}\right|_{q}+\left.x^{1}\mathbf {e} _{1}\right|_{q}+\left.x^{2}\mathbf {e} _{2}\right|_{q}+\left.x^{3}\mathbf {e} _{3}\right|_{q}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \left.\mathbf {e} _{\mu }\right|_{p}=\left.{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\right|_{p}{\text{ หรือ }}\mathbf {e} _{0}|_{p}=\left({\begin{matrix}1\\0\\0\\0\end{matrix}}\right){\text{, เป็นต้น}}.}$$

ในที่นี้pและqคือเหตุการณ์ใดๆ สองเหตุการณ์ และการระบุเวกเตอร์ฐานที่สองเรียกว่าการขนส่งแบบขนานการระบุครั้งแรกคือการระบุแบบแคนอนิกของเวกเตอร์ในปริภูมิสัมผัส ณ จุดใดๆ กับเวกเตอร์ในปริภูมิเอง การปรากฏของเวกเตอร์ฐานในปริภูมิสัมผัสในฐานะตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งนั้นเกิดจากการระบุนี้ แรงจูงใจมาจากการสังเกตว่าเวกเตอร์สัมผัสทางเรขาคณิตสามารถเชื่อมโยงแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับ ตัวดำเนินการ อนุพันธ์ทิศทางบนเซตของฟังก์ชันเรียบ สิ่งนี้ได้รับการพัฒนาไปสู่คำจำกัดความของเวกเตอร์สัมผัสในแมนิโฟลด์ที่ไม่จำเป็นต้องฝังอยู่ในR ⁿคำจำกัดความของเวกเตอร์สัมผัสนี้ไม่ใช่คำจำกัดความเดียวที่เป็นไปได้ เนื่องจากสามารถใช้ n -tuple ทั่วไปได้เช่นกัน

สำหรับบางวัตถุประสงค์ เป็นที่พึงปรารถนาที่จะระบุเวกเตอร์สัมผัสที่จุดpกับเวกเตอร์การกระจัดที่pซึ่งแน่นอนว่าสามารถยอมรับได้โดยการระบุแบบแคนอนิกที่เหมือนกัน^{[ 17 ]}การระบุเวกเตอร์ที่กล่าวถึงข้างต้นในบริบททางคณิตศาสตร์สามารถพบได้ในบริบททางกายภาพและเรขาคณิตที่ชัดเจนยิ่งขึ้นในMisner, Thorne & Wheeler (1973)พวกเขาเสนอระดับความซับซ้อน (และความเข้มงวด) ที่แตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับส่วนใดของเนื้อหาที่เลือกอ่าน

เครื่องหมายเมตริกหมายถึงเครื่องหมายที่ผลคูณภายในของมินคอฟสกีให้เมื่อกำหนดเวกเตอร์ฐานพื้นที่ ( โดยเฉพาะเวกเตอร์ฐานเชิงพื้นที่ ซึ่งจะอธิบายเพิ่มเติมด้านล่าง) และเวกเตอร์ฐานเวลา (เวกเตอร์ฐาน เชิงเวลา ) เป็นอาร์กิวเมนต์ การอภิปรายเพิ่มเติมเกี่ยวกับทางเลือกนี้ซึ่งในทางทฤษฎีแล้วไม่มีผลอะไร แต่ในทางปฏิบัติแล้วจำเป็นเพื่อความสอดคล้องภายในและความสะดวก จะถูกเลื่อนไปอยู่ในกรอบที่ซ่อนอยู่ด้านล่าง โปรดดูหน้าที่กล่าวถึงข้อกำหนดเรื่องเครื่องหมายในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ด้วย

ในทางคณิตศาสตร์ รูปแบบทวิเชิงเส้นจะเกี่ยวข้องกับเทนเซอร์ประเภท(0,2)ที่แต่ละจุดในปริภูมิเวลา เรียกว่าเมตริกมินคอฟสกี [ ^{nb 4 ]}เมตริกมินคอฟสกี รูปแบบทวิเชิงเส้น และผลคูณภายในมินคอฟสกี ล้วนเป็นวัตถุเดียวกัน นั่นคือฟังก์ชันทวิเชิงเส้นที่รับเวกเตอร์สองตัว (คอนทราเวเรียนต์) และส่งคืนจำนวนจริง ในพิกัด นี่คือ เมทริกซ์ 4×4ที่แสดงถึงรูปแบบทวิเชิงเส้น

เพื่อเป็นการเปรียบเทียบ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปแมนิโฟลด์ลอเรนซ์Lก็มีเมตริกเทนเซอร์g เช่นกัน ซึ่งเป็นรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรที่ไม่เสื่อมสภาพบนปริภูมิสัมผัสT _p Lที่แต่ละจุดpของLในพิกัด มันสามารถแทนด้วยเมทริกซ์4×4 ที่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งในปริภูมิเวลาดังนั้นปริภูมิเวลามิงโกวสกีจึงเป็นกรณีพิเศษที่ค่อนข้างง่ายของแมนิโฟลด์ลอเรน ซ์ เมตริกเทนเซอร์ของมันอยู่ในพิกัดที่มี เมทริกซ์สมมาตรเดียวกันที่ทุกจุดของMและอาร์กิวเมนต์ของมันสามารถนำมาเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิเวลาได้ดังที่กล่าวมาข้างต้น

หากจะกล่าวโดยสรุป (โดยไม่ได้เพิ่มโครงสร้าง) ปริภูมิเวลา Minkowski ก็คือปริภูมิแบบซูโด-ยูคลิดที่มีมิติรวมn = 4และมีเครื่องหมาย(1, 3)หรือ(3, 1)องค์ประกอบของปริภูมิเวลา Minkowski เรียกว่าเหตุการณ์ปริภูมิเวลา Minkowski มักจะใช้สัญลักษณ์R ^1,3หรือR ^3,1เพื่อเน้นเครื่องหมายที่เลือก หรือเพียงแค่Mมันเป็นตัวอย่างหนึ่งของแมนิโฟลด์แบบซูโด-รีมันน์

ในทางคณิตศาสตร์ เมตริกซ์เป็นรูปแบบทวิเชิงเส้นบนปริภูมิเวกเตอร์จริงสี่มิติเชิงนามธรรมVนั่นคือ โดยที่ηมีเครื่องหมาย(+, -, -, -)และเครื่องหมายเป็นคุณสมบัติที่ไม่ขึ้นกับพิกัดของηปริภูมิของแผนที่ทวิเชิงเส้นก่อตัวเป็นปริภูมิเวกเตอร์ซึ่งสามารถระบุได้กับและηอาจถูกมองว่าเทียบเท่ากับองค์ประกอบของปริภูมินี้ โดยการเลือกฐานเชิงตั้งฉากปกติสามารถระบุได้กับปริภูมิ สัญลักษณ์นี้มี จุดประสงค์เพื่อเน้นย้ำข้อเท็จจริงที่ว่าMและไม่ใช่เพียงแค่ปริภูมิเวกเตอร์ แต่มีโครงสร้างเพิ่มเติม$${\displaystyle \eta :V\times V\rightarrow \mathbf {R} }$$${\displaystyle M^{*}\otimes M^{*}}$${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$${\displaystyle M:=(V,\eta )}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}:=(\mathbf {R} ^{4},\eta _{\mu \nu })}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}}$${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(+1,-1,-1,-1)}$

ตัวอย่างที่น่าสนใจของพิกัดที่ไม่เฉื่อยสำหรับ (บางส่วนของ) ปริภูมิเวลา Minkowski คือพิกัด Bornอีกชุดพิกัดที่มีประโยชน์คือพิกัดกรวยแสง

ผลคูณภายในของมินคอฟสกีไม่ใช่ผลคูณภายในที่แท้จริงเนื่องจากมีเวกเตอร์ศูนย์ที่ ไม่เป็นศูนย์ และเนื่องจากไม่ใช่รูปแบบทวิเชิงเส้นที่แน่นอนจึงเรียกว่าไม่ แน่นอน

เมตริกมินคอฟสกีηคือเทนเซอร์เมตริกของปริภูมิเวลามินคอฟสกี เป็นเมตริกแบบซูโด-ยูคลิด หรือโดยทั่วไปแล้วเป็น เมตริกแบบซูโด-รีมันน์ คงที่ในพิกัดคาร์ทีเซียน ดังนั้นจึงเป็นรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรที่ไม่เสื่อมสภาพ เป็นเทนเซอร์ประเภท(0, 2)มันยอมรับอาร์กิวเมนต์สองตัวคือu _p , v _pซึ่งเป็นเวกเตอร์ในT _p Mโดย ที่ p ∈ Mซึ่งเป็นปริภูมิสัมผัสที่pในMเนื่องจากการระบุแบบแคนอนิกของT _p MกับMเองที่กล่าวถึงข้างต้น มันจึงยอมรับอาร์กิวเมนต์u , vโดยที่ทั้งuและvอยู่ ในM

ตามธรรมเนียมการเขียนสัญลักษณ์ เวกเตอร์vในMซึ่งเรียกว่าเวกเตอร์ 4 มิติจะถูกเขียนด้วยตัวเอียง ไม่ใช่ตัวหนาอย่างที่นิยมใช้ในระบบเรขาคณิตแบบยุคลิด โดยทั่วไปแล้วตัวหนาจะสงวนไว้สำหรับ ส่วนเวกเตอร์ 3มิติ (ที่จะกล่าวถึงต่อไป) ของ เวกเตอร์ 4มิติ

นิยาม^{[ 18 ]} ให้โครงสร้างคล้ายผลคูณภายในบนMซึ่งก่อนหน้านี้และต่อจากนี้ไปเรียกว่าผลคูณภายในของมินคอฟสกีคล้ายกับผลคูณภายใน ของยุคลิด แต่เป็นการอธิบายเรขาคณิตที่แตกต่างกัน นอกจากนี้ยังเรียกว่าผลคูณจุดสัมพัทธภาพหากอาร์กิวเมนต์ทั้งสองเหมือนกัน ปริมาณที่ได้จะเรียกว่ากำลังสองของบรรทัดฐานมินคอฟสกีผลคูณภายในของมินคอฟสกีมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ $${\displaystyle u\cdot v=\eta (u,\,v)}$$$${\displaystyle u\cdot u=\eta (u,u)\equiv \|u\|^{2}\equiv u^{2},}$$

ความเป็นเส้นตรงในอาร์กิวเมนต์แรก

${\displaystyle \eta (au+v,\,w)=a\eta (u,\,w)+\eta (v,\,w),\quad \forall u,\,v\in M,\;\forall a\in \mathbb {R} }$

สมมาตร

${\displaystyle \eta (u,\,v)=\eta (v,\,u)}$

ความไม่เสื่อมถอย

${\displaystyle \eta (u,\,v)=0,\;\forall v\in M\ \Rightarrow \ u=0}$

เงื่อนไขสองข้อแรกบ่งชี้ถึงความเป็นเส้นตรงสองตัวแปร

คุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของผลคูณภายในและค่ากำลังสองของนอร์มคือปริมาณเหล่านี้ไม่ได้รับผลกระทบจากการแปลงลอเรนซ์อันที่จริง อาจถือได้ว่าเป็นคุณสมบัติที่กำหนดของการแปลงลอเรนซ์ เนื่องจากมันรักษาผลคูณภายใน (กล่าวคือ ค่าของรูปแบบทวิเชิงเส้นที่สอดคล้องกันบนเวกเตอร์สองตัว) แนวทางนี้ถูกนำมาใช้โดยทั่วไปสำหรับ กลุ่มคลาสสิก ทั้งหมดที่สามารถกำหนดได้ด้วยวิธีนี้ในกลุ่มคลาสสิก ในกรณี นั้น เมทริกซ์ΦจะเหมือนกันในกรณีO(3, 1) (กลุ่มลอเรนซ์) กับเมทริกซ์ηที่จะแสดงด้านล่าง

ปริภูมิเวลา Minkowski ถูกสร้างขึ้นเพื่อให้ความเร็วแสงมีค่าคงที่เสมอ ไม่ว่าจะวัดในกรอบอ้างอิงใดก็ตาม คุณสมบัตินี้เกิดจากความสัมพันธ์ของแกนเวลาต่อแกนอวกาศ เหตุการณ์สองเหตุการณ์uและvตั้งฉากกันเมื่อรูปแบบทวิเชิงเส้นเป็นศูนย์สำหรับเหตุการณ์ทั้งสอง: η ( v , w ) = 0

เมื่อทั้งuและvเป็นปริภูมิคล้ายอวกาศ พวกมันจะตั้งฉากกันแต่ถ้าตัวหนึ่งเป็นปริภูมิคล้ายเวลาและอีกตัวเป็นปริภูมิคล้ายอวกาศ ความสัมพันธ์จะเป็นความตั้งฉากแบบไฮเปอร์โบลิกความสัมพันธ์นี้ยังคงอยู่เมื่อมีการเปลี่ยนกรอบอ้างอิง และด้วยเหตุนี้ การคำนวณความเร็วแสงจึงให้ผลลัพธ์คงที่ การเปลี่ยนกรอบอ้างอิงเรียกว่าการเพิ่มความเร็วแบบลอเรนซ์และในทางคณิตศาสตร์เรียก ว่า การหมุนแบบไฮเปอร์โบลิก กรอบ อ้างอิงแต่ละกรอบจะสัมพันธ์กับมุมไฮเปอร์โบลิกซึ่งเป็นศูนย์สำหรับกรอบอ้างอิงหยุดนิ่งในปริภูมิเวลาของมิงคอฟสกี มุมไฮเปอร์โบลิกดังกล่าวถูกเรียกว่าความเร็ว สัมพัทธ์ เนื่องจากมันสัมพันธ์กับความเร็วของกรอบอ้างอิง

จากสมมติฐานข้อที่สองของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษร่วมกับความเป็นเนื้อเดียวกันของปริภูมิเวลาและความเป็นไอโซโทรปีของปริภูมิ จึงสรุปได้ว่าช่วงเวลาปริภูมิเวลาระหว่างเหตุการณ์สองเหตุการณ์ใดๆ ที่เรียกว่า1และ2คือ: ^{[ 19 ]} ปริมาณนี้ไม่ได้ถูกตั้งชื่ออย่างสม่ำเสมอในเอกสาร บางครั้งช่วงเวลานี้ถูกเรียกว่ารากที่สองของช่วงเวลาตามที่กำหนดไว้ที่นี่^{[ 20 ] [ 21 ]}$${\displaystyle c^{2}\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}-\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}-\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}-\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}.}$$

ความไม่เปลี่ยนแปลงของช่วงภายใต้การแปลงพิกัดระหว่างกรอบอ้างอิงเฉื่อยเป็นผลมาจากความไม่เปลี่ยนแปลงของ โดยมีเงื่อนไขว่าการแปลงนั้นเป็นเชิงเส้นรูปแบบกำลังสอง นี้ สามารถใช้เพื่อกำหนดรูปแบบทวิเชิงเส้น ผ่านเอกลักษณ์โพลาไรเซชันรูปแบบทวิเชิงเส้นนี้สามารถเขียนได้เป็น โดย ที่[ η ]คือเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับηแม้ว่าจะอาจทำให้สับสน แต่โดยทั่วไปแล้วมักจะใช้ηแทน[ η ]เมทริกซ์นี้อ่านได้จากรูปแบบทวิเชิงเส้นที่ชัดเจนเป็น และรูปแบบทวิเชิงเส้น ที่ส่วนนี้เริ่มต้นด้วยการสมมติว่ามีอยู่จริงนั้น ได้รับการระบุแล้วในขณะนี้ $${\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$$$${\displaystyle u\cdot v=c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}}$$$${\displaystyle u\cdot v=u^{\textsf {T}}\,[\eta ]\,v,}$$${\displaystyle 4\times 4}$$${\displaystyle \eta =\left({\begin{array}{r}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{array}}\right)\!,}$$$${\displaystyle u\cdot v=\eta (u,v),}$$

เพื่อความชัดเจนและการนำเสนอที่กระชับยิ่งขึ้น จึงใช้สัญลักษณ์(− + + +) ดังต่อไปนี้ การเลือกใช้สัญลักษณ์นี้ (หรือตัวเลือกอื่นที่เป็นไปได้) ไม่มีนัยสำคัญทางกายภาพ (ที่ทราบ) กลุ่มสมมาตรที่รักษาฟอร์มเชิงเส้นคู่ด้วยสัญลักษณ์หนึ่งตัวนั้น มีความสมมาตร (ภายใต้แผนที่ที่ให้ไว้ ที่นี่ ) กับกลุ่มสมมาตรที่รักษาสัญลักษณ์อีกตัวหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าทั้งสองตัวเลือกสอดคล้องกับสมมติฐานสองข้อของทฤษฎีสัมพัทธภาพ การสลับระหว่างสองแบบแผนนั้นทำได้ง่าย หากมีการใช้เมตริกเทนเซอร์ηในการพิสูจน์ ให้ย้อนกลับไปยังจุดเริ่มต้นที่ใช้เมตริกเทนเซอร์นั้น แทนที่ηด้วย− ηแล้วย้อนกลับไปยังสูตรที่ต้องการด้วยสัญลักษณ์เมตริกที่ต้องการ

ฐานมาตรฐานหรือฐานเชิงตั้งฉากสำหรับปริภูมิเวลาของมิงโกวสกีคือเซตของเวกเตอร์สี่ตัวที่ตั้งฉากซึ่งกันและกัน{ e ₀ , e ₁ , e ₂ , e ₃ }โดยที่ และ ซึ่งเมื่อ$${\displaystyle \eta (e_{0},e_{0})=-\eta (e_{1},e_{1})=-\eta (e_{2},e_{2})=-\eta (e_{3},e_{3})=1}$$$${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=0}$$${\textstyle \mu \neq \nu \,.}$

เงื่อนไขเหล่านี้สามารถเขียนได้อย่างกระชับในรูปแบบดังนี้ $${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.}$$

เมื่อเทียบกับฐานมาตรฐาน ส่วนประกอบของเวกเตอร์vจะเขียนได้เป็น( v₀, v₁, v₂ , v₃ ) ^โดยใช้^สัญกรณ์ของไอน์สไตน์^{ในการเขียน v = vμeμส่วนประกอบ}v₀เรียกว่าส่วนประกอบเชิงเวลาของ v ^ใน ขณะที่ ส่วนประกอบ อีกสาม _ส่วนเรียกว่าส่วนประกอบเชิงพื้นที่_{ส่วนประกอบ}เชิงพื้นที่ของเวกเตอร์4 มิติ vอาจ ระบุได้ด้วยเวกเตอร์3 มิติv = ( v₁ _, v₂ , _v₃ )

ในแง่ของส่วนประกอบ ผลคูณภายในแบบมินคอฟสกีระหว่างเวกเตอร์สองตัวvและwกำหนดโดย

$${\displaystyle \eta (v,w)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }w^{\nu }=v^{0}w_{0}+v^{1}w_{1}+v^{2}w_{2}+v^{3}w_{3}=v^{\mu }w_{\mu }=v_{\mu }w^{\mu },}$$ และ $${\displaystyle \eta (v,v)=\eta _{\mu \nu }v^{\mu }v^{\nu }=v^{0}v_{0}+v^{1}v_{1}+v^{2}v_{2}+v^{3}v_{3}=v^{\mu }v_{\mu }.}$$

ในที่นี้ได้ใช้ การลดค่าดัชนี ด้วยตัวชี้วัด

มีฐานมาตรฐานหลายแบบที่เป็นไปได้ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข ฐานมาตรฐานสองฐานใดๆ ก็ตามจะมีความสัมพันธ์กันในบางแง่โดยการแปลงลอเรนซ์ ไม่ว่าจะเป็นโดยเมทริกซ์เปลี่ยนฐาน ซึ่งเป็น เมทริกซ์ จริง ขนาด 4 × 4ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข หรือΛซึ่งเป็นแผนที่เชิงเส้นบนปริภูมิเวกเตอร์นามธรรมที่สอดคล้องกับเงื่อนไข สำหรับเวกเตอร์u , v ใด ๆ ${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=\eta _{\mu \nu }.}$${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }}$$${\displaystyle \Lambda _{\rho }^{\mu }\eta _{\mu \nu }\Lambda _{\sigma }^{\nu }=\eta _{\rho \sigma }.}$$$${\displaystyle \eta (\Lambda u,\Lambda v)=\eta (u,v).}$$

ถ้ามีฐานที่แตกต่างกันสองฐาน{ e ₀ , e ₁ , e ₂ , e ₃ }และ{ e ′ ₀ , e ′ ₁ , e ′ ₂ , e ′ ₃ }สามารถแทนได้เป็นหรือแม้ว่าอาจจะดูเหมือนน่าสนใจที่จะคิดว่าและΛเป็นสิ่งเดียวกัน แต่ในทางคณิตศาสตร์แล้ว พวกมันเป็นสมาชิกของปริภูมิที่แตกต่างกัน และกระทำต่อปริภูมิของฐานมาตรฐานจากด้านที่ต่างกัน ${\displaystyle e_{\mu }'=e_{\nu }\Lambda _{\mu }^{\nu }}$${\displaystyle e_{\mu }'=e_{\nu }\Lambda _{\mu }^{\nu }}$${\displaystyle e_{\mu }'=\Lambda e_{\mu }}$${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }}$

ในทางเทคนิค รูปแบบทวิเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมสภาพจะให้แผนที่ระหว่างปริภูมิเวกเตอร์และปริภูมิคู่ ในบริบทนี้ แผนที่จะอยู่ระหว่างปริภูมิสัมผัสของMและปริภูมิโคสัมผัสของMที่จุดหนึ่งในMปริภูมิสัมผัสและปริภูมิโคสัมผัสเป็นปริภูมิเวกเตอร์คู่ (ดังนั้นมิติของปริภูมิโคสัมผัสที่เหตุการณ์จึงเป็น4 ด้วย ) เช่นเดียวกับผลคูณภายในที่แท้จริงบนปริภูมิเวกเตอร์ที่มีอาร์กิวเมนต์หนึ่งคงที่ ตามทฤษฎีบทการแสดงแทนของ Rieszอาจแสดงเป็นการกระทำของฟังก์ชันเชิงเส้นบนปริภูมิเวกเตอร์ หลักการเดียวกันนี้ใช้ได้กับผลคูณภายในของ Minkowski ในปริภูมิเวลา Minkowski ^{[ 23 ]}

ดังนั้น ถ้าv ^μคือส่วนประกอบของเวกเตอร์ในปริภูมิสัมผัสแล้วη _μν v ^μ = v _νคือส่วนประกอบของเวกเตอร์ในปริภูมิโคสัมผัส (ฟังก์ชันเชิงเส้น) เนื่องจากเวกเตอร์ในปริภูมิสัมผัสถูกระบุว่าเป็นเวกเตอร์ในMเอง จึงมักถูกละเลย และเวกเตอร์ที่มีดัชนีต่ำกว่าจะถูกเรียกว่าเวกเตอร์ร่วมแปร (covariant vectors ) ในการตีความแบบหลังนี้ เวกเตอร์ร่วมแปรจะถูกระบุว่าเป็นเวกเตอร์ (ฟังก์ชันเชิงเส้น) ในปริภูมิคู่ของปริภูมิเวลา Minkowski (โดยส่วนใหญ่มักเป็นไปโดยปริยาย) ส่วนเวกเตอร์ที่มีดัชนีสูงกว่าเรียกว่าเวกเตอร์ผกผันแปร (contravariant vectors ) ในทำนองเดียวกัน ผกผันของแผนที่จากปริภูมิสัมผัสไปยังปริภูมิโคสัมผัส ซึ่งกำหนดโดยผกผันของηในการแสดงเมทริกซ์ สามารถใช้เพื่อกำหนดการยกดัชนีได้ส่วนประกอบของผกผันนี้จะถูกแทนด้วยη ^μνโดยที่η ^μν = η _μνแผนที่เหล่านี้ระหว่างปริภูมิเวกเตอร์และปริภูมิคู่สามารถแสดงด้วย สัญลักษณ์ η ^♭ (eta-flat) และη ^♯ (eta-sharp) ตามการเปรียบเทียบทางดนตรี^{[ 24 ]}

เวกเตอร์คอนทราแวเรียนต์และเวกเตอร์โคแวเรียนต์นั้นแตกต่างกันอย่างมากในทางเรขาคณิต เวกเตอร์คอนทราแวเรียนต์สามารถและควรคิดว่าเป็นลูกศร ฟังก์ชันเชิงเส้นสามารถอธิบายได้ด้วยวัตถุสองอย่าง คือ เคอร์เนลซึ่งเป็นระนาบที่ผ่านจุดกำเนิด และนอร์มของฟังก์ชันนั้น ในทางเรขาคณิต เวกเตอร์โคแวเรียนต์จึงควรถูกมองว่าเป็นเซตของระนาบ โดยมีระยะห่างขึ้นอยู่กับนอร์ม (นอร์มที่มากขึ้น = ระยะห่างที่น้อยลง) โดยมีระนาบหนึ่ง (เคอร์เนล) ผ่านจุดกำเนิด คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์สำหรับเวกเตอร์โคแวเรียนต์คือ 1-โคเวกเตอร์ หรือ1-ฟอร์ม (แม้ว่าคำหลังมักจะสงวนไว้สำหรับฟิลด์ โคเวกเตอร์ )

การเปรียบเทียบทางกลศาสตร์ควอนตัมอย่างหนึ่งที่สำรวจในวรรณกรรมคือคลื่นเดอ บรอยล์ (ปรับขนาดด้วยปัจจัยของค่าคงที่ลดรูปของพลังค์) ที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์โมเมนตัมสี่มิติเพื่อแสดงให้เห็นว่าเราสามารถจินตนาการถึงเวกเตอร์คอนทราเวเรียนต์เวอร์ชันโคเวเรียนต์ได้อย่างไร ผลคูณภายในของเวกเตอร์คอนทราเวเรียนต์สองตัวสามารถคิดได้ว่าเป็นการกระทำของเวกเตอร์โคเวเรียนต์เวอร์ชันหนึ่งต่อเวกเตอร์คอนทราเวเรียนต์เวอร์ชันอื่น ผลคูณภายในจึงเป็นจำนวนครั้งที่ลูกศรทะลุผ่านระนาบ^{[ 22 ]}เอกสารอ้างอิงทางคณิตศาสตร์Lee (2003)นำเสนอมุมมองทางเรขาคณิตเดียวกันของวัตถุเหล่านี้ (แต่ไม่ได้กล่าวถึงการทะลุผ่าน)

เทนเซอร์สนามแม่เหล็กไฟฟ้าคือ2-ฟอร์มเชิงอนุพันธ์ซึ่งคำอธิบายทางเรขาคณิตสามารถพบได้ใน MTW เช่นกัน

แน่นอนว่าเราอาจละเลยมุมมองทางเรขาคณิตไปโดยสิ้นเชิง (ดังเช่นในรูปแบบที่ใช้ในงานของWeinberg (2002)และLandau & Lifshitz (2002 )) และดำเนินการทางพีชคณิตในรูปแบบที่เป็นทางการล้วนๆ ความแข็งแกร่งที่ได้รับการพิสูจน์แล้วของรูปแบบนี้ ซึ่งบางครั้งเรียกว่า " กายกรรมดัชนี"ทำให้มั่นใจได้ว่าการเคลื่อนย้ายเวกเตอร์และการเปลี่ยนจากเวกเตอร์แบบคอนทราแวเรียนต์ไปเป็นเวกเตอร์แบบโคแวเรียนต์และในทางกลับกัน (รวมถึงเทนเซอร์ลำดับสูงกว่า) นั้นถูกต้องตามหลักคณิตศาสตร์ นิพจน์ที่ไม่ถูกต้องมักจะปรากฏให้เห็นอย่างรวดเร็ว

เมื่อกำหนดรูปแบบทวิเชิงเส้นแล้วเวอร์ชันที่ลดรูปของเวกเตอร์สามารถคิดได้ว่าเป็นการประเมินค่าบางส่วนของเวกเตอร์นั้น กล่าวคือ มีแผนที่การประเมินค่าบางส่วนที่เกี่ยวข้องอยู่ ${\displaystyle \ \eta :M\times M\rightarrow \mathbb {R} \ ,}$${\displaystyle \ \eta \ ,}$$${\displaystyle \eta (\cdot ,-):M\rightarrow M^{*}\ ~,\quad v\mapsto \eta (v,\cdot )~.}$$

เวกเตอร์ที่ลดระดับลงจะเป็นแผนที่คู่ขนานโปรดสังเกตว่าไม่สำคัญว่าอาร์กิวเมนต์ใดจะถูกประเมินบางส่วนเนื่องจากสมมาตรของ${\displaystyle \ \eta (v,\cdot )\in M^{*}\ }$${\displaystyle \ u\mapsto \eta (v,u)~.}$${\displaystyle \ \eta ~.}$

ความไม่เสื่อมสภาพจึงเทียบเท่ากับความเป็นหนึ่งเดียวของแผนที่การประเมินค่าบางส่วน หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ความไม่เสื่อมสภาพบ่งชี้ว่าเคอร์เนลของแผนที่นั้นเป็นศูนย์ ในมิติจำกัด ดังเช่นในกรณีนี้ และเมื่อสังเกตว่ามิติของปริภูมิที่มีมิติจำกัดเท่ากับมิติของปริภูมิคู่ขนาน นี่ก็เพียงพอที่จะสรุปได้ว่าแผนที่การประเมินค่าบางส่วนเป็นไอโซมอร์ฟิซึมเชิงเส้นจากไปยัง ซึ่งทำให้สามารถกำหนดแผนที่การประเมินค่าบางส่วนผกผันได้ ซึ่งทำให้สามารถกำหนดเมตริกผกผันได้เป็น โดย ที่การใช้งานสองแบบที่แตกต่างกันของสามารถแยกแยะได้จากอาร์กิวเมนต์ที่แต่ละอันถูกประเมิน จากนั้นสามารถใช้สิ่งนี้เพื่อยกดัชนีได้ หากใช้ฐานพิกัด เมตริกη ⁻¹ก็คือเมทริกซ์ผกผันของη อย่างแท้จริง${\displaystyle \ M\ }$${\displaystyle \ M^{*}~.}$$${\displaystyle \eta ^{-1}:M^{*}\rightarrow M\ ,}$$$${\displaystyle \eta ^{-1}:M^{*}\times M^{*}\rightarrow \mathbb {R} \ ~,\quad \eta ^{-1}\!(\alpha ,\beta )\ =\ \eta {\bigl (}\ \eta ^{-1}\!(\alpha ),\ \eta ^{-1}\!(\beta )\ {\bigr )}\ }$$${\displaystyle \;\eta ^{-1}\ }$

จุดประสงค์ในปัจจุบันคือการแสดงให้เห็นอย่างกึ่งเคร่งครัดว่าเราสามารถนำเมตริกมินคอฟสกีไปใช้กับเวกเตอร์สองตัวและได้จำนวนจริงได้อย่างไร กล่าวคือ เพื่อแสดงบทบาทของอนุพันธ์และวิธีที่อนุพันธ์เหล่านั้นหายไปในการคำนวณ บริบทคือทฤษฎีแมนิโฟลด์เรียบ และมีการแนะนำแนวคิดต่างๆ เช่น ฟิลด์คอนเวคเตอร์และอนุพันธ์ภายนอก

ให้x , y ∈ Mโดยที่

1. x จะเกิดขึ้นก่อน yตามลำดับเวลา หาก y − xเป็นจำนวนเชิงเวลาที่แสดงอนาคต ความสัมพันธ์นี้มีคุณสมบัติถ่ายทอดได้ดังนั้นจึงสามารถเขียนได้ว่า x < y
2. xเกิดขึ้นก่อนy ในเชิงสาเหตุ ถ้า y − xเป็นจำนวนเต็มศูนย์ที่ชี้ไปในอนาคต หรือจำนวนเต็มเวลาชี้ไปในอนาคต ซึ่งให้ลำดับบางส่วนของปริภูมิเวลา ดังนั้นจึงสามารถเขียนได้ว่า x ≤ y

สมมติว่าx ∈ Mเป็นปริภูมิเวลา ระนาบพร้อมกันสำหรับxคือ{ y  : η ( x , y ) = 0}เนื่องจากระนาบ นี้ เปลี่ยนแปลงไปตาม การเปลี่ยนแปลงของ xจึงมีความสัมพันธ์เชิงสัมพัทธ์ของความพร้อมกันในปริภูมิเวลาของมิงโกวสกี

ระนาบโลเรนซ์เป็นการขยายแนวคิดของปริภูมิเวลาแบบมินคอฟสกีในสองแง่มุม คือ จำนวนมิติทั้งหมดของปริภูมิเวลาไม่จำกัดอยู่ที่4 ( 2มิติขึ้นไป) และระนาบโลเรนซ์ไม่จำเป็นต้องแบนราบ กล่าวคือ อนุญาตให้มีส่วนโค้งได้

ปริภูมิเวลา Minkowski ที่ซับซ้อนถูกกำหนดเป็นM _c = M ⊕ iM [ ^{26 ]}ส่วนจริงของมันคือปริภูมิเวลา Minkowski ของเวกเตอร์สี่มิติเช่น^{ความเร็ว}สี่มิติและโมเมนตัมสี่มิติซึ่งเป็นอิสระจากการเลือกทิศทางของปริภูมิ ในทางกลับกัน ส่วนจินตนาการอาจประกอบด้วยเวกเตอร์เสมือนสี่มิติ เช่นความเร็วเชิงมุมและโมเมนต์แม่เหล็กซึ่งเปลี่ยนทิศทางเมื่อทิศทางเปลี่ยนไป มีการแนะนำ สเกลาร์เสมือนiซึ่งเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อทิศทางเปลี่ยนไปเช่นกัน ดังนั้นองค์ประกอบของM _cจึงเป็นอิสระจากการเลือกทิศทาง

โครงสร้าง คล้าย ผลคูณภายในบนM _cถูกกำหนดเป็นu ⋅ v = η ( u , v )สำหรับu , v ∈ M _c ใดๆ สปินบริสุทธิ์เชิงสัม พัทธภาพ ของอิเล็กตรอนหรืออนุภาคครึ่งสปินใดๆ จะถูกอธิบายโดยρ ∈ M _cเป็นρ = u + isโดยที่uคือความเร็วสี่มิติของอนุภาค ซึ่งสอดคล้องกับu ² = 1และsคือเวกเตอร์สปิน 4 มิติ^{[ 27 ]}ซึ่งเป็นเวกเตอร์เทียม Pauli–Lubanskiที่สอดคล้องกับs ² = −1และu ⋅ s = 0

ปริภูมิเวลา Minkowski หมายถึงสูตรทางคณิตศาสตร์ในสี่มิติ อย่างไรก็ตาม คณิตศาสตร์นี้สามารถขยายหรือลดทอนให้ง่ายขึ้นเพื่อสร้างปริภูมิเวลา Minkowski แบบทั่วไปที่คล้ายคลึงกันในจำนวนมิติใดๆ ก็ได้ ถ้าn ≥ 2 ปริภูมิเวลา Minkowski nมิติ คือปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติจริงnซึ่งมีเมตริก Minkowski คงที่ที่มีเครื่องหมาย( n − 1, 1)หรือ(1, n − 1)การวางนัยทั่วไปเหล่านี้ใช้ในทฤษฎีที่ถือว่าปริภูมิเวลามีมากกว่าหรือน้อยกว่า4มิติทฤษฎีสตริงและทฤษฎี Mเป็นสองตัวอย่างที่n > 4ในทฤษฎีสตริงปรากฏทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอ ลที่ มี ปริภูมิเวลา 1 + 1มิติ

ปริภูมิ เดอซิทเทอร์สามารถกำหนดเป็นซับแมนิโฟลด์ของปริภูมิเวลามินคอฟสกีแบบทั่วไปได้ เช่นเดียวกับปริภูมิแบบจำลองของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก (ดูด้านล่าง)

เนื่องจากปริภูมิเวลาแบบราบ ปริภูมิเวลาของมินคอฟสกีมีองค์ประกอบเชิงพื้นที่สามส่วนที่สอดคล้องกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส เสมอ ปริภูมิเวลาของมินคอฟสกีเป็นพื้นฐานที่เหมาะสมสำหรับทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ซึ่งเป็นคำอธิบายที่ดีของระบบทางกายภาพในระยะทางจำกัดในระบบที่ไม่มีแรงโน้มถ่วง อย่างมีนัยสำคัญ อย่างไรก็ตาม เพื่อที่จะพิจารณาแรงโน้มถ่วง นักฟิสิกส์จึงใช้ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปซึ่งถูกกำหนดขึ้นในคณิตศาสตร์ของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ของแมนิโฟลด์เชิงอนุพันธ์เมื่อใช้เรขาคณิตนี้เป็นแบบจำลองของปริภูมิเวลา จะเรียกว่า ปริภูมิ เวลา โค้ง

แม้ในปริภูมิเวลาโค้ง ปริภูมิเวลาของมินคอฟสกีก็ยังคงเป็นคำอธิบายที่ดีในบริเวณเล็ก ๆรอบจุดใด ๆ (ยกเว้นภาวะเอกฐานของแรงโน้มถ่วง) ^{[ nb 5 ]}กล่าวในเชิงนามธรรมมากขึ้นได้ว่า ในกรณีที่มีแรงโน้มถ่วง ปริภูมิเวลาจะถูกอธิบายโดยแมนิโฟลด์ 4 มิติโค้ง ซึ่งปริภูมิสัมผัสของจุดใด ๆ ก็คือปริภูมิเวลาของมินคอฟสกี 4 มิติ ดังนั้น โครงสร้างของปริภูมิเวลาของมินคอฟสกีจึงยังคงมีความสำคัญในการอธิบายทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

ความหมายของคำว่าเรขาคณิตสำหรับปริภูมิเวลาของมินคอฟสกีนั้นขึ้นอยู่กับบริบทเป็นอย่างมาก ปริภูมิเวลาของมินคอฟสกีไม่ได้มีเรขาคณิตแบบยุคลิด และไม่ได้มีเรขาคณิตแบบรีมันน์ทั่วไปที่มีความโค้งภายในใดๆ เลย ไม่ว่าจะเป็นเรขาคณิตที่ปรากฏในปริภูมิแบบจำลองในเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิก (ความโค้งเป็นลบ) และเรขาคณิตที่จำลองโดยทรงกลม (ความโค้งเป็นบวก) เหตุผลก็คือความไม่แน่นอนของเมตริกของมินคอฟสกี โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปริภูมิเวลาของมินคอฟสกีไม่ใช่ ปริภูมิ เมตริกและไม่ใช่แมนิโฟลด์แบบรีมันน์ที่มีเมตริกแบบรีมันน์ อย่างไรก็ตาม ปริภูมิเวลาของมินคอฟสกีมีซับแมนิโฟลด์ที่มีเมตริกแบบรีมันน์ซึ่งให้เรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิก

พื้นที่จำลองของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกที่มีมิติต่ำ เช่น 2 หรือ 3 ไม่สามารถฝังแบบไอโซเมตริกในพื้นที่ยูคลิดที่มีมิติเพิ่มขึ้นอีกหนึ่งมิติได้ กล่าวคือหรือตามลำดับ ด้วยเมตริกยูคลิดทำให้มองเห็นภาพได้ยาก^{[ nb 6 ] [ 28 ]}ในทางกลับกัน พื้นที่จำลองที่มีความโค้งเป็นบวกเป็นเพียงทรงกลมในพื้นที่ยูคลิดที่มีมิติสูงกว่าหนึ่งมิติ^{[ 29 ]}พื้นที่ไฮเปอร์โบลิกสามารถฝังแบบไอโซเมตริกในพื้นที่ที่มีมิติเพิ่มขึ้นอีกหนึ่งมิติได้ เมื่อพื้นที่ฝังนั้นมีเมตริกมินคอฟสกี ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle {\overline {g}}}$${\displaystyle \eta }$

กำหนดให้เป็นแผ่นบน ( ) ของไฮเปอร์โบโลอิด ในปริภูมิเวลา Minkowski ทั่วไปของมิติปริภูมิเวลานี่คือหนึ่งในพื้นผิวของการส่งผ่านของกลุ่ม Lorentz ทั่วไปเมตริกที่เหนี่ยวนำบนซับแมนิโฟลด์นี้ การดึงกลับของเมตริก Minkowski ภายใต้การรวม เป็นเมตริกแบบ Riemannianด้วยเมตริกนี้เป็นแมนิโฟลด์แบบ Riemannianมันเป็นหนึ่งในปริภูมิแบบจำลองของเรขาคณิตแบบ Riemannian แบบจำลองไฮเปอร์ โบโลอิด ของปริภูมิไฮเปอร์โบลิกมันเป็นปริภูมิที่มีความโค้งลบคงที่[ ^{30 ] 1}ในดัชนีบนหมายถึงการแจงนับของปริภูมิแบบจำลองต่างๆ ของเรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิก และnสำหรับมิติของมัน A สอดคล้องกับแบบจำลองดิสก์ Poincaréในขณะที่สอดคล้องกับแบบจำลองครึ่งปริภูมิ Poincaréของมิติ${\displaystyle \mathbf {H} _{R}^{1(n)}\subset \mathbf {M} ^{n+1}}$${\displaystyle ct>0}$$${\displaystyle \mathbf {H} _{R}^{1(n)}=\left\{\left(ct,x^{1},\ldots ,x^{n}\right)\in \mathbf {M} ^{n}:c^{2}t^{2}-\left(x^{1}\right)^{2}-\cdots -\left(x^{n}\right)^{2}=R^{2},ct>0\right\}}$$${\displaystyle \mathbf {M} ^{n+1}}$${\displaystyle n+1.}$$${\displaystyle h_{R}^{1(n)}=\iota ^{*}\eta ,}$$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \mathbf {H} _{R}^{1(n)}}$${\displaystyle -1/R^{2}}$${\displaystyle 2(2)}$${\displaystyle 3(n)}$${\displaystyle n.}$

ในคำจำกัดความข้างต้นคือแผนที่การรวมและเครื่องหมายดอกจันที่อยู่เหนือตัวเลขแสดงถึงการดึงกลับจุดประสงค์ในปัจจุบันคือการอธิบายการดำเนินการนี้และการดำเนินการที่คล้ายคลึงกันเพื่อเตรียมพร้อมสำหรับการสาธิตจริงว่าแท้จริงแล้วเป็นปริภูมิไฮเปอร์โบลิก ${\displaystyle \iota :\mathbf {H} _{R}^{1(n)}\rightarrow \mathbf {M} ^{n+1}}$${\displaystyle \mathbf {H} _{R}^{1(n)}}$

เพื่อให้เห็นเมตริกได้ชัดเจน จำเป็นต้องดึงมันกลับมาโดยใช้การกำหนดพารามิเตอร์ ที่เหมาะสม การกำหนดพารามิเตอร์ของซับแมนิโฟลด์Sของแมนิโฟลด์Mคือแผนที่U ⊂ R ^m → Mซึ่งมีเรนจ์เป็นเซตเปิดย่อยของSถ้าSมีมิติเท่ากับMการกำหนดพารามิเตอร์ก็คือการผกผันของแผนที่พิกัดφ : M → U ⊂ R ^mการกำหนดพารามิเตอร์ที่จะใช้คือการผกผันของการฉายภาพสเตอริโอกราฟิกแบบไฮเปอร์โบลิกดังแสดงในรูปด้านขวาสำหรับn = 2 การเปรียบเทียบกับ การฉายภาพสเตอริโอกราฟิกสำหรับทรงกลม นั้นมีประโยชน์

การฉายภาพสเตอริโอกราฟิกσ : H^เอ็น_อาร์→ R ⁿและส่วนกลับσ ⁻¹ : R ⁿ → H^เอ็น_อาร์กำหนดโดย โดย ที่เพื่อความเรียบง่ายτ ≡ ct ( τ , x )คือพิกัดบนM n ⁺¹และuคือ^{พิกัด}บน R ⁿ$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (\tau ,\mathbf {x} )=\mathbf {u} &={\frac {R\mathbf {x} }{R+\tau }},\\\sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau ,\mathbf {x} )&=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right),\end{aligned}}}$$

หนึ่งมี และแผนที่ $${\displaystyle h_{R}^{1(n)}=\eta |_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}=\left(dx^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(dx^{n}\right)^{2}-d\tau ^{2}}$$$${\displaystyle \sigma ^{-1}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {H} _{R}^{1(n)};\quad \sigma ^{-1}(\mathbf {u} )=(\tau (\mathbf {u} ),\,\mathbf {x} (\mathbf {u} ))=\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}},\,{\frac {2R^{2}\mathbf {u} }{R^{2}-|u|^{2}}}\right).}$$

ค่าเมตริกที่ดึงกลับมานั้นสามารถหาได้โดยใช้วิธีการคำนวณแคลคูลัสแบบตรงไปตรงมา $${\displaystyle \left.\left(\sigma ^{-1}\right)^{*}\eta \right|_{\mathbf {H} _{R}^{1(n)}}=\left(dx^{1}(\mathbf {u} )\right)^{2}+\cdots +\left(dx^{n}(\mathbf {u} )\right)^{2}-\left(d\tau (\mathbf {u} )\right)^{2}.}$$

เราคำนวณตามกฎมาตรฐานสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ (แม้ว่าในความเป็นจริงแล้วเรากำลังคำนวณอนุพันธ์ภายนอกที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัด) และแทนผลลัพธ์ลงในด้านขวามือ ซึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}dx^{1}(\mathbf {u} )&=d\left({\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)={\frac {\partial }{\partial u^{1}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{1}+\cdots +{\frac {\partial }{\partial u^{n}}}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}du^{n}+{\frac {\partial }{\partial \tau }}{\frac {2R^{2}u^{1}}{R^{2}-|u|^{2}}}d\tau ,\\&\ \ \vdots \\dx^{n}(\mathbf {u} )&=d\left({\frac {2R^{2}u^{n}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)=\cdots ,\\d\tau (\mathbf {u} )&=d\left(R{\frac {R^{2}+|u|^{2}}{R^{2}-|u|^{2}}}\right)=\cdots ,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \left(\sigma ^{-1}\right)^{*}h_{R}^{1(n)}={\frac {4R^{2}\left[\left(du^{1}\right)^{2}+\cdots +\left(du^{n}\right)^{2}\right]}{\left(R^{2}-|u|^{2}\right)^{2}}}\equiv h_{R}^{2(n)}.}$$

สมการสุดท้ายนี้แสดงให้เห็นว่าเมตริกบนลูกบอลนั้นเหมือนกับเมตริกแบบรีมันน์h^{2( n )} _Rในแบบจำลองลูกบอลปวงกาเรซึ่งเป็นแบบจำลองมาตรฐานอีกแบบหนึ่งของเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิก