ในฟิสิกส์โดยเฉพาะในพีชคณิตเชิงเส้นหลายตัวและการวิเคราะห์เทนเซอร์ความแปรผันร่วมและความแปรผันผกผันอธิบายว่าคำอธิบายเชิงปริมาณของเอนทิตีทางเรขาคณิตหรือทางกายภาพบางอย่างเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อมีการเปลี่ยนฐาน^{[ 2 ]} โดยสรุป เวกเตอร์แปรผันผกผันคือรายการของตัวเลขที่แปลงไปในทิศทางตรงกันข้ามกับการเปลี่ยนฐาน และเวกเตอร์แปรผันร่วมคือรายการของตัวเลขที่แปลงไปในทิศทางเดียวกัน เวกเตอร์แปรผันผกผันมักเรียกว่าเวกเตอร์และเวกเตอร์แปรผันร่วมเรียกว่าโคเวกเตอร์หรือเวกเตอร์คู่คำว่าแปรผันร่วมและแปรผันผกผันได้รับการแนะนำโดยเจมส์ โจเซฟ ซิลเวสเตอร์ในปี 1851 ^{[ 3 ] [ 4 ]}

ระบบพิกัดโค้งเช่นพิกัดทรงกระบอกหรือพิกัดทรงกลมมักถูกใช้ในปัญหาทางฟิสิกส์และเรขาคณิต ระบบพิกัดใดๆ ก็ตามจะมีฐานพิกัดที่เหมาะสมสำหรับเวกเตอร์ โดยพิจารณาจากแต่ละจุดในปริภูมิ และความแปรปรวนร่วมและความแปรปรวนผกผันมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการทำความเข้าใจว่าคำอธิบายพิกัดของเวกเตอร์เปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อเปลี่ยนจากระบบพิกัดหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่งเทนเซอร์เป็นวัตถุในพีชคณิตหลายเชิงเส้นที่สามารถมีทั้งลักษณะของความแปรปรวนร่วมและความแปรปรวนผกผันได้

ในวิชาฟิสิกส์ เวกเตอร์มักเกิดขึ้นจากผลลัพธ์ของการวัดหรือชุดของการวัด และแสดงเป็นรายการ (หรือทูเปิล ) ของตัวเลข เช่น

$${\displaystyle (v_{1},v_{2},v_{3}).}$$

ตัวเลขในรายการขึ้นอยู่กับการเลือกใช้ระบบพิกัดตัวอย่างเช่น หากเวกเตอร์แสดงตำแหน่งเทียบกับผู้สังเกต ( เวกเตอร์ตำแหน่ง ) ระบบพิกัดอาจได้มาจากระบบของแท่งแข็งหรือแกนอ้างอิง ซึ่งวัดส่วนประกอบv ₁ , v ₂และv ₃ ตามแนวแกนเหล่านั้น สำหรับเวกเตอร์ที่จะแสดงถึงวัตถุทางเรขาคณิต จะต้องสามารถอธิบายลักษณะของวัตถุนั้นในระบบพิกัดอื่นได้ กล่าวคือ ส่วนประกอบของเวกเตอร์จะเปลี่ยนแปลงไปในลักษณะใดลักษณะหนึ่งเมื่อเปลี่ยนจากระบบพิกัดหนึ่งไปยังอีกระบบพิกัดหนึ่ง

ตัวอย่างง่ายๆ คือเวกเตอร์แบบยุคลิดสำหรับเวกเตอร์ เมื่อกำหนดชุดเวกเตอร์ฐานแล้ว ส่วนประกอบของเวกเตอร์นั้นจะเปลี่ยนแปลงในทิศทางตรงกันข้ามกับการเปลี่ยนแปลงของเวกเตอร์ฐานเสมอ ดังนั้น เวกเตอร์นั้นจึงถูกนิยามว่าเป็น เทนเซอร์ แบบคอนทราเวเรียนต์ ลองพิจารณาเวกเตอร์ตำแหน่งมาตรฐานเป็นตัวอย่าง โดยการเปลี่ยนมาตราส่วนของแกนอ้างอิงจากเมตรเป็นเซนติเมตร (นั่นคือการหารมาตราส่วนของแกนอ้างอิงด้วย 100 เพื่อให้เวกเตอร์ฐานมีความยาวเป็นเมตร) ส่วนประกอบของเวกเตอร์ตำแหน่ง ที่วัดได้ จะถูกคูณด้วย 100 ส่วนประกอบของเวกเตอร์จะเปลี่ยนมาตราส่วนใน ทิศทาง ตรงกันข้ามกับการเปลี่ยนแปลงมาตราส่วนของแกนอ้างอิง และด้วยเหตุนี้ เวกเตอร์จึงถูกเรียกว่าเทนเซอร์ แบบคอนทราเว เรียนต์${\displaystyle .01}$

เวกเตอร์ซึ่งเป็นตัวอย่างของ เทนเซอร์ แบบคอนทราเวเรียนต์ มีส่วนประกอบที่แปลงผกผันกับการแปลงของแกนอ้างอิง (ตัวอย่างการแปลง ได้แก่การหมุนและการขยาย ) ตัวเวกเตอร์เองจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การดำเนินการเหล่านี้แต่ส่วนประกอบของเวกเตอร์จะเปลี่ยนแปลงในลักษณะที่หักล้างการเปลี่ยนแปลงของแกนเชิงพื้นที่ กล่าวคือ ถ้าแกนอ้างอิงถูกหมุนไปในทิศทางหนึ่ง การแสดงส่วนประกอบของเวกเตอร์จะหมุนไปในทิศทางตรงกันข้ามอย่างแม่นยำ ในทำนองเดียวกัน ถ้าแกนอ้างอิงถูกยืดออกไปในทิศทางหนึ่ง ส่วนประกอบของเวกเตอร์จะลดลงในลักษณะที่ชดเชยกันอย่างแม่นยำ ในทางคณิตศาสตร์ ถ้าหากระบบพิกัดมีการแปลงที่อธิบายโดยเมทริกซ์ผกผันMโดยที่เวกเตอร์ฐานแปลงตามM แล้ว ส่วนประกอบของเวกเตอร์vในฐานเดิม ( ) จะต้องถูกแปลงในทำนองเดียวกันผ่านM ส่วนประกอบของเวกเตอร์มักจะแสดงเรียงกันเป็นคอลัมน์ ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}^{\prime }\ \mathbf {e} _{2}^{\prime }\ ...\ \mathbf {e} _{n}^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}\ ...\ \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}M}$${\displaystyle v^{i}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}v^{1}{^{\prime }}\\v^{2}{^{\prime }}\\...\\v^{n}{^{\prime }}\end{bmatrix}}=M^{-1}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\\...\\v^{n}\end{bmatrix}}}$

ในทางตรงกันข้ามโคเวกเตอร์มีส่วนประกอบที่แปลงรูปเหมือนแกนอ้างอิง มันอยู่ในปริภูมิเวกเตอร์คู่ขนาน และแสดงถึงการแมปเชิงเส้นจากเวกเตอร์ไปยังสเกลาร์ ตัวดำเนินการผลคูณจุดที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์เป็นตัวอย่างที่ดีของโคเวกเตอร์ เพื่อให้เห็นภาพ สมมติว่าเรามีโคเวกเตอร์ที่กำหนดเป็น โดย ที่เป็นเวกเตอร์ ส่วนประกอบของโคเวกเตอร์นี้ในฐานใดๆ คือ โดยที่เป็นเวกเตอร์ฐานในปริภูมิเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน (สามารถหาได้โดยสังเกตว่าเราต้องการได้คำตอบที่ถูกต้องสำหรับการดำเนินการผลคูณจุดเมื่อคูณด้วยเวกเตอร์ใดๆที่มีส่วนประกอบ) ความแปรปรวนร่วมของส่วนประกอบโคเวกเตอร์เหล่านี้จะเห็นได้จากการสังเกตว่าหากมีการใช้ การแปลงที่อธิบายโดย เมทริกซ์ผกผันM กับเวกเตอร์ฐานในปริภูมิเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน แล้วส่วนประกอบของโคเวกเตอร์จะแปลงรูปด้วยเมทริกซ์เดียวกันนั่นคือส่วนประกอบของโคเวกเตอร์มักจะแสดงเรียงกันเป็นแถว ${\displaystyle \mathbf {v} \ \cdot }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1}&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2}&...&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}\ ...\ \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle {\begin{bmatrix}w^{1}\\w^{2}\\...\\w^{n}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}^{\prime }\ \mathbf {e} _{2}^{\prime }\ ...\ \mathbf {e} _{n}^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}\ ...\ \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}M}$${\displaystyle \mathbf {v} \ \cdot }$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1}^{\prime }&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2}^{\prime }&...&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{n}^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1}&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2}&...&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}M}$

แนวคิดที่สามที่เกี่ยวข้องกับความแปรปรวนร่วมและความแปรปรวนผกผันคือความไม่แปรเปลี่ยน ส เกลาร์ (หรือเรียกว่าเทนเซอร์ประเภท 0 หรืออันดับ 0) คือวัตถุที่ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเปลี่ยนฐาน ตัวอย่างของปริมาณทาง กายภาพ ที่เป็นสเกลาร์คือมวลของอนุภาค ค่าสเกลาร์เดียวของมวลนั้นเป็นอิสระจากการเปลี่ยนแปลงของเวกเตอร์ฐาน และด้วยเหตุนี้จึงเรียกว่าไม่แปรเปลี่ยนขนาดของเวกเตอร์ (เช่นระยะทาง ) เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของความไม่แปรเปลี่ยน เพราะมันยังคงที่แม้ว่าส่วนประกอบของเวกเตอร์ทางเรขาคณิตจะเปลี่ยนแปลงไป (ตัวอย่างเช่น สำหรับเวกเตอร์ตำแหน่งที่มีความยาว เมตร ถ้าเวกเตอร์ฐานคาร์ ทีเซียนทั้งหมดเปลี่ยนจากเมตรเป็นเมตร ความยาวของเวกเตอร์ตำแหน่งจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลงที่เมตร แม้ว่าส่วนประกอบของเวกเตอร์ทั้งหมดจะเพิ่มขึ้นเป็นปัจจัย) ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์และโคเวกเตอร์ไม่แปรเปลี่ยน เพราะตัวหนึ่งมีส่วนประกอบที่เปลี่ยนแปลงไปตามการเปลี่ยนแปลงฐาน และอีกตัวหนึ่งมีส่วนประกอบที่เปลี่ยนแปลงไปในทิศทางตรงกันข้าม และผลกระทบทั้งสองจะหักล้างกัน ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่าโคเวกเตอร์เป็นคู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์ ${\displaystyle 3}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle .01}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 100}$

สรุปได้ว่า:

• เวกเตอร์หรือเวกเตอร์สัมผัสมีส่วนประกอบที่แปรผกผันกับการเปลี่ยนฐานเพื่อชดเชย กล่าวคือ เมทริกซ์ที่แปลงส่วนประกอบของเวกเตอร์จะต้องเป็นเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ที่แปลงเวกเตอร์ฐาน ส่วนประกอบของเวกเตอร์ (ตรงข้ามกับส่วนประกอบของโคเวกเตอร์) เรียกว่าแปรผกผันในสัญกรณ์ของไอน์สไตน์ (การรวมโดยปริยายเหนือดัชนีที่ซ้ำกัน) ส่วนประกอบแปรผกผันจะถูกระบุด้วยดัชนีบนดังเช่นใน

  ${\displaystyle \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}}$

• โคเวกเตอร์หรือโคแทนเจนต์เวกเตอร์มีส่วนประกอบที่แปรผันร่วมกับการเปลี่ยนฐานในปริภูมิเวกเตอร์ (เริ่มต้น) ที่สอดคล้องกัน กล่าวคือ ส่วนประกอบเหล่านั้นจะต้องถูกแปลงโดยเมทริกซ์เดียวกันกับเมทริกซ์การเปลี่ยนฐานในปริภูมิเวกเตอร์ (เริ่มต้น) ที่สอดคล้องกัน ส่วนประกอบของโคเวกเตอร์ (ตรงข้ามกับส่วนประกอบของเวกเตอร์) เรียกว่าเป็นส่วนประกอบที่แปรผันร่วมในสัญกรณ์ของไอน์สไตน์ส่วนประกอบที่แปรผันร่วมจะถูกแทนด้วยดัชนีล่างดังเช่นใน

  ${\displaystyle \mathbf {w} =w_{i}\mathbf {e} ^{i}.}$

• ผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์และโคเวกเตอร์คือค่าสเกลาร์ซึ่งเป็นค่าคงที่ มันคือการจับคู่แบบทวิภาวะของเวกเตอร์และโคเวกเตอร์${\displaystyle v^{i}w_{i}}$

การกำหนดสูตรทั่วไปของความแปรปรวนร่วมและความแปรปรวนผกผันหมายถึงวิธีการที่ส่วนประกอบของเวกเตอร์พิกัดแปลงภายใต้การเปลี่ยนฐาน ( การแปลงแบบพาสซีฟ ) ^{[ 5 ]}ดังนั้นให้Vเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติnเหนือฟิลด์ของสเกลาร์Sและให้f = ( X ₁ , ..., X _n )และf ′ = ( Y ₁ , ..., Y _n ) แต่ละตัว เป็นฐานของV ^{[หมายเหตุ 1 ]} นอกจากนี้ ให้การเปลี่ยนฐานจากfเป็นf ′ กำหนดโดย

$${\displaystyle \mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} '={\biggl (}\sum _{i}a_{1}^{i}X_{i},\dots ,\sum _{i}a_{n}^{i}X_{i}{\biggr )}=\mathbf {f} A}$$

1

สำหรับเมทริกซ์n × n ที่ผกผันได้Aที่มีสมาชิก โดย ที่เวกเตอร์ Y _jแต่ละตัวของ ฐาน f ′ เป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์X _iของ ฐาน fดังนั้น ${\displaystyle a_{j}^{i}}$

$${\displaystyle Y_{j}=\sum _{i}a_{j}^{i}X_{i},}$$

ซึ่งเป็นคอลัมน์ของผลคูณเมทริกซ์ ${\displaystyle \mathbf {f} A}$

เวกเตอร์ในVสามารถแสดงได้อย่างเฉพาะเจาะจงในรูปผลรวมเชิงเส้นขององค์ประกอบของ ฐาน fดังนี้ ${\displaystyle v}$${\displaystyle X_{i}}$

$${\displaystyle v=\sum _{i}v^{i}[\mathbf {f} ]X_{i},}$$

2

โดยที่v ⁱ [ f ] คือองค์ประกอบของฟิลด์Sซึ่งรู้จักกันในชื่อส่วนประกอบของvใน ฐาน fให้v [ f ] แทนเวกเตอร์คอลัมน์ของส่วนประกอบของv :

$${\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}v^{1}[\mathbf {f} ]\\v^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\v^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}}$$

ดังนั้น ( 2 ) สามารถเขียนใหม่เป็นผลคูณเมทริกซ์ได้

$${\displaystyle v=\mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ].}$$

เวกเตอร์vอาจแสดงในรูปของ ฐาน f ′ ได้เช่นกัน ดังนั้น

$${\displaystyle v=\mathbf {f'} \,\mathbf {v} [\mathbf {f'} ].}$$

อย่างไรก็ตาม เนื่องจากเวกเตอร์vเองนั้นไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลือกฐาน

$${\displaystyle \mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ]=v=\mathbf {f'} \,\mathbf {v} [\mathbf {f'} ].}$$

ความไม่เปลี่ยนแปลงของvรวมกับความสัมพันธ์ ( 1 ) ระหว่างfและf ′ บ่งชี้ว่า

$${\displaystyle \mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ]=\mathbf {f} A\,\mathbf {v} [\mathbf {f} A],}$$

โดยให้กฎการแปลง

$${\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f'} ]=\mathbf {v} [\mathbf {f} A]=A^{-1}\mathbf {v} [\mathbf {f} ].}$$

ในแง่ของส่วนประกอบ

$${\displaystyle v^{i}[\mathbf {f} A]=\sum _{j}{\tilde {a}}_{j}^{i}v^{j}[\mathbf {f} ]}$$

โดย ที่ สัมประสิทธิ์คือค่าในเมทริกซ์ผกผันของA${\displaystyle {\tilde {a}}_{j}^{i}}$

เนื่องจากส่วนประกอบของเวกเตอร์v แปลง รูปไปตามเมทริกซ์ผกผันAจึงกล่าวได้ว่าส่วนประกอบเหล่านี้แปลงรูปไปในทิศทางตรงกันข้ามภายใต้การเปลี่ยนฐาน

วิธีที่Aเชื่อมโยงคู่ทั้งสองเข้าด้วยกันนั้นแสดงไว้ในแผนภาพอย่างไม่เป็นทางการต่อไปนี้โดยใช้ลูกศร การกลับทิศทางของลูกศรแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงแบบตรงกันข้าม: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &\longrightarrow \mathbf {f'} \\v[\mathbf {f} ]&\longleftarrow v[\mathbf {f'} ]\end{aligned}}}$$

ฟังก์ชันเชิงเส้นαบนVสามารถแสดงได้อย่างเฉพาะเจาะจงในรูปของส่วนประกอบ (องค์ประกอบในS ) ใน ฐาน fดังนี้

$${\displaystyle \alpha (X_{i})=\alpha _{i}[\mathbf {f} ],\quad i=1,2,\dots ,n.}$$

ส่วนประกอบเหล่านี้คือการกระทำของαต่อเวกเตอร์ฐานX _iของฐาน f

ภายใต้การเปลี่ยนฐานจากfเป็นf ′ (ผ่าน1 ) ส่วนประกอบจะแปลงไปดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{i}[\mathbf {f} A]&=\alpha (Y_{i})\\&=\alpha {\biggl (}\sum _{j}a_{i}^{j}X_{j}{\biggr )}\\&=\sum _{j}a_{i}^{j}\alpha (X_{j})\\&=\sum _{j}a_{i}^{j}\alpha _{j}[\mathbf {f} ].\end{aligned}}}$

3

กำหนดให้เวกเตอร์แถวของส่วนประกอบของαเป็นα [ f ]:

$${\displaystyle \mathbf {\alpha } [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}\alpha _{1}[\mathbf {f} ],\alpha _{2}[\mathbf {f} ],\dots ,\alpha _{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}}$$

ดังนั้น ( 3 ) สามารถเขียนใหม่เป็นผลคูณเมทริกซ์ได้

$${\displaystyle \alpha [\mathbf {f} A]=\alpha [\mathbf {f} ]A.}$$

เนื่องจากส่วนประกอบของฟังก์ชันเชิงเส้น α แปลงรูปไปพร้อมกับเมทริกซ์Aจึงกล่าวได้ว่าส่วนประกอบเหล่านี้แปลงรูปอย่างแปรผันร่วมภายใต้การเปลี่ยนฐาน

แผนภาพอย่างไม่เป็นทางการต่อไปนี้แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง A กับคู่ทั้งสอง โดยลูกศรชี้ไปในทิศทางเดียวกัน แสดงถึงความสัมพันธ์แบบโคแว เรียนต์$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &\longrightarrow \mathbf {f'} \\\alpha [\mathbf {f} ]&\longrightarrow \alpha [\mathbf {f'} ]\end{aligned}}}$$

หากใช้การแสดงผลแบบเวกเตอร์คอลัมน์แทน กฎการแปลงจะเป็นการสลับแถวและคอลัมน์$${\displaystyle \alpha ^{\mathrm {T} }[\mathbf {f} A]=A^{\mathrm {T} }\alpha ^{\mathrm {T} }[\mathbf {f} ].}$$

การเลือกฐานfบนปริภูมิเวกเตอร์Vกำหนดเซตของฟังก์ชันพิกัดบนV ได้อย่างเฉพาะเจาะจง โดยอาศัย พิกัดบนVจึงเป็นแบบคอนทราแวเรียนต์ในความหมายที่ว่า ในทางกลับกัน ระบบของปริมาณn ตัว v ⁱที่แปลงรูปเหมือนกับพิกัดx ⁱบนVจะกำหนดเวกเตอร์คอนทราแวเรียนต์ (หรือเรียกง่ายๆ ว่าเวกเตอร์) ระบบของ ปริมาณ nตัวที่แปลงรูปในทิศทางตรงกันข้ามกับพิกัดจะเป็นเวกเตอร์โคแวเรียนต์ (หรือโคเวกเตอร์) $${\displaystyle x^{i}[\mathbf {f} ](v)=v^{i}[\mathbf {f} ].}$$$${\displaystyle x^{i}[\mathbf {f} A]=\sum _{k=1}^{n}{\tilde {a}}_{k}^{i}x^{k}[\mathbf {f} ].}$$

การกำหนดรูปแบบของความแปรผกผันและความแปรผกผันนี้ มักจะดูเป็นธรรมชาติมากกว่าในแอปพลิเคชันที่มีปริภูมิพิกัด ( แมนิโฟลด์ ) ซึ่งเวกเตอร์ดำรงอยู่เป็นเวกเตอร์สัมผัสหรือเวกเตอร์โคสัมผัสเมื่อกำหนดระบบพิกัดท้องถิ่นx ⁱบนแมนิโฟลด์ แกนอ้างอิงสำหรับระบบพิกัดคือฟิลด์เวกเตอร์ ซึ่งทำให้เกิดเฟรมf = ( X ₁ , ..., X _n )ที่ทุกจุดของแพทช์พิกัด $${\displaystyle X_{1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\dots ,X_{n}={\frac {\partial }{\partial x^{n}}}.}$$

ถ้าy ⁱเป็นระบบพิกัดที่แตกต่างกัน และ เฟรมf'สัมพันธ์กับเฟรมfโดยเมทริกซ์ Jacobian ผกผัน ของการเปลี่ยนพิกัด: หรือในรูปดัชนี $${\displaystyle Y_{1}={\frac {\partial }{\partial y^{1}}},\dots ,Y_{n}={\frac {\partial }{\partial y^{n}}},}$$$${\displaystyle \mathbf {f} '=\mathbf {f} J^{-1},\quad J=\left({\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}\right)_{i,j=1}^{n}.}$$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y^{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial x^{j}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}.}$$

เวกเตอร์สัมผัสตามนิยามคือเวกเตอร์ที่เป็นผลรวมเชิงเส้นของอนุพันธ์ย่อยของพิกัดดังนั้น เวกเตอร์สัมผัสจึงถูกนิยามโดย ${\displaystyle \partial /\partial x^{i}}$$${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}[\mathbf {f} ]X_{i}=\mathbf {f} \ \mathbf {v} [\mathbf {f} ].}$$

เวกเตอร์ดังกล่าวเป็นเวกเตอร์ผกผันกับการเปลี่ยนกรอบอ้างอิง ภายใต้การเปลี่ยนแปลงในระบบพิกัด จะมี $${\displaystyle \mathbf {v} \left[\mathbf {f} '\right]=\mathbf {v} \left[\mathbf {f} J^{-1}\right]=J\,\mathbf {v} [\mathbf {f} ].}$$

ดังนั้น ส่วนประกอบของเวกเตอร์สัมผัสจึงแปลงผ่าน $${\displaystyle v^{i}\left[\mathbf {f} '\right]=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}v^{j}[\mathbf {f} ].}$$

ดังนั้น ระบบของปริมาณn ตัว v ⁱที่ขึ้นอยู่กับพิกัดซึ่งแปลงรูปไปในลักษณะนี้เมื่อเปลี่ยนจากระบบพิกัดหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง เรียกว่า เวกเตอร์คอนทราเวเรียนต์

ใน ปริภูมิเวกเตอร์ มิติจำกัดVเหนือฟิลด์K ที่มี รูปแบบทวิ เชิงเส้นสมมาตรที่ไม่เสื่อมสภาพg  : V × V → K (ซึ่งอาจเรียกว่าเทนเซอร์เมตริก ) แทบไม่มีความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์โคแวเรียนต์และคอนทราแวเรียนต์ เนื่องจากรูปแบบทวิเชิงเส้นอนุญาตให้ระบุโคเวกเตอร์กับเวกเตอร์ได้ กล่าวคือ เวกเตอร์vกำหนดโคเวกเตอร์α ได้อย่างไม่ซ้ำกัน ผ่านสมการ สำหรับเวกเตอร์w ทั้งหมด ในทางกลับกัน โคเวกเตอร์ αแต่ละตัวกำหนดเวกเตอร์v ที่ไม่ซ้ำกัน โดยสมการนี้ เนื่องจากการระบุเวกเตอร์กับโคเวกเตอร์นี้ เราจึงอาจพูดถึงส่วนประกอบโคแว เรียนต์ หรือส่วนประกอบคอนทราแวเรียนต์ของเวกเตอร์ได้ กล่าวคือ พวกมันเป็นเพียงการแสดงแทนของเวกเตอร์เดียวกันโดยใช้ฐาน ผกผัน$${\displaystyle \alpha (w)=g(v,w)}$$

กำหนดให้ฐานf = ( X ₁ , ..., X _n )ของVแล้ว จะมีฐานผกผันที่ไม่ซ้ำกันf ^# = ( Y ¹ , ..., Y ⁿ )ของVซึ่งกำหนดโดยการกำหนดให้ เดลต้าโครเนกเกอร์ในแง่ของฐานเหล่านี้ เวกเตอร์v ใดๆ สามารถเขียนได้สองวิธี: ส่วนประกอบv ⁱ [ f ] คือส่วนประกอบคอนทราเวเรียนต์ของเวกเตอร์vในฐานfและส่วนประกอบv _i [ f ] คือส่วนประกอบโคเวเรียน ต์ ของvในฐานfคำศัพท์นี้มีความเหมาะสมเพราะภายใต้การเปลี่ยนฐาน $${\displaystyle g(Y^{i},X_{j})=\delta _{j}^{i},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}v&=\sum _{i}v^{i}[\mathbf {f} ]X_{i}=\mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ]\\&=\sum _{i}v_{i}[\mathbf {f^{\sharp }} ]Y^{i}=\mathbf {f} ^{\sharp }\mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} ].\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f} A]=A^{-1}\mathbf {v} [\mathbf {f} ],\quad \mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} A]=A^{T}\mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} ]}$$ โดยที่เป็นเมทริกซ์ผกผันได้ และเมทริกซ์ทรานสโพสมีความหมายตามปกติ ${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times n}$

ในระนาบยุคลิดผลคูณดอทช่วยให้สามารถระบุเวกเตอร์กับโคเวกเตอร์ได้ ถ้าเป็นฐานหลัก ฐานหลักคู่ขนานจะสอดคล้องกับ ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} ^{1}\cdot \mathbf {e} _{1}=1,&\quad \mathbf {e} ^{1}\cdot \mathbf {e} _{2}=0\\\mathbf {e} ^{2}\cdot \mathbf {e} _{1}=0,&\quad \mathbf {e} ^{2}\cdot \mathbf {e} _{2}=1.\end{aligned}}}$$

ดังนั้นe ¹และe ₂จึงตั้งฉากกัน เช่นเดียวกับe ²และe ₁และความยาวของe ¹และe ²ที่ถูกทำให้เป็นมาตรฐานเทียบกับe ₁และe ₂ตามลำดับ

ตัวอย่างเช่น^{[ 6 ]}สมมติว่าเราได้รับฐานe ₁ , e ₂ซึ่งประกอบด้วยเวกเตอร์คู่หนึ่งที่ทำมุม 45° ต่อกัน โดยที่e ₁มีความยาว 2 และe ₂มีความยาว 1 จากนั้นเวกเตอร์ฐานคู่จะกำหนดดังต่อไปนี้:

• e ²คือผลลัพธ์ของการหมุนe ₁ผ่านมุม 90° (โดยวัดทิศทางโดยถือว่าคู่e ₁ , e ₂มีทิศทางเป็นบวก) จากนั้นปรับขนาดใหม่เพื่อให้e 2 ^⋅ e 2 ₌ 1
• e ¹คือผลลัพธ์ของการหมุนe ₂เป็นมุม 90° แล้วปรับขนาดใหม่เพื่อให้e 1 ^⋅ e 1 ₌ 1

เมื่อนำกฎเหล่านี้มาใช้ เราจะพบ ว่าและ $${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {1}{2}}\mathbf {e} _{1}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{2}}$$$${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{1}+2\mathbf {e} _{2}.}$$

ดังนั้น การเปลี่ยนแปลงของเมทริกซ์ฐานในการเปลี่ยนจากฐานเดิมไปเป็นฐานผกผันจึงเป็น ดังนี้ $${\displaystyle R={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&2\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle [\mathbf {e} ^{1}\ \mathbf {e} ^{2}]=[\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}]{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&2\end{bmatrix}}.}$$

ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ดัง กล่าวเป็นเวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบแบบคอนทราเวเรียนต์ $${\displaystyle v={\frac {3}{2}}\mathbf {e} _{1}+2\mathbf {e} _{2}}$$$${\displaystyle v^{1}={\frac {3}{2}},\quad v^{2}=2.}$$

ส่วนประกอบโคแวเรียนต์ได้มาจากการเทียบสมการทั้งสองสำหรับเวก เตอร์ vดังนี้ $${\displaystyle v=v_{1}\mathbf {e} ^{1}+v_{2}\mathbf {e} ^{2}=v^{1}\mathbf {e} _{1}+v^{2}\mathbf {e} _{2}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}&=R^{-1}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}4&{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}6+2{\sqrt {2}}\\2+{\frac {3}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}.}$$

ใน ปริภูมิยูคลิดสามมิติเราสามารถกำหนดฐานคู่ให้กับชุดเวกเตอร์ฐานe ₁ , e ₂ , e ₃ของE ₃ ที่กำหนดให้ได้โดยชัดเจน ซึ่งไม่จำเป็นต้องถือว่าเวกเตอร์ฐานเหล่านี้ตั้งฉากกันหรือมีขนาดหนึ่งหน่วย เวกเตอร์ฐานคู่มีดังนี้:

$${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})}};\qquad \mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\mathbf {e} _{2}\cdot (\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1})}};\qquad \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\mathbf {e} _{3}\cdot (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})}}.}$$

แม้ว่าe _iและe ⁱจะไม่ตั้งฉากกันแต่ก็ยังคงผกผันกันได้อยู่ดี: $${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{j}^{i},}$$

จากนั้นส่วนประกอบคอนทราเวเรียนต์ของเวกเตอร์v ใดๆ สามารถหาได้โดยการคูณดอทของvกับเวกเตอร์ฐานคู่:

$${\displaystyle q^{1}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{1};\qquad q^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{2};\qquad q^{3}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{3}.}$$

ในทำนองเดียวกัน ส่วนประกอบโคแวเรียนต์ของvสามารถหาได้จากผลคูณดอทของvกับเวกเตอร์ฐาน กล่าวคือ

$${\displaystyle q_{1}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1};\qquad q_{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2};\qquad q_{3}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{3}.}$$

จากนั้นvสามารถแสดงได้สองวิธี (แบบผกผัน) คือ หรือ เมื่อรวมความสัมพันธ์ข้างต้นเข้าด้วยกัน เราจะได้ และเราสามารถแปลงระหว่างฐานและฐานคู่ด้วย และ $${\displaystyle \mathbf {v} =q^{i}\mathbf {e} _{i}=q^{1}\mathbf {e} _{1}+q^{2}\mathbf {e} _{2}+q^{3}\mathbf {e} _{3}.}$$$${\displaystyle \mathbf {v} =q_{i}\mathbf {e} ^{i}=q_{1}\mathbf {e} ^{1}+q_{2}\mathbf {e} ^{2}+q_{3}\mathbf {e} ^{3}}$$$${\displaystyle \mathbf {v} =(\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{i})\mathbf {e} ^{i}}$$$${\displaystyle q_{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{i}=(q^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=(\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i})q^{j}}$$$${\displaystyle q^{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(q_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i})q_{j}.}$$

ถ้าเวกเตอร์ฐานเป็นเวกเตอร์ตั้งฉากกันเวกเตอร์ฐานทั้งสองก็จะเหมือนกับเวกเตอร์ฐานคู่

ข้อความต่อไปนี้ใช้ได้กับปริภูมิเวกเตอร์ใดๆ ที่มีมิติnซึ่งมีผลคูณดอทแบบไม่เสื่อมสภาพ สลับที่ได้ และกระจายได้ และด้วยเหตุนี้จึงใช้ได้กับปริภูมิยุคลิดที่มีมิติใดๆ ด้วย

ดัชนีทั้งหมดในสูตรมีค่าตั้งแต่ 1 ถึงn โดยใช้ สัญกรณ์ของไอน์สไตน์สำหรับการบวกโดยปริยายของพจน์ที่มีดัชนีด้านบน (contravariant) และด้านล่าง (covariant) เหมือนกัน

ความหมายทางประวัติศาสตร์และเรขาคณิตของคำว่าคอนทราแวเรียนต์และโคแวเรียนต์จะได้รับการอธิบายในตอนท้ายของหัวข้อนี้

1. ฐานโคแวเรียนต์ของปริภูมิเวกเตอร์มิติn : {ฐานอิสระเชิงเส้นใดๆ สำหรับ ซึ่งโดยทั่วไปคือ} กล่าวคือ ไม่จำเป็นต้องเป็นฐานตั้งฉากปกติ (D.1)${\displaystyle \mathbf {e_{j}} \triangleq }$${\displaystyle \mathbf {e_{i}} \cdot \mathbf {e_{j}} \neq \delta _{ij}}$
2. ส่วนประกอบคอนทราเวเรียนต์ของเวกเตอร์: (D.2)${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle v^{i}\triangleq \{v^{i}\mid \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e_{i}} \}}$
3. ฐานคู่ (คอนทราเวเรียนต์)ของปริภูมิเวกเตอร์มิติn : (D.3)${\displaystyle \mathbf {e^{i}} \triangleq \{\mathbf {e^{i}} :\mathbf {e^{i}} \cdot \mathbf {e_{j}} =\delta _{j}^{i}\}}$
4. ส่วนประกอบโคแวเรียนต์ของเวกเตอร์: (D.4)${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle v_{i}\triangleq \{v_{i}\mid \mathbf {v} =v_{i}\mathbf {e^{i}} \}}$
5. ส่วนประกอบของเทนเซอร์เมตริกแบบโคแวเรียนต์ : ; เทนเซอร์เมตริกสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นเมทริกซ์จัตุรัส เนื่องจากมีดัชนีโคแวเรียนต์เพียงสองตัว: ; สำหรับคุณสมบัติการสลับที่ของผลคูณดอท เมท ริกซ์เหล่านี้ จึงสมมาตร (D.5)${\displaystyle g_{ij}\triangleq \mathbf {e_{i}} \cdot \mathbf {e_{j}} }$${\displaystyle G\triangleq \{g_{ij}\}}$${\displaystyle g_{ij}}$
6. ส่วนประกอบของเทนเซอร์เมตริกคอนทราเวเรียนต์ : ; สิ่งเหล่านี้คือองค์ประกอบของเมทริกซ์/เทนเซอร์เมตริกโคเวเรียนต์ผกผันและสำหรับคุณสมบัติของเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์สมมาตรพวกมันก็สมมาตรเช่นกัน (D.6)${\displaystyle g^{ij}\triangleq \{h_{ij}:G^{-1}=\{h_{ij}\}\}}$${\displaystyle G^{-1}}$

• ${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}}$(1). พิสูจน์:จากคุณสมบัติของเมทริกซ์ผกผัน (D.6)
• ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=g^{ij}\mathbf {e} _{j}}$(2). พิสูจน์:สมมติว่า; เราจะแสดงว่า. นำผลคูณดอทของทั้งสองข้างมาคูณด้วย: คูณทั้งสองข้างด้วย:${\displaystyle \{A^{ij}\mid \mathbf {e} ^{i}=A^{ij}\mathbf {e} _{j}\}}$${\displaystyle A^{ij}=g^{ij}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{k}=(A^{ij}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{k}\\\xrightarrow {\text{(D.3,D.5)}} {}&A^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i};\end{aligned}}}$$${\displaystyle g^{mk}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&g^{mk}A^{ij}g_{jk}=g^{mk}\delta _{k}^{i}\\\xrightarrow {\text{(D.5)}} {}&\;g^{mk}g_{kj}A^{ij}=g^{mi}\\\xrightarrow {\text{(1)}} {}&\;\delta _{j}^{m}A^{ij}=g^{mi}\\\longrightarrow {}&\;A^{im}=g^{mi}{\stackrel {\text{(D.6)}}{=}}g^{im}.\quad \blacksquare \end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=g^{ij}}$(3). หลักฐาน:$${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {e} ^{i}{\stackrel {\text{(2)}}{{}={}}}g^{ik}\mathbf {e} _{k};\\&\mathbf {e} ^{j}{\stackrel {\text{(2)}}{{}={}}}g^{jm}\mathbf {e} _{m}\\\longrightarrow {}&\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=g^{ik}g^{jm}(\mathbf {e} _{k}\cdot \mathbf {e} _{m}){\stackrel {\text{(D.5)}}{{}={}}}g^{ik}g^{jm}g_{km}{\stackrel {\text{(1)}}{{}={}}}\delta _{m}^{i}g^{jm}=g^{ji}{\stackrel {\text{(D.6)}}{{}={}}}g^{ij}.\quad \blacksquare \end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=g_{ij}\mathbf {e} ^{j}}$(4). พิสูจน์:สมมติว่า; เราจะแสดงว่า. นำผลคูณดอทของทั้งสองข้างมาคูณด้วย: ; คูณทั้งสองข้างด้วย:${\displaystyle \{B_{ij}\mid \mathbf {e} _{i}=B_{ij}\mathbf {e} ^{j}\}}$${\displaystyle B_{ij}=g_{ij}}$${\displaystyle \mathbf {e} ^{k}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{k}=(B_{ij}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{k}{\stackrel {\text{(D.3,3)}}{\to }}B_{ij}g^{jk}=\delta _{i}^{k}}$${\displaystyle g_{mk}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&g_{mk}B_{ij}g^{jk}=g_{mk}\delta _{i}^{k}\\\xrightarrow {\text{(D.5)}} {}&g_{mk}g^{kj}B_{ij}=g_{mi}\\\xrightarrow {\text{(1)}} {}&\delta _{m}^{j}B_{ij}=g_{mi}\\\longrightarrow {}&B_{im}=g_{mi}{\stackrel {\text{(D.5)}}{{}={}}}g_{im}.\quad \blacksquare \end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle v^{i}=g^{ij}v_{j}}$(5). หลักฐาน:$${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {v} {\stackrel {\text{(D.2)}}{=}}v^{i}\mathbf {e} _{i};\\&\mathbf {v} {\stackrel {\text{(D.4)}}{=}}v_{j}\mathbf {e} ^{j}{\stackrel {\text{(2)}}{=}}v_{j}(g^{ji}\mathbf {e} _{i})\\\longrightarrow {}&v^{i}\mathbf {e} _{i}=v_{j}g^{ji}\mathbf {e} _{i},\\\forall i&:v^{i}=g^{ji}v_{j}{\stackrel {\text{(D.6)}}{=}}g^{ij}v_{j}.\quad \blacksquare \end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle v_{i}=g_{ij}v^{j}}$(6). หลักฐาน:สะท้อนกับ (5).
• ${\displaystyle v_{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{i}}$(7). หลักฐาน:$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{i}{\stackrel {\text{(D.4)}}{{}={}}}(v_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} _{i}{\stackrel {\text{(D.3)}}{{}={}}}v_{j}\delta _{i}^{j}=v_{i}.\quad \blacksquare \end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle v^{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{i}}$(8). หลักฐาน:สะท้อนกับ (7).
• ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =g_{ij}u^{i}v^{j}}$(9). หลักฐาน:$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} {\stackrel {\text{(D.2)}}{{}={}}}(u^{i}\mathbf {e} _{i})\cdot (v^{j}\mathbf {e} _{j})=(\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j})u^{i}v^{j}{\stackrel {\text{(D.5)}}{{}={}}}g_{ij}u^{i}v^{j}.\quad \blacksquare }$$
• ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =g^{ij}u_{i}v_{j}}$(10). หลักฐาน:สะท้อนกับ (9).

เมื่อพิจารณารูปนี้สำหรับกรณีของปริภูมิยุคลิดที่มีเนื่องจากถ้าเราต้องการแสดงในรูปของฐานโคแวเรียนต์ เราต้องคูณเวกเตอร์ฐานด้วยสัมประสิทธิ์${\displaystyle n=2}$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {OA} +\mathbf {OB} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle v^{1}={\frac {\vert \mathbf {OA} \vert }{\vert \mathbf {e_{1}} \vert }}}$${\displaystyle v^{2}={\frac {\vert \mathbf {OB} \vert }{\vert \mathbf {e_{2}} \vert }}}$

เมื่อค่าโมดูลัสของเวกเตอร์ฐานเพิ่มขึ้น ค่าของ ส่วนประกอบจะลดลง และ นี่คือเหตุผลที่เรียกว่า เวกเตอร์ ผกผัน (เมื่อเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของค่าโมดูลัสของเวกเตอร์ฐาน) ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {OA} }$${\displaystyle \mathbf {OB} }$${\displaystyle \mathbf {e_{i}} }$${\displaystyle v^{i}}$

ในทางสมมาตร บทสรุป (7) ระบุว่าส่วนประกอบเท่ากับผลคูณดอทระหว่างเวกเตอร์และเวกเตอร์ฐานโคแวเรียนต์ และเนื่องจากสิ่งนี้เป็นสัดส่วนโดยตรงกับโมดูลของเวกเตอร์ฐาน จึงเรียกว่าโคแวเรียนต์ ${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {e_{i}} }$

หากเราพิจารณาฐานคู่ (คอนทราแวเรียนต์) สถานการณ์จะสะท้อนกลับอย่างสมบูรณ์แบบ กล่าวคือ ส่วนประกอบโคแวเรียนต์จะเป็นคอนทราแวเรียนต์เมื่อเทียบกับโมดูลของเวกเตอร์ฐานคู่ ในขณะที่ส่วนประกอบคอนทราแวเรียนต์จะเป็นโคแวเรียนต์

ดังนั้นในท้ายที่สุดแล้ว ทุกอย่างก็ขึ้นอยู่กับข้อตกลง: ในทางประวัติศาสตร์ ฐานที่ไม่ตั้งฉากกัน ตัวแรก ของปริมาณเวกเตอร์ที่เลือกเรียกว่า "โคแวเรียนต์" ฐานคู่ของมันเรียกว่า "คอนทราแวเรียนต์" และส่วนประกอบที่สอดคล้องกันจะถูกตั้งชื่อตามลักษณะสะท้อน

ถ้าฐานโคแวเรียนต์กลายเป็นฐานตั้งฉากปกติฐานคอนทราแวเรียนต์คู่ขนานจะสอดคล้องกับฐานโคแวเรียนต์ และส่วนประกอบโคแวเรียนต์จะยุบรวมเข้ากับส่วนประกอบคอนทราแวเรียนต์ ซึ่งเป็นสถานการณ์ที่คุ้นเคยที่สุดเมื่อต้องจัดการกับเวกเตอร์ยูคลิดเชิงเรขาคณิตและกลายเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์และ: ${\displaystyle G}$${\displaystyle G^{-1}}$${\displaystyle I}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{ij}&=\delta _{ij},\\g^{ij}&=\delta ^{ij},\\[1ex]\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} &=\delta _{ij}u^{i}v^{j}=\sum _{i}u^{i}v^{i}\\&=\delta ^{ij}u_{i}v_{j}=\sum _{i}u_{i}v_{i}.\end{aligned}}}$$

ถ้าเมตริกไม่ใช่เมตริกแบบยุคลิด แต่เป็นแบบมิงคอฟสกีเช่นใน ทฤษฎี สัมพัทธภาพพิเศษและ ทฤษฎี สัมพัทธภาพทั่วไปฐานจะไม่ตั้งฉากกันเสมอ แม้ในกรณีของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษที่และกลายเป็น สำหรับในสถานการณ์นี้ ส่วนประกอบโคแวเรียนต์และคอนทราแวเรียนต์จะแตกต่างกันเสมอ ${\displaystyle G}$${\displaystyle G^{-1}}$${\displaystyle n=4,\ \eta \triangleq \operatorname {diag} (1,-1,-1,-1)}$

ความแตกต่างระหว่างความแปรปรวนร่วมและความแปรปรวนผกผันมีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการคำนวณด้วยเทนเซอร์ซึ่งมักมีความแปรปรวนแบบผสมหมายความว่าเทนเซอร์มีทั้งส่วนประกอบที่แปรปรวนร่วมและผกผัน หรือทั้งส่วนประกอบเวกเตอร์และโคเวกเตอร์ ค่าความแปรผันของเทนเซอร์คือจำนวนของพจน์ที่แปรปรวนร่วมและผกผัน และในสัญกรณ์ของไอน์สไตน์ส่วนประกอบที่แปรปรวนร่วมจะมีดัชนีต่ำกว่า ในขณะที่ส่วนประกอบที่ผกผันจะมีดัชนีสูงกว่า ความสัมพันธ์แบบทวิภาคระหว่างความแปรปรวนร่วมและความแปรปรวนผกผันเกิดขึ้นทุกครั้งที่ปริมาณเวกเตอร์หรือเทนเซอร์ถูกแทนด้วยส่วนประกอบของมัน แม้ว่าเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ สมัยใหม่ จะใช้วิธีการที่ซับซ้อนกว่าโดยไม่ต้องใช้ดัชนีในการแทนเทนเซอร์ก็ตาม

ในการวิเคราะห์เทนเซอร์เวก เตอร์ โคแว เรียน ต์จะแปรผันแบบผกผันกับเวกเตอร์คอนทราแวเรียนต์ที่สอดคล้องกันโดยประมาณ ดังนั้นจึงสามารถแสดงค่าความยาว พื้นที่ และปริมาตรของวัตถุในปริภูมิเวกเตอร์ได้ในรูปของเทนเซอร์ที่มีดัชนีโคแวเรียนต์และคอนทราแวเรียนต์ ภายใต้การขยายและการหดตัวอย่างง่ายของพิกัด ความผกผันจะเป็นไปอย่างแม่นยำ แต่ภายใต้การแปลงเชิงเส้นตรง ส่วนประกอบของเวกเตอร์จะผสมปนเปกันเมื่อเปลี่ยนระหว่างการแสดงออกในรูปแบบโคแวเรียนต์และคอนทราแวเรียนต์

บนแมนิโฟลด์ฟิลด์เทนเซอร์มักจะมีดัชนีหลายตัว ทั้งดัชนีบนและล่าง ซึ่งมีการใช้สัญกรณ์ของไอน์สไตน์อย่างแพร่หลาย เมื่อแมนิโฟลด์มีเมตริกดัชนีโคแวเรียนต์และคอนทราแวเรียนต์จะมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ดัชนีคอนทราแวเรียนต์สามารถเปลี่ยนเป็นดัชนีโคแวเรียนต์ได้โดยการหดตัวกับเทนเซอร์เมตริก และในทางกลับกันก็สามารถทำได้โดยการหดตัวกับเมทริกซ์ผกผันของเทนเซอร์เมตริก โปรดทราบว่าโดยทั่วไปแล้วไม่มีความสัมพันธ์ดังกล่าวในปริภูมิที่ไม่มีเทนเซอร์เมตริก นอกจากนี้ จากมุมมองที่เป็นนามธรรมมากขึ้น เทนเซอร์ก็เป็นเพียง "สิ่งที่มีอยู่แล้ว" และส่วนประกอบของมันไม่ว่าจะเป็นชนิดใดก็เป็นเพียงสิ่งประดิษฐ์จากการคำนวณซึ่งค่าของมันขึ้นอยู่กับพิกัดที่เลือก

คำอธิบายในเชิงเรขาคณิตคือ เทนเซอร์ทั่วไปจะมีทั้งดัชนีคอนทราแวเรียนต์และดัชนีโคแวเรียนต์ เนื่องจากมีส่วนประกอบที่อยู่ในทั้งบันเดิลแทนเจนต์และบันเดิลโคแทนเจนต์

เวกเตอร์คอนทราเวเรียนต์ คือ เวกเตอร์ที่แปลงรูปได้เหมือนกับโดยที่คือพิกัดของอนุภาค ณเวลาที่เหมาะสม ของมัน ส่วนเวกเตอร์โคเวเรียนต์ คือ เวกเตอร์ที่แปลงรูปได้เหมือนกับโดยที่คือสนามสเกลาร์ ${\displaystyle {\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}$${\displaystyle x^{\mu }\!}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x^{\mu }}}}$${\displaystyle \varphi }$

ในทฤษฎีหมวดหมู่มีฟังก์ชันโคแวเรียนต์และฟังก์ชันคอนทราแว เรียนต์ การกำหนด ปริภูมิ คู่ให้กับปริภูมิเวกเตอร์เป็นตัวอย่างมาตรฐานของฟังก์ชันคอนทราแวเรียนต์ เวกเตอร์คอนทราแวเรียนต์ (หรือโคแวเรียนต์) เป็นฟังก์ชันคอนทราแวเรียนต์ (หรือโคแวเรียนต์) จากทอร์เซอร์ aไปยังการแสดงแทนพื้นฐานของเวกเตอร์นั้น ในทำนองเดียวกัน เทนเซอร์ที่มีดีกรีสูงกว่าเป็นฟังก์ชันที่มีค่าในการแสดงแทนอื่นๆ ของ เวกเตอร์ นั้น อย่างไรก็ตาม โครงสร้างบางอย่างของพีชคณิตเชิงเส้นหลายตัวมีลักษณะแปรผันแบบ "ผสม" ซึ่งทำให้โครงสร้างเหล่านั้นไม่สามารถเป็นฟังก์ชันได้ ${\displaystyle {\text{GL}}(n)}$${\displaystyle {\text{GL}}(n)}$${\displaystyle {\text{GL}}(n)}$

ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ส่วนประกอบของเวกเตอร์ที่สัมพันธ์กับฐานของมัดสัมผัสจะเป็นแบบโคแวเรียนต์ (covariant) ถ้ามันเปลี่ยนแปลงไปตามการแปลงเชิงเส้นแบบเดียวกับการเปลี่ยนฐาน และจะเป็นแบบคอนทราแวเรียนต์ (contravariant) ถ้ามันเปลี่ยนแปลงไปตามการแปลงผกผัน บางครั้งสิ่งนี้เป็นแหล่งที่มาของความสับสนด้วยเหตุผลสองประการที่แตกต่างกันแต่เกี่ยวข้องกัน ประการแรก เวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบแบบโคแวเรียนต์ (เรียกว่าโคเวกเตอร์หรือ1-ฟอร์ม ) จะดึงกลับ (pull back)ภายใต้ฟังก์ชันเรียบ (smooth functions) ซึ่งหมายความว่าการดำเนินการที่กำหนดปริภูมิของโคเวกเตอร์ให้กับแมนิโฟลด์เรียบนั้นเป็น ฟังก์ชันคอนทราแวเรียนต์ (contravariant functor ) ในทำนองเดียวกัน เวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบแบบคอนทรา แวเรียนต์ จะผลักไปข้างหน้า (push forward ) ภายใต้การแมปเรียบ (smooth mappings) ดังนั้นการดำเนินการที่กำหนดปริภูมิของเวกเตอร์ (คอนทราแวเรียนต์) ให้กับแมนิโฟลด์เรียบนั้น เป็น ฟังก์ชันโคแวเรียนต์ ประการที่สอง ในแนวทางคลาสสิกของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ สิ่งที่เป็นพื้นฐานที่สุดไม่ใช่ฐานของมัดสัมผัส แต่เป็นการเปลี่ยนแปลงในระบบพิกัดต่างหาก เวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบแบบคอนทราเวเรียนต์จะแปลงสภาพในลักษณะเดียวกับการเปลี่ยนแปลงของพิกัด (เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงของพิกัดนั้นตรงกันข้ามกับการเปลี่ยนแปลงของฐานที่เกิดขึ้น) ในทำนองเดียวกัน เวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบแบบโคเวเรียนต์จะแปลงสภาพในทิศทางตรงกันข้ามกับการเปลี่ยนแปลงของพิกัด

• การแปลงแบบแอคทีฟและพาสซีฟ
• เทนเซอร์ผสม
• เทนเซอร์สองจุดซึ่งเป็นการขยายแนวคิดที่อนุญาตให้ดัชนีอ้างอิงถึงฐานเวกเตอร์หลายฐานได้

• "เทนเซอร์โคแวเรียนต์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• "เทนเซอร์คอนทราแวเรียนต์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "เทนเซอร์โคแวเรียนต์" . MathWorld .
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "เทนเซอร์คอนทราแวเรียนต์" . MathWorld .
• ความไม่เปลี่ยนแปลง, ความแปรผันตรงข้าม และความแปรผันร่วม
• ดัลเลมอนด์, คีส์; พีเตอร์ส, แคสเปอร์ (2010) "ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับแคลคูลัสเทนเซอร์" (PDF )