ในทางคณิตศาสตร์เมตริก ฟูบินี-สตูดี (IPA: /fubini-ʃtuːdi/) เป็นเมตริกคาห์เลอร์บนปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนCP ⁿที่มีรูปแบบเฮอร์มิเชียนเมตริกนี้ได้รับการอธิบายครั้งแรกในปี 1904 และ 1905 โดยกุยโด ฟูบินีและเอ็ดเวิร์ด สตูดี^{[ 1 ] [ 2 ]}

รูปแบบเฮอร์มิเชียนใน ( ปริภูมิเวกเตอร์ ) C ^{n +1}กำหนดกลุ่มย่อยเอกภาพ U( n +1) ใน GL( n +1, C ) เมตริกฟูบินี-สตูดีถูกกำหนดขึ้นจนถึงโฮโมเทตี (การปรับขนาดโดยรวม) โดยความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การกระทำ U( n +1) ดังกล่าว ดังนั้นจึงเป็นเอก พันธุ์ ปริภูมิ CP ⁿที่มีเมตริกฟูบินี- สตูดี เป็นปริภูมิสมมาตรการทำให้เป็นมาตรฐานเฉพาะบนเมตริกขึ้นอยู่กับการประยุกต์ใช้ ในเรขาคณิตแบบรีมันน์เราใช้การทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้เมตริกฟูบินี-สตูดีมีความสัมพันธ์กับเมตริกมาตรฐานบน ทรงกลม (2 n +1)ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตเราใช้การทำให้เป็นมาตรฐานที่ทำให้CP ⁿเป็นแมนิโฟลด์ฮอดจ์

เมตริกฟูบินี-สตูดีเกิดขึ้นเองตามธรรมชาติใน การสร้าง ปริภูมิผลหารของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อน

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราอาจนิยามCP ⁿให้เป็นปริภูมิที่ประกอบด้วยเส้นจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดในC ^{n +1}กล่าวคือ ผลหารของC ^{n +1} \{0} โดยความสัมพันธ์สมมูลที่เชื่อมโยงผลคูณเชิงซ้อนทั้งหมดของแต่ละจุดเข้าด้วยกัน ซึ่งสอดคล้องกับผลหารโดยการกระทำของกลุ่ม แนวทแยง ของกลุ่มการคูณC ^*  =  C  \ {0}:

${\displaystyle \mathbf {CP} ^{n}=\left\{\mathbf {Z} =[Z_{0},Z_{1},\ldots ,Z_{n}]\in {\mathbf {C} }^{n+1}\setminus \{0\}\right\}{\big /}\{\mathbf {Z} \sim c\mathbf {Z} ,c\in \mathbf {C} ^{*}\}.}$

ดังนั้น จุดของCP ⁿจึงถูกระบุด้วยชั้นสมมูลของทูเปิล ( n + 1) [ Z ₀ ,..., Z _n ] โดยปรับสเกลเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ โดยที่Z _iเรียกว่าพิกัดเอกพันธุ์ของจุดนั้น

นอกจากนี้ เรายังสามารถรับรู้การแมปผลหารนี้ได้ในสองขั้นตอน: เนื่องจากการคูณด้วยสเกลาร์เชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์z  =  R e ^iθสามารถคิดได้อย่างเฉพาะเจาะจงว่าเป็นการประกอบกันของการขยายด้วยค่าสัมบูรณ์Rตามด้วยการหมุนทวนเข็มนาฬิการอบจุดกำเนิดด้วยมุม θ การแมปผลหารC ^{n +1} \{0} →  CP ⁿจึงแยกออกเป็นสองส่วน ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \mathbf {C} ^{n+1}\setminus \{0\}\mathrel {\stackrel {(a)}{\longrightarrow }} S^{2n+1}\mathrel {\stackrel {(b)}{\longrightarrow }} \mathbf {CP} ^{n}}$

โดยที่ขั้นตอน (a) เป็นผลหารโดยการขยายZ  ~  R ZสำหรับR  ∈  R ⁺ ซึ่ง เป็น กลุ่มการคูณของจำนวนจริงบวกและขั้นตอน (b) เป็นผลหารโดยการหมุนZ  ~  e ^iθ Z

ผลลัพธ์ของการหารใน (a) คือไฮเปอร์สเฟียร์จริงS ^{2 n +1}ที่กำหนดโดยสมการ | Z | ² = | Z ₀ | ²  + ... + | Z _n | ²  = 1 การหารใน (b) ทำให้เกิดCP ⁿ  =  S ^{2 n +1} / S ¹โดยที่S ¹แทนกลุ่มของการหมุน การหารนี้เกิดขึ้นอย่างชัดเจนโดยHopf fibration ที่มีชื่อเสียง S ¹  →  S ^{2 n +1}  →  CP ⁿซึ่งไฟเบอร์ของมันอยู่ในกลุ่มวงกลม ใหญ่ของ${\displaystyle S^{2n+1}}$

เมื่อทำการหารปริภูมิแบบรีมันน์ (หรือปริภูมิเมตริกโดยทั่วไป) จะต้องระมัดระวังเพื่อให้แน่ใจว่าปริภูมิหารนั้นมีเมตริกที่กำหนดไว้อย่างดี ตัวอย่างเช่น ถ้ากลุ่มGกระทำต่อปริภูมิแบบรีมันน์ ( X , g ) แล้ว เพื่อให้ ปริภูมิ วงโคจรX / Gมีเมตริกที่เหนี่ยวนำ เมตริกนั้นจะต้องคงที่ตาม วงโคจรของ Gในแง่ที่ว่าสำหรับองค์ประกอบh  ∈  G ใดๆ และคู่ของสนามเวกเตอร์เราต้องมีg ( Xh , Yh ) =  g ( X , Y ) ${\displaystyle g}$${\displaystyle X,Y}$

เมตริกเฮอร์มิเชียนมาตรฐานบนC ^{n +1}กำหนดไว้ในฐานมาตรฐานโดย

${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {Z} \otimes d{\bar {\mathbf {Z} }}=dZ_{0}\otimes d{\bar {Z}}_{0}+\cdots +dZ_{n}\otimes d{\bar {Z}}_{n}}$

ซึ่งการทำให้เป็นจริงคือ เมตริกยุคลิดมาตรฐานบนR ^{2 n +2}เมตริกนี้ไม่คงที่ภายใต้การกระทำแนวทแยงของC ^*ดังนั้นเราจึงไม่สามารถผลักมันลงไปยังCP ⁿในผลหารได้โดยตรง อย่างไรก็ตาม เมตริกนี้คงที่ภายใต้การกระทำแนวทแยงของS ¹  = U(1) ซึ่งเป็นกลุ่มของการหมุน ดังนั้นขั้นตอน (b) ในการสร้างข้างต้นจึงเป็นไปได้เมื่อขั้นตอน (a) เสร็จสมบูรณ์แล้ว

เมตริก ฟูบินี-สตูดีคือเมตริกที่เหนี่ยวนำบนผลหารCP ⁿ  =  S ^{2 n +1} / S ¹โดยที่มีสิ่งที่เรียกว่า "เมตริกกลม" ซึ่งกำหนดให้กับมันโดยการจำกัดเมตริกยุคลิดมาตรฐานไว้ที่ไฮเปอร์สเฟียร์หน่วย ${\displaystyle S^{2n+1}}$

สำหรับจุดในCP ⁿที่มีพิกัดเอกพันธุ์จะมีชุดพิกัดn ชุดที่ไม่ซ้ำกันเพียงชุดเดียว ซึ่งทำให้ ${\displaystyle [Z_{0}:\dots :Z_{n}]}$${\displaystyle (z_{1},\dots ,z_{n})}$

${\displaystyle [Z_{0}:\dots :Z_{n}]\sim [1,z_{1},\dots ,z_{n}],}$

โดยมีเงื่อนไขเฉพาะ เจาะจงว่า รูปแบบของระบบพิกัดเชิงเส้นสำหรับCP ⁿในส่วนพิกัด เราสามารถพัฒนาระบบพิกัดเชิงเส้นในส่วนพิกัดใดๆ ก็ได้โดยการหารด้วยในลักษณะที่ชัดเจนส่วนพิกัดn + 1 ครอบคลุมCP ⁿและสามารถให้เมตริกได้อย่างชัดเจนในรูปของพิกัดเชิงเส้นบน อนุพันธ์ ของพิกัดกำหนดกรอบของมัดสัมผัส เชิงโฮโลมอร์ฟิก ของCP ⁿซึ่งเมตริก Fubini–Study มีส่วนประกอบแบบเฮอร์มิเชียน ${\displaystyle Z_{0}\neq 0}$${\displaystyle z_{j}=Z_{j}/Z_{0}}$${\displaystyle (z_{1},\dots ,z_{n})}$${\displaystyle U_{0}=\{Z_{0}\neq 0\}}$${\displaystyle U_{i}=\{Z_{i}\neq 0\}}$${\displaystyle Z_{i}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle (z_{1},\dots ,z_{n})}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle \{\partial _{1},\ldots ,\partial _{n}\}}$

${\displaystyle g_{i{\bar {j}}}=h(\partial _{i},{\bar {\partial }}_{j})={\frac {\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)\delta _{i{\bar {j}}}-{\bar {z}}_{i}z_{j}}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}.}$

โดยที่ | z | ²  = | z ₁ | ²  + ... + | z _n | ²นั่นคือเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนของเมตริกฟูบินี-สตูดีในกรอบนี้คือ

${\displaystyle {\bigl [}g_{i{\bar {j}}}{\bigr ]}={\frac {1}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}\left[{\begin{array}{cccc}1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{1}|^{2}&-{\bar {z}}_{1}z_{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{1}z_{n}\\-{\bar {z}}_{2}z_{1}&1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{2}|^{2}&\cdots &-{\bar {z}}_{2}z_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-{\bar {z}}_{n}z_{1}&-{\bar {z}}_{n}z_{2}&\cdots &1+|\mathbf {z} |^{2}-|z_{n}|^{2}\end{array}}\right]}$

โปรดทราบว่าแต่ละองค์ประกอบของเมทริกซ์นั้นไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงแบบเอกภาพ: การกระทำในแนวทแยงมุมจะไม่ทำให้เมทริกซ์นี้เปลี่ยนแปลง ${\displaystyle \mathbf {z} \mapsto e^{i\theta }\mathbf {z} }$

ดังนั้น องค์ประกอบเส้นจึงกำหนดโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=g_{i{\bar {j}}}\,dz^{i}\,d{\bar {z}}^{j}\\[4pt]&={\frac {\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)|d\mathbf {z} |^{2}-({\bar {\mathbf {z} }}\cdot d\mathbf {z} )(\mathbf {z} \cdot d{\bar {\mathbf {z} }})}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{j}-{\bar {z}}^{j}z_{i}\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{i}}{\left(1+z_{i}{\bar {z}}^{i}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

ในนิพจน์สุดท้ายนี้จะใช้หลักการหาผลรวมเพื่อ หาผลรวมของดัชนีละติน iและjซึ่งมีค่าตั้งแต่ 1 ถึง  n

เมตริกสามารถหาได้จากศักยภาพ Kähler ต่อไปนี้ : ^{[ 3 ]}

${\displaystyle K=\ln(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})=\ln(1+\delta _{i{\bar {j}}}z^{i}{\bar {z}}^{j})}$

เช่น

${\displaystyle g_{i{\bar {j}}}=K_{i{\bar {j}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{i}\,\partial {\bar {z}}^{j}}}K}$

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงนิพจน์ได้ในสัญกรณ์พิกัดเอกพันธุ์ซึ่งมักใช้เพื่ออธิบายความหลากหลายเชิงโปรเจกที ฟ ของเรขาคณิตพีชคณิต : Z  = [ Z ₀ :...: Z _n ] ในทางรูปธรรม โดยขึ้นอยู่กับการตีความนิพจน์ที่เกี่ยวข้องอย่างเหมาะสม จะได้ว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {|\mathbf {Z} |^{2}|d\mathbf {Z} |^{2}-({\bar {\mathbf {Z} }}\cdot d\mathbf {Z} )(\mathbf {Z} \cdot d{\bar {\mathbf {Z} }})}{|\mathbf {Z} |^{4}}}\\&={\frac {Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }dZ_{\beta }d{\bar {Z}}^{\beta }-{\bar {Z}}^{\alpha }Z_{\beta }dZ_{\alpha }d{\bar {Z}}^{\beta }}{\left(Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}\\&={\frac {2Z_{[\alpha }\,dZ_{\beta ]}{\bar {Z}}^{[\alpha }\,{\overline {dZ}}^{\beta ]}}{\left(Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

ในที่นี้ใช้หลักการหาผลรวมเพื่อหาผลรวมของดัชนีกรีก α β ที่มีค่าตั้งแต่ 0 ถึงnและในความเท่าเทียมกันสุดท้ายใช้สัญลักษณ์มาตรฐานสำหรับส่วนเบี่ยงเบนของเทนเซอร์:

${\displaystyle Z_{[\alpha }W_{\beta ]}={\tfrac {1}{2}}\left(Z_{\alpha }W_{\beta }-Z_{\beta }W_{\alpha }\right).}$

ตอนนี้ นิพจน์สำหรับ d s ² นี้ เห็นได้ชัดว่ากำหนดเทนเซอร์บนปริภูมิทั้งหมดของบันเดิลทอโทโลจิคัลC ^{n +1} \{0} ควรทำความเข้าใจอย่างถูกต้องว่าเป็นเทนเซอร์บนCP ⁿโดยการดึงกลับตามส่วนตัดโฮโลมอร์ฟิก σ ของบันเดิลทอโทโลจิคัลของCP ⁿจากนั้นจึงเหลือเพียงการตรวจสอบว่าค่าของการดึงกลับนั้นเป็นอิสระจากการเลือกส่วนตัด: ซึ่งสามารถทำได้โดยการคำนวณโดยตรง

รูปแบบ Kählerของเมตริกนี้คือ

${\displaystyle \omega ={\frac {i}{2}}\partial {\bar {\partial }}\log |\mathbf {Z} |^{2}}$

โดยที่ตัวดำเนินการ Dolbeaultเหล่านั้น การดึงกลับของสิ่งนี้เป็นอิสระอย่างชัดเจนจากการเลือกส่วนโฮโลมอร์ฟิก ปริมาณ log| Z | ²คือศักยภาพ Kähler (บางครั้งเรียกว่าสเกลาร์ Kähler) ของ CP ⁿ${\displaystyle \partial ,{\bar {\partial }}}$

ในกลศาสตร์ควอนตัมเมตริก Fubini–Study ยังเป็นที่รู้จักในชื่อเมตริก Buresอีก ด้วย ^{[ 4 ​​]}อย่างไรก็ตาม เมตริก Bures มักจะถูกกำหนดในสัญลักษณ์ของสถานะผสมในขณะที่คำอธิบายด้านล่างเขียนขึ้นในแง่ของสถานะบริสุทธิ์ส่วนจริงของเมตริกคือ (หนึ่งในสี่ของ) เมตริกข้อมูล Fisher ^{[ 4 ]}

เมตริกฟูบินี-สตูดีสามารถเขียนได้โดยใช้สัญกรณ์บรา-เค็ตซึ่งนิยมใช้ในกลศาสตร์ควอนตัมเพื่อเทียบสัญกรณ์นี้กับพิกัดเอกพันธุ์ที่กล่าวมาข้างต้นอย่างชัดเจน ให้กำหนด

${\displaystyle \vert \psi \rangle =\sum _{k=0}^{n}Z_{k}\vert e_{k}\rangle =[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]}$

โดยที่เป็นเซตของเวกเตอร์ฐานตั้งฉากปกติสำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ตเป็นจำนวนเชิงซ้อน และเป็นสัญลักษณ์มาตรฐานสำหรับจุดในปริภูมิเชิงฉายCP ⁿในพิกัดเอกพันธุ์ดังนั้น เมื่อกำหนดจุดสองจุดและในปริภูมิ ระยะทาง (ความยาวของเส้นทางจีโอเดสิก) ระหว่างจุดทั้งสองคือ ${\displaystyle \{\vert e_{k}\rangle \}}$${\displaystyle Z_{k}}$${\displaystyle Z_{\alpha }=[Z_{0}:Z_{1}:\ldots :Z_{n}]}$${\displaystyle \vert \psi \rangle =Z_{\alpha }}$${\displaystyle \vert \varphi \rangle =W_{\alpha }}$

${\displaystyle \gamma (\psi ,\varphi )=\arccos {\sqrt {\frac {\langle \psi \vert \varphi \rangle \;\langle \varphi \vert \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle \;\langle \varphi \vert \varphi \rangle }}}}$

หรือเทียบเท่ากัน ในสัญลักษณ์ความหลากหลายเชิงโปรเจคทีฟ

${\displaystyle \gamma (\psi ,\varphi )=\gamma (Z,W)=\arccos {\sqrt {\frac {Z_{\alpha }{\bar {W}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\bar {Z}}^{\beta }}{Z_{\alpha }{\bar {Z}}^{\alpha }\;W_{\beta }{\bar {W}}^{\beta }}}}.}$

ในที่นี้คือค่าสังยุคเชิงซ้อนของ การปรากฏของ ในตัวส่วนเป็นการเตือนว่าและ ในทำนองเดียวกันไม่ได้ถูกทำให้เป็นเวกเตอร์หน่วย ดังนั้นการทำให้เป็นเวกเตอร์หน่วยจึงถูกทำให้ชัดเจนในที่นี้ ในปริภูมิฮิลเบิร์ต เมตริก สามารถตีความได้ว่าเป็นมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว ดังนั้นบางครั้งจึงเรียกว่ามุมควอนตัมมุมนี้มีค่าเป็นจำนวนจริง และมีค่าตั้งแต่ 0 ถึง ${\displaystyle {\bar {Z}}^{\alpha }}$${\displaystyle Z_{\alpha }}$${\displaystyle \langle \psi \vert \psi \rangle }$${\displaystyle \vert \psi \rangle }$${\displaystyle \vert \varphi \rangle }$${\displaystyle \pi /2}$

รูปแบบอนันต์เล็กของเมตริกนี้สามารถหาได้อย่างรวดเร็วโดยการใช้ หรือเทียบเท่ากับการหา ${\displaystyle \varphi =\psi +\delta \psi }$${\displaystyle W_{\alpha }=Z_{\alpha }+dZ_{\alpha }}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\langle \delta \psi \vert \delta \psi \rangle }{\langle \psi \vert \psi \rangle }}-{\frac {\langle \delta \psi \vert \psi \rangle \;\langle \psi \vert \delta \psi \rangle }{{\langle \psi \vert \psi \rangle }^{2}}}.}$

ในบริบทของกลศาสตร์ควอนตัม CP 1 ^{เรียก}ว่าทรงกลมบล็อก (Bloch sphere ) และเมตริกฟูบินี-สตูดี (Fubini–Study metric) เป็นเมตริก ธรรมชาติ สำหรับการทำให้กลศาสตร์ควอนตัมเป็นเรขาคณิต พฤติกรรมแปลกประหลาดหลายอย่างของกลศาสตร์ควอนตัม รวมถึงการพัวพันควอนตัมและ ปรากฏการณ์ เฟสเบอร์รี (Berry phase effect) สามารถอธิบายได้ด้วยคุณสมบัติเฉพาะของเมตริกฟูบินี-สตูดี

เมื่อn = 1 จะมีการแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลที่กำหนดโดยการฉายภาพสเตอริโอกราฟิกซึ่งนำไปสู่การสร้างไฟเบอร์แบบฮอปฟ์ "พิเศษ" S ¹  →  S ³  →  S ²เมื่อเขียนเมตริกฟูบินี-สตูดีในพิกัดบนCP ¹การจำกัดเมตริกดังกล่าวไปยังบันเดิลสัมผัสจริงจะให้การแสดงออกของ "เมตริกกลม" ปกติที่มีรัศมี 1/2 (และความ โค้งเกาส์เซียน 4) บนS ²${\displaystyle S^{2}\cong \mathbf {CP} ^{1}}$

กล่าวคือ ถ้าz  =  x  + i yคือแผนภูมิพิกัดเชิงเส้นมาตรฐานบนทรงกลมรีมันน์CP ¹และx  =  r cos θ, y  =  r sin θ คือพิกัดเชิงขั้วบนCแล้ว การคำนวณตามปกติจะแสดงให้เห็นว่า

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\operatorname {Re} (dz\otimes d{\bar {z}})}{\left(1+|\mathbf {z} |{\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{4}}(d\varphi ^{2}+\sin ^{2}\varphi \,d\theta ^{2})={\tfrac {1}{4}}\,ds_{us}^{2}}$

โดย ที่φ และ θ คือพิกัดทรงกลมบนทรงกลมหน่วย 2 มิติ ในที่นี้ φ และ θ คือ " พิกัดทรงกลม ของนักคณิตศาสตร์ " บนS ²ซึ่งได้มาจากการฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิกr tan(φ/2) = 1 และ tan θ =  y / x (เอกสารอ้างอิงทางฟิสิกส์หลายเล่มสลับบทบาทของ φ และ θ) ${\displaystyle ds_{us}^{2}}$

รูปแบบ ของKählerคือ

${\displaystyle K={\frac {i}{2}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{\left(1+z{\bar {z}}\right)^{2}}}={\frac {dx\wedge dy}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}}$

เมื่อเลือกvierbeins และรูปแบบของ Kähler จะลดรูปเหลือเพียง ${\displaystyle e^{1}=dx/(1+r^{2})}$${\displaystyle e^{2}=dy/(1+r^{2})}$

${\displaystyle K=e^{1}\wedge e^{2}}$

เมื่อนำสัญลักษณ์ดาวของ Hodge มาใช้ กับรูปแบบของ Kähler จะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle *K=1}$

ซึ่งหมายความว่าKเป็นฮาร์มอนิก

เมตริก Fubini–Study บนระนาบโปรเจคทีฟเชิงซ้อนCP ²ได้รับการเสนอให้เป็นอินสแตนตอนเชิงแรงโน้มถ่วงซึ่งเป็นอนาล็อกเชิงแรงโน้มถ่วงของอินสแตนตอน^{[ 5 ] [ 3 ]}เมตริก รูปแบบการเชื่อมต่อและความโค้งสามารถคำนวณได้ง่าย เมื่อกำหนดพิกัด 4 มิติจริงที่เหมาะสมแล้ว เมื่อเขียนสำหรับพิกัดคาร์ทีเซียนจริง เราจะกำหนดรูปแบบหนึ่งพิกัดเชิงขั้วบนทรงกลม 4 มิติ ( เส้นโปรเจคทีฟควอเทอร์เนียน ) เป็น ${\displaystyle (x,y,z,t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r\,dr&=+x\,dx+y\,dy+z\,dz+t\,dt\\r^{2}\sigma _{1}&=-t\,dx-z\,dy+y\,dz+x\,dt\\r^{2}\sigma _{2}&=+z\,dx-t\,dy-x\,dz+y\,dt\\r^{2}\sigma _{3}&=-y\,dx+x\,dy-t\,dz+z\,dt\end{aligned}}}$

นี่คือกรอบพิกัดหนึ่งฟอร์มแบบคงที่ทางซ้ายมาตรฐานบนกลุ่มลีกล่าวคือ เป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับและการเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักร ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$${\displaystyle SU(2)=S^{3}}$${\displaystyle d\sigma _{i}=2\sigma _{j}\wedge \sigma _{k}}$${\displaystyle i,j,k=1,2,3}$

พิกัดเชิงเส้นท้องถิ่นที่สอดคล้องกันคือและจากนั้นจะให้ ${\displaystyle z_{1}=x+iy}$${\displaystyle z_{2}=z+it}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}{\bar {z}}_{1}+z_{2}{\bar {z}}_{2}&=r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+t^{2}\\dz_{1}\,d{\bar {z}}_{1}+dz_{2}\,d{\bar {z}}_{2}&=dr^{\,2}+r^{2}(\sigma _{1}^{\,2}+\sigma _{2}^{\,2}+\sigma _{3}^{\,2})\\{\bar {z}}_{1}\,dz_{1}+{\bar {z}}_{2}\,dz_{2}&=rdr+i\,r^{2}\sigma _{3}\end{aligned}}}$

โดยใช้ตัวย่อตามปกติคือ และ${\displaystyle dr^{\,2}=dr\otimes dr}$${\displaystyle \sigma _{k}^{\,2}=\sigma _{k}\otimes \sigma _{k}}$

องค์ประกอบเส้นตรง โดยเริ่มจากนิพจน์ที่ให้ไว้ก่อนหน้านี้ จะได้จาก

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\frac {dz_{j}\,d{\bar {z}}^{j}}{1+z_{i}{\bar {z}}^{i}}}-{\frac {{\bar {z}}^{j}z_{i}\,dz_{j}\,d{\bar {z}}^{i}}{(1+z_{i}{\bar {z}}^{i})^{2}}}\\[5pt]&={\frac {dr^{\,2}+r^{2}(\sigma _{1}^{\,2}+\sigma _{2}^{\,2}+\sigma _{3}^{\,2})}{1+r^{2}}}-{\frac {r^{2}dr^{\,2}+r^{4}\sigma _{3}^{\,2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}\\[4pt]&={\frac {dr^{\,2}+r^{2}\sigma _{3}^{\,2}}{\left(1+r^{2}\right)^{2}}}+{\frac {r^{2}\left(\sigma _{1}^{\,2}+\sigma _{2}^{\,2}\right)}{1+r^{2}}}\end{aligned}}}$

สามารถอ่านค่า vierbeinsได้ ทันทีจากนิพจน์สุดท้าย:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{0}={\frac {dr}{1+r^{2}}}&&&e^{3}={\frac {r\sigma _{3}}{1+r^{2}}}\\[5pt]e^{1}={\frac {r\sigma _{1}}{\sqrt {1+r^{2}}}}&&&e^{2}={\frac {r\sigma _{2}}{\sqrt {1+r^{2}}}}\end{aligned}}}$

กล่าวคือ ในระบบพิกัดเวียร์เบน โดยใช้ตัวห้อยเป็นอักษรโรมัน เทนเซอร์เมตริกจะเป็นแบบยุคลิด:

${\displaystyle ds^{2}=\delta _{ab}e^{a}\otimes e^{b}=e^{0}\otimes e^{0}+e^{1}\otimes e^{1}+e^{2}\otimes e^{2}+e^{3}\otimes e^{3}.}$

เมื่อกำหนด vierbein แล้วสามารถคำนวณการเชื่อมต่อสปิน ได้ การเชื่อมต่อสปิน Levi-Civita เป็นการเชื่อมต่อที่ไม่ซ้ำกันซึ่ง ปราศจากแรงบิดและคงที่แบบโคแวเรียนต์ กล่าวคือ เป็นรูปแบบหนึ่งที่ตรงตามเงื่อนไขปราศจากแรงบิด ${\displaystyle \omega _{\;\;b}^{a}}$

${\displaystyle de^{a}+\omega _{\;\;b}^{a}\wedge e^{b}=0}$

และมีค่าคงที่แบบโคแวเรียนต์ ซึ่งสำหรับการเชื่อมต่อสปิน หมายความว่ามีค่าสมมาตรผกผันในดัชนีเวียร์เบน:

${\displaystyle \omega _{ab}=-\omega _{ba}}$

ปัญหาข้างต้นสามารถแก้ไขได้ง่ายๆ โดยจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{\;\;1}^{0}&=-\omega _{\;\;3}^{2}=-{\frac {e^{1}}{r}}\\\omega _{\;\;2}^{0}&=-\omega _{\;\;1}^{3}=-{\frac {e^{2}}{r}}\\\omega _{\;\;3}^{0}&={\frac {r^{2}-1}{r}}e^{3}\quad \quad \omega _{\;\;2}^{1}={\frac {1+2r^{2}}{r}}e^{3}\\\end{aligned}}}$

รูปแบบความโค้ง 2 มิติถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle R_{\;\,b}^{a}=d\omega _{\;\,b}^{a}+\omega _{\;c}^{a}\wedge \omega _{\;\,b}^{c}}$

และมีค่าคงที่:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{01}&=-R_{23}=e^{0}\wedge e^{1}-e^{2}\wedge e^{3}\\R_{02}&=-R_{31}=e^{0}\wedge e^{2}-e^{3}\wedge e^{1}\\R_{03}&=4e^{0}\wedge e^{3}+2e^{1}\wedge e^{2}\\R_{12}&=2e^{0}\wedge e^{3}+4e^{1}\wedge e^{2}\end{aligned}}}$

Ricci tensorในดัชนี vierbein ได้รับจาก

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{\;\;c}^{a}=R_{\;\,bcd}^{a}\delta ^{bd}}$

โดยที่รูปแบบความโค้ง 2 มิติถูกขยายออกเป็นเทนเซอร์สี่องค์ประกอบ:

${\displaystyle R_{\;\,b}^{a}={\tfrac {1}{2}}R_{\;\,bcd}^{a}e^{c}\wedge e^{d}}$

เทนเซอร์ริชชีที่ได้นั้นมีค่าคงที่

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ab}=6\delta _{ab}}$

ดังนั้นสมการของไอน์สไตน์ ที่ได้จึงเป็นดังนี้

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ab}-{\tfrac {1}{2}}\delta _{ab}R+\Lambda \delta _{ab}=0}$

สามารถแก้ไขได้ด้วยค่าคงที่ทางจักรวาล วิทยา ${\displaystyle \Lambda =6}$

เทนเซอร์ Weylสำหรับเมตริก Fubini–Study โดยทั่วไปกำหนดโดย

${\displaystyle W_{abcd}=R_{abcd}-2\left(\delta _{ac}\delta _{bd}-\delta _{ad}\delta _{bc}\right)}$

สำหรับ กรณี n  = 2 รูปแบบสองแบบ

${\displaystyle W_{ab}={\tfrac {1}{2}}W_{abcd}e^{c}\wedge e^{d}}$

มีลักษณะทวิลักษณ์ในตัวเอง:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{01}&=W_{23}=-e^{0}\wedge e^{1}-e^{2}\wedge e^{3}\\W_{02}&=W_{31}=-e^{0}\wedge e^{2}-e^{3}\wedge e^{1}\\W_{03}&=W_{12}=2e^{0}\wedge e^{3}+2e^{1}\wedge e^{2}\end{aligned}}}$

ใน กรณีพิเศษ n = 1 เมตริก Fubini–Study มีความโค้งภาคตัดขวางคงที่เท่ากับ 4 ตามความสมมูลกับเมตริกทรงกลม 2 มิติ (ซึ่งเมื่อกำหนดรัศมีRจะมีความโค้งภาคตัดขวาง) อย่างไรก็ตาม สำหรับn > 1 เมตริก Fubini–Study ไม่มีความโค้งคงที่ ความโค้งภาคตัดขวางของมันถูกกำหนดโดยสมการ^{[ 6 ] แทน}${\displaystyle 1/R^{2}}$

${\displaystyle K(\sigma )=1+3\langle JX,Y\rangle ^{2}}$

โดยที่เป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติของระนาบ 2 มิติ σ, การแมปJ  :  T CP ⁿ  →  T CP ⁿคือโครงสร้างเชิงซ้อนบนCP ⁿและคือเมตริกฟูบินี-สตูดี ${\displaystyle \{X,Y\}\in T_{p}\mathbf {CP} ^{n}}$${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

ผลที่ตามมาของสูตรนี้คือ ความโค้งภาคตัดขวางเป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับระนาบ 2 มิติทั้งหมดความโค้งภาคตัดขวางสูงสุด (4) เกิดขึ้นที่ ระนาบ 2 มิติแบบ โฮโลมอร์ฟิกซึ่งJ (σ) ⊂ σ ในขณะที่ความโค้งภาคตัดขวางต่ำสุด (1) เกิดขึ้นที่ระนาบ 2 มิติ ซึ่งJ (σ) ตั้งฉากกับ σ ด้วยเหตุนี้ จึงมักกล่าวกันว่าเมตริก Fubini–Study มี "ความโค้งภาคตัดขวางแบบ โฮโลมอ ร์ฟิก คงที่" เท่ากับ 4 ${\displaystyle 1\leq K(\sigma )\leq 4}$${\displaystyle \sigma }$

สิ่งนี้ทำให้CP ⁿ เป็น แมนิโฟลด์แบบควอเตอร์พินช์ (แบบไม่เข้มงวด) ทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงแสดงให้เห็นว่าแมนิโฟลด์n มิติ แบบเชื่อมต่ออย่างง่าย ควอเตอร์พินช์แบบเข้มงวด จะต้องเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับทรงกลม

เมตริกฟูบินี-สตูดีเป็นเมตริกของไอน์สไตน์ ด้วยเช่นกัน เพราะมันเป็นสัดส่วนกับเทนเซอร์ริชชี ของมันเอง กล่าวคือ มีค่าคงที่ ; อยู่ค่าหนึ่ง ซึ่งสำหรับทุกi , jเราจะมี ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ij}=\Lambda g_{ij}.}$

สิ่งนี้บ่งชี้ว่า เมตริกฟูบินี-สตูดีจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลงจนถึงตัวคูณสเกลาร์ภายใต้การไหลของริชชี นอกจาก นี้ยังทำให้CP ⁿเป็นสิ่งจำเป็นอย่างยิ่งต่อทฤษฎี สั ม พัทธภาพทั่วไปซึ่งทำหน้าที่เป็นคำตอบที่ไม่ธรรมดาสำหรับสมการสนามไอน์สไตน์ สุญญากาศ

ค่าคงที่จักรวาลวิทยา สำหรับCP ⁿถูกกำหนดในรูปของมิติของปริภูมิ: ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{ij}=2(n+1)g_{ij}.}$

แนวคิดทั่วไปของการแยกส่วนได้นั้นใช้ได้กับเมตริกฟูบินี-สตูดี กล่าวคือ เมตริกนี้สามารถแยกส่วนได้บนผลคูณตามธรรมชาติของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ ซึ่งก็คือการฝังเซเกรนั่นคือ ถ้าเป็นสถานะที่แยกส่วนได้ดังนั้นจึงสามารถเขียนได้เป็นแล้วเมตริกจะเป็นผลรวมของเมตริกบนปริภูมิย่อย: ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$${\displaystyle \vert \psi \rangle =\vert \psi _{A}\rangle \otimes \vert \psi _{B}\rangle }$

${\displaystyle ds^{2}={ds_{A}}^{2}+{ds_{B}}^{2}}$

โดยที่และคือเมตริกบนปริภูมิย่อยAและBตาม ลำดับ${\displaystyle {ds_{A}}^{2}}$${\displaystyle {ds_{B}}^{2}}$

ข้อเท็จจริงที่ว่าเมตริกสามารถได้มาจากศักยภาพของคาห์เลอร์หมายความว่าสัญลักษณ์คริสตอฟเฟลและเทนเซอร์ความโค้งมีสมมาตรมากมาย และสามารถให้รูปแบบที่เรียบง่ายเป็นพิเศษได้: สัญลักษณ์คริสตอฟเฟลในพิกัดเชิงเส้นเฉพาะที่ กำหนดโดย

${\displaystyle \Gamma _{\;jk}^{i}=g^{i{\bar {m}}}{\frac {\partial g_{k{\bar {m}}}}{\partial z^{j}}}\qquad \Gamma _{\;{\bar {j}}{\bar {k}}}^{\bar {i}}=g^{{\bar {i}}m}{\frac {\partial g_{{\bar {k}}m}}{\partial {\bar {z}}^{\bar {j}}}}}$

เทนเซอร์รีมันน์นั้นเรียบง่ายเป็นพิเศษเช่นกัน:

${\displaystyle R_{i{\bar {j}}k{\bar {l}}}=g^{i{\bar {m}}}{\frac {\partial \Gamma _{\;\;{\bar {j}}{\bar {l}}}^{\bar {m}}}{\partial z^{k}}}}$

เทนเซอร์ริชชีคือ

${\displaystyle R_{{\bar {i}}j}=R_{\;{\bar {i}}{\bar {k}}j}^{\bar {k}}=-{\frac {\partial \Gamma _{\;{\bar {i}}{\bar {k}}}^{\bar {k}}}{\partial z^{j}}}\qquad R_{i{\bar {j}}}=R_{\;ik{\bar {j}}}^{k}=-{\frac {\partial \Gamma _{\;ik}^{k}}{\partial {\bar {z}}^{\bar {j}}}}}$

• แบบจำลองซิกมาแบบไม่เชิงเส้น
• ทฤษฎีคาลูซา-ไคลน์
• ความสูงของอาราเคโลฟ