ในพีชคณิตและโดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตเชิง การจัดเรียง ฟังก์ชันกึ่งสมมาตรคือสมาชิกใดๆ ในวงแหวนของฟังก์ชันกึ่งสมมาตรซึ่งเป็นวงแหวนย่อยของ วงแหวน อนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมที่มีตัวแปรจำนวนนับได้ วงแหวนนี้เป็นการขยายความของวงแหวนของฟังก์ชันสมมาตรวงแหวนนี้สามารถเกิดขึ้นได้ในรูปของลิมิตเฉพาะของวงแหวนของพหุนามกึ่งสมมาตรในตัวแปรn ตัว เมื่อ nเข้าสู่∞ วงแหวนนี้ทำหน้าที่เป็นโครงสร้างสากลที่สามารถแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพหุนามกึ่งสมมาตรได้ในลักษณะที่ไม่ขึ้นอยู่กับจำนวน ตัวแปร n (แต่สมาชิกของมันไม่ใช่ทั้งพหุนามหรือฟังก์ชัน)

วงแหวนของฟังก์ชันกึ่งสมมาตรซึ่งแสดงด้วย QSym สามารถกำหนดได้เหนือวงแหวนสลับที่ ใดๆ Rเช่น จำนวนเต็มฟังก์ชันกึ่งสมมาตรคืออนุกรมกำลังที่มีดีกรีจำกัดในตัวแปรที่มีสัมประสิทธิ์ในRซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนในแง่ที่ว่าสัมประสิทธิ์ของเอกนามเท่ากับสัมประสิทธิ์ของเอกนามสำหรับลำดับจำนวนเต็มบวกที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดใดๆ ที่ใช้เป็นดัชนีของตัวแปรและลำดับ เลขชี้กำลังจำนวนเต็มบวกใดๆ^{[ 1 ]} การศึกษาฟังก์ชันกึ่ง สมมาตร ส่วนใหญ่ขึ้นอยู่กับการศึกษาฟังก์ชันสมมาตร${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\dots }$${\displaystyle x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{k}^{\alpha _{k}}}$${\displaystyle x_{i_{1}}^{\alpha _{1}}x_{i_{2}}^{\alpha _{2}}\cdots x_{i_{k}}^{\alpha _{k}}}$${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}}$${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{k})}$

ฟังก์ชันกึ่งสมมาตรในตัวแปรจำนวนจำกัดเรียกว่าพหุนามกึ่งสมมาตรทั้งพหุนามสมมาตรและพหุนามกึ่งสมมาตรสามารถระบุลักษณะได้ในแง่ของการกระทำของกลุ่มสมมาตร บนวงแหวนพหุนามในตัวแปรการกระทำหนึ่งของการสลับตัวแปรจะเปลี่ยนพหุนามโดยการสลับคู่ ของตัวแปรที่มีดัชนีต่อเนื่องกันซ้ำๆ พหุนามที่ไม่เปลี่ยนแปลงจากการสลับทั้งหมดนี้จะสร้างวงแหวนย่อยของพหุนามสมมาตร การกระทำที่สองของการสลับตัวแปรแบบมีเงื่อนไขจะเปลี่ยนพหุนาม โดยการสลับคู่ของตัวแปร ยกเว้นในเอกนามที่มีตัวแปรทั้งสอง^{[ 2 ] [ 3 ]} พหุนามที่ไม่เปลี่ยนแปลงจากการสลับแบบมีเงื่อนไขทั้งหมดนี้จะสร้างวงแหวนย่อยของพหุนามกึ่งสมมาตร พหุนามกึ่งสมมาตรหนึ่งในสี่ตัวแปรคือพหุนาม ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle p(x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle (x_{i},x_{i+1})}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle (x_{i},x_{i+1})}$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$

${\displaystyle x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+x_{1}^{2}x_{2}x_{4}+x_{1}^{2}x_{3}x_{4}+x_{2}^{2}x_{3}x_{4}.\,}$

พหุนามสมมาตรที่ง่ายที่สุดซึ่งประกอบด้วยเอกนามเหล่านี้คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+x_{1}^{2}x_{2}x_{4}+x_{1}^{2}x_{3}x_{4}+x_{2}^{2}x_{3}x_{4}+x_{1}x_{2}^{2}x_{3}+x_{1}x_{2}^{2}x_{4}+x_ {1}x_{3}^{2}x_{4}+x_{2}x_{3}^{2}x_{4}\\{}+x_{1}x_{2}x_{3}^{2}+x_{1}x_{2}x_{4}^{2}+x_{1}x_{3}x_{4}^{2}+x_{2}x_{3}x_{4}^{2}.\,\end{aligned}}}$

QSym เป็นพีชคณิตRแบบแบ่งระดับ ซึ่งสามารถแยกย่อยได้ดังนี้

${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {QSym} =\bigoplus _{n\geq 0}\ชื่อผู้ดำเนินการ {QSym} _{n},\,}$

โดยที่คือช่วงของฟังก์ชันกึ่งสมมาตรทั้งหมดที่เป็นเอกพันธุ์ดีกรีฐานธรรมชาติสองฐานสำหรับคือฐานเอกนามและฐานพื้นฐานที่จัดทำดัชนีโดยการประกอบของซึ่งแสดง ด้วย ฐานเอกนามประกอบด้วยและอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมทั้งหมด ${\displaystyle \operatorname {QSym} _{n}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {QSym} _{n}}$${\displaystyle \{M_{\alpha }\}}$${\displaystyle \{F_{\alpha }\}}$${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{k})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha \vDash n}$${\displaystyle M_{0}=1}$

${\displaystyle M_{\alpha }=\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}}x_{i_{1}}^{\alpha _{1}}x_{i_{2}}^{\alpha _{2}}\cdots x_{i_{k}}^{\alpha _{k}}.\,}$

พื้นฐานที่สำคัญประกอบด้วยอนุกรมกำลังที่เป็นทางการทั้งหมด ${\displaystyle F_{0}=1}$

${\displaystyle F_{\alpha }=\sum _{\alpha \succeq \beta }M_{\beta },\,}$

โดยที่หมายความว่าเราสามารถได้มาจากการบวกส่วนที่อยู่ติดกันของเช่น (3,2,4,2)   (3,1,1,1,2,1,2) ดังนั้น เมื่อวงแหวนเป็นวงแหวนของจำนวนตรรกยะเราจะได้ ${\displaystyle \alpha \succeq \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \succeq }$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \operatorname {QSym} _{n}=\operatorname {span} _{\mathbb {Q} }\{M_{\alpha }\mid \alpha \vDash n\}=\operatorname {span} _{\mathbb {Q} }\{F_{\alpha }\mid \alpha \vDash n\}.\,}$

จากนั้นเราสามารถกำหนดพีชคณิตของฟังก์ชันสมมาตร ได้ว่าเป็นพีชคณิตย่อยของ QSym ที่เกิดจากฟังก์ชันสมมาตรเอกนามและอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมทั้งหมดโดยผลรวมจะครอบคลุมการประกอบทั้งหมดที่จัดเรียงใหม่เป็นการแบ่งส่วนจำนวนเต็มยิ่งไปกว่านั้น เรายังมีตัวอย่างเช่นและ${\displaystyle \Lambda =\Lambda _{0}\oplus \Lambda _{1}\oplus \cdots }$${\displaystyle m_{0}=1}$${\displaystyle m_{\lambda }=\sum M_{\alpha },}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Lambda _{n}=\Lambda \cap \operatorname {QSym} _{n}}$${\displaystyle F_{(1,2)}=M_{(1,2)}+M_{(1,1,1)}}$${\displaystyle m_{(2,1)}=M_{(2,1)}+M_{(1,2)}.}$

ฐานสำคัญอื่นๆ สำหรับฟังก์ชันกึ่งสมมาตร ได้แก่ ฐานของฟังก์ชัน Schur กึ่งสมมาตร^{[ 4 ]}ผลรวมกำลังกึ่งสมมาตร "ประเภท I" และ "ประเภท II" ^{[ 5 ]}และฐานที่เกี่ยวข้องกับการนับใน matroid ^{[ 6 ] [ 7 ]}

ฟังก์ชันกึ่งสมมาตรถูกนำไปใช้ในคณิตศาสตร์เชิงการนับทฤษฎีฟังก์ชันสมมาตร ทฤษฎีการแทน และทฤษฎีจำนวน การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันกึ่งสมมาตร ได้แก่ การนับพาร์ทิชัน P ^{[ 8 ] [ 9 ]} การเรียงสับเปลี่ยน^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}ตาราง^{[ 14 ]}สายโซ่ของโพเซต^{[ 14 ] [ 15 ]}การแยกส่วนแบบลดรูปในกลุ่ม Coxeter จำกัด (ผ่านฟังก์ชันสมมาตร Stanley ) ^{[ 14 ]}และฟังก์ชันจอดรถ^{[ 16 ]}ในทฤษฎีฟังก์ชันสมมาตรและทฤษฎีการแทน การประยุกต์ใช้ ได้แก่ การศึกษา^พหุนาม Schubert [ ^{17 ] [ 18 ]}พหุนาม Macdonald [ ^{19 ]} พีชคณิต Hecke ^{[ 20 ] และ พหุ}นาม Kazhdan–Lusztig ^{[ 21 ]}ฟังก์ชันกึ่งสมมาตรมักจะเป็นสะพานเชื่อมที่มีประสิทธิภาพระหว่างโครงสร้างเชิงคอมบินาทอริกและฟังก์ชันสมมาตร

ในฐานะพีชคณิตฮอปฟ์ แบบแบ่งระดับ วงแหวนคู่ของวงแหวนฟังก์ชันกึ่งสมมาตรคือวงแหวนฟังก์ชันสมมาตรไม่สลับที่ ฟังก์ชันสมมาตรทุกฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันกึ่งสมมาตรด้วย ดังนั้นวงแหวนฟังก์ชันสมมาตรจึงเป็นพีชคณิตย่อยของวงแหวนฟังก์ชันกึ่งสมมาตร

วงแหวนของฟังก์ชันกึ่งสมมาตรเป็นวัตถุปลายทางในหมวดหมู่ของพีชคณิตฮอปฟ์แบบแบ่งระดับที่มีอักขระเดียว^{[ 22 ]} ดังนั้นพีชคณิตฮอปฟ์ดังกล่าวจึงมีมอร์ฟิซึมไปยังวงแหวนของฟังก์ชันกึ่งสมมาตร

ตัวอย่างหนึ่งของเรื่องนี้คือพีชคณิตยอด^{[ 23 ]}

พีชคณิตMalvenuto–Reutenauer ^{[ 24 ]}เป็นพีชคณิต Hopf ที่อิงตามการเรียงสับเปลี่ยนซึ่งเชื่อมโยงวงแหวนของฟังก์ชันสมมาตร ฟังก์ชันกึ่งสมมาตร และฟังก์ชันสมมาตรที่ไม่สลับที่ (เรียกว่า Sym, QSym และ NSym ตามลำดับ) ดังที่แสดงใน แผนภาพการสลับที่ต่อไปนี้ความเป็นคู่ระหว่าง QSym และ NSym ที่กล่าวถึงข้างต้นสะท้อนให้เห็นในแนวทแยงหลักของแผนภาพนี้

Aguiar และ Majahan ได้สร้างพีชคณิต Hopf ที่เกี่ยวข้องจำนวนมากจากโมโนอิด Hopf ในหมวดหมู่ของสปีชีส์^{[ 25 ]}

เราสามารถสร้างวงแหวนของฟังก์ชันกึ่งสมมาตรในตัวแปรที่ไม่สลับที่กันได้เช่นกัน^{[ 3 ] [ 26 ]}

• การประชุมเชิงปฏิบัติการ BIRS ว่าด้วยฟังก์ชันกึ่งสมมาตร