ในทางคณิตศาสตร์การวิเคราะห์ควอเทอร์เนียนคือการศึกษาฟังก์ชันที่มีควอเทอร์เนียนเป็นโดเมนและ/หรือเรนจ์ ฟังก์ชันดังกล่าวสามารถเรียกว่าฟังก์ชันของตัวแปรควอเทอร์เนียนได้เช่นเดียวกับฟังก์ชัน ของตัวแปรจริงหรือตัวแปรเชิงซ้อน

เช่นเดียวกับ การวิเคราะห์ เชิงซ้อนและการวิเคราะห์เชิงจริงเราสามารถศึกษาแนวคิดเรื่องความเป็นเชิงวิเคราะห์ ความ เป็นโฮโลมอ ร์ฟี ความเป็นฮา ร์มอนิกและความเป็นคอนฟอร์มัลในบริบทของควอเทอร์เนียนได้ แต่ต่างจากจำนวนเชิงซ้อนและเหมือนกับ จำนวน จริงแนวคิดทั้งสี่นี้ไม่ตรงกัน

การฉายภาพของควอเทอร์เนียนลงบนส่วนสเกลาร์หรือส่วนเวกเตอร์ รวมถึงฟังก์ชันโมดูลัสและ ฟังก์ชัน เวกเตอร์ ล้วนเป็นตัวอย่างพื้นฐานที่ช่วยให้เข้าใจโครงสร้างของควอเทอร์เนียนได้ดีขึ้น

ตัวอย่างที่สำคัญของฟังก์ชันของตัวแปรควอเทอร์เนียนคือ

${\displaystyle f_{1}(q)=uqu^{-1}}$

ซึ่งจะหมุนส่วนที่เป็นเวกเตอร์ของq ด้วย มุม สองเท่าของมุมที่แสดงโดยเวกเตอร์u

ตัวผกผันการคูณ ของควอเทอร์เนียนเป็นฟังก์ชันพื้นฐานอีกอย่างหนึ่ง แต่เช่นเดียวกับระบบจำนวนอื่นๆและปัญหาที่เกี่ยวข้อง โดยทั่วไปจะถูกยกเว้นเนื่องจากธรรมชาติของการหารด้วยศูนย์ ${\displaystyle f_{2}(q)=q^{-1}}$${\displaystyle f_{2}(0)}$

การแปลงเชิงเส้นของควอเทอร์เนียนมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle f_{3}(q)=aq+b,\quad a,b,q\in \mathbb {H} .}$

การแปลงเศษส่วนเชิงเส้นของควอเทอร์เนียนสามารถแสดงได้ด้วยองค์ประกอบของวงแหวนเมทริกซ์ ที่ดำเนินการบนเส้นเชิงโปรเจกทีฟเหนือตัวอย่างเช่น การแมปที่และ เป็น เวกเตอร์คงที่ ใช้ในการสร้างการเคลื่อนที่ของปริภูมิวงรี ${\displaystyle M_{2}(\mathbb {H} )}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle q\mapsto uqv,}$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

ทฤษฎีตัวแปรควอเทอร์เนียนแตกต่างจากทฤษฎีตัวแปรเชิงซ้อนในบางแง่มุม ตัวอย่างเช่น การแมป เชิงซ้อนสังยุคของระนาบเชิงซ้อนเป็นเครื่องมือสำคัญ แต่จำเป็นต้องมีการนำการดำเนินการที่ไม่ใช่ทางคณิตศาสตร์และไม่ใช่เชิงวิเคราะห์เข้ามาใช้ อันที่จริง การสังยุคจะเปลี่ยนทิศทางของรูปทรงบนระนาบ ซึ่งเป็นสิ่งที่ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ไม่เปลี่ยนแปลง

ตรงกันข้ามกับคอนจูเกตเชิงซ้อนคอนจูเกตของควอเทอร์เนียนสามารถแสดงได้ทางเลขคณิตดังนี้${\displaystyle f_{4}(q)=-{\tfrac {1}{2}}(q+iqi+jqj+kqk)}$

สมการนี้สามารถพิสูจน์ได้ โดยเริ่มต้นจากฐาน {1, i, j, k}:

${\displaystyle f_{4}(1)=-{\tfrac {1}{2}}(1-1-1-1)=1,\quad f_{4}(i)=-{\tfrac {1}{2}}(i-i+i+i)=-i,\quad f_{4}(j)=-j,\quad f_{4}(k)=-k}$.

ดังนั้น เนื่องจากเป็นเชิงเส้น ${\displaystyle f_{4}}$

${\displaystyle f_{4}(q)=f_{4}(w+xi+yj+zk)=wf_{4}(1)+xf_{4}(i)+yf_{4}(j)+zf_{4}(k)=w-xi-yj-zk=q^{*}.}$

ความสำเร็จของการวิเคราะห์เชิงซ้อน ในการจัดหา ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่หลากหลายสำหรับงานทางวิทยาศาสตร์ได้กระตุ้นให้นักวิจัยบางคนพยายามขยายทฤษฎีระนาบโดยอาศัยจำนวนเชิงซ้อนไปสู่การศึกษาพื้นที่ 4 มิติด้วยฟังก์ชันของตัวแปรควอเทอร์เนียน^{[ 1 ]}ความพยายามเหล่านี้ได้รับการสรุปไว้ในDeavours (1973 ) ^{[ a ]}

แม้ว่าจะดูเหมือนเป็นการรวมกันของระนาบเชิงซ้อนแต่ข้อเสนอต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าการขยายฟังก์ชันเชิงซ้อนนั้นต้องใช้ความระมัดระวังเป็นพิเศษ: ${\displaystyle \mathbb {H} }$

ให้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนสมมติว่าเป็นฟังก์ชันคู่ของและเป็นฟังก์ชันคี่ของแล้วเป็นการขยายของไปยังตัวแปรควอเทอร์เนียนโดยที่และจากนั้น ให้แทนคอนจูเกตของดังนั้นการขยายไปยัง จะสมบูรณ์เมื่อแสดงให้เห็นว่าอันที่จริง ตามสมมติฐาน ${\displaystyle f_{5}(z)=u(x,y)+iv(x,y)}$${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle u}$${\displaystyle y}$${\displaystyle v}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f_{5}(q)=u(x,y)+rv(x,y)}$${\displaystyle f_{5}}$${\displaystyle q=x+yr}$${\displaystyle r^{2}=-1}$${\displaystyle r\in \mathbb {H} }$${\displaystyle r^{*}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle q=x-yr^{*}}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle f_{5}(q)=f_{5}(x-yr^{*})}$

${\displaystyle u(x,y)=u(x,-y),\quad v(x,y)=-v(x,-y)\quad }$หนึ่งได้รับ

${\displaystyle f_{5}(x-yr^{*})=u(x,-y)+r^{*}v(x,-y)=u(x,y)+rv(x,y)=f_{5}(q).}$

ต่อไปนี้ เครื่องหมายโคลอนและวงเล็บเหลี่ยมจะใช้เพื่อแสดง เวก เตอร์ เอกพันธุ์

การหมุนรอบแกนrเป็นการประยุกต์ใช้ควอเทอร์เนียนแบบคลาสสิกในการแมปพื้นที่^{[ 2 ]} ในแง่ของโฮโมกราฟีการหมุนจะแสดงออกมา

${\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}=[qu:u]\thicksim [u^{-1}qu:1],}$

โดยที่เป็นเวอร์เซอร์ถ้าp * = − pแล้ว การแปลจะแสดงโดย ${\displaystyle u=\exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta }$${\displaystyle q\mapsto q+p}$

${\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}1&0\\p&1\end{pmatrix}}=[q+p:1].}$

การหมุนและการเลื่อนxrตามแกนการหมุนกำหนดโดย

${\displaystyle [q:1]{\begin{pmatrix}u&0\\uxr&u\end{pmatrix}}=[qu+uxr:u]\thicksim [u^{-1}qu+xr:1].}$

การแมปแบบนี้เรียกว่าการกระจัดแบบเกลียว (screw displacement ) ในจลนศาสตร์ แบบคลาสสิ กทฤษฎีบทของ Chaslesกล่าวว่า การเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็งใดๆ ก็สามารถแสดงได้ในรูปของการกระจัดแบบเกลียว เช่นเดียวกับการแสดงภาพสมมาตรของระนาบยุคลิดในรูปของการหมุนนั้นเป็นเรื่องของเลขคณิตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้น ทฤษฎีบทของ Chasles และแกนเกลียวที่ต้องการ จึงเป็นเรื่องของเลขคณิตควอเทอร์เนียนกับโฮโมกราฟี: ให้sเป็นเวกเตอร์ตั้งฉาก หรือรากที่สองของลบหนึ่ง ที่ตั้งฉากกับr โดยที่t = rs

พิจารณาแกนที่ผ่านsและขนานกับrการหมุนรอบแกนนี้แสดง^{[ 3 ]}โดยองค์ประกอบโฮโมกราฟี

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\-s&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u&0\\0&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\s&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u&0\\z&u\end{pmatrix}},}$

ที่ไหน${\displaystyle z=us-su=\sin \theta (rs-sr)=2t\sin \theta .}$

ในระนาบ ( s,t ) นี้ พารามิเตอร์ θ จะลากเป็นวงกลมในครึ่งระนาบ${\displaystyle u^{-1}z=u^{-1}(2t\sin \theta )=2\sin \theta (t\cos \theta -s\sin \theta )}$${\displaystyle \lbrace wt+xs:x>0\rbrace .}$

จุด pใดๆในระนาบครึ่งนี้จะอยู่บนรังสีที่ลากจากจุดกำเนิดผ่านวงกลมและสามารถเขียนได้ดังนี้${\displaystyle \lbrace u^{-1}z:0<\theta <\pi \rbrace }$${\displaystyle p=au^{-1}z,\ \ a>0.}$

จากนั้นup = azโดยที่ as เป็นโฮโมกราฟีที่แสดงถึงการผันแปรของการหมุนด้วยการเลื่อน p ${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&0\\az&u\end{pmatrix}}}$

นับตั้งแต่สมัยของแฮมิลตัน เป็นที่ตระหนักได้ว่าการกำหนดให้การอนุพันธ์เป็นอิสระจากเส้นทางที่อนุพันธ์ติดตามไปสู่ศูนย์นั้นเข้มงวดเกินไป: มันกีดกันแม้กระทั่งจากการหาอนุพันธ์ ดังนั้น อนุพันธ์ที่ขึ้นอยู่กับทิศทางจึงจำเป็นสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรควอเทอร์เนียน^{[ 4 ] [ 5 ]} การพิจารณาการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันพหุนามของอาร์กิวเมนต์ควอเทอร์เนียนแสดงให้เห็นว่าการเพิ่มขึ้นเป็นแผนที่เชิงเส้นของการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ จากนี้จึงสามารถสร้างคำจำกัดความได้: ${\displaystyle \ f(q)=q^{2}\ }$

ฟังก์ชันต่อเนื่อง เรียกว่าฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนเซตถ้าที่ทุกจุดส่วนเพิ่มของฟังก์ชันที่สอดคล้องกับส่วนเพิ่มควอเทอร์เนียนของอาร์กิวเมนต์ สามารถแสดงได้ดังนี้ ${\displaystyle \ f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} \ }$${\displaystyle \ U\subset \mathbb {H} \ ,}$${\displaystyle \ x\in U\ ,}$${\displaystyle \ f\ }$${\displaystyle \ h\ }$

${\displaystyle f(x+h)-f(x)={\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h+o(h)}$

ที่ไหน

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} }$

เป็นแผนที่เชิงเส้นของพีชคณิตควอเทอร์เนียนและ แสดงถึงแผนที่ต่อเนื่องบางอย่างซึ่ง ${\displaystyle \ \mathbb {H} \ ,}$${\displaystyle \ o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H} \ }$

${\displaystyle \lim _{a\rightarrow 0}{\frac {\ \left|\ o(a)\ \right|\ }{\left|\ a\ \right|}}=0\ ,}$

และสัญลักษณ์นี้หมายถึง... ${\displaystyle \ \circ h\ }$

แผนที่เชิงเส้น เรียกว่าอนุพันธ์ของแผนที่${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}}$${\displaystyle \ f~.}$

สำหรับควอเทอร์เนียน อนุพันธ์สามารถแสดงได้ดังนี้

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}=\sum _{s}{\frac {\operatorname {d} _{s0}f(x)}{\operatorname {d} x}}\otimes {\frac {\operatorname {d} _{s1}f(x)}{\operatorname {d} x}}}$

ดังนั้น อนุพันธ์ของแผนที่จึงสามารถแสดงได้ดังต่อไปนี้ โดยมีวงเล็บอยู่ทั้งสองด้าน ${\displaystyle \ f\ }$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ \operatorname {d} x=\left(\sum _{s}{\frac {\operatorname {d} _{s0}f(x)}{\operatorname {d} x}}\otimes {\frac {\operatorname {d} _{s1}f(x)}{\operatorname {d} x}}\right)\circ \operatorname {d} x=\sum _{s}{\frac {\operatorname {d} _{s0}f(x)}{\operatorname {d} x}}\left(\operatorname {d} x\right){\frac {\operatorname {d} _{s1}f(x)}{\operatorname {d} x}}}$

จำนวนพจน์ในผลรวมจะขึ้นอยู่กับฟังก์ชันนิพจน์เหล่านั้น เรียกว่าส่วนประกอบของอนุพันธ์ ${\displaystyle \ f~.}$${\displaystyle ~~{\frac {\operatorname {d} _{sp}\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}~~{\mathsf {\ for\ }}~~p=0,1~~}$

อนุพันธ์ของฟังก์ชันควอเทอร์เนียนถูกกำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h=\lim _{t\to 0}\left(\ {\frac {\ f(x+t\ h)-f(x)\ }{t}}\ \right)}$

โดยที่ตัวแปรเป็นค่าสเกลาร์จริง ${\displaystyle \ t\ }$

ดังนั้นสมการต่อไปนี้จึงเป็นจริง:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(f(x)+g(x)\right)}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} g(x)}{\operatorname {d} x}}}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(f(x)\ g(x)\right)}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\ g(x)+f(x)\ {\frac {\operatorname {d} g(x)}{\operatorname {d} x}}}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(f(x)\ g(x)\right)}{\operatorname {d} x}}\circ h=\left({\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h\right)\ g(x)+f(x)\left({\frac {\operatorname {d} g(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h\right)}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(a\ f(x)\ b\right)}{\operatorname {d} x}}=a\ {\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\ b}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(a\ f(x)\ b\right)}{\operatorname {d} x}}\circ h=a\left({\frac {\operatorname {d} f(x)}{\operatorname {d} x}}\circ h\right)b}$

สำหรับฟังก์ชันที่และเป็นควอเทอร์เนียนคงที่ อนุพันธ์คือ ${\displaystyle \ f(x)=a\ x\ b\ ,}$${\displaystyle \ a\ }$${\displaystyle \ b\ }$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \left(a\ x\ b\right)}{\operatorname {d} x}}=a\otimes b}$

${\displaystyle \operatorname {d} y={\frac {\operatorname {d} \left(a\ x\ b\right)}{\operatorname {d} x}}\circ \operatorname {d} x=a\ \left(\operatorname {d} x\right)\ b}$

ดังนั้นส่วนประกอบต่างๆ จึงมีดังนี้:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} _{10}\left(a\ x\ b\right)}{\operatorname {d} x}}=a}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} _{11}\left(a\ x\ b\right)}{\operatorname {d} x}}=b}$

ในทำนองเดียวกัน สำหรับฟังก์ชันนั้น อนุพันธ์คือ ${\displaystyle \ f(x)=x^{2}\ ,}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x^{2}}{\operatorname {d} x}}=x\otimes 1+1\otimes x}$

${\displaystyle \operatorname {d} y={\frac {\operatorname {d} x^{2}}{\operatorname {d} x}}\circ \operatorname {d} x=x\ \operatorname {d} x+(\operatorname {d} x)\ x}$

และส่วนประกอบต่างๆ ได้แก่:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} _{10}x^{2}}{\operatorname {d} x}}=x}$		${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} _{11}x^{2}}{\operatorname {d} x}}=1}$
${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} _{20}x^{2}}{\operatorname {d} x}}=1}$		${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} _{21}x^{2}}{\operatorname {d} x}}=x}$

สุดท้ายนี้ สำหรับฟังก์ชัน นั้น อนุพันธ์คือ ${\displaystyle \ f(x)=x^{-1}\ ,}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} x^{-1}}{\operatorname {d} x}}=-x^{-1}\otimes x^{-1}}$

${\displaystyle \operatorname {d} y={\frac {\operatorname {d} x^{-1}}{\operatorname {d} x}}\circ \operatorname {d} x=-x^{-1}(\operatorname {d} x)\ x^{-1}}$

และส่วนประกอบต่างๆ ได้แก่:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} _{10}x^{-1}}{\operatorname {d} x}}=-x^{-1}}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} _{11}x^{-1}}{\operatorname {d} x}}=x^{-1}}$

• เคย์ลีย์แปลงร่าง
• แมนิโฟลด์ควอเทอร์เนียน