ในทางคณิตศาสตร์การหารด้วยศูนย์คือการหารที่ตัวหาร (ตัวส่วน) เป็นศูนย์ซึ่งเป็นกรณีพิเศษที่มีปัญหา หากใช้ สัญลักษณ์ เศษส่วนตัวอย่างทั่วไปสามารถเขียนได้เป็น⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}}$โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle a}$คือตัวตั้งหาร (ตัวเศษ)

โดยทั่วไปแล้ว นิยามของผลหารในเลขคณิตเบื้องต้นคือ จำนวนที่ให้ผลลัพธ์เป็นตัวตั้งหารเมื่อคูณด้วยตัวหาร นั่นคือ⁠ ⁠${\displaystyle c={\tfrac {a}{b}}}$เท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle c\times b=a}$ตามนิยามนี้ ผลหาร⁠ ⁠${\displaystyle q={\tfrac {a}{0}}}$จึงไม่มีความหมาย เพราะผลคูณ⁠ ⁠ จะเป็น ${\displaystyle q\times 0}$⁠ ⁠${\displaystyle 0}$เสมอไม่ใช่จำนวนอื่น⁠ ⁠${\displaystyle a}$การปฏิบัติตามกฎทั่วไปของพีชคณิตเบื้องต้นในขณะที่อนุญาตให้มีการหารด้วยศูนย์อาจก่อให้เกิดความผิดพลาดทางคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นความผิดพลาดเล็กน้อยที่นำไปสู่ผลลัพธ์ที่ไร้สาระ เพื่อป้องกันสิ่งนี้ เลขคณิตของจำนวนจริงและโครงสร้างตัวเลขทั่วไปที่เรียกว่าฟิลด์จึงไม่ได้กำหนด นิยามของการหารด้วยศูนย์ และสถานการณ์ที่อาจเกิดการหารด้วยศูนย์จะต้องได้รับการจัดการอย่างระมัดระวัง เนื่องจากจำนวนใดๆ ที่คูณด้วย 0 จะได้ 0 ดังนั้นนิพจน์⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$จึงไม่ได้กำหนดนิยามเช่นกัน

แคลคูลัสศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันในลิมิตเมื่อค่าอินพุตมีแนวโน้มเข้าสู่ค่าใดค่าหนึ่ง เมื่อฟังก์ชันจริงสามารถแสดงในรูปเศษส่วนที่มีตัวส่วนมีแนวโน้มเข้าสู่ศูนย์ ผลลัพธ์ของฟังก์ชันจะใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ และกล่าวได้ว่า " มีแนวโน้มเข้าสู่อนันต์ " ซึ่ง เป็นภาวะเอกฐานทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่งตัวอย่างเช่นฟังก์ชันส่วนกลับมี${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$แนวโน้มเข้าสู่อนันต์เมื่อมีแนวโน้มเข้าสู่เมื่อ${\displaystyle x}$ทั้งตัวเศษและตัวส่วนมีแนวโน้มเข้าสู่ศูนย์ที่ค่าอินพุตเดียวกัน นิพจน์นั้นจะอยู่ในรูปที่ไม่แน่นอนเนื่องจากลิมิตที่ได้ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันเฉพาะที่ประกอบเป็นเศษส่วนและไม่สามารถหาได้จากลิมิตแยกกันของแต่ละฟังก์ชัน ${\displaystyle 0}$

นอกเหนือจากธรรมเนียมปฏิบัติทั่วไปในการทำงานกับฟิลด์ เช่น จำนวนจริง และการไม่นิยามการหารด้วยศูนย์แล้ว ยังสามารถนิยามผลลัพธ์ของการหารด้วยศูนย์ได้ในรูปแบบอื่น ซึ่งส่งผลให้เกิดระบบจำนวนที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น ผลหารสามารถนิยาม${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}}$ให้เท่ากับจุด อนันต์ใหม่ที่ระบุชัดเจน ซึ่งบางครั้งอาจใช้สัญลักษณ์อนันต์หรือ สามารถนิยามให้ผลลัพธ์เป็นอนันต์แบบมีเครื่องหมาย โดยมีเครื่องหมายบวกหรือลบขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของตัวตั้งหาร ในระบบจำนวนเหล่านี้ การ${\displaystyle \infty }$หารด้วยศูนย์ไม่ได้ถือเป็นข้อยกเว้นพิเศษอีกต่อไป แต่จุดอนันต์เหล่านั้นเกี่ยวข้องกับพฤติกรรมพิเศษรูปแบบใหม่ของมันเอง

ในการคำนวณข้อผิดพลาดอาจเกิดขึ้นจากการพยายามหารด้วยศูนย์ ขึ้นอยู่กับบริบทและชนิดของตัวเลขที่เกี่ยวข้อง การหารด้วยศูนย์อาจให้ผลลัพธ์เป็นอนันต์บวกหรือลบ ส่งคืนค่าพิเศษที่ไม่ใช่ตัวเลขหรือ ทำให้โปรแกรม หยุดทำงาน เป็นต้น โปรแกรมพิสูจน์ทฤษฎีบทบาง โปรแกรม กำหนดให้ผลหารเท่ากับศูนย์เพื่อให้การหารเป็นฟังก์ชัน สมบูรณ์

การแบ่งส่วนนี้สามารถตีความ${\displaystyle N/D=Q}$ในเชิงแนวคิดได้หลายวิธี^{[ 1 ]}

ในการหารแบบผลหารตัวตั้งหาร⁠ ⁠${\displaystyle N}$จะถูกจินตนาการว่าถูกแบ่งออกเป็นส่วนๆ ที่มีขนาด⁠ ⁠${\displaystyle D}$ (ตัวหาร) และผลหาร⁠ ⁠${\displaystyle Q}$คือจำนวนส่วนที่ได้ ตัวอย่างเช่น จินตนาการว่าขนมปัง 10 แผ่นจะถูกนำมาทำเป็นแซนด์วิช โดยแต่ละแซนด์วิชต้องใช้ขนมปัง 2 แผ่น รวมแล้วสามารถทำแซนด์วิชได้ 5 ชิ้น ( ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {10}{2}}=5}$ ) ทีนี้ลองจินตนาการว่าไม่จำเป็นต้องใช้ขนมปังเลยสักแผ่นต่อแซนด์วิช (อาจจะเป็นผักกาดห่อ ) สามารถทำแซนด์วิชได้มากเท่าใดก็ได้จากขนมปัง 10 แผ่น เนื่องจากขนมปังไม่มีความสำคัญ^{[ 2 ]}

แนวคิดการหารแบบหารนั้นเหมาะสำหรับการคำนวณโดยการลบ ซ้ำๆ กล่าวคือ การหารเกี่ยวข้องกับการนับจำนวนครั้งที่สามารถลบตัวหารได้ก่อนที่ตัวตั้งหารจะหมดลง เนื่องจากการลบศูนย์จำนวนจำกัดจะไม่สามารถทำให้ตัวตั้งหารที่ไม่ใช่ศูนย์หมดลงได้ การคำนวณการหารด้วยศูนย์ในลักษณะนี้จึงไม่มีวันสิ้นสุด [ ^{3 ] อั}ลกอริทึมการหารด้วยศูนย์ที่ไม่มีที่สิ้นสุดเช่นนี้แสดงให้เห็นใน เครื่อง คิดเลขเชิงกล บางเครื่อง ^{[ 4 ]}

ในการหารแบบแบ่งส่วน ตัวตั้งหาร${\displaystyle N}$จะถูกจินตนาการว่าถูกแบ่งออกเป็นส่วนๆ${\displaystyle D}$และผลหารคือขนาด${\displaystyle Q}$ของแต่ละส่วนที่ได้ ตัวอย่างเช่น ลองจินตนาการว่าคุกกี้สิบชิ้นจะถูกแบ่งให้เพื่อนสองคน เพื่อนแต่ละคนจะได้รับคุกกี้ห้าชิ้น ( ) ทีนี้${\displaystyle {\tfrac {10}{2}}=5}$ลองจินตนาการว่าคุกกี้สิบชิ้นจะถูกแบ่งให้เพื่อนศูนย์คนแทน เพื่อนแต่ละคนจะได้รับคุกกี้กี่ชิ้น? เนื่องจากไม่มีเพื่อน นี่จึงเป็นเรื่องที่ไม่สมเหตุสมผล^{[ 5 ]}

^{ในการตีความอีก แบบ}หนึ่ง ผลหารแสดง${\displaystyle Q}$ถึงอัตราส่วน[ 6 ${\displaystyle N:D}$^{] ตัวอย่าง}เช่น สูตรเค้กอาจต้องการแป้ง 10 ถ้วยและน้ำตาล 2 ถ้วย ซึ่งเป็นอัตราส่วน⁠ ⁠หรือตามสัดส่วน⁠ ⁠ หากต้องการปรับขนาดสูตรนี้สำหรับเค้กในปริมาณที่มากขึ้นหรือน้อยลง อัตราส่วนของแป้งต่อน้ำตาลตามสัดส่วน⁠ ⁠อาจคงไว้ได้ เช่น แป้ง 1 ถ้วยและน้ำตาล 1/5 ถ้วย หรือแป้ง 50 ถ้วยและน้ำตาล 10 ถ้วย^{[ 7 ]}ลองนึกภาพสูตรเค้กไร้น้ำตาลที่ต้องการแป้ง 10 ถ้วยและน้ำตาล 0 ถ้วย อัตราส่วน⁠ ⁠หรือตามสัดส่วน⁠ ⁠นั้นสมเหตุสมผลอย่างยิ่ง^{[ 8 ]}นั่นหมายความว่าเค้กไม่มีน้ำตาล อย่างไรก็ตาม คำถามที่ว่า "แป้งกี่ส่วนต่อน้ำตาลแต่ละส่วนเท่าไหร่" ยังคงไม่มีคำตอบเชิงตัวเลขที่มีความหมาย ${\displaystyle 10:2}$${\displaystyle 5:1}$${\displaystyle 5:1}$${\displaystyle 10:0}$${\displaystyle 1:0}$

ลักษณะทางเรขาคณิตของการตีความการหารเป็นอัตราส่วนคือความชันของเส้นตรงใน ระนาบ คาร์ทีเซียน^{[ 9 ]}ความชันถูกกำหนดให้เป็น "การเพิ่มขึ้น" (การเปลี่ยนแปลงในพิกัดแนวตั้ง) หารด้วย "การวิ่ง" (การเปลี่ยนแปลงในพิกัดแนวนอน) ตามเส้น เมื่อเขียนโดยใช้สัญกรณ์อัตราส่วนสมมาตร เส้นแนวนอนมีความชัน⁠ ⁠${\displaystyle 0:1}$และเส้นแนวตั้งมีความชัน⁠ ⁠${\displaystyle 1:0}$อย่างไรก็ตาม หากความชันถูกกำหนดให้เป็นจำนวนจริง เพียงจำนวนเดียว เส้นแนวนอนจะมีความชัน⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {0}{1}}=0}$ในขณะที่เส้นแนวตั้งมีความชันที่ไม่กำหนด เนื่องจากในเลขคณิตจำนวนจริง ผลหาร⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{0}}}$ไม่ถูกกำหนด^{[ 10 ]} ความชัน ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {y}{x}}}$ที่เป็นค่าจริงของเส้นที่ผ่านจุดกำเนิดคือพิกัดแนวตั้งของจุดตัดระหว่างเส้นกับเส้นแนวตั้งที่พิกัดแนวนอน⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ซึ่งแสดงด้วยเส้นประสีดำในรูป เส้นสีแดงแนวตั้งและเส้นสีดำประขนานกันดังนั้นจึงไม่มีจุดตัดกันในระนาบ บางครั้งกล่าวกันว่าเส้นเหล่านี้ตัดกันที่จุดอนันต์และอัตราส่วน⁠ ⁠${\displaystyle 1:0}$จะถูกแทนด้วยตัวเลขใหม่⁠ ⁠${\displaystyle \infty }$ ; ^{[ 11 ]}ดู§ เส้นจริงที่ขยายแบบโปรเจคทีฟด้านล่าง บางครั้งกล่าวกันว่าเส้นแนวตั้งมีความชัน "สูงชันอนันต์"

การหารเป็นการผกผันของการคูณหมายความว่าการคูณแล้วหารด้วยปริมาณที่ไม่เป็นศูนย์เดียวกัน หรือในทางกลับกัน จะทำให้ปริมาณเดิมไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น⁠ ⁠ [ ${\displaystyle (5\times 3)/3=(5/3)\times 3=5}$^{12 ] ดังนั้น}ปัญหาการหาร เช่น "6 หารด้วย 3 เท่ากับเท่าไร?" สามารถแก้ได้โดยการเขียนใหม่เป็นสมการที่เทียบเท่ากับการคูณ "จำนวนใดคูณ 3 เท่ากับ 6?" แล้วหาค่าที่ทำให้ข้อความนั้นเป็นจริง ในเชิงสัญลักษณ์ อาจเขียนได้เป็น⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {6}{3}}={?}}$และเทียบเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle {?}\times 3=6}$โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle ?}$แทนปริมาณที่ไม่ทราบค่าเดียวกันในแต่ละสมการ ในกรณีนี้ ปริมาณที่ไม่ทราบค่า^คือ ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$เพราะ⁠ ⁠${\displaystyle 2\times 3=6}$ดังนั้น⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {6}{3}}=2}$^{[ 13} ]

ปัญหาที่คล้ายกันซึ่งเกี่ยวข้องกับการหารด้วยศูนย์⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {6}{0}}={?}}$ต้องใช้การกำหนดปริมาณที่ไม่ทราบค่าที่สอดคล้อง กับ ⁠ ⁠${\displaystyle {?}\times 0=6}$อย่างไรก็ตาม จำนวนใดๆ ที่คูณด้วยศูนย์จะได้ศูนย์แทนที่จะเป็นหก ดังนั้นจึงไม่มีจำนวนใดที่สามารถแทนที่⁠ ⁠${\displaystyle ?}$เพื่อให้ได้ข้อความที่เป็นจริง^{[ 14 ]}

เมื่อเปลี่ยนโจทย์เป็น⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}={?}}$ประโยคการคูณที่เทียบเท่าคือ⁠ ⁠${\displaystyle {?}\times 0=0}$ ; ในกรณีนี้ สามารถแทนค่า ใดๆลงในปริมาณที่ไม่ทราบค่าเพื่อให้ได้ประโยคที่เป็นจริง ดังนั้นจึงไม่มีตัวเลขใดตัวหนึ่งที่สามารถกำหนดให้เป็นผลหารได้ ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$

เนื่องจากความยากลำบากเหล่านี้ ผลหารที่ตัวหารเป็นศูนย์จึงถือว่าไม่มีนิยามและไม่อนุญาตให้มีการหารด้วยศูนย์^{[ 15 ] [ 16 ]}

เหตุผลสำคัญประการหนึ่งที่ไม่ควรอนุญาตให้มีการหารด้วยศูนย์ก็คือ การอนุญาตให้ทำเช่นนั้นจะนำไปสู่ความผิดพลาดทางตรรกะ

เมื่อทำงานกับตัวเลข การระบุการหารที่ไม่ถูกต้องด้วยศูนย์นั้นทำได้ง่าย ตัวอย่างเช่น:

จาก⁠ ⁠${\displaystyle 0\times 1=0}$และ⁠ ⁠${\displaystyle 0\times 2=0}$จะได้⁠ ⁠${\displaystyle 0\times 1=0\times 2}$การตัดทอน⁠ ⁠${\displaystyle 0}$จากทั้งสองข้างจะได้⁠ ⁠${\displaystyle 1=2}$ซึ่งเป็นข้อความเท็จ

ความเข้าใจผิดในที่นี้เกิดขึ้นจากสมมติฐานที่ว่า การตัดทอน⁠ ⁠${\displaystyle 0}$เหมือนกับการตัดทอนตัวเลขอื่นๆ นั้นเป็นสิ่งที่ถูกต้อง ในขณะที่ความจริงแล้ว การกระทำเช่นนั้นก็คือการหารด้วย⁠ ⁠${\displaystyle 0}$นั่นเอง

การใช้พีชคณิตทำให้สามารถปกปิดการหารด้วยศูนย์ได้^{[ 17 ]}เพื่อให้ได้การพิสูจน์ที่ไม่ถูกต้องตัวอย่างเช่น: ^{[ 18 ]}

ให้⁠ ⁠${\displaystyle x=1}$คูณทั้งสองข้างด้วย⁠ ⁠${\displaystyle x}$เพื่อให้ได้⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle x=x^{2}}$ลบ⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ ออก จากทั้งสองข้างเพื่อให้ได้ด้านขวาสามารถแยกตัวประกอบได้ หารทั้งสองข้างด้วย⁠ ⁠จะได้ แทนค่า⁠ ⁠จะ ได้$${\displaystyle x-1=x^{2}-1.}$$$${\displaystyle x-1=(x+1)(x-1).}$$${\displaystyle x-1}$$${\displaystyle 1=x+1.}$$${\displaystyle x=1}$$${\displaystyle 1=2.}$$

นี่เป็นการคำนวณที่ผิดพลาดแบบเดียวกันกับเวอร์ชันตัวเลขก่อนหน้านี้ แต่การหารด้วยศูนย์นั้นถูกปกปิดไว้เพราะเราเขียน ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$เป็น⁠ ⁠${\displaystyle x-1}$

Brāhmasphuṭasiddhānta ของBrahmagupta (ประมาณ ค.ศ. 598–668) เป็นตำราที่เก่าแก่ที่สุดที่ถือว่าศูนย์เป็นตัวเลขที่มีสถานะเป็นของตัวเอง และกำหนดการดำเนินการที่เกี่ยวข้องกับศูนย์^{[ 17 ]}ตามที่ Brahmagupta กล่าว ไว้

จำนวนบวกหรือลบเมื่อหารด้วยศูนย์จะได้เศษส่วนที่มีศูนย์เป็นตัวส่วน ศูนย์หารด้วยจำนวนลบหรือบวกจะได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ หรือแสดงเป็นเศษส่วนที่มีศูนย์เป็นตัวเศษและจำนวนจำกัดเป็นตัวส่วน ศูนย์หารด้วยศูนย์ก็คือศูนย์

ในปี ค.ศ. 830 มหาวีระพยายามแก้ไขข้อผิดพลาดที่พรหมคุปตะทำไว้ในหนังสือGanita Sara Samgraha ของเขาแต่ไม่สำเร็จ โดยกล่าวว่า "จำนวนจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อหารด้วยศูนย์" ^{[ 17 ]}

LīlāvatīของBhāskara II (ศตวรรษที่ 12) เสนอว่าการหารด้วยศูนย์ส่งผลให้ได้ปริมาณอนันต์^{[ 19 ]}

ปริมาณใดๆ ที่หารด้วยศูนย์ จะกลายเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็นศูนย์ เศษส่วนนี้เรียกว่าปริมาณอนันต์ ในปริมาณนี้ซึ่งประกอบด้วยสิ่งที่หารด้วยศูนย์ จะไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ แม้ว่าจะมีการเพิ่มหรือลดสิ่งต่างๆ มากมายก็ตาม เช่นเดียวกับที่ไม่มีการเปลี่ยนแปลงใดๆ เกิดขึ้นในพระเจ้าผู้ทรงอนันต์และไม่เปลี่ยนแปลง เมื่อโลกถูกสร้างขึ้นหรือถูกทำลาย แม้ว่าลำดับของสิ่งมีชีวิตจำนวนมากจะถูกดูดซับหรือเกิดขึ้นใหม่ก็ตาม

ในทางประวัติศาสตร์ การอ้างอิงที่เก่าแก่ที่สุดที่บันทึกไว้เกี่ยวกับความเป็นไปไม่ได้ทางคณิตศาสตร์ในการกำหนดค่าให้กับ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}}$ปรากฏอยู่ในคำวิจารณ์ของนักปรัชญาแองโกล-ไอริชจอร์จ เบิร์กลีย์ เกี่ยวกับ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ในปี 1734 ในThe Analyst ("ผีของปริมาณที่จากไป") ^{[ 20 ]}

แคลคูลัสศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันโดยใช้แนวคิดของลิมิตซึ่งเป็นค่าที่ผลลัพธ์ของฟังก์ชันมีแนวโน้มเข้าใกล้เมื่ออินพุตมีแนวโน้มเข้าใกล้ค่าเฉพาะค่าหนึ่ง สัญลักษณ์⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$หมายความว่าค่าของฟังก์ชัน⁠ ⁠${\displaystyle f}$สามารถทำให้เข้าใกล้⁠ ⁠${\displaystyle L}$ ได้มากเท่าใดก็ได้ โดยการเลือก⁠ ⁠ ที่อยู่ใกล้กับ ${\displaystyle x}$⁠ ⁠${\displaystyle c}$มาก พอ

ในกรณีที่ลิมิตของฟังก์ชันจริงเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขตเมื่อเข้าใกล้ฟังก์ชันนั้นจะไม่นิยามที่ ซึ่งเป็นภาวะเอกฐานทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่งแต่ฟังก์ชันนั้นจะเรียกว่า " เข้าใกล้อนันต์ " โดยใช้สัญลักษณ์และกราฟของฟังก์ชันจะมีเส้นกำกับแนวตั้งเป็น เส้น กำกับแนวตั้งแม้ว่าฟังก์ชันดังกล่าวจะไม่ได้นิยามอย่างเป็นทางการสำหรับและสัญลักษณ์อนันต์ในกรณีนี้ไม่ได้แทนจำนวนจริง ใดๆ แต่ โดยทั่วไปแล้วลิมิตดังกล่าวจะเรียกว่า "เท่ากับอนันต์" หากค่าของฟังก์ชันลดลงอย่างไม่มีขอบเขต ฟังก์ชัน นั้นจะเรียกว่า "เข้าใกล้ลบอนันต์ " ในบางกรณี ฟังก์ชันมีแนวโน้มไปสู่ค่าที่แตกต่างกันสองค่าเมื่อมีแนวโน้มจากด้านบน ( ) และด้านล่าง ( ) ;ฟังก์ชันดังกล่าวมีขีดจำกัดด้านเดียวที่ แตกต่างกันสอง ค่า^{[ 21 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \textstyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty }$${\displaystyle x=c}$${\displaystyle x=c}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle c}$${\displaystyle x\to c^{+}}$${\displaystyle x\to c^{-}}$

ตัวอย่างพื้นฐานของภาวะเอกฐานอนันต์คือฟังก์ชันผกผันซึ่งมี แนวโน้มเข้าสู่ ค่า อนันต์ บวกหรือลบเมื่อ มี แนวโน้มเข้าสู่:${\displaystyle f(x)=1/x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x}}=+\infty ,\qquad \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x}}=-\infty .}$$

โดยทั่วไปแล้ว ลิมิตของผลหารของฟังก์ชันจะเท่ากับผลหารของลิมิตของแต่ละฟังก์ชันแยกกัน $${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)}{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)}}.}$$

อย่างไรก็ตาม เมื่อสร้างฟังก์ชันโดยการหารฟังก์ชันสองฟังก์ชันที่มีลิมิตแยกกันเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle 0}$ ทั้งคู่ แล้ว ลิมิตของผลลัพธ์จะไม่สามารถหาได้จากลิมิตแยกกันเหล่านั้น ดังนั้นจึงกล่าวได้ว่ามีรูปแบบไม่แน่นอนซึ่งเขียนอย่างไม่เป็นทางการว่า⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$ (รูปแบบไม่แน่นอนอีกรูปแบบหนึ่งคือ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {\infty }{\infty }}}$เกิดจากการหารฟังก์ชันสองฟังก์ชันที่มีลิมิตเข้าสู่ค่าอนันต์ทั้งคู่) ลิมิตดังกล่าวอาจเท่ากับค่าจริงใดๆ อาจเข้าสู่ค่าอนันต์ หรืออาจไม่ลู่เข้าเลยก็ได้ ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันนั้นๆ ตัวอย่างเช่น ใน ⁠ ⁠ ลิมิตแยกกันของตัวเศษและตัวส่วนคือ⁠ ⁠ดังนั้นเราจึงมีรูปแบบไม่แน่นอนคือ ⁠ ⁠แต่การทำให้ผลหารง่ายขึ้นก่อนจะแสดงให้เห็นว่าลิมิตมีอยู่จริง $${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\dfrac {x^{2}-1}{x-1}},}$$${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$$${\displaystyle \lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)(x+1)}{x-1}}=\lim _{x\to 1}(x+1)=2.}$$

จำนวนจริงที่ขยายแบบแอฟฟินได้มาจาก การเพิ่ม จำนวน ใหม่สองจำนวนคือและซึ่งอ่าน ว่า "อนันต์ บวก " และ "อนันต์ลบ" ตามลำดับ และแทนจุดที่อนันต์ด้วยการเพิ่มทำให้แนวคิดของ "ลิมิตที่อนันต์" สามารถใช้งานได้เหมือนลิมิตจำกัด เมื่อพิจารณาทั้งจำนวนจริงที่ขยายแบบบวกและลบ มักจะไม่ได้กำหนดนิยามของอย่างไรก็ตามใน บริบทที่พิจารณาเฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบ มักจะสะดวกที่ จะ กำหนดนิยามของ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \pm \infty }$${\displaystyle 1/0}$${\displaystyle 1/0=+\infty }$

เซต⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$คือเส้นจำนวนจริงที่ขยายเชิงโปรเจกทีฟซึ่งเป็นการ ทำให้ เส้นจำนวนจริงกระชับขึ้นที่จุดเดียว ในที่นี้ ⁠ ⁠${\displaystyle \infty }$หมายถึงอนันต์ที่ไม่มีเครื่องหมาย หรือจุดที่อนันต์ ซึ่งเป็นปริมาณอนันต์ที่ไม่เป็นบวกหรือลบ ปริมาณนี้สอดคล้องกับ⁠ ⁠${\displaystyle -\infty =\infty }$ซึ่งจำเป็นในบริบทนี้ ในโครงสร้างนี้⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {a}{0}}=\infty }$สามารถกำหนดได้สำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ ที่ไม่เป็นศูนย์ และ⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {a}{\infty }}=0}$เมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ไม่ใช่⁠ ⁠${\displaystyle \infty }$นี่เป็นวิธีที่เป็นธรรมชาติในการมองช่วงของฟังก์ชันแทนเจนต์และฟังก์ชันโคแทนเจนต์ของตรีโกณมิติ : ⁠ ⁠${\displaystyle \tan x}$เข้าใกล้จุดเดียวที่อนันต์เมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle x}$เข้าใกล้⁠ ⁠${\displaystyle +{\tfrac {1}{2}}\pi }$หรือ⁠ ⁠${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\pi }$จากทิศทางใดทิศทางหนึ่ง

นิยามนี้ทำให้เกิดผลลัพธ์ที่น่าสนใจมากมาย อย่างไรก็ตาม โครงสร้างพีชคณิตที่ได้นั้นไม่ใช่ฟิลด์และไม่ควรคาดหวังว่าจะมีพฤติกรรมเหมือนฟิลด์ ตัวอย่างเช่น นั้นไม่มีนิยาม${\displaystyle \infty +\infty }$ในส่วนขยายของเส้นจำนวนจริงนี้

วิชาการวิเคราะห์เชิงซ้อนประยุกต์ใช้แนวคิดของแคลคูลัสกับจำนวนเชิงซ้อนสิ่งสำคัญอย่างยิ่งในวิชานี้คือจำนวนเชิงซ้อนขยายซึ่งเป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อนที่มีจำนวนเพิ่มเติมอีกหนึ่งจำนวนต่อท้าย โดยปกติจะใช้สัญลักษณ์${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$อนันต์แทนและแสดง${\displaystyle \infty }$ถึงจุดที่อนันต์ซึ่งกำหนดให้บรรจุอยู่ในทุกโดเมนภายนอกทำให้โดเมนเหล่านั้นเป็นย่านใกล้เคียงเชิงโทโพโลยี ของ จำนวนเชิงซ้อนขยายนี้

โดยสัญชาตญาณแล้ว อาจนึกภาพได้ว่าเป็นการห่อขอบอนันต์ของระนาบเชิงซ้อนและตรึงไว้ด้วยกันที่จุดเดียว ซึ่งเป็นการทำให้กระชับ${\displaystyle \infty }$ที่จุดเดียวทำให้จำนวนเชิงซ้อนแบบขยายมีความสมมูลทางโทโพ โลยีกับ ทรงกลมความสมมูลนี้สามารถขยายไปสู่ความสมมูลเชิงเมตริกได้โดยการแมปจำนวนเชิงซ้อนแต่ละจำนวนไปยังจุดบนทรงกลมผ่านการฉายภาพสเตอริโอกราฟิก ผกผัน โดย ใช้ ระยะทางทรงกลม ที่ได้ เป็นนิยามใหม่ของระยะทางระหว่างจำนวนเชิงซ้อน และโดยทั่วไปแล้ว เรขาคณิตของทรงกลมสามารถศึกษาได้โดยใช้เลขคณิตเชิงซ้อน และในทางกลับกัน เลขคณิตเชิงซ้อนสามารถตีความได้ในแง่ของเรขาคณิตทรงกลมด้วยเหตุนี้ เซตของจำนวนเชิงซ้อนแบบขยายจึงมักเรียกว่าทรง กลมรีมันน์เซตนี้มักจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ของจำนวนเชิงซ้อนที่ตกแต่งด้วยเครื่องหมายดอกจัน ขีดเส้นเหนือ เครื่องหมายทิลเด หรือเครื่องหมายเซอร์คั มเฟล็ก ซ์เป็นต้น${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

ในจำนวนเชิงซ้อนแบบขยาย สำหรับจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆการคำนวณ${\displaystyle z}$เลขคณิตเชิงซ้อนแบบปกติจะถูกขยายด้วยกฎ เพิ่มเติมดังนี้,${\displaystyle {\tfrac {z}{0}}=\infty }$ , ,${\displaystyle {\tfrac {z}{\infty }}=0}$ , , ,${\displaystyle \infty +0=\infty }$อย่างไรก็ตาม,${\displaystyle \infty +z=\infty }$ , และยังคงไม่มีนิยาม${\displaystyle \infty \cdot z=\infty }$${\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}$${\displaystyle {\tfrac {\infty }{\infty }}}$${\displaystyle 0\cdot \infty }$

การดำเนินการพื้นฐานสี่อย่าง ได้แก่ การบวก การลบ การคูณ และการหาร ซึ่งใช้กับจำนวนเต็ม (จำนวนเต็มบวก) โดยมีข้อจำกัดบางประการ ในเลขคณิตเบื้องต้น จะถูกใช้เป็นกรอบเพื่อรองรับการขยายขอบเขตของจำนวนที่ใช้ ตัวอย่างเช่น เพื่อให้สามารถลบจำนวนเต็มใดๆ ออกจากจำนวนเต็มอื่นได้ ขอบเขตของจำนวนจะต้องขยายไปยังเซตของจำนวนเต็ม ทั้งหมด เพื่อรวมจำนวนเต็มลบ ในทำนองเดียวกัน เพื่อรองรับการหารจำนวนเต็มใดๆ ด้วยจำนวนเต็มอื่น ขอบเขตของจำนวนจะต้องขยายไปยังจำนวนตรรกยะในระหว่างการขยายระบบจำนวนอย่างค่อยเป็นค่อยไปนี้ จะต้องระมัดระวังเพื่อให้แน่ใจว่า "การดำเนินการที่ขยาย" เมื่อนำไปใช้กับจำนวนเดิม จะไม่ทำให้เกิดผลลัพธ์ที่แตกต่างกัน กล่าวโดยคร่าวๆ เนื่องจาก การหารด้วยศูนย์ไม่มีความหมาย (ไม่นิยาม)ในการตั้งค่าจำนวนเต็ม ดังนั้นสิ่งนี้ยังคงเป็นจริงเมื่อการตั้งค่าขยายไปยัง จำนวน จริงหรือแม้แต่จำนวนเชิงซ้อน^{[ 22 ]}

เมื่อขอบเขตของจำนวนที่สามารถนำการดำเนินการเหล่านี้ไปใช้ได้ขยายออกไป ก็จะมีการเปลี่ยนแปลงในมุมมองต่อการดำเนินการเหล่านั้นด้วย ตัวอย่างเช่น ในขอบเขตของจำนวนเต็ม การลบจะไม่ถือเป็นการดำเนินการพื้นฐานอีกต่อไป เนื่องจากสามารถแทนที่ด้วยการบวกจำนวนที่มีเครื่องหมายได้^{[ 23 ]}ในทำนองเดียวกัน เมื่อขอบเขตของจำนวนขยายออกไปเพื่อรวมจำนวนตรรกยะ การหารจะถูกแทนที่ด้วยการคูณด้วยจำนวนตรรกยะบางจำนวน สอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงมุมมองนี้ คำถามที่ว่า "ทำไมเราถึงหารด้วยศูนย์ไม่ได้?" จึงกลายเป็น "ทำไมจำนวนตรรกยะถึงมีตัวส่วนเป็นศูนย์ไม่ได้?" การตอบคำถามที่แก้ไขแล้วนี้อย่างแม่นยำต้องอาศัยการตรวจสอบคำจำกัดความของจำนวนตรรกยะอย่างละเอียด

ในแนวทางสมัยใหม่ในการสร้างขอบเขตของจำนวนจริง จำนวนตรรกยะปรากฏขึ้นเป็นขั้นตอนกลางในการพัฒนาที่ตั้งอยู่บนพื้นฐานของทฤษฎีเซตขั้นแรก จำนวนธรรมชาติ (รวมถึงศูนย์) ถูกกำหนดขึ้นบนพื้นฐานของสัจพจน์ เช่นระบบสัจพจน์ของเปอาโนแล้วจึงขยายไปสู่วงแหวนของจำนวนเต็มขั้นตอนต่อไปคือการกำหนดจำนวนตรรกยะ โดยคำนึงถึงว่าต้องทำโดยใช้เฉพาะเซตและการดำเนินการที่ได้กำหนดไว้แล้วเท่านั้น ได้แก่ การบวก การคูณ และจำนวนเต็ม เริ่มต้นด้วยเซตของคู่ลำดับของจำนวนเต็มโดยที่กำหนดความสัมพันธ์ทวิภาคบนเซตนี้โดยก็ต่อเมื่อความสัมพันธ์นี้แสดงให้เห็นว่าเป็นความสัมพันธ์สมมูลและชั้นสมมูล ของ ความสัมพันธ์ นี้ ถูกกำหนดให้เป็นจำนวนตรรกยะ ในการพิสูจน์อย่างเป็นทางการว่าความสัมพันธ์นี้เป็นความสัมพันธ์สมมูล จำเป็นต้องมีข้อกำหนดว่าพิกัดที่สองต้องไม่เป็นศูนย์ (เพื่อตรวจสอบการถ่ายทอด ) ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]}${\displaystyle \{(a,\,b)\}}$${\displaystyle b\neq 0}$${\displaystyle (a,b)\simeq (c,d)}$${\displaystyle ad=bc}$

แม้ว่าการหารด้วยศูนย์จะไม่สามารถนิยามได้อย่างสมเหตุสมผลด้วยจำนวนจริงและจำนวนเต็ม แต่ก็เป็นไปได้ที่จะนิยามการหารด้วยศูนย์หรือการดำเนินการที่คล้ายคลึงกันในโครงสร้างทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ได้อย่างสอดคล้องกัน

ในจำนวนไฮเปอร์เรียลการหารด้วยศูนย์ยังคงเป็นไปไม่ได้ แต่การหารด้วยจำนวนอนันต์ขนาดเล็ก ที่ไม่เป็นศูนย์ นั้นเป็นไปได้^{[ 27 ]}เช่นเดียวกันนี้ก็เป็นจริงในจำนวนเซอร์เรียล^{[ 28 ]}

ในทฤษฎีการแจกแจงเราสามารถขยายฟังก์ชัน⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$ไปสู่การแจกแจงบนปริภูมิทั้งหมดของจำนวนจริงได้ (ในทางปฏิบัติโดยใช้ค่าหลักของโคชี ) อย่างไรก็ตาม การถามหา "ค่า" ของการแจกแจงนี้ที่⁠ ⁠${\displaystyle x=0}$ นั้นไม่สมเหตุสมผล คำตอบที่ซับซ้อนกว่านั้นหมายถึงขอบเขตเอกลักษณ์ของการแจกแจง

ใน พีชคณิต เมทริกซ์ บล็อกตัวเลขรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะถูกจัดการราวกับว่าเป็นตัวเลขเอง: เมทริกซ์สามารถบวกและคูณกันได้และในบางกรณีก็มีการหารด้วย การหารด้วยเมทริกซ์หมายถึงการคูณด้วยเมทริกซ์ ผกผันของเมทริกซ์นั้น ไม่ใช่ทุกเมทริกซ์จะมีเมทริกซ์ผกผัน^{[ 29 ]}ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์ที่มีแต่ศูนย์จะไม่สามารถหา เมทริกซ์ผกผันได้

เราสามารถกำหนดการหารเทียมได้โดยการกำหนดให้⁠ ⁠ โดย${\displaystyle \textstyle a/b=ab^{+}}$ที่⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle b^{+}}$แทนผกผันเทียมของ⁠ ⁠${\displaystyle b}$สามารถพิสูจน์ได้ว่าถ้า⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle b^{-1}}$มีอยู่จริง แล้ว⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle b^{+}=b^{-1}}$ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle b=0}$แล้ว⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle b^{+}=0}$

ในพีชคณิตนามธรรมจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อน สามารถถูกทำให้เป็นนามธรรมไปสู่โครงสร้างพีชคณิตทั่วไปมากขึ้น เช่นวงแหวนสลับที่ ซึ่งเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่การบวก การลบ และการคูณมีพฤติกรรมเช่นเดียวกับในระบบจำนวนที่เราคุ้นเคย แต่การหารอาจไม่มีนิยาม การเพิ่มตัวผกผันการคูณให้กับวงแหวนสลับที่เรียกว่าการหาตำแหน่งอย่างไรก็ตาม การหาตำแหน่งเฉพาะที่ของวงแหวนสลับที่ทุกวงที่ศูนย์คือวงแหวนที่ไม่สำคัญซึ่ง⁠ ⁠${\displaystyle 0=1}$ดังนั้นวงแหวนสลับที่ไม่สำคัญจึงไม่มีตัวผกผันที่ศูนย์ และด้วยเหตุนี้ การหารด้วยศูนย์จึงไม่มีนิยามสำหรับวงแหวนสลับที่ไม่สำคัญ

อย่างไรก็ตาม ระบบจำนวนใดๆ ที่สร้างวงแหวนสลับที่ได้สามารถขยายไปสู่โครงสร้างที่เรียกว่าวงล้อซึ่งการหารด้วยศูนย์เป็นไปได้เสมอ^{[ 30 ]}อย่างไรก็ตาม โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ได้จะไม่ใช่วงแหวนสลับที่ได้อีกต่อไป เนื่องจากผลคูณจะไม่กระจายเหนือการบวกอีกต่อไป ยิ่งไปกว่านั้น ในวงล้อ การหารองค์ประกอบด้วยตัวมันเองจะไม่ส่งผลให้เกิดองค์ประกอบเอกลักษณ์ การคูณ อีก ต่อ ไป${\displaystyle 1}$และหากระบบเดิมเป็นโดเมนจำนวนเต็มผลคูณในวงล้อจะไม่ส่งผลให้เกิดเซมิกรุปตัดทอนอีก ต่อไป

แนวคิดที่นำมาใช้กับเลขคณิตมาตรฐานนั้นคล้ายคลึงกับแนวคิดในโครงสร้างพีชคณิตทั่วไป เช่นริงและฟิลด์ในฟิลด์ สมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัวสามารถผกผันได้ภายใต้การคูณ ดังที่กล่าวมาข้างต้น การหารจะก่อให้เกิดปัญหาเฉพาะเมื่อพยายามหารด้วยศูนย์เท่านั้น เช่นเดียวกันนี้ก็เป็นจริงในฟิลด์เฉียง (ซึ่งด้วยเหตุนี้จึงเรียกว่าริงหาร ) อย่างไรก็ตาม ในริงอื่นๆ การหารด้วยสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์อาจก่อให้เกิดปัญหาได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น ริงของจำนวนเต็ม${\displaystyle \mathbf {Z} /6\mathbf {Z} }$มอดูล 6 ความหมายของนิพจน์⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {2}{2}}}$ควรจะเป็นคำตอบ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ของสมการ⁠ ⁠${\displaystyle 2x=2}$แต่ในริง⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {Z} /6\mathbf {Z} }$นั้น ⁠ ⁠เป็นตัว${\displaystyle 2}$หารศูนย์สมการนี้มีคำตอบที่แตกต่างกันสองคำตอบ คือ⁠ ⁠${\displaystyle x=1}$และ⁠ ⁠${\displaystyle x=4}$ดังนั้นนิพจน์⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {2}{2}}}$จึงไม่มีนิยาม

ในทฤษฎีฟิลด์ นิพจน์⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$เป็นเพียงตัวย่อของนิพจน์อย่างเป็นทางการ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle ab^{-1}}$โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle b^{-1}}$คือตัวผกผันการคูณของ⁠ ⁠${\displaystyle b}$เนื่องจากสัจพจน์ของฟิลด์รับประกันการมีอยู่ของตัวผกผันดังกล่าวเฉพาะสำหรับสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์เท่านั้น นิพจน์นี้จึงไม่มีความหมายเมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle b}$เป็นศูนย์ ตำราสมัยใหม่ซึ่งนิยามฟิลด์ว่าเป็นริงชนิดพิเศษ ได้รวมสัจพจน์⁠ ⁠${\displaystyle 0\neq 1}$สำหรับฟิลด์ (หรือเทียบเท่า) ไว้ด้วย เพื่อ ไม่ให้ ริงศูนย์เป็นฟิลด์ ในริงศูนย์ การหารด้วยศูนย์เป็นไปได้ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าสัจพจน์ของฟิลด์อื่นๆ เพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอที่จะยกเว้นการหารด้วยศูนย์ในการนิยามฟิลด์

ในการคำนวณ ตัวเลขส่วนใหญ่จะคำนวณด้วยเลขคณิตจุดลอยตัวซึ่งได้รับการกำหนดมาตรฐานโดย ข้อกำหนด IEEE 754 มาตั้งแต่ทศวรรษ 1980 ในเลขคณิตจุดลอยตัวของ IEEE ตัวเลขจะถูกแทนด้วยเครื่องหมาย (บวกหรือลบ) ตัวเลข สำคัญที่มีความแม่นยำคงที่ และเลขชี้กำลังที่ เป็นจำนวนเต็ม ตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังมากเกินไปจะเกิด "โอเวอร์โฟลว์" ไปยังค่าอนันต์ บวกหรือลบ (+∞ หรือ −∞) ในขณะที่ตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังน้อยเกินไปจะเกิด " อันเดอร์โฟลว์ " ไปยังค่าศูนย์บวกหรือลบ (+0 หรือ −0) ค่า NaN (ไม่ใช่ตัวเลข) หมายถึงผลลัพธ์ที่ไม่สามารถกำหนดได้

ในเลขคณิต IEEE การหาร 0/0 หรือ ∞/∞ จะได้ผลลัพธ์เป็น NaN แต่การหารอื่นๆ จะให้ผลลัพธ์ที่กำหนดไว้เสมอ การหารจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ด้วยศูนย์บวก (+0) จะได้ผลลัพธ์เป็นอนันต์ที่มีเครื่องหมายเดียวกับตัวตั้งหาร การหารจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ด้วยศูนย์ลบ (−0) จะได้ผลลัพธ์เป็นอนันต์ที่มีเครื่องหมายตรงข้ามกับตัวตั้งหาร คำจำกัดความนี้จะรักษาเครื่องหมายของผลลัพธ์ไว้ในกรณีที่เลขคณิตเกิดการอันเดอร์โฟลว์^{[ 31 ]}

ตัวอย่างเช่น เมื่อใช้เลขคณิต IEEE ความแม่นยำเดี่ยว ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle x=-2^{-149}}$แล้ว⁠ ⁠${\displaystyle x/2}$จะเกิด underflow เป็น⁠ ⁠${\displaystyle -0}$และการหาร⁠ ⁠${\displaystyle 1}$ด้วยผลลัพธ์นี้จะได้⁠ ⁠${\displaystyle 1/(x/2)=-\infty }$ผลลัพธ์ที่แท้จริง⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle -2^{150}}$มีขนาดใหญ่เกินกว่าที่จะแสดงเป็นตัวเลขความแม่นยำเดี่ยวได้ ดังนั้นจึงใช้ค่าอนันต์ที่มีเครื่องหมายเดียวกันแทนเพื่อบ่งชี้ว่าเกิด overflow

การหาร จำนวนเต็มด้วยศูนย์มักจะได้รับการจัดการแตกต่างจากการหารแบบจุดลอยตัว เนื่องจากไม่มีการแสดงผลลัพธ์ในรูปแบบจำนวนเต็มซีพียูมีพฤติกรรมที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นโปรเซสเซอร์x86 จะทำให้เกิด ข้อยกเว้นของฮาร์ดแวร์ในขณะที่โปรเซสเซอร์PowerPC จะสร้างผลลัพธ์ที่ไม่ถูกต้องสำหรับการหารโดยไม่แจ้งให้ทราบและดำเนินการต่อไป และโปรเซสเซอร์ ARMอาจทำให้เกิดข้อยกเว้นของฮาร์ดแวร์หรือส่งคืนค่าศูนย์ก็ได้^{[ 32 ] เนื่องจาก}ความไม่สอดคล้องกันระหว่างแพลตฟอร์มนี้ภาษาโปรแกรมCและC++ จึงถือว่าผลลัพธ์ของการหารด้วยศูนย์เป็นพฤติกรรมที่ไม่กำหนด^{[ 33 ]}ในภาษาโปรแกรมระดับสูง ทั่วไป เช่นPython [ ^{34 ]} จะมี การ ยก ข้อยกเว้นขึ้นเมื่อพยายามหารด้วยศูนย์ ซึ่งสามารถจัดการได้ในส่วนอื่นของโปรแกรม

ตัวช่วยพิสูจน์หลายตัวเช่นRocqและLeanกำหนดให้ 1/0 = 0 เพื่อให้ฟังก์ชันทั้งหมด เป็นฟังก์ชัน สมบูรณ์คำจำกัดความดังกล่าวไม่ก่อให้เกิดข้อขัดแย้ง เนื่องจากการดำเนินการเพิ่มเติม (เช่นการตัดทอน ) ยังคงต้องการตัวหารที่ไม่เป็นศูนย์^{[ 35 ] [ 36 ]}

• เมื่อวันที่ 21 กันยายน พ.ศ. 2540 ข้อผิดพลาดการหารด้วยศูนย์ใน "ตัวจัดการฐานข้อมูลระยะไกล" บนเรือUSS Yorktown (CG-48)ทำให้เครื่องทั้งหมดในเครือข่ายหยุดทำงาน ส่งผลให้ระบบขับเคลื่อนของเรือล้มเหลว^{[ 37 ] [ 38 ]}

• ตัวหารศูนย์
• ศูนย์ยกกำลังศูนย์
• กฎของ L'Hôpital

• บันช์, ไบรอัน (1982), ข้อผิดพลาดและความขัดแย้งทางคณิตศาสตร์ , นิวยอร์ก: แวน นอสแตรนด์ ไรน์โฮลด์, ISBN 0-442-24905-5(พิมพ์ซ้ำโดยสำนักพิมพ์ Dover ปี 1997)
• เฉิง, ยูจีนียา (2023), คณิตศาสตร์มีอยู่จริงหรือไม่? คำถามง่ายๆ นำเราไปสู่ความจริงอันลึกซึ้งที่สุดของคณิตศาสตร์ได้อย่างไร , สำนักพิมพ์เบสิกบุ๊คส์, ISBN 978-1-541-60182-6
• ไคลน์, เฟลิกซ์ (1925), คณิตศาสตร์เบื้องต้นจากมุมมองขั้นสูง / เลขคณิต พีชคณิต การวิเคราะห์แปลโดย เฮดริก, อีอาร์; โนเบิล, ซีเอ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 3), โดเวอร์
• Hamilton, AG (1982), Numbers, Sets, and Axioms , Cambridge University Press, ISBN 978-0521287616
• เฮนกิน, ลีออน; สมิธ, นอร์แมน; วาริโน, เวอร์น เจ.; วอลช์, ไมเคิล เจ. (2012), การย้อนรอยคณิตศาสตร์เบื้องต้น , Literary Licensing LLC, ISBN 978-1258291488
• Schumacher, Carol (1996), บทที่ศูนย์: แนวคิดพื้นฐานของคณิตศาสตร์นามธรรม , Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-82653-1
• Zazkis, Rina; Liljedahl, Peter (2009), "เรื่องราวที่อธิบาย", การสอนคณิตศาสตร์ด้วยการเล่าเรื่อง , สำนักพิมพ์ Sense, หน้า  51–65 , doi : 10.1163/9789087907358_008 , ISBN 978-90-8790-734-1

• นอร์ธรอป, ยูจีน พี. (1944), ปริศนาในคณิตศาสตร์: หนังสือแห่งความขัดแย้ง , นิวยอร์ก: ดี. แวน นอสแตรนด์, บทที่ 5 "ห้ามหารด้วยศูนย์", หน้า 77–96
• ไซเฟ, ชาร์ลส์ (2000), Zero: The Biography of a Dangerous Idea , นิวยอร์ก: เพนกวิน, ISBN 0-14-029647-6
• Suppes, Patrick (1957), Introduction to Logic , Princeton: D. Van Nostrand, §8.5 "ปัญหาการหารด้วยศูนย์" และ §8.7 "ห้าแนวทางในการแก้ปัญหาการหารด้วยศูนย์"(พิมพ์ซ้ำโดยสำนักพิมพ์ Dover, 1999)
• Tarski, Alfred (1941), Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences , Oxford University Press, §53 "Definitions whose deminiendum contains the identity sign"