วงจรตัวต้านทาน-ตัวเก็บประจุ ( วงจร RC ) หรือตัวกรอง RCหรือเครือข่าย RCคือวงจรไฟฟ้าที่ประกอบด้วยตัวต้านทานและตัวเก็บประจุ วงจร นี้ อาจถูกขับเคลื่อนด้วย แหล่ง จ่ายแรงดันหรือกระแสซึ่งจะทำให้เกิดการตอบสนองที่แตกต่างกัน วงจร RC อันดับหนึ่งประกอบด้วยตัวต้านทานหนึ่งตัวและตัวเก็บประจุหนึ่งตัว และเป็นวงจร RC ชนิดที่ง่ายที่สุด

วงจร RC สามารถใช้กรองสัญญาณได้โดยการบล็อกความถี่บางช่วงและปล่อยให้ความถี่อื่นผ่านไปได้ ตัวกรอง RC ที่พบได้บ่อยที่สุดสองแบบคือตัวกรองความถี่สูงผ่านและตัวกรองความถี่ต่ำผ่านตัวกรองความถี่ผ่านย่านและตัวกรองความถี่หยุดย่านมักต้องใช้ตัวกรอง RLCแม้ว่าจะสามารถสร้างตัวกรองแบบง่ายๆ ด้วยตัวกรอง RC ก็ได้

วงจร RC ที่ง่ายที่สุดประกอบด้วยตัวต้านทานที่มีความต้านทานRและตัวเก็บประจุที่มีประจุCต่อกันเป็นวงจรเดี่ยว โดยไม่มีแหล่งจ่ายแรงดันภายนอก ตัวเก็บประจุจะคายพลังงานที่เก็บไว้ผ่านตัวต้านทาน ถ้าV ( t )คือแรงดันของแผ่นด้านบนของตัวเก็บประจุเทียบกับแผ่นด้านล่างในรูปความสัมพันธ์ระหว่างกระแสและแรงดันของตัวเก็บประจุจะบอกว่ากระแสI ( t ) ที่ไหลออกจากแผ่นด้านบนของตัวเก็บประจุจะเท่ากับC คูณด้วยอนุพันธ์ ลบของV ( t )เทียบกับ เวลา กฎกระแสของ Kirchhoffกล่าวว่ากระแสนี้เป็นกระแสเดียวกันกับกระแสที่ไหลเข้าด้านบนของตัวต้านทาน ซึ่งตามกฎของโอห์มเท่ากับV ( t )/ Rทำให้ได้สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น ซึ่งสามารถจัดเรียงใหม่ตามรูปแบบมาตรฐานสำหรับการลดลงแบบเอกซ์ponential : หมายความว่าอัตราการลดลงของแรงดันในทันที ณ เวลาใด ๆ จะเป็นสัดส่วนกับแรงดัน ณ เวลานั้นการแก้หา V ( t )จะได้เส้นโค้งการลดลงแบบเอกซ์ponential ที่เข้าใกล้ 0 อย่างไม่มีที่สิ้นสุด โดยที่V0คือแรงดันตัวเก็บประจุที่เวลาt = 0และ_eคือเลขของออยเลอร์ $${\displaystyle \overbrace {C{\frac {-\mathrm {d} V(t)}{\mathrm {d} t}}} ^{\text{capacitor current}}=\overbrace {\frac {V(t)}{R}} ^{\text{resistor current}},}$$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} V(t)}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {1}{RC}}V(t).}$$$${\displaystyle V(t)=V_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}},}$$

เวลาที่ต้องใช้เพื่อให้แรงดันไฟฟ้าลดลงเหลือV 0 / e เรียกว่าค่าคงที่เวลา RC และกำหนดโดย [ 1 ] เมื่อใช้ระบบหน่วยสากล R จะ_มีหน่วยเป็นโอห์มและ C ^{จะมีหน่วย} เป็นฟารัดดังนั้นτจะมีหน่วยเป็นวินาทีในเวลาใดๆN ·τประจุหรือแรงดันไฟฟ้าของตัวเก็บประจุจะเป็น1/ e ^Nของค่าเริ่มต้น ดังนั้นหากประจุหรือแรงดันไฟฟ้าของตัวเก็บประจุเริ่มต้นที่ 100% จะเหลืออยู่ 36.8% ที่1·τเหลืออยู่ 13.5% ที่2·τเหลืออยู่ 5% ที่3·τเหลืออยู่ 1.8% ที่4·τและเหลือน้อยกว่า 0.7% ที่5·τและหลังจากนั้น $${\displaystyle \tau =RC.}$$

ครึ่งชีวิต ( t _1/2 ) คือเวลาที่ใช้ในการลดประจุหรือแรงดันไฟฟ้าลงครึ่งหนึ่ง: ^{[ 2 ]} ตัวอย่างเช่น ประจุหรือแรงดันไฟฟ้า 50% จะคงอยู่ที่เวลา1· t _1/2จากนั้น 25% จะคงอยู่ที่เวลา2· t _1/2จากนั้น 12.5% ​​จะคงอยู่ที่เวลา3· t _1/2และ1/2 ^N จะคงอยู่ ที่ เวลาN · t _1/2$${\displaystyle {\frac {1}{2}}=e^{-{\tfrac {t_{1/2}}{\tau }}}\quad \Rightarrow \quad t_{1/2}=\ln(2)\,\tau \approx {\text{0.693}}\,\tau .}$$

0.000001

1000000

1

1

1

1

1

1

1

.368

36.8

1

0.368

11

1

0.159

1

1

1

1

ตัวอย่างเช่น1 ความต้านทานที่มี1 ค่าความจุไฟฟ้า ดังกล่าวทำให้เกิดค่าคงที่เวลาประมาณ1 วินาทีค่า τนี้สอดคล้องกับความถี่ตัดประมาณ159 มิลลิเฮิร์ตซ์หรือ1 เรเดียนต่อวินาทีหากตัวเก็บประจุมีแรงดันเริ่มต้นV0เท่ากับ₁จากนั้นหลังจากผ่านไป1  τ (ประมาณ1 วินาทีหรือ1.443  ครึ่งชีวิต )แรงดันไฟฟ้าของตัวเก็บประจุจะลดลงเหลือประมาณ368 มิลลิโวลต์ :

 V _C ( 1 τ ) ≈  36.8 % ของ  V ₀ 

พฤติกรรมของวงจร RC เหมาะอย่างยิ่งที่จะวิเคราะห์ในโดเมนลาปลาสซึ่งส่วนที่เหลือของบทความนี้ต้องการความเข้าใจพื้นฐานเกี่ยวกับโดเมนลาปลาส โดเมนลาปลาสคือการแสดงในโดเมนความถี่โดยใช้ความถี่เชิงซ้อนsซึ่ง (โดยทั่วไป) เป็นจำนวนเชิงซ้อน : โดยที่ $${\displaystyle s=\sigma +j\omega ,}$$

jแทนหน่วยจินตนาการ : j ² = −1 ,

σคือ ค่าคงที่ การสลายตัวแบบเอกซ์ponential (เท่ากับ−1/( RC )ในกรณีนี้)

ωคือความถี่เชิงมุมไซน์

เมื่อประเมินสมการวงจรในโดเมนลาปลาส องค์ประกอบวงจรที่ขึ้นอยู่กับเวลา เช่น ตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำ สามารถพิจารณาได้เหมือนกับตัวต้านทานที่มีอิมพีแดนซ์ค่าเชิงซ้อนแทนที่จะเป็น ความต้านทาน จริงในขณะที่อิมพีแดนซ์เชิงซ้อนZ _Rของตัวต้านทานเป็นเพียงค่าจริงที่เท่ากับความต้านทานR ของมัน อิมพีแดนซ์เชิงซ้อนของตัวเก็บประจุCจะเป็นค่าอื่นแทน $${\displaystyle Z_{C}={\frac {1}{Cs}}.}$$

กฎกระแสไฟฟ้าของ Kirchhoff หมายความว่า กระแสไฟฟ้าในวงจรอนุกรมจะต้องเท่ากันเสมอเมื่อไหลผ่านทั้งสององค์ประกอบ กฎของโอห์มกล่าวว่า กระแสไฟฟ้านี้เท่ากับแรงดันไฟฟ้าขาเข้าหารด้วยผลรวมของอิมพีแดนซ์เชิงซ้อนของตัวเก็บประจุและตัวต้านทาน: ${\displaystyle V_{\mathrm {in} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I(s)&={\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{R+{\frac {1}{Cs}}}}\\&={\frac {Cs}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.\end{aligned}}}$

เมื่อพิจารณาวงจรเป็นวงจรแบ่งแรงดันแรงดันคร่อมตัวเก็บประจุจะเป็นดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{C}(s)&={\frac {\frac {1}{Cs}}{R+{\frac {1}{Cs}}}}V_{\mathrm {in} }(s)\\&={\frac {1}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\end{aligned}}}$

และแรงดันตกคร่อมตัวต้านทานคือ:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{R}(s)&={\frac {R}{R+{\frac {1}{Cs}}}}V_{\mathrm {in} }(s)\\&={\frac {RCs}{1+RCs}}V_{\mathrm {in} }(s)\,.\end{aligned}}}$

ฟังก์ชันถ่ายโอนจากแรงดันไฟฟ้าขาเข้าไปยังแรงดันไฟฟ้าคร่อมตัวเก็บประจุคือ

${\displaystyle H_{C}(s)={\frac {V_{C}(s)}{V_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {1}{1+RCs}}\,.}$

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันถ่ายโอนจากอินพุตไปยังแรงดันตกคร่อมตัวต้านทานคือ

${\displaystyle H_{R}(s)={\frac {V_{R}(s)}{V_{\rm {in}}(s)}}={\frac {RCs}{1+RCs}}\,.}$

ฟังก์ชันถ่ายโอนทั้งสองมีขั้ว เดี่ยว อยู่ที่

${\displaystyle s=-{\frac {1}{RC}}\,.}$

นอกจากนี้ ฟังก์ชันถ่ายโอนสำหรับแรงดันตกคร่อมตัวต้านทานจะมีค่าเป็นศูนย์อยู่ที่จุด กำเนิด

สภาวะคงที่แบบไซน์เป็นกรณีพิเศษของความถี่เชิงซ้อนที่พิจารณาว่าอินพุตประกอบด้วยไซน์บริสุทธิ์เท่านั้น ดังนั้น ส่วนประกอบการลดลงแบบเอกซ์ponential ที่แสดงโดยสามารถละเลยได้ในสมการความถี่เชิงซ้อนเมื่อสนใจเฉพาะสภาวะคงที่เท่านั้น การแทนที่อย่างง่ายของ ลงในฟังก์ชันถ่ายโอนก่อนหน้านี้จะทำให้ได้การตอบสนองอัตราขยายและเฟสแบบไซน์ของวงจร ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle s{=}\sigma {+}j\omega }$${\displaystyle s\Rightarrow j\omega }$

ขนาดของผลกำไรที่ได้จากส่วนประกอบทั้งสองนั้น

${\displaystyle G_{C}={\big |}H_{C}(j\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{C}(j\omega )}{V_{\mathrm {in} }(j\omega )}}\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}}$

และ

${\displaystyle G_{R}={\big |}H_{R}(j\omega ){\big |}=\left|{\frac {V_{R}(j\omega )}{V_{\mathrm {in} }(j\omega )}}\right|={\frac {\omega RC}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}\,,}$

เมื่อความถี่มีค่าสูงมาก ( ω → ∞ ) ตัวเก็บประจุจะทำหน้าที่เหมือนวงจรลัด ดังนั้น:

${\displaystyle G_{C}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 1\,.}$

เมื่อความถี่มีค่าน้อยมาก ( ω → 0 ) ตัวเก็บประจุจะทำหน้าที่เหมือนวงจรเปิด ดังนั้น:

${\displaystyle G_{C}\to 1\quad {\mbox{and}}\quad G_{R}\to 0\,.}$

พฤติกรรมที่ความถี่สุดขั้วเหล่านี้แสดงให้เห็นว่า หากวัดสัญญาณเอาต์พุตผ่านตัวเก็บประจุ ความถี่สูงจะถูกลดทอนลง และความถี่ต่ำจะผ่านไปได้ ดังนั้นวงจรแบบนี้จึงเป็นตัวกรองความถี่ต่ำอย่างไรก็ตาม หากวัดสัญญาณเอาต์พุตผ่านตัวต้านทาน ความถี่สูงจะผ่านไปได้ และความถี่ต่ำจะถูกลดทอนลง ดังนั้นวงจรแบบนี้จึงเป็น ตัวกรอง ความถี่ สูง

ช่วงความถี่ที่ตัวกรองยอมให้ผ่านได้เรียกว่าแบนด์วิดท์ ความถี่ที่ตัวกรองลดทอนสัญญาณลงเหลือครึ่งหนึ่งของกำลังก่อนกรองเรียกว่าความถี่ตัดซึ่งจำเป็นต้องลดอัตราขยายของวงจรลง

${\displaystyle G_{C}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$.

เมื่อแก้สมการข้างต้นจะได้

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={\frac {1}{RC}}\quad {\mbox{or}}\quad f_{\mathrm {c} }={\frac {1}{2\pi RC}}}$

ซึ่งเป็นความถี่ที่ตัวกรองจะลดทอนลงเหลือครึ่งหนึ่งของกำลังเดิม

มุมเฟสคือ

${\displaystyle \phi _{C}=\angle H_{C}(j\omega )=\tan ^{-1}\left(-\omega RC\right)}$

และ

${\displaystyle \phi _{R}=\angle H_{R}(j\omega )=\tan ^{-1}\left({\frac {1}{\omega RC}}\right)\,.}$

เมื่อω → 0 :

${\displaystyle \phi _{C}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\,.}$

เมื่อω → ∞ :

${\displaystyle \phi _{C}\to -90^{\circ }=-{\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\quad {\mbox{and}}\quad \phi _{R}\to 0\,.}$

แม้ว่าการเปลี่ยนแปลงเฟสของสัญญาณเอาต์พุตเมื่อเทียบกับสัญญาณอินพุตจะขึ้นอยู่กับความถี่ แต่โดยทั่วไปแล้วการเปลี่ยนแปลงเฟสจะน่าสนใจน้อยกว่าการเปลี่ยนแปลงอัตราขยาย ที่ความถี่กระแสตรง (0  เฮิรตซ์ ) แรงดันของตัวเก็บประจุจะมีเฟสตรงกับแรงดันสัญญาณอินพุต ในขณะที่แรงดันของตัวต้านทานจะนำหน้าอยู่ 90° เมื่อความถี่เพิ่มขึ้น แรงดันของตัวเก็บประจุจะเริ่มล้าหลังสัญญาณอินพุต 90° และแรงดันของตัวต้านทานจะมีเฟสตรงกับสัญญาณอินพุต

นิพจน์อัตราขยายและเฟสสามารถนำมารวมกันเป็น นิพจน์ เฟเซอร์ เหล่านี้ ซึ่งแสดงถึงเอาต์พุต:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{C}&=G_{C}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{C}}\\V_{R}&=G_{R}V_{\mathrm {in} }e^{j\phi _{R}}\,.\end{aligned}}}$

การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นสำหรับแต่ละแรงดันไฟฟ้าคือการแปลงลาปลาสผกผันของฟังก์ชันถ่ายโอนที่สอดคล้องกัน ซึ่งแสดงถึงการตอบสนองของวงจรต่อแรงดันไฟฟ้าขาเข้าที่ประกอบด้วยแรงกระตุ้นหรือฟังก์ชันเดลต้าของดิแรก

การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของแรงดันไฟฟ้าตัวเก็บประจุคือ

${\displaystyle h_{C}(t)={\frac {1}{RC}}e^{-{\frac {t}{RC}}}u(t)={\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,}$

โดยที่u ( t )คือฟังก์ชันขั้นบันไดของ Heavisideและτ = RCคือ ค่าคง ที่ เวลา

ในทำนองเดียวกัน การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของแรงดันไฟฟ้าตัวต้านทานคือ

${\displaystyle h_{R}(t)=\delta (t)-{\frac {1}{RC}}e^{-{\frac {t}{RC}}}u(t)=\delta (t)-{\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,}$

โดยที่δ ( t )คือฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac

ส่วนนี้ต้องอาศัยความรู้เกี่ยวกับการแปลงลาปลาส

วิธีที่ตรงไปตรงมาที่สุดในการหาพฤติกรรมในโดเมนเวลาคือการใช้การแปลงลาปลาสของนิพจน์สำหรับV _CและV _Rที่ให้ไว้ข้างต้น โดยสมมติว่ามีการป้อนค่าแบบขั้นบันได (เช่นV _in = 0ก่อนt = 0และจากนั้นV _in = V ₁ ):

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{\mathrm {in} }(s)&=V_{1}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{C}(s)&=V_{1}\cdot {\frac {1}{1+sRC}}\cdot {\frac {1}{s}}\\V_{R}(s)&=V_{1}\cdot {\frac {sRC}{1+sRC}}\cdot {\frac {1}{s}}\,.\end{aligned}}}$

การกระจาย เศษส่วนย่อยและการแปลงลาปลาสผกผันให้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{C}(t)&=V_{1}\cdot \left(1-e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)\\V_{R}(t)&=V_{1}\cdot \left(e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)\,.\end{aligned}}}$

สมการเหล่านี้ใช้สำหรับคำนวณแรงดันตกคร่อมตัวเก็บประจุและตัวต้านทานตามลำดับ ในขณะที่ตัวเก็บประจุกำลังชาร์จส่วนการคายประจุ สมการจะกลับกัน สามารถเขียนสมการเหล่านี้ใหม่ในรูปของประจุและกระแสได้โดยใช้ความสัมพันธ์C = ⁠คิว/วีและ V = IR (ดู กฎ ของโอห์ม)

ดังนั้น แรงดันตกคร่อมตัวเก็บประจุจะเข้าใกล้_V1เมื่อเวลาผ่านไป ในขณะที่แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานจะเข้าใกล้ 0 ดังแสดงในรูป ซึ่งสอดคล้องกับหลักการที่ว่าตัวเก็บประจุจะรับประจุจากแรงดันไฟเลี้ยงเมื่อเวลาผ่านไป และในที่สุดก็จะชาร์จเต็ม

ผลคูณRCคือทั้งเวลาที่V _CและV _Rไปถึงภายใน⁠1/อีของค่าสุดท้าย กล่าวอีกนัยหนึ่ง RCคือเวลาที่แรงดันไฟฟ้าคร่อมตัวเก็บประจุเพิ่มขึ้นเป็น V ₁ ·(1 − ⁠1/อี)หรือแรงดันไฟฟ้าคร่อมตัวต้านทานลดลงเหลือ V 1 _· ( )1/อี)ค่าคงที่เวลา RCนี้ ถูก กำหนดโดยใช้ตัวอักษรเทา ( τ )

อัตราการเปลี่ยนแปลงเป็นเศษส่วน1 − ⁠1/อีต่อ τดังนั้น ในการเปลี่ยนจาก t = Nτไปเป็น t = ( N + 1) τ แรง ดันไฟฟ้าจะเคลื่อนที่ไปประมาณ 63.2% จากระดับที่ t = Nτไปสู่ค่าสุดท้าย ดังนั้นตัวเก็บประจุจะถูกชาร์จจนถึงประมาณ 63.2% หลังจาก τและมักจะถือว่าชาร์จเต็มแล้ว (>99.3%) หลังจากประมาณ 5 τเมื่อแหล่งจ่ายแรงดันถูกแทนที่ด้วยวงจรลัด โดยที่ตัวเก็บประจุชาร์จเต็มแล้ว แรงดันไฟฟ้าคร่อมตัวเก็บประจุจะลดลงแบบเอกซ์โปเนนเชียลตาม tจาก Vไปสู่ ​​0 ตัวเก็บประจุจะคายประจุจนถึงประมาณ 36.8% หลังจาก τและมักจะถือว่าคายประจุจนหมด (<0.7%) หลังจากประมาณ 5 τโปรดสังเกตว่ากระแส Iในวงจรมีพฤติกรรมเช่นเดียวกับแรงดันไฟฟ้าคร่อมตัวต้านทาน ตามกฎของโอห์ม

ผลลัพธ์เหล่านี้อาจได้มาจากการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ที่อธิบายวงจรด้วยเช่นกัน:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {V_{\mathrm {in} }-V_{C}}{R}}&=C{\frac {dV_{C}}{dt}}\\V_{R}&=V_{\mathrm {in} }-V_{C}\,.\end{aligned}}}$

สมการแรกแก้ได้โดยใช้ตัวประกอบการอินทิเกรตและสมการที่สองก็แก้ได้ง่ายเช่นกัน โดยคำตอบจะเหมือนกับคำตอบที่ได้จากการแปลงลาปลาสทุกประการ

พิจารณาเอาต์พุตที่ตัวเก็บประจุที่ ความถี่ สูงเช่น

${\displaystyle \omega \gg {\frac {1}{RC}}\,.}$

นี่หมายความว่าตัวเก็บประจุมีเวลาไม่เพียงพอที่จะชาร์จประจุ ดังนั้นแรงดันไฟฟ้าจึงมีค่าน้อยมาก ดังนั้นแรงดันไฟฟ้าขาเข้าจึงมีค่าโดยประมาณเท่ากับแรงดันไฟฟ้าคร่อมตัวต้านทาน เพื่อให้เห็นภาพนี้ ลองพิจารณาสูตรที่ให้ไว้ข้างต้น: ${\displaystyle I}$

${\displaystyle I={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R+{\frac {1}{j\omega C}}}}\,,}$

แต่โปรดทราบว่าเงื่อนไขความถี่ที่อธิบายไว้นั้นหมายความว่า

${\displaystyle \omega C\gg {\frac {1}{R}}\,,}$

ดังนั้น

${\displaystyle I\approx {\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}}$

ซึ่งก็คือกฎของโอห์มนั่นเอง

ตอนนี้,

${\displaystyle V_{C}={\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I\,dt\,,}$

ดังนั้น

${\displaystyle V_{C}\approx {\frac {1}{RC}}\int _{0}^{t}V_{\mathrm {in} }\,dt\,.}$

ดังนั้น แรงดันตกคร่อมตัวเก็บประจุจึงทำหน้าที่คล้ายกับตัวรวมสัญญาณของแรงดันอินพุตสำหรับความถี่สูง

พิจารณาค่าเอาต์พุตที่ตกคร่อมตัวต้านทานที่ ความถี่ ต่ำเช่น

${\displaystyle \omega \ll {\frac {1}{RC}}\,.}$

นี่หมายความว่าตัวเก็บประจุมีเวลาในการชาร์จจนกระทั่งแรงดันไฟฟ้าเกือบเท่ากับแรงดันไฟฟ้าของแหล่งจ่าย เมื่อพิจารณานิพจน์สำหรับIอีกครั้ง เมื่อ

${\displaystyle R\ll {\frac {1}{\omega C}}\,,}$

ดังนั้น

${\displaystyle {\begin{aligned}I&\approx {\frac {V_{\mathrm {in} }}{\frac {1}{j\omega C}}}\\V_{\mathrm {in} }&\approx {\frac {I}{j\omega C}}=V_{C}\,.\end{aligned}}}$

ตอนนี้,

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{R}&=IR=C{\frac {dV_{C}}{dt}}R\\V_{R}&\approx RC{\frac {dV_{in}}{dt}}\,.\end{aligned}}}$

ดังนั้น แรงดันตกคร่อมตัวต้านทานจึงทำหน้าที่คล้ายกับตัวแยกความแตกต่างของแรงดันอินพุตสำหรับความถี่ต่ำ

การอินทิเกรตและการหาอนุพันธ์ยังสามารถทำได้โดยการวางตัวต้านทานและตัวเก็บประจุตามความเหมาะสมในวงจรป้อนเข้าและวงจรป้อนกลับของตัวขยายสัญญาณปฏิบัติการ (ดูที่ตัวอินทิเกรเตอร์ของตัวขยายสัญญาณปฏิบัติการและตัวหาอนุพันธ์ของตัวขยายสัญญาณปฏิบัติการ )

โดยทั่วไปแล้ว วงจร RC แบบขนานนั้นมีความน่าสนใจน้อยกว่าวงจรแบบอนุกรม เนื่องจากแรงดันเอาต์พุต_Vout เท่ากับแรงดันอินพุตVin _{ดังนั้น}วงจรนี้จึงทำหน้าที่เป็นตัวกรองกระแสอินพุตแทนที่จะเป็นตัวกรองแรงดันอินพุต

ในกรณีที่มีอิมพีแดนซ์ซับซ้อน:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{C}&=j\omega CV_{\mathrm {in} }\,.\end{aligned}}}$

นี่แสดงให้เห็นว่ากระแสในตัวเก็บประจุมีเฟสต่างจากกระแสในตัวต้านทาน (และแหล่งจ่าย) อยู่ 90° หรืออาจใช้สมการเชิงอนุพันธ์ควบคุมแทนได้:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{R}&={\frac {V_{\mathrm {in} }}{R}}\\I_{C}&=C{\frac {dV_{\mathrm {in} }}{dt}}\,.\end{aligned}}}$

เมื่อได้รับกระแสจากแหล่งจ่ายกระแส ฟังก์ชันถ่ายโอนของวงจร RC แบบขนานจะเป็นดังนี้:

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {out} }}{I_{\mathrm {in} }}}={\frac {R}{1+sRC}}\,.}$

บางครั้งจำเป็นต้องสังเคราะห์วงจร RC จากฟังก์ชันตรรกยะ ที่กำหนด ในsสำหรับการสังเคราะห์ในองค์ประกอบแบบพาสซีฟนั้น ฟังก์ชันต้องเป็นฟังก์ชันจริงบวก ในการสังเคราะห์เป็นวงจร RC ความถี่วิกฤตทั้งหมด ( ขั้วและศูนย์ ) ต้องอยู่บนแกนจริงลบและสลับกันระหว่างขั้วและศูนย์โดยมีจำนวนเท่ากัน นอกจากนี้ ความถี่วิกฤตที่ใกล้จุดกำเนิดที่สุดต้องเป็นขั้ว โดยสมมติว่าฟังก์ชันตรรกยะแสดงถึงอิมพีแดนซ์มากกว่าแอดมิตแตน ซ์

การสังเคราะห์สามารถทำได้โดยการดัดแปลงการสังเคราะห์ Fosterหรือการสังเคราะห์ Cauerที่ใช้ในการสังเคราะห์วงจร LCในกรณีของการสังเคราะห์ Cauer จะได้ เครือข่ายแบบขั้นบันไดของตัวต้านทานและตัวเก็บประจุ^{[ 3 ]}

• ค่าคงที่เวลา RC
• วงจร RL
• วงจร LC
• วงจร RLC
• ระบบไฟฟ้า
• รายชื่อหัวข้ออิเล็กทรอนิกส์
• สัญญาณรบกวนจอห์นสัน-ไนควิสต์ § สัญญาณรบกวนความร้อนบนตัวเก็บประจุ – แสดงการหาค่าkTCของสัญญาณรบกวนที่เกิดจากตัวต้านทานที่มีตัวเก็บประจุ ดังนี้:

${\displaystyle V_{\text{rms}}={\sqrt {k_{\text{B}}T \over C}}.}$

• การตอบสนองขั้นบันได

• Bakshi, UA; Bakshi, AV, การวิเคราะห์วงจร - II , สำนักพิมพ์ทางเทคนิค, 2009 ISBN 9788184315974.
• ฮอโรวิตซ์, พอล; ฮิลล์, วินฟิลด์, ศิลปะแห่งอิเล็กทรอนิกส์ (ฉบับที่ 3), สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2015 ISBN 0521809266.